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III
CONGRESO DE JÓVENES INVESTIGADORES
de laReal Sociedad Matemática Española
Universidad de Murcia, 7-11 Septiembre, 2015
CONFERENCIASPLENARIAS
Financiado por:
Fundación Séneca-Agencia de Ciencia y Tecnología de la Región de
Murcia, 19625/OC/14, concargo al Programa “Jiménez de la Espada de
Movilidad, Cooperación e Internacionalización”;
plan propio de investigación de la Universidad de Murcia;
Departamento de Matemática Aplicadade la Universidad Politécnica de
Cartagena.
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Superficies mínimas y Análisis Complejo
Antonio Alarcón1
Una superficie en el espacio Euclídeo tridimensionalR3 se
dicemínimasi es localmente área-minimizante,en el sentido de que
todo punto de la superficie admite un entorno cuyo área es la menor
de entre las detodas las superficies con el mismo borde. Aunque el
origen de las superficies mínimas es físico, ya quepueden
realizarse localmente como pompas de jabón, estas superficies se
encuentran en la intersección devarias ramas de la matemática. En
particular, el Análisis Complejo en una y varias variables juega un
papelfundamental en la teoría. En esta charla discutiremos la
influencia del Análisis Complejo en la Teoría deSuperficies
Mínimas.
1Departamento de Geometría y TopologíaUniversidad de
GranadaFacultad de Ciencias, Avenida de Fuentenueva s/n, 18071
[email protected]
Projection Algorithms for Convex and Nonconvex
FeasibilityProblems
Francisco J. Aragón Artacho1, Jonathan M. Borwein2, Matthew K.
Tam 2
A feasibility problemrequests solution to the problem
Find x ∈N⋂
i=1
Ci
whereC1, C2, . . . , CN are finitely many closed sets lying in a
Hilbert spaceH. In this talk we consideriterative methods based on
the non-expansive properties of the metricprojectionoperator
PC(x) := argminc∈C‖x− c‖
or reflectionoperatorRC(x) := 2PC(x) − x on a closed convex setC
⊂ H. At each step, these methodsutilize the nearest point
projection onto each of the individual constraint sets. The
philosophy here is thatit is simpler to consider each constraint
separately, rather than the intersection directly. These methods
areespecially useful when the number of sets involved is large as
the methods are fairly easy to parallelize.
Applied to closed convex sets, the behavior of projection
algorithms is quite well understood. Moreover,their simplicity and
ease of implementation have ensured continued popularity for
successful applicationsin a variety of nonconvex optimization and
reconstruction problems. This popularity is despite the absenceof
sufficient theoretical justification.
Particularly, in recent times, the Douglas–Rachford algorithm
has been empirically observed to effecti-vely solve a variety of
nonconvexfeasibility problems, including those of a combinatorial
nature. In this talkwe show global convergence behavior of the
algorithm for solving various nonconvex feasibility problems.We
also discuss recent successful applications of the method to a
variety ofmatrix reconstruction problems,both convex and nonconvex.
In these problems one aims to reconstruct a matrix, with known
properties,from a subset of its entries.
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Referencias
[1] F.J. Aragón Artacho, J.M. Borwein, M.K. Tam:
Douglas–Rachford feasibility methods for matrix com-pletion
problems,ANZIAM J.55(4) (2014), 299–326.
[2] F.J. Aragón Artacho, J.M. Borwein: Global convergence of a
non-convex Douglas–Rachford iteration,J. Glob. Optim.57(3) (2013),
753–769.
[3] F.J. Aragón Artacho, J.M. Borwein, M.K. Tam: Recent results
on Douglas–Rachford methods for com-binatorial optimization
problem,J. Optim. Theory. Appl.163(1) (2014), 1–30.
[4] H.H. Bauschke, P.L. Combettes:Convex Analysis and Monotone
Operator Theory in Hilbert Spaces.Springer, New York, 2011.
[5] J.M. Borwein, M.K. Tam: Reflection methods for inverse
problems with application to protein confor-mation
determination,Generalized Nash Equilibrium Problems, Bilevel
programming and MPEC.NewDelhi, 2012.
[6] V. Elser, I. Rankenburg, P. Thibault: Searching with
iterated maps,Proc. Natl. Acad. Sci. USA104(2)(2007), 418–423.
[7] J. Douglas, H.H. Rachford: On the numerical solution of heat
conduction problems in two and threespace variables,Trans. Am.
Math. Soc.82(2) (1956), 421–439.
[8] P.L. Lions, B. Mercier: Splitting algorithms for the sum of
two nonlinear operators,SIAM J. Numer.Anal.16(6) (1979),
964–979.
1Dpto. Estadística e Investigación OperativaUniversidad de
Alicante03690 San Vicente del Raspeig,
[email protected]
2CARMA Centre, University of NewcastleUniversity Drive,
Callaghan NSW 2308, [email protected] ,
[email protected]
Entropy methods in kinetic theory: the interplay of physics
andfunctional inequalities
José A. Cañizo1
Lyapunov functionals are a basic tool to study the asymptotic
behaviour of ordinary differential equa-tions, but in general they
are difficult to find. Kinetic equations are usually
integro-differential partial diffe-rential equations derived from
the microscopic behaviour of particles, and they model physical
systems atseveral scales, including fluids, gases, aggregates, and
biological populations in more recent applications.Entropy is a
central concept in many of these equations, and it provides a
Lyapunov functional that hasbeen used to study the asymptotic
behaviour of many of these PDE. Several deep functional
inequalitiesare involved in this, and there have been many recent
results linking them to the behaviour of this kind ofequations. We
will give an overview of the topic and comment on some of these
advances.
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1Departamento de Matemática AplicadaUniversidad de
GranadaFacultad de Ciencias, Avda. Fuentenueva S/N, 18071
[email protected]
The Nash problem for arc spaces
Roi Docampo Álvarez1
Algebraic varieties (zeroes of polynomial equations) often
present singularities: points around whichthe variety fails to be a
manifold, and where the usual techniques of calculus encounter
difficulties. Theproblem of understanding singularities can be
traced to the very beginning of algebraic geometry, and wenow have
at our disposal many tools for their study. Among these, one of the
most successful is what isknown as resolution of singularities [1],
a process that transforms (often in an algorithmic way) any
varietyinto a smooth one, using a sequence of simple
modifications.
In the 60’s Nash [2] proposed a novel approach to the study of
singularities: the arc space. These spacesare natural higher-order
analogs of tangent spaces; they parametrize germs of curves mapping
into thevariety. Just as for tangent spaces, arc spaces are easy to
understand in the smooth case, but Nash pointedout that their
geometric structure becomes very rich in the presence of
singularities.
Roughly speaking, the Nash problem explores the connection
between the topology of the arc spaceand the process of resolution
of singularities. The mere existence of such a connection has
sparked in recentyears a high volume of activity in singularity
theory, with connections to many other areas, most
notablybirational geometry and the minimal model program.
The objective of this talk is to give an overview of the Nash
problem. I will give a precise descriptionof the problem, and
discuss the most recent developments, including the proof of
Fernández de Bobadillaand Pe Pereira [3] of the Nash conjecture in
dimension two, and our extension of their result to
arbitrarydimension [4].
Referencias
[1] Hironaka, H.: Resolution of singularities of an algebraic
variety over a field of characteristic zero. I, II,Ann. of Math.
(2)79 (1964), 109–203, 205–326.
[2] Nash, J.F. Jr.: Arc structure of singularities,Duke Math.
J.81 (1) (1995), 31–38.
[3] Fernández de Bobadilla, J., Pe Pereira, M.: The Nash problem
for surfaces,Ann. of Math. (2)176 (3)(2012), 2003–2029.
[4] de Fernex, T., Docampo, R.: Terminal valuations and the Nash
problem,Invent. Math.(2015) DOI:10.1007/s00222-015-0597-5
1Instituto de Ciencias Matemáticas (ICMAT)Calle Nicolás Cabrera,
13-15 Campus de Cantoblanco, UAM28049 Madrid,
[email protected]
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Mathematical Models in Neuroscience
Gemma Huguet1
The study of the brain has attracted the attention of scientists
from different disciplines; amongst them,mathematics have sought
tools and mathematical models for the study of this body.
Mathematical neu-roscience aims at understanding the fundamental
mechanisms responsible for neuronal activity patternsobserved
experimentally. Modelling is important to interpret experimental
data, test hypothesis, make pre-dictions, and suggest new
experiments. Mathematical neuroscience seeks models that must be
both complexenough so that they include the relevant biological
processes and simple enough so that they can be analy-sed, either
numerically or computationally.
In this talk, I will review some widely-studied mathematical
models describing firing dynamics in neuro-nal systems, both at the
single cell and network level, including the most relevant
techniques from dynamicalsystems used to study them. Finally, I
will present some examples of applications of neuronal modelling
toperceptual multistability and spreading depolarization.
1Department de Matemàtica Aplicada IUniversidad Politècnica de
CatalunyaAvda Diagonal, 64708028 [email protected]
Laplace transform methods for evolution
problems/Metodosnuméricos para problemas de evolución basados en la
transformada
de Laplace
María López-Fernández1
Efficient numerical methods for the time integration of many
evolution equations can be designed byworking at some point in the
Laplace domain. The inverse Laplace transform may provide a
representationof the exact solution as a contour integral in the
complex plane which can be very favourable for
practicalcomputations. Starting from linear parabolic problems [2,
3, 1] and considering later more complicatedequations, such as
problems with fractional derivatives or exterior wave problems [4,
5], I will present afew successful methods designed in the Laplace
domain. Essential ingredients in this context are quadra-ture rules
based on conformal transformation of the complex plane and
numerical methods for ordinarydifferential equations. Fine error
estimates are necessary in order to control all parameters involved
in theapproximation procedure and achieve competitive rates of
convergence in practice. I will show the mainerror estimates,
discuss implementation issues and present some numerical
experiments.
Referencias
[1] M. López-Fernández, C. Lubich, C. Palencia, and A. Schädle:
Fast Runge-Kutta approximation ofinhomogeneous parabolic
equations,Numer. Math., 102(2) (2005), 277–291.
[2] M. López-Fernández and C. Palencia: On the numerical
inversion of the Laplace transform of certainholomorphic
mappings,Appl. Numer. Math., 51 (2-3) (2004), 289–303.
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[3] M. López-Fernández, C. Palencia, and A. Schädle: A spectral
order method for inverting sectorialLaplace transforms,SIAM J.
Numer. Anal., 44 (3) (2006), 1332–1350.
[4] M. López-Fernández and S. Sauter: Generalized convolution
quadrature with variable time stepping,IMA J. Numer. Anal., 33 (4)
(2013), 1156–1175.
[5] M. López-Fernández and S. Sauter: Generalized convolution
quadrature with variable time stepping.Part II: algorithm and
numerical results,Appl. Numer. Math, 94 (2015), 88–105.
1Division of MathematicsGran Sasso Science Institute GSSIViale
Franceso Crispi, 7. 67100 L’Aquila.
[email protected]
Criptografía basada en códigos correctores: alternativa a los
clásicoscriptosistemas de clave pública
Irene Márquez-Corbella1
En un mundo en que la utilización de datos electrónicos es
imprescindible tanto en la vida personalcomo en la institucional,
el uso de la criptografía ya no es opcional: es imperativo. Sin
embargo, se estáconvirtiendo en una tarea ardua encontrar
primitivas criptográficas eficientes que sobrevivan a ataques
crip-toanalíticos. Por ejemplo, la seguridad de casi todos los
criptosistemas de clave pública -aquellos que norequieren un
intercambio inicial de secretos- se basa hoy en día sólo en dos
problemas: la factorización yel logarítmo discreto. Por lo tanto,
avances en estos problemas o la construcción de ordenadores
cuánticoscambiarán de forma drástica el panorama actual.
La criptografía basada en códigos correctores junto con la
criptografía basada en retículos (en inglés:lattice based
cryptography), la criptografía multivariable o la criptografía
basada en funciones hash sonlas principales técnicas de las que
disponemos para resistir a ataques por ordenador cuántico. McEliece
en1978 [3] propone el primer criptosistema basado en la teoría de
códigos correctores, definiendo uno de lossistemas de cifrado más
eficientes que existen y que, además, resiste (hasta el momento)
cualquier tipo decriptoanálisis.
El principio de estos criptosistemas se basa en la siguiente
función“trapdoor one-way”: es fácil y rápidocodificar mensajes
utilizando transformaciones lineales; pero el problema general de
decodificación se hademostrado que es un problema NP-completo para
la métrica de Hamming. La “puerta trampa” consiste enque existen
ciertas familias de códigos que poseen algoritmos específicos
eficientes de decodificación. Ensu artículo original, McEliece
propone utilizar códigos Goppa binarios, y esta opción sigue siendo
segura.Pero otras familias de códigos han sido propuestas en un
intento de reducir el tamaño de las claves, porejemplo (y esta
lista está lejos de ser exhaustiva): los códigos Reed-Solomon
Generalizados [6], los códigosReed-Muller binarios [8] o los
códigos geométricos [2]. Todas estas propuestas han sido atacadas
en tiempopolinomial o sub-exponencial [7, 4, 1]. La principal
desventaja de estos criptosistemas es el gran tamaño desus claves.
Sin embargo, se han realizado grandes avances en este área
(reduciendo la longitud de la clavepero manteniendo el mismo nivel
de seguridad). Los nuevos resultados admiten claves muy compactas
[5](alrededor de 5000 bits para alcanzar 80 bits de seguridad), lo
que permite comparar estos criptosistemascon el clásico
criptosistema RSA.
En esta charla presentaremos con detalle el estado de la
criptografía basada en códigos correctores y losprogresos que ha
hecho la comunidad con el fin de estar preparada para el proceso de
estandarización.
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Referencias
[1] A. Couvreur and I. Márquez-Corbella and R. Pellikaan. A
Polynomial Time Attack against AlgebraicGeometry Code Based Public
Key Cryptosystems. EnIEEE International Symposium on
InformationTheory (ISIT), 1446–1450. Honolulu, June 2014.
[2] H. Janwa and O. Moreno. McEliece public cryptosystem using
algebraic-geometric codes.Des. CodesCryptogr.8 (1996) 293–307.
[3] R. J. McEliece. A public-key cryptosystem based on algebraic
coding theory.DSN Progress Report42-44, (1978) 114–116.
[4] L. Minder and A. Shokrollahi. Cryptanalysis of the
Sidelnikov cryptosystem. EnAdvances in Crypto-logy - EUROCRYPT
2007, Lecture Notes in Computer Science, vol. 4515 (2007)
347-360.
[5] R. Misoczki, J.P. Tillich, N. Sendrier and P. Barreto.
MDPC-McEliece: New McEliece variants fromModerate Density
Parity-Check codes EnIEEE International Symposium on Information
Theory (ISIT),2069-2073. Istanbul, July 2013.
[6] H. Niederreiter. Knapsack-type cryptosystems and algebraic
coding theory.Problems of Control andInformation Theory15 (2)
(1986) 159–166.
[7] V. M. Sidelnikov and S. O. Shestakov. On the insecurity of
cryptosystems based on generalized Reed-Solomon codes.Discrete
Math. Appl.2 (1992) 439–444.
[8] V.M. Sidelnikov. A public-key cryptosytem based on
Reed-Muller codes.Discrete Math. Appl.4 (3)(1994) 191-207.
1Project-team SECRET, INRIA Rocquencourt78153 Le Chesnay Cedex,
[email protected]
Canales Cuánticos: De la teleportación a los espaciosLp
noconmutativos
Carlos Palazuelos1, Marius Junge2
El objetivo fundamental de esta charla es mostrar algunas
conexiones entre la teoría de informacióncuántica y el análisis
funcional. En concreto, empezaremos explicando algunos conceptos
básicos sobrecanales cuánticos y el cálculo de sus capacidades y a
continuación mostraremos cómo ciertos problemas dela teoría de
álgebras de operadores aparecen de forma natural en este
contexto.
1Instituto de Ciencias Matemáticas, Departamento de Análisis
MatemáticoUniversidad Complutense de MadridPlaza de Ciencias s/n,
28040, Madrid, Españ[email protected]
2Department of MathematicsUniversity of Illinois at
Urbana-Champaign1409 W. Green Street, Urbana, Illinois
[email protected]
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¿Qué compactos deR3 pueden ser atractores?Jaime Jorge Sánchez
Gabites1
En el estudio de los sistemas dinámicos surgen frecuentemente
atractores “extraños”, así llamados por-que tienen una estructura
muy complicada. Para un topólogo es natural preguntarse si puede
decirse algomás preciso acerca de esa “estructura complicada”, y
cobra así interés el siguienteproblema de realización:dado un
compactoK ⊂ R3, ¿existe un flujo o un homeomorfismo deR3 que tiene
aK por atractor?En estacharla analizaremos varios ejemplos de
compactosK para los que la respuesta es negativa (entre ellos
algu-nos objetos clásicos de la topología geométrica, como las
esferas de Alexander y Antoine), explicando encada caso por qué es
así. Nuestro objetivo es dar una visión general del problema, de
modo que evitaremosentrar en detalles técnicos y presentaremos las
definiciones necesarias a lo largo de la charla.
Parte de los resultados que se expondrán son trabajo conjunto
con Héctor Barge Yáñez.
1Departmento de Análisis Económico, Facultad de Ciencias
Económicas y EmpresarialesUniversidad Autónoma de MadridFrancisco
Tomás y Valiente 5, Campus de Cantoblanco, 28031
[email protected]
Geometría tropical: Hipersuperficies singulares tropicalesLuis
Felipe Tabera Alonso1
En esta charla introduciremos las nociones básicas de la
geometría tropical. Dado un conjunto alge-braicoX, podemos
asociarle un complejo poliédrico (variedad tropical)T (X) [2]. Bajo
esta correspon-dencia, diversos problemas planteados paraX,
típicamente de naturaleza combinatoria, pueden resolverseconociendo
solamente su variedad tropicalT (X). Formalmente, dada una variedad
algebraicaX sobre uncuerpok, la variedad tropicalT (X) es la imagen
deX a través de una valoración dek. Veremos, a travésde ejemplos
sencillos, qué puede esperarse y qué no de las variedades
tropicales.
Uno de los resultados más celebrados en geometría tropical y
enumerativa es elTeorema de corres-pondencia de Mikhalkin([3] que
permite usar curvas tropicales para contar el número de curvas
complejasde género y grado prefijados que pasan por una
configuración genérica de puntos. Para realizar este estu-dio, se
necesita contar con una noción de punto singular tropical. Daremos
una definición de singularidady condiciones para que una
hipersuperficie tropical sea singular en términos delálgebra
tropical([1]) yestudiaremos la combinatoria asociada a la variedad
discriminante que parametriza las hipersuperficies sin-gulares de
grado fijado. En particular, mostraremos qué ocurre cuando la
característica del cuerpo basekes positiva, estamos trabajando
sobre un cuerpop-ádico o qué podemos decir cuando estamos
trabajandosobre los reales. También veremos problemas abiertos para
casos tan sencillos como estudiar el espacio detodas las curvas
planas con dos puntos singulares.
Referencias
[1] A. Dickenstein, L.F. Tabera: Singular Tropical
HypersurfacesDisc. Comput. Geom.47(2012), 430–453
[2] D. Maclagan, B. Sturmfels:Introduction to Tropical
GeometryGraduate Studies in Mathematics, Vol161, AMS, Providence,
RI, 2015.
[3] G. Mikhalkin: Enumerative tropical algebraic geometry inR2
J. Amer. Math. Soc.18 (2005), 313-377
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1Departamento de Matemáticas, Estadística y
ComputaciónUniversidad de CantabriaAv. Los Castros s/n, 39005
[email protected]