Conceptos y ejercicios de razones y proporciones

Las razones y proporciones se aplican en

diversas áreas como arte, arquitectura,

cartografía, medicina, culinaria, entre otras.

Por ejemplo, en cartografía se utilizan las

razones para relacionar las dimensiones

reales con las dimensiones del plano o mapa

que las representa.

La razón entre dos cantidades a y b con b diferente de 0, es el

cociente indicado entre dichas cantidades. Se simboliza “a/b”

o “ab” y se lee “a es a b”.

Una razón puede presentar la relación entre

dos cantidades de una misma magnitud o la

relación entre dos cantidades de diferentes

magnitudes. En este último caso, la razón tiene

una unidad de medida.

En una razón a/b, a es el antecedente y b

es el consecuente.

Por ejemplo, si se establece la razón d/t

con t ≠ 0, donde d representa la

distancia recorrida por un móvil en un

tiempo t, entonces la unidad de medida

puede ser kilómetros por hora, metros

por segundo, entre otros.

1.Escribir la expresión 5 es a 18 como una

razón. Luego, identificar el consecuente.

La razón correspondiente se puede

escribir 5/18 o 5:18. En esta razón 5

es el antecedente y 18 el consecuente.

2.El ganador de la Copa Mundial de Fútbol de 2010

fue España, quien de 7 partidos jugados ganó 6 y

perdió 1.¿Cuál es la razón entre el número de

partidos ganados y el número de partidos jugados?

En este caso el antecedente es 6, que

corresponde al número de partidos ganados

y el consecuente es 7, que es el número de

partidos jugados, Por lo tanto, la razón es

6/7.

3. En una excursión hay tres campamentos: A, B, C. En el

campamento A hay 5 personas, en el campamento B hay 7

personas y en el C hay 8 personas ¿cuál es la razón entre la

cantidad total de personas y la cantidad de personas que hay

en los campamentos A y B?

Primero, Se tiene quela cantidad de personas que hay en

los campamentos A y B es 12, Luego, La razón

correspondiente es: 20/12 = 3/5

Por lo tanto, La razón entre la cantidad total de

personas que hay en la excursión y la cantidad de

personas de los campamentos A y B es 3/5.

Una serie de razones iguales es la igualdad entre dos o más razones.

Por ejemplo, las razones 10/6 y 15/9 forman una serie de razones iguales porque al simplificarlas resulta la razón 3/5, por lo tanto, se tiene que

3/5= 10/6 =15/9…

En toda serie de razones iguales, cada razón es

igual a la razón entre a suma de los

antecedentes y la suma de los consecuentes,

así:

Se realizan los siguientes pasos:

a/3 = b/12 Se plantea la serie de razones iguales.

se aplica la propiedad fundamental de las series de razones iguales.

a/3 = b/12 = 10/15 se remplaza a + b y se efectúa la suma.

a/3 = 10/15 se establece la igualdad entre dos razones.

a = 20/15 se despeja a

a = 2 se efectúa la división.

Como a + b = 10 y a = 2, entonces, 2 + b = 10, de donde b = 8,

Para completar la serie se debe determinar los números por los cuales se

complicito , para generar las razones

Luego se tiene que :

Por lo tanto , los números que completan la serie de razones iguales son

15 y 18.

Determina una razón para cada una de las siguientes

situaciones:

1. Doce de cada catorce estudiantes son deportistas.

2. Un equipo de futbol ha ganado 4 de cada 5 partidos.

3. Ocho de cada diez personas botan la basura en la caneca

correspondiente.

4. Siete de cada diez casas de un pueblo tienen servicios

públicos.

Respuestas: 1. 12/14 2. 4/5 3. 8/10 4. 7/10

Escribe cada expresión como una razón.

1. 6 es a 13

2. 2 es a 3/5

3. 3 ¼ esa 2/7

4. 0,7 es a 8,4

Respuestas: 1. 2. 3. 4.

El largo de una cancha de fútbol es 120 m y el

ancho es de 90m. ¿Cuál es la razón entre el

ancho y el largo?

Respuesta: 4

3

Una proporción es la igualdad entre dos razones.

Así, la proporción entre las razones a/b y c/d con b ≠

0 y d ≠ 0 se escribe a/b = c/d ó a. b :: c. d y se lee “a

es a b como c es a d”.

En la proporción a/b = c/d los términos a y d se

denominan extremos y los términos b y c se

denominan medios.

Por ejemplo, la proporción 3/5 = 12/20 se lee

“tres es a cinco como doce es a veinte”.

Además en esta proporción 3 y 20 son los

extremos y 5 y 12 son los medios.

Las proporciones pueden ser continuas o discretas.

Si los medios o los extremos en una proporción son

iguales, la proporción es continua. El término que se

repite en una proporción continua se denomina media

proporcional de los otros términos.

Si todos los términos de una proporción son diferentes,

la proporción es discreta. En una proporción discreta,

cada término es la cuarta proporcional de los otros tres

términos.

En toda proporción, el producto de los medios es igual

al producto de los extremos

Si a/b = c/d con b, d ≠ 0, entonces, a X d = b X c.

o Por ejemplo, en la proporción 2/5 = 6/15 se cumple que

2 X 15= 6 X 5.

1.Verifica si las razones 2,5/3 y 7,5/9 forman

una proporción.

Como 2,5 X 9 = 22,5 y 3 X 7,5 = 22,5

Entonces, con las razones se puede establecer la

proporción 2,5/3 = 7,5/9

2. Escribir una proporción usando los números

4, 20, 35 y 7

Primero: se calculan todos los posibles productos entre los

números dados y se determinan cuáles son iguales.

4 X 20 = 80

4 X 35 = 140

4 X 7 = 28

20 X 35 = 700

20 X 7 = 140

35 X 7 = 245

Luego, se cumple que 4 X 35 = 140. Así, el producto de

extremos puede ser 4 X 35 y el de medios 20 X 7.

Finalmente, se escribe la proporción correspondiente, así:

4/20 = 7/35

3. Hallar el valor de y en la proporción 6/10 =

30/y

Se realizan los siguientes pasos:

6 X y = 10 X 30 Se aplica la propiedad fundamental

de las proporciones.

6 X y = 300 se multiplica

y = 300/6 se divide

y = 50 se simplifica

Por lo tanto, el valor de y es 50

4. Calcular la media proporcional en la

proporción 2/m = m/32.

Se realizan los siguientes pasos:

2 X 32 = m X m Se aplica la propiedad

fundamental de las proporciones.

64 = m2 se multiplica

m = -8 o m = 8 se extrae raíz cuadrada.

Por lo tanto, la media proporcional de 2/m =

m/32 puede ser 8 o -8,

5. Determinar si las razones que se plantean en las siguientes

situaciones forman una proporción.

a. Una persona recorrió 3 kilómetros en una hora y otra persona recorrió 7

kilómetros en dos horas. Las razones que se plantean en la situación son 3/1 y

7/2.

Como 3 X 2 ≠ 7 X 1, entonces, estas (las) razones no

cumplen la propiedad fundamental de las

proporciones y, por lo tanto, no forman una

proporción.

b. En un colegio hay 2 hombres por cada 3 mujeres y en otro colegio

hay 8 hombres por cada 12 mujeres.

Las razones que se establecen en la situación son: 2/3 y

8/12

Como 2 X 12 = 8 X 3 = 24, entonces las razones cumplen

la propiedad fundamental de las proporciones y por lo

tanto, forman una proporción.

6. Una bebida contiene 70 mg de sodio por cada

250 ml, ¿cuánto sodio hay en una botella de

450 ml. de esta bebida?

Primero, se establece la siguiente proporción.

70mg/250ml. = X /450ml.

Luego, se realizan los siguientes pasos.

70mg X 450ml. = 250 X x Se aplica la propiedad fundamental de las proporciones

70 X 450 = X se divide en 250

250

126 = X Se efectúa operaciones.

Finalmente, una botella de 450 ml. de esta bebida contiene 126 mg. de sodio

Determina cuáles de los siguientes pares de

razones forman una proporción.

o 4/9 y 16/36

o -5/37 y 1/7

o 3 ½ y 2/4

7

o 11/12 y 3/2

o -0,2 /6 y

Si es proporción porque 4 x36 =9x16

No es proporción porque -5x7≠37x1

No es proporción porque 11x2≠12x3

Si es proporción porque 3 ½ x4= 2 x7

No es proporción porque -0,2x-1/60≠6x3

Halla el valor de x en cada proporción

o -2/12 = -X/48

-2(48)=12(-x) Propiedad fundamental de las proporciones

-96=-12x Realizar operaciones

-96/-12=-12x /-12 al dividir a ambos miembros por el número que

acompaña la variable

8=x se obtiene al simplificar

o 6 = 5 .X+1 40

6(40)=(x+1)5 Propiedad fundamental de las proporciones

240 =5x +5 Realizar operaciones

235/5 =5x/5 al dividir a ambos miembros por el número que acompaña la

variable

47=x se obtiene al simplificar

240 -5=5x Transposición de términos