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CONCEPTION DES MACHINESCONCEPTION DES MACHINESCONCEPTION DES MACHINESCONCEPTION DES MACHINES PRINCIPES ET APPLICATIONS

3 DimensionnementDimensionnementDimensionnementDimensionnement

GEORGES SPINNLER

PRESSES POLYTECHNIQUES ET UNIVERSITAIRES ROMANDES

thomas gerbig

Vous pouvez consulter notre catalogue gnral sur notre serveur Internet http://ppur.epfl.ch

Volume 3 ISBN 2-88074-303-6 1997, Presses polytechniques et universitaires romandes, CH 1015 Lausanne Tous droits rservs. Reproduction, mme partielle, sous quelque forme ou sur quelque support que ce soit, interdite sans laccord crit de lditeur.

TABLE DES MATIRES

Volume 3: DIMENSIONNEMENT

CHAPITRE 19

CHAUFFEMENT ....................................................................... 119.1 Introduction ........................................................................ 119.2 Bilan thermique.................................................................. 219.3 Transmission de chaleur et refroidissement ....................... 419.4 Temprature........................................................................ 1119.5 Echauffement de surfaces glissantes .................................. 1819.6 Dimensionnement thermique ............................................. 3219.7 Dilatation............................................................................ 4919.8 Conclusions principales ..................................................... 64

CHAPITRE 20

ENTRANEMENT........................................................................ 6720.1 Introduction ........................................................................ 6720.2 Puissance dentranement................................................... 6820.3 Moteurs .............................................................................. 7020.4 Dimensionnement des moteurs .......................................... 8720.5 Vitesse des moteurs et transmission ................................... 9920.6 Positionnement ................................................................... 11820.7 Vhicules............................................................................ 13520.8 Conclusions principales ..................................................... 144

CHAPITRE 21

STABILIT................................................................................... 14721.1 Introduction ........................................................................ 14721.2 Instabilit de position ......................................................... 14721.3 Instabilit de forme ............................................................ 15021.4 Instabilits thermiques ....................................................... 15921.5 Auto-excitation de vibrations ............................................. 16721.6 Conclusions principales ..................................................... 169

CHAPITRE 22

TANCHIT .............................................................................. 17122.1 Introduction ........................................................................ 17122.2 Fuites .................................................................................. 17222.3 Etanchit statique ............................................................. 17422.4 Etanchit dynamique ........................................................ 18822.5 Conclusions principales ..................................................... 205

2. Table des mati res Page V Mercredi, 8. f vrier 2006 11:17 11

VI CONCEPTION DES MACHINES

CHAPITRE 23

RSISTANCE ET CHOIX DES MATRIAUX.......................... 20723.1 Introduction ........................................................................ 20723.2 Processus de rupture........................................................... 20823.3 Rsistance statique ............................................................. 20923.4 Rsistance des matriaux non homognes ......................... 21823.5 Fatigue................................................................................ 22523.6 Fluage................................................................................. 23923.7 Choix des matriaux........................................................... 24123.8 Conclusions principales ..................................................... 268

CHAPITRE 24

DIMENSIONNEMENT ET SCURIT STRUCTURALE ........ 26924.1 Introduction ........................................................................ 26924.2 Principes gnraux ............................................................. 27024.3 Contraintes effectives ......................................................... 27624.4 Facteur de scurit la rsistance ...................................... 29424.5 Prdimensionnement .......................................................... 30224.6 Vrication......................................................................... 31124.7 Taille et proportion ............................................................. 33224.8 Conclusions principales ..................................................... 346

CHAPITRE 25

DIMENSIONNEMENT LA VITESSEET AUX DFORMATIONS ........................................................ 34925.1 Introduction ........................................................................ 34925.2 Efforts dinertie .................................................................. 35025.3 Prcision de transmission du mouvement .......................... 35625.4 Vibration des mcanismes.................................................. 36925.5 Vitesse critique ................................................................... 38225.6 Echauffement et usure ........................................................ 38725.7 Dformations statiques....................................................... 39825.8 Modlisation dynamique.................................................... 40025.9 Conclusions principales ..................................................... 407

CHAPITRE 26

ARCHITECTURE......................................................................... 40926.1 Introduction ........................................................................ 40926.2 Principes gnraux ............................................................. 40926.3 Distribution des fonctions .................................................. 41126.4 Choix des organes .............................................................. 42226.5 Conception et situation des organes ................................... 42626.6 Similitudes.......................................................................... 44926.7 Sret.................................................................................. 46926.8 Aspects conomiques ......................................................... 48226.9 Conclusions principales ..................................................... 485

CHAPITRE 27

CONCLUSIONS GNRALES................................................... 48727.1 Performances limites .......................................................... 48727.2 Directives gnrales de conception .................................... 48927.3 Perspectives ........................................................................ 501

2. Table des mati res Page VI Mercredi, 8. f vrier 2006 11:17 11

TABLE DES MATIRES VII

BIBLIOGRAPHIE ........................................................................ 503INDEX........................................................................................... 509LISTE DES SYMBOLES ............................................................. 519REMERCIEMENTS AUX DITEURS........................................ 527

Volume 1: STATIQUE

CHAPITRE 1

INTRODUCTION

CHAPITRE 2

FROTTEMENT

CHAPITRE 3

DTRIORATION DES SURFACES FONCTIONNELLES

CHAPITRE 4

DISSIPATION DNERGIE

CHAPITRE 5

EFFORTS STATIQUES

CHAPITRE 6

DFORMATIONS ET RIGIDIT

CHAPITRE 7

PRCONTRAINTE

CHAPITRE 8

DISTRIBUTION DES EFFORTS

CHAPITRE 9

LIAISONS, MOBILIT

CHAPITRE 10

MCANISMES

CHAPITRE 11

AMPLIFICATION

Volume 2: DYNAMIQUE

CHAPITRE 12

NERGIE

CHAPITRE 13

MODLES DYNAMIQUES

CHAPITRE 14

MOUVEMENT DES GROUPES

CHAPITRE 15

PRCISION DES MOUVEMENTS

CHAPITRE 16

EFFORTS DINERTIE

CHAPITRE 17

SOLLICITATION DES STRUCTURES

CHAPITRE 18

VIBRATIONS

2. Table des mati res Page VII Mercredi, 8. f vrier 2006 11:17 11

CHAPITRE 19

CHAUFFEMENT

19.1 INTRODUCTION

Lnergie dissipe par frottement, effet Joule ou courants de Foucault, est d-grade en chaleur qui chauffe les pices. On distingue:

lchauffement local la surface des pices en frottement; lchauffement densemble des mcanismes et des machines.

On appelle

chauffement

lcart entre la temprature dun lment et la tem-prature ambiante

; il sexprime en Kelvin. La temprature se mesure en .Lchauffement local par frottement est dangereux parce quil peut, sil est trop

intense, rompre les lms lubriants. Lchauffement global dgrade les graisses et leshuiles, il diminue fortement leur viscosit. Ces phnomnes compromettent le grais-sage et peuvent aussi conduire au grippage si lpaisseur des lms lubriants devientinsufsante.

La dilatation thermique des pices modie la gomtrie, notamment les jeux etles entraxes. Il peut en rsulter des surcharges et des serrages dangereux. Dintensesux de chaleur travers des parois paisses dforment les pices et provoquent descontraintes thermiques.

Lchauffement altre aussi les caractristiques mcaniques des matriaux, leurrsistance baisse et leur module dlasticit diminue; les polymres se ramollissent etuent. Ces phnomnes ncessitent de limiter la temprature et le ux de chaleur et dedimensionner les organes en consquence.

Ce chapitre a pour but dattirer lattention sur les problmes thermiques et de pro-poser des solutions; les calculs restent lmentaires. Le lecteur consultera desouvrages spcialiss pour ltude des aspects purement thermiques, par exemple [19.1,19.2].

Le chapitre est articul comme suit: Section 19.2 Modles de calcul et bilan thermique. Section 19.3 Prsentation des mcanismes de transmission et dvacuation

de chaleur. Section 19.4 Calcul de la temprature intrieure des carters et des solides

avec sources de chaleur internes. Section 19.5 Temprature la surface des pices frottantes et distribution de

la chaleur. Section 19.6 Limitation des performances, vitesse et puissance, des organes

de machines. Amlioration du refroidissement, dimensionne-ment thermique.

o C

Chapitre 19 Page 1 Mardi, 7. f vrier 2006 5:49 17

2

CONCEPTION DES MACHINES

Section 19.7 Dilatation thermique et ses effets, notion de contrainte thermi-que.

Section 19.8 Conclusions principales.

19.2 BILAN THERMIQUE

Les sources de chaleur rencontres dans les machines sont: le frottement la surface des pices glissant lune sur lautre; lagitation dhuile et dair; le frottement interne des matriaux soumis des contraintes variables; leffet Joule; les courants de Foucault; les uides chauds circulant dans les machines.

Considrons, par exemple, un rducteur vis sans n (g. 19.1). Les sources dechaleur, par frottement, sont au contact entre la vis et la couronne dente;

S

1

,

S

2

,

S

3

et

S

4

dans les roulements et les joints dtanchit. Un peu dnergie est encoredissipe par ventilation et par barbotage ( 10.5.2). Une partie de la chaleur est trans-mise au carter et aux arbres par conduction, le reste est transport par lhuile. Le cartercde son tour la chaleur par conduction au support du rducteur ainsi quau milieuambiant par rayonnement et par convection. En vertu du second principe de la thermo-dynamique, la chaleur est toujours transmise dune source chaude vers une sourcefroide. Par consquent, les organes intrieurs sont plus chauds que le carter et ce der-nier est plus chaud que le milieu rfrigrant.

Lexamen de la gure 19.1 suggre de schmatiser le systme par trois domaines(g. 19.2):

Sv

S1 S2Sv Sv

S4S3

Fig. 19.1 Flux de chaleur dans un rducteur vis sans n.


CHAUFFEMENT

3

L

organe de machine

, suppos dnu de toute inertie thermique, est parcourupar le ux dnergie lectromcanique. Les phnomnes de dgradationdnergie y dgagent de la chaleur avec les puissances gales aux puis-sances des pertes.

Le

systme thermique

est compos seulement des capacits thermiques etne comporte aucune source de chaleur. De la chaleur est transmise dunecapacit (pice) lautre, toujours dans le sens dune capacit chaude vers unecapacit plus froide.

L

environnement

reoit du systme thermique de la chaleur avec les puissances. Ces ux peuvent sinverser si lenvironnement est plus chaud que la

machine.

Ltude thermique a pour but dtudier lvolution de la temprature des picesau cours du temps et de calculer leur temprature de rgime permanent. Lanalysedtaille de la propagation de la chaleur sort du cadre de cet ouvrage, le lecteur int-ress consultera, par exemple, [19.1, 19.2]. On se contente dune tude lmentaire,mais nanmoins sufsante pour expliquer la plupart des problmes thermiques ren-contrs.

Le systme thermique: reoit du systme lectromcanique la puissance thermique

change avec lenvironnement la puissance thermique

Qi+Ppi

Cj

Qk

Ta1 Ta2

Cn T n

C

j T j

C

2

T 2 C 1 T 1

environnement

systmethermique

machine

P

1

P

2

P

p1

P

pi

P

pm

Q

1+

Q

i

+

Q

m

+

Q

1

Q

k

Q

r

Fig. 19.2

Schma des ux de puissance.

r

changes

n

pices

m

sources

(19.1)Q P Pi

m+

=

= = p pi1

(19.2) Q Qk

r

k==

1


4


Une pice de masse , dont la chaleur massique du matriau est , possde lacapacit thermique

La diffrence entre la chaleur reue et la chaleur cde lambiance est stockedans les capacits thermiques. Le bilan thermique global tendu tout le systme ther-mique sexprime par lquation suivante:

On simplie le calcul en remarquant que les tempratures des pices sont assezvoisines et quelles voluent peu prs en parallle. En supposant que toutes les pi-ces, respectivement toutes les capacits thermiques, aient la mme temprature

T

, onobtient

avec la capacit thermique totale

Lquation diffrentielle du premier ordre (19.4) rgit lvolution de la temp-rature des pices.

On prsente maintenant brivement les moyens de refroidissement, puis on verracomment calculer la temprature des organes de machines.

19.3 TRANSMISSION DE CHALEUR ET REFROIDISSEMENT

19.3.1 Conduction

Une plaque dpaisseur

e

et de surface

A

(g. 19.3) est faite en un matriau dontle coefcient de conductibilit thermique est

k

. Les faces de la plaque ont une temp-rature uniforme et . La puissance thermique traversant la plaque est donne par laloi de Fourier:

Le rapport

k/e

a la signication dun

coefcient de transmission de chaleur

( 19.3.2).

mj cj

C m cj j j =

(19.3)P Q CTtj

n

p jj

dd

=

=

1

(19.4)P Q C Ttp

dd

=

(19.5)C m cj

n

j j==

1

T1 T2

(19.6)Q ke

A T T = 21( )


CHAUFFEMENT

5

La puissance thermique traversant la paroi dun cylindre, de lintrieur verslextrieur, vaut

avec:diamtre extrieurdiamtre intrieurcoefcient de conductibilit thermiquelongueur du cylindretemprature de la surface extrieuretemprature de la surface intrieure

Pour un cylindre paroi mince, , on peut se contenter dappliquer laformule (19.6).

La chaleur transmise entre deux pices qui se touchent passe par deux voies(g. 19.4): conduction par les asprits des surfaces en contact et conduction traversle uide se trouvant entre les surfaces. Soit

On observe que la transmission samliore lorsquon augmente la pressionapparente de serrage car, dune part, les asprits scrasent en accroissant la surface deconduction solide, dautre part les pices se rapprochent. Von Kiss [19.3] a vri exp-rimentalement que le coefcient de transmission de chaleur peut sexprimer comme suit:

avec:pression de contact apparente [N/mm

2

]

e

T1

T2

A

Q

Fig. 19.3 Transmission de chaleur travers une plaque.

T1

T2

Qa Q f

Fig. 19.4 Transmission de chaleur par contact.

1

2

(19.7)Qk Ldd

T T = 2

ln

e

i

e i ( )

dedikLTeTi

d di e 0,9

(19.8) Q Q Q a f= +

(19.9)h a kk

pp

kb R R

HBHB

f

a1 a2=

+ +( )0

0

0

pp0 2 1 N/mm=


6


coefcient de conductibilit thermique rduit des mat-riaux [W/m K]

coefcient de conductibilit thermique du uide interm-diaire [W/m K]

duret Brinell rduite

rugosits arithmtiques moyennes [m]

Les autres paramtres dpendent de ltat des surfaces:

La transmission de chaleur est dautant meilleure que les surfaces sont plus lisseset plus fortement serres. On lamliore en badigeonnant les surfaces avec de lagraisse avant le montage; il existe des ptes particulirement bonnes conductrices dela chaleur, qui sutilisent en lectronique pour le montage des transistors de puissancesur des radiateurs. Dans le cas des mtaux, la puissance transmise par les asprits estdu mme ordre de grandeur qu travers lair. En revanche, cette dernire voie prdo-mine avec les polymres.

Le coefcient de conductibilit thermique des polymres utiliss en constructionmcanique est environ 200 fois plus petit que celui de lacier. Cest pourquoi lchauf-fement de pices en polymre est nettement plus grand que celui des pices mtalli-ques. De plus, comme leur rsistance mcanique diminue vite des tempratures djrelativement basses (60 100C), on conoit quil faut calculer soigneusementlchauffement des organes en polymre et prendre des mesures pour bien les refroidir.Cest pourquoi les coussinets en PTFE ou en polyamide sont toujours trs minces.

19.3.2 Convection et rayonnementPuissance thermique transmise

Un corps (1) dont la temprature de surface est baigne dans de lair la tem-prature (g. 19.5a); proximit se trouve encore un corps (2) ayant une tempra-ture . Un lment de surface

du premier corps change de la chaleur par convec-tion avec lair ambiant. Dsignant par le coefcient de transmission de chaleur parconvection, la puissance change vaut

Etat de surface

a b

surface rectifie, qualit N 4 1720 0,6 0,75

surface usine, qualit N 6 2600 0,6 0,75

surface fine, qualit N 8 1600 0,6 0,5

surface grossire, qualit N 12 500 0,3 0,3

k k kk k

=

+

2 1 21 2

k0 54,7 W/m K=

kf

HB 2 HB HB

HB HB 1 2

1 2=

+

HB 1550 =

R Ra1 a2 ,

W/(m2 K)

W/(m2 K)

W/(m2 K)

W/(m2 K)

TsTa

Tr dAhc


CHAUFFEMENT

7

Llment de surface change aussi de la chaleur avec (2) par rayonnement,

o est le coefcient de transmission de chaleur par rayonnement. Il dpend de lamatire des solides, de la couleur et de ltat de leur surface, de leur tempratureabsolue et de lorientation relative des surfaces. La puissance thermique totale sortantpar llment de surface considr vaut nalement

Si le corps (2) est plus chaud que (1), ce dernier reoit de la chaleur par rayon-nement.

Les objets entourant une machine ont habituellement la mme temprature quelair ambiant. On peut poser et runir les coefcients de transmission de cha-leur en un coefcient global (g. 19.5b):

La valeur de

h

se dtermine empiriquement ou se calcule laide de la thorie dutransfert de chaleur. Lexpression (19.10) scrit alors plus simplement

Avec les tempratures habituelles, la part du rayonnement est de lordre de 10% 20% de lchange global.

La puissance thermique transfre au uide par toute la surface sobtient parintgration:

d dc c s aQ h T T A= ( )

d dr r s rQ h T T A= ( )hr

(19.10)d d d dc r c s a r s r Q Q Q h T T h T T A= + = +[ ]( ) ( )

Ts

1

hc

Ta

hr

Q cQ r

Tr

2

(a) (b)

Ts

h

Q

Ta

Fig. 19.5 Transmission de chaleur: (a) convection et rayonnement; (b) modle.

T Tr a =

h h h c r= + (19.11)

d ds aQ h T T A= ( )

(19.12)Q h T T AA

ds a= ( )


8


h

et dpendent de llment de surface considr. On simplie le calcul en faisantles hypothses suivantes:

le coefcient de transmission de chaleur

h

est constant et gal une valeurempirique moyenne;

la temprature de toute la surface de refroidissement est gale la tempraturede son point le plus chaud, .

On dnit une surface de refroidissement quivalente qui transmet, avec lesdeux hypothses prcdentes, la mme puissance que le systme rel; cette surface estestime de cas en cas. Par exemple, on admet trs souvent que la chaleur transmise parconduction la structure porteuse est nulle et que cette surface de contact est morte.

La puissance thermique de refroidissement devient alors

La valeur du coefcient de transmission de chaleur

h

dpend de lagitation delair.

Convection naturelle

On observe que lair monte le long dune surface chaude en crant des mouve-ments convectifs qui emportent la chaleur (g. 19.5). Ces mouvements sont dautantplus intenses que lcart entre la temprature de la surface et celle de lair est plusgrand. Des essais permettent dcrire le coefcient de transmission de chaleur en con-vection naturelle sous la forme

o

p

= 1/4 1/3 selon la disposition et lorientation de la surface et est un coefcientqui dpend de la gomtrie et des caractristiques du uide. Dans lair calme dunlocal, on admet h = 15 pour un chauffement de 40 K.

La puissance change par convection naturelle vaut

Convection forceUne surface est souvent expose un courant dair de vitesse v donne. Cest par

exemple le cas dune bote essieu dun wagon en marche, ou dune pice expose lair puls par un ventilateur. La valeur du coefcient de transmission de chaleur estconditionne par le nombre de Reynolds de lcoulement. On trouve souvent dans lalittrature la formule

valable pour la vitesse dair v comprise entre 1 et 6 m/s.

Ts

Ts max

Ae

(19.13)Q h A T T e s max a= ( )

(19.14)h T T s a p= ( )

20 W/m K2

(19.15)Q T T A s a 1 p = ( ) +

(19.16)h v v W/(m K) m/s2= + [ ] [ ]7 12


CHAUFFEMENT 9

La puissance de refroidissement augmente plus vite en convection naturelle aveclcart de temprature, mais le calcul et lexprience montrent que le refroidissementest beaucoup moins efcace quen convection force (g. 19.6).

19.3.3 Echangeur de chaleurOn recourt un changeur de chaleur spcial ds que la puissance dissipe

dpasse la capacit de refroidissement par la seule surface extrieure de lorgane lair ambiant. Ce cas se rencontre dans les gros paliers, les rducteurs puissants, lesmachines thermiques. On fait circuler lhuile travers un changeur de chaleur enprotant de la pompe de graissage ou parfois au moyen dune pompe spciale;lchangeur est refroidi lair ou leau (g. 19.7). Le cas chant, on prvoit unrgulateur de temprature de lhuile frache.

Le dbit-masse dhuile tant

et sa chaleur massique , le dbit de capacitthermique dhuile est par dnition

On a, de mme, le dbit de capacit thermique du uide rfrigrant

QA----

0

convection force

convection naturelle

Ts Ta

Fig. 19.6 Comparaison des changes thermiques.

machine

air oueau

pompe

rgulateur

robinet de rglage

Pp

Th

Tf

ch

cm

mh

Q a

T

Fig. 19.7 Schma dun circuit de rfrigration extrieur.

mh ch

(19.17) C m ch h h =

C m c= (19.18)


10 CONCEPTION DES MACHINES

On dmontre que la puissance vacue par lchangeur de chaleur se calcule par

avec:dbit de capacit thermique le plus petit de h ou de temprature de lhuile la sortie de la machinetemprature dalimentation du uide rfrigrantefcacit de lchangeur.

Comprise entre 0 et 1, la valeur de lefcacit dpend de la construction de lchan-geur, de la nature des uides et de leur dbit; elle se situe gnralement vers 0,8. Soncalcul sort du cadre de cet ouvrage [19.1, 19.2].

La puissance (19.13) cde lair sajoute celle vacue par lchangeur dechaleur, alors

Le systme est tributaire du bon fonctionnement de la pompe huile. Linstalla-tion est plus sre et plus able en disposant un serpentin de refroidissement directe-ment dans le bain dhuile (g. 19.8). Dans ce cas, le dbit minimal de capacit ther-mique intervenant dans (19.20) est celui du rfrigrant car, comme la temprature dubain est pratiquement uniforme, cest formellement comme si le dbit dhuile taitinni. Il faut prendre garde ne jamais faire plonger un tuyau de refroidissement danslhuile par dessus la surface, car lhumidit de lair peut condenser sur la surface froidedu tuyau et leau pollue progressivement lhuile (g. 19.9).

On utilise parfois un ventilateur pour forcer lair travers les machines, notammentdans les machines lectriques (g. 19.10). Dans les turboalternateurs de moyenne puis-sance, on remplace lair par un circuit ferm dhydrogne sous pression. En effet la cha-leur spcique et la conductivit thermique leves de ce gaz offrent de grands coef-cients de transmission de chaleur et, perte de charge gale, ce gaz emporte plus dechaleur. Les trs gros turboalternateurs sont refroidis par de leau qui parcourt directe-ment les conducteurs du bobinage excut sous forme de tuyaux en cuivre.

minQ C T Th h f = ( ) (19.19)

minC mC mCThTf

Qa

(19.20) minQ Q Q C T T h A T T h a h f e s max a= + = +( ) ( )

huile

serpentin

Tf

eau froide

gouttes de condensation

huile

eau

Fig. 19.8 Serpentin de refroidissement. Fig. 19.9 Montage dfectueux dun serpentin derefroidissement.


CHAUFFEMENT 11

19.4 TEMPRATURE

19.4.1 Systme lmentaireEquation diffrentielle

Considrons un solide de surface A prsentant une temprature uniforme Trefroidi uniquement par lair ambiant (g. 19.11). La puissance de refroidissementvaut

air frais

Fig. 19.10 Moteur de traction monophas des locomotives Re 4/4II des chemins de fer fdraux suisses,955 kW, 1160 t/min, avec ses canaux de circulation force dair.

Q h A T T a= ( )

PpTaC T

A

Q

Fig. 19.11 Modle thermique lmentaire.



En introduisant cette expression dans (19.4), on obtient lquation diffrentielle

avec la constante de temps thermique

Rgime permanentLe systme est en quilibre thermique lorsque la temprature en chacun de ses

points est constante, cest le rgime permanent. Alors et lquation(19.21) fournit immdiatement la temprature de rgime permanent du solide

Lindice signie que la temprature est atteinte aprs un temps inniment long, la n du rgime transitoire. On a lchauffement permanent

Rponse indicielle au chauffageLe systme se trouve la temprature initiale . A linstant t = 0, la puissance du

chauffage devient . Compte tenu de (19.23), on crit (19.21) sous la forme:

La solution

est reprsente la gure 19.12. En cas de dmarrage froid, et

(19.21) dd

a pTt

T Th A

P+ = +1

(19.22) = Ch A

d d T t/ = 0

T Th A

P

= + a p1 (19.23)

(19.24)T T Th A

P

= = a p1

T0Pp

dd

Tt

T T+ =

(19.25)T T T T et

= + ( )

0 0 1

T T0 a=

(19.26)T T T T ea at

= + ( )

1


CHAUFFEMENT 13

Refroidissement sans chauffageSi , . En portant cette valeur dans (19.25), il vient

A larrt, les tourbillons dair provoqus par la marche et la pulsion dair par lesventilateurs attels (machines lectriques) cessent. Le coefcient de transmission dechaleur est moins bon, par consquent la constante de temps thermique larrt estplus longue quen marche.

Marche intermittente rgulireEtudions une marche intermittente rgulire (g. 19.13). Pendant le temps de mar-

che , le systme reoit la puissance , sa constante de temps est ; il est arrtpendant avec une constante de temps . Aprs quelques cycles, la tempratureoscille rgulirement entre et . A lchauffement (1), on part de pouraboutir . Lapplication de (19.25) donne:

De mme, au refroidissement (2), on part de pour aboutir la temprature la n de la priode de refroidissement . Par (19.27), on a

Les tempratures et sont inconnues, mais on peut les dterminer enrsolvant le systme form par les deux dernires quations. Tous calculs faits, ilvient:

T

T

T0Ta

0

t

Fig. 19.12 Echauffement lors dun saut indiciel de puissance.

Pp = 0 T T = a

(19.27)T T T T ea at

= + ( ) 0

tm Pp mta a

Tmin Tmax TminTmax

T T T Tmax min min

t

e

m

m= + ( )

1

TmaxTmin ta

(19.28)T T T Tmin a max a

t

e

a

a= + ( ) Tmin Tmax



se calcule ensuite par (19.28). On reconnat que le numrateur reprsentelchauffement la n de la premire injection dnergie.

RemarqueIl nest pas toujours ncessaire de calculer le coefcient de transmission de cha-

leur et la surface de refroidissement dun objet pour dterminer sa constante de tempsthermique. En effet, tirons le produit de (19.23) et introduisons-le dans lexpres-sion (19.22) de la constante de temps. Il vient

La capacit thermique sestime partir de la masse; et se mesurent. Si lapuissance dissipe est inconnue, on peut faire une exprience en installant unchauffage lectrique de puissance dans la machine pendant quelle fontionne, ande proter des mmes conditions de refroidissement. La temprature passant de

, on obtient

On lit dans les formules qu puissance gale, la constante de temps est dautantplus courte que lchauffement permanent est plus petit.

(19.29)T T T Tmax a

t

t t a

e

e

m

m

m

m

a

a

= +

( )

+

1

1

Tmin

T

T

Ta

0

tm ta

t

Tmin

Tmax1 2

Fig. 19.13 Marche intermittente rgulire.

h A

(19.30) ap

=C T T

P

T

TaPp

PeT

Te

(19.31) ee

= C

T TP


CHAUFFEMENT 15

Application numrique: refroidissement dun palierUn palier hydrodynamique (g. 19.14) dissipe 650 W. Sa surface extrieure est

, on nglige la conduction de chaleur vers la structure porteuse. Larbre estchaud dans le palier, sa temprature se rapproche de la temprature ambiante en sloi-gnant du palier. On admet que la temprature de la surface de larbre est gale celledu palier sur une longueur gale au diamtre de larbre. La surface quivalente derefroidissement est alors

La temprature de surface du palier en rgime permanent sobtient par (19.23).En admettant un coefcient de transmission de chaleur h = , avec unetemprature ambiante de , on a

Cette temprature ne devrait pas excder pour que le graissage fonctionnecorrectement. On est donc oblig de prvoir un refroidissement auxiliaire par circula-tion dhuile. Le refroidissement naturel vacuera

et le circuit dhuile doit tre dimensionn pour enlever

19.4.2 Temprature intrieureLa temprature des organes intrieurs dun mcanisme est naturellement plus le-

ve que celle du carter. En rgime permanent, elle rsulte dune somme de sauts detemprature dans les pices le long du parcours de la chaleur et entre le carter et lairambiant (g. 19.1). Soit, pour la pice j,

0,2 m2

Ae 2 2 0,2 0,12 0,29 m= + =2

d = 120

d d

T

Ta = 40C

A = 0,2 m2Pp = 650 W

Fig. 19.14 Palier.

20 W/(m K)2 40 C

T

= +

= 1

20 0,29 650 152 C40 o

70 C

,Qa 4 W= ( ) =20 0 29 70 40 17

Qh 650 174 476 W= =

T T T Tj a = + + + 1 2 (19.32)



Les carts de temprature se calculent avantageusement par la mthode desrsistances thermiques [19.2]. An de mettre la temprature intrieure facilement enrelation avec lchauffement du carter, on peut crire, en rgime permanent seulement,que lchauffement dun organe est proportionnel lchauffement de surface ducarter:

o est le facteur dchauffement intrieur de la pice considre. Avec la tempra-ture de surface du carter donne par (19.23), on obtient la temprature dune piceintrieure:

Du point de vue constructif, on diminue lchauffement intrieur en utilisant desmatriaux bons conducteurs de la chaleur, en prvoyant de larges sections de conduc-tion de chaleur, en serrant fortement les pices lune contre lautre et en arrosant abon-damment les surfaces glissantes sources de chaleur avec de lhuile.

Lvolution transitoire de la temprature dun organe de machine est plus com-plique que ce que nous venons de voir parce que la chaleur, en partant de la source, sepropage progressivement dans le corps des pices et dune pice lautre. Dans le casle plus simple, lchauffement peut se dcrire par une somme de termes variant ex-ponentiellement:

T T T Tj a j s a ( )= j

(19.33)T Th A

Pj a j p = + 1

cuivre

fer denturefer des plescentre du ferculasse

60

40

20

0 10 20 30 40 50 60t

T

[K]

Fig. 19.15 Rponse indicielle 220 MW dun turboalternateur.

[min]

(19.34)T T T T e e at t

= +

+

+

1 21 11 2


CHAUFFEMENT 17

La gure 19.15 illustre lvolution de lchauffement des pices du rotor dunturboalternateur (220 MW) refroidi lintrieur par une circulation dhydrogne. Lespices les plus massives ont la plus grande constante de temps.

19.4.3 Echauffement avec source de chaleur volumiqueOn rencontre des organes o la chaleur nat au sein de leur volume, par exemple

les bobinages lectriques (effet Joule) ou les amortisseurs de vibration en caoutchouc.Considrons un amortisseur situ entre une plaque de base et la machine (g. 19.16).On a la puissance dgage par unit de volume

avec:puissance vibratoire dissipe en chaleurvolume de lamortisseursurface dappui de lamortisseurpaisseur de lamortisseur

Supposons que la chaleur ne svacue que par conduction travers les plaques debase en acier, la dperdition lair tant ngligeable. La distribution de temprature estlinaire dans les plaques et parabolique dans le caoutchouc o se trouve la source dechaleur. Lchauffement le plus grand se trouve au centre du caoutchouc et vaut

avec:coefcient de conductivit thermique de laciercoefcient de conductivit thermique du caoutchoucpaisseur des plaques de xation

En introduisant la puissance volumique (19.35), il vient

(19.35)P PV

PA epv

p p = =

PpVAe

TT1

T2 max

e1

e1

e

Ppv

12--- Q

12--- Q

Fig. 19.16 Distribution de chaleur et de temprature dans un amortisseur en caoutchouc.

(19.36)T T e e Pk

e Pk2 max

pv pv + 1

1

1

2

2 8 2=

k1k2e1



La chaleur dgage par de fortes vibrations peut chauffer un amortisseur aupoint de le dtruire. On a intrt utiliser des amortisseurs grande surface dappui A.Les accouplements lastiques en caoutchouc posent les mmes problmes.

19.5 CHAUFFEMENT DE SURFACES GLISSANTES

19.5.1 Temprature de surfaceOn a tudi jusquici lchauffement du corps des organes de machines. On se

proccupe maintenant de lchauffement local des surfaces de frottement et de la dis-tribution de la chaleur immdiatement sous la surface des pices.

La chaleur de frottement nat lextrmit des asprits en contact. Elle est en-suite transmise au corps des pices par conduction (g. 19.17). Il stablit un champ detemprature dans les pices et dans les asprits. Appelons et les tempraturesde surface des asprits; on admet quelles sont gales au point de contact, donc

La gure 19.17 montre le prol de temprature dans un plan A-A, la tempraturecommune de contact est la plus leve. Le contact des asprits est fugitif au cours dumouvement, comme lest lchauffement des asprits, cest pourquoi on appelle tem-prature-clair la plus haute temprature de surface atteinte au cours du frottement.

Le gradient de temprature dans les asprits est intense cause de la petite sec-tion quelles offrent la transmission de la chaleur. En outre, vu la brivet des con-tacts dasprit, il est extrmement difcile de mesurer la temprature-clair effective.Les mesures donnent plutt la temprature de surface la base des asprits, cest--dire les valeurs et de la gure 19.17.

Les calculs dchauffement de surface dvelopps ci-aprs reposent sur lhypo-thse que

(19.37)T T PA

e

ke

k2 maxp

11

1 22 4= +

Ts1 Ts2

= T Ts1 s2 (19.38)

2

1A

v

A

TaT

Ts1

Ts2

TclairT's1 = T's2

Q 2+

Q 1+

Fig. 19.17 Distribution de temprature au contact de deux solides en frottement.

Ts1 Ts2

T Ts1 s2 (19.39)


CHAUFFEMENT 19

Il faut se souvenir que cette galit suppose que la chute de temprature estpareille dans les asprits des deux surfaces et quelle ne donne pas la temprature-clair lextrmit des asprits. Cette dernire est en effet beaucoup plus leve lorsdu mouvement, elle peut atteindre le point de fusion de lun ou mme des deux mat-riaux conjugus et entraner le soudage des pices lors du grippage ( 3.5.1). Cetteconstatation est la base du dimensionnement au grippage des organes de machines.

19.5.2 Echauffement dun corps semi-infiniConsidrons un solide stendant linni partir dune surface plane

(g. 19.18a). Les axes x et y dun repre orthonorm sont situs dans le plan de la sur-face, laxe z est dirig vers lintrieur du solide. Supposons que la temprature soituniforme dans tout plan parallle la surface et ne dpende que de la coordonne z etdu temps, , (g. 19.18b). On a lquation bien connue de conduction de la cha-leur dans le solide, sans source de chaleur interne:

avec la diffusivit thermique du matriau

avec:k coefcient de conductivit thermique masse volumiquec chaleur massique

Le corps a tout dabord partout la temprature . A linstant t = 0, sa surface estexpose un ux de chaleur uniforme . La rsolution de lquation diff-rentielle (19.40) avec ces conditions initiales donne la distribution de la temprature

T z t,( )

(19.40)

=

Tt

aT

z

2

2

(19.41)a kc

m /s2= [ ]

T0

z

xq

(a) (b)z

0T0 Ts

T

T(z)

Fig. 19.18 Propagation de chaleur dans un corps semi-inni: (a) ux de chaleur; (b) temprature.

T0q [W/m ]2

(19.42)T T tb

z

kz

atq e erf

z

a t= +

042 1

2

2



b reprsente le coefcient de pntration de la chaleur; cest une caractristique dumatriau qui vaut

et la fonction derreur de Gauss est

sa valeur numrique se trouve dans des tables.La temprature de surface sobtient en faisant z = 0 dans (19.42) et erf (0) = 0

On calcule aisment que lchauffement est gal 5% de lchauf-fement de surface la profondeur

et lchauffement nest que 1% en un point situ la distance

sous la surface. Pour de lacier, , la profondeur est alors

chauffement 5% chauffement 1%

Ces rsultats montrent quune pice paisse de plus de 15 mm se comportecomme un solide semi-inni si le ux de chaleur est appliqu pendant 1 seconde. Si leux de chaleur ne dure que 0,01 s, une pice de 2 mm dpaisseur quivaut dj uncorps semi-inni pour lequel on peut calculer lchauffement de la surface avec la for-mule (19.45), cest le cas notamment des engrenages.

19.5.3 Frottement permanent de deux corps semi-infinisOn rencontre des organes de machine o une surface frotte constamment contre

une autre. Cest par exemple le cas des plateaux dun limiteur de couple qui patinelongtemps contre les garnitures.

Le frottement engendre le ux de production de chaleur

(19.43)b k c W s/(m K)2= [ ]

(19.44)erf e d

2z

a t22 2

0

=

z

at

T Tt

bqs = +0

2

(19.45)

T T 0( )T Ts 0( )

z a t5 2 35 = , (19.46)

z a t1 3 21 = , (19.47)

a m /s 2= 16 2 10 6,

z t5 9 5 = , mm[ ]z t1 12 9 = , mm[ ]

q p v = (19.48)


CHAUFFEMENT 21

avec: coefcient de frottementp pression apparente de contactv vitesse de glissement

Ce ux se rpartit entre les corps (1) et (2) (g. 19.19a)

Supposons que les deux solides aient la mme temprature avant le dbut dufrottement, lchauffement de leur surface rsulte immdiatement de (19.45):

Comme expliqu au paragraphe 19.5.1, on admet que les deux surfaces ont ap-proximativement la mme temprature . En galant les deux expres-sions ci-dessus, on trouve le rapport des ux de chaleur

Avec (19.49), le ux de chaleur pntrant dans chaque corps vaut

On obtient enn lchauffement des surfaces en portant ces expressions dans(19.50):

1

2

z1

z2

0T0

TsT

(b)(a)

q1

q2

q

Fig. 19.19 Rpartition de la chaleur: (a) ux de chaleur; (b) temprature.

q q q = + 1 2 (19.49)

T0

(19.50)T T

t

bq

T Tt

bq

s1

s2

=

=

01

1

02

2

2

2

T T Ts s1 s2 =

(19.51) = =

qq

bb

1

2

1

2

(19.52) q bb b q qb

b bq1

1

1 22

2

1 2

=

+=

+



19.5.4 Echauffement des embrayages et des freinsFlux de chaleur

La puissance de frottement diminue du dbut la n dun processus dembrayage(g. 19.20) parce que le glissement est le plus intense au dbut. La situation est analo-gue dans un frein de ralentissement puisque la vitesse diminue progressivement. Latemprature des surfaces de frottement crot, passe par un maximum, puis dcrot.

La quantit dnergie est dissipe pendant le temps de glissement t1 dans lasurface de glissement. est soit la dure de patinage dun embrayage soit le tempsde serrage dun frein, habituellement le temps darrt . Admettons une distributionuniforme sur la surface totale de frottement . Le ux de puissance-chaleur moyengnr vaut

Pour n disques frottants sur deux faces daire , on a

La distribution du ux sur les disques rods est uniforme parce que le produit pr,et donc pv, est constant ( 8.7.6). Le ux est lgrement suprieur sur le rayon ext-rieur des disques neufs.

Processus uniqueOn distingue plusieurs cas, selon la valeur du nombre de Fourier:

(19.53)T T tb b

qs

01 2

2=

+( )

Wpt1 t E

taAt

qWA t

p

t=

1

A1

A n At = 2 1

(19.54)Fo at = 12l

(Ts T0)max

Ts T0

t1

t0

q0q

Fig. 19.20 Charge thermique et chauffement dun embrayage.

q


CHAUFFEMENT 23

avec:diffusivit thermique du matriaudure de synchronisation ou de freinagepaisseur des pices depuis la source de chaleur jusqu la surface de re-froidissement (g. 19.21)

Pour un processus dembrayage ou de freinage unique, lchauffement maximalvaut [19.4]:

Deux corps semi-innis, :

Embrayage monodisque avec deux garnitures isolantes (g. 19.21), :

b est le coefcient de pntration de la chaleur du matriau des plateaux. Embrayage monodisque avec garnitures isolantes (g. 19.21), .

Les plateaux sont assez minces pour quon puisse admettre quils schauffentuniformment, ou alors le glissement dure longtemps;

Dans les embrayages multidisques, chaque disque intrieur du paquet de disquesreoit de la chaleur sur ses deux faces. La chaleur dune surface de glissement nchauffetoujours que la demi-paisseur dun disque. Cest pourquoi on calcule le nombre de Fou-rier avec la moiti de lpaisseur e dun disque en introduisant dans (19.54).Lchauffement maximal dun disque est gal la moiti de la valeur donne par la for-mule (19.56) lorsque parce que la puissance de frottement est rpartie surdeux faces; il est gal la valeur (19.57) lorsque la valeur est suprieure.

La chaleur dgage sur les disques est transmise par conduction la surface derfrigration. Ce sont donc les disques situs au milieu du paquet qui chauffent le plus.

at1 l

Fig. 19.21 Schma dun embrayage monodisque.

garnituresdisque

plateau

Ts

l l

surfaces de glissement

Fo 0 5,

(19.55)T T tb b

qs 0 max

( ) =+

43

2 11 2

Fo 1 132,

(19.56)T T tb

qs max 014

32( ) =

Fo 1 132,

(19.57)T T t qc

s max01( ) = l

l = e / 2

Fo 1 132,Fo



Aprs la synchronisation, lembrayage se refroidit. On distingue deux cas: la chaleur ne sort de lembrayage que par sa surface extrieure apparente tant

que les lments sont serrs; la chaleur peut encore svacuer par les surfaces de frottement lorsque

lembrayage est dclench, pour autant quun uide (habituellement de lhuile)soit inject; la constante de temps est alors plus courte que dans le premier cas.

Enclenchements intermittentsUn processus dembrayage dbute souvent avant que lorgane ne soit compl-

tement refroidi. En cas de marche intermittente rgulire, on calcule lchauffementmaximal par la formule (19.29). Il convient dtudier sparment lvolution de la tem-prature des surfaces frottantes et lchauffement global de lembrayage ou du frein.

Compte tenu de la construction, la temprature des surfaces de glissement varierelativement fortement tandis que la temprature densemble ne uctue que trs peu cause de la grande constante de temps de tout lorgane.

Application numriqueUn embrayage multidisque fonctionne sec dans lair. Les disques sont alternati-

vement en acier et en bronze fritt. On cherche la temprature maximale des disques etcelle du corps de lembrayage.

Travail dissip pendant la synchronisation: Dure dun cycle: 24 s Dure de synchronisation: Dure de ltat enclench: Dure de ltat dclench: Surface de rfrigration extrieure: Nombre de disques: n = 4 Surface de frottement: Epaisseur des disques: Temprature de lair ambiant:

Temprature de lembrayageCompte tenu de la rotation, on estime le coefcient de transmission de chaleur,

.

Puissance-chaleur moyenne pendant la synchronisation: .

Echauffement en rgime permanent, selon (19.24):

Calculons la constante de temps thermique de lembrayage. Avec la masse delembrayage, , et la chaleur massique de lacier, , ona par (19.5) et (19.22):

Wp = 2150 J

ts = 1,14 ste = 14 std = 10 s

A = 0,046 m2

A1 = 19,6 cm2e = 2,3 mm

Ta = 30 Co

h = 28 W m K2 1

P W tp p s = =/ 2150/1,14 = 1886 W

T

=

188628 0,046

= 1464 K

m = 4,8 kg c = 460 J kg K( )

= 4,8 460

28 0,046 = 1607 s


CHAUFFEMENT 25

Cette constante de temps est valable pendant que llment secondaire tourne etaussi lorsquil est arrt parce que llment primaire est toujours en mouvement.Lapplication de (19.29) donne

La temprature minimale vaut par (19.28):

La temprature du corps de lembrayage varie trs peu cause de sa forte inertiethermique. On calcule par la formule (19.25) que le premier processus dembrayagenchauffe lorgane que de 1,038 K; on se rend compte de leffet massif de la rpti-tion cyclique des oprations.

Temprature au cur de lembrayageOn estime que la chute de temprature entre la rgion centrale du paquet de disques

et la surface extrieure est de lordre de 5 K. La temprature centrale est donc .

Temprature des disquesValeur des caractristiques des matriaux:

Le ux de puissance-chaleur moyen vaut

Le nombre de Fourier (19.54) se calcule avec la demi-paisseur des disques,. Il vaut 10,34 pour les disques en acier et 15,5 pour ceux en bronze.

Comme , lchauffement se calcule par la formule (19.57); on trouvealors pour lacier et 27,2 K pour le bronze.

On estime que la constante de temps thermique des disques en acier est de lordrede 20 s lorsquils sont serrs et 60 s lorsque lembrayage est dclench, car la transmis-sion de chaleur entre les disques est alors moins bonne; pour le bronze on a respective-ment 18 s et 54 s. Lchauffement maximal en rgime intermittent permanent doit secalculer en tenant compte du fait que la constante de temps dpend de ltat de lem-brayage. Sur la base de (19.29) on peut crire

Acier Bronze fritt

produit

conductibilit thermique k 45 60

diffusivit (19.41) a

Tmax

, /

= 30 + 1464 1 e e

= 30 + 70,0 = 100 C24/1607

1 14 1607

1o

Tmin , / = 30 + 70 e = 30 + 69 = 99 C22 86 1607 o

105o C

c 3 75, 106 3 35, 106 J m K3 1

W m K1 1

12 106 18 106 m s2 1

qW

n A t = =

21502 4 19,6 1,14

= 12,0 W/cmps

22 1

l = 0,00115 mFo > 1,132

T Ts 0 = 24,3 K( )max



avec:dure de ltat enclenchdure de ltat dclenchconstante de temps thermique dans ltat enclenchconstante de temps thermique dans ltat dclenchchauffement lors de la premire synchronisation

On trouve un chauffement maximal de 41,9 K des disques en acier et de 44 Kpour le bronze. Les disques en bronze sont les plus chauds, ils atteignent une temp-rature thorique de .

19.5.5 Source de chaleur mobile sur une surfaceDe nombreux organes de machines voient les zones de frottement se dplacer la

surface des pices: cames et suiveurs, balais sur des bagues de contact, freins sabot ou disque, engrenages. Le bref passage dune source de chaleur sur une pice ne lui permetnaturellement pas datteindre la temprature de rgime permanent calcule ci-dessus.

Une pice (2) frotte sur une autre (1) (g. 19.22) avec une vitesse de glissement v.La surface de contact constitue une source de chaleur mobile la surface du corps (1)(g. 19.23). Le ux de chaleur engendr (19.48) est donc distribu sur la surfacecomme la pression.

Un lment de la surface (1) schauffe au passage de la source de chaleur, puis serefroidit nouveau. Il est vident que lchauffement sera moins important si le passageest bref. Ltude conduit des intgrales qui ne peuvent pas se calculer analytiquement,mais on peut trouver des solutions approches sufsamment prcises pour la pratique.Elles dpendent de la vitesse de glissement vis--vis de la vitesse de propagation delonde thermique dans le solide prsentant la plus grande surface de glissement, enloccurrence le corps (1). Dnissons le chiffre de vitesse ou nombre de Pclet

T T T Ts 0 t +

t s 0 =

1

1 e

e

e

d

d

( ) ( )

max

max

1

tetd edT Ts 0 ( )max 1

149 Co

F

2 v

12s

Fig. 19.22 Dplacement dun contact rectangulaire.

y

z

1

x

v

2 s

q

1

Fig. 19.23

Dplacement dune source de chaleur.

(19.58)Pe = s va4 1


CHAUFFEMENT

27

o

s

est la demi-largeur de la bande de contact (g. 19.23) et

la diffusivit ther-mique du matriau du solide (1). On distingue quatre domaines de vitesse.

Basse vitesse

,

La vitesse de dplacement dans ce domaine est

Par exemple, pour de lacier, si. On voit que ce domaine de vitesse

est trs lent, il ne prsente pratiquement pas dintrt en mcanique, car la productionde chaleur est alors trs faible.

La chaleur se propage de part et dautre de la surface de contact (g. 19.24), ellechauffe le corps lavant de la pice en mouvement. On admet, avec un appro-ximation sufsante, que lchauffement est symtrique par rapport laxe central dela source; la rpartition de la chaleur entre les deux corps et lchauffement de sur-face peuvent se calculer par (19.52) et (19.53) comme si la source de chaleur tait im-mobile.

Vitesse intermdiaire

,

On doit calculer par une mthode numrique, car il nexiste pas de solution sim-ple approche.

Vitesse rapide

,

(contact hertzien)

Pour de lacier, la vitesse est comprise entre ouentre . Cest un domaine de vitesse technique intressantqui a t tudi par Blok [19.5] et par Archard [19.6]. Voici la dmarche de ce calcul.

La rpartition de pression dun contact hertzien est elliptique, mais on peut faireun calcul analytique de lchauffement en approchant lellipse par une parabole. Blok

a1

Pe 0,1

va

s 0 4 1,

a v1616 10 0 64 m /s; 10 m/s2 3= ,

2 20 mm, 0,064 m/s si 2 0,2 mms v s= =

(a)

2s

vq1

qTs

Tmax

T0x

(b)

Fig. 19.24 Dplacement lent dune source de chaleur uniforme: (a) ux de chaleur; (b) prol de tempra-ture.

1

0,1 5 < Pe

5 100< Pe 0,032 et 0,64 m/s si 2 20 mms =

3,2 et 64 m/s si 2 0,2 mms =


28


suppose encore que le dplacement de la source de chaleur est assez rapide pour quelchauffement soit nul devant la source et que toute la chaleur scoule sous la source,perpendiculairement la surface du corps considr comme tant semi-inni.

A linstant

t

= 0, la source de chaleur (g. 19.25) se trouve dans une certaineposition. Le point et toute la surface de (1) devant ce point se trouvent la temp-rature initiale du corps (1).

La source de chaleur avance maintenant dune quantit , rfre la demi-lar-geur de la bande de contact par le nombre relatif

, pendant le temps

Un lment de surface entourant le point reoit un ux de chaleur croissantjusqu ce que le point central de la source de chaleur concide avec , cest--dire pour . Lapport de chaleur diminue ensuite lorsque la zone B

2

-C

2

passe sur . La temprature du point

linstant , lorsque la source sestdplace de la distance , rsulte dun bilan thermique. Tous calculs faits, on trouve

La temprature volue avec lavance relative

, elle est maximale lorsque

= 1,5,cest--dire en un point situ mi-distance entre le milieu de la bande et le point decontact arrire (g. 19.26). La temprature maximale sobtient pour cette valeur;aprs introduction du ux de chaleur moyen, on trouve

o est le coefcient de pntration de chaleur (19.43) du matriau (1). La quantit est le temps de passage de la source de chaleur sur un point de la surface. La

position en t = 0

position linstant t = t

ss s

1

2 B2 C2v

q1

q10

q1q1 q10 1

x2

s2----- =

Fig. 19.25 Dplacement dune source de chaleur.

x

A1

A1T0 s

ts

v =

A1C2 A1

0 1 < A1 T1 A1 t s

(19.59)T T qc v

s v

a1 0

10

1 1 1

21615 4

5 2

= + ( )

B2

(19.60)T T C qb

s

v1 max = +0

1

1

2

b12 s v/


CHAUFFEMENT 29

courbe de temprature se dplace avec la source de chaleur, cest pourquoi on luidonne le nom de temprature instantane (ash temperature) quil ne faut pas con-fondre avec la temprature-clair la pointe des asprits (g. 19.17).

Une intgration numrique donne C = 1,11 pour une distribution elliptique,C = 1,17 pour une distribution parabolique et C = 1,13 lorsque la distribution de cha-leur est uniforme.

Le ux de chaleur de frottement se rpartit entre les pices (1) et (2),

En rgime permanent de temprature, la chaleur pntre toujours dans lapice mobile (2) par la mme surface. Par consquent, lintgrale de ce ux sur la sur-face de frottement correspond la chaleur que cette pice peut cder lambiance. Sila pice tait isole, on aurait . On ne peut dterminer la tempra-ture de surface et la rpartition du ux de chaleur quen calculant lchauffement glo-bal des pices.

En remarquant que le ux de chaleur est proportionnel la vitesse, la formule(19.60) montre que lchauffement est proportionnel .

Vitesse trs leve, La vitesse de propagation de la chaleur est ngligeable vis--vis de la vitesse de la

source de chaleur. Alors

et sont les aires de frottement, dites surfaces cinmatiques ( 3.2.2), des picesdurant un cycle de fonctionnement.

T1

T1 max

2

1s s

v

T0

T1

q1 T 1

q1 0,q1

q123--- q1 0,=

12---s

Fig. 19.26 Temprature de la surface du corps (1) de la gure 19.25.

(19.61) q p v q q = = + 1 2

q2

q q q2 = 0 et = 1

v

Pe > 100

(19.62)

qq

bb

AA

1

2

1

2

1

2

A1 A2



Exemple 1: collecteur de machine lectriqueDeux charbons frottent sur le collecteur en cuivre dune machine lectrique

(g. 19.27). On a laire des charbons, et laire du collecteur frottant en untour, . En outre: s = 25 mm; d = 150 mm; et

; ; .Le chiffre de vitesse (19.58) vaut 351. Cette valeur trs leve conduit appliquer

la formule (19.62) qui donne

La plus grande partie de la chaleur de frottement scoule vers le collecteur. Maisil ne faudrait pas croire que les charbons seront froids car, sil est vrai quils reoiventpeu de chaleur, ils sont petits et donc mal refroidis.

Exemple 2: frein disqueUn frein disque doit dissiper Q = 100 kJ. Ses caractristiques sont: Surface de contact des deux plaquettes, Volume des plaquettes, Surfaces de frottement du disque, Volume du disque,

Les constantes physiques des matriaux sont:

On admet que la chaleur est entirement stocke dans les pices, car le freinageest bref par rapport leur constante de temps thermique. Une tude prliminaire mon-tre que le frein fonctionne en rgime de vitesse trs rapide.

La chaleur se rpartit comme les ux selon (19.62), car elle prend naissance dansune surface de contact commune pendant le mme temps. Avec , ontrouve

Garniture Acier

masse volumique, 2000 7860 chaleur massique, c 790 500 coefcient de pntration, b 1000 13 000

A s1 2 = l

A d2 = l b1 2952 W s /(m K) 0,5 2=

b2 = 35 630 W s /(m K) 0,5 2 a2 107 10 m /s6 2= v 12 m/s=

q q1 = 0,0088 2

d

larc s

Fig. 19.27 Collecteur dune machine lectrique.

A1 24 10 m4 2V1 14 10 m6 3

A2 400 10 m4 2V2 100 10 m6 3

Kg m3

J Kg K1 1

W s m K 0,5 2 1

Q Q Q = +1 2


CHAUFFEMENT 31

On a les chauffements

Le matriau de la garniture se trouve normalement sur les plaquettes et le disqueest en acier. Le calcul donne:

Permutons les matriaux, les plaquettes en acier et un disque en acier revtu degarniture. On trouve:

On voit quil est nettement plus favorable de mettre les garnitures sur les pla-quettes de serrage et de faire le disque en acier. Lchauffement des plaquettes seraitintolrable si elles taient en acier.

19.5.6 Roulement avec glissementLorsque deux pices roulent et glissent lune sur lautre, comme dans le cas des

engrenages, la source de chaleur se dplace la surface des deux corps. Soit lavitesse de la source de chaleur sur la surface (1) et la vitesse sur la surface (2). Enappliquant deux fois lexpression (19.60), on a

Admettons que les tempratures du corps des pices soient gales etque les tempratures de surface soient aussi gales, on obtient le rapport des ux de chaleur

Q b Ab A b A

Q1 1 11 1 2 2

=

+Q b A

b A b AQ2 2 2

1 1 2 2

=

+

T QV c1

1

1 1 1 =

T Q

V c22

2 2 2 =

Q QT QT

13

13

1

4 59 100 21 1021

K

=

=

=

,

,

Q QT QT

2

23

2

0 9952 53 10253

K

=

=

=

,

,

Q QT QT

1

13

1

0 438

7 96 10796

K

=

=

=

,

,

Q QT QT

2

23

2

0 5623 56 10356

K

=

=

=

,

,

v1v2

(19.63)T T C q

bs

v

T T C qb

s

v

1 max

2 max

= +

= +

01

02

11 122 2

2

2

T T01 02 =( )

(19.64) 12

= =

qq

bb

v

v

1

2

12



Compte tenu du bilan thermique (19.61),

En portant dans (19.63) et en supposant , on trouve enn la tem-prature de surface instantane, valable pour les deux corps,

On remarque que la puissance de la source de chaleur est proportionnelle lavitesse de glissement, car

Ces formules sont la base du calcul de la temprature de surface des engrenagesen vue de dterminer les limites de grippage ( 19.6.5).

19.6 DIMENSIONNEMENT THERMIQUE

19.6.1 Temprature limiteLa temprature des matriaux inuence beaucoup leurs caractristiques physi-

ques et mcaniques: lacier se dforme, ue et mme fond temprature leve, tandis quil devient

fragile basse temprature; certains polymres se ramollissent vers dj; la viscosit de lhuile diminue trs fortement lorsque la temprature slve; les proprits dilectriques des isolants saltrent temprature leve, les iso-

lants peuvent brler.

Laltration des matriaux peut les rendre inaptes remplir leur fonction et pro-voquer ensuite une avarie. Il existe toujours une temprature limite, , ne jamaisdpasser, mais il est prudent de mnager une marge de scurit . On appelle tem-prature admissible, la valeur

Laptitude au service dun organe de machine du point de vue thermique sex-prime par lingalit

Il rsulte de ces considrations que la puissance dune machine, sa vitesse ou sadure de fonctionnement sont limites par la temprature de ses organes. Le dimen-

(19.65) q q1 1 = +

q q2

11

=

+

T T T01 02 0 =

(19.66)T T Cb v b v

s qmax

= ++

01 1 2 2

1 2

(19.67)q p v v = 1 2

100 Co

TlimTs

T T Tadm s = lim (19.68)

(19.69)T T adm


CHAUFFEMENT 33

sionnement thermique dune machine consiste calculer la temprature de ses picescritiques et vrier que la relation de scurit (19.69) est satisfaite. Une pice cri-tique est celle pour laquelle, en son point le plus chaud, lcart de temprature

est le plus petit et positif ou T Tadm le plus grand.

19.6.2 Puissance limite en rgime permanentLa temprature de rgime permanent dun organe de machine est donne par la

formule (19.33). La condition de bon fonctionnement dune pice critique scrit:

avec:aire de la surface de refroidissementpuissance des pertestemprature ambiantetemprature admissiblecoefcient de transmission de chaleurfacteur dchauffement intrieur

Le diagramme 19.28 reprsente cette relation. Il existe une charge thermiquemaximale admissible qui se tire de linquation ci-dessus:

Comme la perte est en relation avec la puissance de sortie dun organe, on cons-tate que lchauffement limite nalement la puissance fournie. La perte sexprime enprincipe de deux manires et la puissance limite se calcule comme suit.

Le rendement dun moteur ou dun organe de transmission tant donn( 10.5.4), exprimons la production de chaleur partir de sa puissance de sortie P:

T Tadm

(19.70)Th A

P Ta p adm +

APpTaTadmh

(19.71)P P h A T Tp adm adm a = ( )

T

Tadm

Ta

0 Pp adm Pp adm Pp

12

Fig. 19.28 Temprature et charge limites: courbe (1), convection naturelle; droite (2), convection force.



Introduisons dans (19.70) et tirons-en la puissance de sortie

La perte peut aussi sexprimer par un binme ( 10.5.2),

avec:puissance la sortieeffort de frottement constant rduit llment de sortie (roulements,joints dtanchit, guidages)vitesse de llment de sortiefraction de la puissance utile perdue et dissipe en chaleur

Avec (19.70), on obtient

La puissance tant exprime par , la limite thermique se reprsente dansun diagramme effort-vitesse (g. 19.29):

courbe (1), il existe une perte constante (19.74); hyperbole (2), les pertes sont toutes proportionnelles la puissance transmise

(19.72); droite (3), leffort de sortie du mcanisme est nul, les pertes croissent unique-

ment avec la vitesse.

On verra au paragraphe 19.6.4 comment repousser la puissance limite.

P Pp

=

1

(19.72)P P h A T T

adm adm a = ( ) 1

(19.73)P Q q Pp f = +0

PQf 0q

(19.74)P P h A T T Q q = adm adm a f ( )

10

P Qq =

Q

0

2

1

3

q

Fig. 19.29 Reprsentation dune limite thermique dans le diagramme effort-vitesse.


CHAUFFEMENT 35

19.6.3 Puissance limite en rgime temporaireExaminons lvolution de la temprature de la pice critique dun systme selon

la puissance thermique qui lui est apporte. Supposons que la temprature initiale soittoujours sensiblement gale la temprature ambiante, le systme est froid.

En introduisant lchauffement permanent donn par (19.33) dans lexpression(19.26), on trouve lvolution de la temprature intrieure

Selon lintensit des pertes, on distingue trois cas (g. 19.30).

Charge nominaleOn appelle charge thermique nominale celle pour laquelle la tem-

prature en rgime permanent est gale la temprature admissible. On la tire delquation (19.70),

La machine peut fonctionner indniment sans que la temprature admissiblesoit dpasse.

Charge fractionnaireLa puissance de perte est infrieure la perte nominale, . Lchauf-

fement est aussi plus petit et la machine peut fonctionner indniment.

(19.75)T T Ph A

eap

t

= +

1

T

Tadm

Ta

0 1 2 3 4

PpS

PpN

Pp

TS surcharge

T

N charge nominale

T

charge fractionnaire

t

adm

----------

Fig. 19.30

Temprature en fonction du temps relatif et de la charge thermique.

surchauffe

t

Q PN pN + =

(19.76)P h A T TpN adm a = ( )

P Pp pN 1= =

+

T T T TPP

T T p

= ( ) = ( )S a N a pSpN

adm a Q

tadm

T T T T p T e a adm a Qt

adm

adm

= + ( ) =

1

tadm

(19.78)pQ t e

adm=

1

1

(19.79)t pp

adm QQ

=

ln1


CHAUFFEMENT

37

pendant 12 minutes. La formule (19.78) donne un facteur de surcharge thermiquelimite valant 1,358. En admettant que la perte soit proportionnelle la puissance trans-mise, on a

Cette relation fournit la puissance transmissible pendant 12 minutes,.

Cette surcharge parat acceptable du point de vue de la rsistance mcanique.

19.6.4 Accroissement de la puissance utile

On a vu que des considrations thermiques limitent la puissance des machines ouleur dure dutilisation. En nous basant sur (19.72), examinons les mesures prendrepour accrotre la puissance utile la sortie dun organe de transmission ou fournie parun moteur lectrique.

Temprature admissible

On a intrt pouvoir laisser fonctionner les pices des tempratures levessans quelles ne soient endommages. On utilise, par exemple, des huiles visqueuses froid et stables ne se dcomposant pas la chaleur, des polymres pour engrenages etpour paliers lisses dont les caractristiques mcaniques diminuent peu avec la temp-rature, des isolants lectriques rsistant haute temprature.

Temprature ambiante

La puissance utile diminue lorsque la temprature ambiante slve, elle estmme nulle lorsque la temprature ambiante est gale la temprature admissible. Onne peut naturellement pas inuencer les conditions climatiques, mais il faut veiller ne pas installer des organes trs chargs thermiquement proximit de fortes sourcesde chaleur et ventiler abondamment les locaux.

pPP

PPQ

pS

pN

S

N = =

PS 1,358 800 1086 W= =

2

1

01 1,58 2 3 4

tadm

----------

pQQS+QN+--------

PpSPpN---------= =

Fig. 19.31 Dure de service relative et surcharge thermique temporaire.

0


38


Surface de refroidissement

Il est avantageux daugmenter la surface dchange de chaleur au moyendailettes de refroidissement (g. 19.32). Mais la temprature dune ailette diminuedepuis son pied jusqu son extrmit en se rapprochant de la temprature de lair(g. 19.33). La chaleur rellement change est donc infrieure celle qui serait trans-mise si la temprature de lailette tait uniformment gale celle qui rgne sonpied. On dmontre la relation

avec le paramtre

o:

k

coefcient de conductibilit thermique du matriau de lailette

h

coefcient de transmission de chaleur entre la surface et lair e paisseur de lailette

On constate quil est inutile de faire les ailettes trop longues, en pratique. En outre, il faut les carter sufsament pour que lair de refroidisse-

ment puisse circuler facilement entre elles. La gomtrie et la disposition les plusfavorables des ailettes de refroidissement dorganes trs chargs studient expri-mentalement, par exemple pour les moteurs explosion refroidis lair.

Coefcient de transmission de chaleur

On a vu (g. 19.6) tout lintrt de forcer les mouvements convectifs sur les sur-faces de refroidissement et de transmettre la chaleur en rgime trs turbulent. Il suft

(19.80)

QQ

e

e

rel

idal tanh=

ll1

= khe2

l = ( )6 10... e

Ta

Q e

T

Ta0

T(x)

x

l

Fig. 19.32 Ailettes de refroidissement. Fig. 19.33 Temprature le long dune ailette.


CHAUFFEMENT

39

de soufer vigoureusement sur les surfaces par un ventilateur. Soit le ventilateur estentran directement par la machine, soit on installe un ventilateur auxiliaire; maiscette dernire solution est moins able. Remarquons que le coefcient de transmissionde chaleur diminue avec laltitude, car la densit de lair est moindre. Relevons encorelimportance de nettoyer les machines et de ne pas les laisser se recouvrir de poussireou de dchets qui les isolent thermiquement.

Conduction

On peut favoriser le refroidissement dun organe en amliorant la conduction dela chaleur vers le bti. Ce dernier joue alors le rle dune ailette de refroidissement.Pour cela, il faut que les surfaces assembles soient lisses et dpourvues de zonescreuses. Il est avantageux, avant montage, denduire les surfaces de graisse spcialebonne conductrice de la chaleur.

Transmission interne de la chaleur

Il sagit de faciliter le passage de la chaleur entre les sources et les surfaces derefroidissement an dabaisser la temprature des pices dlicates (

peu sup-rieur lunit). A cet gard, la ventilation intrieure des carters et le brouillarddhuile qui y rgne sont favorables. Il faut agiter le bain dhuile, arroser abondam-ment les pices chaudes (engrenage, roulements), faire barboter les vis sans ndans lhuile ; utiliser des mtaux bons conducteurs de la chaleur, augmenter la sec-tion des pices et raccourcir le cheminement de la chaleur an de rduire la rsis-tance thermique.

RendementOn a toujours intrt diminuer les pertes, donc amliorer le rendement, pour

rduire la production de chaleur. Si le rendement passe, par exemple, de 96% 97%, lapuissance transmissible saccrot de 35%. On agira principalement sur la lubricationpour diminuer le frottement et on utilisera avantageusement des mcanismes prsen-tant peu de glissement; par exemple des engrenages plutt quune vis sans n, unepompe hydraulique dbit variable plutt quune pompe dbit constant associe une soupape de dcharge. Le souci damliorer le rendement procde, dans ce con-texte, plus de la proccupation daccrotre la puissance transmissible que dco-nomiser lnergie.

Refroidissement auxiliaireLorsque toutes les mesures proposes sont insufsantes pour maintenir la tem-

prature dans les limites acceptables, on prvoit un dispositif de refroidissement auxi-liaire selon le paragraphe 19.3.3. Lair souf par un ventilateur sapparente aussi untel systme.

Le rducteur vis sans n reprsent la gure 19.34 illustre lapplication deplusieurs des mesures proposes. Le fond du carter (4) est muni dailettes de refroi-dissement, un ventilateur (5) port par larbre de la vis sans n soufe de lair entre lesailettes, lair est guid par un capot en tle. La vis sans n est refroidie directement entrempant dans le bain dhuile.



19.6.5 Transmission engrenageTemprature du carter

La force normale de denture dengrenages est limite par la rsistance des dents la exion et la rsistance la pression supercielle. Le calcul davant-projet dumodule dengrenages cylindriques se fait par les formules suivantes [19.7, 19.8], vala-bles pour langle de pression , selon le critre de dimensionnement:

Critre de rsistance la exion

avec:couple au pignonlargeur relative de la denturenombre de dents du pignoncontrainte admissible de exion

Critre de rsistance la pression supercielle

avec:rapport dengrenage, ngatif avec une denture intrieurepression supercielle admissible

Fig. 19.34 Rducteur vis sans n avec refroidissement forc (Flender). Puissance nominale 24,5 kW,n1 = 1500 t/min, i = 20. (1) vis sans n; (2) roue dente; (3) moyeu; (4) carter avec ailettes de refroi-dissement; (5) ventilateur; (6) bouchon de vidange; (7) remplissage dhuile; (8) et (9) diverses tanchits;(10) disque chasse-gouttes; (11) retour dhuile; (12) roulements billes ou (13) roulements galets coni-ques; (14) rondelles de rglage de la position axiale de la roue.

10

9

111

48

200

8

niveau

11

5

dhuile

6 6

4

1314

80

12

3

27

12

14

13

= 20o

(19.81)m Mz

Fm F adm

= 2 1 11

3,

M1 m = b m/z1 F adm

(19.82)m Mz

u

u

ZH

m

E

H adm ,317 = +2 11

12 2

23

u z z = 2 1/ H adm


CHAUFFEMENT 41

coefcient de matriau

coefcients de Poisson du pignon et de la rouemodules dlasticit du pignon et de la roue

Les rsistances admissibles des matriaux intervenant dans ces formules sont enrelation avec les rsistances limites des matriaux. Dans le domaine de la limite defatigue, on a:

avec:limite de fatigue du matriau la rupture de lengrenage dessai avecune probabilit de rupture de 1%facteur de concentration de contrainte de lengrenage dessai, selon lesnormes, facteur de scurit la rupture

et pour la pression supercielle,

avec:pression limite dendurance pour au moins cycles et une pro-babilit de dterioration de 1%facteur de scurit la pression hertzienne

Dans un engrenage intermdiaire, et dans les engrenages avec inversion du sensde marche, les dents sont sollicites en exion alterne; il faut donc multiplier encore

par 0,7.La taille dun engrenage est dtermine par le module le plus grand, ou

. Il savre que la rsistance la rupture de exion dtermine la taille des engre-nages en acier cments et tremps. A couple et nombre de dents gaux, ils sont net-tement plus petits quavec un acier non trait. Cet aspect sera tudi plus en dtail auparagraphe 26.6.3.

En comparant divers rducteurs, on trouve que la surface extrieure des cartersvolue avec le module selon la fonction

o a est un coefcient qui dpend de la construction.Par ailleurs, la puissance dissipe dans le rducteur est

Z

E E

E12

1

22 =

1

+

1 1

2

1 2,E1 2,

F admST F lim

F =

YS

F lim

YSTYST = 2 1,

SF

H admH lim

H =

S

H lim 5 107

SH

F limmF

mH

A a m 1,8= (19.83)



et la temprature de son carter vaut alors

Exprimons le couple au pignon en fonction du couple de sortie:

Introduisons ce couple dans les expressions (19.81) et (19.82) de calcul des modules,puis substituons dans (19.84). On obtient une formule de la forme

o est un coefcient qui dpend notamment du critre de dimensionnementdterminant. La temprature de rgime permanent est reprsente la gure 19.35 enfonction du couple appliqu au pignon. On admet que le rendement est indpendant dela nuance dacier et de son traitement de surface. Du fait de leur plus petite taille, lestransmissions en acier cment et tremp chauffent beaucoup plus que celles en aciernon trait. On distingue trois domaines:

Pour de faibles couples, domaine I, la chaleur dgage peut svacuer naturel-lement lair. On prfre alors durcir les dentures an de diminuer la taille et lamasse de la transmission.

Dans la gamme des couples trs levs, domaine III, on quipe les transmis-sions de refroidissement auxiliaires; gnralement par rfrigration de lhuilede graissage, mme si lacier nest pas trait.

Dans le domaine intermdiaire II, les engrenages non traits peuvent encorese refroidir naturellement, tandis que les engrenages dentures cmentes ettrempes doivent possder un refroidissement forc. Dans certaines applica-tions, on joue la carte de la scurit en prfrant construire un gros rducteuren acier non trait an de ne pas tre tributaire dun systme de refroidisse-ment; mais un traitement de surface est tout de mme prfrable pour matri-ser lusure, mme si la capacit de rsistance de lacier reste partiellementinexploite.

La dlimitation exacte des trois domaines dpend videmment de la vitesse dupignon, de la rsistance des matriaux et de la construction de la transmission.

Les rducteurs picyclodaux sont beaucoup plus compacts et ceux dont la raison est ngative ont un meilleur rendement que les engrenages ordinaires. Cette amlio-

ration du rendement compense la rduction de taille. En revanche, les rducteurs rai-son positive ont un moins bon rendement; il faut les viter pour les transmissions depuissance [19.9].

P Mp

=

12 2

(19.84)T T Ph A

Th a m

M

= + = +

ap

a1 1

1 8 2 2

,

MM

i12

=

(19.85)T T a M

= + a 1 2 20 4 ,

a1

i0


CHAUFFEMENT 43

La gure 26.24 et le tableau 26.25 comparent lencombrement de rducteursselon leur construction et selon le traitement de leur denture. Dans le cas (a), avec unpignon en acier amlior, la surface de refroidissement expose lair est de .En admettant un rendement global de 98%, un coefcient de transmission de chaleurde et un chauffement du carter de 35 K, on calcule par la formule(19.72) une puissance limite de 1235 kW. Cest exactement la puissance dedimensionnement de ce rducteur. Dans le cas (c), la surface de refroidissement nestplus que et la puissance limite en refroidissement naturel vaut 422 kW. On nepeut alors transmettre la puissance nominale de 1240 kW quen recourant unrefroidissement de lhuile travers un changeur de chaleur.

Cette discussion montre que les considrations thermiques jouent un rle trs im-portant pour la conception dune transmission engrenage.

GrippageIl arrive que des engrenages trs chargs ayant des vitesses priphriques sup-

rieures 4 m/s prsentent parfois des traces de grippage provoques par ladhrence dessurfaces avec arrachement de matire (g. 19.36). Blok [19.10] a expliqu le grippagepar une rupture brutale du lm dhuile lorsque la temprature dpasse localement unecertaine temprature critique caractristique de lhuile de graissage utilise ( 3.5.1).

Sans entrer dans les dtails, la condition de non-grippage peut scrire sous laforme suivante:

Fig. 19.35 Echauffement dun engrenage en fonction du couple de sortie vitesse constante.

cmentet tremp

non trait

IIIIII0

Ta

Tadm

T

M2

36 m2

20 W/m K2

12,3 m2

(a) (b)Fig. 19.36 Traces de grippage sur une denture: (a) dbut; (b) stade avanc.



avec:temprature moyenne du lm dhuiletemprature de lhuile, voisine de la temprature du corps des dentscoefcient dpendant du rapport de conduite et de langle dhlicecoefcient de frottement moyen le long du prolforce de contact apparente corrigelargeur de la denturefacteur de gomtrie dans lequel interviennent les rayons de courburedes prols en contact en tte dune dent du pignonvitesse du pignontemprature moyenne critique du lubriant dtermine par des essais degrippage

Les valeurs numriques se trouvent dans les normes et dans la littrature sp-cialise. On agit principalement sur la charge spcique et sur le choix delhuile pour prvenir le grippage. Il existe des huiles avec des additifs extrmes pres-sions spcialement dvelopps cet effet. Le facteur de scurit au grippage est d-ni par

o les tempratures sont introduites en .

19.6.6 Rducteurs vis sans finIl existe un intense glissement entre une vis sans n et les dents de la roue. Cest

pourquoi les pertes de ce type de rducteur sont plus fortes que dans les engrenagescylindriques ou coniques. Il faut donc toujours vrier les rducteurs vis sans n lchauffement. Les calculs thermiques font appel plusieurs coefcients empiriquesqui dpendent de la construction du rducteur, notamment de la position de la vis. Parexemple, on indique que le coefcient de transmission de chaleur entre le bain dhuileet lair ambiant est 25% plus grand si la vis se trouve en dessous de la roue et trempedans lhuile, quelle agite nergiquement, que si elle est situe au dessus.

Une procdure de calcul bien connue propose de prdimensioner lentraxe sur labase de considrations dchauffement avant de faire les vrications de rsistancemcanique des dents et de contrler la rsistance lusure.

19.6.7 PaliersPaliers lisses en frottement mixte

La chaleur nat dans la zone portante du coussinet; mais larbre tournant prendune temprature uniforme et se comporte comme une source de chaleur introduitedans le coussinet (g. 19.37). Le couple de frottement est donn par (8.102). On a lapuissance perdue

(19.86)T T B Fb

X Ti he mnt

G i lim = +

CHAUFFEMENT 45

o est le coefcient de frottement quivalent qui tient compte de la distribution depression effective ( 8.7.4). Introduisons la vitesse priphrique et lapression moyenne de rfrence par . Il vient

Portons cette valeur dans lingalit de scurit thermique (19.70) qui devient

On a pris lhabitude de vrier les conditions de fonctionnement thermique de cetype de palier en se basant uniquement sur la valeur du produit , soit

Le rapport de la surface de refroidissement A laire projete Bd varie relati-vement peu dun palier lautre. En revanche,

et h dpendent fortement delambiance et des conditions de fonctionnement. Cest pourquoi on donne, dans cer-tains manuels de construction, par exemple, 20 bar m/s dans lesmachines hydrauliques, 120 bar m/s pour un ancien essieu de chemin de fer. La grandediffrence provient principalement du meilleur refroidissement du palier dessieuexpos au vent de la marche du train. On voit que le critre du produit est un mau-vais critre quil ne faudrait plus utiliser sauf, la rigueur, pour juger un avant-projetpar rapport un palier fonctionnant dans des conditions identiques. La taille du paliertant choisie, il importe de vrier correctement lchauffement.

P M Fd

p f = = 2

v d = / 2

F p Bd =

P p B d vp =

(19.88)Th A

B d p Tva adm +

Ts

Mf

Pp

F

Q

B

d

Fig. 19.37 Flux de chaleur dun palier lisse.

Ta

p v

(19.89)p v p v h ABd

T T adm adm a ( ) =

( )

Ta

p v( ) =adm 8

p v



Il faut prendre garde de ne jamais confondre ce produit , bas uniquement surdes considrations thermiques, avec la valeur du produit relatif lusure du cous-sinet que nous avons prsent au paragraphe 3.6.1. Cette distinction est parfois ou-blie, ce qui peut conduire de srieux mcomptes.

Paliers hydrodynamiquesLes paliers et les butes hydrodynamiques sont trs sensibles la temprature,

car la viscosit de lhuile dont dpend leur fonctionnement diminue trs vite lorsque latemprature augmente. Cest pourquoi ces paliers se calculent toujours sur la basedun bilan thermique. Cette tude sort du cadre de cet ouvrage, voir [19.11], mais onverra au paragraphe 21.4.1 linuence de la charge et de la vitesse sur lchauffement.

RoulementsLe calcul de la temprature de service des roulements est dlicat, car le couple de

frottement, le coefcient de transmission de chaleur interne, la surface dchange dechaleur et la capacit de refroidissement par lhuile sont difciles apprcier. Il est leplus souvent inutile de faire un

Conception_des_machines_Principes_et_application_0003.pdf

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conclusions principales

dimensionnement des

vitesse des moteurs

dimensionnement thermique

transmission de chaleur

bilan thermique

machines principes

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