COMPARACIÓN DE UN CONTROLADOR LQR VS UN CONTROLADOR PID IMPLEMENTADOS EN UN HELICÓPTERO DE DOS GRADOS DE LIBERTAD PIVOTADO. CRISTIAN DAVID GONZALEZ URIBE DIRECTOR MIGUEL RICARDO PEREZ PEREIRA UNIVERSIDAD DISTRITAL FRANCISCO JOSÉ DE CALDAS INGENIERÍA EN CONTROL BOGOTÁ D.C 2016
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COMPARACIÓN DE UN CONTROLADOR LQR VS UN CONTROLADOR PID
IMPLEMENTADOS EN UN HELICÓPTERO DE DOS GRADOS DE LIBERTAD
PIVOTADO.
CRISTIAN DAVID GONZALEZ URIBE
DIRECTOR
MIGUEL RICARDO PEREZ PEREIRA
UNIVERSIDAD DISTRITAL FRANCISCO JOSÉ DE CALDAS
INGENIERÍA EN CONTROL
BOGOTÁ D.C
2016
TABLA DE CONTENIDO
INTRODUCCIÓN
OBJETIVOS
1. MARCO DE REFERENCIA
1.1. HELICÓPTERO DE DOS GRADOS DE LIBERTAD.
1.2. MOTOR BRUSHLESS.
1.3. CONTROLADOR ELECTRÓNICO DE VELOCIDAD.
1.4. BATERIA LIPO.
1.5. ACELERÓMETRO.
1.6. GIROSCOPIO.
1.7. RS232.
1.8. ÁNGULOS DE NAVEGACIÓN.
1.9. CONTROL LQR.
1.10. CONTROL PID.
2. METODOLOGÍA
2.1. IMPLEMENTACIÓN DE LA PLATAFORMA.
2.1.1. Motores Brushless.
2.1.2. Hélices.
2.1.3. ESC.
2.1.4. Sensores.
2.1.5. Tarjeta de adquisición de datos.
2.2. MODELO DEL SISTEMA.
2.2.1. Modelo teórico.
2.2.1.1. Modelo simplificado.
2.2.1.2. Simulación de los modelos.
2.2.2. Modelo experimental.
2.2.2.1. Validación de los modelos.
2.3. DISEÑO DE CONTROLADORES
2.3.1. Controlador PID.
2.3.1.1. Controlador en pitch.
2.3.1.2. Controlador en yaw.
2.3.2 Controlador LQR.
2.3.2.1. Controlador en pitch.
2.3.2.2. Controlador en yaw
2.4. IMPLEMENTACIÓN DE LOS CONTROLADORES.
2.5. COMPARACIÓN DE DESEMPEÑO DE LOS CONTROLADORES FRENTE A
PERTURBACIONES.
3. RESULTADOS
CONCLUSIONES
BIBLIOGRAFÍA
LISTA DE TABLAS
Tabla 1. Información técnica de los motores brushless.
Tabla 2. Características de las hélices.
Tabla 3. Regla de sintonía de Ziegler-Nichols basada en la ganancia crítica Kcr.
Tabla 4. Comparación del desempeño de los controladores.
LISTA DE FIGURAS
Figura 1. Helicóptero de 2 DOF – empresa quanser.
Figura 2. Diagrama de conexión de un ESC.
Figura 3. Funcionamiento interno de un giroscopio MEMS.
Figura 4. Ángulos de navegación.
Figura 5. Diagrama de bloques lazo de control PID.
Figura 6. Plataforma experimental.
Figura 7. Plataforma experimental.
Figura 8. Motor brushless 1000Kv.
Figura 9. Hélices 1045.
Figura 10. ESC Hobbypower - 30A.
Figura 11. IMU-MPU 6050.
Figura 12. Potenciómetro lineal 10K.
Figura 13. . Diagrama circuital de tarjeta de adquisición de datos.
Figura 14. Diagrama de cuerpo libre del helicopter de 2DOF.
Figura 15 Simulación del modelo teórico de pitch- respuesta al paso-.
Figura 16. Simulación del modelo teórico de yaw- respuesta al paso-.
Figura 17. Respuesta de la plataforma a una señal paso en pitch.
Figura 18. Respuesta de la plataforma a una señal cuadrada en pitch.
Figura 19. Respuesta de la plataforma a una señal paso en yaw.
Figura 20. Validación del modelo hallado para pitch.
Figura 21. Validación del modelo hallado para yaw.
Figura 22. Diagrama de bloques lazo cerrado con acción proporcional.
Figura 23. Respuesta del sistema con ganancia crítica.
Figura 24. Respuesta del sistema con ganancia crítica-periodo crítico.
Figura 25. Lazo de control LQR.
Figura 26. Diagrama del lazo de control PID implementado en Simulink.
Figura 27. Diagrama interno de los bloques PID- izquierda pitch, derecha yaw-.
Figura 28. Controlador PID en pitch.
Figura 29. Señal de control PID en pitch.
Figura 30. Controlador PID en yaw.
Figura 31. Señal de control PID en yaw.
Figura 32. Diagrama del lazo de control LQR-pitch implementado en Simulink.
Figura 33. Diagrama del lazo de control LQR-yaw implementado en Simulink.
Figura 34. Diagrama interno de los bloques de ganancias de realimentación-Izquierda pitch, derecha
yaw.
Figura 35. Diagrama interno de los bloques de control LQR- izquierda pitch, derecha yaw-.
Figura 36. Controlador LQR en pitch.
Figura 37. Señal de control LQR en pitch.
Figura 38. Controlador LQR en yaw.
Figura 39 .Señal de control LQR en yaw.
Figura 40. Sistema de control LQR con perturbación en pitch.
Figura 41. Señal de control LQR con perturbación en pitch.
Figura 42. Sistema de control LQR con perturbación en yaw.
Figura 43. Señal de control LQR con perturbación en yaw.
Figura 44. Sistema de control PID con perturbación en pitch.
Figura 45. Señal de control PID con perturbación en pitch.
Figura 46. Sistema de control PID con perturbación en yaw.
Figura 47. Señal de control PID con perturbación en yaw.
RESUMEN
Este documento presenta el diseño de un controlador PID (Proporcional-Integral-Derivativo) y un
controlador LQR (por sus siglas en inglés Linear-Quadratic Regulator) para la implementación de los
mismos en una plataforma experimental de un helicóptero de dos grados de libertad pivotado.
Para lograr esto, se implementó una plataforma experimental de un helicóptero de dos grados de
libertad pivotado y se seleccionaron los diferentes elementos que la componen para su correcto
funcionamiento, con el fin de poder aplicar las técnicas de control en cuestión. Adicionalmente, se
hallaron los modelos matemáticos que describen el comportamiento del sistema y se realizó la
validación de los mismos.
Posteriormente, se aplican las diferentes técnicas de diseño para los respectivos controladores y se
observa el comportamiento de la plataforma con la implementación de ambos lazos de control.
Finalmente, se realiza la comparación de los controladores para determinar su desempeño frente a
perturbaciones.
ABSTRACT
In this paper the designing of a controller PID(Proportional-Integral-Derivative) and a controller
LQR(Linear-Quadratic Regulator) are shown. The controllers are implemented to control pitch an
yaw angle on a experimental plataform of a small-scale helicopter 2DOF.
At first, the experimental plataform of a small-scale helicopter was implemented, plus, the components
needed for it were chosen. In adittion, the pitch and yaw dynamics systems are modellled.
Then, the PID controller is tuned by the heuristic Zigler-Nichols method, and the feedback gains of
LQR controller are obtained too. The comparison of the controller’s performance are shown.
INTRODUCCIÓN
Los vehículos aéreos no tripulados UAV’s o drones se han venido empleando desde 1849 con
diferentes propósitos debido a las múltiples ventajas que éstos ofrecen. Si bien su uso empezó con fines
netamente militares, en la actualidad, la implementación de estos vehículos se ha expandido a
diferentes ámbitos desde el educativo hasta el comercial (Esther, 2015). Los helicópteros de dos grados
de libertad pivotados son plataformas que emulan el comportamiento de un helicóptero común con un
rotor principal y un rotor de cola anti torque. Esto permite ahondar e investigar en conceptos y teorías
relevantes para aplicaciones del mundo real sobre dinámicas y control de vuelo en helicópteros de
cuerpo rígido, drones, o aeronaves similares (Quanser, 2006), (Universita’ Degli Studi di Siena, 2010).
Para este tipo de aplicaciones se han propuesto diferentes soluciones a través de diversas técnicas de
control que van desde el control clásico hasta el control robusto. Dentro del control clásico, se
encuentra el controlador PID el cual se basa en la realimentación de la variable a controlar y calcula la
diferencia entre el valor medido y el valor deseado. Por otro lado, otras técnicas de control como LQR
emplean una señal de realimentación que tiene en consideración la totalidad de los estados que posee el
sistema lo que permite llevar a cabo un método de control óptimo.
Teniendo en cuenta lo anterior, este proyecto pretende realizar la comparación entre un controlador
LQR y un controlador PID implementados sobre un helicóptero de dos grados de libertad pivotado. Al
final, se observará el desempeño de los mismos con el fin de poder establecer cuál de los dos presenta
un mejor comportamiento frente a perturbaciones en dicho helicóptero.
Bajo este orden de ideas, es necesario encontrar en primera instancia el modelo matemático que
describa el comportamiento del sistema. Luego, realizar la validación del mismo para determinar el
porcentaje de aproximación que tiene respecto a la respuesta real del sistema. Posteriormente aplicar
las técnicas de diseño de los controladores PID y LQR, e implementarlos en el sistema con el fin de
poder observar el desempeño de los mismos.
Finalmente, se deben analizar los resultados de la implementación de los controladores, realizar la
comparación de las respuestas de ambos lazos de control y determinar cuál de los dos es el más óptimo
para la plataforma.
OBJETIVOS
OBJETIVO GENERAL
Comparar un controlador LQR vs un controlador PID implementados en un helicóptero de dos grados
de libertad pivotado para determinar cuál de los dos logra un mejor desempeño frente a perturbaciones
en esta plataforma.
OBJETIVOS ESPECÍFICOS
• Obtener el modelo matemático del helicóptero de dos grados de libertad pivotado y validar el
modelo haciendo uso de software de simulación.
• Implementar la sensórica y diseñar la tarjeta de adquisición de datos que permita la
comunicación bidireccional entre el helicóptero de dos grados de libertad pivotado y el
ordenador.
• Diseñar los controladores LQR y PID e implementarlos en el helicóptero de dos grados de
libertad pivotado.
• Comparar el desempeño de los controladores LQR y PID frente a perturbaciones, teniendo en
cuenta los siguientes criterios: tiempo de estabilización, máximo sobre impulso, restricciones
sobre las señales de control y estabilidad.
1. MARCO DE REFERENCIA
1.1. HELICÓPTERO DE DOS GRADOS DE LIBERTAD.
Los helicópteros de dos grados de libertad (DOF) pivotados son plataformas que emulan el
comportamiento de un helicóptero común con un rotor principal y un rotor de cola anti torque. Esto
permite ahondar e investigar en conceptos y teorías relevantes para aplicaciones del mundo real sobre
dinámicas y control de vuelo en helicópteros de cuerpo rígido, drones, o aeronaves similares (Quanser,
2006), (Universita’ Degli Studi di Siena, 2010).
En la siguiente imagen se puede apreciar una plataforma comercial para fines educativos ofrecida por
la empresa quanser.
Fig 1. Helicóptero de 2 DOF – empresa quanser
Fuente:(Quanser, 2006)
1.2. MOTOR BRUSHLESS.
Los motores brushless o motores sin escobillas es un tipo de motor altamente empleado en
aplicaciones de automóviles, helicópteros, drones aeromodelismo y aeroespaciales. Como su nombre lo
indica, estos motores no emplean escobillas para su conmutación, en lugar de esto son conmutados
electrónicamente. Debido a esto poseen algunas ventajas sobre los motores de inducción o motores DC
con escobillas:
Mejor relación velocidad vs torque.
Alta respuesta dinámica
Alta eficiencia
Mayor rango de velocidad
Mayor vida útil
Adicionalmente, la relación torque versus el tamaño del motor es mayor a la de los motores DC
convencionales, lo cual los convierte en dispositivos bastante útiles en aplicaciones en donde el espacio
y el peso son factores críticos (Yedamale, 2010).
1.3. CONTROLADOR ELECTRÓNICO DE VELOCIDAD.
Los ESC’s (por sus siglas en inglés Electronic Speed Controller) son los encargados de variar la
velocidad de rotación de los motores brushless. Estos dispositivos proveen una señal trifásica AC al
rotor del motor brushless a partir de una señal de control de baja potencia (Jaramillo & Gómez, 2013).
Dicha señal de control es una modulación de ancho de pulso PWM que comúnmente tiene una
frecuencia de 50Hz; en donde el ancho de pulso de trabajo está determinado por el fabricante
(típicamente en un rango de 1-2ms).
Fig 2. Diagram de conexión de un ESC
Fuente: (Hobby King)
Por lo general, las baterías empleadas para la alimentación de la etapa de potencia son de tipo Lipo,
NiMh, NiCd y Li-ion.
1.4.BATERIA LIPO.
Las baterías de polímero de litio Lipo son las más usadas en aplicaciones de robótica, equipos
autónomos y aeromodelismo ya que poseen ciertas ventajas frente a las baterías Li-ion, NiMh y NiCd:
El voltaje por celda es de 3.7V, mayor que las de NiMh y NiCd de 1.2V por celda.
Tiene una capacidad de carga de 5 a 12 veces mayor a las baterías NiCd.
A diferencia de las baterías NiCd y NiMh las de tipo Lipo no poseen efecto de memoria.
Requieren un tiempo de carga menor que las NiMH.
Al contrario de las baterías Li-ion las Lipo no necesitan un circuito para limitar la corriente de
cada celda.
Son livianas.
1.5.ACELERÓMETRO
Son sensores con los cuales es posible medir la aceleración que sufre una masa inercial interna del
dispositivo cuando éste se encuentra en movimiento. Para detectar dicha aceleración, estos sensores se
basan en la primera ley de Newton
F=ma (1)
Donde:
F es fuerza
m masa
a aceleración.
Teniendo en cuenta lo anterior, muchos acelerómetros se basan en la detección de la fuerza ejercida en
una masa en un sistema masa resorte (Serway & Jewett, 2004). Considérese un sistema mecánico
conformado por una masa fija m sujetada a un resorte con una rigidez k. En caso de que la masa se
desplace una distancia x la fuerza experimentada es entonces
F=kx (2)
Reemplazando en (1)
kx=ma (3)
De esta manera, despejando a en (3) se obtiene
a=kx/m (4)
Con esto, es posible obtener la aceleración experimentada por la masa a partir del desplazamiento de la
misma.
Los acelerómetros pueden clasificarse según su tecnología, los más importantes son:
Capacitivos
Piezoresistivos
Piezoeléctricos
Mecánicos
MEMS(Microelectromechanical Systems)
Térmicos
1.6.GIROSCOPIO
Es un instrumento mecánico capaz de medir la orientación en el espacio de algún dispositivo y cuyo
funcionamiento se basa en el principio de conservación del momento angular. Es por ello, que éstos
representan una parte fundamental de los sistemas de navegación de vehículos (Sándor, 2014).
Gracias a los avances tecnológicos, en la actualidad, estos dispositivos se han convertido en sensores
tipo MEMS, con los que se puede medir la velocidad angular generada por un movimiento de rotación.
Una pequeña masa al interior del giroscopio se desplaza debido a los cambios de velocidad angular
generados por los giros del sensor, este movimiento se convierte en señales eléctricas de baja potencia.
Ver Fig 3.
Fig 3. Funcionamiento interno de un giroscopio MEMS