Universidad Autónoma de Madrid Análisis de Datos en Psicología II Tema 6 1 Comparaciones múltiples entre medias Tema 6 1. Comparaciones múltiples 2. Comparaciones planeadas o a priori: 2.1 F planeadas 2.2 Comparaciones de tendencia 3. Comparaciones no planeadas o a posteriori: 3.1 Prueba de Tukey 3.2. Prueba de Scheffé
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Análisis de Datos en Psicología II Tema 6
1
Comparaciones múltiples entre medias Tema 6
1. Comparaciones múltiples 2. Comparaciones planeadas o a priori:
2.1 F planeadas 2.2 Comparaciones de tendencia
3. Comparaciones no planeadas o a
posteriori:
3.1 Prueba de Tukey
3.2. Prueba de Scheffé
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1. Comparaciones múltiples Combinación lineal de medias con coeficientes que suman cero. Para J medias:
∑=
=
+++=J
jjj
JJ
c
cccL
1
2211
µ
µµµ L
Ejemplo: Si desean compararse dos medias µ1 y µ2, en caso de que sean iguales:
µ1 = µ2
Esto puede escribirse también del modo:
L = µ1 - µ2 = 0
Cuyos coeficientes son 1 y -1, y por tanto suman 0.
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Ejemplo: Tres medias: 1) Una posibilidad es comparar µ1 y µ2, tomadas juntas, con µ3. Es decir:
321
2µ
µµ=
+
Lo cual puede escribirse: L1 = µ1 + µ2 - 2µ3 = 0
Cuyos coeficientes son 1, 1 y -2, y por tanto suman 0. 2) Otra posibilidad es comparar
231
2µµµ +
= Es decir: L2 = -µ1 + 2µ2 - µ3 = 0 Coeficientes: -1, 2 y -1 3) Otra comparación es: µ1 = µ3 Luego: L3 = µ1 - µ3 = 0 Coeficientes: 1, 0 y -1
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Asignación de coeficientes a las medias
1) Dividir las medias en los dos grupos que van compararse entre sí.
2) Asignar a la media de cada grupo un coeficiente igual al número de medias del otro grupo. 3) Cambiar el signo de los coeficiente de uno de los grupos. Ejemplo: Cinco medias: µ1, µ2, µ3, µ4 y µ5. Desea compararse µ1 y µ2 con µ3, µ4 y µ5. 1) Grupo 1: µ1 y µ2. Grupo 2: µ3, µ4 y µ5 2) Grupo 1: 3µ1, 3µ2. Grupo 2: 2µ3, 2µ4, 2µ5 3) Grupo 1: 3µ1, 3µ2. Grupo 2: -2µ3, -2µ4, -2µ5 Es decir: L = 3µ1 + 3µ2 -2µ3 -2µ4 -2µ5 = 0
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Comparaciones ortogonales Aquellas que no contienen información redundante. La información que proporciona una comparación no se solapa con la proporcionada por otra. Con J medias es posible realizar J-1 comparaciones ortogonales. Regla práctica: Dos comparaciones son ortogonales si el producto de sus coeficientes es cero.
(1*1) + (1*-1)+(-2*0) = 0 L1 y L3 no son ortogonales:
(1*1) + (1*0)+(-2*-1) = 3 L2 y L3 no son ortogonales:
(1*1) + (1*0)+(0*-1) = 1
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2. Comparaciones planeadas o a priori Se realizan de forma independiente al ANOVA. No es necesario realizar también este. 2.1 Pruebas F planeadas Se aplican cuando desean realizarse dos o más comparaciones ortogonales: L1, L2, ..., Lh Para una comparación Li, por ejemplo con tres medias: 1. Hipótesis H0: Li = c1µ1 + c2µ2 - c3µ3 = 0 H1: Li ≠ 0 2. Supuestos (los mismos del ANOVA) Normalidad Independencia Homocedasticidad
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3. Estadístico de contraste Valor estimado de la comparación (utilizando las medias muestrales):
JJi YcYcYcYcL ++++= L332211ˆ
Suma de cuadrados de la comparación:
∑=
=J
j j
j
ii
ncL
LSC
1
2
2ˆ)ˆ(
Para J-1 comparaciones ortogonales:
)ˆ()ˆ( ii LSCLMC = Media de cuadrados error (la misma del ANOVA): MCE
Estadístico de contraste: MCELMCF i
i)ˆ(
=
Distribución: glei FF ,1~
4. Zona crítica y decisión: glei FF ,11 α−≥
SCILSCJ
jj =∑
−
=
1
1)ˆ(
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Ejemplo: (continúa). Métodos de enseñanza. El investigador desea contrastar si el método presencial difiere de la enseñanza autodidacta y por internet. También si el método por internet difiere del autodidacta. Los grupos eran: presencial, internet, autodidacta. Luego las comparaciones son:
2.2 Comparaciones de tendencia La VI debe ser cuantitativa para poder aplicar este contraste. Con J medias pueden contrastarse J-1 tipos de tendencia. Las tendencias más sencillas son:
X
6543210
Y 6
5
4
3
2
10
a). Relación
lineal
X
6543210
Y 6
5
4
3
2
10
b). Relación cuadrática
X
6543210
Y 6
5
4
3
2
10
c). Relación
cúbica
d) Relación de 4º grado
e) Relación de 5º grado
f) Relación de 6º grado
Se realizan igual que las F planeadas, tomando los coeficientes de la tabla G.
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Ejemplo: Se está estudiando el efecto de la dosis de un medicamento sobre el rendimiento de los sujetos en una prueba de atención. Se han formado cuatro grupos de sujetos a los que se suministra diferente dosis, y se ha medido su rendimiento. Estudiar el tipo de relación con α = 0,01 sabiendo que la SCE es 33,32.
Dosis Rendimientomedio n
5mg 3,58 5 10mg 6,74 5 15mg 6,90 5 20mg 2,90 5
Solución: Cómo J=4 se estudia la tendencia lineal, cuadrática y cúbica
1,71 > 1,66. Diferencia significativa • Comparando el A con el B
(H0: µ2 = µ3):
60,1161
141
222,344,3
112 32
,1
=
+=
+= − nn
MCEqDMS gleJTukey α
0,94 < 1,60. Diferencia no significativa
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3.2 Prueba de Scheffé Se realiza una única comparación. Por tanto, a diferencia de Dunnett o Tukey, pueden compararse simultáneamente más de dos medias. Ejemplo: Con tres medias: Hipótesis:
H0: L = c1µ1 + c2µ2 + c3µ3 = 0 H1: L ≠ 0 Estadístico de contraste:
Estimar: 332211ˆ YcYcYcL ++=
∑=
−−−=J
j j
jgleJScheffe n
cMCEFJDMS
1
2
,11)1( α
Rechazar H0 si SchefféDMSL ≥ |ˆ|
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Ejemplo: Contrastar si la media del grupo control es igual a la del A y B tomados juntos. Hipótesis:
H0: L = 2µ1 - µ2 - µ3 = 0 H1: L ≠ 0 Estadístico de contraste:
36,406,612,577,7)2(2ˆ321 =−−=−−= YYYL
1-αFJ-1, gle = 0,95F2, 39 ≈ 0,95F2, 40 = 3,23
12,3161
141
12422,323,3)2(
)1(1
2
,11
=
++=
−= ∑=
−−
J
j j
jgleJScheffe n
cMCEFJDMS α
4,36 > 3,12. Rechazar H0
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Formulario del tema 6 Comparaciones ortogonales:
01
21 =∑=
J
jjj cc
Pruebas F planeadas y de tendencia:
JJi YcYcYcYcL ++++= L332211ˆ
∑=
=J
j j
j
ii
ncL
LSC
1
2
2ˆ)ˆ(
MCELMCF i
i)ˆ(
=
glei FF ,1~
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Prueba de Tukey:
+= −
21,1
112 nn
MCEqDMS gleJTukey α
q ≡ Tabla J Prueba de Scheffe:
332211ˆ YcYcYcL ++=
∑=
−−−=J
j j
jgleJScheffe n
cMCEFJDMS
1
2
,11)1( α
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Ejercicios recomendados del libro: 6.9 6.10 6.13 6.14 6.15