Comprimento de Arco Prof.: Rogério Dias Dalla Riva UNIVERSIDADE DO ESTADO DE MATO GROSSO CAMPUS UNIVERSITÁRIO DE SINOP CURSO DE ENGENHARIA CIVIL DISCIPLINA: CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I FACULDADE DE CIÊNCIAS EXATAS E TECNOLÓGICAS
Comprimento de Arco
Prof.: Rogério Dias Dalla Riva
UNIVERSIDADE DO ESTADO DE MATO GROSSOCAMPUS UNIVERSITÁRIO DE SINOP
CURSO DE ENGENHARIA CIVILDISCIPLINA: CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I
FACULDADE DE CIÊNCIAS EXATAS E TECNOLÓGICAS
Comprimento de Arco
1.Introdução
2.Resolução de Exemplos
3.Função Comprimento de Arco
4.Resolução de Exemplo
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1. Introdução
O que queremos dizer com o comprimentode uma curva? Podemos pensar em colocar umpedaço de barbante sobre a curva, como na figuraabaixo, e então medir o comprimento do barbantecom uma régua.
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1. Introdução
Mas isso pode ser difícil de fazer com muitaprecisão se tivermos uma curva complicada.Precisamos de uma definição exata para ocomprimento de um arco de uma curva, da mesmamaneira como desenvolvemos definições para osconceitos de área e volume.
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1. Introdução
Se a curva é um polígono, podemosfacilmente encontrar seu comprimento; apenassomamos os comprimentos dos segmentos de retaque formam o polígono. (Podemos usar a fórmula dedistância para encontrar a distância entre osextremos de cada segmento).
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1. Introdução
Definiremos o comprimento de uma curvageral primeiro aproximando-a por um polígono eentão tomando o limite quando o número desegmentos do polígono aumenta. Esse processo ésimilar para o caso de um círculo, onde acircunferência é o limite dos comprimentos dospolígonos inscritos, conforme a figura a seguir.
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1. Introdução
8
1. Introdução
Agora suponha que uma curva C sejadefinida pela equação y = f(x), onde f é contínua ea ≤ x ≤ b. Obtemos um polígono de aproximaçãopara C dividindo o intervalo [a, b] em nsubintervalos com os extremos x0, x1, …, xn e comlarguras iguais a ∆x. Se yi = f(xi), então o ponto Pi(xi, yi) está em C e o polígono com vértices P0, P1, …,Pn, ilustrado na figura seguinte, é uma aproximaçãopara C.
9
1. Introdução
10
1. Introdução
O comprimento L de C é aproximadamente omesmo desse polígono e a aproximação fica melhorquando n aumenta. Veja a figura a seguir, onde oarco da curva entre Pi-1 e Pi foi ampliado e asaproximações com sucessivos valores menores para∆x são mostradas.
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1. Introdução
12
1. Introdução
Portanto, definimos o comprimento L dacurva C com a equação y = f(x), a ≤ x ≤ b, como olimte dos comprimentos desses polígonos inscritos(se o limite existir).
11
limn
i ini
L P P−→∞ =
= ∑
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1. Introdução
Note que o procedimento para a definiçãode comprimento de arco é muito similar àquele queusamos para definir a área e o volume: dividimos acurva em um grande número de partes pequenas.Então encontramos os comprimentos aproximadosdas partes pequenas e os somamos. Finalmente,tomamos o limite quando n → ∞.
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1. Introdução
A definição de comprimento de arco dadapela equação anterior não é muito conveniente paraos propósitos computacionais, mas podemos derivaruma fórmula integral para L onde f tem umaderivada contínua. Essa função f é chamada suave,porque uma pequena mudança em x produz umapequena mudança em f’(x).
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1. Introdução
Se tomarmos ∆yi = yi – yi-1, então
( ) ( ) ( ) ( )2 2 2 2
1 1 1i i i i i i iP P x x y y x y− − −= − + − = ∆ + ∆
Considerando a existência de um número xi*
entre xi-1 e xi, tal que
*1 1( ) ( ) ( )( )i i i i if x f x f x x x− −′− = −
*( )i iy f x x′∆ = ∆
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1. Introdução
Então temos
( ) ( )2 2
1i i iP P x y− = ∆ + ∆
( ) 22 *1 ( )i i iP P x f x x− ′= ∆ + ∆
( )2 2*1 1 ( )i i iP P f x x− ′= + ⋅ ∆
2*1 1 ( )i i iP P f x x− ′= + ⋅ ∆
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1. Introdução
Portanto
2*1
1 1
lim lim 1 ( )n n
i i in ni i
L P P f x x−→∞ →∞= =
′= = + ⋅ ∆ ∑ ∑
Assim sendo, essa expressão é igual a
[ ]21 ( )
b
a
L f x dx′= +∫
pela definição de integral definida.
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1. Introdução
Fórmula do Comprimento de Arco
Se f’ for contínua em [a, b], então o comprimento dacurva y = f(x), a ≤ x ≤ b, é
[ ]21 ( )
b
a
L f x dx′= +∫
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1. Introdução
Se usarmos a notação de Leibniz para asderivadas, poderemos escrever a fórmula docomprimento de arco como a seguir:
2
1b
a
dyL dx
dx = +
∫
20
2. Resolução de exemplos
Exemplo 1: Calcule o comprimento de arco daparábola semicúbica y2 = x3 entre os pontos (1, 1) e(4, 8).
21
2. Resolução de exemplos
Para a porção superior da curva, temos
( ) ( )1 1 32 3 2 32 2 2y x y x y x= ⇒ = ⇒ =
123
2dy
xdx
=
22
2. Resolução de exemplos
e assim a fórmula do comprimento de arcodá
24 4
1 1
91 1
4dy
L dx x dxdx = + = +
∫ ∫
23
2. Resolução de exemplos
Se substituirmos
9 91
4 4u x du dx= + ⇒ =
Quando
131 e 4 10
4x u x u= ⇒ = = ⇒ =
24
2. Resolução de exemplos
Portanto10 103
2
13/413/4
4 4 29 9 3
L u du u = = ⋅∫
( )3
2328 13
1027 4
L = −
180 10 13 13
27L = −
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2. Resolução de exemplos
Se uma curva tem a equação x = g(y), c ≤ y ≤ de g’(y) é contínua, então, pela mudança dos papéisde x e y, obtemos a seguinte fórmula para seucomprimento.
[ ]2
21 ( ) 1
d d
c c
dxL g y dy dy
dy ′= + = +
∫ ∫
26
2. Resolução de exemplos
Exemplo 2: Calcule o comprimento de arco daparábola y2 = x de (0, 0) a (1, 1).
27
2. Resolução de exemplos
Solução: Como x = y2, temos dx/dy = 2y.
( )1 1
2 2
0 0
1 2 1 4L y dy y dy= + = +∫ ∫
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2. Resolução de exemplos
Fazendo a substituição trigonométrica
1tg
2y = θ
que resulta em
2 2 21sec e 1 4 1 tg sec
2dy d y= + = + =θ θ θ θ
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2. Resolução de exemplos
Quando y = 0, tg θ = 0, logo θ = 0
Quando y = 1, tg θ = 2, logo θ = tg-1 2 = α.
Então:
2 3
0 0
1 1sec sec sec
2 2L d d= ⋅ =∫ ∫
α α
θ θ θ θ θ
0
1 1sec tg ln sec tg
2 2 = ⋅ + +
αθ θ θ θ
( )1sec tg ln sec tg
4= + +α α α α
30
2. Resolução de exemplos
Como tg α = 2, temos:
2 2sec 1 tg sec 5= + ⇒ =α α α
Portanto
( )12 5 ln 5 2
4L = + +
( )ln 5 252 4
L+
= +
31
2. Resolução de exemplos
A figura a seguir mostra o arco de umaparábola cujo comprimento é calculado noexercício anterior, junto com as aproximaçõespolinomiais tando n = 1 e n = 2 segmentos de reta,respectivamente.
32
2. Resolução de exemplos
1
1
2
33
2. Resolução de exemplos
Para n = 1 o comprimento aproximado é
1 2 1,414L = = …
a diagonal de um quadrado
34
2. Resolução de exemplos
1/2 1/2
22
1
35
2. Resolução de exemplos
Para n = 2 o comprimento aproximado é
2 1,445L = …
A tabela seguinte mostra as aproximaçõesLn que obtemos dividindo [0, 1] em n subintervalosiguais. Note que cada vez que duplicamos o númerode lados do polígono nos aproximamos docomprimento exato, que é dado pela expressão
( )ln 5 251,478943
2 4L
+= + = …
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2. Resolução de exemplos
n Ln
1 1,414
2 1,445
4 1,464
8 1,472
16 1,476
32 1,478
64 1,479
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2. Resolução de exemplos
Por causa da presença da raiz quadrada nafórmula do comprimento de arco, os cálculosfrequentemente nos levam a integrais muitodifíceis ou mesmo impossíveis de se avaliarexplicitamente.
Então algumas vezes temos de nos contentarem achar uma aproximação do comprimento dacurva, como no exemplo a seguir.
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2. Resolução de exemplos
Exemplo 3: (a) Monte uma integral para ocomprimento de arco de uma hipérbole xy = 1 doponto (1, 1) ao ponto (2, 1/2). (b) Use a Regra deSimpson com n = 10 para estimar o comprimento dearco.
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2. Resolução de exemplos
(a) Temos
2
1 1
dyy
x dx x= = −
e assim o comprimento do arco é
22 2 2 4
4 21 1 1
1 11 1
dx xL dx dx dx
dy x x += + = + =
∫ ∫ ∫
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2. Resolução de exemplos
(b) Usando a Regra de Simpson com
4
11 2 10 ( ) 1a b n f x
x= = = = +
obtemos
[ ](1) 4 (1,1) 2 (1,2) 2 (1,8) 4 (1,9) (2)3
b aL f f f f f f
n−≈ + + + + + +…
1,1321L ≈
41
3. Função comprimento de arco
É útil termos uma função que mede ocomprimento de arco de uma curva a partir de umponto inicial particular até outro ponto qualquer nacurva.
Então, se a curva suave C tem a equaçãoy = f(x), a ≤ x ≤ b, seja s(x) a distância ao longo deC do ponto inicial P0 (a, f(a)) ao ponto Q (x, f(x)).Então s é uma função, chamada função compri-mento de arco, dada pela fórmula abaixo.
[ ]2
0
( ) 1 ( )x
s x f x dx′= +∫
42
3. Função comprimento de arco
Derivando a expressão anterior, obtemos:
[ ]2
2
0
1 ( ) 1xds dy
f xdx dx
′= + = +
∫
A equação anterior mostra que a taxa devariação de s em relação a x é sempre pelo menosigual a 1, e é igual a 1 quando f’(x), a inclinação dacurva, é 0.
2
1dy
ds dxdx = +
43
3. Função comprimento de arco
e essa equação é escrita algumas vezes naforma simétrica, cuja interpretação geométrica émostrada na figura abaixo.
( ) ( ) ( )2 2 2ds dx dy= +
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4. Resolução de exemplo
Exemplo 4: Determine a função comprimento dearco para a curva
2 1ln
8y x x= −
tomando P0 (1, 1) como o ponto inicial.
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4. Resolução de exemplo
Solução:
2 1 1( ) ln ( ) 2
8 8f x x x f x x
x′= − ⇒ = −
[ ]2
2 22
1 1 11 ( ) 1 2 1 4
8 2 64f x x x
x x ′+ = + − = + − +
22
2
1 1 14 2
2 64 8x x
x x = + + = +
[ ]2 11 ( ) 2
8f x x
x′= + = +
46
4. Resolução de exemplo
Assim, a função comprimento de arco é dadapor
[ ]2
1
( ) 1 ( )x
s x f x dx′= +∫
2
11
1 12 ln
8 8
xx
x dx x xx
= + = + ∫
2 1ln 1
8x x= + −
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4. Resolução de exemplo
Por exemplo, o comprimento de arco aolongo da curva de (1, 1) a (3, f(3)) é
2 1 ln3(3) 3 ln3 1 8
8 8s = + − = +
(3) 8,1373s ≈
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4. Resolução de exemplo
A figura abaixo mostra a interpretação dafunção comprimento de arco do exemplo anterior.
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4. Resolução de exemplo
A figura abaixo mostra o gráfico de suafunção comprimento de arco. Observe que s(x) énegativo quando x é menor que 1.