Comparison of the non linear energy operator and the Hilbert transform in the estimation of the instantaneous amplitude and frequency

Resumen-- Los parámetros de amplitud (ai) y frecuencia

instantáneas (fi) de una señal biomédica, pueden ser útiles en la identificación de estados fisiológicos o cambios de estado de la señal. En este artículo se estiman la ai y fi de señales simuladas y señales reales de ECG y EEG, usando tres métodos: uno basado en la transformada de Hilbert (TH), una versión modificada de éste (THM) que mejora la estimación de fi en señales reales, y el algoritmo de separación de energía (DESA1), basado en el operador de energía de Teager (OET). Los algoritmos se comparan según el error relativo promedio obtenido en la desmodulación de señales, su sensibilidad al ruido y eficiencia computacional.

Los resultados obtenidos mostraron que el método THM produce los menores errores de estimación de fi en señales ruidosas; y dependiendo del tipo de señal considerada, los métodos DESA1 y THM producen los menores errores de estimación de ai.

Palabras Clave-- amplitud instantánea, fase instantánea, frecuencia instantánea, operador de energía de Teager, transformada de Hilbert.

I. INTRODUCCIÓN n la teoría de sistemas de comunicaciones una señal modulada en amplitud y frecuencia (AM-FM) se define

como: ( ) ( ) ( )[ ] ( ) ( )[ ]ttattftatx FMAM φ=θ+π=− cos2cos (1)

siendo a(t) la amplitud instantánea de la señal, f(t) su frecuencia instantánea, θ es la fase inicial de la señal y en forma general φ(t) representa la fase instantánea de la señal. Tanto a(t) como φ(t) son portadoras de información. Si a(t) es constante la señal sólo está modulada en frecuencia, si φ(t) es constante, entonces la señal está modulada en amplitud y sólo a(t) contiene información. La teoría de la modulación ha facilitado el modelado de procesos naturales como es el caso de la producción de voz y las patologías asociadas a éste [1], [2].

En 1946 Van der Pol [3], propuso la definición matemática de frecuencia instantánea (fi) aceptada hoy en día:

M. Díaz trabaja en el Grupo de Bioingeniería y Biofísica Aplicada de la

Universidad Simón Bolívar, Caracas, Venezuela (e-mail: [email protected]). R. Esteller trabaja en Neuropace, Mt View, California, USA (e-mail:

[email protected]).

( ) ( )dt

tdtfiφ⋅

π=

21 (2)

La amplitud (ai) y frecuencia instantáneas (fi) son parámetros fundamentales que permiten caracterizar una señal en un instante de tiempo determinado, además de estudiar sus variaciones en el tiempo. Se han propuesto diversos métodos para estimar ai y fi [4]-[10]; en este artículo se propone hacer una comparación objetiva de tres métodos con los que se ha logrado resolver el problema de estimación de manera satisfactoria.

El primer método estudiado es el más usado para calcular los rasgos de ai y fi, y está basado en la señal analítica de Gabor y la transformada de Hilbert [4]. Sin embargo cuando este algoritmo se aplica a señales reales pueden obtenerse frecuencias instantáneas negativas [11], en otras ocasiones los valores de fi obtenidos están fuera del ancho de banda de la señal analizada [7]. Para evitar la estimación de fi negativas, en este trabajo se propone una modificación del algoritmo original (TH) en el que se hace un barrido por ventanas de la pendiente de la fase instantánea y se corrigen los segmentos con pendiente negativa, éste es el segundo método estudiado denotado THM. El tercer algoritmo analizado es el denominado DESA1, desarrollado por Maragos et al. [12], [13]. Este método está basado en el operador de energía no lineal conocido también como operador de energía de Teager (OET) [14], [15].

En la sección II de este artículo se presenta una breve descripción de cada uno de los métodos comparados y la metodología seguida para hacer la comparación. Luego, en la sección III, se presentan y discuten los resultados obtenidos y finalmente en la sección IV se resumen las conclusiones de esta investigación.

II. METODOLOGÍA Se evaluaron los métodos de estimación de ai y fi en señales

sintéticas muestreadas a 200Hz. La comparación se llevó a cabo estimando los parámetros en estudio en señales sintéticas con modulación AM, FM y AM-FM. En cada caso se calculó el error relativo promedio de la estimación. También se compararon los resultados cuando las señales sintéticas se contaminaron con ruido blanco gausiano, y la relación señal a ruido se variaba de 20 a 40 dB. Finalmente se analizaron los

Comparación del operador de energía no lineal y la transformada de Hilbert en la estimación

de la amplitud y frecuencia instantáneas M. Díaz, Student Member, IEEE, and R. Esteller, Member, IEEE

E

IEEE LATIN AMERICA TRANSACTIONS, VOL. 5, NO. 1, MARCH 2007 1

resultados obtenidos al estimar la ai y fi con los tres métodos analizados en señales reales, particularmente señales electroencefalográficas de electrodos profundos (intracraneales) y señales electrocardiográficas. En este caso, por tratarse de señales que no son controladas artificialmente, no se tienen sus valores reales de ai y fi y por tanto no se tiene una referencia para estimar el error de estimación. A continuación se explican brevemente cada uno de los métodos estudiados.

A. Método I: Estimación de ai y fi con la transformada de Hilbert

En 1946 Gabor [16] propuso un método para obtener una señal compleja única a partir de una señal de valores reales, la señal compleja de Gabor conocida comunmente como señal analítica, z(t), se define como:

( ) ( ) ( ) ( )tiAetsitstz φ=+= ˆ (3) donde la función ( )ts es la transformada de Hilbert de s(t) definida como:

( ) ( )τ

πττ−

= ∫+∞

∞−dtsvpts ..ˆ (4)

donde p.v. es el valor principal de Cauchy de la integral. La fase instantánea de la señal s(t) será:

( ) ( )( ) ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=φ

tstst

ˆarctan

(5) una vez que se obtiene φ(t), la frecuencia instantánea de la señal se puede estimar con la definición dada en (2), mientras que la amplitud instantánea es el módulo de la señal analítica:

( ) ( ) ( )tststA 22 ˆ+= (6)

Este es el método clásico para detectar amplitud y frecuencia instantáneas.

B. Método II: Estimación de ai y fi con Hilbert Modificado Este método se propuso para evitar la obtención de valores

negativos de frecuencia instantánea (fi) cuando se usa el algoritmo de Hilbert, estos valores se obtienen cuando la fase instantánea en (5) tiene una pendiente negativa. La corrección de la fase instantánea de la señal se realiza haciendo un barrido por ventanas de la misma. El tamaño de la ventana debe ser lo suficientemente pequeño para poder detectar los cambios instantáneos de la señal y depende de la frecuencia de muestreo de la señal bajo análisis. La fase instantánea en cada segmento analizado se sustituye por la mejor línea recta, en el sentido de mínimos cuadrados, que se ajusta a los valores reales de fase. Luego se buscan los puntos en los que hay cambios de pendiente positiva a pendiente negativa y se sustituyen por el valor de fase inmediato anterior. De éste modo los segmentos con pendiente negativa se sustituyen por segmentos con pendiente cero. Finalmente la fase instantánea modificada se deriva para obtener una estimación de fi cuyos valores son siempre positivos.

C. Método III: Estimación de ai y fi con DESA1 En sus trabajos en el modelado no lineal del habla, Teager

[14] propuso el operador “detector” de energía no lineal Ψ (OET), definido en tiempo continuo como cΨ :

( )[ ] ( )[ ] ( ) ( )txtxtxtxc &&& ⋅−=Ψ 2 (7)

o en tiempo discreto dΨ :

( )[ ] ( ) ( ) ( )112 −+−=ΨΔ

nxnxnxnxd (8) Cuando el OET es aplicado a una señal oscilatoria, el

resultado es igual a la energía de la fuente que produce la oscilación [13]. Particularmente cuando se aplica el OET a una señal ( ) ( )θω += tAtx 0cos , el resultado es proporcional al cuadrado del producto de la amplitud y la frecuencia de oscilación:

( )[ ] 20

20cos ωθω AtAc =+Ψ (9)

Basándose en esta propiedad del OET Maragos et al. [12], [13] diseñaron unos algoritmos que estiman las componentes AM y FM de una señal sin importar su naturaleza, con la condición de que el OET sea positivo. La simplicidad de los cálculos hace de estos algoritmos una herramienta muy útil que encuentra aplicación en varias áreas del procesamiento de señales [1], [2], [17]-[21].

En este trabajo se implementó el algoritmo DESA1, que de los propuestos por Maragos et al. tiene el rango de detección de frecuencia instantánea más amplio: desde cero Hertz hasta la mitad de la frecuencia de muestreo de la señal.

DESA1 estima la amplitud instantánea ai y la frecuencia instantánea en radianes Ωi como:

( )[ ]( )[ ] ( )[ ]

( )[ ]

( )na

nxnyny

nx≈

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛Ψ

+Ψ+Ψ−−

Ψ2

4111

(10)

( )[ ] ( )[ ]( )[ ] ( )nnx

nynyiΩ≈⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛Ψ

+Ψ+Ψ−4

11arccos (11)

donde: ( ) ( ) ( )1−−= nxnxny (12)

Luego la fi en Hz será:

si

i ffπ

Ω=

2 (13)

donde fs es la frecuencia de muestreo. En el algoritmo implementado, la energía no lineal estimada

con el OET se suavizó con un filtro pasabajo de ganancia unitaria con ventana de Hanning de 50 puntos.

III. RESULTADOS Y DISCUSIÓN

A. Señales sintéticas En la Fig. 1 se muestran las señales sintéticas generadas

para evaluar el desempeño de los algoritmos. En todos los casos la frecuencia de muestreo usada fue 200 Hz, la señal

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moduladora una rampa creciente y la señal modulada un coseno de frecuencia 10 Hz.

Fig. 1. Señales sintéticas usadas para evaluar el desempeño de los algoritmos. Arriba se muestra la señal AM ( ) ( ) ( )tttxAM 102cos5.01 π+= . Al centro la señal FM ( ) ( )[ ]tttxFM ⋅+= 102cos π y por último la señal AM-FM

( ) ( ) ( )[ ]ttttx FMAM ⋅++=− 102cos5.01 π . Las Figs. 2 y 3 muestran respectivamente, el error obtenido

en la estimación de la amplitud y la frecuencia instantáneas para el caso de la señal AM-FM con cada uno de los métodos estudiados. Como puede observarse en las gráficas superiores de ambas figuras el error es más significativo al inicio y al final de la simulación. En las gráficas inferiores de las Figs. 2 y 3 se hace un ajuste de la escala para mostrar con más detalle el valor del error en la zona media del período de tiempo simulado, después del período transitorio inicial.

Fig. 2. Errores obtenidos en la estimación de la amplitud instantánea de la señal AM-FM con Hilbert y DESA1. La gráfica superior muestra que el error es mucho mayor al inicio y al final de la estimación. En la gráfica inferior se amplía la escala vertical para observar las variaciones del error durante la simulación.

El error de estimación considerado para la comparación de los algoritmos es el error relativo promedio calculado según (14):

( ) ( )

( )∑=

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −=

N

i real

estimadorealr iv

ivivN

e1

1 (14)

donde: er : es el error relativo promedio, N: es el número total de muestras simuladas, vreal(i): es la muestra i-ésima de valor real de ai o fi según el caso, vestimado(i): es la muestra i-ésima de valor estimado de ai o fi

según el caso.

La Tabla I muestra el error relativo promedio en la estimación de la ai y fi para cada uno de los casos considerados. Para el cálculo de este error se consideró todo el período de tiempo simulado, incluyendo los períodos transitorios inicial y final. Se puede observar que el error de estimación con DESA1 es más bajo en todos los casos estudiados, salvo en el caso de la señal AM donde el error relativo promedio en la estimación de frecuencia con Hilbert modificado resultó aproximadamente 23% menor que el obtenido con DESA1. Estos resultados sugieren que para estimación de frecuencia en señales de frecuencia constante, la modificación propuesta al método de Hilbert (THM) produce mejores resultados que DESA1. En el caso de la señal AM-FM el error de estimación de ai obtenido por THM es 5 veces mayor que el obtenido con DESA1 y para la fi es aproximadamente 1.86 veces mayor.

Fig. 3. Errores obtenidos en la estimación de la frecuencia instantánea de la señal AM-FM con Hilbert, Hilbert modificado y DESA1. En la gráfica superior se muestra que el error de estimación es mucho mayor al inicio y al final de la simulación. En la gráfica inferior se amplía la escala para mostrar la forma de onda de las señales de error después del período transitorio inicial.

El error relativo promedio en la estimación de amplitud es igual en Hilbert y su versión modificada puesto que la amplitud instantánea es la misma en los dos métodos. El error en la estimación de frecuencia instantánea con el algoritmo de Hilbert modificado es menor, en todos los casos, al obtenido con la versión original de Hilbert, siendo la diferencia más marcada para el caso de la señal AM donde el error obtenido con Hilbert es aproximadamente 25 veces mayor que el error conseguido con Hilbert modificado.

Si se promedian los errores relativos promedios obtenidos con cada uno de los métodos, considerando los tres tipos de señales simuladas, y llamamos a este promedio, error global, DESA1 es el método que presenta el menor error global para los dos rasgos estimados. Para el caso de amplitud instantánea, la relación de los errores globales de estimación de los

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métodos basados en Hilbert y DESA1 es de 4.83. En la estimación de la frecuencia instantánea, la relación de los errores globales entre el método clásico de Hilbert y DESA1 es de 14,84 y entre el método THM y DESA1 es de 1,99.

TABLA I

ERROR RELATIVO PROMEDIO EN LA ESTIMACIÓN DE LA ai Y fi DE LAS SEÑALES SIN RUIDO CON LOS TRES MÉTODOS COMPARADOS

Error en la estimación de ai

(%) Error en la estimación de fi

(%) TH THM DESA1 TH THM DESA1

xAM 0.5122 0.5122 0.0521 0.8815 0.0344 0.0448 xFM 0.0951 0.0951 0.0775 0.3176 0.2014 0.0660

xAM-FM 0.4346 0.4346 0.0859 2.1401 0.2129 0.1142 En la Tabla II se muestran los tiempos de ejecución

obtenidos para cada algoritmo, donde puede observarse que DESA1 es aproximadamente 1.32 veces más rápido que Hilbert y 153 veces más rápido que Hilbert modificado. Es de notar, que el código con el que se implementó el método THM no ha sido optimizado.

TABLA II TIEMPOS DE SIMULACIÓN DE LOS ALGORITMOS COMPARADOS

TH

(s) THM

(s) DESA1

(s) xAM 0.0150 2.4060 0.0160 xFM 0.0310 2.4220 0.0160

xAM-FM 0.0160 2.3910 0.0150 Promedio 0.0207 2.4060 0.0157

B. Comportamiento de los métodos frente al ruido Para estudiar el desempeño de los algoritmos en ambientes

ruidosos, se sumó ruido blanco gausiano a las señales sintéticas. La relación señal a ruido (SNR) se varió entre 20 y 40 dB en pasos de 5 dB. Las Figs. 4 y 5 muestran los resultados obtenidos con los tres métodos para la señal AM-FM, cuando la relación señal a ruido es igual a 30 dB. En ambas Figs. la gráfica principal ilustra el hecho de que el error sigue siendo máximo al inicio y al final de la simulación, mientras que las gráficas pequeñas en el interior de cada figura, son una ampliación de la escala que permite visualizar el comportamiento del error obtenido con cada uno de los métodos estudiados, en una zona alejada de los efectos transitorios del inicio y final de la estimación.

En la Tabla III se muestra el error relativo promedio para todas las relaciones señal a ruido consideradas. De la tabla se observa en primer lugar que en la estimación de la fi, DESA1 es mucho más vulnerable al ruido que los métodos basados en Hilbert, mientras que en la estimación de ai, DESA1 es menos sensible al ruido, salvo en el caso de la señal modulada AM donde el error relativo promedio obtenido con los otros métodos es menor. De los resultados de la tabla, también se observa que hay una tendencia a mayores errores de estimación en el caso de la señal AM, esto ocurre porque en este tipo de modulación la información está contenida en la amplitud de la señal, que es afectada directamente por el ruido. Vale la pena destacar, que en aplicaciones prácticas, es necesario filtrar la señal cruda antes de aplicar el operador de

energía no líneal, para contrarrestar el efecto del ruido y posibles interferencias [22].

Fig. 4. Amplitud estimada vs amplitud real para la señal AM-FM con ruido blanco gausiano

Fig. 5. Frecuencia estimada vs frecuencia real para la señal AM-FM con ruido blanco gausiano

En general para la señal AM las mejores estimaciones de ai y fi se consiguen con el método de Hilbert modificado. Cuando la relación señal a ruido es menor de 35 dB, el método basado en la modificación del algoritmo de Hilbert (THM), produce un error de estimación de frecuencia instantánea 36 veces menor que el obtenido con TH y 67 veces menor que el obtenido con DESA1, mientras que el error de estimación de amplitud instantánea logrado con los métodos basados en la transformada de Hilbert es 3 veces menor que el obtenido con DESA1.

A medida que aumenta la relación señal a ruido en la señal AM, es de esperar que se obtengan con DESA1 errores de estimación de amplitud equivalentes a los que se obtendrían con Hilbert modificado. Esta es una hipótesis razonable si se observa que para valores de SNR de 35 y 40 dB, el error de estimación de ai con TH y THM es la mitad del error obtenido con DESA1; y el error de estimación de fi con THM es 4 veces menor al obtenido con DESA1.

4 IEEE LATIN AMERICA TRANSACTIONS, VOL. 5, NO. 1, MARCH 2007

TABLA III ERROR RELATIVO PROMEDIO EN LA ESTIMACIÓN DE LA ai Y fi DE LAS SEÑALES SINTÉTICAS CONTAMINADAS POR RUIDO BLANCO GAUSIANO POR LOS TRES

MÉTODOS ESTUDIADOS

Error en la estimación de ai (%) Error en la estimación de fi (%) Señal SNR

(dB) TH THM DESA1 TH THM DESA1

xAM 20 10.3370 10.3370 30.3010 42.9820 1.4577 85.0540 25 5.9955 5.9955 19.7060 23.3840 0.4904 43.5190 30 3.5600 3.5600 11.0450 13.1080 0.2504 19.5730 35 2.1968 2.1968 5.3519 7.5418 0.1648 7.9080 40 1.4366 1.4366 2.3497 4.5185 0.1076 2.9830

xFM 20 5.6462 5.6462 2.6167 5.9230 0.2388 2.4057 25 3.2242 3.2242 1.3058 3.4179 0.2135 0.9189 30 1.8182 1.8182 0.6124 1.9888 0.2053 0.3361 35 1.0440 1.0440 0.3311 1.2146 0.2024 0.1536 40 0.6102 0.6102 0.1974 0.7908 0.2018 0.0951

xAM-FM 20 10.1340 10.1340 5.5806 19.9960 1.1631 21.2890 25 5.8810 5.8810 4.7235 11.4200 0.4121 12.8520 30 3.4057 3.4057 3.2060 6.9310 0.2423 6.5425 35 2.0418 2.0418 1.8646 4.5012 0.2273 2.8245 40 1.2722 1.2722 0.9060 3.3395 0.2188 1.1065

En el caso de la señal FM, y para una SNR menor de 35

dB, el error de estimación de frecuencia instantánea obtenido con DESA1 es 5,5 veces mayor que el obtenido con el método THM, siendo éste a su vez 17 veces menor que el obtenido con el método TH. Para SNR mayores o iguales a 35 dB, el método DESA1 arroja las mejores estimaciones de fi, el error de estimación que se obtiene con Hilbert es 8 veces el obtenido con DESA1 y el obtenido con THM es 1,62 veces el obtenido con DESA1. DESA1 también produce las mejores estimaciones de ai en la señal FM para todos los valores de SNR evaluados, obteniéndose una relación de errores de estimación entre los métodos basados en Hilbert y DESA1 de 2,44.

Para la señal AM-FM el método THM produce los menores errores de estimación de fi. Para una SNR de 40 dB el error con el método DESA1 es aproximadamente 5 veces mayor que el error con el método THM. Para la misma señal, la mejor estimación de la ai se obtiene con el método DESA1 para todas las SNR evaluadas. Los métodos basados en la transformada de Hilbert producen en este caso un error en la estimación de ai aproximadamente 1,4 veces mayor que con DESA1.

Para cada algoritmo se obtuvo el rango de frecuencia de operación en el intervalo de 0.01 a 100 Hz, como aquel para el cual el error de estimación de ai y fi en una señal libre de ruido, era menor o igual al 5%. Para los métodos basados en la transformada de Hilbert el rango de operación obtenido fue de 0.8 a 99.5 Hz, para DESA1 fue de 0.001 a 99.9 Hz. Estos rangos de operación disminuyen cuando la señal se contamina con ruido gausiano. Por ejemplo para una SNR de 30 dB, el rango de operación de TH fue de 14 a 97 Hz, con el método de Hilbert modificado (THM) de 1 a 97 Hz y con DESA1 se logran errores de estimación de ai y fi menores al 5% en el rango de frecuencias de 11 a 90 Hz.

C. Señales Reales Se estimó la ai y fi de una señal de ECG muestreada a 360

Hz y una señal de EEGi de un paciente epiléptico muestreada a 200 Hz. En la Fig. 6 se muestra la señal de ECG y los resultados de estimación de ai y fi obtenidos con los métodos estudiados. En la Fig. 7 se observan los resultados obtenidos para la señal EEGi. En este análisis hay que destacar que se parte de la suposición de que este tipo de señales pueden descomponerse en componentes de modulación de amplitud y modulación de frecuencia, es decir que pueden caracterizarse con los rasgos de ai y fi. Por tratarse de señales reales estocásticas, no existen valores de ai y fi instantáneas teóricos como en el caso de las señales sintéticas y no es posible cuantificar el error que se produce en la estimación de los mismos.

En general se observa que la amplitud instantánea obtenida con DESA1, Figs. 6c) y 7c), es mucho más suave que la obtenida con los métodos basados en la transformada de Hilbert, sin embargo los valores de ai obtenidos son menores a los esperados considerando la amplitud y forma de onda de la señal original. Esto se debe a que las señales analizadas son multicomponentes, con componentes simultáneas en el tiempo y el algoritmo no puede estimar con detalles la ai. Es razonable decir entonces que con los algoritmos estudiados, la estimación de la fi de señales reales con multicomponentes simultáneas en el tiempo es incorrecta.

En las Figs. 6d) y 7d) destaca el hecho de que la fi obtenida con el método tradicional de Hilbert (método I) presenta valores negativos, el método II corrige el problema de frecuencias negativas en la estimación como se muestra en las Figs. 6e) y 7e). Sin embargo en este último par de Figs. también es posible observar que el método II tiene una resolución temporal menor a la de los otros métodos. Esto se

DIAZ AND ESTELLER : COMPARISON OF THE NON LINEAR ENERGY 5

debe a que para evitar las frecuencias negativas, se hizo un barrido por ventanas de la fase instantánea para sustituir los valores estimados inicialmente por el método clásico de Hilbert, a una línea recta con pendiente positiva o cero, perdiéndose las posibles variaciones de frecuencia instantánea en dicha ventana.

Fig. 6. a) Señal de ECG, b) Amplitud Instantánea obtenida con los métodos I y II, c) Amplitud Instantánea con el método III, d) Frecuencia Instantánea obtenida con el método I, e) Frecuencia estimada por el método II, f) Frecuencia instantánea estimada con el método III.

Fig. 7. a) Señal de EEGi, b) Amplitud Instantánea obtenida con los métodos I y II, c) Amplitud Instantánea con el método III, d) Frecuencia Instantánea obtenida con el método I, e) Frecuencia instantánea estimada por el método II, f) Frecuencia instantánea estimada con el método III.

La resolución en la estimación de la frecuencia instantánea

del método THM, es el producto del tamaño de la ventana por el tiempo de muestreo, en el caso de las Figs. 6e) y 7e) la ventana es de 25 puntos y la frecuencia de muestreo de 200

Hz, obteniéndose por tanto una resolución de 0.125 s. Además la máxima frecuencia instantánea detectada con THM es bastante menor a la que se obtiene por los otros dos métodos y a la que se presume puede estar presente en las señales analizadas según sus componentes espectrales típicas. Para el ECG el ancho de banda estándar es de 0.01 - 250 Hz, mientras que para el EEG intracraneal es de 0 - 150 Hz [23], las señales utilizadas en estas pruebas tienen un ancho de banda limitado por la etapa de adquisición, en el caso de la señal de ECG la máxima componente de frecuencia es menor de 180 Hz y en el caso de la señal de EEGi la máxima componente de frecuencia es menor de 100 Hz.

Si después de la etapa de adquisición de las señales, se limita el contenido frecuencial de las mismas a una banda relativamente estrecha para reducir la presencia de múltiples componentes de señal simultáneas en el tiempo, los algoritmos trabajarán en condiciones más cercanas a aquellas para las cuales fueron diseñados, por lo que es de esperar que la estimación de los rasgos sea más cercana a los valores reales.

Las Figs. 8 y 9 muestran los resultados obtenidos para los mismos registros muestreados a 200 Hz, filtrados con un filtro pasabanda digital de 30-40 Hz. Si se comparan entre sí las estimaciones obtenidas después de este filtrado con los tres métodos estudiados, es posible observar que los valores detectados se encuentran en el mismo rango, siendo además valores razonables según la observación de la señal en el tiempo. Por ejemplo en las Figs. 8b) y 8c) se muestran, para la señal real de ECG filtrada, la ai obtenida con TH/THM y DESA1 respectivamente. Las dos estimaciones son muy similares, la obtenida con DESA1 sigue siendo una versión con variaciones más suaves que las que se obtienen con TH/THM. Se nota a simple vista que éstas estimaciones se corresponden con la envolvente de la señal filtrada que se muestra en la Fig. 8a).

En lo que respecta a la estimación de la fi en las señales reales filtradas, se observa que los valores obtenidos con los métodos II y III se encuentran entre 30 y 40 Hz (dentro de la banda de paso del filtro usado para restringir el ancho de banda de la señal). Por otra parte en la Fig. 8d) se observa que el número de valores de fi negativas obtenidos con el método I se reduce sustancialmente si se compara con la Fig. 6d). Ambas observaciones indican que el algoritmo está operando en condiciones más favorables, es decir cercanas a aquellas para las cuales fue definido.

También se observa que las estimaciones de fi obtenidas con Hilbert modificado y DESA1, Figs. 8e) y 8f) respectivamente son muy parecidas. La estimación con DESA1 es una versión suavizada con una resolución temporal de 5ms, por esto muestra con mucho más detalle las variaciones de fi que el método THM, cuya resolución temporal para este ejemplo es de 125 ms.

Estas observaciones sobre la estimación de ai y fi en la señal de ECG filtrada también son válidas en el caso de la señal de EEGi filtrada que se ilustra en la Fig. 9.

6 IEEE LATIN AMERICA TRANSACTIONS, VOL. 5, NO. 1, MARCH 2007

Fig. 8. a) Señal de ECG filtrada con un filtro pasabanda a 30 - 40 Hz, b) Amplitud Instantánea obtenida para la señal filtrada con los métodos I y II, c) Amplitud Instantánea obtenida con el método III, d) Frecuencia instantánea de la señal filtrada obtenida con el método I, e) Frecuencia instántanea estimada por el método II, f) Frecuencia instantánea estimada con el método III.

Fig. 9. a) Señal de EEGi filtrada b) Amplitud Instantánea obtenida con los métodos I y II, c) Amplitud Instantánea con el método III, d) Frecuencia Instantánea de la señal filtrada obtenida con el método I, e) Frecuencia estimada por el método II, f) Frecuencia instantánea estimada con el método III.

Es importante destacar que en el estudio de la sensibilidad de los algoritmos al ruido, no se hizo ningún tipo de preprocesamiento a la señal, esto con el fin de no aumentar la complejidad de los algoritmos, y aumentar en consecuencia los tiempos de simulación. Existen algoritmos bastante más complicados que los analizados en este estudio que disminuyen los efectos nocivos del ruido en las estimaciones de ai y fi [5], pero sus requerimientos computacionales son elevados y el autor evaluó su inmunidad al ruido sólo para el

caso de una señal modulada FM y no para señales multicomponentes.

IV. CONCLUSIONES El análisis realizado sobre señales determinísticas

monocomponentes (sintéticas), indica que cuando se estima la amplitud instantánea en señales con bajo nivel de ruido, el error global de estimación del método DESA1 es aproximadamente 5 veces menor al obtenido con los métodos basados en la transformada de Hilbert. En las mismas condiciones el error global de estimación de frecuencia instantánea con el método DESA1 es 15 veces menor que el obtenido con el método TH y 2 veces menor que el obtenido con el método THM.

Para señales reales, el método DESA1 produce los mayores beneficios, conduciendo a rasgos de amplitud y frecuencia instantáneas de suaves variaciones y de magnitudes acordes a los límites impuestos por la señal real. En el caso de estimación de frecuencia instantánea, el método DESA1 permite observar más variaciones que el método THM dado que su resolución temporal es igual al período de muestreo, mientras que para THM, la resolución es el producto del tiempo de muestreo por el tamaño de la ventana de análisis usada en el proceso de corrección de frecuencias negativas, en los casos estudiados la resolución de DESA1 es 25 veces mayor que la de THM. Por otra parte con el método TH se obtuvieron valores negativos de frecuencia instantánea, aún después de aplicar un filtro banda estrecha a las señales reales multicomponentes. Por estas razones este estudio sugiere el método DESA1 como el más indicado para la estimación de los rasgos analizados en señales reales.

La evaluación con señales sintéticas demostró que para la estimación de la frecuencia instantánea, con el método DESA1 se consigue una mejor resolución y un rango de operación mayor que el obtenido con la versión modificada del método de Hilbert. Sin embargo, para el caso de señales reales multicomponentes con componentes simultáneas en el tiempo, la estimación de ai y fi puede conducir a resultados incoherentes, fuera de los límites esperados considerando la forma de onda y el espectro de la señal original. Una alternativa en estos casos es realizar un pre-filtrado en bandas de frecuencia estrechas y realizar un análisis independiente para cada banda.

Este estudio demuestra, que cuando se necesitan estimar la frecuencia y amplitud instantánea de una señal, se debe realizar una selección cuidadosa del método a utilizar que considere el tipo de modulación esperada, el nivel de ruido presente, el tipo de señal (monocomponente o multicomponente), la resolución requerida en la estimación, el rango de operación de los algoritmos de estimación de los rasgos y el volumen de datos a analizar.

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Mary Díaz obtuvo el título de Ingeniero Electricista en la Universidad de Los Andes, Mérida, Venezuela en 1995. Magíster en Ingeniería Biomédica de la Universidad Simón Bolívar, Caracas, Venezuela en 2000. Actualmente cursa sus estudios doctorales en la Universidad Simón Bolívar. Ejerce como Profesora en el Departamento de Electrónica y Circuitos de la Universidad Simón Bolívar. Su área de interés se centra en el procesamiento de señales, particularmente señales electroencefalográficas intracraneales de pacientes epilépticos. Rosana Esteller obtuvo sus títulos de Ingeniero y Master en Ingeniería Eletrónica en la Universidad Simón Bolívar, Caracas, Venezuela, en 1986 y 1994, respectivamente. Posteriormente obtuvo el de Ph.D. en Ingeniería Eléctrica en el Georgia Institute of Technology en Atlanta, USA en el año 2000. Actualmente, trabaja como Científico de Investigación en NeuroPace, Inc., California (USA) desarrollando un dispositivo implantable para el tratamiento de la epilepsia y otras alteraciones neurológicas. Su área de interés se centra en aplicaciones de técnicas de dinámica lineal y no-lineal de procesamiento de señales para la detección, predicción, clasificación, reconocimiento de patrones, modelado y estimación de señales y sistemas. Su mayor interés reside en aplicaciones a señales biomédicas, más específicamente, a señales electroencefalográficas intracraneales de pacientes epilépticos. Rosana tiene más de 25 artículos publicados en revistas y conferencias arbitradas y tiene 5 patentes sometidas, tres de ellas aprobadas.

8 IEEE LATIN AMERICA TRANSACTIONS, VOL. 5, NO. 1, MARCH 2007