Placa plana en estado estable 0 ; 0 x a y b (, ) T x y Para el caso de una placa plana con condiciones de frontera expresadas en el gráfico: x y z T T T T K K K q Cp x x y y z z t
7/24/2019 Conduccion Edo Estable 2d
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Placa plana en estado estable
0 ; 0 x a y b
( , )T x y
Para el caso de una placa plana con condiciones de frontera expresadas en el gráfico:
x y z
T T T T K K K q Cp
x x y y z z t
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Placa plana en estado estable
2 22
2 2 0; = 0T T
T x y
Proponiendo el método de solución de separación de variables:
Considerando:
•
Flujo de calor nulo en la dirección z (espesor << que a y b)• Sin generación interna de calor
• Régimen permanente
• Isotropia
T , =X Y ; x y x y
2 2
2 2
2 22
2 2
1
1
1
T T
XY XY
XY XY
XY x y
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Placa plana en estado estable
2 2
2
22
2 22
21 1 1
0;
1
Y
Y y
X Y X
X x Y y X x
2 2
2 2
2 2
2
( ) ( ) 0
0
1
( ) cos
D Y y
m
m
m i
Y y A y Bsen y
2
2
2
2 22
1=0
d Y Y
y
Y
dyY
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Placa plana en estado estable
22 2
2
2
2
1 X =0 X
X
d X
dx x
2 2
2 2
2 2
( ) ( ) 0
0
( ) 1 2 cosh senh x x
D X x
m
m
m
X x C e C e C x D x
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Placa plana en estado estable
cosh
cos
X C x Dsenh x
Y A y Bsen y
1 1
( , ) , , , ,m m n mn m n
m m
T x y C X X Y Y C X X Y Y
( , ) cos coshT x y A y Bsen y C x Dsenh x
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Placa plana en estado estable
Condiciones de frontera:
( ,0) cos 0 0 cosh 0
0
T x A Bsen C x Dsenh x
A
c( h, s) oT x y Bsen y C x Dsenh x
( , ) cos coshT x y A y Bsen y C x Dsenh x
1 ( ,0) 02 ( , ) 0
3 (0, ) 0
4 ( , ) 1 0
0
CF T xCF T x b
CF T y
CF T a y
Aplicando CF1:
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Placa plana en estado estable
Aplicando CF 2:
b
nn
b
2 ( , ) 0CF T x b
cosh (, ) )( Bsen b C x Dsenh x Bsen bX T x xb
( , ) ( ) 0T x b Bsen bX x 0 sen b
1
( )( , )n
Bn sen ny x X T x y
B Bn
c( h, s) oT x y Bsen y C x Dsenh x
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Placa plana en estado estable
Aplicando CF3:
3 (0, ) 0CF T y
1
( , ) coshn
T x y Bn sen ny C nx Dsenh nx
1
1
( , ) cosh ( ) ( ) 0
0,
,
0 0
( )
0n
n
T y Bn sen ny C n Dsenh n
C Bn D An
An sen ny sen x y hT nx
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Placa plana en estado estable
2 ( , ) 100CF T a y
1
( , ) 100n
T a y sen ny senh na An
Aplicando CF4:
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Placa plana en estado estable
0
2
0
0
0
1
( , ) 100
Determinando
1
1 cos2 y
2
00
=b b
n
b b
T x b sen ny senh na
An
sen ny senh na dy dy
s
An
An
ny An sen ny d A
i m n
sen my s
senh n d
en
na se a
my
nh n y
= 2
b
senh A nan
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Placa plana en estado estable
0
100cos 1
100 cos 1
2
2
100
00 1 cos
b
nbn
b senh na nb
n
nb
nb sen
sen
An
An
h na
ny dy
1
( , )
n
An sen ny senh nxT x y
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Placa plana en estado estable Sí a = b = 10
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Placa plana en estado estable Sí a = b = 10
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Placa plana en estado estable Sí a = b = 10