Conicas bt

Estudio analítico de las cónicas y sus propiedades geométricas

1º Bachillerato CiencasJuan Carlos Ballabriga

IES Benjamín de Tudela

El tema de las secciones cónicas no pertenece a la geometría elemental.El tratamiento más antiguo que ha llegado hasta nosotros es el que aparece en las Cónicas escrito por Apolonio de Perga, en el siglo II a.C.

Una SECCION CONICA es la curva que se traza sobre un cono, al ser intersectado por un plano.

Se define como el conjunto de puntos del plano que cumplen una misma propiedad

Se obliga de forma analítica a qué cumpla la condición y se deduce la ecuación que se busca

Lugar geométrico de los puntos del plano que equidistan de dos puntos dados

R(a,b)

Q(a’,b’)r

d(P,Q)=d(P,R)

P(x,y)

Desarrollando sale la ecuación general de una recta

2222 '' byaxbyax

Lugar geométrico de puntos que equidistan de dos rectas dadas

P(x,y)

r’:=A’x+B’y+C’=0

r:=Ax+By+C=0

d(P,r)=d(P,r’)

)',(''

'''),(

2222rPd

BA

CyBxA

BA

CByAxrPd

Para resolver la expresión con el valor absoluto se obtienen dos soluciones que corresponden a las dos bisectrices que se generan geométricamente

rr’

bisectrices

Lugar geométrico de puntos que están a la misma distancia de otro llamado centro

C(a,b)P(x,y)

La distancia constante la llamaremos radio

Radio

Centro

22222),( RbyaxRbyaxCPd

22222 22 Rbabyaxyx De donde podemos deducir que para el caso general, podemos escribir

02 pnymxyx

222

2

2

Rbap

bn

am

con

Es decir cualquier polinomio de 2 variables y segundo grado de la forma anterior es siempre la ecuación de una circunferencia

Lugar geométrico de los puntos del plano cuya suma de distancias a 2 puntos fijos llamados focos es constante

P(x,y)

F

cteFPdFPd )',(),(

2a Eje mayor. Por tanto a es el semieje mayor

2b

a

c

La constante es 2a, con a el semieje mayor. Supondremos una elipse centrada en el origen

F(-c,0)

F(c,0)

aFPdFPd 2)',(),(

d(P,F)+d(P,F’)=2a aycxycx 22222

P(x,y)

b a

ca

222 bca

2222 2 ycxaycx 2

2222 2

ycxaycx

222222222 4242 ycxayccxxayccxx

222

22 cxaycxa

cxaxcayccxxa 22242222 2)2(

)()( 22222222 caayaxca

222222 bayaxb

222 bca

22

22

22

22

22

22

ba

ba

ba

ya

ba

xb

12

2

2

2

b

y

a

x

simplificando

dividiendo

Lugar geométrico de los puntos del plano cuya resta de distancias a 2 puntos fijos llamados focos es constante

cteFPdFPd ),()',(P

2c

2a

La constante es 2a, con a el semieje mayor. Supondremos una hipérbola centrada en el origen

d(P,F)-d(P,F’)=2a aycxycx 22222

P(x,y)

F(c,0)F’(-c,0)

2222 2 ycxaycx 2

2222 2

ycxaycx

222222222 4242 ycxayccxxayccxx

222

22 cxaycxa

cxaxcayccxxa 22242222 2)2(

)()( 22222222 caayaxca

222222 bayaxb

222 bca

22

22

22

22

22

22

ba

ba

ba

ya

ba

xb

12

2

2

2

b

y

a

x

simplificando

dividiendo

Centrada en el origen

Centrada en un punto cualquiera

Con el eje focal vertical

P(x,y)

F(c,0)F(-c,0)

P(x,y)

F(x0+c, y0)F(x0-c, y0)

P(x,y)

F(0,-c)

F(0,c)

x0

y0

12

2

2

2

b

y

a

x1

)()(2

20

2

20

b

yy

a

xx

12

2

2

2

b

x

a

y

xa

by

Lugar geométrico de los puntos del plano que equidistan de una recta llamada directriz y de un punto, el foco

P

),(),( dPdFPd

d

p

V

O F=(p/2,0)

X= -p/2

),(),( dPdFPd 22

22y

px

px

),(),( dPdFPd

222

22y

px

px

desarrollando

22222 yppxxppxx pxy 22

Ecuación de una parábola

pxy 22

El vértice no es el origen

La directriz es horizontal

)(2)( 02

0 xxpyy

V(x0, y0)

)(2)( 02

0 yypxx

V(x0, y0)

Coeficiente de sustentación

Coeficiente de resistencia

Coeficiente de fuerza lateral

t

L

SV

LC

2

21

t

D

SV

DC

2

21

t

Y

SV

YC

2

21

Tiro parabólico

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ELIPSE Y CICLISMO

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Bobby Julich, GANADOR de la Paris Niza 2005 con plato elíptico Harmonic O.Symetric

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