Ejercicios resueltos de función inversa y composición de funciones IMPORTANTE: para resolver un ejercicio donde se pide calcular la función inversa a una dada, hay que seguir las siguientes acciones: 1. Demostrar que la función dada es biyectiva. Si no lo es redefinirla para que lo sea. 2. Indicar dominio e imagen de la función inversa. 3. Despejar x en función de y en la ecuación original para buscar la expresión de f -1 4. Cambiar el nombre de las variables en el paso anterior. 5. Dejar la respuesta expresada en forma completa Ejercicio 1: dada x x f R R f 2 ) ( / : = → , hallar la función inversa estudiando previamente las condiciones de biyectividad. Graficar ambas en el mismo par de ejes coordenados. Solución Sea x x f R R f 2 ) ( / : = → . Sabemos que es una función exponencial con base mayor que 1 y que es inyectiva, ya que trazando rectas horizontales al gráfico lo cortan una sola vez. Para que sea sobreyectiva debemos redefinir el conjunto de llegada como + ℜ . Entonces x x f f 2 ) ( / : = ℜ → ℜ + es biyectiva y admite función inversa. Despejemos x para hallar la ecuación de la función inversa: y x y x 2 log 2 = ⇒ = Cambiando el nombre de las variables ) ( log 1 2 x f x y - = = . Luego la función inversa buscada es x x f f 2 1 1 log ) ( / : = ℜ → ℜ - + - Graficamos las dos funciones en el mismo par de ejes cartesianos para observar la simetría respecto a la recta y = x. -3 -2 -1 1 2 3 x -6 -4 -2 2 4 6 8 y
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Ejercicios resueltos de función inversa y composición de funciones IMPORTANTE: para resolver un ejercicio donde se pide calcular la función inversa a una dada, hay que seguir las siguientes acciones:
1. Demostrar que la función dada es biyectiva. Si no lo es redefinirla para que lo sea.
2. Indicar dominio e imagen de la función inversa. 3. Despejar x en función de y en la ecuación original para buscar la expresión de f-1 4. Cambiar el nombre de las variables en el paso anterior. 5. Dejar la respuesta expresada en forma completa
Ejercicio 1: dada xxfRRf 2)(/: =→ , hallar la función inversa estudiando previamente las condiciones de biyectividad. Graficar ambas en el mismo par de ejes coordenados. Solución
Sea xxfRRf 2)(/: =→ . Sabemos que es una función exponencial con base mayor que 1 y que es inyectiva, ya que trazando rectas horizontales al gráfico lo cortan una
sola vez. Para que sea sobreyectiva debemos redefinir el conjunto de llegada como +ℜ .
Entonces xxff 2)(/: =ℜ→ℜ + es biyectiva y admite función inversa. Despejemos x para hallar la ecuación de la función inversa:
yxy x2log2 =⇒=
Cambiando el nombre de las variables )(log 12 xfxy −== . Luego la función inversa
buscada es xxff 211 log)(/: =ℜ→ℜ −+− Graficamos las dos funciones en el mismo
par de ejes cartesianos para observar la simetría respecto a la recta y = x.
-3 -2 -1 1 2 3x
-6
-4
-2
2
4
6
8
y
Adriana Favieri
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Mg B. Williner - 2013
Ejercicio 2: dada x
xxfRRf 1)(/}0{: +=→− , hallar la función inversa estudiando
previamente las condiciones de biyectividad. Graficar ambas en el mismo par de ejes coordenados Solución La función dada es homográfica con asíntota vertical en x = 0 y asíntota horizontal y = 1. Trazando en su gráfico rectas horizontales observamos que cortan al mismo una sola vez, por lo que es inyectiva:
-3 -2 -1 1 2 3x
-3
-2
-1
1
2
3y
Además, si la definimos restringiendo su conjunto de llegada como:
}1{}0{: −ℜ→−ℜf es sobreyectiva y por lo tanto biyectiva. Luego admite inversa que
será: }0{}1{:1 −ℜ→−ℜ−f Hallemos su ecuación despejando x:
1
111
11
1
−=⇒=−⇒+=⇒
+=y
xx
yx
yx
xy
Cambiando el nombre de las variables: 1
1)(1
−=−
xxf que también es una función
homográfica, con asíntota vertical en x = 1 y horizontal en y = 0 (Observemos que la que antes era asíntota vertical, ahora pasa a ser horizontal y viceversa).
Luego 1
1)(/}0{}1{: 11
−=−ℜ→−ℜ −−
xxff
Grafiquemos las dos en el mismo par de ejes para observar la simetría respecto a la recta y = x:
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-3 -2 -1 1 2 3x
-4
-2
2
4
6
y
Probemos ahora que xxffxff == −− )()( 11oo
[ ] x
x
x
x
x
xx
fxffxff =
−
−−+
=
−
+−=
−== −−
1
11
11
1
1
11
1
1
1)()( 11
o
[ ] x
x
xx
x
xx
xfxffxff =
−+=
−+=
+== −−−11
1111
)()( 111o
Ejemplo 3 dada )2(3)(/: xsenxfRRf =→ , hallar la función inversa estudiando previamente las condiciones de biyectividad. Graficar ambas en el mismo par de ejes coordenados Solución Sabemos que la función seno no es inyectiva. Además como está definida en el ejercicio tampoco es sobreyectiva. Para que sea inyectiva, y de acuerdo a la convención estudiada para las funciones inversas de trigonométricas, el argumento debe variar en el intervalo
−2
,2
ππ, es decir, nuestro argumento (2x) debe estar entre esos valores, por lo que:
4422
2
ππππ ≤≤−⇒≤≤− xx
Este será el dominio restringido para que la función tenga inversa. Respecto a la imagen, como tenemos un factor 3 multiplicando a sen(2x), el conjunto imagen será [ ]3,3−
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Así redefinimos [ ] )2(3)(/3,34
,4
: xsenxff =−→
− ππLa graficamos:
-p
4p
4
-3
-2
-1
1
2
3
Entonces [ ]
−→−−4
,4
3,3:1 ππf
Ahora despejemos x:
2
)3/()3/(2)2(3/)2(3
yarcsenxyarcsenxxsenyxseny =⇒=⇒=⇒=
Luego la respuesta completa es: [ ] )3/(2
1)(/
4,
43,3: 11 xarcsenxff =
−→− −− ππ
Composición de funciones IMPORTANTE: para resolver un ejercicio donde se pide componer dos funciones dadas, hay que seguir las siguientes acciones:
1. Si no están dados, calcular el dominio y la imagen de cada una de las funciones que intervienen, de ser posible graficarlas.
2. Si se cumple la condición: dominio de la primera función a componer incluido en la imagen de la segunda, directamente expresar la función composición, dando primero su dominio y conjunto de llegada y luego la regla de definición.
3. Si la condición expuesta anteriormente no se cumple hay que restringir el dominio de la primera función. Para esto planteamos que la variable independiente pertenezca a este dominio y que su imagen pertenezca al dominio de la segunda función. Una vez resuelta esta intersección de conjuntos, resulta el dominio buscado.
4. Indicar la composición hallada: primero su dominio y conjunto de llegada y luego la regla de definición.
Ejemplo 1 Sean 1)( += xexf y xxg −= 4)( Hallar fg o y gf o Primero calculamos dominio e imagen de cada una de las funciones que intervienen y luego las graficamos:
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La función f es exponencial de base mayor que uno, trasladada una unidad hacia la
izquierda. Tenemos: +ℜ=ℜ= ff ID y su gráfico es:
-3 -2 -1 1 2
5
10
15
20
La función g es una función irracional, trasladada 4 unidades hacia la izquierda y luego reflejada respecto al eje y. Entonces: ( ] [ )+∞=∞−= ,04, gg ID Su gráfico es:
-2 2 4 6
0.5
1.0
1.5
2.0
2.5
Hagamos primero :fg o R R+
(-∞, 4] [0, +∞) Como vemos la imagen de f no está incluida en el dominio de g, tenemos que restringir dominio de f. Planteamos la condición:
f
g
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4)( ≤∧ℜ∈ xfx
41 ≤∧ℜ∈ +xex 4ln1≤+∧ℜ∈ xx
14ln −≤∧ℜ∈ xx
Luego el domino de f restringido es: ( ]14ln,* −∞−=fD Escribimos la respuesta:
Observación: los gráficos de las composiciones todavía NO los podemos hacer. Acá están hechos con software Mathematica. Ejemplo 2 sean las funciones ( ) )1ln()(/1,: −−=→−∞− xxhRh y
3)(/: xxgg −=ℜ→ℜ En este caso las funciones están dadas con su dominio e imagen, vamos a graficarlas en un mismo par de ejes cartesianos:
-4 -3 -2 -1 1 2x
-4
-3
-2
-1
1
2
y
Comencemos planteando hg °
)1,( −−∞ ℜ ℜ ℜ
h
g
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Como observamos se cumple la condición requerida: gh Dom⊆Im , con lo que