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Ing. Carlos PaulBernal Onate

MSc.

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DECODIFICACIONDE SINDROME

CODIGOSCICLICOS

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Ing. Carlos Paul Bernal Onate MSc.

ESCUELA POLITECNICA DEL EJERCITO

ESPE 2008

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CODIGOSCICLICOS

SumarioUnidades Didacticas

1 DECODIFICACION DE SINDROME

2 CODIGOS CICLICOS

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SumarioUnidades Didacticas

1 DECODIFICACION DE SINDROME2 CODIGOS CICLICOS

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DECODIFICACION DE SINDROME

Consideremos que Y es el vector recibido cuando un vector X decodigo en particular se ha transmitido. Cualquier error detransmision dara como resultado Y 6= X

Y ,[

PIq

](1)

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Probabilidad de bit erroneo para BPSK coherente

Para los detectores con correlador, filtro acoplado o susequivalentes, el calculo para obtener la probabilidad de smboloerroneo (PE) se puede ver geometricamente a partir de la figura

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Es util especificar el desempeno del sistema en terminos de laprobabilidad de bit erroneo (PB), aun cuando las decisiones serealizan en base a smbolos recibidos. De esta forma, para el casoen donde M = 2, PB = PE.

Asuma que las formas de onda transmitidas son igualmenteprobables. Tambien suponga que cuando la senal si(t)(i= 1,2) setransmite, la senal recibida es, r(t) = si(t)+n(t), en donde n(t) esun proceso AWGN. Las senales antipodales s1(t) y s2(t) puedencaracterizarse en un espacio de senales unidimensional en donde

s1(t) =E1(t) 0 t T

s2(t) =E1(t) 0 t T (2)

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La etapa de decision del detector eligira la si(t) que tenga la salidamas grande del correlador zi(t), o en el caso de senalesantipodales con igual energa, el detector, usando la regla de

decision en la ecuacion si(t) =

2ET cos

(0t 2pi(i1)M

)i= 0,1, . . . ,M 0 t T , decidira

s1(t) si z(T)> 0 = 0

s2(t) otro caso (3)

Dos tipos de error pueden cometerse, como se muestra en lafigura

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El primer tipo de error toma lugar si la senal s1(t) se transmitepero el ruido es tal que la medida del detector es un valor negativopara z(T) y se elige la hipotesis H2 [la hipotesis que consiste enque la senal s2(t) fue enviada].

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El segundo tipo de error toma lugar si la senal s2(t) se transmitepero el detector da un valor positivo para z(T) y se elige lahipotesis H1 [la hipotesis que consiste en que la senal s1(t) fueenviada]. Para calcular la probabilidad de bit erroneo, PB, para el

detector binario de mnimo error, se usan las ecuaciones

PB = P(H2|s1)P(s1)+P(H1|s2)P(s2) (4)

Para el caso en donde las probabilidades a priori son iguales, esdecir P(s1) = P(s2) = 1/2 se puede escribir

PB = 1/2P(H2|s1)+1/2P(H1|s2) (5)

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Debido a la simetra de las pdfs de la figura anterior, tenemos

PB = P(H2|s1) = P(H1|s2) (6)

Entonces la probabilidad de bit erroneo,PB, es numericamenteigual al area bajo la cola de cualquier pdf, ya sea p(z|s1) op(z|s2), que cae en el lado incorrecto del umbral. Por lo tanto, sepuede calcular PB de la siguiente forma

PB = 0=(a1+a2)/2

p(z|s)dz (7)

En donde las probabilidades, p(z|si)(i= 1,2), son funcionesGausianas con media ai, y el umbral optimo 0 es0 = (a1+a2)/2. De lo cual que la ecuacion (6) se reduce a

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PB = u=(a1a2)/20

12pi

exp[u

2

2

]du= Q

(a1a20

)(8)

en donde 0 es la desviacion estandar del ruido a la salida delcorrelador. La funcion Q(x) es conocida como la funcion de errorcomplementario o funcion de co-error, definida por

Q(x) =12pi

x

exp[u

2

2

](9)

Para senales antipodales de igual energa, tales como las BPSKen la ecuacion (1), las componentes de senal a la salida delreceptor son:

a1 =Eb para s1(t)

a2 =Eb para s2(t)

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en donde Eb es la energia por simbolo binario. Para AWGNpodemos reemplazar la varianza del ruido, 20 a la salida delcorrelador por N0/2 , de manera que la ecuacion (7) se puedeescribir como

PE =

2Eb/N0

12pi

exp[u

2

2

]du (10)

PE = Q

(2EbN0

)(11)

Expresando (7) y (10) en terminos de la energa de diferenciaentre las formas de onda

Ed = T0[s1(t) s2(t)]2 dt (12)

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Ed = T0(s1(t))2dt+

T0(s2(t))2dt2

T0s1(t)s2(t)dt (13)

Asumiendo senales con igual energa

Eb = T0(s1(t))2dt =

T0(s2(t))2dt (14)

Ed = 2Eb2Eb= 2Eb(1) (15)En donde

=1Eb

T0s1(t)s2(t)dt (16)

es el coeficiente de correlacion cruzada en el tiempo y Eb es laenergia promedio de las senales binarias, s1(t) y s2(t). Elcoeficiente de correlacion, , es una medida de similitud entre lasdos senales, s1(t) y s2(t) , tal que

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1 1 (17)En terminos de los vectores de senal, el coeficiente de correlacionse puede escribir como

= cos() (18)

en donde es el angulo entre los dos vectores de senal s1 y s2como se muestra en la siguiente figura.

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En la ecuaciones anteriores, se desarrollo una expresion para laprobabilidad de bit erroneo en terminos de la energa de ladiferencia entre dos senales binarias, como sigue

PB = Q(

Ed2N0

)(19)

Sustituyendo la ecuacion (14) en la ecuacion (18) tenemos

PB = Q

Eb(1)N0

(20)

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Para = 1 o = 0, las senales estan perfectamentecorrelacionadas (identicas). Para =1 o = pi, las senalesestan anti-correlacionadas (antipodales). Dado que para BPSK lassenales son antipodales, se puede hacer =1, y la ecuacion(19) es identica a la (10).

Note que la probabilidad de bit erroneo, PB, para deteccioncoherente de senales paso banda antipodales, como se observaen la ecuacion (10), es la misma PB que para la deteccion confiltro acoplado para senales banda base antipodales

El parametro Eb/No de la ecuacion (10) se puede expresar comola relacion de la potencia promedio de la senal a la potenciapromedio del ruido, S/N o SNR. Al introducir el ancho de banda dela senal, W, se pueden escribir las siguientes igualdades,mostrando la relacion entre Eb/No y SNR para senales binarias.

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EbN0

=STN0

=S

RN0=

SWRN0W

=SN

(WR

)(21)

en donde

S=Potencia promedio de la senal moduladaT =Intervalo de duracion del bitR= 1/T = Tasa de bitsN = N0W

Un analisis similar para obtener PB en las ecuaciones (10) y (19)se utiliza para encontrar las expresiones de PB de otros tipos demodulacion.

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Ejemplo. Probabilidad de bit erroneo para BPSK.Encuentre la probabilidad de bit erroneo para un sistema BPSKcon una tasa de bits de 1Mbit/s. Las formas de onda recibidas,s1(t) = Acos0t y s2(t) =Acos0t, son detectadascoherentemente con un filtro acoplado. El valor de A es 10mV .Asuma que la densidad de potencia espectral del ruido unilaterales N0 = 1011W/Hz y que la potencia de la senal y la energia porbit son normalizadas en relacion a una carga resistiva de 1.

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Solucion:

A=

2EbT

= 102 T =1R= 106s

Por lo tanto

Eb =

A2

2T = 5105J y T=

2EbN0

= 3.16

de (10) y de la funcion de error complementario

PB = Q

(2EbN0

)= Q(3.16) = 8104

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Probabilidad de bit erroneo para BFSK coherente

Debido a que la deteccion coherente de BFSK tambien se hacesobre la base del correlador, la teora de la seccion anterior sepuede aplicar a BFSK coherente. No obstante, la asignacion deformas de onda en BFSK coherente no es antipodal, como en elcaso de BPSK coherente. Un tratamiento mas general parasenales binarias con deteccion coherente no limitado a senalesantipodales da la siguiente ecuacion para PB.

PB =12pi

(1)Eb/N0

exp[u

2

2

]du (22)

Sean las siguientes formas de onda a transmitir, de acuerdo con laecuacion de BFSK

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s1(t) =

2EbT

cos1t 0 t T

s2(t) =

2EbT

cos2t 0 t T

que expresadas en funcion del conjunto ortogonal

1(t) =

2Tcos1t 0 t T

2(t) =

2Tcos2t 0 t T

se convierten en

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s1(t) =2Eb cos1t 0 t T

s2(t) =2Eb cos2t 0 t T

Calculando el coeficiente de correlacion de la ecuacion (15)

=1Eb

T0s1(t)s2(t)dt =

1Eb

T0

Eb1(t)

Eb2(t)dt = T

01(t)2(t)dt = 0

lo que significa que = pi/2, como se muestra en la siguientefigura

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Sustituyendo = 0 en la probabilidad de bit erroneo de laecuacion (19)

PB = Q

Eb(1)N0

= 12pi

Eb/N0exp(u

2

2

)du (23)

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Si comparamos la ecuacion (22) con la ecuacion (10), podemosver que se requieren 3dB (factor de 2) mas de Eb/No para queBFSK proporcione el mismo desempeno que BPSK.

No debe ser sorprendente que el desempeno de BFSK es peorque BPSK, ya que para una potencia dada de la senal, losvectores ortogonales estan espaciados mas cercanamente quepara vectores antipodales.

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Probabilidad de bit erroneo para BFSK no coherente

Considere el conjunto de senales equiprobables binarias si(t),definidas en la ecuacion como sigue

si(t) =

2ET

cos(it+) i= 1,2 0 t T

El termino de fase, , es incognita y se asume constante. Eldetector esta caracterizado por M = 2 canales de filtros pasabanda y detectores de envolvente. La entrada al detector consistede la senal recibida, r(t) = si(t)+n(t), en donde n(t) es unproceso AWGN con densidad espectral de potencia bilateral N0/2.Asuma que s1(t) y s2(t) estan suficientemente separadas enfrecuencia de manera que tienen solapamiento despreciable. Seempieza con el calculo de la probabilidad de bit erroneo, PB, de lamisma forma en que se hizo para la deteccion coherente deBPSK, con la ecuacion (3)

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PB = (1/2)P(H2|s1)+(1/2)P(H1|s2) (24)

PB =12

T0p(z|s1)dz+ 12

T0p(z|s2)dz

Para el caso binario, la prueba estadistica, z(T), se define porz1(T) z2(T). Asuma que el ancho de banda del filtro esWf = 1/T , de manera que la envolvente de la senal FSK esaproximadamente preservada a la salida del filtro. Si no existieraruido en el receptor, z(T) =

2E/T cuando se envia s1(t), y

z(T) =2E/T cuando se envia s2(t). Debido a tal simetria, elumbral optimo es 0 = 0. La pdf p(z|s1) es similar a p(z|s2); esdecir

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p(z|s1) = p(z|s2) (25)Por lo tanto se puede escribir

PB = T0p(z|z2)dz (26)

oPB = P(z1 > z2|s2) (27)

En donde z1 y z2 denotan las salidas z1(T) y z2(T) de losdetectores de envolvente. Para el caso en donde el tonos2(t) = cos2t se envia, de manera tal que r(t) = s2(t)+n(t), lasalida, z1(T), es una variable aleatoria Gausiana unicamente; estano tiene componente de senal. Una distribucion Gausiana deentrada a un detector de envolvente no lineal proporciona unadistribucion de Rayleigh a la salida de manera que (ver figura)

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p(z1|s2) ={

z120exp( z21220

)Z1 0

0 Z1 < 0(28)

en donde 20 es el ruido a la salida del filtro. Por otra parte, z2(T)tiene distribucion Rician, dado que el detector de envolventeinferior es senal mas ruido. La pdf p(z2|s2) se puede escribir como

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p(z2|s2) ={

z220exp( (z22+A2)220

)I0(z2A20

)Z2 0

0 Z2 < 0(29)

en donde A=2E/T y 20 es el ruido a la salida del filtro. La

funcion I0(x) conocida como la funcion modificada de Bessel deorden cero del primer tipo, se define como

I0(x) =12pi

2pi0

exp(xcos)d (30)

Cuando se transmite s2(t), el receptor comete un error siempreque la muestra de la envolvente z1(T) obtenida del canal superior(debida al ruido unicamente) excede la muestra de la envolventez2(T) obtenida del canal inferior (debida a la senal mas ruido).

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Entonces la probabilidad de tal error se obtiene al integrar p(z1|s2)con respecto a z1 desde z2 hasta infinito, y entonces promediandosobre todos los posibles valores de z2. Esto es

PB = P(z1 > z2|s2)

PB = 0

p(z2|s2)[

0p(z1|s2)dz1

]dz2 (31)

PB= 0

z220

exp[(z

22+A

2)220

]I0

(z2A20

)[ z2

z120

exp( z

21

220

)dz1

]dz2

(32)

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en donde A=2E/T y la integral interior es la probabilidad

condicional de un error para un valor fijo de z2, dado que s2(t) seenvio, y la integral exterior promedia esta probabilidad condicionalsobre todos los valores posibles de z2. La evaluacion de estaintegral proporciona

PB =12exp( A

2

420

)(33)

Por otra parte el ruido a la salida del filtro, 20, se puede expresarcomo (ver figura)

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20 = 2Wf(N02

)(34)

en donde Gn(f ) = N0/2 y Wf es el ancho de banda del filtro.Sustituyendo (33) en (32)

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PB =12exp( A

2

4N0Wf

)(35)

La ecuacion (34) indica que el desempeno en error depende delancho de banda del filtro, y que PB disminuye conforme Wf esdecrementado. El resultado es valido solo cuando la ISI esdespreciable. El mnimo Wf permisible (para cero ISI) con el factorde roll-off r = 0. Entonces con Wf = R bits/s= 1/T la ecuacion(34) se convierte en

PB =12exp(A

2T4N0

)(36)

PB =12exp( Eb2N0

)(37)

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en donde Eb(1/2)A2T es la energa por bit. Cuando se comparael desempeno en error entre FSK coherente y no coherente, sepuede ver que para la misma PB, FSK no coherente requiere deaproximadamente 1 dB adicional de Eb/N0 que para FSKcoherente (para PB 104).El detector FSK no coherente es mas sencillo de implementar, yaque no se necesitan generar senales de referencia. Por esta razonla mayora de los detectores FSK usan deteccion no coherente. Enla siguiente seccion se vera que la misma diferencia de 3dB entreFSK y PSK coherentes ocurre entre FSK y PSK no coherentes.

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Probabilidad de bit erroneo para BPSK no coherente(DPSK)

Sea el siguiente conjunto de senales BPSK

x1(t) =

2ET cos(0t+)

x2(t) =

2ET cos(0t+pi)

(38)

Una caracterstica de DPSK es que no existen regiones fijas en elespacio de senales. En lugar de ello, la decision se basa en ladiferencia de fase entre senales recibidas sucesivamente.Entonces, para modulacion DPSK, en realidad se transmite cadabit mediante el siguiente par de senales binarias

s1(t) = (x1,x2) o (x2,x2) 0 t 2Ts2(t) = (x1,x2) o (x2,x1) 0 t 2T (39)

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que resultan ser las cuatro posibles combinaciones de agruparpares de bits (regla de codificacion XOR, como se muestra acontinuacion).

Bit en t1 Bit en t DPSK0 0 x1(t)0 1 x2(t)1 0 x2(t)1 1 x1(t)

En la ecuacion (38), (xi,xj) (i, j= 1,2) denota xi(t) seguida dexj(t) definida en la ecuacion (37). Debido a que los primeros Tsegundos de la forma de onda actual son los ultimos T segundosde la forma de onda anterior, como se muestra en la figura ,entonces la correlacion para cualquier combinacion de formas deonda es

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z(2T) = 2T0 s1(t)s2(t)dt

z(2T) = T0 [x1(t)]

2 dt T0 [x1(t)]2dtPor lo tanto, pares de senales DPSK se pueden representar comosenales ortogonales de duracion 2T .

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La deteccion puede corresponder a la deteccion de envolvente nocoherente con cuatro canales acoplados a cada una de lasposibles envolventes de salida, como se muestra en la figura (a).

Debido a que los dos detectores de envolvente que representancada smbolo son negativos uno del otro, la muestra de laenvolvente de cada uno sera la misma.

Por lo tanto se puede implementar el detector con un solo canalpara s1(t) acoplado a cualquiera (x1,x1) o (x2,x2), y un solo canalpara s2(t) acoplado a cualquiera (x1,x2) o (x2,x1), como semuestra en la figura (b).

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Por lo tanto el detector DPSK se reduce a un detector nocoherente de dos canales estandar. En realidad, el filtro se puedeacoplar a la senal de diferencias de manera que solo es necesarioun canal.

Para senales ortogonales, el esquema de deteccion opera con laprobabilidad de bit erroneo de la ecuacion (36). Debido a que lassenales DPSK tienen un intervalo de 2T , las senales si(t)definidas en la ecuacion (38) tienen dos veces la energa conrespecto a la senal definida en una duracion del smbolo de Tsegundos. Por lo tanto podemos escribir PB como

PB =12exp(EbN0

)(40)

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Esta expresion es valida para el detector optimo. Cuando secompara el desempeno en error de la ecuacion (39) con aquellapara PSK coherente, se puede observar que para la misma PB,DPSK requiere aproximadamente 1 dB adicional de Eb/N0 que larequerida para BPSK para (PB 104)Es mas sencillo implementar un sistema DPSK que uno PSK,debido a que el receptor DPSK no requiere sincrona en fase. Poresta razon, DPSK, no obstante que es menos eficiente que PSK,es la eleccion preferida entre las dos opciones.

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Comparacion en la probabilidad de bit erroneo paradiversos tipos de modulacion

Las expresiones de PB para los esquemas de modulacion bienconocidos discutidos anteriormente son listados en la tablasiguiente y su grafica se muestra en la figura siguiente. ParaPB = 104 se puede observar que existe una diferencia de 4 dBentre el mejor (PSK coherente) y el peor (FSK no coherente) tipode modulacion.

En algunos casos, 4 dB es un pequeno precio a pagar por lasimplicidad de implementacion ganada al ir de PSK coherente aFSK no coherente; sin embargo, para otros casos, aun 1 dB deperdida es demasiado.

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Existen otras consideraciones ademas de la PB y la complejidaddel sistema; por ejemplo, en algunos casos (tales como canal condesvanecimiento aleatorio), un sistema no coherente es masdeseable debido a que es difcil mantener la referencia coherente.

Las senales que pueden resistir una degradacion significanteantes de que su habilidad para ser detectadas se afecte, sonobviamente deseables en aplicaciones militares.

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Modulacion M = 2k = 2 PB

PSK coherente Q(

2EbN0

)PSK no coherente, DPSK 12 exp

(EbN0

)FSK coherente Q

(EbN0

)FSK no coherente 12 exp

( Eb2N0

)

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La figura se obtuvo con el siguiente codigo en MatLab.x1=-1.0:0.1:15;x2=x1/10;for i=1: 161x(i)=10 x2(i);PSK(i)=0.5*erfc(sqrt(2*x(i))/sqrt(2));DPSK(i)=0.5*exp(-1*x(i));FSK(i)=0.5*erfc(sqrt(x(i))/sqrt(2));FSKNC(i)=0.5*exp(-0.5*x(i));endsemilogy(x1, PSK, x1, DPSK, x1, FSK, x1, FSKNC);

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Desempeno de bit erroneo ideal

La curva de probabilidad de error tpica para Eb/N0 fue mostradacomo una forma de cada de agua en la figura. La figura muestrala probabilidad de bit erroneo (PB) para diversos tipos demodulacion en el caso binario.

Como debera lucir una curva de PB vs Eb/N0 ideal? La figuramuestra la caracterstica ideal conocida como el lmite deShannon. El lmite representa el umbral de Eb/N0 debajo del cuallas comunicaciones reales no pueden mantenerse.

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Se puede describir la curva ideal de la figura como sigue.

Para todos los valores arriba del lmite de Shannon, PB es cero.Una vez que se reduce Eb/No abajo del lmite de Shannon, PB sedegrada hasta el peor caso de1/2. (Note que PB = 1 no es el peorcaso para la modulacion binaria, ya que esta valor esprecisamente tan bueno como PB = 0; si la probabilidad de hacerun error es del 100%, simplemente se puede invertir la cadena debits para obtener los datos correctos).

Debe ser claro, al comparar la curvas tpicas con la ideal para PBen la figura , que la flecha grande en la figura describe la direcciondeseada en el movimiento para conseguir una mejora en eldesempeno.

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Resumen de la probabilidad de bit erroneo M-aria

Note que en el caso de modulacion M-aria es convenienteexpresar la probabilidad de smbolo erroneo PE en lugar de laprobabilidad de bit erroneo PB. La siguiente tabla resume lasexpresiones para obtener la probabilidad de smbolo erroneo paralos diferentes tipos de modulacion, en el caso general en dondeM = 2k > 2 con Es = Eb(log2M).

Modulacion M = 2k > 2 PE

PSK coherente Q(

2EsN0

sin piM)

PSK no coherente, DPSK Q(

2EsN0

sin pi2M

)FSK coherente (M1)Q

(EsN0

)FSK no coherente 1M exp

( EsN0

)Mj=2(1)j

(Mj

)exp(

EsjN0

)

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En donde (Mj

)=

M!j!(M j)! (41)

Revisemos el proceso de modulacion M-aria. El transmisorconsidera k bits en un tiempo. Este instruye al modulador paraproducir una de M = 2k formas de onda; la modulacion binaria esel caso especial en donde k = 1, M = 2.

La modulacion M-aria mejora o degrada el desempeno en error?Se puede demostrar graficamente que conforme se incrementa kse mejora el desempeno para modulacion usando senalesortogonales.

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Por el contrario, conforme k se incrementa se empeora eldesempeno para MPSK. Puede ser esto verdad? Y si es verdad,Porque se usa MPSK si degrada el desempeno en error? Estoes verdad, y muchos sistemas usan MPSK. La situacion es que laprobabilidad de bit erroneo no es el unico criterio para seleccionarun tipo de modulacion particular; existen muchos otros tales comoancho de banda, potencia, rendimiento y complejidad.

Una caracterstica de desempeno que no esta explcita en lascurvas de probabilidad de bit erroneo es el ancho de banda. Porejemplo, cuando se incrementa k tambien se incrementa el anchode banda requerido en el caso de modulacion con senalesortogonales. Por el contrario, para MPSK, conforme k seincrementa se puede transmitir una tasa de bits mas grandedentro del mismo ancho de banda.

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En resumen, en el caso de modulacion con senales ortogonales,la mejora en error se consigue a expensas del deterioro en anchode banda. Por otra parte, en MPSK, la mejora en ancho de bandase consigue a expensas del deterioro en error. El desempeno enancho de banda vs el desempeno en error es un compromisoimportante en la seleccion de un tipo de modulacion particular.

La seleccion depende de la aplicacion: sistemas limitados enancho de banda (telefona), sistemas limitados en error(transmision de datos) y sistemas limitados en potencia(comunicaciones va satelite).

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Probabilidad de bit erroneo vs probabilidad desmbolo erroneo para senales ortogonales

Se puede demostrar que la relacion entre PB y PE es

PBPE

=2k1

2k1 =M/2M1 (42)

En el lmite conforme k se incrementa, tenemos

limk

PBPE

=12

(43)

Como demostracion de la ecuacion (41) tomemos el ejemplo demensaje octal de la figura

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Los smbolos del mensaje (asumiendolos equiprobables) serantransmitidos usando formas de onda ortogonales tal como FSK.Con modulacion ortogonal, una decision erronea transformara lasenal correcta en una de (M1) senales incorrectas con igualprobabilidad. El ejemplo en la figura anterior indica que el smbolocompuesto por 011 fue transmitido. Un error puede ocurrir encualquiera de los otros 2k1= 7 smbolos con igual probabilidad.Note que debido a que solo se hace un error sobre el smbolo estono quiere decir que todos los bits dentro del smbolo son erroneos.En la figura anterior, si el receptor decide que el smbolotransmitido es el del fondo de la lista, compuesto por 111, dos delos tres bits del smbolo transmitido seran correctos; solo un bitresultara en error. De esta forma es aparente que PB sera menoro igual a PE.

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Considere cualquiera de las columnas que indican las posicionesde bit en la figura anterior. Para cada posicion de bit, la localidaddel bit consiste de 50% de unos y 50% de ceros. En el contexto dela primera posicion del bit (columna mas a la derecha) y delsmbolo transmitido, Cuantas formas existen ah para ocasionarun error al dgito binario uno?.

Existen 2k1= 4 formas (cuatro lugares en donde aparecenceros en la columna) en que un error de bit se hace; este es elmismo para cada una de las columnas. La relacion final, PB/PE,para modulacion con senales ortogonales de la ecuacion (41), seobtiene al formar la siguiente relacion: el numero de formas enque se puede hacer un error de bit (2k1) dividido entre el numerode formas en que se puede hacer un error de smbolo (2k1).Para el ejemplo de la figura anterior, PB/PE = 4/7.

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Probabilidad de bit erroneo vs probabilidad desmbolo erroneo para MPSK

Para el caso de modulacion MPSK, PB es menor o igual a PE,justamente igual que en el caso de MFSK. Sin embargo, existeuna diferencia importante. Para modulacion ortogonal, seleccionaruno de los (M1) smbolos erroneos es igualmente probable.En el caso de MPSK, cada vector de senal no es equidistante alresto de los otros. La figura siguiente, muestra un espacio dedecision 8-ario con las regiones acotadas en notacion binaria. Siel smbolo (011) se transmite, es claro que puede surgir un error,la senal transmitida sera confundida con mayor probabilidad conalguno de sus vecinos mas proximos, (010) o (100).

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La probabilidad de que (011) sea confundido con (111) esrelativamente remota. Si la asignacion de bits a los smbolos siguela secuencia binaria mostrada en las regiones de decision de lasiguiente figura (a), algunos errores de smbolo usualmenteresultaran en dos o mas bits erroneos, aun con grandes SNRs.

Para esquemas no ortogonales, tales como MPSK,frecuentemente se usa un codigo binario a M-ario tal que lassecuencias binarias correspondientes a smbolos adyacentes(desplazamiento en fase) difieran solamente en una posicion delbit; entonces cuando ocurre un error M-ario en smbolo, es masprobable que solo uno de los k bits de entrada resulte en error.

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Un codigo que proporciona la caracterstica descrita es el codigoGray; la anterior figura (b) ilustra la asignacion smbolo a bitutilizando codigo Gray para 8PSK. Aqu se puede ver que lossmbolos vecinos difieren el uno del otro en solo una posicion debit. Por lo tanto, la ocurrencia de errores en multiples bits, para unerror de smbolo dado, se reduce considerablemente comparadocon la asignacion binaria de la anterior figura (a). Se puededemostrar que utilizando codigo Gray la probabilidad de biterroneo es

Pb PElog2M=

PEk

(paraPE

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CONCLUSION

Hemos catalogado algunos formatos basicos de modulacion pasobanda, particularmente FSK y PSK. Hemos considerado un puntode vista geometrico de los vectores de senales y ruido,particularmente en conjuntos de senales ortogonales yantipodales.

Este punto de vista geometrico nos habilita para considerar elproblema de la deteccion en el esquema del espacio de senalesortogonales y sus regiones asociadas. El enfoque de espacios, yel efecto del vector de ruido que ocasiona que las senalestransmitidas caigan en la region de decision incorrecta, facilita lacomprension del problema de deteccion para las diversas tecnicasde modulacion.

SUMARIODECODIFICACIN DE SINDROMECDIGOS CCLICOS

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senal s2t

erroneo pb

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