Lundi 4 octobre 2010 Comparaison de 4 algorithmes pour le problème du vertex cover François Delbot Laboratoire d’Analyse, Topologie, Probabilités (CNRS - UMR 6632) Université d'Aix-Marseille 1 Post-doctorat financé par l'ANR Boole Thèse préparée au laboratoire IBISC de l’université d’Évry Val d’Essonne Journées Graphes et Algorithmes 2010 Travaux réalisés en collaboration avec : Étienne Birmelé (Laboratoire Statistique & Génome, Université d’Ev Christian Laforest (LIMOS, Université Blaise Pascal de Clermont-Fe
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Comparaison de 4 algorithmes pour le problème du vertex cover
Journées Graphes et Algorithmes 2010. Comparaison de 4 algorithmes pour le problème du vertex cover. François Delbot Laboratoire d’Analyse, Topologie, Probabilités (CNRS - UMR 6632) Université d'Aix-Marseille 1 - PowerPoint PPT Presentation
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Lundi 4 octobre 2010
Comparaison de 4 algorithmes pour le problème du vertex cover
François Delbot Laboratoire d’Analyse, Topologie, Probabilités (CNRS - UMR 6632) Université d'Aix-Marseille 1 Post-doctorat financé par l'ANR Boole
Thèse préparée au laboratoire IBISC de l’université d’Évry Val d’Essonne
Au début, aucun sommet n'est sélectionné. Les sommets sont examinés un par un dans n'importe quel ordre donné.
Soit u le sommet courant (celui que l'on examine). Si u n'est pas sélectionné, alors on sélectionne tout son voisinage. Lorsque tous les sommets ont été considérés, on retourne tous les sommets sélectionnés.
Algorithme glouton
Le problème du Vertex Cover
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Glouton et online retournent la même solution
• Le premier sommet n’est sélectionné par aucun des deux algorithmes.• (Hyp.) Les deux algorithmes sélectionnent exactement les mêmes
Démonstration en considérant une partition des sommets d’une liste :
5 1 4 62 3
5 6
1 2
4
3
• Aucun des deux algorithmes ne retourne de sommet isolé : 4• Aucun des deux algorithmes ne retourne de sommet ne possédant que des voisins à gauche dans la liste : 3 et 6• ListLeft retourne tous les sommets possédant au moins un voisin à droite : 5, 1 et 2• Ce n’est pas le cas de ListRight qui ne retourne pas le sommet 1
Théorème
entier d>2, un graphe G tel que pour n’importe quelle liste triée :• ListRight retourne OPT. • ListLeft retourne une solution de taille |OPT|.
• Il retourne des solutions minimales pour l’inclusion• Il peut toujours retourner une solution optimale• Il possède de bonnes performances en moyenne• Il est toujours meilleur que certains algorithmes (par exemple ListLeft)• On peut facilement le répartir
• L’algorithme online (et glouton et ListRight) possède un mauvais rapport d’approximation en pire cas, mais :
En passant par les séries génératrices, on peut les dérécursiver etobtenir une formule close :Lorsqu’on retire un sommet du chemin, on obtient deux autres chemins :
Le problème du Vertex Cover
1 2 3 k-1 k+1 n-1 n
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Bilan des performances des différents algorithmes sur les chemins
• Poursuivre ces travaux en considérant que tous les choix ne sont pas équiprobables• Comparer des classes d’algorithmes• Passer à d’autres problèmes, notamment le problème de l’ensemble dominant
• Confirmer nos résultats expérimentaux par des résultats théoriques. Notamment, prouver la conjecture suivante :
• Evaluation en pire cas : insuffisante• L’influence du non déterminisme est importante• Online possède de bonnes performances moyennes• Les algorithmes 2-approchés se comportent mal « globalement »