comportamiento mecanico de una valvula cardiaca

COMPORTAMIENTO MECANICO DE

UNA VALVULA CARDIACA

A. Juarez y E.SanchezInst. Cardiologıa

G. Cruz, A. Olvera, G. Garcıa, A. MinzoniIIMAS–UNAM

G. PulosIIM–UNAM

Agosto de 2010

Instituto de Cardiologıa (Dr. Alejandro Juarez):

I Diseno, construccion y colocacion de valvulas cardiacasde diseno propio.

I Valvulas aorticas y ventriculares:

I Mecanicas:

I Esferas o valvulas rıgidas.I Problemas de formacion de trombos.I Anticoagulantes.

Instituto de Cardiologıa (Dr. Alejandro Juarez):

I Diseno, construccion y colocacion de valvulas cardiacasde diseno propio.

I Valvulas aorticas y ventriculares:

I Mecanicas:

I Esferas o valvulas rıgidas.I Problemas de formacion de trombos.I Anticoagulantes.

Instituto de Cardiologıa (Dr. Alejandro Juarez):

I Diseno, construccion y colocacion de valvulas cardiacasde diseno propio.

I Valvulas aorticas y ventriculares:

I Mecanicas:

I Esferas o valvulas rıgidas.I Problemas de formacion de trombos.I Anticoagulantes.

Instituto de Cardiologıa (Dr. Alejandro Juarez):

I Diseno, construccion y colocacion de valvulas cardiacasde diseno propio.

I Valvulas aorticas y ventriculares:

I Mecanicas:I Esferas o valvulas rıgidas.

I Problemas de formacion de trombos.I Anticoagulantes.

Instituto de Cardiologıa (Dr. Alejandro Juarez):

I Diseno, construccion y colocacion de valvulas cardiacasde diseno propio.

I Valvulas aorticas y ventriculares:

I Mecanicas:I Esferas o valvulas rıgidas.I Problemas de formacion de trombos.

I Anticoagulantes.

Instituto de Cardiologıa (Dr. Alejandro Juarez):

I Diseno, construccion y colocacion de valvulas cardiacasde diseno propio.

I Valvulas aorticas y ventriculares:

I Mecanicas:I Esferas o valvulas rıgidas.I Problemas de formacion de trombos.I Anticoagulantes.

Valvulas mecanicas

I Biologicas:

I Tienen la forma natural.I Pericardio vacuno.I Problemas de calcificacion.I Rompimiento del tejido.

I Biologicas:I Tienen la forma natural.

I Pericardio vacuno.I Problemas de calcificacion.I Rompimiento del tejido.

I Biologicas:I Tienen la forma natural.I Pericardio vacuno.

I Problemas de calcificacion.I Rompimiento del tejido.

I Biologicas:I Tienen la forma natural.I Pericardio vacuno.I Problemas de calcificacion.

I Rompimiento del tejido.

I Biologicas:I Tienen la forma natural.I Pericardio vacuno.I Problemas de calcificacion.I Rompimiento del tejido.

I Costo de valvulas comerciales =⇒ $ 2,000 dolares.

I Costo de las valvulas propias =⇒ $ 200 dolares.

I Las valvulas deben de tener una validacion para tenerautorizacion de colocarlas.

I Costo de valvulas comerciales =⇒ $ 2,000 dolares.

I Costo de las valvulas propias =⇒ $ 200 dolares.

I Las valvulas deben de tener una validacion para tenerautorizacion de colocarlas.

I Costo de valvulas comerciales =⇒ $ 2,000 dolares.

I Costo de las valvulas propias =⇒ $ 200 dolares.

I Las valvulas deben de tener una validacion para tenerautorizacion de colocarlas.

I Las valvulas comerciales tienen varios protocolos devalidacion.

I Pruebas biologicasI Pruebas mecanicasI Pruebas estaticas.I Pruebas de esfuerzos.I Prueba de fatiga acelerada: 1 mes = 20 anos.

I Las valvulas comerciales tienen varios protocolos devalidacion.

I Pruebas biologicas

I Pruebas mecanicasI Pruebas estaticas.I Pruebas de esfuerzos.I Prueba de fatiga acelerada: 1 mes = 20 anos.

I Las valvulas comerciales tienen varios protocolos devalidacion.

I Pruebas biologicasI Pruebas mecanicas

I Pruebas estaticas.I Pruebas de esfuerzos.I Prueba de fatiga acelerada: 1 mes = 20 anos.

I Las valvulas comerciales tienen varios protocolos devalidacion.

I Pruebas biologicasI Pruebas mecanicasI Pruebas estaticas.

I Pruebas de esfuerzos.I Prueba de fatiga acelerada: 1 mes = 20 anos.

I Las valvulas comerciales tienen varios protocolos devalidacion.

I Pruebas biologicasI Pruebas mecanicasI Pruebas estaticas.I Pruebas de esfuerzos.

I Prueba de fatiga acelerada: 1 mes = 20 anos.

I Las valvulas comerciales tienen varios protocolos devalidacion.

I Pruebas biologicasI Pruebas mecanicasI Pruebas estaticas.I Pruebas de esfuerzos.I Prueba de fatiga acelerada: 1 mes = 20 anos.

Problema real: Estudio del comportamiento de una

protesis cardiaca a tiempos largos

I Valvulas con anillo elastico donde se sujeta la valvula.

I ¿Cual es la razon de que una valvula falle?

I ¿Que determina la durabilidad de una valvula?

I ¿Es posible dar una escala de tiempo donde la valvula nofalle?

I ¿Como modifica el anillo elastico la esperanza de vida dela valvula?

Problema real: Estudio del comportamiento de una

protesis cardiaca a tiempos largos

I Valvulas con anillo elastico donde se sujeta la valvula.

I ¿Cual es la razon de que una valvula falle?

I ¿Que determina la durabilidad de una valvula?

I ¿Es posible dar una escala de tiempo donde la valvula nofalle?

I ¿Como modifica el anillo elastico la esperanza de vida dela valvula?

Problema real: Estudio del comportamiento de una

protesis cardiaca a tiempos largos

I Valvulas con anillo elastico donde se sujeta la valvula.

I ¿Cual es la razon de que una valvula falle?

I ¿Que determina la durabilidad de una valvula?

I ¿Es posible dar una escala de tiempo donde la valvula nofalle?

I ¿Como modifica el anillo elastico la esperanza de vida dela valvula?

Problema real: Estudio del comportamiento de una

protesis cardiaca a tiempos largos

I Valvulas con anillo elastico donde se sujeta la valvula.

I ¿Cual es la razon de que una valvula falle?

I ¿Que determina la durabilidad de una valvula?

I ¿Es posible dar una escala de tiempo donde la valvula nofalle?

I ¿Como modifica el anillo elastico la esperanza de vida dela valvula?

Problema real: Estudio del comportamiento de una

protesis cardiaca a tiempos largos

I Valvulas con anillo elastico donde se sujeta la valvula.

I ¿Cual es la razon de que una valvula falle?

I ¿Que determina la durabilidad de una valvula?

I ¿Es posible dar una escala de tiempo donde la valvula nofalle?

I ¿Como modifica el anillo elastico la esperanza de vida dela valvula?

Aspectos mecanicos y quımicos de la valvula:

I Modo de fijacion al musculo cardiaco.

I Variacion de sus constantes elasticas:

I Degradacion mecanica: variacion de las condicionesdinamicas.

I Degradacion quımica: Captura de calcio y rigidizaciondel tejido.

Aspectos mecanicos y quımicos de la valvula:

I Modo de fijacion al musculo cardiaco.

I Variacion de sus constantes elasticas:

I Degradacion mecanica: variacion de las condicionesdinamicas.

I Degradacion quımica: Captura de calcio y rigidizaciondel tejido.

Aspectos mecanicos y quımicos de la valvula:

I Modo de fijacion al musculo cardiaco.

I Variacion de sus constantes elasticas:I Degradacion mecanica: variacion de las condiciones

dinamicas.

I Degradacion quımica: Captura de calcio y rigidizaciondel tejido.

Aspectos mecanicos y quımicos de la valvula:

I Modo de fijacion al musculo cardiaco.

I Variacion de sus constantes elasticas:I Degradacion mecanica: variacion de las condiciones

dinamicas.I Degradacion quımica: Captura de calcio y rigidizacion

del tejido.

Condiciones dinamicas:

I Variaciones de presion, flujo oscilante.

I Aumento de esfuerzos en el tejido.

Condiciones dinamicas:

I Variaciones de presion, flujo oscilante.

I Aumento de esfuerzos en el tejido.

Captura de calcio:

I Deposito electroquımico.

I Muy especulativo.

Captura de calcio:

I Deposito electroquımico.

I Muy especulativo.

Primeras pruebas en el laboratorio (G. Pulos):

I Pruebas de elongacion de manera periodica del pericardio.

I Pruebas en seco y en suero.

I Determinacion de las fuerzas elasticas del material.

Primeras pruebas en el laboratorio (G. Pulos):

I Pruebas de elongacion de manera periodica del pericardio.

I Pruebas en seco y en suero.

I Determinacion de las fuerzas elasticas del material.

Primeras pruebas en el laboratorio (G. Pulos):

I Pruebas de elongacion de manera periodica del pericardio.

I Pruebas en seco y en suero.

I Determinacion de las fuerzas elasticas del material.

Primeras pruebas en el laboratorio (G. Pulos):

Ciclo de histeresis

Primeras pruebas en el laboratorio (G. Pulos):

I Registro de pruebas de traccion.

I Elongacion forzada

-5

0

5

10

15

20

25

30

35

40

-35 -34.5 -34 -33.5 -33 -32.5 -32 -31.5 -31

Ace

lera

cion

Elongacion

Rompimiento

Degradacion

Histeresis

Primeras pruebas en el laboratorio (G. Pulos):

I Registro de pruebas de traccion.

I Elongacion forzada

-5

0

5

10

15

20

25

30

35

40

-35 -34.5 -34 -33.5 -33 -32.5 -32 -31.5 -31

Ace

lera

cion

Elongacion

Rompimiento

Degradacion

Histeresis

Primeras pruebas en el laboratorio (G. Pulos):

I Registro de pruebas de traccion.

I Elongacion forzada

-5

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-35 -34.5 -34 -33.5 -33 -32.5 -32 -31.5 -31

Ace

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Elongacion

Rompimiento

Degradacion

Histeresis

Primeras pruebas en el laboratorio (G. Pulos):

I Registro de pruebas de traccion.

I Elongacion forzada

-5

0

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15

20

25

30

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40

-35 -34.5 -34 -33.5 -33 -32.5 -32 -31.5 -31

Ace

lera

cion

Elongacion

Rompimiento

Degradacion

Histeresis

Traccion y ciclo de histeresis

Ciclo de histeresis

Aumento de la histeresis y rompimiento

Ciclo de histeresis

Resultados experimentales:

I Comportamiento muy no lineal del tejido.

I Resorte flacido para pequenas oscilaciones k << 1.

I Resorte mas rıgido para oscilaciones mayores.

I Comportamiento histeretico = fuerzas no conservativas.

I Absorcion de energıa en un ciclo.

Fuerza

Elongacion

Elastico

Histeretico

Rompimiento

Resultados experimentales:

I Comportamiento muy no lineal del tejido.

I Resorte flacido para pequenas oscilaciones k << 1.

I Resorte mas rıgido para oscilaciones mayores.

I Comportamiento histeretico = fuerzas no conservativas.

I Absorcion de energıa en un ciclo.

Fuerza

Elongacion

Elastico

Histeretico

Rompimiento

Resultados experimentales:

I Comportamiento muy no lineal del tejido.

I Resorte flacido para pequenas oscilaciones k << 1.

I Resorte mas rıgido para oscilaciones mayores.

I Comportamiento histeretico = fuerzas no conservativas.

I Absorcion de energıa en un ciclo.

Fuerza

Elongacion

Elastico

Histeretico

Rompimiento

Resultados experimentales:

I Comportamiento muy no lineal del tejido.

I Resorte flacido para pequenas oscilaciones k << 1.

I Resorte mas rıgido para oscilaciones mayores.

I Comportamiento histeretico = fuerzas no conservativas.

I Absorcion de energıa en un ciclo.

Fuerza

Elongacion

Elastico

Histeretico

Rompimiento

Resultados experimentales:

I Comportamiento muy no lineal del tejido.

I Resorte flacido para pequenas oscilaciones k << 1.

I Resorte mas rıgido para oscilaciones mayores.

I Comportamiento histeretico = fuerzas no conservativas.

I Absorcion de energıa en un ciclo.

Fuerza

Elongacion

Elastico

Histeretico

Rompimiento

Modelo simple de una valva de la valvula:

I Modelo unidimensional.

I Modelo discreto:

I Cadena de eslabones de masa mi , i = 1, . . . ,NI Variables: angulo de flexion θi .I Fuerzas restitutivas de la posicion Fi (θi ) no

conservativas.

θθ

θ

θ

θ

12

3

4

5

Presion

musculo

Valvula

Modelo simple de una valva de la valvula:

I Modelo unidimensional.I Modelo discreto:

I Cadena de eslabones de masa mi , i = 1, . . . ,NI Variables: angulo de flexion θi .I Fuerzas restitutivas de la posicion Fi (θi ) no

conservativas.

θθ

θ

θ

θ

12

3

4

5

Presion

musculo

Valvula

Modelo simple de una valva de la valvula:

I Modelo unidimensional.I Modelo discreto:

I Cadena de eslabones de masa mi , i = 1, . . . ,N

I Variables: angulo de flexion θi .I Fuerzas restitutivas de la posicion Fi (θi ) no

conservativas.

θθ

θ

θ

θ

12

3

4

5

Presion

musculo

Valvula

Modelo simple de una valva de la valvula:

I Modelo unidimensional.I Modelo discreto:

I Cadena de eslabones de masa mi , i = 1, . . . ,NI Variables: angulo de flexion θi .

I Fuerzas restitutivas de la posicion Fi (θi ) noconservativas.

θθ

θ

θ

θ

12

3

4

5

Presion

musculo

Valvula

Modelo simple de una valva de la valvula:

I Modelo unidimensional.I Modelo discreto:

I Cadena de eslabones de masa mi , i = 1, . . . ,NI Variables: angulo de flexion θi .I Fuerzas restitutivas de la posicion Fi (θi ) no

conservativas.

θθ

θ

θ

θ

12

3

4

5

Presion

musculo

Valvula

Modelo de cadena de eslabones

Ciclo de histeresis

I Histeresis: Modelo lineal a trozos.

Fi(θi) =

kiθi − ai si θi > 0 ,

kiθi + ai si θi < 0 .

I Presion del flujo → Forzamiento periodico.

I Ecuacion de movimiento de cada segmento:

mi θi = Fi+1(θi+1 − θi)− Fi(θi − θi−1)

i = 2, 3, . . . ,N − 2

I Histeresis: Modelo lineal a trozos.

Fi(θi) =

kiθi − ai si θi > 0 ,

kiθi + ai si θi < 0 .

I Presion del flujo → Forzamiento periodico.

I Ecuacion de movimiento de cada segmento:

mi θi = Fi+1(θi+1 − θi)− Fi(θi − θi−1)

i = 2, 3, . . . ,N − 2

I Histeresis: Modelo lineal a trozos.

Fi(θi) =

kiθi − ai si θi > 0 ,

kiθi + ai si θi < 0 .

I Presion del flujo → Forzamiento periodico.

I Ecuacion de movimiento de cada segmento:

mi θi = Fi+1(θi+1 − θi)− Fi(θi − θi−1)

i = 2, 3, . . . ,N − 2

I Condiciones de frontera en la pared:

m1θ1 = F2(θ2 − θ1)− kAθ1

I Constante elastica del anillo → kA

I Condiciones de frontera libre:

mN θN = −FN(θN − θN−1) + p0A cos(ωt)

I Amplitud de forzamiento → p0A

I Condiciones de frontera en la pared:

m1θ1 = F2(θ2 − θ1)− kAθ1

I Constante elastica del anillo → kA

I Condiciones de frontera libre:

mN θN = −FN(θN − θN−1) + p0A cos(ωt)

I Amplitud de forzamiento → p0A

I Condiciones de frontera en la pared:

m1θ1 = F2(θ2 − θ1)− kAθ1

I Constante elastica del anillo → kA

I Condiciones de frontera libre:

mN θN = −FN(θN − θN−1) + p0A cos(ωt)

I Amplitud de forzamiento → p0A

I Condiciones de frontera en la pared:

m1θ1 = F2(θ2 − θ1)− kAθ1

I Constante elastica del anillo → kA

I Condiciones de frontera libre:

mN θN = −FN(θN − θN−1) + p0A cos(ωt)

I Amplitud de forzamiento → p0A

Modelo de degradacion del material

I Histeresis:

I La energıa disipada cambia la estructura del material.I La histeresis disipa energıa.I La constantes elasticas se relajan (k → 0).I dk

dt = −σ× Area del cıclo de histeresis

Modelo de degradacion del material

I Histeresis:I La energıa disipada cambia la estructura del material.

I La histeresis disipa energıa.I La constantes elasticas se relajan (k → 0).I dk

dt = −σ× Area del cıclo de histeresis

Modelo de degradacion del material

I Histeresis:I La energıa disipada cambia la estructura del material.I La histeresis disipa energıa.

I La constantes elasticas se relajan (k → 0).I dk

dt = −σ× Area del cıclo de histeresis

Modelo de degradacion del material

I Histeresis:I La energıa disipada cambia la estructura del material.I La histeresis disipa energıa.I La constantes elasticas se relajan (k → 0).

I dkdt = −σ× Area del cıclo de histeresis

Modelo de degradacion del material

I Histeresis:I La energıa disipada cambia la estructura del material.I La histeresis disipa energıa.I La constantes elasticas se relajan (k → 0).I dk

dt = −σ× Area del cıclo de histeresis

I Calcificacion:

I El aumento del calcio en el material rigidiza al material(k →∞).

I Interaccion:

I La extension del materia aumenta la captacion de calcio.I dkc

dt = ρ× cambio de extension del material/segundo

I Calcificacion:I El aumento del calcio en el material rigidiza al material

(k →∞).

I Interaccion:

I La extension del materia aumenta la captacion de calcio.I dkc

dt = ρ× cambio de extension del material/segundo

I Calcificacion:I El aumento del calcio en el material rigidiza al material

(k →∞).

I Interaccion:

I La extension del materia aumenta la captacion de calcio.I dkc

dt = ρ× cambio de extension del material/segundo

I Calcificacion:I El aumento del calcio en el material rigidiza al material

(k →∞).

I Interaccion:I La extension del materia aumenta la captacion de calcio.

I dkcdt = ρ× cambio de extension del material/segundo

I Calcificacion:I El aumento del calcio en el material rigidiza al material

(k →∞).

I Interaccion:I La extension del materia aumenta la captacion de calcio.I dkc

dt = ρ× cambio de extension del material/segundo

Modelo simplificado de tres resortes:

Bloque de elementos danados (saturacion de calcio)

+Amarre al anillo elastico

m1θ1 + k1θ1 − F2(θ2 − θ1) = 0

k1 =kckA

kc + kA

Bloque de elementos no danados+

Forzamiento del fluido

m2θ2 + F2(θ2 − θ1) = p0A cos(ωt)

Modelo simplificado de tres resortes:

Bloque de elementos danados (saturacion de calcio)+

Amarre al anillo elastico

m1θ1 + k1θ1 − F2(θ2 − θ1) = 0

k1 =kckA

kc + kA

Bloque de elementos no danados+

Forzamiento del fluido

m2θ2 + F2(θ2 − θ1) = p0A cos(ωt)

Modelo simplificado de tres resortes:

Bloque de elementos danados (saturacion de calcio)+

Amarre al anillo elastico

m1θ1 + k1θ1 − F2(θ2 − θ1) = 0

k1 =kckA

kc + kA

Bloque de elementos no danados+

Forzamiento del fluido

m2θ2 + F2(θ2 − θ1) = p0A cos(ωt)

Modelo simplificado de tres resortes:

Bloque de elementos danados (saturacion de calcio)+

Amarre al anillo elastico

m1θ1 + k1θ1 − F2(θ2 − θ1) = 0

k1 =kckA

kc + kA

Bloque de elementos no danados+

Forzamiento del fluido

m2θ2 + F2(θ2 − θ1) = p0A cos(ωt)

Modelo simplificado de tres resortes:

Bloque de elementos danados (saturacion de calcio)+

Amarre al anillo elastico

m1θ1 + k1θ1 − F2(θ2 − θ1) = 0

k1 =kckA

kc + kA

Bloque de elementos no danados

+Forzamiento del fluido

m2θ2 + F2(θ2 − θ1) = p0A cos(ωt)

Modelo simplificado de tres resortes:

Bloque de elementos danados (saturacion de calcio)+

Amarre al anillo elastico

m1θ1 + k1θ1 − F2(θ2 − θ1) = 0

k1 =kckA

kc + kA

Bloque de elementos no danados+

Forzamiento del fluido

m2θ2 + F2(θ2 − θ1) = p0A cos(ωt)

Modelo simplificado de tres resortes:

Bloque de elementos danados (saturacion de calcio)+

Amarre al anillo elastico

m1θ1 + k1θ1 − F2(θ2 − θ1) = 0

k1 =kckA

kc + kA

Bloque de elementos no danados+

Forzamiento del fluido

m2θ2 + F2(θ2 − θ1) = p0A cos(ωt)

Modelo simplificado de tres resortes:

Bloque de elementos danados (saturacion de calcio)+

Amarre al anillo elastico

m1θ1 + k1θ1 − F2(θ2 − θ1) = 0

k1 =kckA

kc + kA

Bloque de elementos no danados+

Forzamiento del fluido

m2θ2 + F2(θ2 − θ1) = p0A cos(ωt)

Oscilacion de las dos placas y el ciclo lımite

Ciclo de histeresis

Calcificacion del elemento danado (kc):

dkc

dt=

ρ

T

∫ T

0

(θ1

)+

dt

Relajacion del medio no danado

dk2

dt= − σ

T

∫ T

0

F (θ2 − θ1)(θ2 − θ1

)dt

Calcificacion del elemento danado (kc):

dkc

dt=

ρ

T

∫ T

0

(θ1

)+

dt

Relajacion del medio no danado

dk2

dt= − σ

T

∫ T

0

F (θ2 − θ1)(θ2 − θ1

)dt

Calcificacion del elemento danado (kc):

dkc

dt=

ρ

T

∫ T

0

(θ1

)+

dt

Relajacion del medio no danado

dk2

dt= − σ

T

∫ T

0

F (θ2 − θ1)(θ2 − θ1

)dt

Calcificacion del elemento danado (kc):

dkc

dt=

ρ

T

∫ T

0

(θ1

)+

dt

Relajacion del medio no danado

dk2

dt= − σ

T

∫ T

0

F (θ2 − θ1)(θ2 − θ1

)dt

Exploracion de la dinamica del modelo

I Modelo no lineal (histeresis)

I Parametros pequenos: a, σ, ρ mucho menores que ω.

I Metodo de promedios:

I Suponer k1, k2 constantes y a = 0 (sistema lineal)I Solucion (lineal) → ciclo lımite(

θp1

θ2

)=

(pq

)cos(ωt)

I p y q satisfacen la ecuacion:(ω2 − k1+k2

m1− k2

m1

− k2m1

ω2 − k2m1

)(pq

)=

(0B

)

siendo B = p0Am1

Exploracion de la dinamica del modelo

I Modelo no lineal (histeresis)

I Parametros pequenos: a, σ, ρ mucho menores que ω.

I Metodo de promedios:

I Suponer k1, k2 constantes y a = 0 (sistema lineal)I Solucion (lineal) → ciclo lımite(

θp1

θ2

)=

(pq

)cos(ωt)

I p y q satisfacen la ecuacion:(ω2 − k1+k2

m1− k2

m1

− k2m1

ω2 − k2m1

)(pq

)=

(0B

)

siendo B = p0Am1

Exploracion de la dinamica del modelo

I Modelo no lineal (histeresis)

I Parametros pequenos: a, σ, ρ mucho menores que ω.

I Metodo de promedios:

I Suponer k1, k2 constantes y a = 0 (sistema lineal)I Solucion (lineal) → ciclo lımite(

θp1

θ2

)=

(pq

)cos(ωt)

I p y q satisfacen la ecuacion:(ω2 − k1+k2

m1− k2

m1

− k2m1

ω2 − k2m1

)(pq

)=

(0B

)

siendo B = p0Am1

Exploracion de la dinamica del modelo

I Modelo no lineal (histeresis)

I Parametros pequenos: a, σ, ρ mucho menores que ω.

I Metodo de promedios:I Suponer k1, k2 constantes y a = 0 (sistema lineal)

I Solucion (lineal) → ciclo lımite(θp

1

θ2

)=

(pq

)cos(ωt)

I p y q satisfacen la ecuacion:(ω2 − k1+k2

m1− k2

m1

− k2m1

ω2 − k2m1

)(pq

)=

(0B

)

siendo B = p0Am1

Exploracion de la dinamica del modelo

I Modelo no lineal (histeresis)

I Parametros pequenos: a, σ, ρ mucho menores que ω.

I Metodo de promedios:I Suponer k1, k2 constantes y a = 0 (sistema lineal)I Solucion (lineal) → ciclo lımite(

θp1

θ2

)=

(pq

)cos(ωt)

I p y q satisfacen la ecuacion:(ω2 − k1+k2

m1− k2

m1

− k2m1

ω2 − k2m1

)(pq

)=

(0B

)

siendo B = p0Am1

Exploracion de la dinamica del modelo

I Modelo no lineal (histeresis)

I Parametros pequenos: a, σ, ρ mucho menores que ω.

I Metodo de promedios:I Suponer k1, k2 constantes y a = 0 (sistema lineal)I Solucion (lineal) → ciclo lımite(

θp1

θ2

)=

(pq

)cos(ωt)

I p y q satisfacen la ecuacion:(ω2 − k1+k2

m1− k2

m1

− k2m1

ω2 − k2m1

)(pq

)=

(0B

)

siendo B = p0Am1

I Metodo de promedios:

I Solucion, suponiendo k1 >> k2:

q =B

ω2 − k2m1

(1 +

k22/m1

ω2 − ( k1m1

+ k2m1

)

)p =

k2B/m1(ω2 − k1

m1

)ω2

I Donde q >> p y k1 ↑⇒ q ↑I Histeresis:

I Solo se considera a θ2 histererica ( k1 >> k2)I Se debe incluir la solucion homogenea histeretica

(solucion amortiguada):

h+(t) si θ2 > 0

h−(t) si θ2 < 0

I Ciclo lımite: matching de la solucion homogenea yparticular en un ciclo (θ2( 2π

ω ) = θ2(0))

I Metodo de promedios:I Solucion, suponiendo k1 >> k2:

q =B

ω2 − k2m1

(1 +

k22/m1

ω2 − ( k1m1

+ k2m1

)

)p =

k2B/m1(ω2 − k1

m1

)ω2

I Donde q >> p y k1 ↑⇒ q ↑I Histeresis:

I Solo se considera a θ2 histererica ( k1 >> k2)I Se debe incluir la solucion homogenea histeretica

(solucion amortiguada):

h+(t) si θ2 > 0

h−(t) si θ2 < 0

I Ciclo lımite: matching de la solucion homogenea yparticular en un ciclo (θ2( 2π

ω ) = θ2(0))

I Metodo de promedios:I Solucion, suponiendo k1 >> k2:

q =B

ω2 − k2m1

(1 +

k22/m1

ω2 − ( k1m1

+ k2m1

)

)p =

k2B/m1(ω2 − k1

m1

)ω2

I Donde q >> p y k1 ↑⇒ q ↑

I Histeresis:

I Solo se considera a θ2 histererica ( k1 >> k2)I Se debe incluir la solucion homogenea histeretica

(solucion amortiguada):

h+(t) si θ2 > 0

h−(t) si θ2 < 0

I Ciclo lımite: matching de la solucion homogenea yparticular en un ciclo (θ2( 2π

ω ) = θ2(0))

I Metodo de promedios:I Solucion, suponiendo k1 >> k2:

q =B

ω2 − k2m1

(1 +

k22/m1

ω2 − ( k1m1

+ k2m1

)

)p =

k2B/m1(ω2 − k1

m1

)ω2

I Donde q >> p y k1 ↑⇒ q ↑I Histeresis:

I Solo se considera a θ2 histererica ( k1 >> k2)I Se debe incluir la solucion homogenea histeretica

(solucion amortiguada):

h+(t) si θ2 > 0

h−(t) si θ2 < 0

I Ciclo lımite: matching de la solucion homogenea yparticular en un ciclo (θ2( 2π

ω ) = θ2(0))

I Metodo de promedios:I Solucion, suponiendo k1 >> k2:

q =B

ω2 − k2m1

(1 +

k22/m1

ω2 − ( k1m1

+ k2m1

)

)p =

k2B/m1(ω2 − k1

m1

)ω2

I Donde q >> p y k1 ↑⇒ q ↑I Histeresis:

I Solo se considera a θ2 histererica ( k1 >> k2)

I Se debe incluir la solucion homogenea histeretica(solucion amortiguada):

h+(t) si θ2 > 0

h−(t) si θ2 < 0

I Ciclo lımite: matching de la solucion homogenea yparticular en un ciclo (θ2( 2π

ω ) = θ2(0))

I Metodo de promedios:I Solucion, suponiendo k1 >> k2:

q =B

ω2 − k2m1

(1 +

k22/m1

ω2 − ( k1m1

+ k2m1

)

)p =

k2B/m1(ω2 − k1

m1

)ω2

I Donde q >> p y k1 ↑⇒ q ↑I Histeresis:

I Solo se considera a θ2 histererica ( k1 >> k2)I Se debe incluir la solucion homogenea histeretica

(solucion amortiguada):

h+(t) si θ2 > 0

h−(t) si θ2 < 0

I Ciclo lımite: matching de la solucion homogenea yparticular en un ciclo (θ2( 2π

ω ) = θ2(0))

I Metodo de promedios:I Solucion, suponiendo k1 >> k2:

q =B

ω2 − k2m1

(1 +

k22/m1

ω2 − ( k1m1

+ k2m1

)

)p =

k2B/m1(ω2 − k1

m1

)ω2

I Donde q >> p y k1 ↑⇒ q ↑I Histeresis:

I Solo se considera a θ2 histererica ( k1 >> k2)I Se debe incluir la solucion homogenea histeretica

(solucion amortiguada):

h+(t) si θ2 > 0

h−(t) si θ2 < 0

I Ciclo lımite: matching de la solucion homogenea yparticular en un ciclo (θ2( 2π

ω ) = θ2(0))

Estimacion de dk2dt

I Calculo de la energıa disipada:

I Integral de trabajo∫ 2π/ω1

0F (θ2 − θ1)× (θ2 − θ1)dt

I Consideramos a θ2 el ciclo lımite histeretico y θ1 lasolucion lineal.

Estimacion de dk2dt

I Calculo de la energıa disipada:I Integral de trabajo∫ 2π/ω1

0F (θ2 − θ1)× (θ2 − θ1)dt

I Consideramos a θ2 el ciclo lımite histeretico y θ1 lasolucion lineal.

Estimacion de dk2dt

I Calculo de la energıa disipada:I Integral de trabajo∫ 2π/ω1

0F (θ2 − θ1)× (θ2 − θ1)dt

I Consideramos a θ2 el ciclo lımite histeretico y θ1 lasolucion lineal.

I Cambio de k2:

I Proporcional a: − <promedio del trabajo>I Considerando ω >> k2/m1:

dk2

dt= −4Bam2

1

k22 m2

1

1−

(k2m1

)2

Λ

Λ = ω2 − k1

m1k1 =

kAkc

kA + kc

I Cambio de k2:I Proporcional a: − <promedio del trabajo>

I Considerando ω >> k2/m1:

dk2

dt= −4Bam2

1

k22 m2

1

1−

(k2m1

)2

Λ

Λ = ω2 − k1

m1k1 =

kAkc

kA + kc

I Cambio de k2:I Proporcional a: − <promedio del trabajo>I Considerando ω >> k2/m1:

dk2

dt= −4Bam2

1

k22 m2

1

1−

(k2m1

)2

Λ

Λ = ω2 − k1

m1k1 =

kAkc

kA + kc

Dinamica sin anillo elastico: kA →∞

I Si kc ↑⇒ Λ ↑

I Ecuacion de k2

1

Λ + (k22/m1)

(k2

m1

)2d

dt

(k2

m1

)= −4Ba

m1= −µ

I Solucion

k2(s)

m1−√

Λ arctan

(k2(s)

m1

√Λ

)∣∣∣∣t0

= −µt

I k2 se anula en tiempo finito tz

Dinamica sin anillo elastico: kA →∞

I Si kc ↑⇒ Λ ↑I Ecuacion de k2

1

Λ + (k22/m1)

(k2

m1

)2d

dt

(k2

m1

)= −4Ba

m1= −µ

I Solucion

k2(s)

m1−√

Λ arctan

(k2(s)

m1

√Λ

)∣∣∣∣t0

= −µt

I k2 se anula en tiempo finito tz

Dinamica sin anillo elastico: kA →∞

I Si kc ↑⇒ Λ ↑I Ecuacion de k2

1

Λ + (k22/m1)

(k2

m1

)2d

dt

(k2

m1

)= −4Ba

m1= −µ

I Solucion

k2(s)

m1−√

Λ arctan

(k2(s)

m1

√Λ

)∣∣∣∣t0

= −µt

I k2 se anula en tiempo finito tz

Dinamica sin anillo elastico: kA →∞

I Si kc ↑⇒ Λ ↑I Ecuacion de k2

1

Λ + (k22/m1)

(k2

m1

)2d

dt

(k2

m1

)= −4Ba

m1= −µ

I Solucion

k2(s)

m1−√

Λ arctan

(k2(s)

m1

√Λ

)∣∣∣∣t0

= −µt

I k2 se anula en tiempo finito tz

I Si Λ = 0, el tiempo tz = k2(0)m1µ

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0 0.5 1 1.5 2

k2/m

t

Lambda= infinito

Lambda=0

W

Variacion de k /m en el tiempo2 1

I Si Λ→∞

k2(t)

m1=

((k2(0)

m1

)3

− µt

)1/3

I Si Λ = 0, el tiempo tz = k2(0)m1µ

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0 0.5 1 1.5 2

k2/m

t

Lambda= infinito

Lambda=0

W

Variacion de k /m en el tiempo2 1

I Si Λ→∞

k2(t)

m1=

((k2(0)

m1

)3

− µt

)1/3

I dk2

dt<< 0 si k2 → 0

I Experimentos: (G. Pulos)

-5

0

5

10

15

20

25

30

35

40

-35 -34.5 -34 -33.5 -33 -32.5 -32 -31.5 -31

Ace

lera

cion

Elongacion

Rompimiento

Degradacion

Histeresis

I dk2

dt<< 0 si k2 → 0

I Experimentos: (G. Pulos)

-5

0

5

10

15

20

25

30

35

40

-35 -34.5 -34 -33.5 -33 -32.5 -32 -31.5 -31

Ace

lera

cion

Elongacion

Rompimiento

Degradacion

Histeresis

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0 0.5 1 1.5 2

k2/m

t

Lambda= infinito

Lambda=0

W

Variacion de k /m en el tiempo2 1

I Antes del rompimiento ⇒ resorte muy flacido

I Umbral de ruptura: Si k2

m1< WR ⇒ Rompimiento

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0 0.5 1 1.5 2

k2/m

t

Lambda= infinito

Lambda=0

W

Variacion de k /m en el tiempo2 1

I Antes del rompimiento ⇒ resorte muy flacido

I Umbral de ruptura: Si k2

m1< WR ⇒ Rompimiento

Efecto del anillo en el retardo del rompimiento

I La rigidez del anillo kA limita a k1:

k1 =kAkc

kA + kc

I Si kc →∞ ⇒ k1 → kA

I k1 ↓ ⇒ Λ ↑ ⇒ Tiempo de ruptura mayor

Efecto del anillo en el retardo del rompimiento

I La rigidez del anillo kA limita a k1:

k1 =kAkc

kA + kc

I Si kc →∞ ⇒ k1 → kA

I k1 ↓ ⇒ Λ ↑ ⇒ Tiempo de ruptura mayor

Efecto del anillo en el retardo del rompimiento

I La rigidez del anillo kA limita a k1:

k1 =kAkc

kA + kc

I Si kc →∞ ⇒ k1 → kA

I k1 ↓ ⇒ Λ ↑ ⇒ Tiempo de ruptura mayor

I Tiempo de ruptura en funcion de Λ

dTdΛ

= 1µ

{„Λ+

“WRm1

”2«

arctan

„WR

m1√

λ

«− WR

m1√

Λ√

Λ(Λ+(WR/m1)2)

−

„Λ+

“k2(0)m1

”2«

arctan

„k2(0)

m1√

λ

«− WR

m1√

Λ√

Λ(Λ+(k2(0)/m1)2)

}

I Si Λ→ 0 ⇒ dTdΛ

> 0

I Si Λ→∞ ⇒ dTdΛ

< 0

I Debe existir Λ∗ tal que T (Λ) alcanza su maximo

I Tiempo de ruptura en funcion de Λ

dTdΛ

= 1µ

{„Λ+

“WRm1

”2«

arctan

„WR

m1√

λ

«− WR

m1√

Λ√

Λ(Λ+(WR/m1)2)

−

„Λ+

“k2(0)m1

”2«

arctan

„k2(0)

m1√

λ

«− WR

m1√

Λ√

Λ(Λ+(k2(0)/m1)2)

}

I Si Λ→ 0 ⇒ dTdΛ

> 0

I Si Λ→∞ ⇒ dTdΛ

< 0

I Debe existir Λ∗ tal que T (Λ) alcanza su maximo

I Tiempo de ruptura en funcion de Λ

dTdΛ

= 1µ

{„Λ+

“WRm1

”2«

arctan

„WR

m1√

λ

«− WR

m1√

Λ√

Λ(Λ+(WR/m1)2)

−

„Λ+

“k2(0)m1

”2«

arctan

„k2(0)

m1√

λ

«− WR

m1√

Λ√

Λ(Λ+(k2(0)/m1)2)

}

I Si Λ→ 0 ⇒ dTdΛ

> 0

I Si Λ→∞ ⇒ dTdΛ

< 0

I Debe existir Λ∗ tal que T (Λ) alcanza su maximo

I Tiempo de ruptura en funcion de Λ

dTdΛ

= 1µ

{„Λ+

“WRm1

”2«

arctan

„WR

m1√

λ

«− WR

m1√

Λ√

Λ(Λ+(WR/m1)2)

−

„Λ+

“k2(0)m1

”2«

arctan

„k2(0)

m1√

λ

«− WR

m1√

Λ√

Λ(Λ+(k2(0)/m1)2)

}

I Si Λ→ 0 ⇒ dTdΛ

> 0

I Si Λ→∞ ⇒ dTdΛ

< 0

I Debe existir Λ∗ tal que T (Λ) alcanza su maximo

Efecto del calcio en la rigidez de kc

I El cambio de kc es proporcional al trabajo en un ciclo

dkc

dt=

ρ

T

∫ T

0

(θ1

)+

dt =ρ

2

Bk2

Λ

Cambio de la histeresis y la calcificacion

Ciclo de histeresis

I Como Λ = ω2 − kAkc

kA+kcpodemos integrar kc en funcion del

tiempo

I Si kA grande ⇒ anillo rıgido ⇒:

kc(t) = ω2 − (ω2 − kc(0)) exp(−ρ2

Bk2t)

I Si kA pequeno ⇒ anillo flexible ⇒:

kc(t) = kc(0) +ρ

2ω2Bk2t

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

1.6

1.8

2

2.2

2.4

0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50

K_C

t

Saturacion

Saturacion

K_A nulo

I Como Λ = ω2 − kAkc

kA+kcpodemos integrar kc en funcion del

tiempoI Si kA grande ⇒ anillo rıgido ⇒:

kc(t) = ω2 − (ω2 − kc(0)) exp(−ρ2

Bk2t)

I Si kA pequeno ⇒ anillo flexible ⇒:

kc(t) = kc(0) +ρ

2ω2Bk2t

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

1.6

1.8

2

2.2

2.4

0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50

K_C

t

Saturacion

Saturacion

K_A nulo

I Como Λ = ω2 − kAkc

kA+kcpodemos integrar kc en funcion del

tiempoI Si kA grande ⇒ anillo rıgido ⇒:

kc(t) = ω2 − (ω2 − kc(0)) exp(−ρ2

Bk2t)

I Si kA pequeno ⇒ anillo flexible ⇒:

kc(t) = kc(0) +ρ

2ω2Bk2t

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

1.6

1.8

2

2.2

2.4

0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50

K_C

t

Saturacion

Saturacion

K_A nulo

I Saturacion de calcio en la membrana

dkc

dt=

{ρ2

Bk2

Λ− µk2

c elongacion > Ec

0 elongacion < Ec

I La flexibilidad de anillo retarda la calcificacion

I Saturacion de calcio en la membrana

dkc

dt=

{ρ2

Bk2

Λ− µk2

c elongacion > Ec

0 elongacion < Ec

I La flexibilidad de anillo retarda la calcificacion

Acoplamiento de la histeresis y la calcificacion

I Poca elongacion ⇒ Poca histeresis

I Poca elongacion ⇒ Poca calcificacionI Ciclo de degradacion

(θ − θ ) < Umbral ?

histeresis a

calcificacion k

(θ − θ ) (θ − θ ) < ruptura?

2 1

2 1 2 1

c

no

si

no

si

(θ − θ )2 1

anillo elastico?si

noFALLA

I Se necesita estudiar experimentalmente el acoplamientohisteresis–calcificacion

Acoplamiento de la histeresis y la calcificacion

I Poca elongacion ⇒ Poca histeresisI Poca elongacion ⇒ Poca calcificacion

I Ciclo de degradacion

(θ − θ ) < Umbral ?

histeresis a

calcificacion k

(θ − θ ) (θ − θ ) < ruptura?

2 1

2 1 2 1

c

no

si

no

si

(θ − θ )2 1

anillo elastico?si

noFALLA

I Se necesita estudiar experimentalmente el acoplamientohisteresis–calcificacion

Acoplamiento de la histeresis y la calcificacion

I Poca elongacion ⇒ Poca histeresisI Poca elongacion ⇒ Poca calcificacionI Ciclo de degradacion

(θ − θ ) < Umbral ?

histeresis a

calcificacion k

(θ − θ ) (θ − θ ) < ruptura?

2 1

2 1 2 1

c

no

si

no

si

(θ − θ )2 1

anillo elastico?si

noFALLA

I Se necesita estudiar experimentalmente el acoplamientohisteresis–calcificacion

Acoplamiento de la histeresis y la calcificacion

I Poca elongacion ⇒ Poca histeresisI Poca elongacion ⇒ Poca calcificacionI Ciclo de degradacion

(θ − θ ) < Umbral ?

histeresis a

calcificacion k

(θ − θ ) (θ − θ ) < ruptura?

2 1

2 1 2 1

c

no

si

no

si

(θ − θ )2 1

anillo elastico?si

noFALLA

I Se necesita estudiar experimentalmente el acoplamientohisteresis–calcificacion

Efecto en las valvas debido al anillo elastico

I Modelo simplificado de un sistema de dos valvas

I Mitad del anillo rıgido – Mitad del anillo flexible

Efecto en las valvas debido al anillo elastico

I Modelo simplificado de un sistema de dos valvasI Mitad del anillo rıgido – Mitad del anillo flexible

Analisis de datos clınicos

I Valvulas de Ionescu: Modelo de anillo rıgido

I Valvulas de Carpentier: Modelo de anillo flexible

I Estudio de fallas estructurales de estas valvulas durante15 anos

I Resultado consistente con las prediciones de nuestroestudio

Analisis de datos clınicos

I Valvulas de Ionescu: Modelo de anillo rıgido

I Valvulas de Carpentier: Modelo de anillo flexible

I Estudio de fallas estructurales de estas valvulas durante15 anos

I Resultado consistente con las prediciones de nuestroestudio

Analisis de datos clınicos

I Valvulas de Ionescu: Modelo de anillo rıgido

I Valvulas de Carpentier: Modelo de anillo flexible

I Estudio de fallas estructurales de estas valvulas durante15 anos

I Resultado consistente con las prediciones de nuestroestudio

Analisis de datos clınicos

I Valvulas de Ionescu: Modelo de anillo rıgido

I Valvulas de Carpentier: Modelo de anillo flexible

I Estudio de fallas estructurales de estas valvulas durante15 anos

I Resultado consistente con las prediciones de nuestroestudio