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8/17/2019 Compendio Di Matematica Finanziaria (Classica e
Moderna)
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Compendio di
I volumi di base
43/4
EDIZIONI
EIMONS
MatematicaFinanziaria
G r u p p o E d i t o r i a l e E s s e l i b r i - S i m
o n e
Carla Iodice
IV Edizione
(classica e moderna)
i COMPENDIpiù venduti
in Italia
Rappresentazioni grafiche esplicative
Dimostrazioni delle espressioni analitiche
Esempi su fogli di lavoro in Excel
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TUTTI I DIRITTI RISERVATI
Vietata la riproduzione anche parziale
Di particolare interesse per i lettori di questo volume
segnaliamo:
43/1 - Compendio di Statistica
43/2 - Esercizi svolti per la prova di Statistica
43/3 - Prepararsi per l’esame di Statistica
43/6 - Compendio di Statistica Economica
43/10 - Compendio di Econometria
44/6 - Compendio di Matematica per l’Economia
201 - Nozioni elementari di Statistica
201/1 - Elementi di Matematica per l’Economia
Microsoft Excel è un marchio registrato dalla Microsoft
Corporation
La casa editrice desidera ringraziare il dott. Stefano Lanna per
la preziosa consulenza sugli strumenti
finanziari derivatiI fogli Excel riportati nel volume possono
essere scaricati al seguente indirizzo
internethttp://www.simone.it/catalogo/v43_4.htm
Finito di stampare nel mese di gennaio 2011
dalla Litografia Enzo Celebrano - Via Campana, 234 - Pozzuoli
(NA)per conto della Esselibri S.p.A. - Via F. Russo 33/D - 80123 -
Napoli
Grafica di copertina a cura di Giuseppe Ragno
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PREMESSA
Il testo offre una trattazione sistematica dei principali
argomenti che normalmente costitui-scono i contenuti di un corso
universitario di Matematica finanziaria.
Il volume si divide, sostanzialmente, in due parti:
— la prima fornisce i fondamenti della matematica finanziaria
classica, volta allo studio e allavalutazione delle operazioni
finanziarie effettuate in condizioni di certezza;
— la seconda fornisce gli strumenti fondamentali per la
comprensione della realtà dei mercatifinanziari e dei modelli per
la valutazione di scelte operate in condizioni di incertezza
elabo-rati dalla matematica finanziaria moderna.
Un ultimo capitolo è dedicato alla teoria della probabilità e
delle variabili casuali, volta adare un significato numerico al
concetto di incertezza. A tale capitolo si deve ricorrere ognivolta
che nel testo è stato fatto un richiamo ai concetti e alle
definizioni proprie della disciplina.
Si è ritenuto utile corredare ciascun capitolo di esempi svolti
in Excel, in quanto diversiproblemi di interesse finanziario
possono essere risolti tramite l’uso di fogli elettronici, nonsolo
grazie alle numerose funzioni finanziarie predefinite, ma anche
avvalendosi direttamentedelle espressioni analitiche risolutive di
tali problemi.
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Moderna)
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ALFABETO GRECO
Α α alfaΒ β beta
Γ γ gamma∆ δ deltaΕ ε epsilonΖ ζ zetaΗ η etaΘ θ ϑ
theta
INDICE DEI SIMBOLI
> maggiore< minore≥ maggiore o uguale≤ minore o uguale≠
diverso da∞ infinito→ tende a∀ per ogni
∼ distribuito come≅ circa uguale a± più o meno
ABBREVIAZIONI
Ι ι iotaΚ κ kappa
Λ λ lambdaΜ µ miΝ ν niΞ ξ xiΟ ο òmicronΠ π
pi
Ρ ρ rhoΣ σ sigma
Τ τ tau Υ υ ypsilonΦ ϕ φ phi
Χ χ chiΨ ψ psiΩ ω òmega
log(.) logaritmo in base 10ln(.) logaritmo neperianoe numero di
Nepero
exp -1( )
1
e
lim limite∂ derivata parziale
∫ integrale∑ sommatoria∏ produttoria
an i
valore attuale di una rendita nel
regime finanziario dell’interesse
compostos
n imontante di una rendita nel regi-
me finanziario dell’interesse com-
posto
Cov(.,.) covarianza D(.) devianza E (.) valore
medio
v.c. variabile casualeVar (.) varianza
TAN tasso annuo nominaleTAEG tasso annuo effettivo globale
TIR tasso interno di rendimento
TRES tasso di rendimento effettivo a sca-
denza
TRI tasso di rendimento immediato
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CAPITOLO PRIMO
LEGGI E REGIMI FINANZIARI
SOMMARIO: 1. Introduzione alle operazioni finanziarie. - 2.
Regime finanziario dell’interesse semplice edello sconto razionale.
- 3. Regime finanziario dell’interesse e dello sconto composto. -
4. Tassi equivalenti.- 5. Tassi nominali e tassi istantanei. - 6.
Convenzione lineare e convenzione esponenziale. - 7.
Regimefinanziario degli interessi anticipati e dello sconto
commerciale. - 8. Confronto tra i regimi finanziari. - 9.
Forzad’interesse. - 10. Scindibilità delle leggi finanziarie. - 11.
Principio dell’equivalenza finanziaria. - 12. Scadenzamedia e tasso
medio. - Questionario.
1. INTRODUZIONE ALLE OPERAZIONI FINANZIARIE
La risoluzione di diversi problemi di natura
economico-finanziaria richiede l’utilizzo distrumenti di analisi
mediante i quali sia possibile mettere a confronto, in uno stesso
momento,parametri economici non omogenei dal punto di vista
temporale.
La matematica finanziaria è quella branca della matematica che
si occupa di tali problemi,fornendo gli elementi teorici necessari
per la loro formalizzazione e relativa risoluzione.
L’evoluzione dell’economia ha decisamente ampliato il suo campo
d’azione che, allo stato
attuale, non solo comprende la soluzione di problemi relativi
alla valutazione di operazionieconomiche strettamente legate al
credito, come nella sua accezione tradizionale, ma rappresen-ta un
valido supporto per la risoluzione di problemi di natura
decisionale laddove bisognaeffettuare una valutazione economica tra
più alternative possibili.
In questo testo si rispetterà l’accezione corrente della
matematica finanziaria che la vede articolatain matematica
finanziaria classica, i cui elementi fondamentali sono le
leggi e i regimi finanziari,le rendite, i piani di ammortamento e
la valutazione di numerose altre operazioni finanziarie certe, ein
matematica finanziaria moderna che fornisce gli strumenti per
la comprensione della realtà deimercati finanziari e dei modelli
elaborati per la valutazione di scelte operate in condizioni di
incertezza.
La disciplina ha per oggetto di studio le operazioni
finanziarie, ossia operazioni cheimpiegano capitali monetari, cioè
operazioni di scambio di moneta contro moneta in tempidiversi.
Essa stabilisce i criteri in base ai quali valutare i capitali
utilizzati nelle operazionifinanziarie e le funzioni che consentono
la determinazione del capitale in qualunque momento.Il suo scopo
principale è trasferire valori monetari nel
tempo consentendo la loro compara-bilità, prescindendo da
qualsiasi considerazione circa il potere di acquisto di tali valori
che varianel tempo a causa di situazioni d’inflazione o di
deflazione.
In base a tale obiettivo, le operazioni finanziarie si
distinguono in operazioni di:
— capitalizzazione se i valori monetari sono trasferiti
avanti nel tempo;
— attualizzazione se i valori monetari sono trasferiti
indietro nel tempo.Un’operazione finanziaria si estrinseca in una
sequenza temporale, finita o infinita, di somme
di denaro in entrata e in uscita, cioè di segni non tutti
concordi, disponibili in epoche diverse.
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Capitolo Primo6
Gli elementi fondamentali di un’operazione finanziaria
sono: importi e scadenze.
Sulla base di questi due elementi si effettua una prima
distinzione tra:
— operazioni finanziarie certe che sono quelle i cui
importi si rendono disponibili a determi-
nate scadenze con certezza;— operazioni finanziarie
aleatorie che sono quelle i cui importi si rendono disponibili
solo sesi verificano eventi aleatori.
Gli importi e le scadenze di un’operazione finanziaria possono
essere rappresentati attraversovettori del tipo x
| t, dove x =
{ x 0, x 1, x 2, …, x n}
sono i flussi di cassa (di diverso segno, anchenulli) relativi agli
n tempi sintetizzati dal vettore t = {0, 1, 2, …, n}.
Poiché tale notazioneappesantisce la trattazione, in questo testo
preferiamo evitarla.
Si consideri un’operazione finanziaria semplice consistente
nello scambio, tra due individui,
A e B, di due capitali, rispettivamente
C e M (con M > C ), in
due successivi istanti di tempo, x e y, con 0
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8/17/2019 Compendio Di Matematica Finanziaria (Classica e
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Leggi e regimi finanziari 7
Se nell’operazione finanziaria, invece, l’elemento fondamentale
è il capitale M dovuto allascadenza, allora C si
dice valore attuale al tempo x del
capitale M dovuto al tempo y. Si
dicesconto sul capitale M per l’anticipo dal
tempo y al tempo x , la quantità:
D = M – C (1.3)
da cui:C = M – D (1.4)
Dalle relazioni (1.1) e (1.3) si evince
che I = D.
Per generalizzare i calcoli si assume C = 1, e si
usano le seguenti notazioni:
— i è il tasso effettivo d’interesse prodotto da un
capitale unitario, relativo al periodoconsiderato:
i
I
C = (1.5)
— r è il montante di un capitale unitario, al termine
del periodo considerato:
r M
C = (1.6)
che, date le relazioni (1.2) e (1.5), è uguale a:
r M
C
C I
C
C Ci
C
i= = +
= +
= +1 (1.7)
ed è detto fattore di montante o fattore di
capitalizzazione;
— d è il tasso effettivo di sconto relativo al
periodo considerato, ossia lo sconto su ogni unitàdi capitale
dovuta alla scadenza:
d D
M = (1.8)
— v è il valore attuale, all’inizio del periodo per ogni
unità di capitale dovuta al termine delperiodo:
vC
M = (1.9)
che, date le relazioni (1.4) e (1.8), è uguale a:
vC
M
M D
M
M Md
M d = =
−=
−= −1 (1.10)
ed è detto fattore di sconto o fattore di
anticipazione o fattore di attualizzazione.
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Capitolo Primo8
Dalle relazioni (1.6) e (1.9), poiché le grandezze date fanno
riferimento alla medesimaoperazione finanziaria, si ha che:
r i
v d
= + = =
−
11 1
1
(1.11)
e, risolvendo rispetto a i, v e d :
i r v
v
d
d = − =
−=
−1
1
1(1.12)
vr i
d = =+
= −1 1
11 (1.13)
d
r
r
i
i v= −
= + = −1
1 1 (1.14)
Le relazioni tra i, r , d e v sono indicate nel
prospetto seguente, la cui lettura è immediata (tuttele grandezze
i, r , d ev indicate nella prima colonna sono
espresse in funzione delle corrispondentigrandezze indicate nella
prima riga):
i r d v
i — r – 1d
d 1−
1− v
v
r 1 + i — 1
1− d 1
v
d i
i1+r
r
−1 — 1 – v
v1
1+ i
1
r 1 – d —
Se si esprime r in funzione delle due
variabili x e y che rappresentano,
rispettivamente, la datainiziale e la data finale del periodo di
investimento [ x , y], si ha che r
( x , y) è la funzione o leggedi capitalizzazione a
due variabili ed esprime il montante alla data y del
capitale unitarioinvestito alla data x .
Dalle (1.12), (1.13) e (1.14) si ottengono le corrispondenti
leggi finanziarie:
— i( x , y) è la legge dell’interesse;
— v( x , y) è la legge del valore attuale;—
d ( x , y) è la legge dello sconto.
che sono dette leggi finanziarie a due variabili.
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8/17/2019 Compendio Di Matematica Finanziaria (Classica e
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Leggi e regimi finanziari 9
Se si tiene fisso x e, in corrispondenza, si fa
variare y, si può porre t = y – x , che
rappresentala durata dell’investimento, e si ottiene una legge
finanziaria a una variabile; ad esempio:
r ( x , y) = r (t )
Nella pratica, i fattori di montante e di sconto sono
specificati da espressioni matematiche cheli denotano come funzioni
del tempo e di un altro parametro che generalmente è
rappresentatodal tasso di interesse o di sconto.
Guardandole come funzioni del solo tempo (fissando, quindi, il
valore del parametro tasso)le caratteristiche di tali funzioni sono
espresse di seguito.
CARATTERISTICHE DEL FATTORE DI MONTANTE
1. r (t ) = 1 per t = 0;2. r (t )
≥ 1 per t ≥ 0;
3. r t r t 2 1( ) ≥ ( ) per
t 2 ≥ t 1, secondo cui la funzione è crescente
per il cosiddetto postulato delrendimento del denaro.
CARATTERISTICHE DEL FATTORE DI SCONTO
1. v(t ) = 1 per t = 0;2. 0 ≤ v(t )
≤ 1 per t ≥ 0;
3. v t v t 2 1( ) ≤ ( ) per
t 2 ≤ t 1, ossia la funzione è decrescente.
Una volta specificata la funzione matematica del fattore di
montante o del fattore di scontoespressi in funzione del tempo e
del tasso di interesse si dice che si è dato un
regime finanziario.
Se si fissa il valore del tasso, le funzioni che esprimono il
fattore di montante o il fattore disconto, espresse unicamente in
funzione del tempo, si dicono leggi finanziarie del
regimeconsiderato.
Due regimi r (t , i) e v(t , i),
rispettivamente di capitalizzazione e di attualizzazione, si
diconoconiugati se:
r (t , i) ⋅ v(t , i) = 1
Il prospetto seguente indica i regimi finanziari di
capitalizzazione e i corrispondenti regimidi attualizzazione a essi
coniugati che andremo a illustrare:
Interesse semplice → Sconto razionale
Regimi coniugati Interesse composto → Sconto composto
Interesse anticipato → Sconto commerciale{
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Capitolo Primo10
2. REGIME FINANZIARIO DELL’INTERESSE SEMPLICE E DELLO
SCONTORAZIONALE
2.1 Interesse semplice
Nel regime finanziario dell’interesse semplice l’interesse
si calcola sul capitale, proporzio-nalmente al tempo. Assumendo
come unità di misura del tempo l’anno, sia i il tasso
effettivoannuo d’interesse, ossia l’interesse prodotto da un
capitale unitario in un anno, allora, l’interesseprodotto dopo il
tempo t per ogni unità di capitale impiegato è:
i(t ) = it (2.1)
Dalle (1.11), (1.13) e (1.14) si ottengono le seguenti
leggi:
r (t ) = 1 + it (2.2)
v t it
( ) =+1
1(2.3)
d t it
it ( ) =
+1(2.4)
Sia C il capitale impiegato, dalla (2.1) si ha che
l’interesse prodotto da C nel tempo t è:
I (t ) = Cit (2.5)
da cui le formule inverse:
C t I
it i t
I
Ct t
I
Ci( ) = ( ) = =; ;
Analogamente, dalla (2.2), si ha che il
montante M prodotto dal capitale
C è:
M (t ) = C (t )r (t ) =
C (t )(1 + it ) (2.6)
da cui le formule inverse:
C t M it
i t M C Ct
t M C Ci
( ) = + ( ) = − = −1
Interessante è il calcolo del tempo occorrente perché un dato
capitale C , impiegato in regimedi capitalizzazione semplice,
diventi M = mC , con m numero reale positivo,
diverso da 1.
La terza delle formule inverse appena viste, sostituendo
a M il valore mC , diviene:
t mC C
Ci
m C
Ci
m
i=
−=
−( )=
−1 1
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Leggi e regimi finanziari 11
da cui, se si vuole ottenere un montante M pari
a 2 volte il capitale iniziale C , ossia M =
2C , siha:
t
i i
= −
=2 1 1
Praticamente, il tempo occorrente a un
capitaleperraddoppiarsi è pari al reciproco del
tassod’interesse.
APPLICAZIONI
Operazioni finanziarie con scadenza non superiore all’anno.
Se si esprime il tempo in giorni (g), anziché in anni, si ha che
t g
=
360
, dove 360 è l’anno
commerciale.
ESEMPIO 1
Un capitale di 900,43 € è impiegato in regime semplice al
tasso annuo effettivo d’interesse del 6%. Calcolare gli
interessi e il montante prodotti dopo 1 anno e 3 mesi in
regime di interesse semplice.
Dalla (2.5) si ha che l’interesse prodotto da 900,43 € al
tasso i = 0,06 e per un tempo t =15
12ammonta a:
I = ⋅ ⋅ =900 43 0 061512
67 53, , ,
Il montante è uguale a:
M = 900,43 + 67,53 = 967,96
ESEMPIO 2
Si impiegano per 7 mesi a interesse semplice
i 2/3 di un capitale al tasso annuo i = 0,06 e
il rimanente 1/3 al tasso annuo i ' = 0,07,
ottenendo dal primo impiego 850,19 € in più rispetto
al secondo. Qual è il capitale complessivamente
impiegato?
Sia C il capitale impiegato, l’interesse prodotto dal
primo impiego di C è:
I C C 123
0 067
120 8436
= ⋅ ⋅ =,,
-
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Capitolo Primo12
L’interesse prodotto dal secondo impiego è:
I C C 213
0 077
120 4936
= ⋅ ⋅ =,,
Segue che, essendo I I 1 2 850 19= + , , si ha:
I C C 10 8436
0 4936
850 19= = +, ,
,
Risolvendo rispetto a C :
C = ⋅−( )
=850 1936
0 84 0 4987 448 11,
, ,. ,
2.2 Sconto razionale
Nel regime finanziario considerato, il fattore di
sconto è espresso dalla (2.3). La formula deltasso di sconto
per un’operazione di durata t è la (2.4); volendolo
esprimere in funzione del tassoeffettivo di sconto annuo d ,
tenendo presente la (1.12), esso diviene:
d t it
it
d
d t
d
d
t
( ) =+
= −
+
−
11
1
1da cui:
d t dt
d t ( ) =
+ −( )1 1 (2.7)
che, riferito a un capitale dovuto M , è:
D t Mdt
d t
( ) =+ −( )1 1
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Leggi e regimi finanziari 13
RAPPRESENTAZIONI GRAFICHE
1. Funzione: r t it ( ) = +1Supposta definita la funzione
per un tempo t continuo, la sua rappresentazione grafica
è la
seguente:
t O
r (t )
r (t ) = 1 + it
1
-1i
Fig. 1
La funzione è rappresentata da una retta di coefficiente
angolare pari a i e che interseca l’asse
delle ascisse nel punto – ,1
0i
e l’asse delle ordinate nel punto (0,1) e per questo è
detta legge
lineare. Finanziariamente è valida solo per
t ≥ 0.Essendo il coefficiente angolare di tale
retta positivo e pari a i, la funzione è crescente (ilmontante è
infatti funzione crescente del tempo e del tasso di interesse).
2. Funzione: i(t ) = it
t O 1
i(t )
i
i(t ) = it
Fig. 2
È una retta passante per l’origine degli assi con coefficiente
angolare positivo pari a i, per cuila funzione è crescente.
Per t = 0 è i(t ) = 0, quindi il grafico della
funzione passa per l’origine degli assi.Ovviamente, anche tale
funzione è finanziariamente valida solo per
t ≥ 0.
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Capitolo Primo14
3. Funzione: v t it
( ) =+1
1
Supposta definita la funzione per un tempo
t continuo, la sua rappresentazione grafica è la
seguente:
t O
v(t )
-1i
v(t ) =1 + it
1
Fig. 3
La v(t ) rappresenta un’iperbole che ha per asintoti la
retta t i
= –1
e l’asse delle ascisse,
ovviamente la funzione è finanziariamente valida solo per
t ≥ 0.
Per t = 0 la funzione assume valore 1, mentre
per v(t ) = 0 si ha: t i= –1
.
Inoltre, se calcoliamo la derivata prima della funzione
v(t ):
v t i
i t '( ) =
−+ ⋅( )1 2
si ha che v'(t )
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Leggi e regimi finanziari 15
Supponendo che la durata complessiva di impiego del capitale sia
divisa in 1, 2, 3, … periodi di ugualedurata, a un tasso periodale
i, il montante prodotto da un capitale unitario è:
— alla fine del primo periodo: 1 + i;— alla fine del secondo
periodo: (1 + i) + (1 + i)i = (1 + i)(1 + i) = (1 + i)2
— alla fine del terzo periodo: (1 + i)2 + (1 + i)2i =
(1 + i)2 (1 + i) = (1 + i)3— …
Pertanto, con formula sintetica, si può scrivere che il montante
composto di un capitaleunitario alla fine del t -esimo periodo
è:
r (t ) = (1+ i)t (3.1)
Dalle (1.12), (1.13) e (1.14) si ottengono le seguenti
leggi:
i(t ) = (1+ i)t – 1 (3.2)
v t i
i vt
t t ( ) =+( )
= +( ) =−11
1 (3.3)
d t i
v d t
t t ( ) = −+( )
= − = − −( )11
11 1 1 (3.4)
Sia C il capitale impiegato, dalla (3.2) si ha che
l’interesse prodotto da C nel tempo t è:
I (t ) = Ci(t ) = C [(1+
i)t – 1] (3.5)
Analogamente, dalla (3.1), si ha che il
montante M prodotto dal capitale
C è: M (t ) = C (1 + i)t
(3.6)
da cui le formule inverse:
C t M
ii t
M
C t
M C t
t
( ) =+( )
( ) =
− = −
11
1
; ;log log
loog 1+( )i
Dalla terza delle formule inverse appena viste (in cui log( )
sta a indicare il logaritmodecimale, anche se è possibile usare
logaritmi di qualunque base) si può ottenere il tempooccorrente
perché un dato capitale C , impiegato in regime di
capitalizzazione composta, diventim · C , con
m numero reale positivo, diverso da 1; infatti, se si vuole un
montante M pari a 2 volteil capitale iniziale
C , ossia M = 2C , si ha:
t M C
i
C C
i=
−+( )
= −
+( ) =
log log log
log
log
log
log
1
2
1
2C C C
i ilog
log
log1
2
1+( ) =
+( )
In generale, per un montante M = mC , si
ha:
t M C
i
mC C
i
m= −
+( ) = −
+( ) =log log log log log
log log1 1 llog 1+( )i
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8/17/2019 Compendio Di Matematica Finanziaria (Classica e
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Capitolo Primo16
APPLICAZIONI
Operazioni finanziarie con scadenza superiore all’anno.
ESEMPIO 1Calcolare il montante del capitale di
130,48€ investito in regime di capitalizzazione
composta
al tasso del 4,75% per 9 anni.
Applicando la (3.6) si ottiene il montante:
M = 130,48 (1 + 0,0475)9 = 198,12
Il valore (1 + 0,0475)9 è tabulato sui prontuari
finanziari.
ESEMPIO 2
Un capitale di 170 € impiegato per un tempo di 15 anni
produce interessi per 137 €, qual è il tasso d’interesse
applicato?
Il montante alla fine del periodo è pari alla somma iniziale
C più gli interessi prodotti I :
M = 170 + 137 = 307
Dalla seconda delle formule inverse della (3.6) si ottiene il
tasso d’interesse applicato:
i =
− =307
170
1 0 04019
115
,
Pertanto, il tasso d’interesse applicato è 4,02% circa.
ESEMPIO 3
Calcolare il valore attuale di un capitale di
104,93€ disponibile tra 4 anni, in regime
composto al tasso annuo effettivo d’interesse del 3%.
Il valore attuale si ottiene applicando la prima delle formule
inverse della (3.6):
C = +( ) =104 93
1 0 03 93 234
,
, ,
ESEMPIO 4
Calcolare in quanto tempo un capitale di 541,7€ dà come
montante 2.708,5 se è stato impiegato in regime composto al
tasso del 6,5% annuo.
Noti M , C e i , dalla terza delle formule
inverse della (3.6), mediante i logaritmi si trova il valore di
t :
t =+( )
= =log
loglog
log
2 708 5
54171 0 065
51065
. ,
,, ,
225 557,
ossia t = 25 anni 6 mesi e 20 giorni.
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Leggi e regimi finanziari 17
3.2 Sconto scomposto
Nel regime finanziario considerato il fattore di
attualizzazione è:
v t
i
it
t ( ) =+( )
= +( )−1
11
La formula dello scompo composto su un capitale unitario
dovuto dopo t periodi, noto il tassoeffettivo di sconto
d relativo al periodo considerato, è espressa dalla
(3.4).
Se il capitale dovuto alla scadenza è M , la formula
appena citata diviene:
D t M d t ( ) = − −( )[ ]1 1
RAPPRESENTAZIONI GRAFICHE
1. Funzione: r t it ( ) = +( )1
r (t )
t O
r (t ) = (1 + i)t
1
Fig. 4
È una curva crescente e tendente a infinito per valori di
t tendenti all’infinito; volge inoltrela concavità verso
l’alto e ha per asintoto l’asse delle ascisse.Per t = 0
la funzione assume valore pari a uno quindi passa per il punto
(0,1).Finanziariamente è valida per t ≥ 0.
Il lim-t
t i→ ∞ +( ) =1 0 , mentre il limt
t i→+∞ +( ) = ∞1 , quindi al crescere di
t la funzione tende a infinito.
La derivata prima della funzione è:
r t i it
' ln( ) = +( ) +( )1 1
(dove ln( ) rappresenta il logaritmo neperiano). È sempre
maggiore di 0; ne segue che lafunzione è crescente.
-
8/17/2019 Compendio Di Matematica Finanziaria (Classica e
Moderna)
19/226
Capitolo Primo18
2. Funzione: i t it ( ) = +( ) −1 1
t O
i(t ) = (1 + i)t – 1
i(t )
Fig. 5
È una curva crescente e tendente ad infinito per
t tendente ad infinito; presenta inoltre la
concavità verso l’alto e passa per l’origine degli assi.Per
t = 0 la i(t ) = 0 quindi passa per il punto O
(0,0).La derivata prima è sempre maggiore di zero.La funzione ha un
andamento analogo a quello della r (t ) = (1 + i)t .
Infatti si ottiene sottraendoa (1 + i)t l’unità.Essa
esprime gli interessi prodotti da un capitale unitario che sono
pari al montante meno ilcapitale stesso.
3. Funzione: v t i
t ( ) =
+( )
1
1
t O
v(t )
1
v(t ) = 1(1 + i)t
Fig. 6
È una curva avente come asintoto l’asse delle ascisse,
finanziariamente significativa per valoridel tempo
t ≥ 0 ed è simmetrica rispetto alla curva
rappresentativa della funzione r (t ) = (1
+ i)t .Per t = 0 la v(t ) = 1,
quindi la funzione passa per il punto (0,1).
Il limt
t i→∞ +( )
=1
10 , quindi la funzione ha per asintoto l’asse delle
ascisse.
Il limt
t i
+→−∞ +( )
= ∞11
, quindi per t che tende a – ∞ la funzione tende
a infinito.
-
8/17/2019 Compendio Di Matematica Finanziaria (Classica e
Moderna)
20/226
Leggi e regimi finanziari 19
La derivata prima v'(t ) è sempre negativa per ogni
t appartenente a R; quindi la funzione
èdecrescente.
CENNI SULL’INTERPOLAZIONE LINEARE
L’interpolazione lineare è il procedimento mediante
il quale, noti i valori y1 e y
2 di una
funzione in corrispondenza di due
punti x 1 e x
2, si calcola il valore della funzione in corrispon-
denza di un punto x 0 intermedio, ipotizzando che
nell’intervallo considerato la funzione abbia
un andamento lineare. Il risultato che si ottiene è del tutto
approssimativo.L’interpolazione è strumento utile per la
risoluzione di non pochi esercizi di matematica
finanziaria.Soprattutto in passato, frequente era l'uso delle
tavole finanziarie e attuariali per la ricerca di
determinati valori di funzioni in corrispondenza di dati tassi
d’interesse i (generalmente da 0%
a 40%) e tempi d’impiego t (da 1 a 100). Chiaramente
le tavole non possono contenere gli infinitivalori delle funzioni
al variare di i e di t , ma contengono solo i più noti. Se, ad
esempio, è notoil valore e sulle tavole finanziarie tale valore non
corrisponde ad alcun tasso, allora si procedemediante
interpolazione alla ricerca del tasso incognito. Si cerca cioè un
valore approssimato deltasso d’interesse calcolando il valore della
funzione in corrispondenza del punto in cui è notal’ordinata e
considerando la funzione come se avesse un andamento lineare.
Oggi, grazie alle calcolatrici scientifiche disponibili in
commercio, è quasi superflual’esposizione dell’esempio
seguente.
ESEMPIO
Calcolare il montante, in regime composto, di 100
€ dopo 13 anni al tasso annuo
effettivo d’interesse del 6,25% mediante
interpolazione.
L’interpolazione sarà fatta tra i montanti calcolati con lo
stesso capitale al tasso del 6% e altasso del 6,5%.
Facendo uso delle tavole finanziarie si calcola, innanzi tutto,
il montante prodotto al tasso del6% in 13 anni da 100 €:
M 1 = 100 (1 + 0,06)13
= 100 ⋅ 2,13292826 = 213,292826e il montante prodotto
al tasso del 6,5% in 13 anni da 100 €:
M 2 = 100 (1 + 0,065)13 = 100 ⋅ 2,26748750 =
226,748750
-
8/17/2019 Compendio Di Matematica Finanziaria (Classica e
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Capitolo Primo20
Si rappresenta graficamente la funzione (1 +
i )t ponendo sull’asse delle ascisse i tassi
esull’asse delle ordinate i corrispondenti valori di
r (t ):
0,06
M 1 =
2 1 3 , 2
9 2 8 2 6
0,0625 0,065
M =
2 2 6 , 7
4 8 7 5 0 – x
M 2 =
2 2 6 , 7 4 8 7 5 0
A
E
C D
B
r (t )
i
Fig. 7
I due triangoli ABE e ECD sono
simili, per cui si può scrivere la proporzione:
AB : CD = EB : ED
ossia:
(0,065 – 0,06) : (0,065 – 0,0625) = (226,748750 – 213,292826) :
(226,748750 – (226,748750 – x ))
da cui:
0,005 : 0,0025 = 13,455924 : x
e svolgendo:
x = 6,727962
È ora possibile calcolare il montante ricercato:
M = 226,748750 – 6,727962 = 220,020788
La funzione r (t ) è concava verso l’alto per cui il
valore del montante ottenuto tramite l’interpola-zione è
approssimato per eccesso; infatti il montante ricercato, facendo
uso di una calcolatrice, è:
M = 100 ⋅ (1 + 0,0625)13 = 100
⋅ 2,19925812 = 219,925812
4. TASSI EQUIVALENTI
Il tasso di interesse i è relativo a un periodo di tempo
prescelto come unità di misura (ingenere l’anno). In questo
paragrafo otterremo una formula per il calcolo del
montanteutilizzando tassi di interesse relativi a periodi diversi
da quelli presi come unità di misura;individueremo tassi
d'interessiequivalenti, ossia tassi che, in un dato regime di
capitalizzazione,sono tali se i corrispondenti fattori di
capitalizzazione per un'operazione della stessa durata
t risultano uguali.
-
8/17/2019 Compendio Di Matematica Finanziaria (Classica e
Moderna)
22/226
Leggi e regimi finanziari 21
REGIME DI CAPITALIZZAZIONE COMPOSTA
Si suddivida un anno in k periodi e si supponga di impiegare un
capitale unitario per un anno, a
un tasso ik 1 relativo a
1
k di anno, ilmontante prodotto alla fine
dell’anno, in regime di capitalizzazionecomposta, è:
1 1+( )ik
k
Il tasso ik
1 , relativo a1
k di anno, si dice equivalente al tasso annuo
i quando, applicato a un
capitale impiegato per k periodi (ossia per un anno),
a interesse composto, produce un montanteuguale a quello che si
ottiene impiegando lo stesso capitale per un anno al tasso di
interesse
composto annuo i, ossia, quando vale la seguente relazione:
1 11+( ) = +i ik
k (4.1)
da cui, elevando ambo i membri a1
k e risolvendo rispetto a i
k
1 , si ha:
i ik
k
1 1 1= + − (4.2)
che è la formula che consente di calcolare ik
1 , noti i e k .
Dalla (4.1), noti ik
1 e k , si ottiene i dalla seguente
relazione:
i ik
k = +( ) −1 11 (4.3)Volendo generalizzare la
definizione data di tassi equivalenti, si ha che: due tassi di
interesse sidicono equivalenti se, riferiti a periodi di
capitalizzazione diversi ma applicati allo stesso
capitale, producono in tempi uguali lo stesso montante.
Volendo generalizzare la (4.1) riferendola
t periodi:
1 11+( ) = +i ik
kt t ( )
Un tasso triennale i3 è equivalente al tasso annuo i,
se:
1 133+( ) = +( )i i
t t
Analogamente, nel regime finanziario dello sconto composto, il
tasso effettivo di sconto d k
1
relativo a
1
k di anno, è equivalente al tasso effettivo annuo di
sconto d se:1 11−( ) = −d d
k
k
(4.4)
-
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Capitolo Primo22
da cui:
d d k
k
1 1 11
= − −( ) (4.5)
relazione che consente di ottenere il tasso di sconto relativo
a
1
k di anno, noto il tasso di sconto
annuo d .
Viceversa, noto d
k
1 si può ottenere d dalla seguente
relazione:
d d k
k = − −( )1 1 1 (4.6)
REGIME DI CAPITALIZZAZIONE SEMPLICE
In regime di capitalizzazione semplice la relazione di
equivalenza tra montante di un capitaleunitario impiegato per un
anno al tasso di interesse semplice annuo i e montante dello
stesso
capitale impiegato per k periodi al tasso di
interesse ik
1 relativo a1
k di anno è:
1 1 1+ = +i i k k
(4.7)
da cui, la formula per la determinazione del tasso di interesse
annuo i, noti ik
1 e k , è:
i i k k
= 1 (4.8)
Analogamente, la formula per la determinazione del tasso di
interesse ik
1 , noti i e k è:
i ik
k
1 = (4.9)
ESEMPIO 1
Dato un tasso annuo di interesse i = 0,06,
determinare il tasso di interesse quadrimestrale equivalente a
i .
Avendo suddiviso l’anno in quadrimestri, ossia in k =
3 periodi, il tasso di interesse quadrime-
strale equivalente a i è:
i 13
3 1,06 1 0,0196= − =
-
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Leggi e regimi finanziari 23
ESEMPIO 2
Determinare il tasso semestrale equivalente al tasso trimestrale
i 1
4
0 0275= , .
Dalla relazione di equivalenza tra due tassi è possibile
affermare che, detti k e s i periodi incui si
suddivide l’anno, si ha:
1 11 1+( ) = +( )i i k
k
s
s
pertanto, ponendo k = 4 (numero di trimestri in un
anno) e s = 2 (numero di semestri in un anno),si ha:
1 0,0275 14
12
2+( ) = +( )i
Mediante i logaritmi decimali:
4log 1 0,0275 2log 1 12
+( ) = +( )i
da cui, dividendo ambo i membri per 2 e ricordando la proprietà
dei logaritmi n a a n log log= , si ha:
10 10,023563661 12
= + i
per cui:
i 12
0,05575625=
ESEMPIO 3
Determinare, in regime di capitalizzazione composta, il tasso
annuo equivalente al tasso quadrime- strale del 3%. Calcolare,
poi, per verifica, il montante prodotto da un capitale di
304,78€ in2 anni con entrambi i tassi.
Essendo 3 i quadrimestri in un anno, dalla relazione (4.3) si ha
che:
i = (1 + 0,03)3 – 1 = 0,092727
Calcoliamo il montante prodotto prima al tasso quadrimestrale
del 3%:
M 1 = 304,78 ⋅ (1 + 0,03)6 = 363,92
quindi, il montante al tasso annuo del 9,2727%:
M 2 = 304,78 ⋅ (1 + 0,092727)2 = 363,92
-
8/17/2019 Compendio Di Matematica Finanziaria (Classica e
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Capitolo Primo24
ESEMPIO 4
Determinare, in regime di capitalizzazione semplice, il tasso
d’interesse semestrale equiva- lente al tasso annuo
d’interesse del 7,5%.
In regime di capitalizzazione semplice la formula del tasso
d’interesse i k
1 è la (4.9), da cui:
i 14
0,0754
0,01875= =
5. TASSI NOMINALI E TASSI ISTANTANEI
I tassi d’interesse analizzati nel paragrafo precedente sono
tassi effettivi; in questo paragrafoandremo ad analizzare tassi
nominali d’interesse.
Si supponga che un capitale unitario sia investito in regime di
interesse composto al tasso annuoi, e che all’investitore
l’interesse sul capitale sia corrisposto k volte l’anno ed
esattamente alla finedi ogni k -esimo di anno.
In tale circostanza, a ogni k -esimo di anno, l’interesse
non produce a sua volta interessi, ossia
non è capitalizzato, ma è pari a ik
1 . L’investitore, quindi, per la fine dell’anno avrà riscosso
k rate
di ammontarei
k 1 ciascuna. La somma aritmetica di tali grandezze,
indicata con j(k ), è detta tasso
nominale annuo d’interesse convertibile k volte l’anno
ed è numericamente minore di i cheè detto tasso effettivo o
reale in quanto rappresenta l’interesse prodotto da un
capitale unitarioin un anno.
Il significato finanziario di tale tasso d’interesse è che esso
non tiene conto degli interessimaturati nei periodi intermedi. Se,
ad esempio, si divide l’anno in tre parti (k = 3) e
quindi inquadrimestri, calcolando gli interessi prodotti da un
capitale C in un anno con j(k ) si
consideranogli interessi prodotti nei primi 4 mesi cui si
aggiungono quelli prodotti nei successivi 4 mesi dallostesso
capitale, non incrementato degli interessi prodotti sino a tale
istante, e così via.
Il tasso nominale j(k ) è espresso dalla seguente
relazione:
j k ki k ik
k ( ) = = +( ) − 11
1 1 (5.1)
che consente di determinare j(k ) noto il tasso
effettivo annuo d’interesse i.
Reciprocamente, noto il tasso nominale j(k ), il tasso
effettivo d’interesse annuo i è pari a:
i j k
k
k
= + ( )
−1 1
Si consideri la successione di tassi nominali convertibili 1, 2,
…, k …, volte l’anno:
j(1) = i, j(2), j(3), …, j(k ),
…
-
8/17/2019 Compendio Di Matematica Finanziaria (Classica e
Moderna)
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Leggi e regimi finanziari 25
tutti corrispondenti al medesimo tasso annuo effettivo
d’interesse i; essa è strettamente decrescentee convergente.
Ricordando il limite notevole, per a > 0:
lim ln x
x
a x
a→ − =0 1
si ottiene il limite della successione data:
lim lim limk k
k
j k k ii
k
→∞ →∞ →
( ) = +( ) − = +(
1 111
10
)) −= +( )
1
11
1k
k
iln (5.2)
Il limite (5.2) si indica con δ ed è il tasso
istantaneo d’interesse o tasso nominale annuod’interesse
convertibile infinite volte l’anno corrispondente
all’assegnato tasso annuo effet-tivo d’interesse i; esso si
riferisce ad un regime finanziario in cui gli interessi sono
disponibiliistante per istante ad intervalli infinitesimi di
tempo:
δ = +( ) = + ( )
ln ln1 1i j k
k
k
(5.3)
da cui:
1 + i = eδ
ossia la formula inversa:
i = eδ
– 1 (5.4)Pertanto, il montante di un capitale
C in regime di capitalizzazione composta è
esprimibile
in funzione di i, ik
1 , j(k ) e δ :
M C i C i C j k
k Ce
t
k
kt
kt
t = +( ) = +( ) = + ( )
=1 1 11δ
Analogamente, si definisce tasso nominale annuo di sconto
convertibile k volte l’anno, il tasso:
ρ k kd k
( ) = 1 ovvero ρ k k d k ( ) = − −( )
1 1
1
(5.5)
dalla prima delle (5.5) si ha:
d k
k k
1 = ( )ρ
La successione di tassi nominali convertibili 1, 2, …, k …,
volte l’anno:
ρ (1) =δ , ρ (2), ρ (3), …,
ρ (k ), …tutti corrispondenti al medesimo tasso
annuo effettivo di sconto d , è strettamente crescente
econvergente.
-
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8/17/2019 Compendio Di Matematica Finanziaria (Classica e
Moderna)
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Leggi e regimi finanziari 27
UTILIZZO DEI FOGLI ELETTRONICI IN MATEMATICA FINANZIARIA
Diversi problemi di interesse finanziario possono essere risolti
tramite l’uso di fogli elettronici,come Microsoft Excel, grazie
alle numerose funzioni definite nella categoria «Finanziarie».
In questo volume ci riferiremo più volte a esse nello svolgere
gli esempi. Talvolta, anche se ilproblema da risolvere non
appartiene a tale categoria, imposteremo un foglio elettronico
perrendere meccanici i calcoli più laboriosi.
A fini puramente didattici, nel foglio, invece dei risultati
figureranno le funzioni. Talevisualizzazione si ottiene aprendo il
menu «Strumenti» scegliendo «Opzioni», quindi, in «Visua-lizza»
selezionando l’opzione «Formule».
Relativamente all’ESEMPIO 1, mostriamo le funzioni:
EFFETTIVO e NOMINALE.
La sintassi della prima è EFFETTIVO(tasso_nominale;periodi).
Essa consente di calcolareil tasso di interesse annuo effettivo in
base al tasso di interesse nominale annuo e al numero
dei periodi di capitalizzazione per anno.La sintassi della
seconda è NOMINALE(tasso_effettivo;periodi). Essa consente di
calco-lare il tasso di interesse nominale annuo in base al tasso di
interesse effettivo e al numerodi periodi di capitalizzazione per
anno.Per ottenere il tasso d’interesse effettivo annuo i
equivalente al tasso nominale d’interesseconvertibile due volte
l’anno, ossia j (2) = 0,1218, in una qualsiasi cella di
un foglio elettronico,ad esempio la cella B2, inseriamo la funzione
EFFETTIVO che dipende dal tasso j (k ) e dalnumero
k di periodi. Reciprocamente, noto il tasso di interesse
effettivo, ossia i = 0,12550881,calcoliamo l’equivalente
tasso d’interesse nominale convertibile 2 volte l’anno attraverso
lafunzione NOMINALE che dipende dal tasso effettivo i e
dal numero di periodi k .
Il foglio elettronico con le funzioni da digitare è illustrato
di seguito.
-
8/17/2019 Compendio Di Matematica Finanziaria (Classica e
Moderna)
29/226
Capitolo Primo28
ESEMPIO 2
Dato un capitale di 155,33 :
a) determinare il montante prodotto in 13 mesi al tasso
annuo istantaneo d’interesse del 5%;
b) calcolare quale tasso d’interesse effettivo annuo produrrebbe
nello stesso tempo lo stesso montante.
a) Essendo δ = ln(1 + i ), il montante M di
un capitale di 155,33 si ottiene nel seguente modo:
M e e = ⋅ = ⋅ =155 33 155 33 163 980 05
1312 0 05417, , ,
, ,
b) Per trovare il tasso annuo effettivo d’interesse equivalente
al tasso istantaneo si consideri cheessendo δ = ln(1 +
i ) segue che eδ = 1 + i , da cui
i = eδ – 1. Nell’esempio dato è:
i = e0,05 – 1 = 0,051271096
da cui il montante:
M = +( ) =155 33 1 0 051271096 163 981312, ,
,
che coincide con il valore trovato con il corrispondente tasso
istantaneo d’interesse.In regime di capitalizzazione semplice,
essendo per la relazione (4.8), i i
k
= 1 k , si ha:i = j (k ) per ogni
k > 0
6. CONVENZIONE LINEARE E CONVENZIONE ESPONENZIALE
Nei prontuari finanziari sono tabulati i valori delle funzioni
del montante e del valore attuale,per valori interi di t , con
1 ≤ t ≤ 100, e per diversi valori del tasso
d’interesse i.
Quando il tempo t di impiego di un capitale è
costituito da un numero intero n0 di periodi e
da una frazione propria f , ossia è del tipo
t = n0 + f , per il calcolo del montante
si adottano due
convenzioni: convenzione lineare e convenzione
esponenziale.
CONVENZIONE MISTA O LINEARE
Con la convenzione mista o lineare, si applica la
capitalizzazione composta per il numeron0 intero di periodi,
ottenendo il montante:
M C in
' = +( )1 0
e al capitale M ' la capitalizzazione semplice
per la restante frazione f di periodo
ottenendo:
M M if = +( )' 1cioè:
M C i if
n
= +( ) +( )1 10
(6.1)
-
8/17/2019 Compendio Di Matematica Finanziaria (Classica e
Moderna)
30/226
Leggi e regimi finanziari 29
CONVENZIONE ESPONENZIALE
Secondo questa convenzione il
montante M prodotto da un capitale C per
un numero nonintero di periodi del tipo t = n
0 + f , si ottiene applicando la relazione del
montante composto:
M C i i C in f n f = +( ) +( ) = +( )
+1 1 10 0 (6.2)
ESEMPIO 1
Calcolare il montante di 235,49 € in capitalizzazione mista
per il periodo dal 20-11-2010 al 15-07-2013, se il tasso
annuo effettivo di interesse è pari all’ 8,5%.
20-11-2010 31-12-2012 15-7-2013
41 giorni 2 anni 196 giorni
31-12-2010
Si calcola anzitutto il montante prodotto da un capitale per i
primi 41 giorni applicando laformula del regime semplice:
r 1 1 0,08541
3651,0095= + ⋅
=
Il montante per i due anni che vanno dal 31-12-2010 al
31-12-2013 in regime composto è:
r 2 = (1 + 0,085)2 = 1,177225
Si calcola, infine, il montante per gli ultimi 196 giorni in
regime semplice:
r 3 1 0,085196365
1,0456= + ⋅
=
A questo punto si applica la formula della capitalizzazione
mista:
M = 235,49 ⋅ (1,0095) ⋅ (1,177225) ⋅ (1,0456) =
292,62
ESEMPIO 2
Trovare il valore attuale di 1 euro disponibile tra
4 anni e 5 mesi, in regime di
capitalizzazione composta al tasso effettivo annuo d’interesse
del 4%, mediante interpolazione lineare.
Applicando la convenzione esponenziale si esprime il tempo in
termini di mesi per cui scrivere
4 anni e 5 mesi equivale a scrivere5312
.
Si ha, inoltre, che:
(1 + 0,04)–4 = 0,85480419 e (1 + 0,04)–5 = 0,82192711
-
8/17/2019 Compendio Di Matematica Finanziaria (Classica e
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31/226
Capitolo Primo30
Rappresentando graficamente la funzione v (t ) si
segnano sulle ascisse i valori del tempo
t = 4, t =5312
, t = 5, e sulle ordinate i corrispondenti valori di
v (t ), ponendo in corrispondenza
di t = 5312 ,v (t ) = 0,85480419 –
x .
4
0,82192711
5
0,85480419 – x
0,85480419
A
E
C D
B
t
1
v (t )
53
12
Fig. 8
I due triangoli AEB e CED sono simili,
quindi si può stabilire la proporzione:
AB : CD = AE : CE
ossia:
5 4 :5312
4 0,85480419 0,82192711 :−( ) −
= −( ) 00,85480419 0,85480419− −( )x
da cui:
x = 0,01369878
Quindi:
v x 5312
0 85480419 0 84110541
= =, – ,
che, data la forma della curva, è sicuramente maggiore del
valore trovato con una calcolatrice:
v 5312
1
1 0 040 8409485353
12
=
+( )=
,,
-
8/17/2019 Compendio Di Matematica Finanziaria (Classica e
Moderna)
32/226
Leggi e regimi finanziari 31
7. REGIME FINANZIARIO DEGLI INTERESSI ANTICIPATI E DELLO
SCONTOCOMMERCIALE
Grazie al regime finanziario dello sconto commerciale si
definisce una legge di capitaliz-
zazione a partire dallo sconto anziché dall’interesse. Lo sconto
si calcola sul capitale dovutoproporzionalmente alla durata; se si
conosce il tasso effettivo annuo di sconto d , lo sconto su
uncapitale unitario dovuto dopo t anni è:
d (t ) = dt (7.1)
Se il capitale dovuto alla scadenza è M , la (7.1)
diviene:
D(t ) = Mdt
da cui la legge di attualizzazione commerciale:
v(t ) = 1 – dt (7.2)che rappresenta il valore
attuale di un capitale unitario dovuto al tempo t in
funzione del tassoannuo di sconto d .
Dalla (7.1) e dalle definizioni esposte, la legge di
capitalizzazione a interessi anticipati è:
r t dt
( ) =−1
1(7.3)
Infine, la legge dell’interesse:
i t dt
dt ( ) =
−1(7.4)
Volendo esprimere la legge di capitalizzazione (7.3) in funzione
del tasso effettivo annuod’interesse i, che corrisponde al tasso di
sconto d , si ottiene:
r t i
t i( ) =
+− −( )
1
1 1(7.5)
APPLICAZIONI
Dalla (7.2) si evince che per t d
>1
è v(t )
-
8/17/2019 Compendio Di Matematica Finanziaria (Classica e
Moderna)
33/226
Capitolo Primo32
RAPPRESENTAZIONI GRAFICHE
1. Funzione: r t dt
( ) =−1
1Graficamente, la funzione è rappresentata da un’iperbole (da
cui la denominazione di capita-
lizzazione iperbolica) con asintoto t d
=1
.
r (t )
t O
1
1/ d
Fig. 9
Man mano che l’epoca si avvicina a t d =
1
, il fattore di capitalizzazione cresce e, al limite, per
t d
→1
si ha che r (t ) → ∞.
2. Funzione: d (t ) = d t
t O
d (t )d (t ) = d t
Fig. 10
È una retta passante per l’origine degli assi. Per t = 0 la
funzione assume valore zero, quindi
passa per il punto O (0,0).
-
8/17/2019 Compendio Di Matematica Finanziaria (Classica e
Moderna)
34/226
Leggi e regimi finanziari 33
ESEMPIO
Il possessore di una cambiale di 750€, scadente tra
14 mesi, la presenta allo sconto al tasso effettivo annuo
d = 0,07.
a) Quanto riceverà? b) Quanto tempo avrebbe dovuto
aspettare ancora per ricevere 700 €?
a) La legge dello sconto commerciale, con un capitale dovuto
alla scadenza pari a M , è:
D (t ) = Mdt
Si calcola lo sconto commerciale sulla cambiale al tasso
d = 0,07:
D = ⋅ ⋅ =750 0,071412
61,25
Il creditore riceverà l’importo della cambiale diminuito dello
sconto dovuto per l’anticipatariscossione:
C = 750 – 61,25 = 688,75
b) Se il creditore vuole ricevere almeno 700€ dallo sconto
della cambiale vuol dire che D deveessere pari a
M meno 700 €:
D = 750 – 700 = 50
Ponendo poi D pari a Mdt con
M , d e D noti si trova:
750 ⋅ 0,07 ⋅ t = 50da cui:
t = 0,952380952 = 343 giorni
Sottraendo ai 14 mesi (cioè il tempo fino alla scadenza della
cambiale) 343 giorni (cioè iltempo necessario per recuperare almeno
700€) si ottiene 77 giorni, ovvero il tempo che deveancora
attendere il possessore della cambiale.
8. CONFRONTO TRA I REGIMI FINANZIARI
Consideriamo le tre leggi di capitalizzazione: r t it 1 1(
) = + ; r t i t 2 1( ) = +( ) e r t i
i t 3
1
1 1( ) = +
( )– –,
che esprimono, rispettivamente, la capitalizzazione semplice,
quella composta e quella commer-ciale.
Confrontando il montante prodotto nei diversi regimi si può
vedere, graficamente, comequello prodotto da un capitale per un
periodo di tempo inferiore all’anno in capitalizzazionesemplice è
maggiore di quello prodotto in regime composto, che a sua volta è
maggiore delmontante che si sarebbe ottenuto con la
capitalizzazione commerciale.
-
8/17/2019 Compendio Di Matematica Finanziaria (Classica e
Moderna)
35/226
Capitolo Primo34
In altri termini, per 0
+( )
it ii
t i
t
Se invece t > 1 vale il contrario.Infine per t = 0 le
tre leggi danno luogo allo stesso risultato.
t 0 1
1 + i
3r t ( )
r t ( )
r t ( )
r t ( )
2
1
Fig. 11
ESEMPIO
Dato un capitale di 700,45 € verificare a quale regime
conviene investire se:
a) si investe per 6 mesi al tasso annuo del 5%; b) si
investe per 9 mesi al tasso bimestrale del 2,2%; c) si
investe per 4 mesi al tasso quadrimestrale del 3%.
Calcoliamo il montante nel regime semplice (M 1), composto
(M 2) e commerciale (M 3) applican-do al capitale C =
700,45 , rispettivamente la (2.2), la (3.1) e la (7.5).
a)
— M 1 700,45 1 0,056
12717,96= + ⋅
= ;
— M 2612700,45 1 0,05 717,75= +( ) = ;
— M 3700,45 1 0,05
1 0,056
121
717,534= +( )
− −
= .
Si riscontra, dai risultati che, per 0
-
8/17/2019 Compendio Di Matematica Finanziaria (Classica e
Moderna)
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Leggi e regimi finanziari 35
b)
— M 1 700,45 1 0,022 412
769,79= + +
= ;
— M 24 12700 45 1 0 022 772 51= +( ) =+, , ,
;
— M 3700,45 1 0,022
1 0,022 412
1
= +( )
− +
−
== 775,58 .
In questo caso la situazione si è capovolta rispetto al caso
precedente; infatti, per t > 1 (inquanto il periodo di
capitalizzazione è il bimestre) conviene investire prima in
capitalizzazionecommerciale poi in composta ed infine in
semplice.
c)— M 1 700,45 1 0,03 1 721,46= + ⋅( ) = ;
— M 21
700,45 1 0,03 721,46= +( ) = ;
— M 3700,45 1 0,03
1721,46= +
( )= .
In questo caso, essendo t = 1, i tre regimi portano a
uguali risultati.
9. FORZA D’INTERESSE
I regimi finanziari esposti possono essere descritti a partire
dal processo di formazionedell’interesse.
Consideriamo una generica legge di formazione del montante:
M (t ) = Cr (t )
e un intervallo infinitesimo di tempo compreso tra gli istanti
t e t + ∆t , la quantità, data
dalla
differenza tra i montanti relativi ai due istanti temporali:
I t t t M t t M t , +( ) = +( ) − ( )∆
∆
rappresenta la variazione nell’interesse dovuta al passaggio
temporale da t a t + ∆t.
In questo stesso intervallo consideriamo il tasso effettivo
d’interesse:
i t t t M t t M t
M t
r t t r t
r t , +( ) =
+( ) − ( )( )
= +( ) − ( )
( )∆
∆ ∆
-
8/17/2019 Compendio Di Matematica Finanziaria (Classica e
Moderna)
37/226
Capitolo Primo36
Si definisce intensità d’interesse da t a
t + ∆t il rapporto tra tasso d’interesse e
duratadell’operazione finanziaria:
i t t t
t
r t t r t
t r t
, +( )=
+( ) − ( )⋅
( )
∆
∆
∆
∆
1
ossia il tasso di interesse per unità di tempo.
Se r (t ) è differenziabile, il suo limite per
∆t → 0 si chiama forza d’interesse al tempo
t , ointensità istantanea
d’interesse, δ (t ):
δ t i t t t
t
r t t r t
t t
( ) = +( )
= +( ) − ( )
→ →lim
,lim
∆ ∆
∆∆
∆0 0 ∆∆t r t
r t
r t ⋅
( ) =
′( )( )
1
Praticamente, δ (t ) è la derivata logaritmica della
legge di capitalizzazione r (t ):
δ t r t
r t
d
dt r t ( ) =
( )
( ) = ( )( )
'ln
Nota la forza d’interesse è possibile individuare, per relazione
inversa, in modo univoco lacorrispondente legge di
capitalizzazione.
Per ciascuno dei regimi finanziari studiati è possibile definire
la forza d’interesse.
REGIME DI CAPITALIZZAZIONE SEMPLICE
δ t r t
r t
d
dt it
i
it ( ) =
( )
( ) = +( ) =
+'
ln 11
REGIME DI CAPITALIZZAZIONE COMPOSTA
δ t r t
r t
d
dt i
i i
i
t
t
( ) = ( )
( ) = +( ) =
+( ) +( )
+
'ln
ln1
1 1
1(( ) = +( )
t
iln 1
In tale regime, la forza d’interesse coincide con il tasso
istantaneo d’interesse.
REGIME DI SCONTO COMMERCIALE
δ t d
dt dt
d
dt ( ) =
−
= −
ln1
1 1
-
8/17/2019 Compendio Di Matematica Finanziaria (Classica e
Moderna)
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Leggi e regimi finanziari 37
ESEMPIO
Calcolare il montante prodotto da un capitale di 1.000
investito per 2 anni e 3 mesi,supposto
che la forza d’interesse sia data da δ (t) =
0,04 + 0,01t.
Praticamente si chiede di trovare la legge di capitalizzazione
r (t ) a partire dalla forza d’interesseche rappresenta
proprio la derivata logaritmica di r (t ). Pertanto,
occorre applicare la formulainversa:
r t e s ds
t
( ) = ( )∫ δ 0
da cui:
M e e s ds
t
= ⋅ = ⋅+( ) +∫
1 000 1 0000 04 0 01 0 04 0 01
0. ., , , , s s ds s ds
e ( ) +( )
+
∫
= ⋅02
312
0
2
1 0000 04 0 01
., ,
,, , ,
., ,
25
0
2 25
0
2 25
1 0000 04 0 01∫ ∫
= ⋅
∫ +e
ds sds
Volendo analizzare l’esponente di e si ha:
0 04 0 01 0 04 0 010
2 25
0
2 25
0
2
, , , ,, ,
ds sds ds sds ∫ ∫ + = +,,,
,,
, ,25
0
2 25
02 25
2
0
2 2
0 04 0 012∫ ∫ = ⋅[ ] +
s s
55
2
0 04 2 25 0 0 012 25
202
0
=
= ⋅ −( ) + ⋅ ( )
−
=, , ,
,,009 0 025 0 115+ =, ,
da cui:
M = 1.000 ⋅ e 0,115 = 1.121,87
10. SCINDIBILITÀ DELLE LEGGI FINANZIARIE
Si è visto che mentre una legge finanzaria a una variabile
considera solo il tempo (t ) intercorrentetra l’inizio
( x ) e la fine ( y) di una operazione (cioè t
= y – x ), una legge a due variabili rappresentasia la
data di inizio che quella finale dell’operazione. Una funzione di
capitalizzazione in duevariabili r ( x,y) rappresenta il
montante al tempo y di un capitale unitario investito al
tempo x
-
8/17/2019 Compendio Di Matematica Finanziaria (Classica e
Moderna)
39/226
Capitolo Primo38
LEGGE DI CAPITALIZZAZIONE SEMPLICE
r x y i y x r x z i z x r z y i y, ; , ; ,( ) = + −( ) (
) = + −( ) ( ) = +1 1 1 −−( ) z
ma:1 1 1+ −( )[ ]⋅ + −( ) ≠ + −( ) i z x i y
z i y x
per cui la legge non è scindibile.
LEGGE DI CAPITALIZZAZIONE COMPOSTA
r x y i r x z i r z y i y x z x
, , ; ,-
( ) = +( ) ( ) = +( ) ( ) = +(−
1 1 1; )) − y z
ed è:1 1 1 1+( )[ ] +( )[ ] = +( ) = +( )− − − + −
−i i i i z x y z z x y z y x
per cui la legge è scindibile.
Esiste un legame tra forza d’interesse e scindibilità reso
esplicito da un teorema secondo cui:condizione necessaria e
sufficiente affinché una legge finanziaria sia scindibile è che la
forza
d’interesse sia costante (non dipenda cioè dalla data d’inizio
dell’operazione).
ESEMPIO 1
Si investe un capitale di 1.000 € al tasso annuo
d’interesse del 6% per un tempo di 3 anni; tenendo
conto che dopo il primo anno si disinveste e si reinveste il
montante sino a quel punto accumulato secondo la stessa legge
di capitalizzazione r (t ) = i
⋅ t 2 + i ⋅ t +1, determinare il
montante dopo 3 anni.
Si calcola il fattore di capitalizzazione relativo al primo
anno, sostituendo i valori di i e di
t nell’equazione data:
r 1 = 0,06 + 0,06 + 1 = 1,12
Si capitalizzano, quindi, 1.000 € per il primo anno:
M 1 = 1.000 ⋅ 1,12 = 1.120
Il fattore di capitalizzazione relativo ai rimanenti 2 anni
è:
r 2 = 0,06 ⋅ (2)2 + 0,06 ⋅ 2 + 1 =
1,36
Si capitalizzano 1.120 € per 2 anni:
M 3 = 1.120 ⋅ 1,36 = 1.523,2
Se avessimo calcolato il montante dopo 3 anni senza disinvestire
e poi reinvestire alla finedel primo anno, avremmo avuto:
r 3 = 0,06 ⋅ (3)2 + 0,06 ⋅ 3 + 1 =
1,72
-
8/17/2019 Compendio Di Matematica Finanziaria (Classica e
Moderna)
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Leggi e regimi finanziari 39
capitalizzando 1.000 €:
M '3 = 1.000 ⋅ 1,72 = 1.720 ≠ 1.523,2 =
M
3
è quindi verificato che la legge non è scindibile.
ESEMPIO 2
Calcolare il tasso annuo d’interesse al quale si investe un
capitale di 1.200 € in regime di capitalizzazione
composta, nell’ipotesi in cui all’inizio del secondo anno il tasso
incognito è diminuito dell’ 1% e che l’interesse
prodotto tra la fine del primo e la fine del secondo anno sia stato
pari a 52€.
Essendo la legge di capitalizzazione composta scindibile, si può
considerare una primascadenza alla fine del primo anno, una seconda
alla fine del secondo anno:
M 1 = 1.200 (1 + i )
M 2 = M 1 [1 + (i – 0,01)]L’interesse
prodotto dalla fine del primo alla fine del secondo anno è pari a
52 € ed è anche
pari alla differenza tra M 1 e M
2:
I = 1.200 (1 + i ) [1 + (i – 0,01)] –
1.200 (1 + i ) = 52
da cui:
1.200 (1 + i ) [1 + (i – 0,01)] – 1.200 (1 +
i ) – 52 = 0
svolgendo ne deriva l’equazione di secondo grado:
1.200i 2 + 1.188i – 64 = 0
da cui:
i = − ± +1 188 1 411 344 307 200
2 400. . . .
.
che dà luogo a due soluzioni di cui si accetta solo quella
positiva in quanto quella negativa èfinanziariamente
insignificante; l’unica soluzione accettabile è:
i = 0,05122
Volendo verificare, si sostituisce il valore trovato nella
relazione dell’interesse, ottenendo,con i dovuti
arrotondamenti:
I = 1.200 (1 + 0,05122) [1 + (0,05122 – 0,01)] –
1.200 (1 + 0,05122) = 52
LEGGE DI CAPITALIZZAZIONE COMMERCIALE
r x yd y x
r x zd z x
r z y, ; , ; ,( ) =− −( )
( ) =− −( )
( ) =1
1
1
1
1
1−− −( )d y z
ma:
11
11
11− −
⋅− − − −( ) ( )
≠( )d z x d y z d y x
per cui la legge non è scindibile.
-
8/17/2019 Compendio Di Matematica Finanziaria (Classica e
Moderna)
41/226
Capitolo Primo40
11. PRINCIPIO DELL’EQUIVALENZA FINANZIARIA
L’operazione finanziaria consistente nel prestito dal mutuante
al mutuatario del capitale C altempo x , e nel
rimborso del capitale M al
tempo y (con x
-
8/17/2019 Compendio Di Matematica Finanziaria (Classica e
Moderna)
42/226
Leggi e regimi finanziari 41
da cui, la scadenza media è:
t C t C t C t
C
n n= + +…+1 1 2 2 (12.1)
REGIME FINANZIARIO DELL’INTERESSE COMPOSTO
M C it
1 1 11= +( )
M C it
2 2 12= +( )
… … … … … …
M C in n
t n= +( )1
da cui, essendo M = C (1 + i)t , per
il principio di equivalenza finanziaria, il valore attuale al
tempot di M , deve essere uguale alla somma
dei valori attuali degli n montanti M 1,
M 2, …, M n;risolvendo rispetto a C ,
C 1, C 2, …, C n si ha:
Mv M v M v M vt t t n
t n= + +…+1 21 2
da cui:
v M v M v M v
M
t
t t
n
t n
= + +…+1 1 2 2 (12.2)
t si ricava, quindi, facilmente dalla (12.2).
REGIME FINANZIARIO DELLO SCONTO COMMERCIALE
C 1 = M
1(1 – dt
1) = M
1 – M
1dt
1
C 2 = M
2(1 – dt
2) = M
2 – M
2dt
2
… … … … … … … … … …C
n = M
n(1 – dt
n) = M
n – M
ndt
n
Sommando membro a membro, si ha, in base alla posizione
fatta:
C = M –
d ( M 1t 1+ M
2t 2+ … + M
nt n)
ed essendo C = M – Mdt , si ha
attraverso semplici passaggi:
Mt = M 1t 1 + M
2t
2 + … + M
nt
n
da cui, la scadenza media è:
t M t M t M t
M
n n= + +…+1 1 2 2 (12.3)
-
8/17/2019 Compendio Di Matematica Finanziaria (Classica e
Moderna)
43/226
Capitolo Primo42
12.2 Tasso medio
Nella realtà dei mercati finanziari, spesso, la capitalizzazione
è regolata, anziché da un solotasso d’interesse costante nel tempo,
da una successione di tassi diversi i1, i2 …,
in applicabiliciascuno a un dato tempo. È in questa
circostanza che nasce l’esigenza di sintetizzare attraversoun unico
tasso (il tasso medio) il risultato economico conseguito. Trattasi
di quel tassod’interesse i – equivalente alla
sequenza di tassi variabili data, nel senso che, per un dato
regimedi capitalizzazione, a parità di capitale iniziale investito
e di tempo totale di impiego, producelo stesso montante prodotto
dai tassi variabili.
Interessante è la trattazione del tasso medio in regime di
capitalizzazione composta. Sisupponga che la sequenza i1,
i2 …, in rappresenti la sequenza dei tassi d’interesse
degli anni 1,2, …, n. Alla fine dell’n-esimo anno, il montante di
un capitale C prodotto da tali tassi è:
M = C (1 + i1) · (1 + i2)
· … · (1 + in)
Poiché uguaglia i montanti, il tasso medio è tale che:
C (1 + i) · (1 + i2) · … · (1 + i
n) = C (1 + i
– )n
da cui risolvendo rispetto a i – :
i i i in
n= +( ) ⋅ +( ) ⋅…⋅ +( ) −1 1 1 11 21
o analogamente:
i i i in
n= +( ) ⋅ +( ) ⋅…⋅ +( ) −1 1 1 11 2 (12.4)
Nell’espressione appena ottenuta il primo termine a secondo
membro è la media geometricadei fattori di montante.
ESEMPIO
Un capitale unitario è impiegato, in regime di capitalizzazione
composta degli interessi, per 5 anni e i tassi
d’interesse annui sono, rispettivamente, pari a:
i i i i i 1 2 3 4 50 05 0 45 0 48 0 49 0 52= = = = =, ; ,
; , ; , ; , ..
Determinare il tasso d’interesse composto costante che,
applicato al medesimo capitale e per
il medesimo periodo, produrrebbe lo stesso montante.
Il montante prodotto dal capitale unitario impiegato per 5 anni
ai tassi riportati si ottiene nelmodo seguente:
— alla fine del primo anno il capitale unitario ha prodotto un
montante pari a:
1 + i 1 = 1 + 0,05
-
8/17/2019 Compendio Di Matematica Finanziaria (Classica e
Moderna)
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Leggi e regimi finanziari 43
— alla fine del secondo anno il capitale di 1,05, reinvestito
alla fine del primo anno al tasso i 2 = 0,045,
è pari a:
(1+0,05)(1 + i 2) = (1 + 0,05)(1+0,045)
…
Pertanto, il montante prodotto dal capitale unitario alla fine
del quinto anno è pari a:
1 1 1 1 1 1 0 05 1 01 2 3 4 5+( ) +( )
+( ) +( ) +( ) = +(
) +i i i i i , ,445 1 0 48 1 0 49 1 0 52
126899( ) +( ) +( ) +(
) =, , , ,
Il testo richiede la determinazione di quel tasso i –
costante che, impiegato per 5 anni,produrrebbe il montante appena
ottenuto. Lo stesso si ottiene impostando la
seguenteuguaglianza:
1 1 0 05 1 0 45 1 0 48 1 0 49 1 05
+( ) = +( ) +( ) +( )
+( ) +i , , , , ,552( )
da cui, risolvendo rispetto a i –
:i = +( ) +( ) +(
) +( ) +1 0 05 1 0 045 1 0 048 1 0 049
1 0 05, , , , , 22 1
15( ) −
e ricorrendo ai logaritmi naturali:
i = +( ) + ( ) + (
) +exp ,15
1 0 05In In 1+ 0,045 In 1+ 0,048 Inn 1+ 0,049 In 1+ 0,052(
) + ( )
− =1 0 04879, 77
che, applicato al montante unitario, dopo 5 anni produrrebbe un
montante pari a:
1 1 0 48797 126899
5 5
+( ) = +( ) =i , ,che coincide,
appunto, con il valore ottenuto con i singoli tassi.
Questionario
1. Dato il tasso d’interesse annuale i = 0,048,
calcolare, in regime di interessi composti, iltasso d’interesse
quadrimestrale a esso equivalente.(par. 4)
2. Sapendo che il tasso d’interesse nominale annuo convertibile
6 volte l’anno è j(k ) = 0,015,calcolare il tasso
d’interesse semestrale effettivo.(par. 5)
3. Data la legge di attualizzazione commerciale v(t ) = 1 –
dt , dire per quali valori di t è definita.(par.
7)
4. Data la legge di capitalizzazione r (t ) =
(1,088)t , calcolare la forza d’interesse.(par. 9)
5. Verificare se è scindibile la legge di
capitalizzazione r x y i y x , ln( ) = + −( )1 2
.(par. 10)
-
8/17/2019 Compendio Di Matematica Finanziaria (Classica e
Moderna)
45/226
-
8/17/2019 Compendio Di Matematica Finanziaria (Classica e
Moderna)
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CAPITOLO SECONDO
RENDITE CERTE
SOMMARIO: 1. Definizioni. - 2. Rendite costanti nel regime
finanziario dell’interesse semplice. - 3. Renditecostanti nel
regime finanziario dello sconto commerciale. - 4. Rendite costanti
nel regime finanziariodell’interesse composto. - 5. Rendite
perpetue. - 6. Rendite variabili nel regime finanziario
dell’interessecomposto. - Questionario.
1. DEFINIZIONI
Le operazioni finanziarie di cui ci siamo occupati nel capitolo
precedente contemplano, afronte del versamento di una somma unica
di capitale, la corresponsione periodica di interessia un tasso
fisso o variabile. In questo capitolo introdurremo operazioni più
complesse che sirealizzano, quotidianamente, nella realtà dei
mercati finanziari, e che sono identificate tutte conla
denominazione di rendita.
È una rendita quella che percepisce il proprietario di un podere
agricolo, oppure colui checede, attraverso un contratto di leasing,
l’uso di un bene, o, ancora, il creditore che, stipulato
uncontratto di mutuo o sottoscritte le obbligazioni di un prestito
diviso in titoli, riceve pagamentiperiodici.
In termini rigorosi, una rendita si può definire come una
successione di capitali (rate)disponibili, in conformità a un
contratto finanziario, a determinate scadenze.Le rendite di cui si
occupa la matematica finanziaria sono le rendite certe, ossia
quelle per
cui la riscossione delle rate avviene con certezza, mentre la
matematica attuariale fa riferimentoa rendite per cui la
riscossione delle rate è legata alla probabilità di eventi
aleatori.
Di seguito è riportata una prima classificazione delle rendite
certe.
RENDITA PERIODICA L’intervallo di tempo tra due rate
consecutive è costanteRENDITA NON PERIODICA L’intervallo
di tempo tra due rate consecutive non è costante
RENDITA ANNUALE Il periodo è l’anno (le rate sono dette
annualità)RENDITA FRAZIONATA Il periodo è una frazione di anno
(semestre, trimestre etc.)
RENDITA COSTANTE L’importo delle rate è
costanteRENDITA VARIABILE L’importo delle rate è variabile (in
progressione aritmetica, in pro-
gressione geometrica etc.)
RENDITA ANTICIPATA La scadenza di ciascuna rata avviene
all’inizio di ogni periodoRENDITA POSTICIPATA La scadenza di
ciascuna rata avviene alla fine di ogni periodo
RENDITA IMMEDIATA La prima rata scade nel primo periodo
(all’inizio o alla fine)RENDITA DIFFERITA La prima rata scade
in un periodo successivo al primo
-
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Moderna)
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Capitolo Secondo46
RENDITA TEMPORANEA Il numero delle rate è
finitoRENDITA PERPETUA Il numero delle rate è infinito
Ciò che interessa conoscere di una rendita è un unico valore
della stessa; infatti, l’omogeneità
dei dati consente di calcolare espressioni compatte funzioni del
numero delle rate e del tassod’interesse: il valore attuale e
il montante.
VALORE ATTUALE
Il valore attuale di una rendita è la somma dei valori
attuali di tutte le rate della rendita,ottenuti all’inizio del
primo periodo della rendita, in altri termini, è l’importo che si è
dispostia cedere all’istante iniziale di decorrenza della rendita
in cambio delle rate della renditadisponibili in epoche
successive.
MONTANTE
Il montante (o valore finale) di una rendita è la somma dei
montanti di tutte le rate dellarendita, ottenuti all’istante finale
di decorrenza della rendita, capitalizzando ciascun terminedalla
sua scadenza alla fine dell’operazione, in altri termini, è il
capitale accumulato con larendita. Ovviamente, essendo la durata
delle rendite perpetue teoricamente infinita, non ha sensoparlare
di montante di tali rendite.
Valore attuale e montante di una rendita rappresentano l’importo
che è equo scambiare (per
il principio di equivalenza finanziaria), rispettivamente,
all’inizio del primo periodo dellarendita, e alla fine dell’ultimo
periodo della rendita, con la successione delle rate della
renditastessa.
Per calcolare il valore attuale o il montante di una rendita è
necessario precisare il regime incui sono capitalizzate le rate
della rendita, la scadenza e l’importo di ognuna di esse.
Persemplicità di trattazione faremo riferimento a rate di importo
unitario, da cui la denominazionedi rendite unitarie.
2. RENDITE COSTANTI NEL REGIME FINANZIARIO DELL’INTERESSE
SEM-PLICE
Tali rendite fanno riferimento a operazioni di breve durata, per
cui si tratta, in genere, di
rendite frazionate in cui il periodo è1
k di anno e i è il tasso effettivo annuo
d’interesse.
2.1 Rendita unitaria posticipata
La rendita sia costituita da n rate di importo unitario
scadenti alla fine di ogni k -esimo di anno.
-
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Rendite certe 47
VALORE ATTUALE
La prima rata di questa rendita scade dopo1
k di anno, la seconda dopo
2
k di anno, …, l’n-
esima dopon
k di anno. Pertanto, il valore attuale di tale
rendita è:
a
ik
ik
in
k
=+
++
+…++
1
11
1
12
1
1(2.1)
Sia R l’importo costante di ciascuna delle
n rate, il valore attuale di tale rendita si indica con:
A = Ra
MONTANTE
Considerando il ragionamento fatto per calcolare il valore
attuale, il tempo in cui resta
investita la prima rata èn
k
– 1 di anno, quello della seconda rata è
n
k
– 2 di anno, …, quello
dell’ultima, invece, è nullo, in quanto essa è corrisposta nel
momento della valutazione, per cuiil suo montante è 1. Pertanto, il
montante di tale rendita è:
s in
k in
k ik
= + −
+ + −
+ + +
1
11
21
1... +1
Trattasi della somma di n termini di una progressione
aritmetica, che può essere scritta sottola forma:
s n in
k = +
−
11
2(2.2)
Se R è l’importo costante di ciascuna rata, allora il
montante è:
S = Rs
ESEMPIO
Un individuo si impegna a costituire ogni anno un capitale di
1.150,48 €, versando, presso un Istituto di credito, rate
costanti mensili posticipate al tasso del 7%, in regime di
capitalizza- zione semplice. Determinare l’importo di ciascuna
rata.
L’importo di 1.150,48€ rappresenta il montante di una
rendita mensile posticipata in regime
di interesse semplice, la cui rata costante R si
deduce dalla relazione:
R S
s =
-
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Capitolo Secondo48
dove S = 1.150,48, s è il montante di una
rendita unitaria in regime di interesse semplice ed èfornito dalla
formula (2.2); pertanto la rata R è:
R =
⋅ + ⋅ −⋅
=1.150,48
12 1 0,0712 12 12
92,89
2.2 Rendita unitaria anticipata
La rendita sia costituita da n rate di importo unitario,
scadenti all’inizio di ogni k -esimo dianno.
VALORE ATTUALE
La prima rata è corrisposta nell’istante stesso della
valutazione, la seconda dopo 1k
di anno,
…, l’n-esima dopon
k
–1 di anno. Pertanto, il valore attuale di tale rendita
è:
a
ik
in
k
= ++
+…++
−11
11
1
11
(2.3)
Sia R l’importo costante di ciascuna rata, il valore
attuale di tale rendita è: A Ra=
MONTANTE
Il tempo in cui resta investita la prima rata èn
k di anno, quello della seconda rata è n
k
– 1 di
anno, …, quello dell’n-esima
è
1
k di anno. Pertanto, il montante di tale rendita
è:
s in
k in
k ik
= +
+ +
−
+ + +
1 11
11
...
Trattasi della somma di n termini di una progressione
aritmetica, che può essere scritta sottola forma:
s n in
k = +
+
11
2(2.4)
Se R è l’importo costante di ciascuna rata, allora il
montante è:
S Rs=
-
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Rendite certe 49
3. RENDITE COSTANTI NEL REGIME FINANZIARIO DELLO SCONTO
COM-MERCIALE
Sono rendite frazionate in cui il periodo è
1
k di anno e d è il tasso effettivo annuo
di sconto.
3.1 Rendita unitaria posticipata
La rendita sia costituita da n rate di importo unitario,
scadenti alla fine di ogni k -esimo di anno.
VALORE ATTUALE
La prima rata scade dopo1
k di anno, la seconda dopo
2
k di anno, …, l’n-esima dopo
n
k di
anno. Pertanto, in base alla legge di attualizzazione
commerciale, il valore attuale di tale rendita,è:
a d k
d k
d n
k = −
+ −
+…+ −
1
11
21
Trattasi della somma di n termini di una progressione
aritmetica, che può essere scritta sottola forma:
a n d n
k = − +
1
12
(3.1)
MONTANTE
Il tempo in cui resta investita la prima rata èn
k
–1 di anno, quello della seconda rata è
n
k
– 2
di anno, …, quello dell’ultima, invece, è nullo, in quanto essa
è corrisposta nel momento della
valutazione, per cui il suo montante è 1. Pertanto, in base alla
legge di capitalizzazione a interessianticipati, il montante di
tale rendita, è:
s
d n
k d
n
k d
k
=−
− +−
− +…+−
+1
11
1
12
1
11
1 (3.2)
Ovviamente, se la rendita costante è R, allora valore
attuale e montante della renditaconsiderata sono,
rispettivamente:
A = Ra e S = Rs
-
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Capitolo Secondo50
3.2 Rendita unitaria anticipata
La rendita sia costituita da n rate di importo unitario,
scadenti all’inizio di ogni k -esimo dianno.
VALORE ATTUALE
La prima rata è corrisposta nell’istante stesso della
valutazione, la seconda dopo1
k di anno,
…, l’n-esima dopon
k
–1 di anno. Pertanto, il valore attuale di tale rendita
è:
a d
k
d
k
d n
k
= + −
+ −
+…+ −
−
1 1
11
21
1
Trattasi della somma di n termini di una progressione
aritmetica, che può essere scritta sottola forma:
a n d n
k = −
−
1
1
2(3.3)
MONTANTE
Il tempo in cui resta investita la prima rata èn
k di anno, quello della seconda è
n
k
–1 di anno,
…, quello dell’n-esima è1
k di anno. Pertanto, il montante di tale rendita
è:
s
d n
k d
n
k d
k
=−
+−
− +…+−
1
1
1
11
1
11 (3.4)
Se R è l’importo costante di ciascuna rata, allora il
valore attuale e il montante sono,rispettivamente:
A Ra= e S Rs=
ESEMPIO
Determinare la somma realizzata scontando 15 cambiali da
150 € l’una, con scadenze fra 1, 2, …, 15 mesi,
presso una banca che pratica lo sconto commerciale al tasso del
12%.
Trattasi di una rendita posticipata immediata in regime di
sconto commerciale, il cui valoreattuale si calcola applicando la
(3.1) alla rata costante R = 150; gli altri dati del
problema sono:n = 15; d = 0,12; k = 12.
-
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Rendite certe 51
Pertanto, il valore attuale è:
A = ⋅ ⋅ − ⋅ +⋅
=150 15 1 0,12
15 12 12
2.070
4. RENDITE COSTANTI NEL REGIME FINANZIARIO DELL’INTERESSE
COM-POSTO
La rendita sia costituita da n annualità di importo
unitario. Sia i il tasso effettivo annuod’interesse.
4.1 Rendita unitaria immediata posticipata
La prima rata scade alla fine del primo periodo (cfr.
rendita immediata), la scadenza delle ratesuccessive alla prima
coincide con la fine di ciascun periodo (cfr. rendita
posticipata).
VALORE ATTUALE
La prima rata scade alla fine del primo anno, per cui il suo
valore attuale è:
vi
=+1
1La seconda rata scade alla fine del secondo anno, per cui il
suo valore attuale è:
vi
22
1
1=
+( )
………………
L’n-esima rata scade, infine, alla fine dell’n-esimo anno,
per cui il suo valore attuale è:
vi
nn
=+( )1
1
L’operazione finanziaria può essere rappresentata su un asse dei
tempi, come indicato nellafigura seguente.
0 1 2 3 n – 1 nScadenze
V a l o r i a t t u a l i
v1v2v3
vn
vn – 1
Rata 1 1 1 1 1
Fig. 1
-
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Capitolo Secondo52
Pertanto, il valore attuale della rendita è:
a v v v vn i
n m
m
n
= + +…+ = ∑=
2
1
(4.1)
I valori di an i
, che si legge a figurato n al tasso i, sono tabulati sui
prontuari per calcoli
finanziari e attuariali per valori di n generalmente
compresi tra 1 e 50, o tra 1 e 100, e di i compresitra 0 e 40.
La (4.1) è la somma di n termini in progressione geometrica
di ragione v, minore di 1, per cuipuò essere scritta nella
forma:
a vv
vn i
n
= −
−1
1(4.2)
Essendo vi
i=+
= +( )−1
11
1 e v
iin
n
n=+( )
= +( )−1
11 , la (4.2) è scritta equivalentemente nella
forma:
ai
i
i
i
in i
n n
=+
⋅ − +( )
− +( ) =
− +( )+ −
−
−
−1
1
1 1
1 1
1 1
1 11
ossia:
a iin i
n
= − +( )−
1 1 (4.3)
Sia R l’importo costante di ciascuna delle
n rate, il valore attuale di tale rendita si indica con:
A Ran i
=
MONTANTE
La prima rata di questa rendita frutta interessi per n – 1
anni, pertanto il suo montante,
calcolato alla fine dell’n-esimo anno è:r n –
1 = (1 + i)n – 1
La seconda rata frutta interessi per n – 2 anni, per cui il
suo montante è:
r n – 2 = (1 + i)n – 2
L’ultima rata scade nell’istante della valutazione, per cui non
frutta interessi, ossia il suomontante è 1.
-
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Rendite certe 53
L’operazione finanziaria può essere rappresentata su un asse dei
tempi, come indicato in fig. 2.
0 1 2 3 n – 1 nScadenze
M on t a n t i
r n–1
r n–2
r 1
Rate 1 1 1 1
Fig. 2
Il montante di tale rendita è, dunque:
s i in i
n n= +( ) + +( ) +…+− −1 1 11 2 (4.4)
Anche i valori di sn i
, che si legge s figurato n al tasso i, sono tabulati
sui prontuari per calcoli
finanziari e attuariali.
La (4.4) è la somma di n termini in progressione geometrica
di primo termine 1 e di ragione1 + i, maggiore di 1, per cui può
essere scritta nella forma:
si
in i
n
= +( ) −
+( ) −1 1
1 1
ossia:
si
in i
n
= +( ) −1 1
(4.5)
Se l’importo della rata costante è R, allora il montante
della rendita è:
S Rsn i
=
RELAZIONE TRA a n i
E s n i
Dal confronto tra la (4.2) con la (4.5) (essendo1
vr
n
n= ) si evince che:
si
i
v
v
v
vv
v
n i
nn
n
n
= +( ) −
+( ) − =
−
−=
−
− = −1 1
1 1
11
11