CONCETTI FONDAMENTALI GEOMETRIA EUCLIDEA o RAZIONALE
CONCETTI FONDAMENTALI
GEOMETRIA EUCLIDEA o RAZIONALE
GEOMETRIA
Può essere Può essere
INTUITIVA RAZIONALE
Quella sviluppata dagli antichi Egizi
Quella sviluppata dagli antichi Greci (organizzata da
Euclide)
INTUITIVA
Si basa su
OSSERVAZIONI
PROVE
TENTATIVI
ESPERIENZE
RAZIONALE
Parte da
ENTI e CONCETTIPRIMITIVI
ASSIOMI o POSTULATI
Non definibili, ma descritti mediante
Concetti e enti primitivi
Concetti e enti che non si possono definire con idee più elementari
Assiomi o postulati
Affermazioni che esprimono delle proprietà evidenti, suggerite dalla nostra intuizione e dalla nostra esperienza. Sono proprietà che “supponiamo” essere vere e che pertanto non dimostriamo.
ENTI e CONCETTI PRIMITIVI
ASSIOMI o POSTULATI
ENTI GEOMETRICI NON PRIMITIVI
PROPRIETA’ dei NUOVI ENTI GEOMETRICI
(=TEOREMI)
Da cui si deducono
Mediante definizioni
Mediante dimostrazioni
DALLA GEOMETRIA INTUITIVA (degli antichi Egizi studiata nelle scuole elementari e medie)
ALLA GEOMETRIA RAZIONALE (degli antichi Greci studiata nelle scuole superiori)
Enti geometrici primitivi
Gli enti primitivi della geometria sono:
PUNTI
RETTE
PIANI
SPAZIO
Concetti primitivi
Tra i concetti primitivi della geometria vi sono ad esempio quelli di
MOVIMENTO RIGIDO: una figura può muoversi nel piano e nello spazio senza deformarsi;
APPARTENENZA: un ente geometrico fa parte di un altro
Gli assiomi scelti devono soddisfare le seguenti condizioni:
COMPATIBILITA’:
non devono contraddirsi l’uno con l’altro
INDIPENDENZA:
dalle proprietà affermate dell’uno non si devono poter dedurre le proprietà affermate dell’altro
Assiomi o Postulati
- Una retta contiene infiniti punti
Assiomi fondamentali
- Un piano contiene infiniti punti e infinite rette
- Lo spazio contiene infiniti punti, infinite rette, infiniti piani
Assiomi di appartenenza
- Per due punti distinti passa una ed una sola retta (= due punti distinti appartengono a una sola retta)
- Per tre punti non allineati passa uno e un solo piano (= tre punti non allineati appartengono a un solo piano)
- La retta passante per due punti distinti di un piano giace completamente sul piano
Assioma di ordinamento-La retta è un insieme di punti totalmente ordinato, tale che:
A B
- Se A precede B e B precede C, allora A precede C.
A B C
- Dati due punti A e B, o A precede B o B precede A.
Postulato di partizione del piano
Una retta r di un piano divide il piano in due parti non vuote tali che:
rA B
•Se i punti A e B appartengono alla stessa parte, allora il segmento AB è contenuto in questa parte
•Se i punti C e D appartengono a parti diverse, allora il segmento CD ha in comune con r un punto
rC
D
Enti geometrici non primitivi: definizioni
SEMIRETTA: ciascuna delle parti in cui una retta è divisa da un suo punto.
Il punto è detto: ORIGINE delle semirette
Due semirette si dicono OPPOSTE se:• hanno solo l’origine in comune• appartengono alla stessa retta
SEGMENTO: la parte di retta compresa tra due suoi punti
I punti A e B vengono detti gli estremi del segmento
A B
In una retta ci sono infiniti punti (lo dice l’assioma). E in un segmento?
Segmenti CONSECUTIVI: due segmenti che hanno in comune un estremo e nessun altro punto
Segmenti ADIACENTI: due segmenti che oltre ad essere consecutivi appartengono alla stessa retta
SEGMENTI PARTICOLARI
SEMIPIANO: ciascuna delle due parti in cui un piano è diviso da una sua retta, la retta è detta origine del semipiano
Due semipiani si dicono OPPOSTI se:• hanno solo l’origine in comune• appartengono allo stesso piano
Rette PARALLELE: rette complanari che non hanno nessun punto in comune
Rette SGHEMBE: rette non complanari che non hanno nessun punto in comune
Rette INCIDENTI: rette complanari che hanno un punto in comune
Postulato di Euclide
Per un punto esterno a una retta passa una e una sola retta parallela alla retta data
Fascio PROPRIO di rette: rette complanari passanti per uno stesso punto detto centro del fascio
Fascio IMPROPRIO di rette: rette complanari parallele ad una stessa retta
ANGOLO: ciascuna delle due parti in cui un piano viene diviso da due semirette aventi l’origine in comune
Angolo convessoAngolo concavo
Un angolo si dice CONCAVO se contiene i prolungamenti dei suoi lati
Un angolo si dice CONVESSO se non contiene i prolungamenti dei suoi lati
Angolo PIATTO: un lato è il prolungamento dell’altro ( 180° = π); non è né concavo né convesso
ANGOLI PARTICOLARI 1
Angolo RETTO: è la metà di un angolo piatto (90° = π/2); è convesso
equivale ad un semipiano
Angolo GIRO: i due lati sono sovrapposti (360° = 2π); è concavo.
ANGOLI PARTICOLARI 2
Angolo NULLO: i due lati sono sovrapposti (0°); è convesso.
equivale ad un piano
equivale ad una semiretta
Angoli CONSECUTIVI: due angoli aventi in comune il vertice, un lato e nessun altro punto
Angoli ADIACENTI: due angoli che oltre ad essere consecutivi hanno i due lati non comuni l’uno sul prolungamento dell’altro (o che appartengono alla stessa retta)
Angoli OPPOSTI AL VERTICE: se i lati dell’uno sono i prolungamenti dell’altro
SOMMA DI SEGMENTI
Dati due segmenti la loro somma è il segmento che si ottiene disponendoli uno adiacente all’altro
a b
a + b
a
bDati due segmenti se, sovrapponendo il primo segmento al secondo facendo coincidere un estremo, l’altro estremo è interno al secondo segmento allora il primo è minore del secondo; se è esterno è maggiore.
a < b
CONFRONTO DI SEGMENTI
SOMMA DI ANGOLI CONVESSI
Dati due angoli convessi la loro somma è l’angolo che si ottiene disponendoli uno consecutivo all’altro
Angolo ottuso
Un angolo si dice OTTUSO se è maggiore di un angolo retto ed è convesso (quindi è sempre minore di un angolo….
…piatto)
Angolo acuto
Un angolo si dice ACUTO se è minore di un angolo retto (quindi è sempre….
…convesso)
Due angoli la cui somma è un angolo piatto si dicono SUPPLEMENTARI
Due angoli la cui somma è un angolo retto si dicono COMPLEMENTARI
Due angoli la cui somma è un angolo giro si dicono ESPLEMENTARI
Poligonale o spezzata aperta (non intrecciata)
Insieme di più segmenti consecutivi
vertici
estremi
lato
Poligonale o spezzata chiusa (non intrecciata)
Poligonale aperta a cui si aggiunge un segmento che ne congiunge gli estremi
POLIGONO
Parte di piano delimitata da una poligonale chiusa non intrecciata
Poligono convesso: i prolungamenti di TUTTI i suoi lati sono esterni al poligono
Poligono concavo: il prolungamento di ALMENO UN lato lo divide in due parti
Angoli interni e esterni
Angoli esterni
Angoli interni
L’angolo interno e l’angolo esterno di ciascun vertice di un poligono sono supplementari
Figure convesse
Una figura si dice CONVESSA, se per ogni coppia di punti A e B appartenenti alla figura, il segmento AB è interamente contenuto nella figura
A
B
Figure concave
Una figura si dice CONCAVA, se esiste almeno una coppia di punti A e B appartenenti alla figura, tali che il segmento AB non sia interamente contenuto nella figura
A
B
CONGRUENZA
Due figure F1 e F2 si dicono congruenti quando è possibile sovrapporle con un movimento rigido in modo che coincidano punto per punto
F1 F2
21 FF
Proprietà della congruenza
RIFLESSIVA: una figura è congruente a se stessa, cioè F1F1
SIMMETRICA: se F1 è congruente a F2, allora anche F2 è congruente a F1,
cioè se F1 F2, allora F2 F1
TRANSITIVA: se F1 è congruente a F2, e F2 è congruente a F3 allora anche F1 è congruente a F3,
cioè se F1 F2 e F2 F3, allora F1 F3
Bisettrice di un angolo
Semiretta che divide un angolo in 2 angoli congruenti
Punto medio di un segmento
A BM
AMMB
Punto che divide il segmento in due segmenti congruenti
Asse di un segmento
A B
90°
M
AMMB
Retta perpendicolare al segmento passante per il suo punto medio
Distanza di un punto da una retta
Segmento di perpendicolare che unisce il punto alla retta, cioè il segmento PH
P
90°
H