CONEXIONES ENTRE MATEMÁTICAS Y FÍSICA EN LA INTERPRETACIÓN DE GRÁFICAS DE LA CINEMÁTICA REALIZADAS POR ESTUDIANTES DE BACHILLERATO INÉS DELGADO RODRÍGUEZ Directoras de tesis ANGELA MARÍA RESTREPO SANTAMARÍA – Universidad de los Andes CÉCILE DE HOSSON – Université Paris Diderot (France) Centro de investigación y formación en educación - CIFE MAESTRÍA EN EDUCACIÓN Concentración Ciencia Tecnología Ingeniería y Matemáticas - CTIM BOGOTÁ D. C. 2015
This document is posted to help you gain knowledge. Please leave a comment to let me know what you think about it! Share it to your friends and learn new things together.
Transcript
CONEXIONES ENTRE MATEMÁTICAS Y FÍSICA EN LA INTERPRETACIÓN DE
GRÁFICAS DE LA CINEMÁTICA REALIZADAS POR ESTUDIANTES DE
BACHILLERATO
INÉS DELGADO RODRÍGUEZ
Directoras de tesis
ANGELA MARÍA RESTREPO SANTAMARÍA – Universidad de los Andes
CÉCILE DE HOSSON – Université Paris Diderot (France)
Centro de investigación y formación en educación - CIFE
MAESTRÍA EN EDUCACIÓN
Concentración Ciencia Tecnología Ingeniería y Matemáticas - CTIM
BOGOTÁ D. C.
2015
2
CONEXIONES ENTRE MATEMÁTICAS Y FÍSICA EN LA INTERPRETACIÓN DE
GRÁFICAS DE LA CINEMÁTICA REALIZADAS POR ESTUDIANTES DE
BACHILLERATO
Trabajo presentado como requisito para optar al título de Magíster en Educación
INÉS DELGADO RODRÍGUEZ
ANGELA MARÍA RESTREPO SANTAMARÍA
CÉCILE DE HOSSON
Directoras de tesis
UNIVERSIDAD DE LOS ANDES
MAESTRÍA EN EDUCACIÓN
CENTRO DE INVESTICACIÓN Y FORMACIÓN EN EDUCACIÓN - CIFE
La caída libre es un caso particular de este tipo de movimiento y se constituye es un tema
de estudio en grado décimo. En un M.R.U.A el objeto describe una trayectoria rectilínea pero
varía su velocidad uniformemente. Cuando se relaciona la posición en función del tiempo se
obtiene la siguiente gráfica de posición en función del tiempo.
.
Figura 2. Gráfica de posición en función del tiempo para un Movimiento Rectilíneo Uniformemente Variado.
17
Es importante resaltar que aunque la trayectoria es rectilínea, la gráfica que relaciona la
posición y el tiempo es una curva y en este caso, la velocidad corresponde a la pendiente de la
recta tangente a la curva en un punto. También es importante hacer notar que para construir esta
gráfica, y en general en toda gráfica, se ha elegido previamente un sistema de referencia
particular lo que implica haber adoptado una convención con respecto a ejes coordenados,
signos, variables, escala y para su interpretación es importante ser consciente de que esta
representación es un modelo matemático en donde se han relacionado dos variables y no
corresponde a la representación “fotográfica” del movimiento. En consecuencia, se espera que
un estudiante sea capaz de reconocer que esta gráfica (figura 2) no corresponde a la trayectoria
descrita por el objeto sino que representa una relación entre dos variables.
La interpretación de esta gráfica (figura 2) se constituye en otra parte esencial del objeto
de estudio de esta investigación ya que durante los diferentes años de experiencia como docente
de física he notado que se interpreta de manera inapropiada.
4. Estado del arte
El anterior apartado presentó algunas generalidades sobre dos tipos de movimiento, su
representación y análisis gráfico, los cuales se enseñan durante el bachillerato por lo que se
espera hayan sido aprendidos por los estudiantes. Sin embargo, en este trabajo y en diferentes
investigaciones sobre el desempeño de los estudiantes en torno a la interpretación de gráficas, los
conceptos matemáticos y físicos fundamentales involucrados en la descripción de estos
movimientos y las conexiones que se establecen entre conceptos físicos y matemáticos, ponen en
evidencia dificultades y errores en dichos aspectos.
El estudio de estas dificultades no es nuevo y ha sido explorado por una gran cantidad de
autores, entre ellos, McDermott, Rosenquist & van Zee (1987); Flores, Bello & Millán (2002); y
18
Bell & Janvier (1981); Leinhardt, Zaslavsky & Stein (1990) y Planinic, Milin-Sipus, Katic,
Susac & Ivanjek (2012).
McDermott et al. (1987) estudiaron dos categorías de dificultades: dificultades en
conectar gráficas a conceptos físicos y dificultades en conectar gráficas al mundo real. Con
respecto a la primera categoría (que es en la que se enmarca este trabajo), los autores reportaron,
entre otros hallazgos, que:
En una gráfica de posición en función del tiempo para un Movimiento Rectilíneo Uniforme,
los estudiantes asocian la velocidad del objeto en un punto dado con el valor de la ordenada
de dicho punto (altura de la gráfica), desconociendo que la información de la velocidad se
obtiene a partir de la pendiente de la recta que relaciona posición y tiempo.
Los estudiantes no pueden relacionar un tipo de gráfica con otro, es decir, no puede ir de una
gráfica de posición en función del tiempo a una gráfica de posición en función del tiempo. En
particular, no pueden trazar una gráfica de velocidad en función del tiempo a partir de una
gráfica de posición en función del tiempo.
En gráficas de posición en función del tiempo que no son líneas rectas sino curvas, los
estudiantes presentan mayor dificultad para identificar cambios en la velocidad media. En
lugar de buscar esos cambios, en los cambios que tiene la pendiente de la recta tangente a la
curva, se concentran en los cambios en la altura de la gráfica, es decir, se concentran en los
cambios en la ordenada.
Para una situación en la que los estudiantes deben referirse tanto a una gráfica como a su
descripción, los alumnos presentan fallas que pueden indicar la falta de atención a los
detalles dados en la descripción del problema y el uso memorístico de un algoritmo.
Específicamente, para una situación en la que se debe hallar la aceleración uniforme de un
19
objeto, dada una gráfica de velocidad en función del tiempo y la descripción del problema,
algunos estudiantes, en lugar de calcular la pendiente de los segmentos de recta para unos
intervalos de tiempo y asociarla con la aceleración, dividen las coordenadas de los puntos a
los que hace referencia la situación; es decir, no reconocen la diferencia entre la razón
y la
razón
. Además, un gran número, de los estudiantes que calculan la aceleración usando la
pendiente, son incapaces de relacionarla correctamente a la situación planteada.
Los estudiantes tienen dificultades para interpretar el área bajo la curva de una gráfica de
velocidad en función del tiempo y poder extraer información de ella.
Flores et al.(2002) examinaron las concepciones alternativas que tienen los estudiantes y
profesores sobre las gráficas cartesianas del movimiento físico, en particular las relativas a la
velocidad y a la trayectoria. Dentro de los hallazgos reportados se encuentran que:
Cuando se pide escoger el intervalo de tiempo en el que un objeto tiene mayor velocidad
media, ̅, (en una gráfica de distancia en función del tiempo para un Movimiento
Rectilíneo Uniforme compuesta de varios segmentos de recta), los estudiantes eligen,
mayoritariamente, el intervalo de tiempo en el que se encuentra un segmento de recta
horizontal paralelo al eje de las t, quizá interpretando la gráfica como el corte transversal
de una carretera que cuando es plana el automóvil debe desplazarse con mayor
velocidad; el segmento rectilíneo de mayor longitud de la gráfica o el intervalo al que le
corresponden las ordenadas de mayor altura; en lugar de seleccionar el intervalo de
tiempo en el que el segmento de recta tiene mayor pendiente. (Flores, Bello y Millán,
2002, p.237).
20
Cuando se pide estimar la velocidad media de un objeto para ciertos intervalos de tiempo
(dada una gráfica de posición en función del tiempo para un Movimiento Rectilíneo Uniforme,
compuesta de varios segmentos de recta) es notoria la dificultad de asociar la velocidad media
con la pendiente del segmento de recta correspondiente al intervalo de tiempo indicado. Por
ejemplo: en casos donde hay un segmento de recta paralelo al eje de las t, los estudiantes operan
los valores extremos o el medio del intervalo de tiempo con la ordenada constante para estimar la
velocidad; o le asignan a la velocidad media el valor de la ordenada de alguno de los extremos
del intervalo, en lugar de asociar la velocidad media con la pendiente del segmento de recta. En
donde hay segmentos de recta con pendiente positiva, algunos estudiantes, asocian la velocidad
media con la ordenada del extremo superior del intervalo de tiempo y otros, operan con la mayor
ordenada y su correspondiente abscisa para estimarla, desconociendo que para hallarla ( ̅) debe
calcular la razón entre el cambio de posición ( ) y el tiempo transcurrido ( ); es decir, aplicar
la relación ̅
. Finalmente, en donde hay segmentos de recta con pendiente negativa, los
estudiantes realizan diferentes cálculos o asociaciones para estimar la velocidad. Por ejemplo,
“dividen la magnitud de la ordenada mayor entre el extremo mayor del intervalo de tiempo”
(Flores, Bello y Millán, 2002, p.233); o asocian la velocidad con ordenadas intermedias del
intervalo dado; sin embargo, ningún estudiante insinúa siquiera que la velocidad sea negativa. En
general, se aprecia la tendencia a “interpretar la velocidad como el valor de la ordenada mayor
en el intervalo tiempo en cuestión” (Flores, Bello y Millán, 2002, p.233).
Respecto a la posibilidad de que dos gráficas, una de coordenadas tiempo-distancia y otra
coordenadas tiempo-velocidad, referidas al movimiento rectilíneo uniforme, puedan representar
al mismo movimiento la cantidad de respuestas fueron muy equilibradas para el sí y para el no en
21
los estudiantes y profesores de secundaria y en estudiantes de preparatoria, los estudiantes
universitarios y profesores de preparatoria mayoritariamente opinaron que no. La tendencia
apunta que a mayor nivel educativo corresponden concepciones menos consistentes acerca de la
posibilidad de que representaciones gráficas tiempo-distancia y tiempo-velocidad modelen un
mismo movimiento (Flores, Bello y Millán, 2002, p.237).
La gran mayoría, tanto de estudiantes como de profesores que contestaron el cuestionario,
asocian la gráfica cartesiana que se asemeja a la trayectoria para el caso de la caída libre de los
cuerpos, este dato es sintomático de la concepción que equipara a la trayectoria del movimiento
físico con la gráfica cartesiana del mismo. (Flores, Bello y Millán, 2002, p.237). Bell & Janvier
(1987) afirman que a pesar de que el tema ha sido estudiado, inclusive en la escuela primaria, los
estudiantes de secundaria son débiles en la habilidad para interpretar características físicas
generales así como para extraer información acerca de situaciones científicas.
Leinhardt et al. (1990) hacen un resumen de las investigaciones y teorías relacionadas
con la enseñanza y el aprendizaje de las funciones, gráficas y el proceso de construcción de una
gráfica, en edades entre los 9 y los 14 años desde el punto de vista matemático. En el recorrido
que hacen por los diferentes autores se muestra como este tema es tan complejo que abarca
disciplinas como la psicología cognitiva, la educación matemática y las mismas matemáticas;
este recorrido, le permitió a la presente investigación ampliar la comprensión del tema desde el
punto de vista matemático en aspectos como: la misma definición de funciones y gráficas, las
demandas cognitivas para el estudiante, las estrategias para superar las dificultades en su
construcción y representación, entre otras.
Leinhardt, Zaslavsky & Stein (como se citó en Planinic et al. 2012) clasificaron las
dificultades de los estudiantes en tres categorías: confusiones entre un punto y un intervalo,
22
donde los estudiantes se concentran en un solo punto en lugar de un intervalo; confusiones entre
pendiente y altura donde los estudiantes confundieron la altura de la gráfica por la pendiente, e
interpretación de la gráfica como un dibujo. Como se mostrará en los resultados, algunas de
estas dificultades también se evidenciaron en la presente investigación.
Planinic et al. (2012) refieren que hay diferencias en la comprensión de la pendiente de
una recta en el contexto de la cinemática y las matemáticas. Según estos investigadores, la
estimación e interpretación de la pendiente de una recta en un contexto físico presenta mayor
dificultad para los estudiantes que en contextos matemáticos. Además reportan que al parecer la
falta de conocimiento matemático no es la principal razón para que los estudiantes tengan
dificultades con las gráficas en Cinemática (este hallazgo también es reportado por McDermott,
Rosenquist & van Zee (1987)) y, que los estudiantes presentan confusión entre altura y pendiente
en ambos contextos pero con mayor frecuencia en el contexto de la física contradiciendo lo que
la mayoría de un grupo de profesores predijo con respecto a este último aspecto.
23
Metodología
1. Diseño metodológico
Este trabajo corresponde a una investigación de tipo exploratorio que pretende poner en
evidencia los conocimientos utilizados por los estudiantes de grado décimo al interpretar gráficas
cartesianas de posición en función del tiempo. Este estudio no busca establecer niveles de
desempeño, ya que surge de la necesidad de escudriñar, en la medida de lo posible, el
pensamiento de los estudiantes; en otras palabras, surge de la necesidad de conocer, con cierto
nivel de profundidad, el razonamiento que hacen los alumnos al interpretar gráficas de posición
en función del tiempo y gráficas de velocidad en función del tiempo para un Movimiento
Rectilíneo Uniforme.
2. Participantes y contexto educativo
El colegio Técnico Industrial Piloto es una Institución Educativa de carácter técnico y
oficial ubicado en el barrio Fátima, al sur de Bogotá; cuenta con cuatro sedes y tres jornadas para
un total de 5000 estudiantes aproximadamente. Los estudiantes pertenecen a los estratos
socioeconómicos 1 y 2 y participan en diferentes actividades relacionadas con el área técnica y el
programa 40x40.
La investigación contó con la participación de 90 estudiantes de grado décimo (entre 15 y
18 años) del Colegio Técnico industrial Piloto, quienes a través de consentimientos informados
(anexo 3) autorizaron la participación en la investigación, garantizándoles que sus nombres se
mantendrían en el anonimato. La participación de los estudiantes no estuvo sujeta a ningún tipo
de incentivo y contó con la participación de niñas y niños en aproximadamente los mismos
porcentajes.
24
Además contó con el apoyo del maestro titular de la clase de física, la coordinadora
académica, y los padres de familia, quienes también autorizaron la realización de la investigación
a través de consentimientos informados (ver anexo 4).
3. Métodos de recolección de la información
La recolección de los datos cualitativos se hizo a través de tres métodos: cuestionarios,
por considerarlo “una manera estructurada de obtener información acerca de las ideas previas”
(Mora y Herrera, 2009, p.76); entrevistas y pensamiento en voz alta. A continuación se
explicarán aspectos relacionados con cada método.
3.1 El cuestionario.
Este instrumento sirve para destacar dificultades en la interpretación de gráficas y dar
respuesta a las preguntas de investigación. Fue inspirado en algunos de los referentes teóricos, ya
que en ellos se encontraban situaciones muy interesantes que permitían explorar aspectos
directamente relacionados con los objetivos de esta investigación. La descripción completa del
instrumento y su construcción se explica en el siguiente apartado.
Su validación se hizo a través de pares, investigadores y una prueba piloto, la cual se
realizó con 112 estudiantes de grado once. Su aplicación y estudio permitió identificar aspectos a
mejorar (ortografía, refinamiento de las gráficas) y puso en evidencia dificultades de los
estudiantes en la interpretación de gráficas que no estaban contempladas como objeto de estudio
en este trabajo como, por ejemplo, confundir un intervalo y un punto, lo que condujo a que en
una de las situaciones del cuestionario final se ofrecieran cuatro opciones de respuesta, en lugar
de dejar la pregunta totalmente abierta.
Los resultados de la prueba piloto también dejaron ver que las justificaciones de los
estudiantes, en algunos casos, eran insuficientes o poco claras, y por lo tanto era necesario
25
aplicar técnicas adicionales como el think aloud o las entrevistas. Luego, durante la presentación
de los avances de este trabajo en las clases de Tesis 2, una de las expertas sugirió que sería
interesante incluir al cuestionario la relación matemática y la definición de velocidad media por
ser uno de los conceptos básicos que subyacen en todo el instrumento. El propósito de hacer esta
inclusión era garantizar que el estudiante tuviera este registro en caso de que lo necesitara y así
evitar que la falta de la ecuación llegara a ser un impedimento para la interpretación de las
gráficas. Cuando se remitió la sugerencia a las directoras de este trabajo, surgió la hipótesis de
que este registro matemático no iba a causar mayores diferencias en la interpretación de la
gráficas por lo que se tomaron dos decisiones 1) incluir la definición y ecuación de la velocidad
media al 50% de los cuestionarios 2) seleccionar de forma aleatoria (utilizando una función de
excel) a los estudiantes que iban a recibir el cuestionario con este registro adicional para evitar
cualquier sesgo en la distribución de los cuestionarios.
El instrumento con el cual se recolectaron los datos para este trabajo fue aplicado a 90
estudiantes de grado décimo (45 de los 90 cuestionarios incluían la definición y ecuación de la
velocidad media) que quisieron participar en la investigación; tres de ellos, resolvieron el
cuestionario de forma oral y a primera vista (think aloud) y los demás de forma escrita.
El cuestionario está conformado por cinco situaciones. Cada una de ellas tiene una
gráfica y un texto corto que sirven como referente para dar respuesta y explicación a una
pregunta concreta. Después de la aplicación escrita del cuestionario, se hizo una revisión de los
resultados y se seleccionó una muestra representativa de seis estudiantes para participar en un
think aloud (ya no a primera vista sino sobre sus respuestas iniciales) y en una entrevista
individual (inmediatamente posterior al think aloud).
26
3.2 Proceso de construcción y evolución del cuestionario.
El proceso de construcción del cuestionario inició con la selección de las situaciones a ser
incluidas. Para ello se tuvo en cuenta que: (a) apuntaran a los objetivos de esta investigación, (b)
se enmarcaran en conceptos estudiados por los alumnos de grado décimo, (c) el grado de
complejidad de la situación propuesta estuviera acorde al nivel de estudios en el que se
encontraban los alumnos y (d) no fuera indispensable el uso de ecuaciones para su solución.
Con base en los anteriores criterios, se seleccionaron y adaptaron cinco situaciones. La
primera fue tomada de McDermott, Rosenquist y van Zee (1986) y las demás de Flores, Bello y
Millán (2002). Sin embargo, a todas las situaciones se le hicieron ajustes para adaptarlas a los
objetivos de investigación y al contexto; asimismo, se tuvo en cuenta la retroalimentación hecha
por pares, expertos en contenido e investigadoras, y los resultados de la prueba piloto. Algunos
de estos ajustes fueron generales como, por ejemplo, colocar una cuadrícula de fondo y una
escala numérica a los ejes coordenados para facilitar la lectura de cualquier pareja ordenada y
evitar que algunos estudiantes tuvieran complicaciones por el uso exclusivo de variables, como
sucede en las situaciones propuestas por Flores, Bello y Millán (2002).
A continuación se muestra en detalle las adaptaciones particulares realizadas a cada
situación durante las dos etapas del proceso (prueba piloto y prueba final) de construcción del
instrumento y su evolución.
Situación No.1
El enunciado de esta situación es:
La figura 1 muestra la posición con relación al tiempo para dos objetos A y B que se están
moviendo a lo largo de una recta horizontal.
27
a. ¿Los objetos A y B tienen en algún momento la misma velocidad? Si es así, ¿en qué
momento la tienen? Explica tu respuesta.
b. En el instante de tiempo t=2s, la velocidad del objeto A ¿es más grande, más
pequeña o igual a la velocidad del objeto B? Explica tu respuesta.
Esta situación fue tomada de McDermott, Rosenquist y van Zee (1986); la gráfica se
adaptó para este trabajo como se muestra en la tabla1 pero el enunciado siempre se mantuvo
igual porque permite conocer cuál es la característica de la gráfica que se escoge para determinar
la velocidad.
McDermott,Rosenquist
y van Zee(1986)
Prueba Piloto Prueba definitiva
Tabla 1. Adaptaciones realizadas a la gráfica tomada de McDermott, Rosenquist y van Zee (1986)
De acuerdo con la tabla 1 se observa que se hicieron adaptaciones de forma con el
propósito de darle mayor claridad a la gráfica. Sin embargo hay que destacar algunos ajustes.
Para la prueba piloto no se tomó exactamente la gráfica original porque, a pesar de que ella
contiene una escala numérica, no es frecuente en nuestro contexto que la gráfica se presente
como sí estuviera dentro de un cuadro, por ello y pensando en la posibilidad de que esto fuera
una fuente de confusión se dejó la gráfica como habitualmente se hace en clase.
28
Durante el análisis de los resultados del piloto se encontró que era inconveniente: (a)
resaltar puntos en los extremos de las rectas porque eran interpretados como si el movimiento
finalizara (b) que las dos rectas tuvieran distintas abscisas en sus extremos porque se constituía
en una nueva variable durante la comparación de los dos movimientos. En consecuencia, se
hicieron los cambios necesarios; además, se incluyó una cuadrícula para facilitar la lectura de
cualquier pareja ordenada.
Situación No.2
El enunciado es:
La siguiente figura representa la posición con relación al tiempo, para un carro que se mueve
sobre una carretera recta. ¿En qué intervalo de tiempo la velocidad fue mayor?
Esta situación fue tomada de Flores, Bello y Millán (2002); y la evolución de la gráfica se
muestra en la tabla 2.
Flores, Bello y Millán
(2002)
Prueba Piloto Prueba definitiva
Tabla 2.Adaptaciones realizadas a la situación tomada de Flores, Bello y Millán (2002)
Como se observa en la tabla, la gráfica en la prueba piloto inicia desde un valor negativo,
este cambio se hizo por sugerencia de una de las investigadoras con el propósito de indagar
29
acerca del dominio conceptual sobre posición y desplazamiento. Para la prueba final se volvió a
hacer un cambio en la longitud de la recta entre t=0s y t=1s ya que en la prueba piloto se observó
que la mayoría de los estudiantes estaban dando la respuesta correcta guiándose, muy
posiblemente, por la destacada longitud del segmento de recta en este intervalo de tiempo y no
por la pendiente del mismo; así que para corroborar ésta inferencia se decidió disminuir la
longitud del segmento de recta pero mantener su inicio en un valor negativo.
Como se puede ver en la prueba piloto (anexo 1) no se dieron opciones de respuesta y
esto trajo como consecuencia que el análisis de las respuestas se complicara demasiado ya que se
presentaron múltiples respuestas y se pusieron en evidencia dificultades relacionadas con
intervalos, puntos, elección de los ejes coordenados para determinar el intervalo de tiempo. En
consecuencia, para la prueba final se dieron opciones de respuesta tal y como se hace en el
artículo de referencia.
Situación No. 3
El enunciado es:
¿Podrían las figuras 3 y 4 corresponder al mismo tipo de movimiento? Explique.
Esta situación fue tomada de Flores, Bello y Millán (2002), la evolución de la gráfica se
muestra en la tabla 3. El enunciado no tuvo ningún cambio.
30
Flores, Bello y Millán
(2002)
Prueba Piloto Prueba definitiva
Figura 3
Figura 4
Figura 3
Figura 4
Figura 3
Figura 4
Tabla 3.Adaptaciones realizadas a la situación tomada de Flores, Bello y Millán (2002)
Como se observa en la tabla 3, se colocó una escala numérica en los ejes coordenados en
la prueba piloto y la prueba definitiva; esto se debe a que en la experiencia docente se ha visto
que los estudiantes se sienten más seguros con el uso de constantes, es decir, el uso de variables
en los ejes es una fuente de dificultad en la interpretación de gráficas para los estudiantes.
Aunque ésta es una situación muy interesante para explorar, se decidió utilizar una
escala numérica en todas las gráficas del cuestionario y así evitar que se desviara la
investigación.
31
Situación No.4.
El enunciado para esta situación es:
¿Cuál de las siguientes gráficas corresponde al movimiento de un cuerpo que cae libremente
solo por la acción de la gravedad? Explique.
Esta situación fue tomada de Flores, Bello y Millán (2002), el enunciado no sufrió ningún
cambio y su evolución se muestra en la tabla 4.
Flores, Bello y Millán (2002) Prueba Piloto Prueba definitiva
32
Tabla 4. Adaptaciones realizadas a la situación tomada de Flores, Bello y Millán (2002)
Como se observa en la tabla 4, en la prueba piloto se omitió una gráfica lo cual se
consideró durante el análisis como una falla ya que al limitar las opciones de respuesta era
posible que también se estuviera limitando la exploración de los razonamientos de los
estudiantes, por eso, en la prueba final se dejaron las cuatro gráficas que se proponen en el
artículo de referencia. Como se mencionó anteriormente, la escala numérica se incluyó con el
propósito de evitarle al estudiante fuentes de dificultad en la interpretación.
Situación No.5
El enunciado es:
La gráfica muestra la posición en relación al tiempo para dos objetos A y B, que se desplazan
sobre una recta horizontal.
a. ¿Cuál objeto se mueve con mayor velocidad?
33
b. ¿En qué momento la velocidad de A y B son iguales?
Esta situación fue tomada de Flores, Bello y Millán (2002), el enunciado se mantuvo
igual y los cambios a la gráfica se muestra en la tabla 5.
Flores, Bello y Millán
(2002)
Prueba Piloto Prueba definitiva
Tabla 5. Adaptaciones realizadas a la situación tomada de Flores, Bello y Millán (2002)
Como lo muestra la tabla, en la gráfica de la prueba piloto y la prueba definitiva se
dejaron solo dos rectas para poder explorar el razonamiento de los estudiantes cuando se les
presenta dos gráficas en donde la altura de la gráfica es la misma. Por las mismas razones dadas
en los puntos anteriores se incluyó una cuadrícula y una escala numérica en los ejes coordenados.
3.3 Pensamiento en voz alta.
Como se mencionó anteriormente, durante el análisis de los resultados de la prueba
piloto, realizado con pares y expertos, se observó que algunas de las explicaciones de los
estudiantes eran insuficientes para poder entender con cierto grado de profundidad el
razonamiento utilizado al contestar el cuestionario. Por lo tanto, para la prueba final se decidió
que era necesaria una estrategia complementaria para la recolección de datos.
34
Teniendo en cuenta que uno de los propósitos de esta investigación es aproximarse a los
razonamientos de los estudiantes y que de acuerdo con Someren, Barnard y Sandberg (1994) el
think aloud tiene como propósito obtener datos acerca de un proceso cognitivo se decidió
implementarlo en la investigación.
El think aloud implica que los participantes que piensan en voz alta cuando están
realizando un tarea específica (en este caso cuando los estudiantes resolvieron el cuestionario).
Se les pide que expresen lo que están viendo, pensando, haciendo y sintiendo a medida que
avanzan sobre su tarea. Esto permite a los investigadores ver de primera mano el proceso de
realización de tareas; se les pide a los observadores en dicha prueba tomar notas de manera
objetiva de todo lo que los usuarios dicen, sin tratar de interpretar sus acciones y palabras o
realizar grabaciones de modo que los investigadores pueden volver atrás y hacer referencia a lo
que hicieron los participantes y cómo reaccionaron. El propósito de este método es hacer
explícito lo que está implícitamente presente en los participantes que son capaces de realizar una
tarea específica.
Con los estudiantes nueve estudiantes a los que se les aplicó el think aloud se hizo un
ejercicio previo de práctica para que se familiarizaran con la estrategia. El formato guía o guión
a seguir para el pensamiento en voz alta fue el mismo cuestionario, sin embargo, durante su
aplicación emergieron contra preguntas dirigidas a que el estudiante profundizara en sus
explicaciones. Al finalizar el think aloud se hizo una pequeña entrevista, la cual tuvo como
propósito explorar la percepción general de los estudiantes frente a las situaciones planteadas y
sus recomendaciones frente la forma como se podría enseñar y aprender a interpretar gráficas.
35
4. Plan de análisis
Para el análisis de los resultados, se utilizó como estrategia la teoría fundamentada lo cual
significa, como lo señala Sampieri, Fernández, y Baptista (2010), que la teoría va emergiendo
fundamentada en los datos.
El análisis de los resultados inició con la separación de los cuestionarios (se hicieron dos
grupos, uno corresponde a los cuestionarios que tenían la definición y ecuación y el otro el que
no los tenía). Luego, se contó el número de respuestas que emergieron en cada situación y de la
opción elegida en el caso de la situación No.2. Al revisar los resultados del conteo se evidenció
rápidamente que no había diferencias importantes entre los dos grupos. Después se leyeron y
transcribieron las justificaciones de los dos grupos de cuestionarios; al hacer un análisis
preliminar y comparar las explicaciones se volvió a evidenciar que no había diferencias, en otras
palabras, en las respuestas se encontraron los mismos tipos de razonamientos, parecía como sí
la ecuación no le ofreciera ningún tipo de información al estudiante, ni siquiera, la misma
definición. En consecuencia, se decidió continuar el análisis sin hacer distinción entre los dos
grupos.
Durante esta parte del proceso se confirmó la hipótesis de que suministrar la relación
matemática de la velocidad no iba a influir en los razonamientos de los estudiantes,
posiblemente, porque la ecuación como un tipo de representación matemática abstracta también
representa resulta difícil de entender para los estudiantes.
Después de observar la marcada tendencia por algunas respuestas en cada situación, se
decidió que las categorías de análisis fueran las respuestas dadas por los estudiantes y mostrar, en
los resultados y la discusión, cuáles son los argumentos en los que se apoyan haciendo énfasis en
si es en un concepto o en una característica de la gráfica.
36
El análisis se hizo pregunta a pregunta; cuando se terminaba de analizar una pregunta se
procedía a revisar el think aloud para confirmar si se presentaban los mismos razonamientos y
buscar mayor evidencia que permitiera corroborar la interpretación que se estaba haciendo.
Para terminar el análisis se utilizaron las entrevistas; estas dieron información sobre la
percepción general de los estudiantes sobre el cuestionario y dio indicios sobre las posibles
causas de las dificultades detectadas y estrategias de solución para superarlas.
37
Resultados y discusión
Teniendo en cuenta los objetivos de esta investigación, en este trabajo se decidió hacer el
análisis de los resultados a la luz de tres categorías en particular: (1) conexiones entre el
concepto de velocidad y pendiente, (2) interpretación de la forma de la gráfica como la
trayectoria del objeto y (3) conexiones entre dos tipos de gráfica. A continuación se presentan los
resultados y el análisis en cada categoría.
1. Conexión entre el concepto de velocidad y pendiente
Para indagar si los estudiantes hacen conexiones entre el concepto matemático de
pendiente y el concepto físico de velocidad, se plantearon tres situaciones distintas en el
cuestionario (figura 3). Todas las situaciones correspondían a gráficas de posición en función
del tiempo para un M.R.U y para solucionarlas el alumno debía comprender que la pendiente
(entendida como una característica de la gráfica en este trabajo) corresponde justamente a la
velocidad del objeto.
Figura 3. Situaciones planteadas en el cuestionario que permiten explorar la conexión entre el concepto de velocidad y pendiente y las estrategias utilizadas.
CONEXIÓN ENTRE EL CONCEPTO DE
VELOCIDAD
Y
PENDIENTE Problema en el cuestionario:
Situación No. 5
Estrategia empleada para la exploración:
A través de la comparación de dos movimientos en una
misma gráfica.
Problema en el cuestionario:
Situación 1
Estrategia empleada para la exploración:
A través de la comparación de dos movimientos en una
misma gráfica.
Problema en el cuestionario:
Situación 2
Estrategia empleada para la exploración:
A través del estudio de un movimiento en diferentes
intervalos de tiempo.
38
A continuación se describe detalladamente cada una de las situaciones y se presentan los
resultados obtenidos.
Situación No. 1.
La figura 1 muestra la posición con relación al tiempo para dos objetos A y B que se
están moviendo a lo largo de una recta horizontal.
a. ¿Los objetos A y B tienen en algún momento la
misma velocidad?_______
Si es así, ¿en qué momento la tienen? __
Explica tu respuesta:
b. En el instante de tiempo t=2s, la velocidad del
objeto A ¿es más grande, más pequeña o igual a la
velocidad del objeto B? _______
Justifica tu respuesta: ___________________
En esta situación hay que comparar los dos movimientos rectilíneos uniformes
representados en la gráfica. Para contestar los literales a y b se hace necesario reconocer que la
forma recta indica que la velocidad de ambos es constante y que las pendientes de las rectas
representan las velocidades de los objetos. Por ende, se puede afirmar que los objetos A y B
nunca tendrán la misma velocidad. Además, como A tiene mayor pendiente que B su velocidad
siempre será mayor.
Por lo anterior, y teniendo en cuenta que los estudiantes ya han estudiado los conceptos
de pendiente y velocidad, se esperaba que los alumnos escogieran la pendiente como la
39
característica de la gráfica que corresponde al concepto físico de velocidad; en otras palabras, se
esperaba que asociaran la pendiente con la velocidad. Sin embargo, esta no fue la asociación más
frecuente; además, surgieron explicaciones que aunque no eran el objeto de estudio de esta
investigación, se mencionan dada la importancia que tienen para la comprensión de la
problemática planteada.
El análisis de esta situación se inició con la separación de los cuestionarios en dos
grandes grupos: los que afirman que los dos objetos sí tienen la misma velocidad y los que
afirman que no. Los resultados se ilustran en la siguiente figura.
34
56
Respuestas a la pregunta ¿Los objetos A y B tienen en algún momento la misma velocidad?
Si No
Figura 4. Resultados a la parte a de la situación No.1.
Luego, se subdividió el grupo que contestó que los objetos sí tienen la misma velocidad
en seis grupos teniendo en cuenta cuál fue su respuesta a la pregunta ¿en qué momento la
tienen?: a los 3 segundos, a los 30 cm, a los 30,3 segundos, en todo momento, al inicio o no
justificaron. El resultado de esta clasificación se muestra en la figura 5.
40
Figura 5. Momentos en los que se consideran que A y B tienen la misma velocidad.
Al analizar detalladamente las justificaciones dadas por los estudiantes, en los
cuestionarios, se observa que quienes contestan en 30,3; en 3s y en 30cm están haciendo
referencia al punto en el que se interceptan las dos líneas, como se señala en algunos
cuestionarios:
“En 3s, pues tienen la misma velocidad porque se cruzan y salen al mismo tiempo”
(Estudiante 76, 2014).
“En 3 porque es cuando se encuentran” (Estudiante 70, 2014).
“A y B tienen la misma velocidad en 30 porque en la gráfica se puede ver cuando se cruzan”
(Estudiante 41, 2014).
Clasificación de la respuesta si, según el momento en donde se considera que los objetos A y B tienen la misma velocidad
3 seg. 30,3 seg 30 cm en todo momento al inicio en blanco
41
“Porque en 30 cm las dos líneas se cruzan de la misma velocidad que llevan” (Estudiante 68,
2014).
En consecuencia, se puede inferir que los estudiantes están asociando el intercepto con la
idea de que los dos objetos tienen la misma velocidad pero que algunos estudiantes toman en
cuenta la lectura del eje Y y otros del eje X.
Aplicando la técnica de pensamiento en voz alta, se encontraron respuestas que respaldan
las mismas interpretaciones encontradas en los cuestionarios. Por ejemplo: “Si tienen la misma
velocidad en algún momento, porque es donde se cruzan las líneas” (Estudiante 89, 2014).
“…Umm… a los… 30 ¿acá está en centímetros? sí, 30 centímetros y 3 metros por lo que se
encuentran” (Estudiante 89, 2014).
Es importante mencionar, que detrás de algunas de las respuestas que dan los alumnos se
ponen en evidencia diferentes fallas conceptuales (tanto en física como en matemáticas) y
procedimentales, que seguramente están relacionadas con los errores evidenciados. Para
comprender mejor la problemática presentada se muestran a continuación. Por ejemplo:
En lugar de tomar el cambio de posición se toma únicamente la posición final: “…al observar
la gráfica los objetos A y B tardan 3s para recorrer 30cm” (Estudiante 18, 2014). En este
caso se infiere que el estudiante simplemente hizo la lectura de la pareja ordenada
correspondiente al intercepto pero que no reconoce que en 3s el objeto B solo recorrió 10cm;
es decir, el estudiante tiene una falla conceptual en el concepto físico de velocidad porque en
lugar de utilizar el cambio de posición o desplazamiento toma la posición final que para el
caso es el valor de la ordenada en el intercepto.
Leer inapropiadamente la información que aparece en los ejes coordenados o no saber
interpretar las variables y unidades en los ejes: “Los dos objetos llevan la misma velocidad
42
cuando van a 30cm/s” (Estudiante 72, 2014). En este caso parece que el estudiante asume
que en el eje vertical se ubicó o etiquetó con la velocidad o simplemente une las unidades de
los dos ejes coordenados.
Tener igual velocidad es equivalente a tener la misma posición: “para que estén en la misma
velocidad tienen que tener la misma posición” (Estudiante 60, 2014). Al parecer este es el
razonamiento de todos los que responden sí.
Se confunde el concepto de velocidad con el de aceleración: “v=x.t Aunque A, acelera más a
los 3s tienen la misma velocidad” (Estudiante 17, 2014).
Interpretación de la gráfica como un dibujo o representación de lo que está sucediendo, es
decir como la trayectoria de los objetos: “esto es debido a que lo que nos muestra la gráfica
es la unión de los dos objetos en cierto instante el cual es 30cm/s” (Estudiante 63, 2014). ;
aunque desde el punto de vista de x los dos objetos tienen la misma posición en t=3s.
No se puede deducir la información solicitada, porque no es explícita en la gráfica: “… en
ningún momento se habla de velocidad solo de posición-tiempo” (Estudiante 87, 2014).
Resumiendo los resultados, para el literal a, se encontró que el 62,22% de los estudiantes
considera que los objetos A y B sí tienen en algún momento la misma velocidad. De ese 62,22%,
la mayoría (el 91%) hace referencia al punto en que las rectas se interceptan, por lo que se infiere
que los estudiantes interpretan el intercepto como igual velocidad.
En general, se puede inferir desde el punto de vista físico que los estudiantes consideran
que si dos objetos ocupan la misma posición es porque tienen la misma velocidad; desde el punto
de vista matemático y de acuerdo con McDermott et al. (1981), se puede inferir que los
estudiantes están escogiendo la altura, en lugar de la pendiente. También se infiere que los
alumnos no interpretan la gráfica de posición en función del tiempo como la relación entre estas
43
dos magnitudes físicas sino como la trayectoria del objeto, lo cual será analizado con mayor
profundidad cuando se discuta la segunda categoría.
Beichner (como se citó en Planinic et al, 2012) en un estudio sobre las dificultades de los
estudiantes con gráficas señala que los errores más comunes en la interpretación de gráficas de la
cinemática son pensar que una gráfica es un dibujo de la situación y confundir el significado de
la pendiente con el de la altura de un punto sobre la línea. Además reporta que los estudiantes
son incapaces de elegir cual es la característica de la gráfica que representa la información
necesaria para responder las preguntas planteadas. Con base en las respuestas y justificaciones
de los participantes en esta investigación, se puede se puede afirmar que esta población se
presentan estas mismas dificultades.
De otra parte, en el grupo que afirma que los objetos A y B no tienen la misma velocidad,
presentan explicaciones en los cuestionarios como: “El objeto A partió desde el origen a una
velocidad de 10cm/s y se mantiene constante. En cambio B partió 20cm después del origen a una
velocidad constante de 3,33cm/s” (Estudiante 13, 2014).; “Porque el objeto A está desplazándose
10cm por segundo, mientras que el objeto B viaja 10 por 3 segundos” (Estudiante 10, 2014).
En estas justificaciones se pone en evidencia que los estudiantes acuden al concepto de
velocidad pero no hacen la conexión explícita con la pendiente. Sin embargo, en 5 de los 34
cuestionarios se observa una conexión un poco más evidente: “Parten de una posición diferente y
con diferente ángulo” (Estudiante 29, 2014).; “Porque tienen diferente ángulo” (Estudiante 45,
2014).; “No porque la inclinación va a hacer que la velocidad no varíe” (Estudiante 46, 2014).;
“Por la inclinación de las rectas vemos que A recorre una distancia mayor que B en el mismo
tiempo” (Estudiante 57, 2014).
44
A partir de estas explicaciones se podría decir que el estudiante tiene una idea de que la
pendiente de la recta corresponde a la velocidad del objeto, sin embargo pone en evidencia un
error reportado por Planinic et al.(2012) y es que los alumnos identifican pendiente con el ángulo
entre la línea recta y el eje x.
En el thinking aloud se reportan las siguientes explicaciones (en una de ellas es
totalmente explícita la conexión entre pendiente y velocidad):
“Por la inclinación de las rectas vemos que A recorre una distancia mayor
que B en el mismo tiempo. Pues lo que yo manejo en mi interpretación es que entre
más cerca esté la recta de la función posición tiempo al eje y mayor distancia
recorren en menor tiempo, pues aquí vimos que el punto A tiene una inclinación
más cerca del eje y que el objeto B” (Estudiante 32, 2014)
“Por la pendiente de la recta, eh…se puede determinar fácilmente si tienen o no
una velocidad igual, porque, pues… la … la velocidad es posición sobre tiempo que es lo
mismo que medir la pendiente de la recta. Eh… para que la velocidad sea igual tendría
que estar las rectas en modo paralelo, que indicaría que se mueven la misma cantidad de
distancia en el mismo determinado tiempo” (Estudiante 7, 2014).
De estas justificaciones se puede inferir que los estudiantes tienen claro el concepto de
velocidad (lo que implica a su vez, que relacionan correctamente posición y tiempo). Sin
embargo, también ponen en evidencia que la intersección de las rectas es interpretada como que
los objetos se encuentran.
En el literal b de esta situación se preguntó: En el instante de tiempo t=2s, la velocidad
del objeto A ¿es más grande, más pequeña o igual a la velocidad del objeto B? Las respuestas a
esta pregunta se muestran en la figura 6.
45
Figura 6. Respuestas al literal b de la situación No. 1.
Aquí, se encontró que la mayoría de los estudiantes contestó correctamente y de acuerdo
con las explicaciones se puede afirmar que apoyan sus respuestas en las siguientes asociaciones
y conceptos:
a. El Concepto de velocidad: “Por segundo A recorre 10 cm (aprox) y B recorre 5 cm aprox”
(Estudiante 32, 2014).; “El objeto A lleva una mayor velocidad, ya que se recorre más distancia
en el mismo tiempo que B” (Estudiante 30, 2014).; “Pues ambos llevan una velocidad constante
A=10cm/s y B=3.33cm/s” (Estudiante 13, 2014).; “El objeto A lleva más velocidad ya que
cuando van 2s el objeto A recorrió 20 cm y el objeto B recorrió aproximados 6 cm” (Estudiante
86, 2014).
En estas justificaciones se pone en evidencia que los estudiantes acuden al concepto de
velocidad e incluso calculan su magnitud, lo que implica, que tienen en cuenta el desplazamiento
y el tiempo transcurrido y los relacionan de forma correcta. En el think aloud de algunos
estudiantes, también se observa que acuden a este concepto y además tienen claro que al ser
líneas rectas la velocidad es la misma en cualquier punto: “Más grande, respondí yo, porque es
un movimiento uniforme y el objeto A siempre lleva la mayor velocidad que el B por lo expuesto
49 25
12 2 2
Respuestas a la pregunta: La velocidad del objeto A ¿es más grande, más pequeña o igual a la del objeto B?
más grande
más pequeña
igual
no responde
no se sabe
46
en el punto anterior, lo que dice es que la velocidad de los dos móviles es siempre la misma y por
lo tanto durante todo el movimiento la velocidad de A es mayor a la de B”.
b. La longitud de las rectas: “Porque se ve que la línea A coge hacia arriba y es más larga que la
B”, “¿En qué parte de la gráfica te fijas para hacer esta afirmación? en el tamaño, ¿El tamaño
de…? de A y B, el tamaño de A va de 0 a 50 y el de B de 20 a 35” (think aloud) (Estudiante 89,
2014).
A partir de estas explicaciones se puede inferir que la comparación entre la longitud de
las rectas es la característica de la gráfica que les permite determinar cuál de los objetos tiene
mayor velocidad; como a simple vista se ve que la longitud de A es mayor entonces es A quien
tiene mayor velocidad, aunque, los estudiantes podrían estar haciendo implícitamente una
relación con el tiempo, es decir, que podrían estar pensando en que A llegó más lejos que B en el
mismo tiempo.
c. La inclinación de las rectas: “Porque parte a un ángulo de 45° por tanto su velocidad es
mayor” (Estudiante 45, 2014).; “La velocidad del objeto A es mayor porque su transcurso es mas
vertical que la de B iniciando por su posición” (Estudiante 39, 2014).; “Porque el objeto A tiene
más grados de inclinación y su fuerza y velocidad aumentan” (Estudiante 47, 2014). En estas
explicaciones se hace mención a la inclinación de las rectas como característica que permite
decidir quién tiene mayor velocidad, sin embargo no hay una conexión explícita entre el
concepto de velocidad y el de pendiente.
d. El punto inicial y final de las rectas: “Es más grande ya que parte desde un punto más lejos
que el de el objeto B” (Estudiante 28, 2014); “Es mayor ya que el objeto A parte de 0cm, en
cambio el objeto B parte de 20cm y esto hace que el tenga mayor velocidad” (Estudiante 65,
2014); “Porque el objeto llega a una mayor altura” (Estudiante 75, 2014).
47
Con base en las anteriores justificaciones se puede afirmar que aunque estos estudiantes
contestaron correctamente no se observa una asociación explícita entre el concepto de velocidad
y pendiente y que acuden a características de la gráfica distintas a la de la pendiente de las rectas.
Quienes consideran que la velocidad del objeto A es menor que la velocidad del objeto B
presentan explicaciones en las que se evidencia que los estudiantes se concentran en:
a. La posición de las rectas: “Porque según el plano cartesiano el objeto A pasa por el 20
mientras que el objeto B pasa un poco más arriba” (Estudiante 75, 2014); “Ya que se ve que en el
segundo 2 está por debajo de la velocidad de B” (Estudiante 73, 2014); “Porque A tiene menos
distancia o posición que B y por eso tiene mayor velocidad B” (Estudiante 1, 2014); “Ya que el
objeto A se encuentra a 20 cm mientras que el objeto B va a más de 25cm” (Estudiante 42,
2014); “Porque tiene una mayor posición” (Estudiante 63, 2014).
Estas explicaciones coinciden con lo reportado en McDermott, Rosenquist y van Zee
(1986) en donde se señala que los estudiantes en lugar de utilizar la diferencia entre pendientes
para decidir que objeto tiene mayor velocidad, utilizan la diferencia de alturas, es decir, no
reconocen que la velocidad no puede ser extraída de la altura de las rectas.
b. Cálculos de velocidad: “Se puede observar esto gracias a que B está más adelante que A y
según la ecuación su velocidad es de 12,5cm/s en ese momento, y la de A es 10cm/s” (Estudiante
64, 2014). En este caso, el alumno acude a la relación matemática y, aunque la magnitud de la
velocidad de A es correcta se evidencia por la de B que en lugar de utilizar el valor del
desplazamiento está utilizando la posición final lo que hace que obtenga una información
equivocada.
c. Lectura de la ordenada como la magnitud de la velocidad: “En el t=2s el objeto A lleva una
velocidad de 20cm/s y en B 27cm/s” (Estudiante 72, 2014); “Porque a los 2s de tiempo el objeto
48
A va con una velocidad de 2s y 20 cm y el objeto B va con 2s y 25cm” (Estudiante 43, 2014).;
“Porque el tiempo 2s, el objeto A lleva una velocidad de 20cm y el objeto B lleva más de 20 cm”
(Estudiante 61, 2014). Una lectura inapropiada de la variable ubicada en el eje vertical se hace
evidente en estas justificaciones, lo que podría permitir inferir que hay una confusión entre el
concepto de posición y velocidad o que el estudiante asume que si un objeto tiene una mayor
posición implica que tiene mayor velocidad.
Es importante mencionar que se infiere que la gráfica puede ser leída “de derecha a
izquierda”, es decir, se puede leer desde el punto final de la recta hasta el punto inicial, según la
siguiente explicación: “La velocidad de A es más pequeña porque fue lanzada a mas altura y B
fue lanzado más recta por esa razón es más pequeña la velocidad de A” (Estudiante 15, 2014).
Esta justificación pone nuevamente en evidencia que la gráfica se interpreta como si mostrara la
trayectoria del objeto y no como la relación entre dos magnitudes.
Dentro de las explicaciones de quienes dicen que A y B tienen igual velocidad, se
encuentran las siguientes explicaciones: “Porque se puede ver en la gráfica que las dos
velocidades ocupan 3 cuadros” (Estudiante 82, 2014); “Son iguales ya que el plano nos muestra
que A y B tienen unas mismas, uno está más arriba pero no lo supera a B ya que cada uno tiene 5
cuadros” (Estudiante 33, 2014). Estas justificaciones llaman la atención porque permiten inferir
que se está acudiendo al área bajo la curva para obtener la información que se necesita, lo que
permite pensar que el área bajo la curva ha sido objeto de estudio pero que no ha quedado claro
en qué gráficas se utiliza ni cuál es la información que ofrece.
Quienes dicen que no se sabe, ponen en evidencia que si la información pedida no es
explícita en la gráfica entonces no está, como se refleja en la siguiente justificación: “No se sabe
ya que no dicen a qué velocidad va cada objeto” (Estudiante 41, 2014). Aquí, es claro que se
49
desconoce que la velocidad si puede ser obtenida a partir de la información que hay en la gráfica
aunque no sea explícita en ella.
En la aplicación del think aloud se encontraron respuestas similares que corroboran las
asociaciones mencionadas anteriormente, además, ponen en evidencia fallas en conceptos físicos
como:
a. No se hace distinción entre distancia recorrida y posición final: “El objeto A ha recorrido 20 y
B en los dos segundos ha recorrido 25… 27” (Estudiante 89, 2014).
b. Se hace referencia a la posición y a la velocidad como si fueran el mismo concepto: “Porque el
tiempo 2s, el objeto A lleva una velocidad de 20cm y el objeto B lleva más de 20 cm”
(Estudiante 88, 2014).
En general, a través de las diferentes respuestas y justificaciones dadas por los estudiantes
se hace evidente que la información de la velocidad no se obtiene de la pendiente de la recta sino
de otras características de la gráfica como la longitud de las rectas, la ordenada del punto final de
cada recta o el concepto mismo velocidad y solo el 6,12% hace una asociación relativamente
explícita entre pendiente y velocidad.
Situación No.2
Esta situación también explora las características de la gráfica que usan los estudiantes
para obtener la velocidad y a diferencia de la primera, corresponde al movimiento de un solo
objeto. A continuación se presenta el enunciado.
La siguiente figura representa la posición con relación al tiempo, para un carro que se
mueve sobre una carretera recta.
50
a. ¿En qué intervalo de tiempo la velocidad fue
mayor? _____
A. Entre t=0s y t=1s
B. Entre t=1s y t=3s
C. Entre t=3s y t=6s
D. Otro ____________
En esta situación hay que reconocer que la pendiente de la línea representa la velocidad y
para dar respuesta a la pregunta se hace necesario comparar las pendientes de las líneas en cada
intervalo. En consecuencia, el intervalo de tiempo en el que la velocidad fue mayor es (0s,1s).
A la respuesta planteada, los estudiantes contestaron como se muestra en la figura 7.
Figura 7. Respuestas a la pregunta de la situación No.2.
Como se indica en la figura 7, más del 50% considera que el intervalo de tiempo en el
que la velocidad fue mayor es entre t=3s y t=6s. Teniendo en cuenta, como lo señalan Flores,
Bello y Millán (2002), que este intervalo corresponde a la ordenada de mayor longitud, se puede
27
6 53
2 2
Respuestas a la pregunta ¿en qué intervalo de tiempo la velocidad fue mayor?
Entre t=0s y t=1s
Entre t=1s y t=3s
Entre t=3s y t=6s
Otro
No responde
51
pensar en dos interpretaciones o asociaciones subyacentes en los estudiantes que eligieron esta
opción: interpretar la condición “mayor velocidad” como la representación gráfica de la
“ordenada de mayor altura” o asociar la condición “mayor velocidad” con el segmento de
“mayor longitud”.
De acuerdo con las explicaciones de los estudiantes en los cuestionarios y en los think
aloud se ponen en evidencia tres interpretaciones o asociaciones, de las cuales dos coinciden con
las mencionadas anteriormente.
a. La ordenada de mayor altura: “Porque fue elevando su posición”(Estudiante 36, 2014).;
“Porque fue en este tiempo donde más se elevo” (Estudiante 69, 2014).; “Ya que c, es mayor a
las otras y la gráfica nos muestra claramente una alta elevación de la línea” (Estudiante 33,
2014).; “Escogí la c porque la velocidad aumentó a 20” (Estudiante 41, 2014).; “En el intervalo 3
al 6 empezó a acelerar hasta alcanzar la velocidad de 20/s y fue la que mejor logro”(Estudiante
58).; “entre el segundo 3 y 6…, eh porque pasa de los 10 metros a los 20 metros” (Estudiante 88,
2014) (think aloud).
Estas explicaciones además de presentar argumentos inapropiados, permiten inferir que
hay una falta de atención a la lectura de los ejes coordenados o que a la posición y la velocidad
se les da el mismo significado.
b. La longitud del segmento: “Es más largo el recorrido que se da en 3 segundos y 6 segundos
porque la velocidad en este tiempo aumenta más que los anteriores” (Estudiante 4, 2014).; “La
línea de t=1 a t=3 se mantuvo recta pero de t=3 a t=6 aumento” (Estudiante 37, 2014).
c. El tamaño del intervalo de tiempo: “Se observa que recorre más y al mismo tiempo su
velocidad es mayor” (Estudiante 67, 2014); “Estuvo más tiempo entre la posición 10 y la
posición 20” (Estudiante 2, 2014); “Porque es acendente de 3 segundos a 6 segundos”
52
(Estudiante 3, 2014).; “Porque dura entre t=3s y t=6s osea en total dura 3 segundo es mas rapida
la velocidad” (Estudiante 35, 2014).
A partir de estas explicaciones se puede afirmar que los estudiantes dan prioridad al
tamaño del intervalo; lo que implicaría, desde el punto de vista físico, que se está entendiendo
que entre más tiempo esté el objeto en movimiento mayor será su velocidad.
Además se evidencian errores en el concepto de inclinación, como se evidencia en la
siguiente explicación: “Se ve que el carro aumenta su velocidad porque en ese lapso de tiempo se
mueve mas rapido y con una mayor inclinacion que los otros lectura de los ejes ordenados”
(Estudiante 28, 2014).
Quienes contestan entre t=0s y t=1s, que es el intervalo de mayor pendiente presentan
argumentos basados en:
a. El concepto de velocidad: “Fue mayor la velocidad en este intervalo ya que en 1s recorrió 20
metros” (Estudiante 86, 2014).; “Porque en la opción A se mueve la misma distancia que en la
opción C pero en menos tiempo y en la opción B el carro permanece quieto” (Estudiante 25,
2014).; “Porque en un segundo recorre 20 metros” (Estudiante 53, 2014).; “Porque recorre una
mayor distancia en menos tiempo” (Estudiante 63, 2014).; “Pues en el primer momento avansa
20m en un segundo (20m/s) en el segundo momento se detuvo (1s y 3s) y finalmente en el tercer
momento (3s y 6s) recorrió 10m en 3seg por lo tanto iba a (3.33m/s)” (Estudiante 13, 2014).;
“Porque en un segundo aprox se movio 20m” (Estudiante 32, 2014).; en estas explicaciones se
evidencia claridad en los conceptos de desplazamiento y distancia recorrida, y una conexión
entre la velocidad y la inclinación de la recta.
b. La inclinación de las rectas: “Porque pasa de -10 a 10 en un segundo, es decir, recorre 20m en
total, esto además se evidencia en el ángulo” (Estudiante 27, 2014); “Porque la recta está más
53
cerca de la vertical respecto a su inclinación, esto quiere decir que en este intervalo se recorrió
más distancia en el menor tiempo” (Estudiante 57, 2014). En estas justificaciones, aunque no se
haga una referencia explícita a la pendiente se puede afirmar que los estudiantes están asociando
este concepto con el de velocidad.
Sin embargo, hay que mencionar que hubo estudiantes que escogieron este intervalo pero
apoyaron sus respuestas en argumentos incorrectos poniendo en evidencia errores en la
interpretación de gráficas como considerar que la gráfica representa la trayectoria del objeto; esto
se evidencia, por ejemplo, en la siguiente explicación: “En el que el t=0s y t=1s fue más
velocidad en el que le permite andar en recta en cambio la otra se dirige en una subida, recta,
subida y le hace perder la velocidad” (Estudiante 62, 2014).
Otras justificaciones muestran confusiones entre el concepto de velocidad y aceleración y
dificultades cuando la posición es negativa: “Porque podemos ver que desde la posición -10m y
10m a una aceleración bastante pronunciada. Tiempo que el carro recorre 20m en un segundo.
Aunque en teoría recorre 10m de acuerdo con la gráfica” (Estudiante 10, 2014).
Quienes contestan entre t=1s y t=3s pueden estar interpretando, según Flores, Bello y
Millán (2002), que el carro debe desplazarse con mayor velocidad porque está en una carretera
sin subidas ni bajadas. Las explicaciones reportadas muestran que es justamente esta la
interpretación subyacente en las respuestas: “Porque cuando están en línea recta puede estar en
mas velocidad” (Estudiante 38, 2014).; “Porque su movimiento va a ser más velos por que esta
en linea recta pero cuando va subiendo a una loma su velocidad es menor” (Estudiante 48,
2014).; “Porque iba en posición rectilínea mientras que en los otros al tomar una curva u otra
pierde velocidad para el buen uso de la carretera” (Estudiante 51, 2014).; Ya que el carro llego a
una recta t=1s t=3s el carro coge una mayor velocidad” (Estudiante 83, 2014).
54
En otras palabras, se puede inferir que un segmento con pendiente nula se interpreta
como que la carretera es plana; lo que implica, que se está interpretando la gráfica como una
representación de la trayectoria del objeto y que la pendiente no es asociada al concepto de
velocidad.
Los dos estudiantes que contestaron “otro” explican: “de 0.5s a 1s, pues hay acelera más,
al recorrer más distancia en menos tiempo” (Estudiante 17, 2014).; “De -10 a 10. Porque es
donde en ese punto incrementa la velocidad” (Estudiante 15, 2014). De estas justificaciones se
puede inferir que los estudiantes se están refiriendo al intervalo (0s-1s) lo que implica que se dan
cuenta que en este intervalo la velocidad del objeto es mayor, pero, a partir de la primera
justificación se puede inferir que hay un tipo de dificultad con el hecho de que la recta inicie en
un cuadrante negativo, lo podría estar asociado a que no se concibe que durante el movimiento
de un objeto puedan haber variables negativas lo que implica que hay dificultad con las
cantidades vectoriales. En la segunda explicación se puede inferir que por alguna se privilegia el
eje vertical pero es claro el concepto de velocidad.
En general, se puede afirmar que la asociación entre el concepto de pendiente y el de
velocidad se evidencia de forma implícita en menos del 30% de los estudiantes, que son quienes
eligieron el intervalo de tiempo (0s-1s) y de forma explícita, esta asociación se encuentra en sólo
el 1,1%, es decir, un solo estudiante, quien se destaca por haber determinado la magnitud de la
velocidad, lo que le permite hacer una comparación más precisa y validar su respuesta, como se
deja ver en el siguiente apartado del cuestionario (ilustración 1).
55
Ilustración 1. Sección del cuestionario No. 7
Situación No.5
Como se mencionó inicialmente, esta situación explora las características de la gráfica
que los estudiantes utilizan para determinar la velocidad de los objetos. Al igual que en la
primera situación, hay que comparar los dos movimientos rectilíneos uniformes representados en
la gráfica. Para contestar los literales a y b se hace necesario reconocer que: a) las pendientes de
las rectas representan las velocidades de los objetos, b) que las dos rectas, por ser paralelas,
tienen las mismas pendientes, c) al ser líneas rectas la velocidad siempre será la misma. Por
ende, se puede afirmar que los objetos A y B siempre tendrán la misma velocidad, es decir,
ningún objeto se mueve con mayor velocidad. Sin embargo, como se mostrará más adelante,
emergieron diferentes respuestas y variados argumentos.
A continuación se muestra el enunciado y los resultados obtenidos para esta situación:
56
La gráfica muestra la posición en relación al tiempo para dos objetos A y B, que se desplazan
sobre una recta horizontal.
Con base en la gráfica contesta:
a. ¿Cuál objeto se mueve con mayor velocidad?
Justifica tu respuesta:
b. ¿En qué momento la velocidad de A y B son
iguales? ____________
Explica tu respuesta:
A la pregunta planteada en el literal a, los estudiantes contestan como se indica en la figura 8.
Figura 8. Respuestas a la pregunta de la situación No.2.
De acuerdo con los resultados mostrados en la figura 8, se puede afirmar que el 55,5% de
los estudiantes contestó que ninguno de los dos objetos se mueve con mayor velocidad que otro;
es decir, los alumnos contestaron que los dos objetos se mueven con la misma velocidad. Sin
embargo, las explicaciones reportadas se apoyan en conceptos físicos o en variadas
características de la gráfica como se explica a continuación:
20
17 50
2 1
Respuestas a la pregunta ¿cuál objeto se mueve con mayor velocidad?
A
B
ninguno
AyB
no contesta
57
a. El concepto de velocidad: “Demoran en recorrer la misma distancia en el mismo tiempo”
(Estudiante 34, 2014).; “ya que cada objeto parte desde diferentes puntos pero tardan el mismo
tiempo para recorrer la misma distancia. Ambos objetos llevan una velocidad constante”
(Estudiante 18, 2014).; “ninguno, ya que los objetos recorren lo mismo y con el mismo intervalo
de tiempo” (Estudiante 67, 2014); “por que tienen el mismo tiempo y la misma distancia”
(Estudiante 60, 2014); “la grafica muestra que ambos recorren 10 m en 1 s” (Estudiante 57,
2014). Estas justificaciones ponen en evidencia que los estudiantes están atentos a las dos
magnitudes físicas (desplazamiento y tiempo transcurrido) y las relacionan de forma correcta, lo
que les permite reconocer que los dos objetos tienen la misma velocidad.
b. La característica de que las dos rectas son paralelas entre sí: “Las lineas son paralelas”;
(Estudiante 71, 2014).; “ambos se mueven a 10 km /h, pues llevan una velocidad constante y
podemos observar que las velocidades son iguales pues estas dos lineas son paralelas”
(Estudiante 13, 2014); “por que los dos son perpendiculares y avanzan con igual velocidad pero
en diferentes tiempos” (Estudiante 11, 2014). Aunque en la última explicación el estudiante
escribió perpendicular en lugar de paralelo, se puede inferir que los estudiantes acuden al hecho
de que las rectas son paralelas y que esa característica garantiza que las velocidades son iguales.
Sin embargo, es evidente que no hacen una conexión explícita entre la pendiente y la velocidad.
c. La relación entre pendiente y velocidad: “son rectas paralelas, por lo que mantienen pendiente
igual y por lo tanto la misma velocidad” (Estudiante 7, 2014). Aquí hay, por ejemplo, si hay una
conexión explícita entre velocidad y pendiente pero no es la explicación más recurrente dentro
del grupo de respuestas.
d. La altura de la ordenada: “los dos llegan a la misma velocidad en que 6 km /h” (Estudiante 72,
2014).; “porque ambas tienen la misma distancia” (Estudiante 34, 2014).; aunque ambos objetos
58
recorrieron la misma distancia, en la explicación no se hace mención al tiempo transcurrido, lo
que permite inferir que se está privilegiando el valor de la ordenada y no se establece una
relación entre las dos magnitudes que intervienen en la velocidad: desplazamiento y tiempo
transcurrido. En otras palabras, los estudiantes continúan apoyando sus respuestas en la altura de
la ordenada, tal y como lo reporta Flores, Bello y Millán (2002). Esto podría interpretarse, desde
el punto de vista físico, como que los estudiantes consideran que si dos objetos tienen la misma
posición entonces tienen la misma velocidad; como se puso en evidencia en la primera situación.
Otras explicaciones permiten inferir que la gráfica se interpreta como la representación de
la trayectoria: “porque están o han sido lanzados al mismo tiempo” (Estudiante 15, 2014). En
este caso, la gráfica se lee “del final hacia atrás”, es decir, desde el extremo superior de la recta
hasta el punto inicial, además se infiere que los estudiantes interpretan las rectas como el camino
recorrido por los objetos y no como una representación científica en donde se están relacionando
dos variables.
Quienes contestan que A tiene mayor velocidad ponen en evidencia a través de sus
justificaciones la aplicación de algunos conceptos físicos y la utilización de algunas
características de la gráfica:
a. Concepto de velocidad:
“el objeto A va a mayor velocidad por que recorre la misma distancia que B pero en menos
tiempo” (Estudiante 1, 2014). En este caso, se evidencia en los cálculos realizados por el
estudiante (ilustración 2)
Ilustración 2. cálculos realizados en el cuestionario No.1 para la situación No.5
59
que en lugar de tomar el tiempo transcurrido (o un delta de t) toma el tiempo final, es decir, se
lee rápidamente el último valor de la ordenada, lo que permite inferir que no se tiene claro el
concepto de velocidad y que el símbolo “delta” aunque está en el registro del estudiante, no es
debidamente interpretado.
Allí, también se deja ver como se aplica la definición de velocidad y se hace uso de la
relación matemática correspondiente a la velocidad pero al existir fallas conceptuales en física y
en matemáticas se llega a una respuesta equivocada.
b. La posición “adelantada” de la recta A con respecto a la recta B: “porque sale desde un punto
SECRETARIA DE EDUCACION DISTRITAL COLEGIO INSTITUTO TÉCNICO INDUSTRIAL PILOTO I. E. D.
“Formación Humana y Técnica Industrial Sostenible”.
CUESTIONARIO SOBRE INTERPRETACIÓN DE GRÁFICAS
Objetivo de la prueba:
Esta prueba busca indagar sobre la manera en que los estudiantes interpretan algunas gráficas de
posición en función del tiempo para un Movimiento Rectilíneo Uniforme.
Descripción general del cuestionario:
El cuestionario consta de cinco situaciones, cada una de ellas tiene una gráfica y un texto corto que
sirven como referente para dar una respuesta y una justificación a la pregunta planteada. Las
situaciones son independientes entre sí.
Recomendaciones:
Observa detenidamente las gráficas y lee cuidadosamente las preguntas antes de contestar.
Escribe tus explicaciones de forma más detallada posible.
Al final del cuestionario encontrarás algunas fórmulas que puedes utilizar si lo consideras necesario. Es decir, el uso de estas ecuaciones no es obligatorio.
Si vas a realizar algún calculo u operación hazlo al lado de la gráfica o al respaldo de la hoja.
CUESTIONARIO SOBRE INTERPRETACIÓN DE GRÁFICAS
Situación No.1.
La figura 1 muestra la posición con relación al tiempo para dos objetos A y B que se están
moviendo a lo largo de una recta horizontal.
91
e. ¿Los objetos A y B tienen en algún momento la misma velocidad?_______