COMUNICACIONES ANALOGICAS Juan A. Fernández Rubio Mayo 1999
Oct 26, 2014
COMUNICACIONES ANALOGICAS
Juan A. Fernández Rubio
Mayo 1999
&RPXQLFDFLRQHV$QDOyJLFDV
7(0$,6,67(0$6/,1($/(6
,,1752'8&&,216(f$/(6<6,67(0$6 BBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBB
,6(f$/(6 BBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBB
,6,67(0$6BBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBB I.1.2.1.- INTERCONEXION DE SISTEMAS ________________________________________3I.1.2.2.- SISTEMAS LINEALES___________________________________________________5I.1.2.3.- SISTEMAS INVARIANTES _______________________________________________5I.1.2.4.- CAUSALIDAD __________________________________________________________6I.1.2.5.- ESTABILIDAD__________________________________________________________7
,&$5$&7(5,=$&,21'(6,67(0$6/,1($/(6BBBBBBBBBBBBBBBBBBBBB
,(&8$&,21(6',)(5(1&,$/(6/,1($/(6BBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBB
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,,17(*5$/'(&2192/8&,21 BBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBB I.2.3.1.- PROPIEDADES DE LA CONVOLUCION__________________________________17I.2.3.2.- CAUSALIDAD _________________________________________________________23I.2.3.3.- ESTABILIDAD_________________________________________________________23
,'(7(50,1$&,21'(/$5(638(67$$/,038/62 BBBBBBBBBBBBBBBBB
,5(638(67$$/(6&$/2181,'$' BBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBB
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,87,/,=$&,21'(/$675$16)250$'$6'(/$3/$&(<)285,(5 BB
,)2508/$'(,19(56,21 BBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBB
,7(25(0$'(&2192/8&,21 BBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBB
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,,17(535(7$&,21'(/$75$16)250$'$'()285,(5 BBBBBBBBBBB
,&21',&,21(6'((;,67(1&,$'(/$75$16)250$'$'()285,(5
,3523,('$'(6'(/$75$16)250$'$'()285,(5BBBBBBBBBBBBBBB I.3.8.1.- TRANSFORMADA DE UNA SEÑAL REAL ________________________________37I.3.8.2.- TRANSFORMADA DE UNA SEÑAL IMAGINARIA PURA____________________38I.3.8.3.- FUNCION REAL PAR __________________________________________________38I.3.8.4.- FUNCION REAL IMPAR ________________________________________________38I.3.8.5.- FUNCION REAL GENERAL _____________________________________________38I.3.8.6.- TEOREMA DE DUALIDAD ______________________________________________39I.3.8.7.- CAMBIO DE ESCALA TEMPORAL Y FRECUENCIAL ______________________42I.3.8.8.- RETARDO TEMPORAL ________________________________________________43I.3.8.9.- DESPLAZAMIENTO FRECUENCIAL. MODULACION_______________________44I.3.8.10.- DIFERENCIACION ___________________________________________________45I.3.8.11.- INTEGRACION_______________________________________________________46I.3.8.12.- CONVOLUCION EN FRECUENCIA _____________________________________49
,9(17$1$6 BBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBB I.3.9.1.- VENTANAS EN EL DOMINIO DEL TIEMPO _______________________________50I.3.9.2.- VENTANAS EN FRECUENCIA. FENOMENO DE GIBBS____________________52
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,,75$16)250$'$'(/$6(f$/3(5,2',&$BBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBB
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,,5(35(6(17$&,21*5$),&$'(/$75$16)250$'$'()285,(5'(81$6(f$/3(5,2',&$ BBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBB
,,)2508/$'(32,6621 BBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBB
,,6(f$/(63(5,2',&$6$75$9(6'(6,67(0$6/,1($/(6BBBBBBBB
,,5(35(6(17$&,21'(6(f$/(6123(5,2',&$60(',$17('(6$552//2(16(5,('()285,(5 BBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBB
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,,,327(1&,$0(',$3$5$6(f$/(63(5,2',&$6BBBBBBBBBBBBBBBBBB
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,99$/250(',2'(/352&(62BBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBB
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,9$872&29$5,$1=$BBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBB
,99$/250(',2<$872&255(/$&,21(1)81&,21'(/$65($/,=$&,21(6'(/352&(62 BBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBB
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,9352&(626(67$&,21$5,26(16(17,'2(675,&72BBBBBBBBBBBBBB
,9352&(626(67$&,21$5,26(16(17,'2$03/,22'(%,/0(17((67$&,21$5,26BBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBB
,9(63(&752'(327(1&,$'(81352&(62(67$&,21$5,2 BBBBBB
,9352&(626(67$&,21$5,26<6,67(0$6/,1($/(6 BBBBBBBBBBBBB
,9352&(626(5*2',&26 BBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBB
,958,'27(50,&2BBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBB
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,958,'2%/$1&2),/75$'2 BBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBB
,9$1&+2'(%$1'$(48,9$/(17('(58,'2 BBBBBBBBBBBBBBBBBB
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9(/(0(1726'(/6,67(0$'(75$160,6,21 BBBBBBBBBBBBBBBBBBB
9)8(17( BBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBB
975$160,625 BBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBB
9&$1$/'(&2081,&$&,21(6BBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBB V.2.3.1.- PERDIDAS EN LINEAS DE TRANSMISION________________________________3V.2.3.2.- PERDIDAS EN EL ESPACIO LIBRE ______________________________________3
95(&(3725 BBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBB V.2.4.1.- RUIDO BLANCO ADITIVO______________________________________________4
95(3(7,'25(6 BBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBB
9',67256,21 BBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBB
9',67256,21/,1($/BBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBB V.4.1.1.- ECUALIZADORES ____________________________________________________11
9',67256,2112/,1($/ BBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBB V.4.2.1.- COMPRESORES Y EXPANSORES_______________________________________15
9),/75267(50,1$/(6237,026 BBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBB
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7(0$9,6(f$/(6<352&(6263$62%$1'$
9,6(f$/$1$/,7,&$BBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBB
9,75$16)250$'$'(+,/%(57 BBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBB
9,352&(6$'2'(6(f$/(60(',$17((/862'(/$66(f$/(6
$1$/,7,&$6BBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBB
9,(192/9(17(<)5(&8(1&,$,167$17$1($ BBBBBBBBBBBBBBBBBBB
9,75$16)250$'$'(+,/%(57'(/352'8&72'(81$6(f$/
3$62%$-2<275$3$-2$/72&21(63(&752648(126(62/$3$1BB
9,3523,('$'(6'(/$75$16)250$'$'(+,/%(57 BBBBBBBBBBBB
9,/,1($/,'$' BBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBB
9,$872&255(/$&,21<(63(&752'(/$75$16)250$'$'(
+,/%(57 BBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBB
9,&255(/$&,21&58=$'$'(81$6(f$/<6875$16)250$'$'(
+,/%(57 BBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBB
9,5(/$&,21'(2572*21$/,'$'(175(81$6(f$/<68
75$16)250$'$'(+,/%(57 BBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBB
9,75$16)250$'$,19(56$'(+,/%(57BBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBB
9,75$16)250$'$'(+,/%(57'(/$&2192/8&,21'('26
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9,6(f$/(6&$86$/(6<75$16)250$'$'(+,/%(57 BBBBBBBBBBB
9,6(f$/(63$62%$1'$ BBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBB
9,(48,9$/(17(3$62%$-2 BBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBB
9,6(f$/(66,0(75,&$6<$17,6,0(75,&$6BBBBBBBBBBBBBBBBBBBB
9,&20321(17(6(1)$6(<&8$'5$785$BBBBBBBBBBBBBBBBBBBBB
9,5(7$5'26'()$6(<'(*5832BBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBB
9,),/75$'2(48,9$/(17(3$62%$-2 BBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBB
9,5(35(6(17$&,21)$625,$/'(6(f$/(63$62%$1'$ BBBBBBB
9,5(35(6(17$&,21'(352&(626(67$&,21$5,263$62%$1'$
9,$872&255(/$&,21<&255(/$&,21&58=$'$'(/26
352&(626)$6(<&8$'5$785$ BBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBB
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9,$872&255(/$&,21'(/352&(623$62%$-2 BBBBBBBBBBBBBBB
9,$872(63(&752'(/26352&(626)$6(<&8$'5$785$BBBBB
9,(63(&752&58=$'2'(/$66(f$/(6)$6(<&8$'5$785$BB
9,(63(&7526'(/352&(62%$-2<'(/352&(62$1$/,7,&2 BB
9,3523,('$'(6'(/$6&20321(17(6)$6(<&8$'$5$785$'(
/$$872&255(/$&,21'(/352&(623$62%$1'$BBBBBBBBBBBBBBBBBBB
9,58,'2%/$1&23$62%$1'$ BBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBB
9,352&(6263$62%$1'$12(67$&,21$5,26 BBBBBBBBBBBBBBBBBB
9,352&(66263$66$%$1'$$0%)$6($/($725,$ BBBBBBBBBBBBB
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7(0$9,,02'8/$&,21(6/,1($/(6
9,,,1752'8&&,21$/266,67(0$6'(02'8/$&,21 BBBBBBBBBBBBB
9,,02'8/$&,21(6/,1($/(6 BBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBB
9,,$03/,78'02'8/$'$$0 BBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBB
VII.2.1.1.- ANCHO DE BANDA __________________________________________________4
VII.2.1.2.- POTENCIA TRANSMITIDA ____________________________________________5
VII.2.1.3.- GENERACION DE AMPLITUD MODULADA _____________________________6
9,,02'8/$&,210(',$17(',6326,7,92612/,1($/(6 ___________8
9,,02'8/$&,21325&21087$&,212&+233(5 ______________9
VII.2.1.4.- DEMODULACION DE AMPLITUD MODULADA _________________________12
9,,'(7(&725'((192/9(17('(3,&2 ___________________________12
9,,'(7(&725'((192/9(17(3520(',2 ______________________17
9,,02'8/$&,21'2%/(%$1'$/$7(5$/'%/3257$'25$
6835,0,'$ BBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBB
VII.2.2.1.- GENERACION DE DOBLE BANDA LATERAL ___________________________21
VII.2.2.2.- DETECCION COHERENTE DE DBL____________________________________23
9,,6,1&521,=$&,21'(3257$'25$ ____________________________25
9,,,1&25325$&,21'(3257$'25$ _____________________________25
9,,*(1(5$&,21'(3257$'25$0(',$17(/$=2&8$'5$7,&2__25
9,,02'8/$&,21%$1'$/$7(5$/81,&$%/8 BBBBBBBBBBBBBBBBBB
VII.2.3.1.- GENERACION DE BANDA LATERAL UNICA ___________________________28
9,,',6&5,0,1$&,21(1)5(&8(1&,$2),/75$'2 _______________28
9,,',6&5,0,1$&,21(1)5(&8(1&,$(1'2%/((7$3$ ___________29
9,,02'8/$&,21325',6&5,0,1$&,21'()$6( _________________30
9,,02'8/$'25'(:($%(5_____________________________________31
VII.2.3.2.- DEMODULACION DE SEÑALES BLU __________________________________32
9,,%$1'$/$7(5$/5(6,'8$/29(67,*,$/%/9BBBBBBBBBBBBBBBB
VII.2.4.1.- EXPRESION DE LA SEÑAL MODULADA EN EL DOMINIO DEL TIEMPO____39
VII.2.4.2.- MODULACION BLV CON PORTADORA________________________________41
9,,58,'2(102'8/$&,21(6/,1($/(6 BBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBB
9,,58,'2(1'2%/(%$1'$/$7(5$/BBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBB
9,,58,'2(1%$1'$/$7(5$/81,&$ BBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBB
&RPXQLFDFLRQHV$QDOyJLFDV9,,58,'2(1$03/,78'02'8/$'$$0&21'(7(&&,21'(
(192/9(17(BBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBB
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7(0$9,,,02'8/$&,21(6$1*8/$5(6
9,,,02'8/$&,21(6$1*8/$5(6 BBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBB
9,,,02'8/$&,21'()$6(<02'8/$&,21'()5(&8(1&,$ BBBBBB
9,,,02'8/$&,21'()$6( BBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBB
9,,,02'8/$&,21'()5(&8(1&,$ BBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBB
9,,,5(/$&,21(175(02'8/$&,21'()$6(<02'8/$&,21'(
)5(&8(1&,$ BBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBB
9,,,&203$5$&,21(175(02'8/$&,21(6$1*8/$5(6</,1($/(6
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9,,,$1&+2'(%$1'$'()002'8/$'25$72126,03/( BBBB
9,,,$1$/,6,6(63(&75$/'()0&21'2672126BBBBBBBBBBBBBBBB
9,,,$1&+2'(%$1'$'(81$6(f$/)0&2181$02'8/$'25$
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9,,,*(1(5$&,21'()0'(%$1'$(675(&+$ BBBBBBBBBBBBBBBBBBB
9,,,02'8/$&,21',5(&7$'()0'(%$1'$$1&+$ BBBBBBBBBBBBB
9,,,02'8/$&,21,1',5(&7$'()0BBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBB
9,,,'(02'8/$'25(6'()0',6&5,0,1$'25'()5(&8(1&,$6
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9,,,'(7(&&,21'()086$1'281$/,1($'(5(7$5'2 BBBBBBBB
9,,,/,0,7$'25BBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBB
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9,,,35((1)$6,6<'((1)$6,6(1)0BBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBB
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7(0$,6,67(0$6/,1($/(6
,,1752'8&&,216(f$/(6<6,67(0$6 BBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBB
,6(f$/(6 BBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBB
,6,67(0$6BBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBB I.1.2.1.- INTERCONEXION DE SISTEMAS ________________________________________3I.1.2.2.- SISTEMAS LINEALES___________________________________________________5I.1.2.3.- SISTEMAS INVARIANTES _______________________________________________5I.1.2.4.- CAUSALIDAD __________________________________________________________6I.1.2.5.- ESTABILIDAD__________________________________________________________7
,&$5$&7(5,=$&,21'(6,67(0$6/,1($/(6BBBBBBBBBBBBBBBBBBBBB
,(&8$&,21(6',)(5(1&,$/(6/,1($/(6BBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBB
,5(638(67$,038/6,21$/ BBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBB
,,17(*5$/'(&2192/8&,21 BBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBB I.2.3.1.- PROPIEDADES DE LA CONVOLUCION__________________________________17I.2.3.2.- CAUSALIDAD _________________________________________________________23I.2.3.3.- ESTABILIDAD_________________________________________________________23
,'(7(50,1$&,21'(/$5(638(67$$/,038/62 BBBBBBBBBBBBBBBBB
,5(638(67$$/(6&$/2181,'$' BBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBB
,6,17(6,6'(6,67(0$6BBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBB
,$872)81&,21(6'(/$(&8$&,21'(&2192/8&,21BBBBBBBBBB
,75$16)250$'$'()285,(5 BBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBB
,87,/,=$&,21'(/$675$16)250$'$6'(/$3/$&(<)285,(5 BB
,)2508/$'(,19(56,21 BBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBB
,7(25(0$'(&2192/8&,21 BBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBB
,(-(03/26'(75$16)250$'$6'()285,(5 BBBBBBBBBBBBBBBBBBBB
,,17(535(7$&,21'(/$75$16)250$'$'()285,(5 BBBBBBBBBBB
,&21',&,21(6'((;,67(1&,$'(/$75$16)250$'$'()285,(5
,3523,('$'(6'(/$75$16)250$'$'()285,(5BBBBBBBBBBBBBBB I.3.8.1.- TRANSFORMADA DE UNA SEÑAL REAL ________________________________37I.3.8.2.- TRANSFORMADA DE UNA SEÑAL IMAGINARIA PURA____________________38I.3.8.3.- FUNCION REAL PAR __________________________________________________38I.3.8.4.- FUNCION REAL IMPAR ________________________________________________38I.3.8.5.- FUNCION REAL GENERAL _____________________________________________38I.3.8.6.- TEOREMA DE DUALIDAD ______________________________________________39I.3.8.7.- CAMBIO DE ESCALA TEMPORAL Y FRECUENCIAL ______________________42I.3.8.8.- RETARDO TEMPORAL ________________________________________________43I.3.8.9.- DESPLAZAMIENTO FRECUENCIAL. MODULACION_______________________44I.3.8.10.- DIFERENCIACION ___________________________________________________45I.3.8.11.- INTEGRACION_______________________________________________________46I.3.8.12.- CONVOLUCION EN FRECUENCIA _____________________________________49
,9(17$1$6 BBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBB I.3.9.1.- VENTANAS EN EL DOMINIO DEL TIEMPO _______________________________50I.3.9.2.- VENTANAS EN FRECUENCIA. FENOMENO DE GIBBS____________________52
&RPXQLFDFLRQHV$QDOyJLFDV I-1
,,1752'8&&,216(f$/(6<6,67(0$6
,6(f$/(6
Una señal es cualquier magnitud asociada a un fenómeno físico, función
de una o varias variables independientes, que puede ser revelada por un
instrumento o percibida por el hombre y que contiene información sobre el
fenómeno.
Ejemplos :
- Señal de voz
- Fotografía
- Velocidad del viento en función de la altura
- Etc.
Matemáticamente puede expresarse, para una sola variable, como :
x(t) -W
6(f$/(6(/(0(17$/(6
Escalón
u(t)
1
0 t
u(t) = 1 t > 0
0 t < 0
&RPXQLFDFLRQHV$QDOyJLFDV I-2
38/625(&7$1*8/$5
)2
( )(7W
$W[ Π=
$
7 7 W
t
2T = 1 -T < t < T
0 RESTO
38/6275,$1*8/$5
-T T
A
t
x(t) = A tT
Λ ( )
Λ
t
T =1 -
|t|T - T < t < T
0 RESTO
,6,67(0$6
Un sistema es un proceso que transforma una señal x(t) en otra y(t).
SISTEMA
ENTRADA SALIDA
y(t)
T[.]
x(t)
&RPXQLFDFLRQHV$QDOyJLFDV I-3
Si no se tiene ningún conocimiento del sistema puede ponerse :
y(t) = T[x(t)]
Ejemplos de sistemas :
- Circuitos eléctricos
- Cámara de fotografiar
- Sistema auditivo
- Etc.
,,17(5&21(;,21'(6,67(0$6
6(5,(2&$6&$'$
SISTEMA 1
[].17
[W SISTEMA 2 \W
[].27
)(1 W\
y(t) = T2 [y1(t)] = T2 [T1[x(t)]] = T[ ]x(t)
T = T2 [T1[.]] = T2 T1
&RPXQLFDFLRQHV$QDOyJLFDV I-4
3$5$/(/2
[W
)(1 W\
\W
)(2 W\
+
[].27
[].17
y(t) = y1(t) + y2(t) = T1[ ]x(t) + T2[ ]x(t) = T[ ]x(t)
T = T1 + T2
5($/,0(17$&,21
x(t)y(t)+ T
T
1
2
+
-
y(t) = T1[ ]x(t) - T1 T2[ ]y(t)
&RPXQLFDFLRQHV$QDOyJLFDV I-5
,6,67(0$6/,1($/(6
x (t) y (t)
x (t) y (t)2
1T [.]
1
2
El sistema es lineal si verifica que :
y(t) = T[a1x1(t) + a2x2(t)] = a1 T[x1(t)] + a2 T[x2(t)] =
= a1 y1(t) + a2 y2(t)
(-(03/2'(6,67(0$/,1($/
T[.] = d(.)dt
ddt [a1x1 + a2x2] = a1
dx1dt + a2
dx2dt
(-(03/2'(6,67(0$12/,1($/
T[.] = (.)2
(a1 x1 + a2 x2 )2 = a21 x
21 + a
22 x
22 + 2a1 a2 x1 x2
a1 x21 + a2 x
22
,6,67(0$6,19$5,$17(6
Sea y(t) = T[x(t)]
se dice que el sistema es invariante si :
T[x(t - to)] = y(t - to )
(-(03/2'(6,67(0$,19$5,$17(
T[.] = ⌡⌠-
t (.) dτ y(t) = ⌡⌠
-
t x(τ) dτ
&RPXQLFDFLRQHV$QDOyJLFDV I-6
⌡⌠-
t x(τ - to ) dτ =
τ - to = u
dτ = du = ⌡⌠
-
t-to x(u)du = y(t-to )
(-(03/2'(6,67(0$9$5,$17(
xx ( t ) y ( t ) = x ( t ) c o s tωο
c o s tωο
y(t-to ) = x(t-to ) cosωo(t-to) [t-to ) cosωo t
,&$86$/,'$'
Se dice que un sistema es causal si no responde antes de que llegue la
entrada. Esto es :
si x(t) = 0 V- t < to
entonces y(t) = T[x(t)] = 0 V- t < to
&20(17$5,2662%5(&$86$/,'$'
Los sistemas causales son de gran importancia, pues todo sistema,
inicialmente en reposo, trabajando en tiempo real es causal. No obstante, los
sistemas causales no son los únicos que tienen significado práctico. Ejemplos
de señales en los que el sistema puede utilizar valores futuros de la entrada
pueden ser en :
- Procesado de imagen (ampliación)
- Señales pregrabadas : voz, geofísicas, meteorológicas, etc.
Así pues, la causalidad no debe ser una restricción.
&RPXQLFDFLRQHV$QDOyJLFDV I-7
,(67$%,/,'$'
Un sistema es estable si para toda entrada acotada la salida está
acotada. Las condiciones de estabilidad se verán más adelante.
(-(03/2'(6,67(0$12(67$%/(
INTEGRADOR
y(t) = ⌡⌠-
t x(τ)dτ
si x(t) = u(t) =
1 t > 0
0 t < 0 Función escalón acotada
y(t) =
t t > 0
0 t < 0 No acotada
,&$5$&7(5,=$&,21'(6,67(0$6/,1($/(6
En el dominio del tiempo, los sistemas lineales pueden caracterizarse
por :
- Ecuaciones diferenciales lineales
- Respuesta al impulso
- Variables de estado
,(&8$&,21(6',)(5(1&,$/(6/,1($/(6
Una clase importante de sistemas puede caracterizarse por una
ecuación diferencial lineal que relaciona la entrada y salida. Ejemplos de
sistemas de este tipo son los circuitos RLC y los sistemas mecánicos que
incluyen resortes y fuerzas de amortiguamiento. Si los elementos
"concentrados" del sistema son invariantes en el tiempo, la ecuación
diferencial tendrá coeficientes constantes y adopta la forma general :
&RPXQLFDFLRQHV$QDOyJLFDV I-8
∑n=0
N an
dny
dtn = ∑
m=0
M bm
dmx
dtm
La solución de esta ecuación es de la forma :
y(t) = yh(t) + yp(t)
yh(t) = solución de la ecuación homogénea
yp(t) = solución particular
Para la resolución de la ecuación homogénea :
∑n=0
N an
dnyh
dtn = 0
se resuelve la ecuación característica
∑n=0
N an sn = 0
si las raíces de esta ecuación son simples, la solución será de la forma
yh(t) = ∑n=1
N An esnt
donde las An son N constantes arbitrarias y sn son las N raíces de la
ecuación característica.
Si alguna raíz fuese múltiple, la solución es algo más complicada y el
procedimiento de resolución puede encontrarse en libros dedicados a este
tema.
Para determinar las constantes An se precisarán N-condiciones
denominadas condiciones iniciales.
(-(03/2'(6,67(0$'(6&5,72325(&8$&,21(6',)(5(1&,$/(6
&RPXQLFDFLRQHV$QDOyJLFDV I-9
Ce (t) = x (t)i e (t) = y (t)oi(t)
Filtro paso bajo RC
La relación entrada-salida es :
x(t) = R i(t) + y(t)
donde
i(t) = C dy(t)
dt
Sustituyendo queda la ecuación diferencial :
y + τo dydt = x τo = RC
La ecuación característica es :
τo s + 1 = 0 s = -1/τo
por tanto la solución de la homogénea será :
yh(t) = A e-t/τo
para la solución particular suponemos una entrada :
x(t) = [acosωot] u(t)
u(t) = 1 t > 0
0 t < 0
La solución particular es :
yp(t) = a
1 + (τoωo)2 cos(ωo t - ϕ) u(t)
ϕ = arctg(τo ωo )
&RPXQLFDFLRQHV$QDOyJLFDV I-10
Para la determinación de la constante A necesitamos una condición
inicial. Supongamos
y(0) = yo
En este caso la solución general (suma de la homogénea y la particular)
será :
y(t)=yo e-t/τo +
a
1+(τoωo)2 cos(ωot-ϕ) - e-t/τo cos ϕ u(t)
De esta solución se deduce que si a=0, x(t) = 0, y(t) 0 y por
consiguiente el sistema no verifica la condición de linealidad establecida en
I.1.2.2, aunque está descrito por ecuaciones diferenciales lineales, ya que una
entrada nula produce una salida distinta de cero. El sistema tampoco es
invariante ni causal, de acuerdo con las definiciones dadas en I.1.2.3 y I.1.2.4,
respectivamente.
Si se cumple que yo = 0, el sistema será lineal, causal e invariante. Si
se cumple esta condición el sistema estará inicialmente en reposo, esto es, no
tendrá ninguna energía almacenada (condensador descargado).
Todas estas consideraciones pueden generalizarse a un sistema de
orden N en la variable y, así si un sistema de orden N está inicialmente en
reposo se cumplirá que :
y(0) = dydt
t=0 = . . . =
dN-1 y
dtN-1 t=0
= 0
y el sistema será lineal, causal e invariante.
Si un sistema tiene almacenada energía (condiciones iniciales no nulas)
puede descomponerse como en la figura.
&RPXQLFDFLRQHV$QDOyJLFDV I-11
CONDICIONES INICIALES NO NULAS
y(t)
x(t)=0
x(t)
T o
T
CONDICIONES INICIALES NULAS
+
Definiciones de linealidad, causalidad e invarianza que incluyen también
la respuesta libre (sistema superior) y que están más en consonancia con la
idea intuitiva de tales conceptos, pueden encontrarse en diversos textos de
sistemas lineales. En lo que sigue, sólo se considerarán sistemas relajados,
esto es, con condiciones iniciales nulas.
La descripción de un sistema mediante ecuaciones diferenciales es, en
muchas ocasiones, de difícil manipulación y solución, obliga a entrar en
consideraciones de cómo está constituido el sistema, es decir, requiere
conocer los coeficientes y finalmente no es un método experimental de análisis
de sistemas lineales.
,5(638(67$,038/6,21$/
,1752'8&&,21
Supongamos un integrador en un período de T-segundos.
y(t) = ⌡⌠t-T
t x(τ) dτ
y sean las entradas x1(t) y x2(t)
&RPXQLFDFLRQHV$QDOyJLFDV I-12
t /2o
o ox
1( τ) =
1
tΠ (
τ − t o / 2
t)
x2
( τ) =1
t oe
− τ/ tu ( τ )o
0 τ
1
t ox ( )τ1
x2
( τ)1
t o
to
τ
con to < T
Ambas entradas verifican :
⌡⌠-
x1(τ) dτ = ⌡⌠
-
x2(τ) dτ = 1 ; V- to
Las salidas correspondientes a ambas señales son :
y1(t) =
0 t < 0
t/to 0 < t < to
1 to < t < T
(to-t+T)/to T < t < to + T
0 to + T < t
y2(t) =
0 t < 0
1-e-t/to 0 < t < T
e-t/to ( )eT/to - 1 T < t
&RPXQLFDFLRQHV$QDOyJLFDV I-13
t
t
t o t o + T
T
y (t)1
y2 (t)
1
1-e-T/t o
T
Ambas señales de salida no tienen gran parecido, no obstante si T >> to
ambas señales se aproximan bastante.
&RPXQLFDFLRQHV$QDOyJLFDV I-14
tTt o
tTt oy
2 (t)
1y (t)
En el límite to →ambas señales coinciden, lo que sugiere un invariante,
en una prueba experimental. La salida no depende de la forma de la entrada
sino de su área normalizada a la unidad. Esta es la respuesta al impulso. En
este caso representaremos al sistema por una función característica y no por
una ecuación característica.
,,17(*5$/'(&2192/8&,21
Para obtener la salida de un sistema en función de la respuesta al
impulso y la entrada, formemos a partir de ésta la siguiente función :
x(t) = ∑n=-
x(n∆τ)
t-n∆τ
∆τ = ∑n=-
x(n∆τ)
1∆τ
t-n∆τ
∆τ ∆τ
&RPXQLFDFLRQHV$QDOyJLFDV I-15
x(t)
t
∆τ
Evidentemente
x(t) = lím x (t)
∆τ→0
La función
0 t
∆τ
n
1/ ∆τ
∆τ
ó
lím 1∆τ Π
t-n∆τ
∆τ = δ (t-τ)
∆τ→
Es la función impulso o delta de Dirac y, burdamente hablando, puede
decirse que es un pulso de amplitud infinita y duración cero. Esta función
puede ser tratada como una función generalizada o función de distribución y
no tiene sentido definirla punto por punto. No obstante, no habrá problemas en
&RPXQLFDFLRQHV$QDOyJLFDV I-16
el tratamiento de deltas como funciones ordinarias, ya que siempre aparecerán
bajo el signo integral, y en ese caso
⌡⌠-
δ(t) dt = 1
x(t) = lím
∆τ→0 x(t) = ⌡⌠-
x(τ) δ(t-τ)dτ
la función delta puede obtenerse como límite de otras funciones como por
ejemplo la del apartado anterior
δ(t) = lím
to→0 1to
e-t/to
En general :
si ⌡⌠-
s(t) dt = 1
entonces δ(t) = lím kk→
s(kt) =
límc→0
1c s(t/c)
Definiendo h(t,τ) la respuesta en t a un impulso en el instante τ
h(t,τ) = T[ ]δ(t-τ)
la salida y(t) valdrá para un sistema lineal
y(t) = T[ ]x(t) = ⌡⌠-
x(τ) T[ ]δ(t-τ) dτ
y(t) = ⌡⌠-
x(τ) h(t,τ)dτ S.L.
Si además el sistema es invariante h(t,τ) = h(t-τ) y la salida
y(t) = ⌡⌠-
x(τ) h(t-τ) dτ S.L.I.
&RPXQLFDFLRQHV$QDOyJLFDV I-17
Que se conoce como integral de convolución o simplemente
convolución y que en forma escueta se escribirá.
y(t) = x(t) * h(t)
,3523,('$'(6'(/$&2192/8&,21
La convolución es conmutativa
y(t) = x(t)* h(t) = ⌡⌠-
x(τ) h(t-τ) dt =
t - τ = u
= ⌡⌠
-
x(t-u)h(u) du
= h(t) * x(t)
x(t) * h(t) = h(t) * x(t)
La convolución es asociativa
z(t) = x(t) * [y(t) * h(t)] = [x(t) * y(t)]* h(t) = x(t) * y(t) * h(t)
La convolución es distributiva respecto de la suma
z(t) = h(t) * [ ]x(t) + y(t) = h(t) * x(t) + h(t) * y(t)
De la propiedad conmutativa se concluye que dos sistemas lineales
invariantes (S.L.I.) conectados en cascada son completamente permutables.
Así los sistemas :
&RPXQLFDFLRQHV$QDOyJLFDV I-18
h(t)=h (t)*h (t)1 2
h(t)=h (t)*h (t)12
x(t) S.L.I.h (t)2
S.L.I.
h (t)2
S.L.I.h (t)1
S.L.I.h (t)1
w(t) y(t)
y(t)x(t) z(t)
Son equivalentes.
La propiedad asociativa permite generalizar lo anterior a cualquier
número de sistemas en cascada.
(-(03/26'(&$/&8/2'(&2192/8&,21
1)
to0 T
1/T
x(t) h(t)1
*
t t
x(t) = 1T (
t-T/2T ) h(t) = e-t/to u(t)
La convolución es
y(t) = x(t) * h(t) = ⌡⌠-
x(τ) h(t-τ) dτ = ⌡⌠
-
x(t-τ) h(τ) dτ
Así, puede invertirse bien x(τ) bien h(τ). En cualquier caso pueden
distinguirse 3 zonas.
&RPXQLFDFLRQHV$QDOyJLFDV I-19
a)
0 Tt τ
x( τ )h(t- τ )
En este caso no se solapan y por tanto la integral es cero.
y(t) = 0 t < 0
b)
0
τt
x( τ )h(t- τ )
En este caso hay solapamiento parcial.
y(t) = ⌡⌠0
t
1T e-(t-τ)/to dτ =
toT (1 - e-t/to) 0 < t < T
c)
0 T t
τ
h(t- )τx( )τ
&RPXQLFDFLRQHV$QDOyJLFDV I-20
y(t) = ⌡⌠0
T
1T e-(t-τ)/to dτ =
toT ( )eT/to - 1 e-t/to t > T
La señal de salida es
T t
/ T ( 1- e )ot - T/
ot
2)
x(t)
o t−β β
h(t)1/T
-T/2 T/2 t
*
x(t) = cos πt2β
t2β h(t) =
1T
tT
T/2 > β
En este ejemplo se tendrán cinco zonas.
&RPXQLFDFLRQHV$QDOyJLFDV I-21
a)
h (t - )τ x( )τ
−β βτ
t
No hay solapamiento.
y(t) = 0 t < - β - T/2
b)
−β βτ
t
t+T/2
o
y(t) = ⌡⌠-β
t+T/2
1T cos
πτ2β dτ - β - T/2 < t < β - T/2
c)
−β βτ
to
&RPXQLFDFLRQHV$QDOyJLFDV I-22
y(T) = ⌡⌠-β
β
1T cos
πτ2β dτ β - T/2 < t < - β + T/2
d)
−β β τt
t-T/2
o
y(t) = ⌡⌠t-T/2
β
1T cos
πτ2β dτ -β + T/2 < t < β + T/2
e)
−β β τto
y(t) = 0 t > β + T/2
La señal de salida es :
y(t) =
0 t < -β - T/2
2βπT [1 + sen
π(T/2 + t)2β ] - β - T/2 < t < β - T/2
4βπT β - T/2 < t < -β + T/2
2βπT [1 + sen
π(T/2 - t)2β ] - β + T/2 < t < β + T/2
0 t > β + T/2
&RPXQLFDFLRQHV$QDOyJLFDV I-23
y(t)
-T/2 -T/2 +T/2 +T/2β β β β− − t
Obsérvese que la duración de la salida es la suma de las duraciones de
la entrada y respuesta impulsional.
,&$86$/,'$'
Si h(t,τ) es la respuesta de un sistema lineal en el instante t a un
impulso en el instante τ, el sistema será causal si
h(t,τ) = 0 t < τes decir el sistema no debe responder antes de que haya entrada.
Si el sistema además de lineal es invariante
h(t) = 0 t < 0
,(67$%,/,'$'
Si |x(t)| < M ; V- t (entrada acotada)
|y(t)| = ⌡⌠-
x(t-τ) h(τ) dτ ⌡⌠
-
|x(t-τ)| |h(τ)| dτ <
< M ⌡⌠-
|h(τ)| dt
Luego para que la salida esté acotada se debe verificar
&RPXQLFDFLRQHV$QDOyJLFDV I-24
⌡⌠-
|h(τ)| dτ <
,'(7(50,1$&,21'(/$5(638(67$$/,038/62
$3$57,5'(/',$*5$0$'(%/248(6
T
x( t )y( t )
+
-
Σ ∫ ∞−
W
GW
y(t) = ⌡⌠-
[x(τ) - x(τ - T)]dτ
si x(t) = δ(t)
h(t) = ⌡⌠-
t [ ]δ(τ) - δ(τ-T) dτ =
u(t) - u(t-T) t 0
0 t < 0 = Π
t-T/2T
h(t)
1
o Tt
$3$57,5'(/$6(&8$&,21(6',)(5(1&,$/(6
Sea el ejemplo estudiado anteriormente
&RPXQLFDFLRQHV$QDOyJLFDV I-25
C y(t)x(t)
R
τo dy(t)
dt + y(t) = x(t)
τo = RC
La respuesta impulsional obedecerá
τo dh(t)
dt + h(t) = δ(t)
o lo que es lo mismo
τo dh(t)
dt + h(t) = 0 t <> 0
Integrando la otra ecuación entre o- y o+
τo [h(o+ ) - h(o- )] + ⌡⌠
o-
o+
h(t)dt = 1
La integral es cero ya que h(t) no debe tener impulsos en el origen.
Además si el sistema debe ser causal h(o- ) = 0, luego
h(o+ ) = 1/τo
Así pues la respuesta impulso se calcula resolviendo la homogénea
para t>0 sujeta a esta condición de contorno. La solución de la homogénea es
:
&RPXQLFDFLRQHV$QDOyJLFDV I-26
h(t) = A e-t/τo u(t)
Imponiendo la condición de contorno A = 1/τo
h(t) = 1to
e-t/τo u(t)
Este procedimiento puede generalizarse a ecuaciones diferenciales de
cualquier orden. No obstante, como se verá más adelante, la solución es más
simple en el dominio de la transformada.
,5(638(67$$/(6&$/2181,'$'
Otra forma de caracterizar un sistema es mediante su respuesta al
escalón unidad, para ello veamos primero la relación entre el impulso y el
escalón.
t 0 τ
δ(τ)
t0 τ
δ(τ)
Es evidente que
u(t) = ⌡⌠-
t δ(τ)dτ ó δ(t) =
du(t)dt
Sea ahora a(t) la respuesta al escalón
a(t) = ⌡⌠-
u(τ) h(t-τ) dτ = ⌡⌠
0
h(t-τ) dτ =
t-τ = u = ⌡⌠
-
t h(u) du
Luego
&RPXQLFDFLRQHV$QDOyJLFDV I-27
a(t) = ⌡⌠-
t h(u) du h(t) =
da(t)dt
La respuesta al impulso es la derivada de la respuesta al escalón.
,6,17(6,6'(6,67(0$6
En muchas situaciones se conocerá la entrada al sistema y su salida y
se deseará hallar la respuesta impulsional garantizando estabilidad y
causalidad, es decir, habría que resolver la ecuación.
y(t) = ⌡⌠-
x(τ) h(t-τ) dτ = ⌡⌠
-
x(t-τ) h(τ)dτ
↑_______ ↑ ↑ datos incógnita
Que se conoce como problema de deconvolución. El problema es
bastante difícil por estar la incógnita bajo el signo integral, por lo que se hace
necesaria alguna otra representación de sistemas lineales e invariantes como
se verá a continuación.
,$872)81&,21(6'(/$(&8$&,21'(&2192/8&,21
Sea est la entrada a un sistema lineal e invariante. La salida será :
y(t) = ⌡⌠-
h(τ) es(t-τ) dτ = est ⌡⌠
-
h(τ) e-sτ dω
= H(s) est
Es decir, la salida es la misma entrada multiplicada por un factor H(s).
Por tanto est es una autofunción de cualquier S.L.I. y H(s) es el autovalor
correspondiente denominado también función de transferencia del sistema.
&RPXQLFDFLRQHV$QDOyJLFDV I-28
H(s) = ⌡⌠-
h(t) e-st dt
H(s) es la transformada de Laplace bilateral de la respuesta impulsional.
,75$16)250$'$'()285,(5
Haciendo s = jω en la transformada de Laplace se obtiene la respuesta
frecuencial :
H(jω) = ⌡⌠-
h(t) e-jωt dt
Que es la transformada de Fourier de la respuesta impulsional y que también
será representada por
H(ω) = F[h(t)]
Fh(t) ↔ H(ω)
Donde por simplicidad se ha omitido la unidad imaginaria j en el
argumento.
Análogamente podemos definir la transformada de Fourier de una señal
x(t).
X(ω) = ⌡⌠-
x(t) e-jωt dt
,87,/,=$&,21'(/$675$16)250$'$6'(/$3/$&(<)285,(5
La transformada de Laplace es idónea para el estudio del régimen
transitorio de sistemas lineales, estudio de sistemas de control, para el estudio
&RPXQLFDFLRQHV$QDOyJLFDV I-29
de las propiedades analíticas de la transformada de Fourier, especialmente
singularidades y para la evaluación, en algunos casos, de la transformada
inversa de Fourier mediante una modificación conveniente del camino de
integración. Es una expresión matemática carente de significado físico.
Por el contrario la transformada de Fourier tiene interpretación física
como espectros, diagramas de difracción, etc. Además, al ser función de una
sola variable real, puede dibujarse la respuesta frecuencial y observar de una
manera intuitiva sus propiedades.
I.3.3.- FORMULA'(,19(56,21
Para obtener la transformada inversa de Fourier, partiremos de la
identidad
δ(t) = 12π ⌡⌠
-
ejωt dω
En efecto
12π ⌡⌠
-
ejωt dω =
líma→
12π ⌡⌠
-a
a ejωt dω =
= lím
a→ sen at
πt = lím
a→ a sen atπ(at)
Que coincide con la función δ(t) según se ha visto anteriormente ya que
⌡⌠-
sen tπt dt = 1
Obsérvese que al ser ejωt autofunciones del sistema, cualquier función,en este caso δ(t), puede escribirse como combinación lineal de ellas.
Teniendo en cuenta que
T[δ(t)] = h(t)
&RPXQLFDFLRQHV$QDOyJLFDV I-30
T
1
2π ⌡⌠-
ejωt dω =
12ω ⌡⌠
-
T[ejωt] dt =
12π ⌡⌠
-
H(ω) ejωt dt
Luego
h(t) = 12π ⌡⌠
-
H(ω) ejωt dt
Transformada inversa de Fourier
Tδ (t) h(t)
12π ⌡⌠
-
ejωt dω
12π ⌡⌠
-
H(ω) ejωt dω
Análogamente la transformada inversa de Fourier de una señal será
x(t) = 12π ⌡⌠
-
X(ω) ejωt dω
Otra forma de verlo
x(t) = ⌡⌠-
x(τ) δ(t-τ)dτ = ⌡⌠
-
x(τ)
12π ⌡⌠
-
ejω(t-τ) dω dτ =
= 12π ⌡⌠
-
ejωt
⌡⌠-
x(τ)
_ejωτ dτ dω =
12π ⌡⌠
-
X(ω) ejωt dω
&RPXQLFDFLRQHV$QDOyJLFDV I-31
,7(25(0$'(&2192/8&,21
Sea x(t) la entrada a un S.L.I. con respuesta impulsional h(t). La salida
será
y(t) = x(t) * h(t) = ⌡⌠-
x(τ) h(t-τ) dτ
Sustituyendo x(t) por la integral de Fourier para inversión
y(t) = ⌡⌠-
h(t-τ)
12π ⌡⌠
-
X(ω) ejωτ dω dτ
Intercambiando las integrales
y(t) = 12π ⌡⌠
-
X(ω)
⌡⌠-
h(t-τ) ejωτ dτ dω = t-τ=u
= 12π ⌡⌠
-
X(ω) ejωt
⌡⌠-
h(u) e-jωu du dω
= 12π ⌡⌠
-
X(ω) H(ω) ejωt dω
Teniendo en cuenta que la transformada inversa de Y(ω) es
y(t) =12π ⌡⌠
-
Y(ω) ejωt dω
Identificando se obtiene
Y(ω) = X(ω) H(ω)
&RPXQLFDFLRQHV$QDOyJLFDV I-32
Es decir, la transformada de Fourier de la salida (convolución de la
entrada con la respuesta impulsional) es el producto de las transformadas de
la entrada y de la respuesta impulsional.
F [x(t) * h(t)] = X(ω) H(ω)
La convolución se reduce a un producto en el dominio de la
transformada y por tanto la deconvolución se convierte en un cociente.
H(ω) = Y(ω)X(ω) h(t) = F-1 [H(ω)]
,(-(03/26'(75$16)250$'$6'()285,(5
75$16)250$'$'(/,038/62
F[ ]δ(t) = ⌡⌠-
δ(t) e-jωt dt = 1
Fδ(t) ↔ 1
0
t
1
0 ω
F
75$16)250$'$'(8138/625(&7$1*8/$5
h(t) = AtT )
H(ω) = A ⌡⌠-T/2
T/2 e-jωt dt = A
2sen ω T/2ω
= AT sen πfT
πfT = AT sin c f T
&RPXQLFDFLRQHV$QDOyJLFDV I-33
F
A( tT ) ↔ A
2 sen ω T/2ω
-T/2
AT
2 π/T
2πT
ω
FA
T/2 t
-
T
),/7523$62%$-25&
h(t) = 1τo
e-t/τo u(t)
H(ω) = 1τo
⌡⌠0
e
-(jω+1τo
) t dt =
11+jωτo
F1τo
e-t/τo u(t) ↔
11+jωτo
En este caso, la transformada es compleja y habrá que representar el
módulo y la fase
|H(ω)|2 = 1
1+(ωτo)2
ϕH(ω) = -arctg(ωτo )
&RPXQLFDFLRQHV$QDOyJLFDV I-34
t
h(t)
/4
/4
/2
/2
1/ 2
|H ( )|
1
1/e
το
το
το το
1/
1/ 1/−
π
π
π
π
−
−
ω
ω
φ Η ( )ω
ω
La frecuencia de corte definida a 3dB, esto es
10 log |H(ωc)|2
|H(0)|2 = -3dB
Vale ωc = 1/τo . La banda de paso del filtro estará comprendida entre -
1/τo < ω < 1/τo y en esta banda la fase es aproximadamente lineal, es decir,
habrá pequeña distorsión a la salida del filtro como se verá más adelante.
Para frecuencias muy elevadas el módulo decae como
|H(ω)|2 ↔1
ω2
ω →
Así pues entre una frecuencia ωo y el doble de la misma la relación en
dBs es
10log |H(2ωo)|2
|H(ωo)|2 → -6dB
Se dice que la respuesta decae a un ritmo de 6dB/octava.
&RPXQLFDFLRQHV$QDOyJLFDV I-35
,,17(535(7$&,21'(/$75$16)250$'$'()285,(5
Físicamente, la interpretación de la transformada de Fourier de una
señal x(t) sólo puede hacerse en términos de energía que se verá más
adelante. No obstante, puede adelantarse que el contenido frecuencial de una
señal será tanto mayor a una frecuencia dada cuanto mayor sea el módulo desu transformada a esa frecuencia |X(ω)|, más concretamente el módulo
cuadrado |X(ω)|2 .
,&21',&,21(6'((;,67(1&,$'(/$75$16)250$'$'()285,(5
Obviamente, cualquier señal que podamos generar físicamente,
poseerá transformada de Fourier, es decir, poseerá un espectro de energía.
No obstante vale la pena preguntarse si cualquier función matemática posee
transformada.
&21',&,21(6'((;,67(1&,$
1.- La función debe ser de variación acotada, esto es, en cualquier intervalo
finito la curva debe tener longitud finita. Un ejemplo de función que no
es de variación acotada es
x(t)= sen (1/t)
t
&RPXQLFDFLRQHV$QDOyJLFDV I-36
Esta función no tiene transformada de Fourier, pero no hay que
preocuparse excesivamente, ya que no es realizable físicamente ni
siquiera como aproximación.
2.- Si
⌡⌠-
|x(t)| dt <
la transformada existe. En efecto
|X(ω)| = | ⌡⌠-
x(t) e-jωt dt | ⌡⌠
-
|x(t)| dt <
No obstante, esta condición sólo es suficiente, no es necesaria.
Ejemplo :
x(t) = senωot
t X(ω
ω
2ωo
No es módulo integrable y sin embargo su transformada existe.
3.- Cualquier discontinuidad tiene que ser de salto finito y el número de
discontinuidades en un intervalo finito también ha de ser finito. Estas
condiciones también son suficientes. Si una función es discontinua enun punto, to , la transformada inversa devuelve el valor (Ver fenómeno
de Gibbs).
f(to ) = f(to
+)-f(to-)
2
con las condiciones anteriores, las funciones
sen t
u(t)δ(t)
&RPXQLFDFLRQHV$QDOyJLFDV I-37
No tendrían transformada de Fourier. Tampoco son realizables
físicamente. No obstante puede representar aproximadamente
funciones realizables físicamente. Las funciones
e-αt2 sen t
e-αt2 u(t)1α
tα )
Tienen transformada y tienden a las funciones anteriores cuando α ∅ 0.
Por tanto podremos considerar que aquellas funciones tienen
transformada en el límite.
,3523,('$'(6'(/$75$16)250$'$'()285,(5
,75$16)250$'$'(81$6(f$/5($/
Sea x(t) real
X(ω) = ⌡⌠-
x(t) e-jωt dt
Re[X(ω)] = R(ω) = ⌡⌠-
x(t) cosωt dt
Im[X(ω)] = I(ω) = - ⌡⌠-
x(t) senωt dt
Se cumple que :
R(-ω) = R(ω) Función par
I(-ω) = -I(ω) Función impar
Conclusión :
X(-ω) = X*(ω) X(ω) es hermítica
&RPXQLFDFLRQHV$QDOyJLFDV I-38
,75$16)250$'$'(81$6(f$/,0$*,1$5,$385$
Sea x(t) = jx’(t)
R(ω) = ⌡⌠-
x’(t)senωt dt I(ω) = ⌡⌠
-
x’(t) cosωt dt
se cumple que :
R(-ω) = -R(ω) impar ; I(-ω) = I(ω) par
Conclusión
X(-ω) = -X*(ω)
X(ω) es antihermítica
,)81&,215($/3$5
Sea x(-t) = x(t)
R(ω) = 2⌡⌠
0
x(t) cosωt dt
I(ω) = 0
X(ω) = 2 ⌡⌠0
x(t) cosωtdt
,)81&,215($/,03$5
Sea x(-t) = -x(t)
R(ω) = 0
I(ω) = -2⌡⌠0
x(t)senωtdt
X(ω) = -2j ⌡⌠0
x(t)senωtdt
,)81&,215($/*(1(5$/
Cualquier función real puede escribirse como :
x(t) = xp(t) + xi(t)
&RPXQLFDFLRQHV$QDOyJLFDV I-39
siendo la parte par e impar respectivamente
xp(t) = x(t) + x(-t)
2
xi(t) = x(t) - x(-t)
2
Puesto que
F[x(-t)] = X*(ω) si x(t) es real se tiene que
F[xp(t) ] = 12 [X(ω) + X*(ω) ] = R(ω)
F[xi(t) ] = 12 [X(ω) - X*(ω) ] = jI(ω)
o también
R(ω) = 2 ⌡⌠0
xp(t) cosωtdt
I(ω) = -2 ⌡⌠0
xi(t) senωtdt
Análogamente, las transformadas inversas
xp(t) = 1
⌡⌠0
R(ω) cosωtdω
xi(t) = -1
⌡⌠0
I(ω) senωt dω
,7(25(0$'('8$/,'$'
Sean x(t) y X(ω) un par de transformadas, esto es
&RPXQLFDFLRQHV$QDOyJLFDV I-40
x(t) = 1 ⌡⌠
-
X(ω) ejωt dω
llamando z = ω
[W ⌡⌠-
X(z) ejzt dz
por tanto
[W ⌡⌠-
X(z) e-jzt dz
o bien cambiando las variables
[ω) = ⌡⌠-
X(t) e-jωt dt
Luego
F
X(t) ↔ [-ω)
Ejemplos
1) δ(t) ↔ 1
F
1 ↔ δ(ω)
F
2) AW7 ↔ 2A senωT/2
ω
&RPXQLFDFLRQHV$QDOyJLFDV I-41
F
2A sen2πBt
t ↔ $
ω
4πB
AT
2 πT
ω
t
AB
-1 / 2 B 1 / 2 B
A ∏4 πB( )ω
F
F
2 πT
-
-T/ 2 T / 2
A ( t / T )∏
t
Α
ω
T 4 πB
-2 πB 2 πB
A s in 2 πB t
πt
3) Cálculo de la transformada de
x(t) = 2
t2+1
Puesto que
F
e-|t| ↔ 2
ω2+1
Se tiene
F2
t2+1 ↔ H-|ω|
&RPXQLFDFLRQHV$QDOyJLFDV I-42
La propiedad de dualidad puede utilizarse para deducir las propiedades
duales, es decir, si hay ciertas características de una función del tiempo que
tienen implicaciones en el dominio de la frecuencia, por dualidad pueden
deducirse las implicaciones en el dominio del tiempo de algunas funciones de
frecuencia.
,&$0%,2'((6&$/$7(0325$/<)5(&8(1&,$/
F
Sea x(t) ↔ X(ω)
¿Cuál será la transformada de x(at)?
-T/2 T/2 t
1 x(t) 1 x(at)
a>1
t-T/2a T/2a
⌡⌠-
x(at)e-jωt dt =
u=at
du=adt =
1a ⌡⌠
-
x(u) e-jω/a u du
= 1|a| X(ω/a)
Los signos dentro del círculo corresponden a a < 0.
T2πT
ω
2πT
-
T/a2πa
T
ω
&RPXQLFDFLRQHV$QDOyJLFDV I-43
CONCLUSION :
Existe una relación inversa entre tiempo y frecuencia. Si la función
temporal se comprime/expande, la transformada se expande/comprime según
sea a > 1 ó a < 1.
Un disco grabado a 33 r.p.m. cuando se reproduce a 45 r.p.m. el tiempo
se comprime y por tanto la respuesta frecuencial se expande, oyéndose más
agudo.
,5(7$5'27(0325$/
F
Sea x(t) ↔ X(ω)
¿cuál será la transformada de x(t-to )?
⌡⌠-
x(t-to ) e-jωt dt =
t-to = u
dt = du = e-jωto ⌡⌠
-
x(u) e-jωu du
= e-jωto X(ω)
CONCLUSION :
Un retardo de tiempo se traduce en un retardo de fase lineal en la
transformada y viceversa. El módulo de la transformada se conserva.
Así un sistema cuya respuesta frecuencial es de la forma
H(ω) = ke-jωto
Aplicado sobre una entrada x(t) da una salida
Y(ω) = H(ω) X(ω) = ke-jωto X(ω)
cuya transformada inversa es
&RPXQLFDFLRQHV$QDOyJLFDV I-44
y(t) = kx(t-to )
Es decir, no introduce distorsión, tan sólo cambia la amplitud y retarda
puramente la entrada
EJEMPLO F
δ(t) ↔ 1
F
δ(t-to ) ↔ e-jωto
,'(63/$=$0,(172)5(&8(1&,$/02'8/$&,21
Sea
F-1
X(ω) ↔ x(t)
¿cuál será la transformada inversa de X(ω-ωo )?
1 ⌡⌠
-
X(ω-ωo )ejωt dω =
ω-ωo=u
dω = du = ejωot
1 ⌡⌠
-
X(u)ejut du
F-1
X(ω-ωo ) ↔ ejωot x(t)
EJEMPLO
&RPXQLFDFLRQHV$QDOyJLFDV I-45
xx( t )
c o s tωo
x( t )c o s tω o
y(t) = x(t) cosωo t
cosωo t = 12 [ ]ejωot + e-jωot
y(t) = 12 [ ]ejωot + e-jωot x(t)
Y(ω) = 12 [X(ω-ωo ) + X(ω+ωo )]
X( ω)
Y( ω)
- ω ω ω ω- ωωc o oc 0
El ancho de banda es el doble.
,',)(5(1&,$&,21
Sea F
x(t) ↔ X(ω)
&RPXQLFDFLRQHV$QDOyJLFDV I-46
¿cuál será la transformada de dxdt ?
dx(t)dt =
12π ⌡⌠
-
X(ω)
ddt e
jωt dω = 12π ⌡⌠
-
jωX(ω) ejωt dω
Fdx(t)
dt ↔ jωX(ω)
CONCLUSION :
Derivar en el tiempo es equivalente a multiplicar por jω en el dominio de
la frecuencia.
EJEMPLO : Ecuaciones diferenciales
∑n=0
N an
dny(t)
dtn = ∑
m=0
N bm
dmx(t)
dtm
∑n=0
N an (jω)n Y(ω) = ∑
m=0
N bm (jω)m X(ω)
de donde se deduce que
H(ω) = Y(ω)X(ω) =
∑m=0
M bm(jω)m
∑n=0
N an(jω)n
,,17(*5$&,21
Sea
&RPXQLFDFLRQHV$QDOyJLFDV I-47
F
x(t) ↔ X(ω)
¿cuál será la transformada de ⌡⌠-
t x(τ)dτ?
Llamemos
φ(t) = ⌡⌠-
t x(τ)dτ = x(t) * u(t)
t τ
u(t- )τ
Por tanto
φ(ω) = X(ω) U(ω)
Luego debe hallarse U(ω)
&RPXQLFDFLRQHV$QDOyJLFDV I-48
1
t
u(t)
1/2
t
sign(t)
1/2
-1/2t
+1
__2
u(t) = 12 + [u(t) -
12 ] =
12 +
12 sign(t)
U(ω) = 12 2π δ(ω) +
12 F[sign(t)]
Para hallar la transformada de sign(t), hallamos la de su derivada.
ddt [sign(t)] = 2δ(t)
Luego F
sign(t) ↔ 2jω
U(ω) = πδ(ω) + 1jω
&RPXQLFDFLRQHV$QDOyJLFDV I-49
y por consiguiente
φ(ω) = π X(ω) δ(ω) + X(ω)jω
F
⌡⌠-
t x(τ) dτ ↔ πX(0)δ(ω)+X(ω)/jω
Obsérvese que
X(0) = ⌡⌠-
x(t) dt = área de la señal
,&2192/8&,21(1)5(&8(1&,$
X(ω) * Y(ω) = ⌡⌠-
X(ω') Y(ω-ω') dω'
Sustituyendo X(ω') por su expresión integral
X(ω) * Y(ω) = ⌡⌠-
⌡⌠-
x(t) e-jω't dt Y(ω-ω') dω'
Intercambiando las integrales
= ⌡⌠-
x(t)
⌡⌠-
Y(ω-ω') e-jω't dω' dt =
u = ω - ω'
du = -dω' =
= 2π ⌡⌠-
x(t) e-jωt
1
2π ⌡⌠-
Y(u) ejut du dt =
&RPXQLFDFLRQHV$QDOyJLFDV I-50
= 2π ⌡⌠-
x(t) y(t) e-jωt dt
Luego
F-1
X(ω) * Y(ω) ↔ 2π x(t) y(t)
Este teorema es dual del de la convolución en el tiempo.
,9(17$1$6
,9(17$1$6(1(/'20,1,2'(/7,(032
Sea w(t) = 0 para |t| > T
Llamemos
xw(t) = x(t) w(t) señal enventanada
su transformada será
Xw(ω) = 12π X(ω) * W(ω) =
12π ⌡⌠
-
X(ω-ω') W(ω') dω'
= 12π ⌡⌠
-
X(ω')W(ω-ω') dω'
Siendo
W(ω) = ⌡⌠-T
T w(t) e-jωt dt
Sea w(t) = t
2T ) (Ventana rectangular)
&RPXQLFDFLRQHV$QDOyJLFDV I-51
X (t)W
x(t)
-T T
La señal x(t) es observada a través de la ventana w(t), dando comoresultado la señal xw(t) . El efecto en el dominio de la frecuencia es el de la
convolución de la transformada de la señal con la de la ventana.
X( ω’)W( ω- ω’)
ω0 ω’
W(ω) = 2senωT
ω
Para que la transformada de la señal enventanadaXw(ω) (transformada observada) se parezca a la transformada de la señal
X(ω), W(ω) debe parecerse a una delta, o lo que es lo mismo, el tiempo de
observación T debe tender a infinito. Para T finito, la extensión del lóbulo
principal, así como los lóbulos secundarios de la transformada de la ventana
distorsionan la transformada de la señal original.
Una manera de paliar el efecto de los lóbulos secundarios es ponderar
los valores de la señal observada por una función temporal, esto es, utilizar
otra ventana distinta de la rectangular, por ejemplo, sea la ventana triangular
&RPXQLFDFLRQHV$QDOyJLFDV I-52
w(t) = Λ
tT
W(ω) = 1T
4sen2ωT/2
ω2
π /T
π /T2
ωω
RECTANGULAR TRIANGULAR
La relación amplitud lóbulo principal/amplitud lóbulo secundario es
bastante superior en la ventana triangular, por lo que el efecto de los lóbulos
secundarios será menor, a costa de ensanchar el lóbulo principal. Esto último
redunda en una resolución más pobre para la ventana triangular. Así, si la
señal original x(t) contiene dos frecuencias separadas aproximadamente|ω2 -ω1 | ≅ 2π/T, la ventana rectangular daría dos picos mientras que la
triangular daría uno sólo, no pudiendo resolver ambas frecuencias. La elección
de una ventana será por tanto un compromiso entre resolución y efecto de
lóbulos secundarios. La que mayor resolución tiene es la rectangular.
,9(17$1$6(1)5(&8(1&,$)(120(12'(*,%%6
Es el efecto que produce el truncamiento en frecuencia de una señal,
dual del truncamiento en tiempo.
X ( )ωσH ( )ω
X( )ω
H(ω) = 0 |ω| > σ
&RPXQLFDFLRQHV$QDOyJLFDV I-53
Xσ(ω) = H(ω) X(ω) xσ (t) = x (t) * h (t)
Sea el sistema
H(ω) =
ω2σ
H ( )ω
ω0−σ σ
1
xσ(t) = h(t) * x(t)
h(t) = senσt
πt
xσ(t) = ⌡⌠-
x(τ)
senσ(t-τ)π(t-τ) dτ
Es evidente que el sistema distorsiona la señal de entrada.
Para tener una idea de esta distorsión, consideremos la señal de
entrada.
x(t)
0 ta-a
1
La salida es
xσ(t) = ⌡⌠-a
a
senσ(t-τ)π(t-τ) dτ =
1π Si [σ(t+a)] - Si[σ(t-a)]
&RPXQLFDFLRQHV$QDOyJLFDV I-54
Siendo Si(t) = ⌡⌠0
t
senττ dτ la función seno integral
1.18 π/2
π/21.18 π/2
π/2--
Si(t)
tπ 2 π
La señal de salida es
x(t)
-a a
1
x (t)σ
A cada lado de las discontinuidades, la salida es oscilatorio. El valor de
pico de la oscilación es independiente de a y es aproximadamente el 18% dela altura del pulso. De esta forma, aunque a → ODRVFLODFLyQVLJXHH[LVWLHQGRaunque comprimida (Fenómeno de Gibbs).
&RPXQLFDFLRQHV$QDOyJLFDV
7(0$,,6(f$/(63(5,2',&$6
,,5(35(6(17$&,21'(6(f$/(63(5,2',&$6BBBBBBBBBBBBBBBBBBBBB
,,75$16)250$'$'()285,(5'(81$6(f$/3(5,2',&$ BBBBBBBB
,,75$16)250$'$'(/75(1'(,038/626 BBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBB
,,75$16)250$'$'(/$6(f$/3(5,2',&$BBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBB
,,6(5,(6'()285,(5 BBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBB
,,5(35(6(17$&,21*5$),&$'(/$75$16)250$'$'()285,(5'(81$6(f$/3(5,2',&$ BBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBB
,,)2508/$'(32,6621 BBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBB
,,6(f$/(63(5,2',&$6$75$9(6'(6,67(0$6/,1($/(6BBBBBBBB
,,5(35(6(17$&,21'(6(f$/(6123(5,2',&$60(',$17('(6$552//2(16(5,('()285,(5 BBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBB
,,6(f$/(63(5,2',&$6(1(/'20,1,2'(/$)5(&8(1&,$BBBBBB
,,08(675(2'(6(f$/(6<7(25(0$'(1<48,67 BBBBBBBBBBBBBBB
&RPXQLFDFLRQHV$QDOyJLFDV II-1
II.1.- REPRESENTACION DE SEÑALES PERIODICAS
Una señal es periódica si
x(t) = x(t + To ) V- t
siendo To una cantidad positiva, denominada periodo.
EJEMPLOS
x(t) = cosωo t ωo = 2πTo
T o t
x(t) = ∑n=-
t-nTo
τ
0
1
T o-T o
. . . .. . . .τ
&RPXQLFDFLRQHV$QDOyJLFDV II-2
En general
x(t) = ∑n=-
xb (t - nTo)
t ot
o+ T o
t
x (t)b
tt
ot
o+T o
La representación
x(t) = ∑n=-
xb (t - nTo)
sigue siendo válida aunque la duración de la denominada señal básica xb(t)
sea superior al periodo To .
EJEMPLO :
xb(t) = Λ
tτ 2τ > To
2τ To
x(t)
&RPXQLFDFLRQHV$QDOyJLFDV II-3
En este caso, la envolvente final de la señal periódica x(t) no coincidecon la extensión periódica de la señal básica xb(t) .
II.2.- TRANSFORMADA DE FOURIER DE UNA SEÑAL PERIODICA
La señal periódica x(t) puede escribirse como
x(t) = ∑n=-
xb(t - nTo) = xb(t) * ∑
n=-
δ (t - nTo)
La convolución de la señal básica con un tren de impulsos periódico sT(t) .
. . . . . . . .
s (t)T
T o 2To-T o-2T o o
ST(t) = ∑n=-
δ(t - nTo)
La transformada de Fourier será
X(ω) = Xb(ω) ST(ω)
con
ST(ω) = ∑n=-
e-jnωTo
Para encontrar otra representación de esta última transformada,
consideremos el tren finito de impulsos, con transformada de Fourier.
&RPXQLFDFLRQHV$QDOyJLFDV II-4
STN(ω) = ∑n=-N
N
e-jnωTo
De esta forma
ST(ω) = lím STN(ω)
N→
Utilizando las propiedades de las series geométricas puede escribirse
que
STN(ω) = sen(N+1/2)ωTo
senωTo/2
Esta función es periódica de periodo ωo = 2πTo
y tiene la forma
t
sTN
(t)
o
To
NTo
F
ω
o
STN
( ω)
2N+1
ωo
2N+1
ω o
Obsérvese que a medida que N→ OD DPSOLWXG GH ORV OyEXORV
principales tiende también a infinito y la anchura de los mismos tiende a cero.
Analíticamente, puede escribirse que
STN(ω) = sen(N+1/2)ωTo
ω-m 2πTo
ω-m 2πTo
senω To2
&RPXQLFDFLRQHV$QDOyJLFDV II-5
Siendo m un número entero cualquiera. El segundo factor del productoes una función acotada de ω en el intervalo.
(m-1/2) 2πTo
< ω < (m + 1/2) 2πTo
y vale 2
To en ω = m
2πTo
por lo tanto en ese intervalo
ST(ω) = lím
N→ STN(ω) =
ω - m 2πTo
senω To2
Q(ω)
donde
Q(ω) = lím
N→ sen(N+1/2)ωTo
ω-m 2πTo
Por ser el numerador periódico con periodo ωo = 2πTo
puede escribirse que
Q(ω) = lím
N→
sen(N+1/2)(ω-m2πTo
) To
ω-m 2πTo
= πδ (ω-m2πTo
)
ya que
líma→
sena(t - τ)π(t - τ) = δ(t - τ)
II.2.1.- TRANSFORMADA DEL TREN DE IMPULSOS
ST(ω) = ωo δ(ω - mωo ) (m-1/2)ωo < ω < (m+1/2)ωo
con ωo = 2π/To . Variando m de -DOXHJRODWUDQVIRUPDGDGHXQWUHQGH
impulsos es otro tren de impulsos.
&RPXQLFDFLRQHV$QDOyJLFDV II-6
∑n=-
δ(t - nTo) ↔ ∑
m=-
ωo δ(ω - mωo)
II.2.2.- TRANSFORMADA DE LA SEÑAL PERIODICA
X(ω) = Xb(ω) ST(ω) = Xb(ω) ∑m=-
ωo δ(ω-mωo)
que puede escribirse finalmente
X(ω) = ∑m=-
ωo Xb(mωo) δ(ω-mωo) ωo = 2π/To
o bien
X(ω) = ∑m=-
Xb(mωo)
To 2π δ(ω - mωo )
La transformada de Fourier de una señal periódica es un tren deimpulsos separados ωo y con amplitudes ωo Xb(mωo) , es decir, la
transformada de la función básica particularizada en mωo .
II.3.- SERIES DE FOURIER
Tomando transformadas inversas en la última expresión y teniendo en
cuenta que
-1
2πδ(ω-mωo ) ↔ ejmωot
se obtiene
x(t) = ∑m=-
cm e
jmωot
&RPXQLFDFLRQHV$QDOyJLFDV II-7
con
cm = Xb(mωo)
To =
1To
⌡⌠
-
xb(t) e-jmωot
dt
Si xb(t) es la propia señal periódica x(t) truncada a un periodo
cm = 1
To ⌡
⌠
To
xb(t) e-jmωot
dt
Estas son las series de Fourier.
II.3.1.- REPRESENTACION GRAFICA DE LA TRANSFORMADA DEFOURIER DE UNA SEÑAL PERIODICA
La representación de la transformada de Fourier periódica es incómoda
debido a las funciones delta. Lo que suele representarse son los valores de los
coeficientes de la serie de Fourier.
Si las amplitudes de cada línea son complejas
cm = Xb(mωo)
To
Puede representarse como
Cm MODULO
FASECmϕ
&RPXQLFDFLRQHV$QDOyJLFDV II-8
II.3.2.- FORMULA DE POISSON
Puesto que una función periódica admite las representaciones :
x(t) = ∑n=-
xb (t - nTo) = ∑
m=-
Xb (mωo)
To e
jmωot
Haciendo t=0 se obtiene la fórmula de Poisson :
∑n=-
xb(nTo) = ∑
m=-
Xb(mωo)
To
Fórmula que es válida para cualquier xb(t) y que puede tener
interesantes aplicaciones.
EJEMPLOS DE APLICACION
a) Sea xb(t) = e-α|t|
α > 0
Xb(ω) = 2α
α2 + ω2
∑m=-
2αα2+(mωo)2
1
To = ∑
n=-
e
-α|nTo| ; V- To
En particular si To = 2
∑n=-
e-2α|n| = 1 + 2 ∑
n=1
e-2αn = 1 + 2
e-2α
1-e-2α
= 1+e-2α
1-e-2α = 1
tghα
Conclusión :
Se obtiene la suma de la serie :
&RPXQLFDFLRQHV$QDOyJLFDV II-9
∑m=-
αα2 + m2 2 =
1tghα α > 0
b) Demostrar que :
∑n=-
sena(t-nTo)
t-nTo = ωc
sen(2N+1)ωct
senωct
con ωc 7o y N tal que N < aTo2π < N+1
Tomando como función básica
xb(t) = senat
t ↔ ω2a )
∑n=-
sena(t-nTo)
t-nTo =
πTo
∑m=-
mωo2a e
-jm2πt/To
El sumatorio del segundo miembro contiene un número finito de
términos que depende del parámetro a
N-a
-3 -2 -1 0 1 2 3 Na
ω
∏ ( )ω
2a
N es el m-máximo que verifica
N.ωo = N 2πTo
< a
&RPXQLFDFLRQHV$QDOyJLFDV II-10
(N + 1) 2πTo
> a
De esta forma el segundo miembro pasa a ser
πTo
∑m=-N
N e
-j2m π
To t
= ωc sen(2N+1) ωct
senωct
II.4.- SEÑALES PERIODICAS A TRAVES DE SISTEMAS LINEALES
h(t)x(t) y(t)
Y(ω) = X(ω)H(ω) = H(ω) ∑n=-
Xb(nωo)
To δ(ω-nωo )
Y(ω) = ∑n=-
Yb (nωo)
To δ(ω-nωo )
Yb(nωo) = H(nωo ) Xb (nωo)
La salida también es periódica con el mismo periodo To que la de
entrada.
Respuesta en el dominio del tiempo.
y(t) = ⌡⌠-
x(τ) h(t-τ)dτ
x(τ) = ∑-
xb (τ-nTo)
La salida será :
&RPXQLFDFLRQHV$QDOyJLFDV II-11
y(t) = ∑n=-
⌡⌠
-
xb (τ-nTo) h(t-τ) dτ)
τ - nTo = u
dτ = du
= ∑n=-
⌡⌠
-
xb(u) h(t-nTo -u)du
Conclusión :
y(t) = ∑n=-
yb (t-nTo)
yb(t) = ⌡⌠-
xb(τ) h(t-τ)dt = xb(t) * h(t)
EJEMPLOS
1) Sea x(t) dada por
n
π/2
π /4
π /8
π
0 0
- π /2
- π /4
- π /2
22
1
0.50.2 0.1
0
0.50.2
0.1
4 0ωω ω0 0 0 0 0ω ω ω ω2 3−2−3−4 ω 0
C
- ω 0
ϕn
Periodo To = 10mseg
Calcular la salida de un paso bajo de 250Hz. Las frecuencias de las
rayas espectrales son nfo , con fo = 1
To = 100Hz.
Solo las rayas n = 0, ±1, ±2 aparecerán a la salida
y(t) = -1 + 2ejωot
+ 0.5eM
ej2ωot
&RPXQLFDFLRQHV$QDOyJLFDV II-12
+ 2e-jωot
+ 0.5eM
e-j2ωot
y(t) = -1 + 2cosωo t - sen2ωo t
2)x(t)
-T o Too
τ
t
h(t) = e-αt u(t) Filtro RC paso bajo
$1$/,6,6(1(/'20,1,2'(/$)5(&8(1&,$
Y(ω) = ∑n=-
Yb(nωo)
To δ(ω-nωo ))
donde
Yb (nωo) = H(nωo ) Xb(nωo) )
Tomando como función base para x(t)
xb(t) =
tτ
su transformada es
Xb(ω) = 2senωτ/2
ω
La transformada de la respuesta impulsional
H(ω) = 1
α+jω
Luego :
&RPXQLFDFLRQHV$QDOyJLFDV II-13
Yb (nωo) = 2sen nωo τ/2
nωo
1α+jnωo
La transformada de la salida será
Y(ω) = ∑n=-
2sen nωo τ/2
nToωo
1α+jnωo
2πδ(ω-nωo )
En el dominio temporal
y(t) = ∑n=-
2sennωoτ/2
nToωo
1α+jnωo
ejnωot
= τ
αTo + ∑
n=1
4sennωoτ/2
nToωo Re
e
jnωot
α+jnωo
= τ
αTo +
4π ∑
n=1
sennπτ/To
n
α2+
n
To
2
α cos Q WTo
+2nπTo
sen 2nπtTo
$1$/,6,6(1(/'20,1,2'(/7,(032
yb(t) = xb(t) * h(t)
t
y (t)b
- τ/2 τ/2
&RPXQLFDFLRQHV$QDOyJLFDV II-14
yb(t) =
0 t < -τ/2
1α 1 - e
-α(t+τ/2)-τ/2 < t < τ/2
2α senh ατ/2 e
-αtt > τ/2
y(t) = ∑n=-
yb (t-nTo)
y(t) y (t)b
t
Calculando los coeficientes del desarrollo en serie como
cn = 1
To ⌡⌠
-
yb(t) e
-jnωot dt
Se llega al mismo resultado anterior
Obsérvese que la función básica de salida tiene extensión infinita y por tanto
se produce solapamiento. Sumando las contribuciones de las infinitas
funciones en el intervalo correspondiente a un periodo se llega a la siguiente
expresión, correspondiente a una nueva función básica de duración finita igual
al periodo:
y'b (t) = 1α [ 1 -
senh α(To-τ)/2
senh αTo/2 e-αt ] -τ/2<t<τ/2
&RPXQLFDFLRQHV$QDOyJLFDV II-15
y’b (t) = 1α
senh ατ/2senh αTo/2 e-α(t-To/2) τ/2<t<To -τ/2
II.5.- REPRESENTACION DE SEÑALES NO PERIODICAS MEDIANTEDESARROLLO EN SERIE DE FOURIER
Cualquier señal no periódica puede desarrollarse en serie de Fourier en
un intervalo (a,b) definiendo
To = b - a
xb(t) =
x(t) a < t < b
0 resto
y realizando su extensión periódica
xp(t) = ∑n=-
xb (t-nTo)
El desarrollo en serie de Fourier de xp(t) coincidirá con x(t) en el
intervalo (a,b).
Si el número de términos empleado en la representación de x(t) es finito
(2N+1) se obtendrá una aproximación.
~x N(t) = ∑n=-N
N cn e
jnωot a < t < b
ωo = To
cn = 1
To ⌡⌠a
b x(t) e-jmωot
El error de aproximación será
&RPXQLFDFLRQHV$QDOyJLFDV II-16
eN (t) = x(t) - ~x N (t)
El error cuadrático total sobre todo el intervalo será
EN = ⌡⌠
a
b
|eN(t)|2dt = ⌡⌠a
b eN (t) eN*(t) dt
EN = ⌡⌠a
b e(t)
x*(t) - ∑
n=-N
N cn* e-jnωot dt
Es fácil verificar que
⌡⌠a
b e(t) e-jnωot dt = 0
Luego
EN = ⌡⌠a
b e(t) x*(t)dt = ⌡⌠
a
b |x(t)|2 dt - To ∑
n=-N
N |cn |2
II.6.- SEÑALES PERIODICAS EN EL DOMINIO DE LA FRECUENCIA
Si una señal tiene una transformada periódica
X(ω + Ωo ) = X(ω) V- ω
Esta última podrá escribirse, igual que en el dominio temporal, como
X(ω) = ∑n=-
Xb (ω + nΩo) = Xb(ω) * ∑
n=-
δ(ω + nΩo )
Donde se ha elegido el signo positivo por razones que se verán más
adelante. Obsérvese que el uso de un signo u otro es indiferente.
Aplicando el teorema de dualidad a la transformada obtenida en señales
peródicas en el dominio del tiempo
&RPXQLFDFLRQHV$QDOyJLFDV II-17
∑n=-
δ(t - nTo ) ↔ ∑
m=-
1To
2π δ(ω - mωo )
Se obtiene que :
T/2π ∑m=-
δ(t-mT) ↔ ∑
n=-
δ(ω + nΩo )
con T = 2π/Ωo .
Luego la transformada inversa de una señal periódica en el dominio de
la frecuencia viene dada por
x(t) = xb(t) T ∑n=-
δ (t - nT)
ó
x(t) = ∑n=-
T xb (nT) δ(t - nT)
Obsérvese que la señal en el tiempo correspondiente a una señal
periódica en el dominio de la frecuencia puede obtenerse mediante el sistema.
x (t)b
x
x(t)
∑∞
−∞=−
Q
Q7W7 )(δ
&RPXQLFDFLRQHV$QDOyJLFDV II-18
II.6.1.- MUESTREO DE SEÑALES Y TEOREMA DE NYQUIST
Considérese ahora el sistema anterior con una entrada arbitraria
x(t)
x
y(t)
)( P7W7P
−∑∞
−∞=
δ
y(t) = ∑m=-
Tx(mT) δ(t - mT)
Y(ω) = ∑m=-
X(ω + mΩo )
Evidentemente la transformada de la salida Y(ω) será periódica conperiodo Ωo 7
Si X(ω) está limitada en banda
X(ω) = 0 |ω| : %
y T es tal que
Ωo :
o sea1T %
La transformada Y(ω) será
Y ( ω)
X( ω)
ω−σ σ-w w−Ω Ωo o
En estas condiciones, x(t) puede recuperarse a partir de y(t) mediante
un filtro paso bajo ideal (línea de puntos).
&RPXQLFDFLRQHV$QDOyJLFDV II-19
H(ω) =
ω
2σ w σ Ωo - w
X(ω) = Y(ω) H(ω)
En el dominio del tiempo
x(t) = y(t) * h(t)
= senσt
W * ∑n=-
Tx(nT) δ(t - nT)
x(t) = ∑n=-
Tx(nT)
senσ(t-nT)WQ7
Es decir, una señal x(t) limitada en banda a B Hz puede recuperarse a
partir de sus muestras tomadas a intervalos de T segundos si se verifica que la
frecuencia de muestreo es mayor que el doble del ancho de banda (Teorema
de Nyquist)
fs = 1T %
A la señal
y(t) = ∑n=-
Tx(nT) δ(t-nT) = xp(t)
Se denomina señal muestreada de x(t) y al tren de impulsos
sp(t) = ∑n=-
Tδ(t-nT)
se le denomina muestreador ideal
&RPXQLFDFLRQHV$QDOyJLFDV II-20
-2T -T 0 T 2Tt
t
x(t)
s (t)p
-2T -T 0 T 2T t
x (t)p
&RPXQLFDFLRQHV$QDOyJLFDV
7(0$,,,&255(/$&,21<(63(&752
,,,(1(5*,$'(81$6(f$/BBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBB
,,,(1(5*,$&58=$'$BBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBB
,,,)2508/$'(3$56(9$/3$5$(1(5*,$&58=$'$ BBBBBBBBBBBBBB
,,,)2508/$'(3$56(9$/3$5$(1(5*,$BBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBB
,,,6(f$/(6'(327(1&,$0(',$),1,7$ BBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBB
,,,327(1&,$0(',$3$5$6(f$/(63(5,2',&$6BBBBBBBBBBBBBBBBBB
,,,7,326'(6(f$/(6 BBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBB
,,,(63(&752'(327(1&,$'(6(f$/(6'(327(1&,$0(',$),1,7$BBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBB
,,,6(f$/(63(5,2',&$6 BBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBB
,,,)2508/$'(3$56(9$/3$5$6(f$/(63(5,2',&$6BBBBBBBBBBB
,,,0(','$'(3$5(&,'22',67$1&,$ BBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBB
,,,&255(/$&,21&58=$'$<(63(&752&58=$'2 BBBBBBBBBBBBBB
,,,)81&,21'($872&255(/$&,21 BBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBB
,,,&255(/$&,21<(63(&752'(6(f$/(6'((1(5*,$),1,7$$75$9(6'(6,67(0$6/,1($/(6 BBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBB
,,,&255(/$&,21&58=$'$'(6(f$/(6'(327(1&,$0(',$),1,7$BBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBB
,,,)81&,21'($872&255(/$&,21'(6(f$/(6'(327(1&,$0(',$),1,7$BBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBB
,,,&255(/$&,21&58=$'$'(6,1862,'(6BBBBBBBBBBBBBBBBBBBBB
,,,&255(/$&,21'(6(f$/(63(5,2',&$6 BBBBBBBBBBBBBBBBBBBBB
,,,(63(&752&58=$'2'(6(f$/(63(5,2',&$6 BBBBBBBBBBBBBBB
,,,$872(63(&752'(6(f$/(63(5,2',&$6BBBBBBBBBBBBBBBBBBBB
,,,&255(/$&,21<(63(&752'(6(f$/(6'(327(1&,$0(',$),1,7$$75$9(6'(6,67(0$6/,1($/(6 BBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBB
&RPXQLFDFLRQHV$QDOyJLFDV III-1
III.1.- ENERGIA DE UNA SEÑAL
Sea el circuito de la figura
v(t) R
La potencia instantánea entregada a la carga (disipada en la resistencia)
es
P(t) = v(t) i(t) = v2(t)
R = R i2(t)
y la energía total entregada por la fuente
E = ⌡⌠-
P(t) dt =
1R ⌡⌠
-
v2(t)dt = R ⌡⌠
-
i2(t)dt
Es proporcional (igual si R=1) a la integral del cuadrado de la tensión o
intensidad.
Por analogía, definimos la energía de una señal x(t) como :
Exx = ⌡⌠-
x2(t)dt
EXTENSION A SEÑALES COMPLEJAS
Si x(t) es compleja
&RPXQLFDFLRQHV$QDOyJLFDV III-2
Exx = ⌡⌠-
|x(t)|2 dt = ⌡⌠
-
x(t)x*(t)dt
EJEMPLO
1
t0
x(t) = e α t-
u(t)
Exx = ⌡⌠0
e-2αt dt = 1
2α
III.2.- ENERGIA CRUZADA
De forma similar puede definirse la energía cruzada de dos señales
Exy = ⌡⌠-
x(t) y*(t) dt
En el caso particular de que y(t) = x(t) la energía cruzada se reduce a la
energía de la señal x(t). No suele tener una interpretación intuitiva simple salvo
en casos como el circuito anterior.
III.3.- FORMULA DE PARSEVAL PARA ENERGIA CRUZADA
Exy = ⌡⌠-
x(t) y*(t) dt = ⌡⌠
-
1
⌡⌠-
X(ω) ejωt dω y*(t) dt
= 12π ⌡⌠
-
X(ω) ⌡⌠-
y*(t) ejωt dt dω
&RPXQLFDFLRQHV$QDOyJLFDV III-3
Exy = ⌡⌠-
x(t) y*(t) dt =
1 ⌡⌠
-
X(ω) Y*(ω) dω
Obsérvese que
Exy = F [ ]x(t) y*(t) ω=0
x(t) y*(t) ↔ 1 X(ω) * Y
*(-ω)
1 X(ω) * Y
*(-ω) = 1 ⌡⌠
-
X(ω') Y* (ω' - ω) dω'
Particularizando para ω=0 queda la expresión anterior.
A la expresión
Sxy (ω) = X(ω) Y*(ω)
Se la conoce como espectro de energía cruzada de las señales x(t) e
y(t) y la energía total será
Exy = 1 ⌡⌠
-
Sxy (ω) dω
III.4.- FORMULA DE PARSEVAL PARA ENERGIA
Identificando y(t) + x(t) del apartado anterior se tiene
Exx = ⌡⌠-
| |x(t) 2 dt =
1 ⌡⌠
-
| |X(ω) 2 dω
Puede interpretarse que la energía se distribuye en el espectro según
Sxx(ω) = |X(ω)|2
&RPXQLFDFLRQHV$QDOyJLFDV III-4
Razón por la que a Sxx(ω) se le conoce como densidad espectral de
energía y la energía total se obtiene como
Exx = 1 ⌡⌠
-
Sxx(ω) dω
(-(03/2
x(t) = e-αt u(t)
X(ω) = 1
α+jω
Sxx(ω) = 1
α2+ω2
Exx = 1 ⌡⌠
-
dωα2+ω2 =
12α
3523,('$'(6'(/$'(16,'$'(63(&75$/'((1(5*,$
- Es una función real de ω- Es siempre positiva- Si x(t) es real Sxx(ω) será una función par de ω
III.5.- SEÑALES DE POTENCIA MEDIA FINITA
El concepto de energía de una señal, definido previamente, sólo tiene
sentido para el conjunto de señales que verifican que
Exx = ⌡⌠-
| |x(t) 2 dt <
Denominadas señales de energía finita.
&RPXQLFDFLRQHV$QDOyJLFDV III-5
Existen muchas señales que no verifican la relación anterior, entre ellas
las señales periódicas, el escalón, etc. Para este tipo de señales se requiere
definir otro concepto.
III.6.- POTENCIA MEDIA PARA SEÑALES PERIODICAS
Sea x(t) periódica con periodo To , la energía por cada periodo será
|Exx To = ⌡⌠
to-To/2
to+To/2
| |x(t) 2 dt
Y la potencia media por cada periodo será
|Pxx To =
|Exx ToTo
=
⌡⌠to-To/2
to+To/2
|x(t)|2 dt
To
La potencia media en M.periodos será (T = MTo )
|Pxx T = MTo =
⌡⌠to-T/2
to+T/2
| |x(t) 2 dt
T = 1
To ⌡⌠to-To/2
to+To/2
| |x(t) 2 dt
Si el número de periodos tiende a infinito, la potencia media también
será la misma.
Pxx = lím
T → 1T ⌡⌠
T | |x(t) 2dt =
1To
⌡⌠To
| |x(t) 2 dt
Este concepto es útil y puede extenderse a señales no periódicas cuya
energía es infinita. Así para cualquier señal se define
3RWHQFLD0HGLD
Pxx = lím
T→ 1T ⌡⌠
T | |x(t) 2 dt
&RPXQLFDFLRQHV$QDOyJLFDV III-6
Es evidente que para señales de energía finita esta potencia media es
cero.
(-(03/26
6HxDOFRQWLQXD
A
-T/2 T/2 t
Pxx = lím
T→ 1T (A2T) = A2
6(f$/(6&$/21
A
-T/2 T/2 t
u(t)
Pxx = lím
T→ 1T (T/2) =
12
III.7.- TIPOS DE SEÑALES
Según las definiciones anteriores, las señales pueden clasificarse en :
- Señales de energía finita 0 < Exx <
- Señales de potencia media finita 0 < Pxx <
&RPXQLFDFLRQHV$QDOyJLFDV III-7
Ambos tipos de señales son mútuamente excluyentes. Una señal de
energía finita tiene potencia media nula y una de potencia media finita tiene
energia finita.
Todas las señales acotadas de duración finita son de energía finita. Las
señales periódicas son de potencia media finita y algunas no periódicas. La
caracterización de estas últimas no siempre es fácil.
III.8.- ESPECTRO DE POTENCIA DE SEÑALES DE POTENCIA MEDIAFINITA
Para calcular el espectro de potencia de estas señales nos ayudaremos
de la función intermedia
PTxx =
ENERGIA EN TT
Sea xT(t) = x(t)
t-toT
x (t)T
t -T/2 t t +T/20 0 0 t
PxxT =
⌡⌠-
|xT(t)|2 dt
T =
1 ⌡⌠
-
|XT(ω)|2dω
T
&RPXQLFDFLRQHV$QDOyJLFDV III-8
Para T →
Pxx = lím
T→ PTxx =
1 ⌡⌠
-
límT→
| |XT(ω) 2
T dω
A la función
Sxx(ω) = lím
T→ | |XT(ω) 2
T
Se le puede denominar densidad espectral de potencia y la potencia
total
Pxx = 1 ⌡⌠
-
Sxx(ω) dω
(-(03/26
)XQFLyQHVFDOyQ
XT(ω) = e-jωT/4 2senωT/4
ω
-T/2 T/2 t
u(t)
1
Sxx(ω) = lím
T→ | |XT(ω) 2
T = lím
T→ 4sen2ωT/4
ω2T
Este límite es cero para ω QRHVWDQGRGHILQLGRSDUDω = 0.
Veamos su integral.
&RPXQLFDFLRQHV$QDOyJLFDV III-9
⌡⌠-
Sxx(ω) dω =
límT→
1T ⌡⌠
-
|xT(ω)|2 dω
lím
T→ 1T ⌡⌠
-
|xT(t))2 GW
límT→
T/2T
Luego
Sxx(ω) = lím
T→ |xT(ω)|2
T = δ(ω)
Obsérvese que
Sxx(ω) = δ(ω) |F[ ]u(t) |2
F[ ]u(t) = δ(ω) + 1jω
También Pxx(ω) = 1 ⌡⌠
-
Sxx(ω) dω =
12
III.8.1.- SEÑALES PERIODICAS
Haciendo T = (2M+1)To
xT (t) = ∑n=-M
M xb (t-nTo) con xb (t) = 0 , | t | > To /2
Su transformada de Fourier es :
XT(ω) = Xb(ω) ∑n=-M
M e
-jnωTo
Sumando la serie geométrica se obtiene
&RPXQLFDFLRQHV$QDOyJLFDV III-10
XT(ω) = Xb(ω) sen(2M+1)ωTo/2
senωTo/2
El espectro final de la señal periódica será :
Sxx(ω) = lim
T→ 1T |XT(ω)|2
= |Xb(ω)|2
To
limM→
12M+1
sen2(2M+1)ωTo/2
sen2ωTo/2
Procediendo de forma análoga a la del epígrafe II.2 relativo a la
transformada de Fourier de señales periódicas se obtiene finalmente :
Sxx(ω) = ∑n=-
|cn|2 2π δ(ω - nωo )
siendo cn el coeficiente n-ésimo del desarrollo en serie de Fourier de x(t).
cn = Xb(nωo)
To
Este es el denominado espectro de "líneas" o "rayas". La raya espectral
n-ésima tiene asociada la potencia |cn|2 .
III.9.- FORMULA DE PARSEVAL PARA SEÑALES PERIODICAS
Sean x(t) e y(t) dos señales periódicas con el mismo periodo To . La
potencia media cruzada será
Pxy = 1
To ⌡⌠
to-To/2
to+To/2
x(t) y*(t) dt
Por ser x(t) periódica
x(t) = ∑n=-
an ejnωoT ωo =
To
Sustituyendo
&RPXQLFDFLRQHV$QDOyJLFDV III-11
Pxy = ∑n=-
an
1To
⌡⌠to-To/2
to+To/2
y*(t) ejnωot dt
Por ser y(t) también periódica
y(t) = ∑n=-
bn ejnωot dt
Se concluye que
Pxy = ∑n=-
an bn *
Si ambas señales son iguales y(t) + x(t)
Pxx = ∑n=-
|an|2
,17(535(7$&,21
La potencia media de una señal periódica es igual a la suma de las
amplitudes al cuadrado de las componentes armónicas de la señal x(t). A la
raya espectral n-ésima se le puede asignar la potencia |an |2 .
III.10.- MEDIDA DE PARECIDO O DISTANCIA
Dadas dos señales reales x(t) e y(t) ¿cómo puede medirse el parecido
entre ambas?
La forma más intuitiva es medir la diferencia cuadrática integrada en el
intervalo de existencia de ambas señales. Esta distancia es
d(τ) = ⌡⌠-
[ ]x(t) - y(t-τ) 2 dt = ⌡⌠
-
[ ]x(t+τ) - y(t) 2 dt
&RPXQLFDFLRQHV$QDOyJLFDV III-12
La señal y(t) está desplazada τ.
Desarrollando el cuadrado
[ ]x(t+τ) - y(t) 2 = x2(t+τ) + y2(t) - 2y(t)x(t+τ)
Sustituyendo en la integral se obtiene
d(τ) = ⌡⌠-
x2(t+τ) dt + ⌡⌠
-
y2(t) dt - 2 ⌡⌠
-
x(t+τ) y(τ) dt
d(τ) = Exx + Eyy - 2Rxy(τ)
Rxy(τ) = ⌡⌠-
x(t+τ) y(t) dt
El valor de la distancia depende de la función Rxy(τ) . Cuanto más
grande es ésta, más pequeña será la distancia y viceversa.
Puesto que d(τ) Rxy(τ) (xx + Eyy )/2
Utilizando la desigualdad de Schwarz.
⌡⌠a
b u(t) v(t) dt
2 ⌡⌠
a
b | |u(t) 2 dt ⌡⌠
a
b | |v(t)
2 dt
con u(t) + x(t+τ) y v(t) + y(t) se tiene que
|Rxy(τ)|2
Exx Eyy
El signo igual se cumple cuando u(t) y v(t) son proporcionales, y daría ladistancia mínima/máxima dependiendo del signo de Rxy(τ) .
|d(τ)max,min
= ( )Exx1/2 ± Eyy
1/2 2
&RPXQLFDFLRQHV$QDOyJLFDV III-13
III.11.- CORRELACION CRUZADA Y ESPECTRO CRUZADO
Generalizando a señales complejas, a la expresión
Rxy(τ) = ⌡⌠-
x(t+τ) y*(t)dt) Rxy(τ) = Ryx
*(-τ)
se le denomina correlación cruzada. Su transformada de Fourier será
⌡⌠-
Rxy(τ) e-jωτ dτ = ⌡⌠
-
⌡⌠-
x(t+τ) y*(t) dt e-jωτ dτ
= ⌡⌠-
y*(t)
⌡⌠-
x(t+τ) e-jωτ dτ dt =
= X(ω) ⌡⌠-
y*(t)ejωt dt
Es decir el espectro cruzado de energía
Sxy(ω) = X(ω) Y*(ω) = ⌡⌠-
Rxy(τ) e-jωτ dτ
Nótese que Rxy(0) = Exy energía cruzada
Obsérvese que también
Rxy(τ) = ⌡⌠-
x(t) y*(t-τ) dt = x(t) * y*(-τ)
F[Rxy(τ)] = X(ω).F[ ]y*(-τ) = X(ω) Y*(ω)
III.12.- FUNCION DE AUTOCORRELACION
Si y(t) + x(t), la función correlación cruzada se convierte en la función de
autocorrelación
&RPXQLFDFLRQHV$QDOyJLFDV III-14
Rxx(τ) = ⌡⌠-
x(t+τ) x*(t) dt
su transformada de Fourier será
⌡⌠-
Rxx(τ) e-jωτ dτ = Sxx(ω) = | |X(ω) 2
es decir el espectro de energía de la señal x(t).
Nótese que
Rxx(0) = Exx Energía de la señal
de la desigualdad de Schwarz, aplicada anteriormente, se deduce que
|Rxx(τ)|2 Exx Exx = Rxx2(0)
|Rxx(τ)| 5xx(0)
III.13 CORRELACION Y ESPECTRO DE SEÑALES DE ENERGIA FINITA ATRAVES DE SISTEMAS LINEALES
x(t)
h(t)
y(t)
La correlación cruzada entrada-salida viene dada por
Rxy(τ) = ⌡⌠-
x(t+τ)y*(t)dt = x(τ) * y*(-τ)
y*(-τ) = x*(-τ) * h*(-τ)
Luego
&RPXQLFDFLRQHV$QDOyJLFDV III-15
Rxy(τ) = x(τ) * x*(-τ) * h*(-τ)
Rxy(τ) = h*(-τ) * Rxx(τ)
Análogamente la correlación salida-entrada
Ryx(τ) = y(τ) * x*(-τ) = h(τ) * x(τ) * x*(-τ)
Ryx(τ) = h(τ) * Rxx(τ)
De igual modo la autocorrelación de la salida
Ryy(τ) = y(τ) * y*(-τ) = x(τ) * h(τ) * x*(-τ) * h*(-τ)
Ryy(τ) = h(τ) * h*(-τ) * Rxx(τ)
Tomando transformadas de Fourier en las tres expresiones anteriores
se obtiene
Sxy(ω) = H*(ω) Sxx(ω)
Syx(ω) = H(ω) Sxx(ω)
Syy(ω) = |H(ω)|2 Sxx(ω)
R ( )
h ( )ττxx
S ( )ωxx
R ( )yx τ
S ( )yx ω
h ( - )τ∗R ( )τyy
S ( )yy ω
III.14.- CORRELACION CRUZADA DE SEÑALES DE POTENCIA MEDIAFINITA
Como en señales de energía finita podemos definir
Rxy(τ) = lím
T→1T ⌡⌠
T x(t+τ) y*(t) dt)
&RPXQLFDFLRQHV$QDOyJLFDV III-16
Puede comprobarse que su transformada de Fourier es el espectro de
potencia cruzada
Sxy(ω) = ⌡⌠-
Rxy(τ) e-jωτ dτ
III.15.- FUNCION DE AUTOCORRELACION DE SEÑALES DE POTENCIAMEDIA FINITA
Si ambas señales son iguales se tiene la función de autocorrelación
Rxx(t) = lím
T→ 1T ⌡⌠
T x(t+τ) x*(t)dt
y su transformada de Fourier será el espectro de potencia de la señal
Sxx(ω) = ⌡⌠-
Rxx(τ) e-jωτ dτ
Nótese que la función de autocorrelación tiene las mismas propiedades
que su homónima de energía finita
Rxx(0) = Pxx
Rxx(τ) 5xx(0)
(-(03/26
$872&255(/$&,21'(/$)81&,21(6&$/21
&RPXQLFDFLRQHV$QDOyJLFDV III-17
-T/2 T/2 t
u(t)
1
- τ
u(t+ )τ
Ruu(τ) = lím
T→ 1T ⌡⌠
-T/2
T/2 u(t+τ) u*(t) dt)
= lím
T→ 1T (T/2) =
12
Ruu(τ) = 12
Suu(ω) = F
12 = πδ(ω)
Puu = 1 ⌡⌠
-
Suu(ω) dω =
12
III.16.- CORRELACION CRUZADA DE SINUSOIDES
Sea x(t) = ejω1t ; y(t) = ejω2t
la correlación cruzada será
Rxy(τ) = lím
T→ 1T ⌡⌠
-T/2
T/2 ejω1(t+τ) e-jω2t dt
= ejω1τ lím
T→ 1T ⌡⌠
-T/2
T/2 ej(ω1-ω2)t dt
= ejω1τ lím
T→ 2sen(ω2-ω1)T/2
T(ω2-ω1)
&RPXQLFDFLRQHV$QDOyJLFDV III-18
Rxy(τ) =
0 si ω1 ω2
ejω1τ si ω1 = ω2
&21&/86,21
El parecido entre dos sinusoides de distinta frecuencia es nulo.
III.17.- CORRELACION DE SEÑALES PERIODICAS
Sea x(t) periódica de periodo Tox e y(t) de periodo Toy .
x(t) = ∑n=-
cnx ejnωoxt ωox =
Tox
y(t) = ∑m=-
cmy ejmωoyt ωoy =
Toy
Por el resultado anterior
Rxy(τ) = ∑n=-
∑
m=-
cnx c*
my ejnωoxτ lím
T→
2sen(mωoy-nωox)T/2
T(mωoy-nωox)
El límite será distinto de cero para aquellas parejas de valores n y m
tales que
mωoy = nωox
Evidentemente ωoy /ωox = Tox /Toy debe ser racional. En caso
contrario Rxy(τ) = cox c*oy
Sea (mo , no ) la pareja de número más pequeña para la que se cumple
mo ωoy = no ωox = ωo
ωo será por tanto el mínimo común múltiplo de (ωox ,ωoy ). La correlación
cruzada será una función periódica de periodo To ωo
&RPXQLFDFLRQHV$QDOyJLFDV III-19
Rxy(τ) = ∑l=-
c(lno)x c
*(lmo)y ejlωo
Si ambas señales tienen el mismo periodo no = mo = 1 y la correlación
cruzada será
Rxy(τ) = ∑l=-
clx c
*ly ejlωoτ
Finalmente si ambas señales son iguales [ ]y(t) = x(t) se obtiene la
función de autocorrelación de una señal periodica
Rxx(τ) = ∑l=-
|clx|2 ejlωoτ ; Rxx(0) = ∑
l=-
|clx|2 = Pxx
La correlacion, también periódica,admite un desarrollo de Fourier
III.18.- ESPECTRO CRUZADO DE SEÑALES PERIODICAS
Tomando la transformada de Fourier de la correlación cruzada
Sxy(ω) = F[Rxy(τ)] = ∑l=-
c(lno)x c
*(lmo)y δ (ω-lωo )
se obtiene el espectro cruzado de potencia.
III.19.- AUTOESPECTRO DE SEÑALES PERIODICAS
La transformada de Fourier de la función de autocorrelación de una
señal periódica
Sxx(ω) = F[Rxx(τ)] = ∑l=-
|cl|
2 δ(ω-lωo )
Es el autoespectro o simplemente el espectro de potencia encontrado
anteriormente.
&RPXQLFDFLRQHV$QDOyJLFDV III-20
III.20.- CORRELACION Y ESPECTRO DE SEÑALES DE POTENCIA MEDIAFINITA A TRAVES DE SISTEMAS LINEALES
Sea x(t) una señal de potencia media finita
x(t)
h(t)
y(t)
La correlación cruzada salida-entrada es por definición
Ryx(τ) = lím
T→ 1T ⌡⌠
T y(t+τ)x*(t)dt
Sustituyendo y(t+τ) en función de x(t) y h(t)
Ryx(τ) = lím
T→ 1T ⌡⌠
T x*(t)
⌡⌠
- h(α) x(t+τ-α)dα dt
Intercambiando las integrales y el límite
Ryx(τ) = ⌡⌠-
h(α)
límT→
1T ⌡⌠
T x(t+τ-α)x*(t)dt dα
Es decir
Ryx(τ) = ⌡⌠-
h(α) Rxx(τ-α) dα = h(τ) * Rxx(τ)
Análogamente, la autocorrelación de la salida
Ryy(τ) = lím
T→ 1T ⌡⌠
T y(t+τ)y*(t)dt =
&RPXQLFDFLRQHV$QDOyJLFDV III-21
= lím
T→ 1T ⌡⌠
T y(t+τ)
⌡⌠-
h*(α)x*(t-α)dα dt
= ⌡⌠-
h*(α)
lím
1T ⌡⌠
T y(t+τ) x*(t-α)dτ dα
= ⌡⌠-
h*(α) Ryx(τ+α) dα
Luego
Ryy(τ) = Ryx(τ) * h*(-τ) = Rxx(τ) * h(τ) * h*(-τ)
Expresiones totalmente idénticas a las de las señales de energía finita
R ( )
h ( )ττxx
S ( )ωxx
R ( )yx τ
S ( )yx ω
h ( - )τ∗R ( )τyy
S ( )yy ω
&RPXQLFDFLRQHV$QDOyJLFDV
7(0$,96(f$/(6$/($725,$6<58,'2
,9&$5$&7(5,=$&,21'(6(f$/(6$/($725,$6 BBBBBBBBBBBBBBBBBB
,9)81&,21(6'('(16,'$''(352%$%,/,'$''(81352&(62$/($725,2 BBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBB
,99$/250(',2'(/352&(62BBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBB
,9$872&255(/$&,21 BBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBB
,9$872&29$5,$1=$BBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBB
,99$/250(',2<$872&255(/$&,21(1)81&,21'(/$65($/,=$&,21(6'(/352&(62 BBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBB
,9352&(626&203/(-26 BBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBB
,9352&(626(67$&,21$5,26(16(17,'2(675,&72BBBBBBBBBBBBBB
,9352&(626(67$&,21$5,26(16(17,'2$03/,22'(%,/0(17((67$&,21$5,26BBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBB
,9(63(&752'(327(1&,$'(81352&(62(67$&,21$5,2 BBBBBB
,9352&(626(67$&,21$5,26<6,67(0$6/,1($/(6 BBBBBBBBBBBBB
,9352&(626(5*2',&26 BBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBB
,958,'27(50,&2BBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBB
,958,'2%/$1&2*$866,$12 BBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBB
,958,'2%/$1&2),/75$'2 BBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBB
,9$1&+2'(%$1'$(48,9$/(17('(58,'2 BBBBBBBBBBBBBBBBBB
&RPXQLFDFLRQHV$QDOyJLFDV IV-1
IV.1.- CARACTERIZACION DE SEÑALES ALEATORIAS
Una variable aleatoria x es una regla que asigna un número x(ξ) al
resultado de un experimento ξ.
Una señal aleatoria o proceso estocástico asigna una función x(t,ξ) al
resultado de un experimento, de esta forma, una señal aleatoria es un conjuntode funciones temporales dependientes de un parámetro ξ. Cuando no haya
ambigüedad, se utilizará la notación x(t) para la señal aleatoria, omitiendo elparámetro ξ.
Como ejemplo de señal aleatoria puede considerarse el conjunto de
voltajes, generados por el movimiento térmico de los electrones, en bornas de
un gran número de resistencias idénticas. La figura presenta algunos de estos
voltajes para distintos resultados del experimento.
t t1
t2
x x x1 2
X(t, ξ1
)
X(t, ξ2
)
X(t, ξn
)
t
t
t
Si se fija el parámetro ξ (resultado de un experimento) se obtiene una
función temporal que se denomina "función muestra" o "realización" del
proceso.
&RPXQLFDFLRQHV$QDOyJLFDV IV-2
Fijada la variable tiempo t se tiene una variable aleatoria x(t1 → x1, t2 → x2) de esta forma, una señal aleatoria puede considerarse
como un conjunto infinito de variables aleatorias, una para cada instante de
tiempo t.
Fijados el parámetro ξ y la variable temporal t se tiene un número.
IV.2.- FUNCIONES DE DENSIDAD DE PROBABILIDAD DE UN PROCESOALEATORIO
Para un t dado, el proceso es una variable aleatoria x con una función
de distribución dependiente de t.
F(x,t) = Px(t) [`
Que es igual a la probabilidad del suceso x(t) [`consistente en todaslas realizaciones posibles, en el instante t, tales que x(t,ξi ) no exceden el
número x.
La función densidad de probabilidad será
f(x,t) = )[W[
en los instantes t1 y t2 se tienen dos variables aleatorias y la función de
distribución conjunta de ambas variables
F(x1 , x2 ; t1 , t2 ) = P x(t1) [1 , x(t2) [2
La correspondiente función de densidad será :
f(x1 , x2 ;t1 ,t2 ) = 2F(x1, x2 ; t1,t2)
[1 [2
Análogamente podrían obtenerse las funciones de orden superior
F(x1 , x2 , . . . ., xn ; t1 , t2 , . . . , tn )
f(x1 , x2 , . . . , xn ; t1 , t2 , . . ., tn )
&RPXQLFDFLRQHV$QDOyJLFDV IV-3
La caracterización completa del proceso requeriría conocer estas
funciones para cualquier orden n. Sin embargo, en muchas aplicaciones, sólo
ciertos promedios son utilizados; más concretamente, los que sólo involucran
las funciones de primer y segundo orden.
IV.3.- VALOR MEDIO DEL PROCESO
Se define el valor medio de x(t) como el valor esperado de la variable
aleatoria x en el instante t
η(t) = Ex(t) = ⌡⌠-
xf(x,t)dx
IV.4.- AUTOCORRELACION
La autocorrelación de un proceso R(t1 ,t2 ) se define como el valor
esperado del producto x(t1 ) x (t2 ).
R(t1 ,t2 ) = Ex(t1)x(t2) = ⌡⌠-
⌡⌠
-
x1 x2 f(x1 ,x2 ;t1 ,t2 ) dx1 dx2
El valor R(t1 ,t2 ) para t1 = t2 = t es la potencia media del proceso
Pm(t) = R(t,t) = Ex2(t) = ⌡⌠-
x2 f(x,t)dx
IV.5.- AUTOCOVARIANZA
Es la autocorrelación del proceso centrado x(t)-η(t). Es fácil de ver que
C(t1 ,t2 ) = R(t1 ,t2 ) - η(t1 ) η(t2 )
(-(03/2
Sea el proceso
x(t) = a cos(ωt + ϕ)
&RPXQLFDFLRQHV$QDOyJLFDV IV-4
donde a y ϕ son dos variables aleatorias independientes y ϕ es una variable
aleatoria uniforme en el intervalo (- HVdecir :
f(ϕ) =
1 φ <
0 RESTO
El valor medio del proceso será
η(t) = E(x(t) = Ea E(cos(ωt + ϕ)
de las propiedades de las variables aleatorias
Ecos(ωt + ϕ) = ⌡⌠
1 cos(ωt+ϕ) dϕ = 0
Luego
η(t) = 0
La autocorrelación vendrá dada por
R(t1 ,t2 ) = Ex(t1)x(t2) =
= Ea2cos(ωt1 + ϕ) cos(ωt2 + ϕ)
Desarrollando el producto de cosenos
R(t1 ,t2 ) = 12 Ea2 E cosω[(t1+t2) + 2ϕ] + cosω(t1 - t2)
El valor medio del primer término es cero
R(t1 ,t2 ) = 12 E a2 cosω (t1 - t2 )
La potencia media del proceso vale (t1 = t2 )
Pm = R(t,t) = 12 E a2
&RPXQLFDFLRQHV$QDOyJLFDV IV-5
Obsérvese que si la variable aleatoria a es una constante, los resultados
anteriores coinciden con los equivalentes de señales periódicas
determinísticas.
η(t) = 0
R(t1 , t2 ) = R(τ) = 12 a2 cosωτ
Pm = 12 a2
con τ = t1 - t2 ya que la correlación del proceso no depende de los
instantes absolutos t1 y t2 , sino de su diferencia.
IV.6.- VALOR MEDIO Y AUTOCORRELACION EN FUNCION DE LASREALIZACIONES DEL PROCESO
Si las propiedades estadísticas de un proceso (funciones de
distribución y de densidad de probabilidad) son desconocidas, pero se disponede un gran número de realizaciones del mismo, x(t,ξi ) i =1, . . . , N, el valor
medio y la autocorrelación pueden obtenerse de manera aproximada como
η(t) ≅ 1N ∑
i=1
N x(t,ξi )
R(t1 ,t2 ) ≅ 1N ∑
i=1
N x(t1 , ξi ) x (t2 ,ξi )
IV.7.- PROCESOS COMPLEJOS
Las definiciones anteriores pueden extenderse al caso que x(t)
sea complejo. El valor medio es el mismo y la autocorrelación se define como
R(t1 ,t2 ) = Ex(t1) x*(t2)
La potencia media será
Pm(t) = E|x(t)|2
&RPXQLFDFLRQHV$QDOyJLFDV IV-6
(-(03/2
x(t) = aej(ωt+ϕ)
donde a y ϕ tienen el mismo significado que en el ejemplo anterior.
η(t) = 0
R(t1 , t2 ) = Ex(t1)x(t2) = E|a|2 ejω(t1-t2)
Pm = E|a|2
IV.8.- PROCESOS ESTACIONARIOS EN SENTIDO ESTRICTO
Se dice que un proceso es estacionario en sentido estricto si sus
propiedades estadísticas son invariantes ante un desplazamiento del origen de
tiempos, esto es, x(t) y x(t+c) tienen las mismas propiedades para todo c. De
esta forma
f(x1 , x2 , . . . , xn ; t1 , t2 , . . ., tn ) =
f(x1 ,x2 , . . . , xn ;t1 +c, t2 +c, . . . , tn + c)
La consecuencia es que la función de densidad de primer orden
f(x,t) = f(x,t+c) = f(x)
No depende del tiempo y por tanto el valor medio del proceso será
constante.
Análogamente, la función de densidad de segundo orden :
f(x1 ,x2 ;t1 ,t2 ) = f(x1 ,x2 ;t1 +c,t2 +c) = f(x1 ,x2 ;τ)
No depende de los instantes absolutos t1 y t2 , sino sólo de su
diferencia τ = t1 - t2 . Por tanto la autocorrelación sólo dependerá de τ y para
estos procesos puede definirse
R(τ) = Ex(t+τ) x*(t)
&RPXQLFDFLRQHV$QDOyJLFDV IV-7
Definición equivalente en forma a la de la autocorrelación de señales
determinísticas de potencia media finita, cambiando el promedio temporal de
estas últimas por el promedio en el conjunto (esperanza matemática).
La potencia media valdrá
Pm = E|x(t)|2 = R(0)
Independiente del tiempo.
Puede definirse la correlación cruzada de dos procesos estacionarios
(una definición equivalente puede darse para dos procesos cualesquiera)
como
Rxy(τ) = Ex(t+τ) y*(t)
IV.9.- PROCESOS ESTACIONARIOS EN SENTIDO AMPLIO ODEBILMENTE ESTACIONARIOS
Un proceso es estacionario en sentido amplio si lo es sólo hasta orden
2, es decir, si
Ex(t) = η constante
Ex(t+τ)x*(t) = R(τ)
IV.10.- ESPECTRO DE POTENCIA DE UN PROCESO ESTACIONARIO
El espectro de potencia o densidad espectral de potencia de un procesoaleatorio estacionario x(t), Sxx(ω) nos dice como se distribuye la potencia
media en el dominio de la frecuencia. De acuerdo con el teorema de Wiener-Kinchine, Sxx(ω) puede calcularse como la transformada de Fourier de la
autocorrelación Rxx(τ) .
Sxx(ω) = ⌡⌠-
Rxx(τ) e-jωτ dτ
Inversamente
&RPXQLFDFLRQHV$QDOyJLFDV IV-8
Rxx(τ) = 1 ⌡⌠
-
Sxx(ω) ejωτ dω
Análogamente, el espectro de potencia cruzada de dos señales
aleatorias estacionarias viene dado por
Sxy(ω) = ⌡⌠-
Rxy(ω) e-jωτ dt)
Rxy(τ) = 1 ⌡⌠
-
Sxy(ω) ejωτ dω
IV.11.- PROCESOS ESTACIONARIOS Y SISTEMAS LINEALES
Sea x(t) un proceso estacionario de media ηx y autocorrelación Rxx(τ) ,
de entrada a un sistema lineal e invariante como el de la figura
h(t)x(t) y(t)
El valor medio del proceso de salida, y(t) (también estacionario) será
ηy = Ey(t) = E
⌡⌠-
x(t-τ) h(τ)dτ
Intercambiando el operador esperanza por el operador integral (ambos
lineales)
ηy = ⌡⌠-
Ex(t-τ) h(τ) dτ
Por ser x(t) estacionario
&RPXQLFDFLRQHV$QDOyJLFDV IV-9
ηy = ⌡⌠-
ηxh(τ)dτ = ηxH(0)
La correlación cruzada salida-entrada es
Ryx(τ) = Ey(t+τ) x*(t)
= E
x*(t) ⌡⌠-
x(t+τ-α)h(α)dα
= ⌡⌠-
Ex*(t)x(t+τ-α) h(α)dα
= ⌡⌠-
Rxx(τ-α) h(α) dα
o bien
Ryx(τ) = Rxx(τ) * h(τ)
El espectro cruzado será
Syx(ω) = Sxx(ω) H(ω)
La autocorrelación del proceso de salida valdrá
Ryy(τ) = ey(t+τ)y*(t) = E
y(t+τ) ⌡⌠-
x*(τ-α) h*(α)dα
= ⌡⌠-
Ey(t+τ)x*(t-α) h(α)dα = ⌡⌠
-
Ryx(τ+α) h*(α)dα
= ⌡⌠-
Ryx(τ-λ) h*(-λ)dλ λ = -α
o bien
Ryy(τ) = Ryx(τ) * h*(-τ)
&RPXQLFDFLRQHV$QDOyJLFDV IV-10
en función de la autocorrelación de la entrada
Ryy(τ) = Rxx(τ) * h(τ) * h*(-τ)
y el espectro de salida
Syy(ω) = Sxx(ω) |H(ω)|2
R ( )
h ( )ττxx
S ( )ωxx
R ( )yx τ
S ( )yx ω
h ( - )τ∗R ( )τyy
S ( )yy ω
Estas relaciones son idénticas a las de las señales determinísticas.
IV.12.- PROCESOS ERGODICOS
El problema central en teoría de procesos es la estimación de sus
propiedades estadísticas, cuando éstas no son conocidas. ya se ha visto antes
que si se dispone de un gran número de realizaciones, pueden estimarse se
media y autocorrelación. En muchas aplicaciones, sólo se tiene acceso a una
sola realización y el único promedio que puede utilizarse es el temporal. Así
por ejemplo, puede estimarse el valor medio del proceso como
η = lím
T→ 1T ⌡⌠
-T/2
T/2 x(t)dt
Donde x(t) significa ahora una realización o función muestra conocida.¿Bajo qué condiciones η es una buena estima de η, valor medio del proceso?
Se dice que el proceso es ergódico en la media si
η= η
&RPXQLFDFLRQHV$QDOyJLFDV IV-11
Cualquiera que sea la realización (función muestra) x(t) del proceso.
Puede concluirse que en un proceso ergódico en la media, el valor medio en el
conjunto puede intercambiarse con el valor medio temporal de cualquiera de
sus realizaciones.
Análogamente, un proceso es ergódico en correlación si la estima de la
autocorrelación
Rxx(τ) = lím
T→ 1T ⌡⌠
-T/2
T/2 x(t+τ)x*(τ) dτ
con x(t) una realización cualquiera del proceso, coincide con la autocorrelación
del proceso
Rxx(τ) = Rxx(τ) = Ex(t+τ) x*(t)
Obsérvese la fuerte similitud existente entre los procesos ergódicos y las
señales determinísticas de potencia media finita.
IV.13.- RUIDO TERMICO
Es el debido al movimiento errático de particulas cargadas
(habitualmente electrones) en medios conductores. Johnson y Nyquist (1928)
fueron los primeros en estudiar este ruido en resistencia metálicas, por lo que
a veces se le conoce también como ruido Johnson.
Cuando una resistencia metálica R está a temperatura T, el movimiento
errático de los electrones produce un voltaje de ruido en sus terminales en
circuito abierto. Por el teorema central del límite, el voltaje v(t) es una
distribución gaussiana de media cero y varianza (potencia).
Pv = E v2(t) = N72
3h R (vol)2
Donde
k = constante de Boltzmann = 1.37.10-23 Jul/°Kelvin
h = constante de Planck = 6,62.10-34 Julios.segundo
&RPXQLFDFLRQHV$QDOyJLFDV IV-12
Mediante la mecánica cuántica, puede demostrarse que la densidad
espectral de potencia de este ruido es
Svv(f) = 2Rh|f|
eh|f|/kT - 1 (vol2 )/Hz
Gráficamente para f
0 0 .1 0 .5 1 .0
2 RKT
S ( f )Nvv
f =f
h
KTN
Si |fN | << 1, el espectro puede desarrollarse (mediante un desarrollo en serie
de Taylor) por
Svv(f) ≅ 2RkT
1 -
h|f|2kT
Suponiendo una temperatura ambiente de 290°K (27°C)
kTh ≅ 6.1012 Hz
Luego la condición |f| << kTh se cumple para todo el margen de
comunicaciones radio, además, el segundo sumando es despreciable frente a
la unidad por lo que en ese margen, la densidad espectral puede considerarse
prácticamente constante
Svv (f) ≅ 2RkT
&RPXQLFDFLRQHV$QDOyJLFDV IV-13
El modelo de Thevenin equivalente para una resistencia con ruido es el
de la figura
R
v(t)
Donde ahora, la resistencia R es ideal (sin ruido) y el ruido está
representado por el generador. La máxima potencia que éste puede entregar auna carga es cuando hay adaptación de impedancias, esto es, la carga zL es
la propia resistencia zL = R, de esta forma, la potencia disponible será
R
v(t) R
Pd = E[ ]v(t)/2 2
R = Ev2(t)
4R = Pv4R
Esto puede extenderse a la densidad espectral, siendo la máxima
disponible
Svvd (f) = Svv(f)
4R = 12 kT =
12 η
&RPXQLFDFLRQHV$QDOyJLFDV IV-14
Obsérvese que la máxima densidad espectral de ruido que una
resistencia puede entregar a una carga adaptada no depende del valor de la
resistencia, sólo depende de la temperatura, esta máxima densidad es la que
emplearemos en lo sucesivo como espectro de potencia del ruido térmico en el
margen de frecuencias de interés.
IV.14.- RUIDO BLANCO GAUSSIANO
Además de las resistencias, muchas otras fuentes de ruido son
gaussianas y tienen un espectro de potencia plano en un amplio margen de
frecuencias, para estas otras fuentes suele escribirse para la densidad
espectral de potencia
Svv(f) = η/2 η = kTe
siendo Te su temperatura equivalente de ruido : la temperatura a la que
debería estar una resistencia para producir la misma densidad de potencia.
Esta temperatura equivalente no coincidirá, en general, con la temperatura
física.
Aunque la expresión anterior de la densidad espectral de potencia está
limitada a un margen de frecuencias, puede extenderse a todo el dominio
frecuencial. Este es el concepto de ruido blanco, por analogía con la luz
blanca. Si n(t) es el proceso aleatorio que representa el ruido blanco, se tendrá
Snn(f) = η/2 V- f
y su función de autocorrelación
Rnn(τ) = η/2 δ(τ)
es evidente que la potencia total es infinita. Esto no debe causar ningún
problema, ya que los sistemas que filtren el ruido serán limitados en banda y la
potencia de ruido de salida finita.
IV.15.- RUIDO BLANCO FILTRADO
Sea el ruido blanco n(t), la entrada a un sistema como el de la figura
&RPXQLFDFLRQHV$QDOyJLFDV IV-15
h(t)n(t) w(t)
La densidad espectral del ruido de salida será
Sww(f) = η/2 | |H(f) 2
Este ruido ya no es blanco, ya que su densidad espectral no es
constante, sino que adopta la forma del filtro (ruido coloreado).
Ejemplo : Sea el sistema
1
H(f)
-B B f
La densidad espectral del ruido de salida será
Sww(f) = η/2
f2B
y su función de autocorrelación
Rww(τ) = ηB VHQ %τ %τ
La potencia de salida vale
Pw = Rww (0) = ηB
&RPXQLFDFLRQHV$QDOyJLFDV IV-16
IV.16.- ANCHO DE BANDA EQUIVALENTE DE RUIDO
La potencia de ruido a la salida de un sistema cuando la entrada es
ruido blanco, puede escribirse como
Pw =η ⌡⌠0
| |H(f) 2 df
Suponiendo un filtro simétrico, puede definirse un ancho de banda
equivalente de ruido como
BN ∆=
1g ⌡⌠
0
| |H(f) 2 df
siendo g1/2 = | |H(f) máx la ganancia del filtro a la frecuencia central. De esta
forma, la potencia de ruido a la salida sería
Pw = gηBN
que es la potencia que se obtendría con un filtro ideal (rectangular) de
ganancia g como se observa en la figura.
f
| H (f) |2 B
N
g
Areas iguales
&RPXQLFDFLRQHV$QDOyJLFDV
96,67(0$'(75$160,6,21%$1'$%$6($1$/2*,&2BBBBBBBBBBBBB
9(/(0(1726'(/6,67(0$'(75$160,6,21 BBBBBBBBBBBBBBBBBBB
9)8(17( BBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBB
975$160,625 BBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBB
9&$1$/'(&2081,&$&,21(6BBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBB V.2.3.1.- PERDIDAS EN LINEAS DE TRANSMISION________________________________3V.2.3.2.- PERDIDAS EN EL ESPACIO LIBRE ______________________________________3
95(&(3725 BBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBB V.2.4.1.- RUIDO BLANCO ADITIVO______________________________________________4
95(3(7,'25(6 BBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBB
9',67256,21 BBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBB
9',67256,21/,1($/BBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBB V.4.1.1.- ECUALIZADORES ____________________________________________________11
9',67256,2112/,1($/ BBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBB V.4.2.1.- COMPRESORES Y EXPANSORES_______________________________________15
9),/75267(50,1$/(6237,026 BBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBB
&RPXQLFDFLRQHV$QDOyJLFDV V-1
V.1.- SISTEMA DE TRANSMISION BANDA BASE ANALOGICO
Es un sistema de transmisión sin desplazamiento en frecuencia, es
decir, sin ningún tipo de modulación. Aunque pocos son los sistemas que
trabajan en banda base, las razones de su estudio son las siguientes :
- Los sistemas con modulación pueden estudiarse como los de banda base
y muchos de los conceptos y parámetros de estos últimos son aplicables
a los primeros.
- El sistema banda base sirve como elemento de comparación de las
prestaciones de los distintos tipos de modulación.
V.2.- ELEMENTOS DEL SISTEMA DE TRANSMISION
FUENTE TRANSMISOR CANAL +
S T
RUIDO
S R S D
ND
RECEPTOR DESTINO
ST = Potencia de señal transmitida
SR = Potencia de señal recibida
SD = Potencia de señal en destino
ND = Potencia de ruido en destino
V.2.1.- FUENTE
Genera la información o mensaje que se desea transmitir. El mensaje
puede no ser una señal eléctrica por lo que se requerirá un transductor que
convierta la información en señales eléctricas a la entrada del transmisor.
Ejemplo : voz humana y micrófono en telefonía.
&RPXQLFDFLRQHV$QDOyJLFDV V-2
V.2.2.- TRANSMISOR
Dispone la señal mensaje para que sea transmitida al canal de
comunicaciones. En banda base, será en general un simple amplificador que
suministre la potencia necesaria de señal para su posterior recepción. En
sistemas con modulación incluirá además el sistema de modulación.
V.2.3.- CANAL DE COMUNICACIONES
En banda base no es más que una línea de transmisión formada por
cables eléctricos con distintas configuraciones geométricas. En sistemas que
utilizan modulación el canal puede ser, además de las líneas de transmisión,
fibras ópticas, guias de ondas a frecuencias de microondas, espacio libre
(radiación electromagnética), etc.
La señal será distorsionada (se verá más adelante) y fundamentalmente
atenuada a medida que se propaga por el canal. La atenuación es debida a
diversos mecanismos según el canal : pérdidas por efecto Joule en
conductores, dispersión de potencia radiada en el espacio libre, etc. Estas
pérdidas las caracterizaremos, en ausencia de distorsión, por el parámetro L
L = PePs
siendo Pe la potencia de entrada al canaly Ps la potencia de salida. En el
caso del sistema de transmisión
L = STSR
En general, las pérdidas se determinan en dBs
LdB = 10log Pe /Ps
por simplicidad se suprimirá el subíndice cuando no haya ambigüedad.
La potencia se medirá en dB-watios (dBw)
STdB = 10 log ST
estando ST expresada en watios.
&RPXQLFDFLRQHV$QDOyJLFDV V-3
De esta forma las pérdidas en dBs pueden expresarse como :
LdB = STdB - SRdB
93(5','$6(1/,1($6'(75$160,6,21
La relación entre la potencia de entrada y salida en líneas de
transmisión y guías de onda viene dada, para señales sinusoidales, por
Ps = e-2αl Pe
donde l es la longitud de la línea y α es la constante de atenuación por unidad
de longitud. Las pérdidas en dBs serán
L = 10log e2αl = 8,68αl dBs
y las pérdidas por unidad de longitud
L/m = 8,68α dB/m
L es un parámetro característico de cada línea
3(5','$6'($/*81$6/,1($6
Línea de hilos paralelos (0.1cm de φ) 1kHz 0,05dB/km
Cable coaxial (1cm φ) 100kHz 1dB/km
3MHz 4dB/km
Guía de ondas (5 x 2.5 cm) 10GHz 5dB/km
Fibra óptica monomodo longitud de onda = 1,5µm 0,2dB/km
Obsérvese que las pérdidas en dBs son proporcionales a la longitud de
la línea. Doblando la longitud se doblan las pérdidas.
93(5','$6(1(/(63$&,2/,%5(
En el espacio libre, la relación de potencias viene dada por
PsPe
= GT GR
λ
O 2
&RPXQLFDFLRQHV$QDOyJLFDV V-4
donde GT y GR son las ganancias de las antenas transmisora y receptora,
respectivamente y λ la longitud de onda.
Las pérdidas en dBs serán
LdB = -(GTdB + GRdB ) + 22 + 20 log l/λ dBs
Obsérvese que en este caso las pérdidas son proporcionales al
logaritmo de la longitud del enlace, esto hace que el espacio libre sea
preferible para grandes distancias entre transmisor y receptor.
V.2.4.- RECEPTOR
El propósito del receptor es recuperar la señal mensaje original a partir
de la versión degradada de la señal transmitida a través del canal. Si sólo
hubiese atenuación bastaría con amplificar la señal hasta niveles suficientes y
necesarios para el destinatario del mensaje. Pero el canal distorsiona la señal
y además estará contaminada con ruido.
958,'2%/$1&2$',7,92
El ruido procede de una amplia variedad de mecanismos y entra en el
sistema en todos sus puntos. Sin embargo, sus efectos son más perturbadores
cuanto más bajo es el nivel de señal, esto es, en el receptor. Suponiendo ruido
blanco aditivo y ausencia de distorsión en el canal, el receptor estará formado
simplemente por un amplificador y un filtro paso bajo como en la figura.
FILTROPASO BAJO B N
GR
S (f)=1/2 KT =nn /2η
x(t)
n (t)D
y (t)DS
R
- x(t) es la señal de entrada al receptor que supondremos estacionaria y
ergódica con potencia
&RPXQLFDFLRQHV$QDOyJLFDV V-5
SR = E x2(t) = ___x2(t)
- GR es la ganancia en potencia del amplificador.
- Snn(f) es la densidad espectral de potencia de ruido que se supone
blanco y aditivo.
Snn(f) = 12 kT = η/2
k = 1,37.10-23 Julios/°k constante de Boltzmann
T = Temperatura efectiva de ruido
Este ruido incluye tanto el procedente del canal como el generado por el
propio receptor, de esta forma el receptor de considera ideal, sin ruido.
- El filtro paso bajo se considera ideal con un ancho de banda adaptado a
la señal mensaje.
La salida del receptor será
yD(t) = GR x(t) + nD(t)
Suponiendo que el ruido es ergódico también y de media nula
___nD(t) = 0
y que está incorrelado con la señal
________x(t) nD(t) = 0
(Ambas hipótesis son bastante plausibles)
La potencia a la salida será
____yD
2(t) = GR ____x2(t) +
____nD
2(t) = GR SR + ND = SD + ND
Donde la potencia de ruido blanco vendrá dada por
&RPXQLFDFLRQHV$QDOyJLFDV V-6
ND = GR ⌡⌠
-
|HR(f)|2 Snn(f) df = GR η BN
HR(f) = Respuesta frecuencial del filtro
El parámetro que determina la calidad final del sistema de transmisión
es la relación señal/ruido (generalmente expresada en dBs)
S
N D _
SDND
= SR
ηBN =
STLηBN
Conclusión :
En un sistema sin distorsión y con ruido blanco aditivo, la relación
señal/ruido está determinada por la potencia transmitida, por las pérdidas en el
canal, por la densidad espectral de potencia de ruido y por el ancho de banda
del filtro receptor y es independiente de la ganancia del receptor, la relación
puede mejorarse :
- Aumentando la potencia transmitida. No obstante, esta potencia no
puede crecer indefinidamente bien por límites físicos de los dispositivos
amplificadores bien por la complejidad y coste del equipo.
- Minimizando la densidad espectral de potencia de ruido cuidando el
diseño del receptor. Tiene las mismas limitaciones que el anterior.
- Disminuyendo al máximo el ancho de banda del filtro. El límite viene
impuesto por el ancho de banda de la señal mensaje.
- La longitud del enlace es fija y por tanto las pérdidas también lo serán.
No obstante, en el adaptado siguiente se verá un medio de aumentar la
relación señal/ruido interviniendo en el parámetro L
&RPXQLFDFLRQHV$QDOyJLFDV V-7
(-(03/26'(5(/$&,21(66(f$/58,'2(1$/*81266,67(0$6'(
75$160,6,21
TIPO SEÑAL BANDA DE FRECUENCIAS S/N dBs
-----------------------------------------------------------------------------------------------------
Voz inteligible 500 Hz - 2 kHz 5-10
Voz calidad telefónica 300 Hz - 3.4 kHz 25-35
Radiodifusión AM 100 Hz - 5 kHz 40-50
Alta Fidelidad Audio 20 Hz - 20 kHz 55-65
Televisión Video 60 Hz - 4.2 MHz 45-55
&20(17$5,2
Si el ruido no es aditivo y no está incorrelado con la señal, la relación
señal/ruido es ambigua y no tiene gran significado.
V.3.- REPETIDORES
La manera de aumentar la relación señal/ruido actuando sobre el
parámetro de pérdidas L, es utilizando repetidores (filtros + amplificadores)
entre el transmisor y el receptor. El enlace se divide en M-subsecciones como
indicado en la figura.
L 1
S T+ G 1 L 2
η 1
+ G 2
η 2
+ G M
η M
L M
N D
S D
La misión de los repetidores es elevar el nivel de potencia de señal
compensando las pérdidas de subsecciones precedentes.
El último repetidor coincide con el receptor y los filtros paso bajo están
incluidos en los bloques amplificadores.
&RPXQLFDFLRQHV$QDOyJLFDV V-8
Para simplificar el análisis vamos a suponer que :
- Cada amplificador compensa exactamente las pérdidas de la subsección
precedente, es decir
Gi / Li = 1
- Todas las subsecciones son iguales.
En estas condiciones la señal en el destino tendrá la misma potencia
que la transmitida.
SD = ST
La contribución al ruido en recepción por el repetidor iésimo será
NDi = ηi BN Gi Gi+1 . . . GM
Li+1 Li+2 . . . LM = Gi ηi BN = Li ηi BN
Puesto que todas las subsecciones son iguales y
L = L1 L2 . . . LM = LiM
La potencia de ruido total será
ND = MNDi = ML1/M ηBN
y la relación señal ruido
S
N D =
ST
ML1/M ηBN
para compárala con la S/N sin repetidores supongamos M=2 L=100; ML1/M =
20, es decir, la relación señal/ruido se multiplica por 5.
El número de repetidores óptimo se obtiene minimizando ML1/M , esto
es
ddM (ML1/M ) = L1/M - M
1
M2 ln L L1/M = 0
&RPXQLFDFLRQHV$QDOyJLFDV V-9
de donde se obtiene
M = Entero [ln L]
en el ejemplo anterior saldría M = 5.
V.4.- DISTORSION
Además de pérdidas, el canal introducirá cierta distorsión en la señal
mensaje. Para que no hubiese distorsión el canal tendría que tener una
respuesta frecuencial de la forma
Hc(f) = 1L
eM IWc
En estas condiciones si s(t) es la señal de entrada al canal, la señal de
salida será
x(t) = 1L
s(t-tc )
L representa las pérdidas.
En realidad las condiciones de amplitud constante y desfasaje lineal en
la respuesta frecuencial sólo es preciso que se cumplan en el ancho de banda
de la señal. No obstante, dicha respuesta no será realizable físicamente de
manera exacta por lo que tono canal presentará alguna distorsión. Lo
importante es minimizar esta distorsión.
Este tipo de distorsión es en general lineal.
Otro tipo de distorsión es la que aparece debido a la existencia de
elementos no lineales en el transmisor; es el caso de la denominada distorsión
no lineal.
V.4.1.- DISTORSION LINEAL
La distorsión lineal puede ser de amplitud, de fase o de ambas. La
distorsión de amplitud se produce cuando la amplitud de la respuesta
&RPXQLFDFLRQHV$QDOyJLFDV V-10
frecuencial del canal no es constante en el ancho de banda de la señal y la de
fase cuando ésta no es lineal. En general
H(f) = |H(f)| ejφ(f)
El retardo temporal a la frecuencia f viene dado por
tc (f) = - φ(f) I
La distorsión de fase es equivalente a decir que cada una de las
componentes frecuenciales sufre un retardo distinto por lo que al componerse
a la salida, la forma de onda de la señal sufrirá alteraciones y por tanto habrá
distorsión. El oído humano es bastante insensible a las distorsiones de fase
por lo que esta distorsión no es muy importante en telefonía. Sin embargo,
como veremos, es bastante crítica en transmisión de pulsos.
Un ejemplo de distorsión de amplitud es la causada por la señal
multicamino debido a dos o más caminos diferentes de propagación, aunque el
canal sea ideal. La señal de salida es de la forma
x(t) = k1 x (t-t1 ) + k2 x (t-t2 )
y la respuesta equivalente del canal
H(f) = k1 eM IW1 + k2 e
M IW2
El cuadrado del módulo será
|H(ω)|2 = k12 + k2
2 + 2k1 k2 FRV It2 -t1 )
suponiendo que el eco es de pequeña amplitud, es decir,
k2 /k1 << 1
La amplitud de la respuesta frecuencial tendrá la forma
|H(ω)| ≅ k1
1+2k2k1
FRV IW2-t1) 1/2
≅ k1
1 + k2k1
FRV IW2-t1)
Es decir el eco débil produce un rizado de la amplitud de la respuesta
frecuencial y viceversa.
&RPXQLFDFLRQHV$QDOyJLFDV V-11
9(&8$/,=$'25(6
La distorsión lineal puede corregirse mediante el uso de ecualizadores
H (f)c H (f)eq
s(t)
CANAL ECUALIZADOR
x(t) y(t)
Es evidente que para que y(t) sea una versión no distorsionada de s(t),
se debe verificar que
Hc(f) Heq(f) = keM IWc
donde k y tc son constantes
Heq(f) = keM IWc
Hc(f)
Es bastante improbable que podamos diseñar exactamente la respuesta
frecuencial del ecualizador, pero en muchos casos es posible obtener una
aproximación que reduzca a valores aceptables la distorsión final.
Una de las técnicas más antiguas de ecualización de las líneas
telefónicas es al pupinización que consiste en colocar bobinas en serie a lo
largo de la línea para compensar el efecto capacitivo. Más moderno es el uso
de filtros transversales o "tap-delay line" como el de la figura.
x(t)TT
h0
h1
h2
T
hN
. . . .
y(t)+ + +
La señal de salida tendrá la forma
&RPXQLFDFLRQHV$QDOyJLFDV V-12
y(t) = ∑n=0
N hn x(t-nT)
La respuesta frecuencial del filtro será
H(f) = ∑n=0
N hn eMQ I7
Si N es impar N = 2M+1, realizando el cambio de subíndices n-M = m,
se tendrá
H(f) = eM0 I7 ∑m=-M
M Wm e
MP I7 Wm = hm+M
Expresión más familiar que, salvo un factor de fase, se trata de un
desarrollo en serie de Fourier truncado. El periodo es 1/T. Por tanto si tenemosun canal para ser ecualizado con Hc(f) definida en |f| < BN , la Heq(f) puede
aproximarse por los M primeros términos del desarrollo en serie de Fourier demanera que 1/T %N . Esta condición determinaría el T y el número de
coeficientes (multiplicadores del filtro) dependerá del grado de aproximación
que se quiera obtener.
Como ejercicio puede ecualizarse el canal multicamino del apartado
anterior
Heq(f) = k eM IWc
Hc(t) = k
k1
eM IWc-t1)
1+k2k1
eM IW2-t1)
≅
kk1
eM IWc-t1)
1 - k2k1
eM IW2-t1)
+
k2
k1
2
eM IW2-t1)
Si se cumple que t2 - t1 1
2BN puede elegirse T = t2 -t1 y los
coeficientes serán, sacando factor común eM IW2-t1)
W-1 = 1
&RPXQLFDFLRQHV$QDOyJLFDV V-13
Wo = -k2k1
W1 =
k2
k1
2
V.4.2.- DISTORSION NO LINEAL
Este tipo de distorsión se produce en sistemas que tienen elementos no
lineales. En este caso, el sistema no puede ser definido por una función de
transferencia sino por las características entrada-salida.
y(t)
x(t)
Esta característica es típica de los efectos de corte y saturación de los
amplificadores de estado sólido cuando la entrada es de gran potencia.
Cuando la señal de entrada es de bajo nivel la característica entrada-salida se
puede considerar lineal. En el caso general, la característica puede
aproximarse por una función polinómica de la forma
y(t) =a1 x(t) + a2 x2(t) + . . . + aN xN(t)
Las potencia superiores a la unidad son las que producen la distorsión
no lineal. Aunque no haya función de transferencia, la transformada de Fourier
de la salida será
&RPXQLFDFLRQHV$QDOyJLFDV V-14
y(t) = a1 X(f) + a2 X(f) * X(f) + . . . + aN X(f) . . . * X(f)
_________
N veces
Así si x(t) está limitada a la banda BN , la salida tendrá un ancho de
banda de NBN siendo N el orden de la no linealidad. Puesto que todos los
términos tienen frecuencias en |f| < BN que se solapan con X(f), no será
posible eliminar esta distorsión mediante filtrado.
Una medida de esta distorsión puede obtenerse considerando la señal
de entrada
x(t) = cosωo t
la salida será
y(t) =
a2
2 + 3a4
8 + . . . +
a1 + 3a2
4 + . . . cosωo t +
+
a2
2 + a44 + . . . cos2ωo t + . . .
A esta distorsión se le conoce con el nombre de distorsión armónica. La
distorsión del segundo armónico es :
D2 = a1/2 + a4/4 + . . .
a1 + 3a3/4 + . . . . 100 %
Una aplicación interesante de estos dispositivos no lineales es la
multiplicación de frecuencias.
Otro caso interesante es cuando la entrada es una combinación lineal
de dos frecuencias.
x(t) = Ao cosωo t + A1 cosω1 t ωo ω1
La salida es
y(t) = a1 Ao cosωo t + a1 A1 cosω1 t
+ a2 (A2o/2 + A
21/2)
&RPXQLFDFLRQHV$QDOyJLFDV V-15
+ a2 (A2o/2 + A
21/2) (cos2ωot + cos2ω1t)
+ a2 Ao A1 [cos(ωo + ω1)t + cos(ωo-ω1)t] + . . .
Además de los armónicos de las frecuencias de entrada aparecen las
frecuencias suma y diferencia. Este tipo de distorsión se conoce como
distorsión de intermodulación y es sumamente peligrosa cuando se utiliza
multiplexación por división de frecuencia (FDM) para transmitir varios canales
de información.
Canal n Canal n+1
ωω n ω n+1
En general si la entrada es
x(t) = x1 (t) + x2 (t)
La salida tendrá términos de la forma X1(f) * X2(f) y aunque X1(f) y
X2(f) estén separados en frecuencia, su convolución puede solapar a ambos.
Este tipo de distorsión se denomina "cross-talk" en telefonía.
Del resultado anterior se deduce que otra aplicación interesante de los
dispositivos no lineales es la de mezcladores o conversores de frecuencia
(moduladores-demoduladores).
9&2035(625(6<(;3$1625(6
Una forma de disminuir la distorsión no lineal es cuidando que el nivel
de la señal de entrada no exceda el rango de operación lineal del dispositivo.
Para ello se utiliza un compresor que reduzca el margen dinámico a la entrada
y un expansor que restituya el margen dinámico a la salida.
&RPXQLFDFLRQHV$QDOyJLFDV V-16
y(t)
x(t)
COMPRESOR
y(t)
x(t)
EXPANSOR
COMPRESOR CANAL ESPANSOR
V.5.- FILTROS TERMINALES OPTIMOS
Si el ruido en el receptor no es blanco y además quiere obtenerse una
buena ecualización del canal, pueden utilizarse dos filtros terminales, uno en el
transmisor y el otro en el receptor.
H (f)T
x(t) S TH (f)C + H (f)R
S (f)nn
y (t)D
Si los filtros ecualizan perfectamente el canal se tendrá
&RPXQLFDFLRQHV$QDOyJLFDV V-17
HT(f) Hc(f) HR(f) = keM IWc
y la señal de salida será
yD(t) = kx(t-tc ) + nD(t)
Las potencias de señal y ruido en destino son
SD = k2 ____x2(t)
ND = ⌡⌠
-
|HR(f)|2 Snn(f) df
Para determinar los filtros terminales óptimos que maximizan la relaciónseñal/ruido (S/N)
D debemos maximizar ésta manteniendo constante la
potencia transmitida o equivalentemente minimizar
STNDSD
teniendo en cuenta que
ST = ⌡⌠
-
|HT(f)|2
Sxx(f)df
y la expresión de ecualización del canal, puede escribirse
STNDSD
= 1
___
x2(t)
⌡⌠
-
Sxx(f)
|Hc(f)HR(f)|2 df ⌡⌠
-
|HR(f)|2 Snn(f)df
Donde únicamente se ha dejado como función de control de diseño el
filtro en el receptor.
La minimización de la expresión anterior requeriría utilizar el cálculo
variacional. No obstante utilizando la desigualdad de Schwarz.
&RPXQLFDFLRQHV$QDOyJLFDV V-18
⌡⌠-
VW
*df
2
⌡⌠
-
|V|2df ⌡⌠-
|W|2df
Identificando
V ≡ Sxx
1/2(f)
|Hc(f) HR(f)|
W ≡ |HR(f) | Snn1/2(f)
y teniendo en cuenta que el signo igual sucede cuando V = cte.W se tiene
finalmente que
|HR(f)|2op =
Sxx1/2(f)
|Hc(f)|Snn1/2(f)
y por tanto
|HT(f)|2op =
k2Snn1/2(f)
|Hc(f) |Sxx1/2(f)
Donde se observa que HR(f) desenfatiza aquellas frecuencias donde la
densidad espectral de ruido es grande y la de señal pequeña mientras queHT(f) hace lo contrario. Las fases no aparecen, pero deben ser tales que
verifiquen la relación de ecualización del canal.
Este tipo de filtros son los que se utilizan en FM (filtros de preénfasis y
deénfasis).
La relación señal/ruido óptima es
&RPXQLFDFLRQHV$QDOyJLFDV V-19
(S/N)Dop = ST
(STND/SD)op =
ST ____x2(t)
⌡⌠
-
Sxx
1/2(f) Snn1/2(f)
|Hc(f)| df
2
En la práctica, estos filtros no pueden sintetizarse de manera exacta ya
que el espectro de potencia de señal no es conocido. Los filtros deben
optimizar la relación señal/ruido para diferentes entradas. En este caso se
puden suponer una densidad espectral de potencia de señal constante.
Sxx(f) =
____x2(t)2BN
f
2BN
No se tendrá el diseño óptimo pero seguirá siendo bueno.
Si ahora suponemos que el canal sólo tiene pérdidas |Hc(f) |2 = 1/L
y que el ruido es blanco Snn(f) = η/2, la relación señal/ruido anterior se
convierte en
(S/N)Dop = ST
LηBN
Que es la misma relación encontrada anteriormente, pero que ahora
podemos decir que es óptima.
&RPXQLFDFLRQHV$QDOyJLFDV
7(0$9,6(f$/(6<352&(6263$62%$1'$
9,6(f$/$1$/,7,&$BBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBB
9,75$16)250$'$'(+,/%(57 BBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBB
9,352&(6$'2'(6(f$/(60(',$17((/862'(/$66(f$/(6
$1$/,7,&$6BBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBB
9,(192/9(17(<)5(&8(1&,$,167$17$1($ BBBBBBBBBBBBBBBBBBB
9,75$16)250$'$'(+,/%(57'(/352'8&72'(81$6(f$/
3$62%$-2<275$3$-2$/72&21(63(&752648(126(62/$3$1BB
9,3523,('$'(6'(/$75$16)250$'$'(+,/%(57 BBBBBBBBBBBB
9,/,1($/,'$' BBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBB
9,$872&255(/$&,21<(63(&752'(/$75$16)250$'$'(
+,/%(57 BBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBB
9,&255(/$&,21&58=$'$'(81$6(f$/<6875$16)250$'$'(
+,/%(57 BBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBB
9,5(/$&,21'(2572*21$/,'$'(175(81$6(f$/<68
75$16)250$'$'(+,/%(57 BBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBB
9,75$16)250$'$,19(56$'(+,/%(57BBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBB
9,75$16)250$'$'(+,/%(57'(/$&2192/8&,21'('26
6(f$/(6BBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBB
9,6(f$/(6&$86$/(6<75$16)250$'$'(+,/%(57 BBBBBBBBBBB
9,6(f$/(63$62%$1'$ BBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBB
9,(48,9$/(17(3$62%$-2 BBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBB
9,6(f$/(66,0(75,&$6<$17,6,0(75,&$6BBBBBBBBBBBBBBBBBBBB
9,&20321(17(6(1)$6(<&8$'5$785$BBBBBBBBBBBBBBBBBBBBB
9,5(7$5'26'()$6(<'(*5832BBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBB
9,),/75$'2(48,9$/(17(3$62%$-2 BBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBB
9,5(35(6(17$&,21)$625,$/'(6(f$/(63$62%$1'$ BBBBBBB
9,5(35(6(17$&,21'(352&(626(67$&,21$5,263$62%$1'$
9,$872&255(/$&,21<&255(/$&,21&58=$'$'(/26
352&(626)$6(<&8$'5$785$ BBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBB
&RPXQLFDFLRQHV$QDOyJLFDV
9,$872&255(/$&,21'(/352&(623$62%$-2 BBBBBBBBBBBBBBB
9,$872(63(&752'(/26352&(626)$6(<&8$'5$785$BBBBB
9,(63(&752&58=$'2'(/$66(f$/(6)$6(<&8$'5$785$BB
9,(63(&7526'(/352&(62%$-2<'(/352&(62$1$/,7,&2 BB
9,3523,('$'(6'(/$6&20321(17(6)$6(<&8$'$5$785$'(
/$$872&255(/$&,21'(/352&(623$62%$1'$BBBBBBBBBBBBBBBBBBB
9,58,'2%/$1&23$62%$1'$ BBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBB
9,352&(6263$62%$1'$12(67$&,21$5,26 BBBBBBBBBBBBBBBBBB
9,352&(66263$66$%$1'$$0%)$6($/($725,$ BBBBBBBBBBBBB
&RPXQLFDFLRQHV$QDOyJLFDV VI-1
VI.1.- SEÑAL ANALITICA
Dada la redundancia existente entre las frecuencias positivas y
negativas de la respuesta frecuencial de una señal real, puede usarse sólo la
parte positiva (o negativa) del espectro para caracterizar completamente la
señal.
Se define la señal analítica de x(t) como :
Ax(ω) = 2X(ω)u(ω)
o sea, el doble del espectro de las frecuencias positivas
A
X( ω)
ω ω
A ( ω)
2A
x
De forma análoga podría definirse otra función analítica.
Ax-(ω) = 2X(ω) u(-ω)
para frecuencias negativas. Obsérvese que
Ax-(-ω) = A
*x(ω) ω
En el dominio del tiempo, la señal analítica tendrá la expresión:
&RPXQLFDFLRQHV$QDOyJLFDV VI-2
ax(t) = 1π ⌡⌠
0
X(ω) ejωt dω = F-1 [Ax(ω)]
compruébese que
ax-(t) = F-1
[ ]Ax-(ω) = a
*x (t)
Esta señal es compleja y su parte real es precisamente la señal x(t)
x(t) = 1π Re
⌡⌠0
X(ω) ejωt dω
La parte imaginaria x(t) es
x(t) = 1π Im
⌡⌠0
X(ω) ejωt dω
y se conoce como transformada de Hilbert y en el próximo apartado se verá
otra expresión más común. Concluyendo
ax(t) = x(t) + j x(t)
x(t) = Re [ax(t) ]
x(t) = Im[ax(t) ]
Obsérvese que la señal analítica ax(t) es coherente con el análisis
fasorial. Así si
x(t) = Acosωo t
se tiene que
&RPXQLFDFLRQHV$QDOyJLFDV VI-3
X(ω) = πAδ(ω-ωo ) + πAδ(ω+ωo )
La transformada de Hilbert será
x(t) = 1π Im
⌡⌠0
X(ω)ejωt dω = Asenωo t
y la señal analítica
ax(t) = x(t) + j x(t) = Aejωot
VI.2.- TRANSFORMADA DE HILBERT
En el apartado anterior se ha definido la transformada de Hilbert como
x(t) = Im [ax(t) ] = Im F-1 [Ax(ω)]
Teniendo en cuenta que :
Ax(ω) = 2X(ω) u(ω) = X(ω) [ ]1 + sign(ω)
su transformada inversa será
ax(t) = x(t) + F-1 [ ]X(ω) sign(ω)
Dado que :-1
sign (ω) → j 1W
&RPXQLFDFLRQHV$QDOyJLFDV VI-4
ax(t) = x(t) + j x(t) * 1W
Por tanto :
x(t) = x(t) * 1W =
1
⌡⌠
-
x(τ)t-τ dt
x(t) 1
πt
)(ˆ)( W[W\ =
Esta expresión es la que realmente se conoce como transformada de
Hilbert.
En el dominio frecuencial
X(ω) = -jsign(ω) X(ω)
Así pues para obtener la transformada de Hilbert de una señal x(t), la
pasamos a través de un sistema lineal cuya función de transferencia es :
FASE π/2
FASE -π /2
+j
-j
-jsign( )ω
ω
&RPXQLFDFLRQHV$QDOyJLFDV VI-5
Dispositivo que puede considerarse que produce un desfasaje de -90
grados para las frecuencia positivas y 90 grados para las negativas mientras
que las amplitudes son inalteradas. Este dispositivo ideal se le conoce como
transformador de Hilbert o filtro en cuadratura.
(-(03/2
x(t) = cosωo t
su transformada de Fourier
X(ω) = π δ(ω - ωo) + πδ(ω + ωo)
Por tanto la respuesta frecuencial de la transformada de Hilbert
X(ω) = -jsign(ω) X(ω) = π2j δ(ω - ωo ) -
π2j δ(ω + ωo )
Luego :
x(t) = senωo t
Análogamente
H
senωo t → -cosωo t
VI.3.- PROCESADO DE SEÑALES MEDIANTE EL USO DE LAS SEÑALES
ANALITICAS
x(t)
h(t)
y(t)
&RPXQLFDFLRQHV$QDOyJLFDV VI-6
Puesto que
Ax(ω) = 2X(ω) u(ω)
Y(ω) = H(ω) X(ω)
se tendrá que
Ay(ω) = H(ω) Ax(ω)
y también
Ay(ω) = 12 AH(ω) Ax(ω)
y en el dominio del tiempo
ay(t) = h(t) * ax(t)
ay(t) = 12 ah(t) * ax(t)
VI.4.- ENVOLVENTE Y FRECUENCIA INSTANTANEA
Igual que en fasores, ax(t) puede interpretarse como un vector en el
plano complejo
&RPXQLFDFLRQHV$QDOyJLFDV VI-7
FASE INSTANTANEA (t)xφx(t)
x(t)
PARTE IMAGINARIA
a (t)x
ENVOLVENTE e (t)x
PARTE REAL
∧
La envolvente de la señal x(t) es
ex(t) = |ax(t)| = x2(t) + x2(t)
La fase instantánea
ϕx(t) = arctg x(t)x(t)
La frecuencia instántanea puede calcularse como
fix(t) = 1
dϕx(t)
dt
VI.5.- TRANSFORMADA DE HILBERT DEL PRODUCTO DE UNA SEÑAL
PASO BAJO Y OTRA PAJO ALTO CON ESPECTROS QUE NO SE
SOLAPAN
Sea
x(t) = b(t) a(t)
&RPXQLFDFLRQHV$QDOyJLFDV VI-8
donde b(t) es una señal paso bajo con transformada B(ω) tal que B(ω)=0 para
|ω| > W y a(t) es paso alto tal que A(ω) = 0 si |ω| < W.
La transformado de Fourier de x(t) es
X(ω) = 1 A(ω) * B(ω) =
1 ⌡⌠
-
A(ω-ω') B(ω') dω'
La respuesta frecuencial de la transformada de Hilbert
X(ω) = -jsign(ω) X(ω)
y la transformada de Hilbert
x(t) = 1 ⌡⌠
-
-jsign(ω)
1
⌡⌠-
A(ω-ω')B(ω') dω' ejωt dω
= 1
(2π)2 ⌡⌠
- ⌡⌠
- -jsign (ω) A(ω-ω') B(ω') ejωt dω dω'
Realizando el cambio u = ω - ω'
x (t) = -j
2 ⌡⌠
-
⌡⌠
-
sign(u+ω') A(u) B(ω') ej(ω'+u)t du dω'
El producto A(u) B(ω') sólo está definido en las franjas rayadas de la
figura en el plano u-ω'.
&RPXQLFDFLRQHV$QDOyJLFDV VI-9
W
-W W
W
u ∞
ω‘
s i gn (u + ) = 1ω‘
s i gn (u + ) = -1ω‘
-∞
Puesto que
sign (u + ω’) = 1 u + ω’ > 0
-1 u + ω’ < 0
se verifica que
sign (u + ω’) = sign(u)
En las franjas rayadas, luego
x(t) = 1 ⌡⌠
-
B(ω’) ejω’t dω’
1 ⌡⌠
-
-jsign(u) A(u) ejut du
Concluyendo
&RPXQLFDFLRQHV$QDOyJLFDV VI-10
x (t) = a(t) b(t)
VI.6.- PROPIEDADES DE LA TRANSFORMADA DE HILBERT
VI.6.1.- LINEALIDAD
Sea z(t) = x(t) + y(t)
z(t) = x(t) + y(t)
se deduce de la linealidad de la convolución
z(t) = [ ]x(t) + y(t) * 1W
VI.6.2.- AUTOCORRELACION Y ESPECTRO DE LA TRANSFORMADA DE
HILBERT
La función de autocorrelación será
Rx x(τ) = x(τ) * x*(-τ)
= x(τ) * 1τ * x
* (-τ) 1 τ
= x(τ) * x* (-τ) *
1τ *
-
1τ
= x(τ) * x*(-τ) * δ(τ)
= x(τ) * x*(-τ) = Rxx(τ)
&RPXQLFDFLRQHV$QDOyJLFDV VI-11
Luego la transformada de Hilbert tiene la misma función de autocorrelación
que la señal
Rx x(τ) = Rxx(τ)
y por lo tanto tendrá el mismo espectro. Por otro camino
Sx x(ω) = | |X(ω) 2 = | |-jsign(ω) X(ω) 2 = | |X(ω) 2 = Sxx(ω)
VI.6.3.- CORRELACION CRUZADA DE UNA SEÑAL Y SU
TRANSFORMADA DE HILBERT
Rxx(τ) = x(τ) * x*(-τ) = x(τ) * x
*(-τ) *
-
1τ
Rxx(τ) = -Rxx * 1W = - Rxx(τ)
Análogamente
Rxx(τ) = Rxx(τ)
Y sus espectros cruzados
Sxx(ω) = -jsign(ω) Sxx(ω)
Sxx(ω) = jsign(ω) Sxx (ω)
VI.6.4.- RELACION DE ORTOGONALIDAD ENTRE UNA SEÑAL Y SU
TRANSFORMADA DE HILBERT
Una señal x(t) y su transformada de Hilbert son ortogonales, esto es
&RPXQLFDFLRQHV$QDOyJLFDV VI-12
⌡⌠-
x*(t) x(t) dt = 0
Demostración :
⌡⌠-
x*(t) x(t) dt = PARSEVAL =
1 ⌡⌠
-
X*(ω) X(ω) dω =
= -j ⌡⌠-
sign (ω) | |X(ω) 2 dω
Puesto que | |X(ω) 2 es par la integral es cero.
VI.7.- TRANSFORMADA INVERSA DE HILBERT
La transformada inversa de Hilbert es
x(t) = -1
⌡⌠-
x (τ)t-τ dτ
Demostración :
Sea y(t) = x(t)
La transformada de Hilbert de y(t) será
y(t) = y(t) * 1W = x(t) *
1W
= x(t) * 1W *
1W = x(t) * [ ]-δ(t)
= -x(t)
&RPXQLFDFLRQHV$QDOyJLFDV VI-13
También puede verse en el dominio de la frecuencia.
VI.8.- TRANSFORMADA DE HILBERT DE LA CONVOLUCION DE DOS
SEÑALES
Sea y(t) = x(t) * h(t)
su transformada de Hilbert es
y(t) = 1W * y(t) =
1W * x(t) * h(t)
Luego
G [x(t) * h(t)] = x(t) * h(t) = x(t) * h(t)
VI.9.- SEÑALES CAUSALES Y TRANSFORMADA DE HILBERT
Por ser señales reales puede escribirse
x(t) = xp(t) + xi(t)
+
x (t)x (t)
t t
A/2 A/2
p i
t
x(t)
A
=
&RPXQLFDFLRQHV$QDOyJLFDV VI-14
y como se ha visto anteriormente se cumple que
R(ω) = F [xp(t)]
jI(ω) = F[xi(t)]
En el caso de ser causal se cumple además (ver figura)
xp(t) = xi(t) sign(t)
xi(t) = xp(t) sign(t)
Transformando la segunda
jI(ω) = 1 R(ω) *
2jω
Luego la parte imaginaria es la transformada inversa de Hilbert de la parte real
I(ω) = - 1
⌡⌠-
R(ω')ω-ω' dω'
Análogamente, transformando la primera
R(ω) = 1
⌡⌠-
I(ω')ω-ω' dω' T Hilbert Directa
Esta última sólo es cierta si no hay impulsos en el origen de x(t). Si x(t) =x'(t) + kδ(t), el impulso estará presente en xp(t) , pero no en xi(t) . Además
R(ω)ω→
→ k. En este caso, la relación segunda se modificará dando:
R(ω) = R(1
⌡⌠-
I(ω')ω-ω' dω' R( N
&RPXQLFDFLRQHV$QDOyJLFDV VI-15
VI.10.- SEÑALES PASO BANDA
Se denomina señal paso banda a aquella cuya transformada de Fourier
sólo existe en un determinado rango de frecuencias en la vecindad de algunafrecuencia fo que puede denominarse frecuencia central o portadora.
ω - ω o 1ω + ω
o 2ω
oωo-
- ω + ω- ω - ωo o2 1
X( ω)
La pulsación ωo es arbitraria y no tiene porque coincidir ni con la media
aritmética ni con la geométrica de ω1 y ω2 .
La transformada de la señal analítica, según se ha definido
anteriormente, es
Ax(ω) = 2X(ω) u(ω)
ω - ω o 1 ω + ωo 2
A ( ω)x
ωω
o
En el dominio del tiempo
&RPXQLFDFLRQHV$QDOyJLFDV VI-16
ax(t) = x(t) + j x(t)
VI.11.- EQUIVALENTE PASO BAJO
La señal analítica puede interpretarse como el resultado de desplazaren frecuencias (modular) una señal Bx(ω) paso bajo, esto es,
Dominio del tiempo
ax(t) = bx(t) ejωot
Dominio de la frecuencia
Ax(ω) = Bx(ω - ωo)
ω0- ω ω1 2
B ( ω)x
La señal bx(t) se le denomina equivalente paso bajo de ax(t) o x(t). Es
compleja y permite obtener x(t) y x(t) como :
x(t) = Re
bx(t) ejωot
&RPXQLFDFLRQHV$QDOyJLFDV VI-17
x (t) = Im
bx(t) ejωot
VI.12.- SEÑALES SIMETRICAS Y ANTISIMETRICAS
Si X(ω) es hermítica alrededor de ωo , es decir, si | |X(ω) tiene simetría
par y ϕx(ω) impar alrededor de ωo , entonces Bx(ω) tendrá la misma simetría
alrededor del origen y bx(t) será real.
En este caso
x(t) = bx(t) cosωo t
x (t) = bx(t) senωo t
Análogamente si X(ω) es antihermítica alrededor de ωo , es decir, X(ωo
- ω) = -X*(ωo + ω) , Bx(ω) tendrá la misma simetría alrededor del origen y bx(t)
será imaginaria pura. En este caso
x(t) = -bx ' (t) sen ωo t
bx(t) = jbx '(t)
x(t) = bx '(t) cosωo t
Estas ideas que simplifican el manejo de bx(t) y por tanto de x(t), deben
tenerse presentes a la hora de elegir ωo en un problema concreto.
VI.13.- COMPONENTES EN FASE Y CUADRATURA
Si la señal equivalente paso bajo se especifica por su parte real e
imaginaria
&RPXQLFDFLRQHV$QDOyJLFDV VI-18
bx(t) = ix(t) + jqx(t)
se obtiene una representación peculiar para x(t) en función de dos señales
paso bajo
x(t) = ix(t) cosωo t - qx(t) sen ωo t = Re bx(t) ejωot
ix(t) , qx(t) son las señales paso bajo
Análogamente la transformada de Hilbert
x(t) = ix(t) senωo t + qx(t) cosωo t = Im
bx(t) ejωot
La envolvente de la señal paso banda será
ex(t) = |ax(t)| = |bx(t)| = ix2(t) + qx
2(t)
y la fase instantánea
ϕx(t) = ωo t + ϕbx(t)
con
ϕbx(t) = arctg qx(t)
ix(t)
Las señales paso bajo ix(t) y qx(t) se denominan componentes en fase
y cuadratura, repectivamente.
&RPXQLFDFLRQHV$QDOyJLFDV VI-19
La expresión de la transformada de Hilbert de una señal paso banda en
función de las componentes en fase y cuadratura permite implementar dicha
transformada de una manera eficiente y exacta.
La obtención de las componentes en fase y cuadratura a partir de la
señal paso banda puede obtenerse mediante el esquema de la figura.
π/2
cos toω
sen toω
-1/2 q (t)x
1/2 i (t)x
x(t)
FILTROPASO-BAJO
FILTROPASO-BAJO
VI.14.- RETARDOS DE FASE Y DE GRUPO
Estos términos son usados para describir los retardos que sufren las
diferentes partes de una señal paso banda, de banda estrecha, cuando pasa a
través de un sistema lineal paso banda con pequeña distorsión de fase. Dichos
términos carecen de significado en sistemas de banda ancha.
Sea x(t) una señal paso banda que por simplicidad supondremoshermítica en torno a la frecuencia central ωo
x(t) = bx(t) cos ωo t
En este caso, como se ha visto, la señal paso bajo es real y su
transformada hermítica en torno del origen, limitada a
&RPXQLFDFLRQHV$QDOyJLFDV VI-20
|ω| ωc
La señal paso banda se dice que es banda-estrecha si se verifica que
ωc /ωo << 1
Sea ahora un sistema paso banda
H(ω) = | |H(ω) ejϕH(ω)
tal que la amplitud es prácticamente constante en la banda de la señal
| |H(ω) ≅ |H(ωo)| ωo - ωc < |ω| < ωo + ωc
y la fase puede aproximarse por una recta de acuerdo con el desarrollo en
serie de Taylor.
ϕH(ω) ≅ ϕH(ωo) + (ω - ωo) dϕH(ω)
dω ω= ωo
Definiendo el retardo de fase y de grupo como sigue
tph = - ϕH(ωo)
ωo
tgr = - dϕH(ω)
dω ω = ωo
La transformada de la señal analítica correspondiente al sistema paso
banda será
&RPXQLFDFLRQHV$QDOyJLFDV VI-21
AH(ω) = 2|H(ωo)| e-jωotph e-j(ω-ωo) tgr u(ω)
La transformada de la señal analítica de x(t) es
Ax(ω) = Bx(ω - ωo)
y por tanto la transformada de la señal analítica de salida será
Ay(ω) =12 Ax(ω) AH(ω) =|H(ωo)| e-jωotph Bx(ω-ω0) e-j(ω-ωo)tgr u(ω)
La señal analítica será la transformada inversa
ay(t) = |H(ωo)| e-jωotph bx (t-tgr) ejωot
Luego la señal de salida será
y(t) = Re [ay(t)] = |H(ωo)| bx (t-tgr) cosωo(t-tph)
CONCLUSION
El retardo de grupo evaluado en la frecuencia central es el retardo de la
equivalente paso bajo de la entrada y el retardo de fase es el retardo de
portadora.
En las figuras siguientes pueden observarse ambos retardos en una
señal paso banda.
&RPXQLFDFLRQHV$QDOyJLFDV VI-22
0
gt r
gr
gro o ph
t
t
b (t)x
x(t) = bx
(t) cos ωo
t
y(t) = | H( ω ) | b x (t-t ) cos ω (t-t )
b x (t-t )
En la figura pueden observarse gráficamente los retardos de grupo y
fase. Estos son las tangentes de los ángulos representados.
&RPXQLFDFLRQHV$QDOyJLFDV VI-23
Φ ( ω)
t ph
tgr
ωo
H
ω
VI.15.- FILTRADO EQUIVALENTE PASO BAJO
Sea el sistema h(t) paso banda
h(t)x(t) y(t)
Este sistema puede diseñarse con tecnología de baja frecuencia usando
leve circuitería adicional.
Puesto que entre las señales analíticas existe la relación
ay(t) = 12 ax (t) * ah(t)
La misma relación se tendrá para las señales paso bajo
by(t) = 12 bx(t) * bh(t)
&RPXQLFDFLRQHV$QDOyJLFDV VI-24
De este modo puede escribirse, después de sustituir los equivalentes
paso bajo por sus componentes en fase y cuadratura, que:
iy(t) = 12 [(ix(t) * ih(t) - qx(t) * qh(t)]
qy(t) = 12 [ix(t) * qh(t) + qx(t) * ih(t)]
Por tanto el sistema paso bajo que se implementaría entre x(t) e y(t)
sería
x ( t )
q ( t )x
i ( t )x
1 / 2 i ( t )h
+
+
+
+
+
-
i ( t )y
q ( t )y
y ( t )
1 / 2 q ( t )h
Este sistema, usado tradicionalmente en sistemas radar, sobre el papel
solucionaría el procesado en radio frecuencia con tecnología de baja
frequencia, el problema radica en que la realizabilidad de h(t) no garantiza lade ih(t) o qh(t) lo que conduciría solo a soluciones aproximadas de h(t).
VI.16.- REPRESENTACION FASORIAL DE SEÑALES PASO BANDA
Todas las señales que intervienen en la representación de señales paso
banda
&RPXQLFDFLRQHV$QDOyJLFDV VI-25
bx(t) = ix(t) + jqx(t)
ax(t) = bx(t) ejωot = x(t) + j x(t)
x(t) = Re [ax(t)] = |bx(t)| cos [ωot + ϕbx(t)] =
= ix(t) cosωo t - qx(t) senωo t
x (t) = Im [ax(t)] = |bx(t)| sen [ωot + ϕbx(t)] =
= ix(t) sen ωo t + qx(t) cosωo t
ex(t) = |ax(t) | = |bx(t) | = x2(t) + x2(t) = ix2(t) + qx
2(t)
ϕx(t) = ωo t + ϕbx(t) = ωo t + arctg qx(t)
ix(t) = arctg x(t)x(t) = ϕax
(t)
Pueden representarse en el plano complejo como en la figura
EJE REALx(t)
EJE IMAGINARIO
x(t)
i (t)x
b (t)x
a (t)x
φ (t)bx φ (t)ax
ω to
q (t)x
∧
&RPXQLFDFLRQHV$QDOyJLFDV VI-26
En realidad se trata de dos planos complejos superpuestos, donde el
correspondiente a las señales equivalentes paso bajo se ha girado un ánguloωo t en sentido contrario a las agujas de reloj para mayor claridad.
VI.17.- REPRESENTACION DE PROCESOS ESTACIONARIOS PASO-
BANDA
Sea n(t) un proceso aleatorio estacionario paso-banda. El proceso
analítico correspondiente puede representarse como
an(t) = n(t) + jn(t)
siendo n(t) la transformada de Hilbert del proceso n(t), esto es, el proceso de
salida del siguiente sistema
1
πt
n(t) n(t)
n(t) = n(t) * 1πt
Como en señales determinísticas, el proceso analítico puede escribirse
como :
an(t) = bn(t) ejωot
bn(t) , como se verá más adelante, es el proceso paso-bajo equivalente
&RPXQLFDFLRQHV$QDOyJLFDV VI-27
bn(t) = in(t) + jqn(t)
de las expresiones anteriores puede establecerse
in(t) + jqn(t) = [ ]n(t) + jn(t) e-jωot
de forma que los procesos fase y cuadratura en función del proceso paso
banda tienen las expresiones siguientes :
in(t) = n(t) cosωo t + n(t) senωo t
qn(t) = n(t) cosωo t - n(t) senωo t
Las relaciones inversas son :
n(t) = in(t) cosωo t - qn(t) senωo t
n(t) = qn(t) cosωo t + in(t) senωo t
VI.17.1.- AUTOCORRELACION Y CORRELACION CRUZADA DE LOS
PROCESOS FASE Y CUADRATURA
Si el proceso paso-banda n(t) es estacionario, vamos a demostrar que
los procesos fase y cuadratura también son estacionarios. La autocorrelación
del proceso fase es
Rin in (t+τ,t) = Ein(t+τ)in(t)
Sustituyendo in(t)
Rin in(t+τ,t) = E
n(t+τ) cosωo(t+τ) + n(t+τ) senωo (t+τ)
&RPXQLFDFLRQHV$QDOyJLFDV VI-28
n(t) cosωot + n(t) senωot
Desarrollando el producto
Rin in(t+τ, t) = En(t+τ) n(t) cosωo(t+τ) cosωo t +
En(t+τ) n(t) cosωo (t+τ) senωo t +
En(t+τ) n(t) senωo(t+τ) cosωo t +
En(t+τ) n(t) senωo(t+τ) senωo t
La esperanza correspondiente al primer sumando es la autocorrelación
del proceso paso-banda.
Rnn(τ) = En(t+τ) n(t)
La del segundo sumando es
Rnn(τ) = E n(t+τ) n(t) = E
n(t+τ) n(t) * 1W
= E
n(t+τ) ⌡⌠-
n(α)dαt-α
Introduciendo n(t+τ) dentro de la integral e intercambiando la esperanza
con la integral.
Rnn(τ) = ⌡⌠-
E n(t+τ)n(α)t-α dα =
&RPXQLFDFLRQHV$QDOyJLFDV VI-29
= ⌡⌠-
Rnn (t+τ - α)
t-α dα
Realizando el cambio de variable t+τ-α = u se obtiene
Rnn(τ) = - ⌡⌠-
Rnn(u)
τ-u du = -Rnn(τ)
De manera análoga puede obtenerse para los otros dos sumandos
Rnn(τ) = En(t+τ)n(t) = Rnn(τ)
Rn n(τ) = En(t+τ) n(t) = Rnn(τ)
Relaciones completamente idénticas a las correspondientes a señales
determinísticas.
Haciendo uso de las relaciones trigonométricas
cosAcosB = 12 [ ]cos(A-B) + cos (A+B)
senAsenB = 12 [ ]cos(A-B) - cos(A+B)
senA cosB = 12 [ ]sen(A-B) + sen(A+B)
Se obtiene finalmente la autocorrelación
Rinin (t+τ,t) = Rnn (τ) cosωo τ + Rnn(τ) senωo τ = Rinin
(τ)
&RPXQLFDFLRQHV$QDOyJLFDV VI-30
que sólo depende de τ.
La autocorrelación del proceso cuadratura y la correlación cruzada de
los procesos fase y cuadratura pueden obtenerse de manera análoga.
Rqnqn(τ) = Rinin
(τ)
Rqnin(τ) = Rnn(τ) cos ωo τ - Rnn (τ) senωo τ
Rinqn(τ) = -Rqnin
(τ)
Multiplicando Rinin(τ) por cosωo τ (senωo τ ) y Rqnin
(τ) por senωo τ (
cosωo τ ) y restando (sumando) se obtienen las relaciones inversas
Rnn(τ) = Rinin(τ) cosωo τ - Rqnin
(τ) senωo τ
Rnn(τ) = Rqnin(τ) cosωo τ + Rinin
(τ) senωo τ
Obsérvese que la correlación del proceso paso banda tiene la mismaforma que una señal paso banda en la que la "SEÑAL EN FASE" es Rinin
(τ) =
Rqnqn(τ) y la "SEÑAL EN CUADRATURA" es la correlación cruzada Rqnin
(τ)
= -Rinqn(τ) .
Las expresiones de Rinin(τ) y Rqnin
(τ) en función de Rnn(τ) y Rnn(τ)
pueden obtenerse por el procedimiento señalando anteriormente, esto es,multiplicando por senωo τ (cosωo τ ) y sumando (restando).
VI.17.2.- AUTOCORRELACION DEL PROCESO PASO BAJO
Rbnbn(τ) = E bn (t+τ) bn
*(t)
&RPXQLFDFLRQHV$QDOyJLFDV VI-31
substituyendo bn(t)
Rbnbn(τ) = E [in(t+τ) + jqn(t+τ)] [in(t) - jqn(t)]
= Rinin(τ) - jRinqn
(τ) + jRqnin(τ) + Rqnqn
(τ)
Teniendo en cuenta las propiedades obtenidas anteriormente :
Rbnbn(τ) = 2 Rinin
(τ) + jRqnin(τ)
VI.17.3.- AUTOESPECTRO DE LOS PROCESOS FASE Y CUADRATURA
Tomando transformadas de Fourier en la autocorrelación del proceso en
fase
Sinin(ω) = Sqnqn
(ω) = F Rinin(τ) =
= F[Rnn(τ) cosωoτ + Rnn(τ) senωoτ]
Teniendo en cuenta las propiedades de la transformada de Fourier y de
Hilbert
Sinin(ω) =
12 [ ]Snn(ω - ωo )+ Snn (ω + ωo) -
- j 12 [-jsign (ω-ωo) Snn(ω-ωo) + jsign(ω+ωo) Snn(ω+ωo)]
= 12 [1 - sign(ω-ωo)] Snn(ω-ωo) +
12 [(1+ sign (ω+ωo)] Snn(ω+ωo)
o bien
&RPXQLFDFLRQHV$QDOyJLFDV VI-32
Sinin(ω) = Snn(ω-ωo) u(-ω+ωo ) + Snn(ω+ωo) u(ω+ωo )
Expresión que tiene una interpretación gráfica sencilla. Sea el espectro
de la señal paso banda el siguiente :
A
s ( )ωnn
- ω oω o −ω 1 ω o ω o +ω 2
El primer sumando consiste en desplazar todo el espectro, a la derecha,la cantidad ωo y eliminar la parte centrada en 2ωo
A
s ( - ) u (- + )ωnn ωo ω ωo
ωω1
ω o- ω 2ω o2
u(- + )ω ωo
El segundo sumando realiza la operación contraria, desplaza elespectro, a la izquierda, la cantidad ωo y suprime la parte centrada en -2ωo .
A
s ( + ) u ( + )ωnn ω o ω ω o
ωω1ωo - ω 2ω o-2
u( + )ω ω o
-
&RPXQLFDFLRQHV$QDOyJLFDV VI-33
El espectro final será la suma de los anteriores
A
ωω1−ω ω 2−ω 12
s ( )ωii n n
VI.17.4.- ESPECTRO CRUZADO DE LAS SEÑALES FASE Y
CUADRATURA
Siguiendo el mismo procedimiento del apartado anterior
Sqnin(ω) = F Rqnin
(τ) =
= F Rnn(τ) cosωoτ - Rnn(τ) senωoτ
= 12 [-jsign(ω-ωo)Snn(ω-ωo) - jsign (ω+ωo) Snn (ω+ωo)]
+ j 12 [Snn(ω-ωo) - Snn(ω+ωo)]
= j 12 [1-sign(ω-ωo)] Snn(ω-ωo) -j
12 [1+sign(ω+ωo)] Snn(ω+ωo)
o bien
Sqnin(ω) = jSnn(ω-ωo) u(-ω+ωo ) -jSnn(ω+ωo) u(ω+ωo )
Gráficamente, para la misma señal anterior
&RPXQLFDFLRQHV$QDOyJLFDV VI-34
jA
ω−ω
ω 2
2
s ( )ωiqn n
-jA
VI.17.5.- ESPECTROS DEL PROCESO BAJO Y DEL PROCESO
ANALITICO
El espectro del proceso paso bajo será
Sbnbn (ω) = 2 Sinin
(ω) + jSqnin(ω)
Sustituyendo los espectros calculados anteriormente queda
Sbnbn(ω) = 4Snn(ω+ωo) u(ω+ωo )
El espectro del proceso analítico vendrá dado por
Sanan(ω) = Sbnbn
(ω -ωo) =4Snn(ω) u(ω)
Gráficamente
&RPXQLFDFLRQHV$QDOyJLFDV VI-35
S ( )bb nn
−ω
4A
ω
ω1 2
ω
4A
S ( )aa nnω
−ω1 +ω2ω
ω
ω0ω0
ω0
VI.17.6.- PROPIEDADES DE LAS COMPONENTES FASE Y
CUADARATURA DE LA AUTOCORRELACION DEL PROCESO PASO
BANDA.
Se ha visto anteriormente que
Rinqn(τ) = -Rqnin
(τ)
pero al ser qn(t) e in(t) reales, de la propia definición de correlación cruzada
se deduce
Rinqn(τ) = Rqnin
(-τ)
Luego
&RPXQLFDFLRQHV$QDOyJLFDV VI-36
Rinqn(τ) = -Rinqn
(-τ)
de donde se concluye que la correlación cruzada es una función impar. Esta
propiedad también puede deducirse del espectro cruzado de ambas señales
(imaginario puro).
La potencia de las señales fase y cuadratura
Pin = Pqn
= Rinin (0) = Rqnqn
(0) = Rnn (0) = Pn
es la misma que la del proceso paso banda.
VI.18.- RUIDO BLANCO PASO BANDA
S ( )n ω
ω
η
n
ω ω ω−ω −ω −ω0 00 0 0 0-w +w -w +w
/2
Por estar centrado en ωo , la correlación cruzada y el espectro cruzado
de los procesos fase y cuadratura son nulos. El autoespectro de ambos
procesos será
S ( )n
ω
ω
n
-w w
ii
η
&RPXQLFDFLRQHV$QDOyJLFDV VI-37
VI.19.- PROCESOS PASO-BANDA NO ESTACIONARIOS
Hemos visto en el apartado anterior que si un proceso paso-banda es
estacionario, els proceso paso-bajo y los procesos en fase i en cuadratura
también lo son. El contrario no siempre es cierto. Sean [(W) i \(W) dos procesos
banda base i sea
WVLQW\WW[WZ 00 )(cos)()( ωω −=
Un proceso paso-banda tal que I0 es más grande que la máxima frecuencia de
los procesos paso-bajo, donde π
ω2
00 =I . La correlación del proceso Z(W), de
acuerdo con el apartado anterior, vendrá dada por
[ ] τωωττττ 002),(),(Re2
1)()(),( MWM
EEEZ HHW5W5WZWZ(W5ZZ
Z
∗+=+=
Siendo )(WEZ
el proceso equivalente paso-bajo,
)()()( WM\W[WEZ
+=
),( τW5ZE
es su correlación y ),( τW5ZZEE ∗ la correlación cruzada del proceso paso-
bajo y su conjugado. Estas últimas valen
[ ]),(),(),(),(),( τττττ W5W5MW5W5W5 [\\[\[EZ
−++=
[ ]),(),(),(),(),( τττττ W5W5MW5W5W5 [\\[\[EEZZ
++−=∗
Por tanto, para que el proceso paso-bajo sea estacionario se ha de cumplir que
[(W) i \(W) sean estacionarios y además que
)()( i )()( ττττ[\\[\[
5555 −==
&RPXQLFDFLRQHV$QDOyJLFDV VI-38
9,352&(66263$66$%$1'$$0%)$6($/($725,$
Una manera de soslayar el problema de los procesos paso-banda noestacionarios es suponer que la portadora tiene una fase φ que es una
variable aleatoria distribuida uniformemente en [-π,π ] e independiente de los
procesos, es decir
)()()cos()()(’ 00 φωφω +−+= WVLQW\WW[WZ
En este caso el proceso paso-bajo será
[ ] φφ M
Z
M
ZHWEHWM\W[WE )()()()(’ =+=
Su correlación
[ ])()()()()()’*()(’)(’ τττττττ [\\[\[EE55M555WEWE(5
ZZ
−++==+=
y la correlación cruzada de )(’ WEZ
y su conjugado
0)()(’)(’)( 2’*’ ==+= ∗
φτττ M
EEEEH(5WEWE(5
ZZZZ
Por tanto el nuevo proceso es estacionario si los procesos [(W) i \(W) lo son.
&RPXQLFDFLRQHV$QDOyJLFDV
7(0$9,,02'8/$&,21(6/,1($/(6
9,,,1752'8&&,21$/266,67(0$6'(02'8/$&,21 BBBBBBBBBBBBB
9,,02'8/$&,21(6/,1($/(6 BBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBB
9,,$03/,78'02'8/$'$$0 BBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBB
VII.2.1.1.- ANCHO DE BANDA __________________________________________________4
VII.2.1.2.- POTENCIA TRANSMITIDA ____________________________________________5
VII.2.1.3.- GENERACION DE AMPLITUD MODULADA _____________________________6
9,,02'8/$&,210(',$17(',6326,7,92612/,1($/(6 ___________8
9,,02'8/$&,21325&21087$&,212&+233(5 ______________9
VII.2.1.4.- DEMODULACION DE AMPLITUD MODULADA _________________________12
9,,'(7(&725'((192/9(17('(3,&2 ___________________________12
9,,'(7(&725'((192/9(17(3520(',2 ______________________17
9,,02'8/$&,21'2%/(%$1'$/$7(5$/'%/3257$'25$
6835,0,'$ BBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBB
VII.2.2.1.- GENERACION DE DOBLE BANDA LATERAL ___________________________21
VII.2.2.2.- DETECCION COHERENTE DE DBL____________________________________23
9,,6,1&521,=$&,21'(3257$'25$ ____________________________25
9,,,1&25325$&,21'(3257$'25$ _____________________________25
9,,*(1(5$&,21'(3257$'25$0(',$17(/$=2&8$'5$7,&2__25
9,,02'8/$&,21%$1'$/$7(5$/81,&$%/8 BBBBBBBBBBBBBBBBBB
VII.2.3.1.- GENERACION DE BANDA LATERAL UNICA ___________________________28
9,,',6&5,0,1$&,21(1)5(&8(1&,$2),/75$'2 _______________28
9,,',6&5,0,1$&,21(1)5(&8(1&,$(1'2%/((7$3$ ___________29
9,,02'8/$&,21325',6&5,0,1$&,21'()$6( _________________30
9,,02'8/$'25'(:($%(5_____________________________________31
VII.2.3.2.- DEMODULACION DE SEÑALES BLU __________________________________32
9,,%$1'$/$7(5$/5(6,'8$/29(67,*,$/%/9BBBBBBBBBBBBBBBB
VII.2.4.1.- EXPRESION DE LA SEÑAL MODULADA EN EL DOMINIO DEL TIEMPO____39
VII.2.4.2.- MODULACION BLV CON PORTADORA________________________________41
9,,58,'2(102'8/$&,21(6/,1($/(6 BBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBB
9,,58,'2(1'2%/(%$1'$/$7(5$/BBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBB
9,,58,'2(1%$1'$/$7(5$/81,&$ BBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBB
&RPXQLFDFLRQHV$QDOyJLFDV9,,58,'2(1$03/,78'02'8/$'$$0&21'(7(&&,21'(
(192/9(17(BBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBB
&RPXQLFDFLRQHV$QDOyJLFDV VII-1
VII.1.- INTRODUCCION A LOS SISTEMAS DE MODULACION
FUENTE MODULADOR TRANSMIS. CANAL
RUIDO
+ RECEPTOR DEMODUL. DESTINO
El sistema de modulación adapta la señal mensaje, procedente de la
fuente, al canal de comunicaciones. De manera general, el modulador traslada
el espectro paso bajo de la señal mensaje a una banda de frecuencias
conveniente para su transmisión vía ondas radio y otros medios de transmisión
como guiaondas, fibras ópticas, etc.
La translación de frecuencias puede hacerse también para un mejor
aprovechamiento del canal, transmitiendo simultáneamente varios mensajes
por el mismo canal (multiplexación por división en frecuencia), dispuestos los
espectros adecuadamente.
MULTIPLEXACION POR DIVISION EN FRECUENCIA (FDM)
n n+1 n+2
ω
El espectro paso banda, resultado de la modulación, estará centrado en
una frecuencia, generalmente alta, denominada frecuencia portadora. Estaportadora es simplemente una señal de la forma Acosωc t. Hay varios
esquemas de modulación dependiendo de qué características de la señal
portadora son variadas por la señal de información (moduladora).
- 0RGXODFLRQHVGHDPSOLWXGROLQHDOHV
La señal moduladora varía las características de amplitud de la
portadora, mientras que la fase de ésta es independiente de la señal
moduladora.
&RPXQLFDFLRQHV$QDOyJLFDV VII-2
- 0RGXODFLRQHVDQJXODUHV
La moduladora modifica las características de fase de la
portadora, permaneciendo la amplitud constante.
VII.2.- MODULACIONES LINEALES
VII.2.1.- AMPLITUD MODULADA (AM)
Se emplea fundamentalmente en radio difusión de onda media con
frecuencias de portadora comprendidas en la banda
535 kHz fc kHz
La características esencial de AM es que preserva la envolvente de la
portadora que, como se verá, no es más que la señal mensaje o moduladora.
Sea x(t) la señal moduladora cuyo espectro es paso bajo y en la que
supondremos que
|x(t)| -V t
La señal modulada en AM tiene la expresión
s(t) = Ac [ ]1 + mx(t) cos(ωc t + θc )
siendo Ac , ωc y θc constantes
Ac amplitud de la portadora sin modular
fc = ωc frecuencia portadora
θc fase constante de la portadora
m es el denominado índice de modulación y debe verificar la restricción
m 1
&RPXQLFDFLRQHV$QDOyJLFDV VII-3
Esta condición junto con la expresada anteriormente para la señalmoduladora asegura que el término Ac[ ]1 + mx(t) es siempre positivo y
expresa exactamente la envolvente de la señal modulada.
Si m fuese mayor que la unidad, la portadora podría estar
sobremodulada (mx(t) < -1), dando como resultado inversiones de fase. En
este caso la onda modulada presentaría distorsiones de envolvente y la señal
mensaje no podría recuperarse a partir de la envolvente de la señal modulada.
En las figuras siguientes pueden observarse estos efectos
0
x(t)
t
s(t)
m<1
t
s(t)
m>1
t
&RPXQLFDFLRQHV$QDOyJLFDV VII-4
9,,$1&+2'(%$1'$
La transformada de Fourier de la señal modulada es, suponiendo θc = 0
S(ω) =πAc [δ(ω-ωc) + δ(ω+ωc)] + mAc
2 [X(ω-ωc) + X(ω+ωc)]
ω
x( )ω
-w w
BANDA LATERALINFERIOR
BANDA LATERALSUPERIOR
A ( - )c cωωδ
ωω ωω-w
c c c+w
S( )ω
1/2mA X(o)c
A ( + )c cωωδ
−ω −ω−ω-wc c c+w
ππ
Así pues, el espectro no es más que el mensaje trasladado a lafrecuencia portadora ±ωc más un par de impulsos que representan a la
portadora. Tiene por tanto simetría alrededor de la frecuencia portadora
(amplitud simetría par y fase simetría impar). A la parte del espectro por
encima de la portadora se llama banda lateral superior y a la que está por
debajo, banda lateral inferior.
El ancho de banda de transmisión es el doble del ancho de banda de la
señal mensaje
BT = 2B
&RPXQLFDFLRQHV$QDOyJLFDV VII-5
B = w
esto representa un mal uso del espectro.
9,,327(1&,$75$160,7,'$
Para calcular la potencia transmitida supondremos que la señalmoduladora es una señal aleatoria (proceso) y que la fase de la portadora θc
es una variable aleatoria distribuida uniformemente en [- ] e independiente
de la moduladora. De esta forma
PT = E s2(t) = ____
s2 (t)
donde la barra puede significar que el proceso es ergódico en correlación
(promedio temporal) o simplemente una simplificación de la otra notación.
Sustituyendo quedará
PT = 12 Ac
2 ________[ ]1+mx(t) 2 =
= Ac
2
2 [1+2m___x(t) + m2
____x2 (t)]
Si suponemos además que la señal tiene media nula (no tiene
componente continua) ___x(t) = 0
PT = [1 + m2___x2(t) ]
Ac2
2
Que tiene la siguiente interpretación
PT = Pc + 2PSB
siendo Pc la potencia de portadora
&RPXQLFDFLRQHV$QDOyJLFDV VII-6
Pc = 12 Ac
2
y PSB la potencia de una banda lateral
PSB = Ac
2
4 m2___x2(t)
Obsérvese que
____
PSB = m2x2(t) Pc
2 12 Pc si m < 1
Por tanto, la portadora tiene al menos el 50% de la potencia transmitida.
La portadora es independiente del mensaje, no contiene ninguna información y
por consiguiente la modulación AM representa una mala utilización de la
potencia. No obstante, como se verá, el exceso de potencia transmitida
facilitará la demodulación, es decir, la detección del mensaje.
9,,*(1(5$&,21'($03/,78'02'8/$'$
El dispositivo generador de ondas AM debe ser variante con el tiempo o
no lineal ya que en la señal modulada se crean nuevas frecuencias que no
pueden ser generadas por un sistema lineal e invariante.
La forma general de obtener AM está indicada en la figura.
mx(t) s(t)
~ A cos tcc ω
&RPXQLFDFLRQHV$QDOyJLFDV VII-7
Un multiplicador puede ser realizado por medio de dos dispositivos de
ley cuadrática como en la figura, con características de entrada-salida de la
forma
vo(t) = avi2(t)
siendo vo(t) la señal de salida y vi(t) la de entrada
+-v -v1 2
v +v1 2+
+
v (t)1
v (t)2
v
v
3
4
+
-
v (t)0
La salida del dispositivo superior es
v3(t) = a(v12 + 2v1 v2 + v2
2 )
la del inferior
v4(t) = a
v1
2 - 2v1v2 + v22
Por tanto la salida del sistema viene dada por
vo(t) = 4a v1(t) v2(t)
&RPXQLFDFLRQHV$QDOyJLFDV VII-8
9,,02'8/$&,210(',$17(',6326,7,92612/,1($/(6
En estos sistemas, la modulación se logra aplicando la suma de la
portadora y moduladora a un dispositivo no lineal y posterior filtrado paso
banda. La no-linealidad de estos dispositivos no debe ser superior al segundo
orden.
En la figura siguiente puede verse el esquema general de este tipo de
modulador. Considerando la característica entrada-salida del dispositivo de la
forma general
vo(t) = ∑n=0
N an vn(t)
La salida del dispositivo hasta el término de tercer orden será
FILTRO PASOBANDA
ωc
s(t)v (t)o
x(t)
A cos tc cω
vo(t) = ao + a22 Ac
2 + a1 x(t) + 32 a3 Ac
2 x(t) + a2 x2(t) + a3 x3(t)
+ [a1 Ac + 2a2 Ac x(t) + 3a3 Ac x2(t) + 34 a3 Ac
3 ] cosωc t
+
1
2 a2Ac2 +
32 a3 Ac
2 x(t) cos2ωc t
+ 14 a3 Ac
3 cos3ωc t
donde se ha hecho uso de las relaciones
&RPXQLFDFLRQHV$QDOyJLFDV VII-9
cos2 α = 1+cos2α
2
cos3 α = cos3α + 3cosα
4
Aunque el filtro elimine los términos de baja frecuencia y los centradosen los armónicos 2ωc y 3ωc , la salida final no será AM debido al término 3a3
Ac x2(t) por lo que la no-linealidad debe estar limitada a orden dos (a3 = 0).
De esta forma la salida será
s(t) = Ac a1
1 + 2a2a1
x(t) cosωc t
se ha de verificar que
ωo > 3w
para que no haya solapamiento del espectro de s(t) con el de x2(t) .
9,,02'8/$&,21325&21087$&,212&+233(5
Esta modulación se realiza mediante "chopping" de la señal Ac[ ]1+mx(t)
a la frecuencia portadora y posterior filtrado paso banda.
En las figuras siguientes se tiene el esquema básico y las señales
resultantes
FILTRO PASO BANDA
ω c
~ ~
R
++v (t)o
v (t)o
+A [1+mx(t)]c
s
s(t)
&RPXQLFDFLRQHV$QDOyJLFDV VII-10
A [ 1 +mx(t) ]c
t
v (t)o
t
s(t)
t
T = 2 π/ ωc c
Si el conmutador permanece abierto en los ciclos positivos de portadora,la señal vo(t) será
vo(t) = Ac [ ]1+mx(t) sc(t)
donde
sc(t) = 1 cosωct 0
0 cosωct < 0
Desarrollando sc(t) en serie de Fourier
sc(t) = 12 +
2 cosωc t -
2 cos3ωc t + . . .
se tiene que
vo(t) = Ac [ ]1 + mx(t) (12 +
2 cosωct -
2 cos3ωct + . . .)
&RPXQLFDFLRQHV$QDOyJLFDV VII-11
-w w ωc ω c3 ω
V ( )0 ω
Si se verifica que ωc > 2w, la señal de salida será
s(t) = 2
Ac [ ]1 + mx(t) cosωc t
El elemento clave en este modulador es el conmutador que abre y cierra
a la frecuencia portadora.
En la figura puede verse una realización sencilla del mismo mediante un
puente de diodos.R
+
+v (t)1
~~A [1+mx(t)]c
FILTRO PASO BANDA
s
v (t)1
2π/ω cV1
t
&RPXQLFDFLRQHV$QDOyJLFDV VII-12
Considerando los diodos ideales, es evidente que si V1 es lo
suficientemente grande, los diodos estarán polarizados en directo ypresentarán baja impedancia (conmutador cerrado) a la señal Ac[ ]1+mx(t) en
los semiciclos positivos de v1(t) . Por el contrario, la impedancia será elevada
en los semiciclos negativos (conmutador abierto).
9,,'(02'8/$&,21'($03/,78'02'8/$'$
La demodulación de AM puede conseguirse mediante el esquema de la
figura
FILTRO PASO BAJO
~
s(t)
A cos tωL c
Este tipo de demodulación se conoce como demodulación o detección
síncrona y requiere que el oscilador local esté sincronizado en frecuencia y
fase con la portadora de la señal modulada. Será analizado con más detalle
más adelante.
Puesto que la envolvente de AM tiene la misma forma que el mensaje,
independientemente de la frecuencia y fase de la portadora, la demodulación
puede lograrse extrayendo la envolvente sin necesidad de sincronismos que
complican extraordinariamente la circuitería del demodulador.
9,,'(7(&725'((192/9(17('(3,&2
Un detector de envolvente de pico ideal es aquel que muestrea cada
pico positivo (o negativo) de la portadora y mantiene el valor hasta el próximo
&RPXQLFDFLRQHV$QDOyJLFDV VII-13
ciclo como expresado en la figura. Esto es equivalente a un muestreo con
periodo de muestreo igual al periodo de la portadora.
s(t)
v (t)o
t
La operación es equivalente al siguiente esquema
h (t)
1
0 Tt
c
x
v (t)0
s (t)p
s(t)
siendo
s(t) = Ac [ ]1 + mx(t) cosωc t = g(t) cosωc t
sp(t) = ∑n=-
δ(t - nTc )
h(t) =
t-Tc/2
Tc
La salida vo(t) será
&RPXQLFDFLRQHV$QDOyJLFDV VII-14
vo(t) = s(t) sp(t) *
t-Tc/2
Tc
en el dominio de la frecuencia
Vo(ω) = 1 S(ω) * Sp(ω) e-jωTc/2
senωTc/2
ω
Puesto que sp(t) es periódica, su transformada viene dada por
Sp(ω) = ∑n=-
Xb(nωc)
Tc δ (ω-nωc ) =
= 1
Tc ∑n=-
δ (ω-nωc )
y la transformada de la salida
Vo(ω) = e-jωTc/2 senωTc/2
ωTc ∑n=-
S(ω-nωc )
Que salvo el factor de fase lineal (retardo puro en el tiempo) es el
resultado de multiplicar
&RPXQLFDFLRQHV$QDOyJLFDV VII-15
G( )ω
-2 cω −ω c -w 0 w ω c 2ω cω
por
ω
2 /T =π ωc c
ω cT
ω csin T /2
G(ω) : Transformada de la envolvente
Es evidente que la envolvente, obtenida mediante filtrado paso bajo,
presentara una gran distorsión, a menos que
ωc >> w
Cuando esta condición ocurre, la función superior es prácticamente
constante en el ancho de banda del mensaje.
Una realización práctica del detector de envolvente de pico es
CR v (t)0
+
-
g(t)+
-~
Rs
&RPXQLFDFLRQHV$QDOyJLFDV VII-16
Rs representa la resistencia equivalente de las etapas previas al detector.
La señal de salida tendrá la forma de la figura
v (t)o
t
s(t)
La constante de tiempo de carga del condensador τs = Rs C tiene que
ser muy pequeña para que el condensador pueda cargarse al ritmo de laportadora. Por el contrario, la constante de tiempo de descarga τ = RC debe
ser grande con relación al periodo de portadora para que el condensador se
descargue lentamente en cada ciclo de portadora. Por otra parte, la descarga
debe ser más rápida que el decaimiento de la envolvente, de lo contrario el
diodo no se activaría en los picos de portadora y habría distorsión. Estacondición es equivalente a decir que 1/τ es bastante mayor que la frecuencia
máxima de la envolvente. Resumiendo
τs = Rs C << Tc = ωc
ωc
<< τ = RC << w
De la última se deduce que, como en el caso ideal, debe verificarse que
ωc >> w
para tener un rizado pequeño, es decir, poca distorsión.
&RPXQLFDFLRQHV$QDOyJLFDV VII-17
Este detector es el utilizado prácticamente en todos los receptores de
onda media.
9,,'(7(&725'((192/9(17(3520(',2
El detector de envolvente de pico está restringido a situaciones donde
hay una gran separación entre la frecuencia portadora y la frecuencia máxima.
Otra posibilidad de obtener la envolvente es mediante el siguiente
esquema.
FILTRO PASO BAJO
s(t)v (t)
v (t)i
0v (t)0
RECTIFICADOR DEMEDIA ONDA
s(t) = g(t) cosωc t = Ac [ ]1 + mx(t) cosωc t
como g(t) -V t
vo(t) = s(t) p(t)
con
p(t) = 1 cosωct > 0
0 cosωct < 0
Desarrollando p(t) en serie de Fourier
&RPXQLFDFLRQHV$QDOyJLFDV VII-18
p(t) = 12 +
2 cosωc t -
2 cos3ωc t + . . .
vo(t) = g(t)2 cosωc t +
2g(t) cos2 ωc t -
2g(t) cos3ωc t cosωc t + ...
= g(t)
+ g(t)2 cosωc t + AM armónicos superiores
El filtro paso bajo eliminará todas las señales si se verifica que
ωc > 2 w
G( )ω
-w w ω c 2ωcω
A diferencia del detector de envolvente de pico, el de envolvente
promedio permite obtener, al menos de manera teórica, la envolvente exacta.
Si el rectificador fuese de onda completa, el término centrado en ωc no
existiría y la condición se relaja aún más
ωc > w
Un detector práctico de envolvente promedio es el mostrado en la figura
C
R+
-
s(t)+
-~
i D α iD
R
&RPXQLFDFLRQHV$QDOyJLFDV VII-19
Aquí el diodo y el filtro paso bajo están desacoplados. El desacoplo
puede conseguirse, por ejemplo, mediante un transistor en base común, donde
la unión base-emisor hace de diodo.
i Dα i
D
VII.2.2.- MODULACION DOBLE BANDA LATERAL (DBL) (PORTADORA
SUPRIMIDA)
No es más que la modulación AM vista anteriormente donde la
portadora, que no conlleva información, es suprimida. Esto representa un
ahorro considerable de potencia.
La forma de onda de la señal modulada es
s(t) = Ac x(t) cosωc t
la potencia transmitida
PT = 2 PSB = 12
____x2 (t) Ac
2
la transformada de Fourier
s( )ω
−ω cω
cω c-w ω
c+w ω
&RPXQLFDFLRQHV$QDOyJLFDV VII-20
S(ω) = Ac2 [X(ω-ωc) + X(ω+ωc)]
El ancho de banda sigue siendo el mismo que en AM.
En el dominio de la frecuencia AM y DBL son bastante similares. En el
dominio del tiempo son bastante diferentes, la envolvente no tendrá la misma
forma que el mensaje, pues los valores negativos de x(t) representan una
inversión de fase de la portadora (igual que en AM con índice de modulación
superior a la unidad). Por tanto, un simple detector de envolvente no serviría,
lo que representa un compromiso entre eficiencia en potencia y sencillez del
demodulador.
s(t)
0t
t
x(t)
0
&RPXQLFDFLRQHV$QDOyJLFDV VII-21
9,,*(1(5$&,21'('2%/(%$1'$/$7(5$/
De los tres métodos básicos de modulación AM vistos anteriormente, el
primero y el tercero pueden servir perfectamente para generar DBL. En el
segundo, el dispositivo no lineal debe ser perfectamente cuadrático, es decir,
la característica entrada-salida sería
vo(t) = av2i (t)
Dada la dificultad en conseguir un dispositivo de ley cuadrada exacta, se
utiliza el modulador balanceado como en la figura
MODULADOR AM
MODULADOR AM
x(t)
-x(t)
s (t)1
s (t)2
A cos tcc ω
~
s(t)+
-
Suponiendo que ambos moduladores AM son idénticos
s1(t) = Ac [ ]1 + mx(t) cosωc t
s2(t) = Ac [ ]1 - mx(t) cosωc t
La diferencia entre ambas es la señal modulada
s(t) = s1(t) - s2(t) = 2Ac mx(t) cosωc t
&RPXQLFDFLRQHV$QDOyJLFDV VII-22
Un esquema práctico de modulador por conmutación o chopper podría
ser el siguiente
c(t)
FILTRO PASOBANDA
s(t)v (t)0x(t)
La señal c(t) es una onda cuadrada periódica conperiodo Tc ωc .
Debe estar aplicada exactamente en el punto medio de los transformadores
para que no aparezca en la salida. Y su amplitud debe ser suficientemente
grande para que en el semiciclo positivo los diodos paralelos están en
conducción, presentando una resistencia pequeña a x(t), y los otros esté en
corte, presentando una gran impedancia. La situación inversa se produce en el
semiciclo negativo. De esta forma
vo(t) = x(t) sc(t)
con
sc(t) = 1 c(t) > 0
-1 c(t) < 0
El desarrollo en serie de Fourier de sc(t) es
sc(t) = 4π ∑
n=1
(-1)n-1
2n-1 cos [ωct (2n-1)]
El filtro paso banda se encargará de eliminar todas las componentes espúreas(n≠1) dando como señal de salida
&RPXQLFDFLRQHV$QDOyJLFDV VII-23
s(t) = 4π x(t) cosωc t
t
x(t)
c(t)
t
v (t)
t
o
9,,'(7(&&,21&2+(5(17('('%/
En el caso de doble banda lateral, el simple detector de envolvente no
sirve, y hay que recurrir a la detección coherente o síncrona.
El oscilador local del demodulador debe estar perfectamente
sincronizado en frecuencia y fase con la portadora.
&RPXQLFDFLRQHV$QDOyJLFDV VII-24
~
s(t) v(t) v (t)0FILTRO PASO BAJO
A cos tL cω
Para ver el efecto de la falta de sincronismo, sea AL cos[(ωc+∆ω)t + ∆φ]
la señal del oscilador local. La señal v(t) será
v(t) = Ac AL x(t) cosωc t cos[(ωc + ∆ω)t+∆φ]
= 12 Ac AL x(t) cos [2ωc+∆ω)t+∆ω]+ cos (∆ωt+∆φ)
Después de filtrar, la señal de salida será
vo(t) = 12 Ac AL x(t) cos(∆ωt + ∆φ)
si el error en frecuencia fuese despreciable (∆ω ≅ 0) la salida sería
vo(t) = 12 Ac AL x(t) cos∆φ
Si ∆φ ODVHñal se anularía. En la práctica, las fluctuaciones del
canal de transmisión harían que ∆φ fuese una función lentamente variable con
el tiempo que modularía al mensaje produciendo un efecto de
desvanecimiento (fading) aparente.
Si el oscilador está sincronizado en fase (∆φ = 0) pero no en frecuencia
vo(t) = 12 Ac AL x(t) cos∆ωt
&RPXQLFDFLRQHV$QDOyJLFDV VII-25
Así si x(t) es un tono de frecuencia fm, la salida serían dos tonos confrecuencia fm - ∆f y fm + ∆f, respectivamente. Si ∆f << fm , el efecto sería
equivalente a dos instrumentos musicales, ligeramente desafinados tocando al
unísono.
9,,6,1&521,=$&,21'(3257$'25$
Para la obtención de una portadora local sincronizada con la portadora
de la señal modulada se utilizan diversos procedimientos, dos de ellos serán
descritos a continuación. La sincronización mediante PLL (Phase Locked
Loop) no es tema de este curso.
9,,,1&25325$&,21'(3257$'25$
Algunos sistemas DBL incorporan una portadora piloto de muy bajo
nivel de potencia para facilitar el sincronismo. El esquema de demodulación es
el de la figura
FILTRO PASOBANDA MUYESTRECHO
ωc
FILTRO PASO BAJO
s(t) + piloto
9,, *(1(5$&,21 '( 3257$'25$ 0(',$17( /$=2
&8$'5$7,&2
Para sistemas con portadora totalmente suprimida, la portadora local
puede generarse mediante el siguiente esquema
&RPXQLFDFLRQHV$QDOyJLFDV VII-26
DISPOSITIVOCUADRATICO
v (t) = as (t)12
v (t)1 FILTRO PASOBANDA MUYESTRECHO 2ω c
s(t)v (t)2 DIVISOR DE
FRECUENCIA2
v (t)0
:
La salida del dispositivo cuadrático será
v1(t) = ax2(t) cos2(ωct + θc)
= ax2(t)
2 + ax2(t)
2 cos2(ωc t + θc )
Si el filtro paso banda es lo suficientemente estrecho, la salida del mismo será
v2(t) = a2
____x2(t) cos2(ωc t + θc )
Puesto que x2(t) es siempre positivo, su valor medio será mayor que
cero y por tanto el divisor de frecuencia daría una frecuencia portadora local
sincronizada. No obstante, puede haber en esta última una ambigüedad en la
IDVHGH UDGLDQHV\DTXHFRQ
s(t) = x(t) cos(ωct + θc
se obtendría la misma portadora.
VII.2.3.- MODULACION BANDA LATERAL UNICA (BLU)
Tanto en AM como en DBL el ancho de banda transmitido es, BT = 2B,
el doble del necesario para transmitir la información.
La modulación banda lateral única consiste en utilizar una de las bandas
laterales (la banda superior o la inferior). Así para la banda superior, el
espectro sería de la forma
&RPXQLFDFLRQHV$QDOyJLFDV VII-27
ω
s( )ω
ωc ωc +w−ω c -w −ω c
En este caso el ancho de banda es BT = B = w . La potencia
transmitida será
PT = 14 Ac
2 ____x2(t) = PSB
la mitad que en DBL. Luego este sistema es el más eficiente desde el punto de
vista de ancho de banda y potencia.
Para obtener la representación en el dominio del tiempo, obsérvese quela función analítica de S(ω) es la misma que la del mensaje trasladada a ωc y
dividida por dos
As (ω) = 12 Ax (ω-ωc)
En el dominio del tiempo
as(t) = 12 ax(t) ejωct =
12 [x(t) + j x(t)] ejωct
Por tanto la señal modulada será (para banda lateral superior)
sBLS(t) = Re[as(t)] = 12 x(t) cosωct - x(t) senωct
&RPXQLFDFLRQHV$QDOyJLFDV VII-28
Para la banda lateral inferior la señal analítica es la conjugada y la señal
modulada será
sBLI(t) = 12 x(t) cosωct + x (t) senωct
9,,*(1(5$&,21'(%$1'$/$7(5$/81,&$
9,,',6&5,0,1$&,21(1)5(&8(1&,$2),/75$'2
FILTRO BLU
x(t)
cos tωc
s(t)
Se modula en DBL y luego se selecciona mediante filtrado una de las
bandas. Dado que el filtro de BLU es irrealizable en la práctica, esta
generación sólo podrá usarse cuando el espectro de x(t) tiene poco contenido
en bajas frecuencias.
X( ω )
0 ω
ω
FILTRO BLU
ωc
0
S( ω )
&RPXQLFDFLRQHV$QDOyJLFDV VII-29
9,,',6&5,0,1$&,21(1)5(&8(1&,$(1'2%/((7$3$
Aun cuando el mensaje tenga poco contenido en bajas frecuencias, si la
frecuencia potadora es mucho más alta que la banda del mensaje, el diseño
del filtro BLU puede ser complicado debido al pequeño ancho de banda de la
región de transición, relativo a la portadora. En este caso puede recurrirse a un
proceso de modulación múltiple como en la figura.
FILTROBLU
x(t)
cos( - )tωc
v (t)
ω 0
v (t)1 2FILTROPASO-BANDA
v (t)3 s(t)
cos t0ω
X( ω )
0 ω
ω
FILTRO BLU
ω c
0- ω 0
ω c - ω 0
V ( ω )2
V ( ω )1
V (w)3
2 ω - ω0 c
ω
ωω c
ωω c
S( ω )
0
&RPXQLFDFLRQHV$QDOyJLFDV VII-30
9,,02'8/$&,21325',6&5,0,1$&,21'()$6(
La expresión de la señal BLU en el dominio del tiempo sugiere el
siguiente modulador.
TRANSFOR-MADOR DEHILBERT
x(t) x(t) sin tcω
sin t
cωcos t
cω
x(t) s(t)
x(t) cos tcω
π
El signo (-) corresponde a BLS y el (+) a BLI.
Sin embargo, el transformador de Hilbert es irrealizable de manera
exacta.
j
-j
T.H.
ω
Y aunque el mensaje tenga poco contenido en bajas frecuencias, la
realización del transformador de Hilbert aproximado sigue siendo dificil.
&RPXQLFDFLRQHV$QDOyJLFDV VII-31
9,,02'8/$'25'(:($%(5
FILTROPASO-BAJO
π/2 π/2
x(t)
v i1
v s1
w/2~ ~
w/2
v i2
v s2 v s3
v i3
ω ±w/2c
+
±
s(t)w/2
FILTROPASO-BAJO
es el más utilizado.
Como en el caso anterior puede obtenerse BLS seleccionando el signo
superior (+) y BLI con (-). En la figura pueden verse los diferentes espectros
obtenidos para la banda lateral superior.
x( )ω
ω-w w
ω-w/2 w/2
(1/2)
ω-w/2 w/2
(1/2)
v ( )ωs1
v ( )ωs2
&RPXQLFDFLRQHV$QDOyJLFDV VII-32
v ( )ω
ω
(-j/2)
i1
(j/2)
v ( )ω
ω
i2
(1/4) (1/4)
−ω c ω cω
v ( )ωs3
(1/4) (1/4)
ω
v ( )ωi3
(-1/4)(-1/4)
Sumando queda banda lateral superior. Restando quedaría BLI, pero auna frecuencia portadora ωc +ω.
9,,'(02'8/$&,21'(6(f$/(6%/8
Como en DBL, con portadora suprimida, la demodulación de banda
lateral única se realiza mediante detección coherente.
&RPXQLFDFLRQHV$QDOyJLFDV VII-33
FILTRO PASO BAJO
v(t)s (t)BLU
A cos tL cω
v (t)0
sBLU(t) = Ac2
x(t) cos ωct
-+ x(t) senωct
El signo (-) corresponde a banda lateral superior y el (+) a banda lateral
inferior.
Suponiendo la portadora local perfectamente sincronizada conla
componente en fase de la señal BLU se tendrá
v(t) = AcAL
4 x(t) + AcAL
4
x(t) cos2ωct
-+ x(t) sen2ωct
El segundo término es una señal BLU con frecuencia portadora 2ωc y será
eliminada por el filtro paso bajo.
Para estudiar la distorsión producida por la falta de sincronismo
supongamos que la portadora de referencia tiene la forma:AL cos[ ](ωc+∆ωc)t + φc , la señal de salida del filtro paso bajo es
vo(t) = AcAL
4 x(t) cos(∆ωct + φc) ± x(t) sen(∆ωct + φc)
Que es una señal BLU con frecuencia portadora ∆ωc y fase φc . Esta
señal será banda lateral inferior si sBLU(t) es banda lateral superior y
viceversa.
Si suponemos en primer lugar ∆ωc = 0, la salida tendrá la forma
vo(t) = AcAL
4 x(t) cosφc ± x(t) senφc
&RPXQLFDFLRQHV$QDOyJLFDV VII-34
cuya transformada de Fourier es
Vo(ω) = AcAL
4 X(ω) [cosφc ± (-j) sign(ω) senφc]
Vo(ω) = AcAL
4 X(ω) e
-+jφc ω > 0
e ±jφc ω < 0
Este retardo de fase constante a todas las frecuencia produce una
distorsión de fase del mensaje que no es muy seria para la transmisión de voz
ya que el oido es bastante insensible a la fase.
Suponiendo ahora que φc = 0 y que la señal moduladora es un tono
simple x(t) = cosωm t, la salida será
vo(t) = AcAL
4 [cosωmt cos∆ωct ± senωmt sen∆ωct]
vo(t) = Ac AL
4 cos(ωm -+ ∆ωc )t
Que es el mismo tono desplazado por la desviación en frecuencia. El
efecto primerio sería destruir la relación armónica de las componentes
espectrales. La voz tendría una calidad tipo pato donald y la música sonaría
como la oriental.
VII.2.4.- BANDA LATERAL RESIDUAL O VESTIGIAL (BLV)
La banda lateral única es buena para transmisión de voz, debido al poco
contenido en bajas frecuencias. Cuando la señal moduladora tiene
componentes significativas en la parte baja del espectro (televisión y
telegrafía), la realización del filtro BLU es difícil, no permitiendo la eliminación
completa de la otra banda. Esta dificultad sugiere otro esquema de modulación
conocido como banda lateral vestigial.
&RPXQLFDFLRQHV$QDOyJLFDV VII-35
ω
X(ω)
-w w
w
S BLV (ω)
v
ω ω- ωc c
Una banda es transmitida casi completamente y sólo un residuo o
vestigio de la otra.
El ancho de banda de transmisión será
BT = B + Bv
Bv = Wv
La transformada de Fourier de la señal modulada en BLV puede
considerarse como una de doble banda lateral que se hace pasar a través de
un filtro conveniente.
&RPXQLFDFLRQHV$QDOyJLFDV VII-36
SBLV(ω) = Ac2 [X(ω-ωc) + X(ω+ωc)] Hv(ω)
La forma del filtro Hv(ω) debe ser tal que el mensaje pueda ser
recuperado sin distorsión
FILTROVESTIGIALx(t)
A cos tc cω
s (t)BLV
H ( )ωv
FILTROPASO-BAJO
s (t)BLV
A cos tL cω
v (t)0
El efecto del multiplicador es desplazar el espectro de sBLV(t) a
derecha e izquierda la cantidad ωc . A la salida del filtro paso bajo la
transformada de Fourier de vo(t) será
Vo(ω) = AcAL
4 X(ω) [Hv (ω-ωc) + Hv(ω+ωc)]
Por tanto, para que no haya distorsión, el término entre corchetes debe
ser constante.
Hv (ω − ωc) + HV (ω + ωc) = 2Hv (ωc) = 1
Donde, sin pérdida de generalidad, se ha supuesto que Hv(ωc) = 1/2.
&RPXQLFDFLRQHV$QDOyJLFDV VII-37
En realidad, puesto que la señal moduladora está limitada a |ω| ZOD
condición anterior sólo es necesario que se cumpla en el intervalo -w < ω < w.De esta forma, el filtro Hv(ω) pueda tener la forma.
H ( ω)v
- ω -w - ω ω ω +w ωc c c c
H ( ω+ω )v c
w-2 ω c ωH ( ω- ω )v c
-w 2ωc ω
ω
H ( ω+ω )+H ( ω- ω )
-w w
cc vv
|ω|<<ωc
Fuera de ese intervalo, la forma del filtro puede ser arbitraria.
Llamando AHv(ω) y BHv(ω) a las transformadas de las señales
analítica y equivalente paso bajo del filtro Hv(ω) , respectivamente, es evidente
que
AHv(ω) = 2Hv(ω) u(ω)
&RPXQLFDFLRQHV$QDOyJLFDV VII-38
BHv(ω) = 2Hv(ω+ωc) |ω| Z
puesto que el filtro vestigial es real
Hv*(-ω) = Hv(ω)
condición que es equivalente a escribir que
BHv*(-ω) = 2Hv(ω-ωc) |ω| Z
Puede concluirse que la condición para que no haya distorsión,
expresada en términos del equivalente paso bajo, es :
BHv(ω) + B*Hv(-ω) = 2 |ω| Z
escribiendo
BHv(ω) = 1 + F(ω)
la condición anterior es equivalente a
F*(-ω) = -F(ω)
1
-1
w
-w
F( ω )
ω
Puesto que F(ω) es antihermítica, su transformada inversa f(t) será imaginaria
pura
f(t) = jg(t) g(t) real
&RPXQLFDFLRQHV$QDOyJLFDV VII-39
por lo que podrá escribirse que
BHv (ω) = 1 + jG(ω)
siendo G(ω) la transformada de g(t) y por tanto hermítica
G*(-ω) = G(ω)
j
-j
-w
w
ω
G( ω)
9,, (;35(6,21 '( /$ 6(f$/02'8/$'$ (1 (/ '20,1,2
'(/7,(032
La señal analítica en el dominio de la frecuencia de la señal BLV puede
escribirse como
As(ω) = 12 Ac X(ω-ωc ) AHv(ω)
y su equivalente paso bajo
Bs(ω) = 12 Ac X(ω) BHv(ω)
Sustituyendo el equivalente paso bajo del filtro
&RPXQLFDFLRQHV$QDOyJLFDV VII-40
Bs(ω) = 12 Ac [ ]X(ω) + jX(ω) G(ω)
su transformada inversa será
bs(t) = 12 Ac [x(t) + jqx(t)]
siendo
qx(t) = 1 ⌡⌠
-w
w X(ω) G(ω) ejωt dt
Por tanto la señal en el tiempo será
sBLV(t) = Re
bs(t) ejωct
sBLV(t) = 12 Ac [x(t) cosωct-qx(t) senωct]
Expresión que sugiere otra forma de obtener banda lateral vestigial
FILTRO PASOBANDA
FILTRO PASOBANDA
π/2G( )ω
x(t)
~
q (t)x
A cos tcc ω
+ s (t)BLV
-+
Obsérvese que el filtro G(ω) es prácticamente el transformador de
Hilbert aunque con una transición suave que lo hace más realizable. Si el
&RPXQLFDFLRQHV$QDOyJLFDV VII-41
ancho de banda del vestigio tiende a cero, el filtro es exactamente el de Hilbert
y la componente en cuadratura la transformada de Hilbert.
9,,02'8/$&,21%/9&213257$'25$
Para poder demodular BLV con un detector de envolvente algunos
sistemas incluyen portadora, de esta forma la señal modulada tendría la
expresión
s(t) =12 Ac [ ]1 + mx(t) cosωc t
-+
12 Ac mqx(t) senωc t
La salida del detector de envolvente sería :
vo(t) =12 Ac
[ ]1 + mx(t)2
+ [mqx(t)]2
1/2
=12 Ac [ ]1 + mx(t)
1 +
mqx(t)
1+mx(t) 2
1/2
De donde se deduce que la distorsión de envolvente es producida por la
componente en cuadratura. Esta distorsión puede reducirse bien disminuyendo
el indice de modulación, bien aumentando el ancho de banda lateral vestigialde manera que se reduzca qx(t) .
VII.3.- RUIDO EN MODULACIONES LINEALES
VII.3.1.- RUIDO EN DOBLE BANDA LATERAL
FILTRO PASOBANDA
DEMODULADOR
FILTRO PASO BAJO
v (t)0v (t)i
RUIDO
s(t)+
&RPXQLFDFLRQHV$QDOyJLFDV VII-42
El ruido se supone blanco y estacioanrio. El filtro paso banda estácentrado en ωc \WLHQHGHDQFKXUD: %HVGHFLUHODQFKRGHEDQGDGH
transmisión. Su misión es filtrar el ruido reduciéndolo al mínimo posible. El
ruido filtrado será por tanto paso banda.
La señal modulada es de la forma
s(t) = Ac x(t) cosωc t
La potencia de señal recibida es
SR = 12 Ac
2 __
x2(t) = 12 Ac
2 Px
La señal de entrada al demodulador será
vi(t) = [Acx(t) + in(t)] cosωc t - qn(t) senωc t
La señal detectada después de filtrar paso bajo será
vo(t) = vi(t) cosωc t + FPB = 12 Ac x(t) +
12 in(t)
El demodulador y el filtro paso bajo bloquean la componente en
cuadratura del ruido.
El ruido final es aditivo y su potencia será
ND = 14
_____in
2(t)
Como se ha visto anteriormente, la potencia de la componente en fase
es igual a la potencia del ruido paso banda, luego
ND = 14 n2(t) =
14 2ηB =
12 ηB
La potencia de señal detectada es
&RPXQLFDFLRQHV$QDOyJLFDV VII-43
SD = 14 Ac
2 _____x2(t) =
14 Ac
2 Px = 12 SR
Luego la relación señal/ruido en detección será
(S/N)D = SRηB
Un sistema banda base que recibiese el mismo mensaje con la misma
potencia recibida, tendría una relación señal/ruido
(S/N)DBB = SRηB = γ
Que es exactamente la misma. Luego DBL y banda base tienen las mismas
prestaciones en lo que a reducción de ruido se refiere. Este resultado no es
intuitivo ya que desde el punto de vista de traslación de frecuencias, parecería
que al desplazar el espectro de la señal sería la misma que en banda base
mientras que la potencia del ruido sería el doble que en banda base. Sin
embargo, las bandas laterales de la señal se suman en amplitud (suma
coherente) mientras que en el ruido lo que se suman son los espectros de
potencia (suma incoherente) proporcionando el mismo ruido que en banda
base.
VII.3.2.- RUIDO EN BANDA LATERAL UNICA
La señal modulada tendrá la forma
s(t) = Ac x(t) cosωct + x(t) senωct
La potencia de señal recibida es
SR = 12 Ac
2 _____x2(t) +
12 Ac
2(t) ____x2(t) = Ac
2 Px
El ruido tiene ahora la forma
&RPXQLFDFLRQHV$QDOyJLFDV VII-44
n(t) = in(t) cosωo t - qn(t) senωo t
ωo = ωc ± w/2
Los signos superiores corresponden a seleccionar la banda lateral
superior y los inferiores a la inferior.
Obsérvese que el ruido no está centrado en la frecuencia portadora.
s ( )ωnn
/2η
ω ωo ωω
c +wc
A la entrada del demodulador
vi(t) = s(t) + n(t)
A la salida del detector
vo(t) = vi(t) cosωc t + FPB
= 12 Ac x(t) +
12
in(t) cos
w2t ± qn(t)sen
w2t
La potencia de señal detectada vale
SD = 14 Ac
2 ____x2(t) =
14 Ac
2 Px = 14 SR
La potencia de ruido será
ND = 14
1
2
_____
i2n(t) +
12
_____
q2n(t) =
14
_____n2(t) =
14 ηB
&RPXQLFDFLRQHV$QDOyJLFDV VII-45
Luego la relación señal/ruido en detección
(S/N)D = SRηB = γ
Que también es la misma que en banda base.
Obsérvese que en esta modulación la componente en cuadratura del
mensaje está ausente de la salida del detector mientras que aparece un
término en cuadratura del ruido, debido a que la frecuencia central de éste no
coincide con la frecuencia portadora. El ruido a la salida del detector puede
interpretarse como un ruido paso banda centrado en w/2 .
-w -w/2 w/2 w
s ( )ωnD nD
η /8 η /8
ω
VII.3.3.- RUIDO EN AMPLITUD MODULADA (AM) CON DETECCION DE
ENVOLVENTE
La señal modulada es
s(t) = Ac [ ]1 + mx(t) cosωc t
y la potencia recibida, suponiendo que el mensaje no tiene componente
continua
SR = 12 Ac
2 [ ]1+m2Px
La señal de entrada al modulador será
vi(t) = Ac [ ]1+mx(t) + in(t) cosωc t - qn(t) senωc t
&RPXQLFDFLRQHV$QDOyJLFDV VII-46
A la salida del detector de envolvente
vo(t) = [Ac + Acmx(t) + in(t)]2 + qn2(t) 1/2
Suponiendo que la potencia de ruido es baja comparada con la de la
portadora, el término debido a la componente cuadratura puede despreciarse
vo(t) ≈ Ac + Ac mx(t) + in(t)
El primer sumando no contiene información. Es un término de continua
y debe ser bloqueado, luego la señal demodulada final será
yD(t) = Ac mx(t) + in(t)
La potencia de señal detectada es
SD = Ac2 m2 PX =
2m2Px
1+m2Px SR
El ruido tendrá una potencia
ND =
_____
i2n(t) =
_____n2(t) = 2ηB
La relación señal ruido en detección es
(S/N)D = m2Px
1+m2Px SRηB =
m2Px
1+m2Px γ
Puesto que m|x(t)| VHWHQGUiWDPELpQTXHm2 Px SRU ORTXH OD
máxima relación señal/ruido será
(S/N)DMAX = 12 γ
&RPXQLFDFLRQHV$QDOyJLFDV VII-47
Es decir, la mitad de la de banda base, que refleja el hecho de que la
mitad o más de potencia es gastada en la portadora. Así pues AM es inferior a
banda base en, al menos, 3dB en la relación señal/ruido.
&RPXQLFDFLRQHV$QDOyJLFDV
7(0$9,,,02'8/$&,21(6$1*8/$5(6
9,,,02'8/$&,21(6$1*8/$5(6 BBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBB
9,,,02'8/$&,21'()$6(<02'8/$&,21'()5(&8(1&,$ BBBBBB
9,,,02'8/$&,21'()$6( BBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBB
9,,,02'8/$&,21'()5(&8(1&,$ BBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBB
9,,,5(/$&,21(175(02'8/$&,21'()$6(<02'8/$&,21'(
)5(&8(1&,$ BBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBB
9,,,&203$5$&,21(175(02'8/$&,21(6$1*8/$5(6</,1($/(6
BBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBB
9,,,$1$/,6,6(63(&75$/'()0&21817212BBBBBBBBBBBBBBBBBBB
9,,,$1&+2'(%$1'$'()002'8/$'25$72126,03/( BBBB
9,,,$1$/,6,6(63(&75$/'()0&21'2672126BBBBBBBBBBBBBBBB
9,,,$1&+2'(%$1'$'(81$6(f$/)0&2181$02'8/$'25$
*(1(5$/3$62%$-2 BBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBB
9,,,02'8/$&,21'()5(&8(1&,$'(%$1'$(675(&+$BBBBBBBB
9,,,*(1(5$&,21'()0'(%$1'$(675(&+$ BBBBBBBBBBBBBBBBBBB
9,,,02'8/$&,21',5(&7$'()0'(%$1'$$1&+$ BBBBBBBBBBBBB
9,,,02'8/$&,21,1',5(&7$'()0BBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBB
9,,,'(02'8/$'25(6'()0',6&5,0,1$'25'()5(&8(1&,$6
BBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBB
9,,,'(7(&&,21'()086$1'281$/,1($'(5(7$5'2 BBBBBBBB
9,,,/,0,7$'25BBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBB
9,,,58,'2(102'8/$&,21(6$1*8/$5(6 BBBBBBBBBBBBBBBBBBBBB
9,,,35((1)$6,6<'((1)$6,6(1)0BBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBB
&RPXQLFDFLRQHV$QDOyJLFDV VIII-1
VIII.1.- MODULACIONES ANGULARES
En las modulaciones angulares, la fase de la portadora varía de alguna
manera de acuerdo con la señal mensaje o moduladora, manteniéndose la
amplitud constante.
A diferencia de las modulaciones lineales, las modulaciones angulares
no son procesos lineales, por lo que el espectro de la señal modulada no está
relacionado de una manera simple con el espectro del mensaje.
Las modulaciones angulares presentan una mayor protección contra el
ruido e interferencias que las modulaciones lineales. Estas mejoras son
obtenidas a costa de un ancho de banda de transmisión bastante mayor que el
de la señal mensaje.
VIII.2.- MODULACION DE FASE Y MODULACION DE FRECUENCIA
La señal modulada en modulaciones angulares tiene la forma
s(t) = Ac cosθc(t)
siendo Ac constante y θc(t) una función lineal del mensaje x(t). La pulsación y
frecuencia instantánea son
ωi(t) = dθc(t)
dt fi(t) = ωi
Aunque pueden existir diversas formas de variar la fase, en la práctica
sólo se utilizan la modulación de fase (PM) y la modulación de frecuencia (FM).
Escribiendo la fase de la señal modulada como
θc(t) = ωc t + φc(t)
&RPXQLFDFLRQHV$QDOyJLFDV VIII-2
donde ωc es la pulsación de la portadora y φc (t) puede ser interpretado como
la fase relativa, ambas modulaciones tendrán las formas siguientes.
VIII.2.1.- MODULACION DE FASE
El término de fase relativa φc(t) , varía proporcionalmente al mensaje,
esto es
θc(t) = ωc t + φ∆ x(t)
donde φ∆ es una constante positiva que representa la sensibilidad de fase del
modulador en radianes/voltio, si x(t) es un voltaje. Si |x(t)| φ∆ será la
máxima desviación de fase.
La forma de la señal modulada es
s(t) = Ac cos [ωct + φ∆x(t)]
y la pulsación instantánea
ωi(t) = ωc + φ∆ dx(t)
dt φ∆
VIII.2.2.- MODULACION DE FRECUENCIA
En este caso es la frecuencia instantánea (equivalentemente la
pulsación) la que varía linealmente con el mensaje
fi(t) = fc + f∆ x(t)
siendo f∆ una constante positiva que, de manera análoga al caso anterior,
representa la sensibilidad en frecuencia del modulador en Hertz/Volt.
Si |x(t)| f∆ es la máxima desviación de frecuencia
fc es la frecuencia portadora.
&RPXQLFDFLRQHV$QDOyJLFDV VIII-3
La forma de onda de la señal modulada será
s(t) = Ac cos
ωct + ω∆ ⌡⌠-
t x(τ) dτ
con ω∆ = 2πf∆
El límite inferior de la integral podría ser cualquier otro ya que
representa un término de fase constante. En FM se supone que el mensaje no
tiene componente contínua, esto es, ___x(t) = 0, de lo contrario la integral
divergería para t → )tVLFDPHQWH XQ WpUPLQR GH contínua produciría un
desplazamiento de la frecuencia portadora. En la práctica, la componente
continua del mensaje se bloquea en los circuitos del modulador.
VIII.2.3.- RELACION ENTRE MODULACION DE FASE Y MODULACION DE
FRECUENCIA
Comparando las expresiones de las señales moduladas de PM y FM
puede observarse que FM puede considerarse como una modulación de fase
en la que la señal moduladora sería la integral del mensaje ⌡⌠-
t x(τ) dτ .
Análogamente una modulación de fase puede considerarse como una señal
FM cuya señal moduladora fuese la derivada del mensaje. Ambas situaciones
pueden contemplarse en las figuras siguientes :
&RPXQLFDFLRQHV$QDOyJLFDV VIII-4
MODULADORDE
FASE
MODULADORDE
FRECUENCIA
x(t)
x(t)
Accosωct
FM
PM
MODULADORDE PM
MODULADORDE FM
dx (t)
dt
∫ ∞−
W
G[ ττ )(
Accosωct
VIII.3.- COMPARACION ENTRE MODULACIONES ANGULARES Y
LINEALES
Una diferencia importante entre modulaciones angulares y lineales es
que en las primeras la amplitud, y por tanto la envolvente, es constante y no
depende del mensaje mientras que en las lineales la envolvente es
dependiente del mismo. Equivalentemente la potencia transmitida en las
angulares es constante con el mensaje.
PT = 12 Ac
2
y en las lineales no.
Otra diferencia importante son los cruces por cero de la señal
modulada. Mientras que en las modulaciones lineales son siempre periódicos,
en PM o FM ya no tienen esa regularidad en su espaciamiento.
Estas diferencias son ilustradas en las siguientes figuras
&RPXQLFDFLRQHV$QDOyJLFDV VIII-5
PM
FRECUENCIAS INSTANTANEAS
x(t)
t
f c
t
f c
FM
t
AM
t
t
FM
PM
t
&RPXQLFDFLRQHV$QDOyJLFDV VIII-6
VIII.4.- ANALISIS ESPECTRAL DE FM CON UN TONO
A pesar de las similitudes de PM y FM, esta última tiene mejores
propiedades en lo que a reducción de ruido se refiere, por lo que será objeto
de mayor atención. Por otra parte, muchos de los resultados y conclusiones
basados en el estudio de FM son aplicables, con ligeras modificaciones, a la
modulación de fase.
Antes de comenzar con el estudio en el dominio de la frecuencia de FM,
hay que observar que la frecuencia instantánea no es lo mismo que la
frecuencia espectral. La primera es una variable dependiente del tiempo que
describe la señal modulada en el dominio temporal mientras que la segunda es
la variable independiente en la transformada de Fourier de la señal modulada.
El análisis espectral de FM es, por ser un proceso no lineal, bastante
difícil salvo para un reducido número de señales moduladoras. El caso más
simple es cuando la señal moduladora es un tono simple.
x(t) = Am cosωm t
En este caso la señal modulada tendrá la expresión
s(t) = Ac cos [ωc t + ω∆ ⌡⌠0
t Am cosωm τdτ ]
La frecuencia instantánea es fi(t)=fc+ f∆ Am cosωmt, por lo que la
máxima desviación de frecuencia es f∆ Am .
Llamando
β = ω∆Am
ωm =
f∆ Amfm
Siendo β el denominado índice de modulación, la señal modulada puede
escribirse
s(t) = Ac cos(ωc t + βsenωm t)
&RPXQLFDFLRQHV$QDOyJLFDV VIII-7
o bien
s(t) = Re [bs(t)] ejωct
donde
bs(t) = Ac ejβsenωm t
Si bien la señal modulada no es periódica, bs(t) si lo es y, por tanto,
puede desarrollarse en serie de Fourier.
bs(t) = ∑n=-
cn ejnωmt
periodo Tm = ωm
Donde los coeficientes son
cn = 1
Tm ⌡
⌠
-Tm/2
Tm/2
bs(t) e-jnωmt
Sustituyendo bs(t) y realizando el cambio de variable ωm t = x queda la
expresión
cn = Ac [ 1 ⌡⌠
e
j(βsenx-nx)dx ]
El término entre corchetes es una de las representaciones de la n-ésimafunción de Bessel de argumento β, por lo que
bs(t) = Ac ∑n=-
Jn (β) ejnωmt
y por tanto la señal modulada
&RPXQLFDFLRQHV$QDOyJLFDV VIII-8
s(t) = Ac ∑n=-
Jn(β) cos(ωc + nωm)t
La transformada de Fourier es
S(f) = Ac2 ∑
n=-
Jn(β) [δ(f-fc-nfm) + δ(f+fc+nfm)]
Así pues, el espectro de una señal FM contiene una frecuencia
portadora (n=0) y un conjunto infinito de líneas "laterales" dispuestas
simétricamente a cada lado de la portadora con separaciones de frecuenciasfm , 2fm , 3fm . . .
f
s(f)
f -fc m
fc f +fc m
Las líneas impares inferiores tienen la fase invertida respecto de las
superiores por la propiedad de las funciones de Bessel
J-n (β) = (-1)n Jn(β)
También de la propiedad
∑n=-
Jn
2(β) = 1
&RPXQLFDFLRQHV$QDOyJLFDV VIII-9
Se obtiene de nuevo para la potencia transmitida
PT = 12 Ac
2 ∑n=-
Jn
2(β) = 12 Ac
2
En la figura están representadas algunas funciones de Bessel en
función del índice de modulación.
1015
1 2 30
1.0
J ( β)n
n=0
n=1n=2
n=3
n=10
Para valores pequeños del índice de modulación (β << 1) las funciones
de Bessel se comportan como
Jo(β) ≈ 1
β << 1
Jn(β) ≈ 1
Γ(n+1) (β2 )
n
De todo ello pueden inferirse las siguientes propiedades
- La amplitud relativa de la portadora Jo(β) varía con el índice de
modulación y por tanto depende del mensaje. A diferencia de AM, la
portadora de FM lleva información y no puede ser suprimida
- El número de líneas con amplitud no despreciable es también función delíndice de modulación. Si β << 1, sólo serán significativas la Jo y J±1 y el
&RPXQLFDFLRQHV$QDOyJLFDV VIII-10
ancho de banda sería como en AM. Por el contrario si β >> 1, habrá
muchas líneas, por lo que el espectro será bien diferente que en AM.
VIII.4.1.- ANCHO DE BANDA DE FM (MODULADORA : TONO SIMPLE)
En teoría, una señal FM tiene un número infinito de rayas espectrales,
por lo que el ancho de banda requerido para transmitir dicha señal será infinito.
En la práctica, la amplitud de las líneas laterales disminuye a medida que se
alejan de la portadora y el ancho de banda puede limitarse a una extensión
finita, reteniendo solamente aquellas componentes espectrales con amplitudes
significativas y omitiendo el resto.
La porción de espectro significativa dependerá de la cantidad de
distorsión tolerada en una aplicación específica.
Una valoración aproximada del ancho de banda puede determinarse
observando la siguiente figura
2
n_β1
10
5
2
β =1
J ( β)n
0.8
0.4
-0.4
0
De ella se deduce que las amplitudes de las líneas oscilan si n/β < 1 y
decrecen monotónicamente para n/β > 1. Si β es suficientemente grande, la
amplitud decrece rápidamente y puede decirse que para β grande el número
de líneas significativas es del orden de β y el ancho de banda será, por tanto,del orden de 2Mfm≈2βfm= 2f∆ Am, es decir el doble de la máxima desviación
de frecuencia, conclusión que está bastante de acuerdo con el razonamiento
intuitivo.
&RPXQLFDFLRQHV$QDOyJLFDV VIII-11
Para β pequeño (β << 1) la única línea significativa es la portadora, pero
deben tomarse al menos el primer par de líneas laterales (n = ±1), de lo
contrario no tendríamos modulación de frecuencia en absoluto.
Todas estas cuestiones conducen a la sencilla regla de Carson para la
determinación del ancho de banda efectivo de tranmisión de una señal FM con
un solo tono
BT ≈2fm + 2βfm = 2fm + 2f∆ Am
Una valoración más precisa del ancho de banda puede obtenersedefiniendo una cantidad ε y reteniendo sólo aquellas líneas que verifican que
|Jn (β) | > ε
Una elección conveniente para ε puede estar comprendida en el margen
0.01 < ε < 0.1
Lo que significaría que para el caso de ε = 0.01, se retendrían las M
primeras líneas, más allá de las cuales, la amplitud es inferior al 1% de la
portadora sin modular. El número de líneas será función del índice demodulación y del ε seleccionado (distorsión tolerada). El ancho de banda será :
BT = 2fm M(β) M
La condición M YLHQHGHOKHFKRGHTXHBT no puede ser inferior a 2fm .
En la tabla siguiente pueden observarse los valores de M en función deβ para ε = 0.01
β M
----- -----
0.1 1
0.3 2
0.5 2
1.0 3
2.0 4
&RPXQLFDFLRQHV$QDOyJLFDV VIII-12
5.0 8
10.0 14
20.0 25
30.0 35
Algunos estudios experimentales demuestran que ε = 0.01 es bastante
conservador y que ε = 0.1 produce una distorsión apreciable. Un valor
comprendido entre ambos parece más adecuado.
En ausencia de tablas o curvas apropiadas puede utilizarse la siguiente
aproximación para el número de líneas
M ≈ β + α
Estando α comprendido entre 1 y 2. Con α = 1 se tiene la regla de
Carson
El ancho de banda es
BT = 2Mfm = 2fm (β+α) = 2f∆ Am + 2αfm
VIII.5.- ANALISIS ESPECTRAL DE FM CON DOS TONOS
Si la señal moduladora está compuesta por dos tonos
x(t) = A1 cosω1 t + A2 cosω2 t
La señal modulada puede escribirse como
s(t) = Ac cos(ωc t + β1 senω1 t + β2 senω2 t)
con
βi = f∆ Ai
fii = 1, 2
&RPXQLFDFLRQHV$QDOyJLFDV VIII-13
La señal a desarrollar es, en este caso
bs(t) = Ac ejβ1senω1 t
ejβ2 senω2 t
Desarrollando por separado cada una de las exponenciales en serie de
fourier se obtendrá la siguiente señal modulada
s(t) = Ac ∑n=-
∑
m=-
Jn (β1) Jm (β2) cos (ωc + nω1 + mω2 )t
El espectro estará formado por cuatro tipos de líneas espectrales
- Una línea portadora de amplitud Ac Jo (β1 ) Jo(β2 )
- Líneas laterales de frecuencias fc ± nf1 debidas a un tono
- Líneas laterales de frecuencias fc ± mf2 debidas al otro tono
- Líneas laterales de frecuencias fc ± nf1 ± mf2 es decir, un batido de
ambos tonos y su correspondientes armónicos
El último tipo no tiene su equivalente en modulaciones lineales, donde
las líneas laterales se superponen de manera simple. Esta es la consecuencia
de que FM no es un proceso lineal y no se puede aplicar superposición.
En la figura se muestra el espectro para f1 << f2 y β1 > β2 donde las
inversiones de fase de las líneas correspondientes se han omitido por claridad
ff c
f +fc 1f -fc 1
f +fc 2 f +2fc 2f -fc 2f -2fc 2
Obsérvese que en este caso particular las líneas fc ± mf2 parecen
otras portadoras moduladas en FM con el tono de frecuencia f1 y que el
&RPXQLFDFLRQHV$QDOyJLFDV VIII-14
ancho de banda de la señal modulada es, básicamente, el que se tendría consólo el tono dominante f2 .
VIII.6.- ANCHO DE BANDA DE UNA SEÑAL FM CON UNA MODULADORA
GENERAL PASO BAJO
Aunque no puede aplicarse superposición de tonos en FM para calcular
el ancho de banda, se ha visto en el apartado anterior que el tono dominante
es el que prácticamente determina el ancho de banda. Si el ancho de banda
de la señal moduladora x(t) es B y si |x(t)| HOFDVRSHRUVHUtDHOHTXLYDOHQWH
a un tono de frecuencia B y amplitud unidad. En este caso la desviación defrecuencia máxima será f∆ y β = f∆ /B.
Llamando a
∆ = f∆Β = β relación de desviación
y aplicando la fórmula de un sólo tono
BT = 2B(β+α) = 2f∆ + 2αB
BT = 2(∆+α) B
En FM comercial
f∆ = 75kHz y B = 15kHz, de forma que la relación de desviación es
∆ = 5
Con α = 1 (regla de Carson) se obtiene un ancho de banda
BT = 180 kHz
&RPXQLFDFLRQHV$QDOyJLFDV VIII-15
con α = 2 el ancho de banda es
BT = 210 kHz
VIII.7.- MODULACION DE FRECUENCIA DE BANDA ESTRECHA
Si el índice de modulación β es pequeño (β << 1), sólo las líneas con
n=0,±1 serán significativas. Aproximando las respectivas funciones de Bessel
como se ha visto anteriormente, se tendrá, para la señal modulada
s(t) = Ac cosωc t + 12 βAc [cos(ωc + ωm)t - cos(ωc-ωm)t]
cuyo espectro es el de la figura
f
A /2
A /4c
c
ß
f c f +fc m
f -fc m
A /4ß- c
Comparando con la modulación de amplitud (AM) con un sólo tono
s(t) = Ac cosωc t + 12 µ Ac [cos(ωc + ωm)t + cos(ωc - ωmt)]
µ = m Am
Se ve que la diferencia básica es el signo de la línea lateral inferior, que la FM
invierte. El ancho de banda de transmisión es el mismo.
&RPXQLFDFLRQHV$QDOyJLFDV VIII-16
BT = 2fm
Representando ambas señales (FM y AM) mediante un diagrama
fasorial, con la portadora como fasor de referencia, se observa que las líneas
laterales de FM se combinan para dar un fasor que está en cuadratura con la
portadora y por tanto el fasor resultante no está en fase con la portadora. En
AM, el fasor resultante si está en fase con la portadora (ver figura).
-FM
SUPERIORINFERIOR
PORTADORA
RESULTANTE
f f mm
SUPERIOR
INFERIOR
PORTADORA RESULTANTE
f
f m
m-AM
En general, con una señal moduladora cualquiera, la señal modulada
FM tiene la forma
s(t) = Ac cos [ωct + φ(t)]
con
φ(t) = 2πf∆ ⌡⌠-
t x(t)dt
Si la desviación de frecuencia es suficientemente pequeña de forma que
|φ(t)| << 1
La señal modulada puede escribirse como
&RPXQLFDFLRQHV$QDOyJLFDV VIII-17
s(t) ≈ Ac cosωc t - Ac φ(t) senωc t
Suponiendo que el mensaje x(t) no tiene componente contínua, latransformada de Fourier de φ(t) será
F [ ]φ(t) = 2πf∆ X(ω)jω
y la transformada de la señal modulada
S(ω) = πAc [δ(ω-ωc) + δ(ω + ωc)] +12 Ac ω∆
X(ω-ωc)
ω-ωc -
X(ω+ωc)
ω+ωc
donde de nuevo se ponen de manifiesto las similitudes y diferencias con AM.
La FM de banda estrecha no presenta ninguna ventaja repsecto de AM
y prácticamente no se utiliza, sólo en radioaficionados y en algunos sistemas
de comunicaciones múltiples.
VIII.8.- GENERACION DE FM DE BANDA ESTRECHA
Un esquema de modulación de FM de banda estrecha, sugerido por las
expresiones anteriores, es el siguiente
MODULADOR DOBLE BANDA LATERAL
x(t)
MODULADOR DE FASE DE BANDAESTRETCHA
s(t)∫ ∞−∆
W
GWω
~
W$ FF ωcos
WVLQ$FF
ω
π/2
&RPXQLFDFLRQHV$QDOyJLFDV VIII-18
VIII.9.- MODULACION DIRECTA DE FM DE BANDA ANCHA
La generación de FM directa puede realizarse mediante un oscilador
controlado por tensión, cuya frecuencia de oscilación varíe de acuerdo con el
mensaje:
OSCILADOR SINTONIZADO
C(t)
El condensador, cuya capacidad varia con la tensión aplicada, se
denomina varactor o varicap y puede obtenerse, por ejemplo, con un diodo P-
N polarizado en inverso.
La frecuencia instantánea del oscilador puede escribirse
fi(t) = 1
2π LC(t)
La capacidad variable puede expresarse como
C(t) = Co - ∆C x(t)
Si suponemos que
∆C
Co x(t) << 1
La frecuencia instantánea será
fi(t) = fc
1 - ∆CCo
x(t) -1/2
≅ fc
1 + ∆C2Co
x(t)
siendo
fc = 1
2π LCo
&RPXQLFDFLRQHV$QDOyJLFDV VIII-19
Definiendo
f∆fc
= ∆C2Co
Se obtiene finalmente para la frecuencia instantánea
fi(t) = fc + f∆ x(t)
El problema fundamental de estos esquemas es la estabilidad del
oscilador por lo que en general se recurre a métodos indirectos de modulación.
VIII.10.- MODULACION INDIRECTA DE FM
El diagrama de bloques de un sistema indirecto de modulación se
presenta en la siguiente figura
x(t)MODULADOR
DE FASEDE BANDA
ESTRECHA
OSCILADOR
CONTROLADOPOR
CRISTAL
MODULADOR DE FM DE BANDA ESTRECHA
s (t)1 MULTIPLICADORDEFRECUENCIES x n
f 1
MEZCLADOR s(t)
f - f2 L
~
f
f L
2
s (t)2∫∆ GW1ω
A la salida del modulador de FM de banda estrecha se tendrá
s1(t) = A1 cos
ω1t + 2πf∆1 ⌡⌠-
t x(τ)dτ
A la salida del multiplicador de frecuencias
s2(t) = A2 cos
ω2t + 2πf∆ ⌡⌠-
t x(τ)dτ
&RPXQLFDFLRQHV$QDOyJLFDV VIII-20
con ω2 = nω1 f∆ = nf∆1
Finalmente, a la salida del mezclador se tendrá la señal modulada
s(t) = Ac cos
ωct + 2πf∆ ⌡⌠-
t x(τ)dτ
con fc = f2 - fL
Ejemplo :
f1 = 200 kHz (buena estabilidad)
B = 15 kHz (señal de música)
f∆1 = 25Hz (FM de banda estrecha)
La relación de desviación es
∆1 = f∆1B =
2515 10-3
Si se quiere una relación final de 5 como en FM comercial (∆ = n∆1 )
n = 3000
De esta forma, la frecuencia a la salida del multiplicador será
f2 = nf1 = 600 MHz
Por tanto si se toma una frecuencia fL de
500 < fL < 512 MHz
La frecuencia de la señal modulada será
88 < fc < 100 MHz
VIII.11.- DEMODULADORES DE FM : DISCRIMINADOR DE FRECUENCIAS
&RPXQLFDFLRQHV$QDOyJLFDV VIII-21
Puesto que la señal FM tiene la forma
s(t) = Ac cos θc(t)
donde
θc(t) = ωc t + 2πf∆ ⌡⌠-
t x(τ) dτ
Cualquier dispositivo que realice la derivada
ds(t)dt = -Ac
dθc(t)
dt senθc(t)
Obtendría una doble modulación AM y FM. Mediante una detección de
envolvente posterior se obtendría la señal demodulada
ν(t) = Ac [2πfc + 2πf∆x(t)]
Eliminando la componente continua se tendría finalmente el mensaje. El
diagrama de bloques está representado en la siguiente figura
LIMITADORd
dt
DETECTOR ENVOLVENTE
BLOQUEO CONTINUA
x(t)s(t)
El objeto del limitador es eliminar la modulación de amplitud espúrea
introducida por el canal.
El problema fundamental del esquema anterior es la realización del
dispositivo que realiza la derivada o lo que es lo mismo, un dispositivo con una
respuesta frecuencial de la forma
H(ω) = jω
No obstante, basta que la respuesta sea de esa forma sólo en el ancho
de banda de transmisión. Una manera aproximada de obtener esta función es
mediante el siguiente esquema, que incluye también el detector de envolvente.
&RPXQLFDFLRQHV$QDOyJLFDV VIII-22
S(t) V (t)o
En la figura siguiente pueden verse las respuestas frecuenciales de los filtros
superior e inferior y la respuesta total (línea de puntos).
f fc
2B1
0.707
3B
o
o
La linealidad de la porción útil de la respuesta total, centrada en fc , esta
determinada por la separación de las frecuencias resonantes de ambos filtros.Como expresado en la figura, una separación de frecuencias de 3Bo , con 2Bo
el ancho de banda a 3dB de cada filtro, proporciona resultados satisfactorios.En este caso se tendría que BT ≅ 3Bo . No obstante, siempre habrá distorsión
de frecuencias a la salida del discriminador porque la señal FM de entradacontiene frecuencias fuera del rango fc - BT /2 < f < fc + BT /2 y porque los
filtros sintonizados y los detectores de envolvente no son ideales.
VIII.12.- DETECCION DE FM USANDO UNA LINEA DE RETARDO
La derivación
&RPXQLFDFLRQHV$QDOyJLFDV VIII-23
ds(t)dt =
límε→0
1ε [ ]s(t) - s(t-ε)
puede ser aproximada por la siguiente expresión
ds(t)dt ≅
1τ [ ]s(t) - s(t-τ)
siempre que se cumpla que
τ << (1/fc )
La realización de este esquema es bastante sencilla mediante una línea
de retardo
RETARDOτ
Los detectores de relación y el Foster-Seely están basados en esta
idea, aunque el retardo temporal no lo obtienen con línea de retardo.
VIII.13.- LIMITADOR
Un limitador es un dispositivo que elimina las variaciones de amplitud
espúrias en una señal modulada angularmente sin destruir esta última. En la
figura puede verse la características entrada-salida de un limitador ideal.
&RPXQLFDFLRQHV$QDOyJLFDV VIII-24
A
-A
V (t)
V (t)i
o
En forma matemática
νo(t) = A sign [vi(t)]
Aunque la señal de entrada
s(t) + vi(t) = Ac(t) cos θc(t)
No es periódica, si la modulación de amplitud es pequeña, de forma queAc(t) > 0, V- t, la salida
νo(t) = A sign [cosθc(t)]
Puede considerarse como una señal periódica, en la variable θc con
periodo 2π
-2π - π π 2π
v ( )co θ
cθ
cuyo desarrollo en serie de Fourier es
&RPXQLFDFLRQHV$QDOyJLFDV VIII-25
νo(t) = 4Aπ
cosθc(t) -
13 cos3θc(t) +
15 cos5θc(t) ...
Un filtro paso banda, centrado en fc frecuencia portadora, seleccionaría
el primer término, esto es,
ν(t) = 4Aπ cos [ωct + φ(t)]
Quedando una señal modulada angularmente.
Una realización práctica simple del limitador es la de la figura.
v (t)i v (t)o
Cuando el voltaje de entrada supera el umbral de conducción de uno
cualquiera de la diodos (dependiendo de la polaridad), este conducirá
fuertemente y su voltaje se mantendrá prácticamente constante, recortando
por tanto las variaciones de amplitud de la entrada.
VIII.14.- RUIDO EN MODULACIONES ANGULARES
El diagrama de bloques del receptor de FM y PM es el mostrado en la
figura
DEMODULADOR
FILTRO PASO BANDA
RUIDO
s(t) SR FILTRO
PASO BAJO
x(t)
&RPXQLFDFLRQHV$QDOyJLFDV VIII-26
El filtro paso banda incluye también el limitador. La potencia de señal de
entrada al demodulador será
SR = A2c /2
y la potencia de ruido blanco
NR = η BT
de forma que la relación señal/ruido paso banda es
SN
R =
A2c
2ηBT
siendo BT el ancho de banda de la señal modulada.
El ruido paso banda puede ser expresado como
nR(t) = in(t) cosωc t - qn(t) senωc t
o en forma de módulo y fase
nR(t) = Rn(t) cos [ωct + φn(t)]
donde
Rn(t) = i2n(t) + q
2n(t)
φn(t) = arctg qn(t)
in(t)
La señal modulada tiene la forma
s(t) = Ac cos [ωct + φ(t)]
&RPXQLFDFLRQHV$QDOyJLFDV VIII-27
La señal de entrada al demodulador será
νi(t) = s(t) + nR(t) = A(t) cos [ωct + φv(t)]
siendo (Ver figuras)
A(t) =
[Ac + Rn(t) cosψ(t)]2
+ R2n(t) sen
2ψ(t)
1/2
φv(t) = φ(t) + arctg Rn(t) senψ(t)
Ac + Rn(t) cosψ(t) ψ(t) = φn(t) - φ(t)
EJE IMAGINARIO
EJE REAL
R (t)n
A(t) Ac
(t)n
v (t)φ
φ
(t)φ(t)ψ
φ (t)
La fase de referencia es ωc t.
La expresión complicada de la señal de entrada al modulador puede
simplificarse si se supone que la relación señal/ruido paso banda es grande
(S/N)R >> 1 Ac >> Rn(t) V- t
En este caso
A(t) ≅ Ac
φv(t) ≅ φ(t) + Rn(t)
Ac senψ(t)
Donde el arco tangente se ha aproximado por el argumento.
&RPXQLFDFLRQHV$QDOyJLFDV VIII-28
A la salida del demodulador, supuesto ideal, se tendrá
- PM
νo(t) = φv(t) = φ∆ x(t) + Rn(t)
Ac sen ψ(t)
- FM
νo(t) = 12π
dφv(t)
dt = f∆ x(t) + 1
2πAc ddt [Rn(t) senψ(t)]
El ruido es aditivo en ambos casos, pero dependiente de la señal modulada através de ψ(t) = φn(t) - φ(t).
El análisis del ruido puede simplificarse extraordinariamente sisuprimimos la señal moduladora en la expresión anterior. En este caso φ(t)=0 ypor tanto ψ(t) = φn(t) . El efecto de φ(t) (señal moduladora) sobre el ruido sería
el de producir componentes de frecuencia f>B a la salida del demodulador que
serían eliminadas por el filtro paso bajo. Por esta razón se puede escribir que
Rn(t) senΨ(t) →Rn(t) senφn(t) = qn(t)
Las señales de salida pueden escribirse como
- PM
νo(t) = φ∆ x(t) + qn(t)
Ac
- F M
νo(t) = f∆ x(t) + 1
2πAc dqn(t)
dt
La potencia de señal a la salida del filtro paso bajo será
&RPXQLFDFLRQHV$QDOyJLFDV VIII-29
- PM
SD = φ2∆ x2(t)
__ = φ
2∆ Px
- F M
SD = f2∆
___
x2(t) = f2∆ Px
Los espectros de potencia del ruido a la entrada del filtro paso bajo serán
- PM
Snono(ω) =
1
A2c
Sqnqn (ω) |ω| πBT
- F M
Snono (ω) =
1
4π2A2c
ω2 Sqnqn(ω) |ω| πBT
Puesto que
Sqnqn(f) = η |f| %T /2
A2c = 2SR
se tendrá finalmente que
- PM
&RPXQLFDFLRQHV$QDOyJLFDV VIII-30
Snono (f) =
η2SR
|f| %T /2
- F M
Snono(f) =
ηf2
2SR |f| %T /2
-B B B /2-B /2T T
ooS (f)n n
PM
-B B B /2-B /2T T
ooS (f)n n
FMη
A la salida del filtro paso bajo se tendrá una potencia de ruido
- PM
Pno = ⌡⌠
-B
B Snono
(f) df = ηBSR
= ND
- F M
Pn = ⌡⌠-B
B
ηf2
2SR df =
ηB3
3SR = ND
y las relaciones señal/ruido
- PM
(S/N)D = φ2∆ Px SR
ηB
- F M
(S/N)D = 3f
2∆ Px SR
ηB3
&RPXQLFDFLRQHV$QDOyJLFDV VIII-31
Teniendo en cuenta que
γ = SRηB
Es la relación señal/ruido que se tendría en un sistema de modulación bandabase con potencia SR .
- PM
(S/N)D = φ2∆ Px γ
- FM
(S/N)D = 3f
2∆ Px
B2 γ
Puesto que |x(t)| \GHELGRDODUHVWULFFLyQGHQRDPELJHGDGGHIDVHφ∆
π), se tiene para la modulación de fase
PM (S/N)D π2 γ
Es decir, la máxima mejora que se puede obtener para PM es del orden de
10dB.
Para FM, teniendo en cuenta que la relación de desviación es
∆ = f∆B
La relación señal/ruido queda
F M (S/N)D = 3∆2 Px γ
De donde se concluye que la figura de mérito de FM, respecto de la
banda base, aumenta con el cuadrado de la relación de desviación, lo que
hace que FM sea muy superior a PM en lo que a reducción de ruido se refiere.
En principio, parece que aumentando indefinidamente la relación de
desviación, la relación señal/ruido puede hacerse todo lo grande que se quiera,
con una potencia de señal transmitida pequeña. Esto solo será verdad si se
&RPXQLFDFLRQHV$QDOyJLFDV VIII-32
mantiene la condición (S/N)R >> 1 utilizada en la deducción de (S/N)D . Esta
condición es equivalente a γ >> 1 por lo que la potencia transmitida tendrá unumbral para que la relación cuadrática de (S/N)D con ∆ se verifique.
VIII.15.- PRE-ENFASIS Y DE-ENFASIS EN FM
Como se ha visto anteriormente, la densidad espectral de potencia en
FM crece con el cuadrado de la frecuencia. En general, las señales de audio
tienen un espectro que decae a altas frecuencias.
f
fB-B
B-B
Sxx
(f)
S non
o(f)
Con lo que la parte alta del espectro de la señal de audio ( 15kHz)
sufrirá más las consecuencias del ruido. La situación se agrava aún más en la
FM estéreo ya que esta se extiende hasta 53kHz.
Una forma de paliar los efectos del ruido a altas frecuencias consiste en
introducir dos filtros terminales denominados de pre-énfasis y de-énfasis.
FILTROPRE-ENFASIS
x(t)
H ( )ωpe
TRANSMISOR FM
RUIDO
RECEPTOR FM H ( )ωde
FILTRODE-ENFASIS
x(t)
&RPXQLFDFLRQHV$QDOyJLFDV VIII-33
El filtro en el transmisor enfatiza las componentes de alta frecuencia del
mensaje antes de ser modulado. En recepción, después de demodular, se
realiza la operación inversa, desenfatizando dichas componentes, es decir
ecualizando el espectro del mensaje. Esto hace que las componentes de alta
frecuencia del ruido sean reducidas mejorando considerablemente la relación
señal/ruido del sistema.
Suponiendo el transmisor, el canal y el receptor ideales, los filtros deben
cumplir la condición
Hde(ω) = 1
Hpe(ω) |ω| πB
Para que no haya distorsión en el mensaje.
Esto hace que la potencia de señal detectada sea independiente de ambos
filtros.
SD = f2∆ Px
La potencia de ruido será
Pn = η
2SR ⌡⌠-B
B f2 |Hde(f)2 | df
y la relación señal ruido será
(S/N)D = 2f
2∆ Px SR
η ⌡⌠-B
B f2 |Hde(f)|2 df
=
&RPXQLFDFLRQHV$QDOyJLFDV VIII-34
= 2B3
3 ⌡⌠-B
B f2 |Hde(f)|2 df
(S/N)Do
Donde (S/N)Do es la relación señal/ruido sin los filtros de pre-énfasis y de-
énfasis.
Un filtro de de-énfasis empleado en receptores comerciales es el simple
RC paso bajo de la figura
RC
Su respuesta frecuencial es
H(ω) = 1
1+jω/ωo
con ωo = 1
RC
La respuesta frecuencial del filtro de pre-énfasis será de la forma
Hpe(ω) = 1 + j ω
ωo
Que es aproximadamente realizada por el siguiente circuito
&RPXQLFDFLRQHV$QDOyJLFDV VIII-35
R
C
R/R 1
1R
Si se verifica que R1 << R y ωR1 C << 1
Hpe(ω) = R
R1
R1R + jω R1C
1 + R1R + jω R1 C
≅ 1 + jωRC
El factor de mejora será
F = 2B3
3 ⌡⌠
B
-B
f2
1+(f/fo)2 df
= (B/fo
3)
3 [B/fo - arctg (B/fo)]
En FM comercial se tiene como valor típico fo = 2.1kHz, B = 15kHz que
proporciona un factor de mejora de F = 22 que corresponde a 13dB.