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Como Aprendo Algebra.
Por: Adolfo Chapuz Bentez.
Temario:
1. Introduccin.2. Fundamentos de Aritmtica.
2.1.Leyes De Los Signos.2.2.Leyes De Los
Exponentes2.3.Fracciones y Su Interpretacin.2.4.Operaciones Con
Fracciones.2.5.Ejercicios Complementarios.
3. Expresiones Algebraicas.3.1.Expresiones Algebraicas Y Sus
Componentes(coeficiente, variable,
exponente, trmino, monomio Binomio, polinomio).4. Operaciones
Con Expresiones Algebraicas
4.1.Suma4.2.Producto4.3.Cociente
5. Productos Notables.6. Factorizaciones Notables.7. Ecuaciones
Cuadrticas y la Frmula General8. Solucin de Ecuaciones y
Despejes.9. Divisin Sinttica.10.Descomposicin En Fracciones
Parciales.
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1.- Introduccin.
LA MATEMTICAS FORMAN UN ROMPECABEZAS.
No me refiero a lo difcil de las matemticas, sino a que toda la
matemtica estcompuesta por piezas individuales vitales, que estn
relacionadas entre s y quepara poder entenderla debes, no solo
tener TODAS las piezas delrompecabezas sino que tambin debes saber
cmojuntarlas.
Adems debes saber que cada pieza de este rompecabezas deben
engranar de forma
secuencial, respecto al nivel de dificultad: bsico, intermedio y
avanzado. En orden,sin intentar pasar por ejemplo del nivel bsico
al avanzado, necesariamente debespasar por el intermedio. Uno de
los problemas a los que nos enfrentamos maestros,estudiantes y dems
agentes relacionados con el proceso de enseanza-Aprendizaje de las
matemticas es que los estudiantes llegan deficientes en el
nivelacadmico anterior, por ejemplo queremos ensear ecuaciones
diferenciales aestudiantes que no dominan los conceptos bsicos
sobre derivadas e integrales, heah el meollo del asunto.
Son muchas las piezas del rompecabezas que podemos mencionar,
pero en general,
las ms importantes y siguiendo un orden lgico son: Aritmtica,
lgebra,Geometra, Trigonometra, Clculo Diferencial, Clculo Integral,
EcuacionesDiferenciales, etc.
El diagrama siguiente representa el orden ideal en que un
estudiante, digamosuniversitario, debera seguir para poder entender
correctamente la materia deecuaciones Diferenciales:
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Aritmtica, lgebra Y Clculo bien coordinados para poder
ENTENDEREcuaciones Diferenciales:
Artimtica
lgebra
Geometra
ClculoDiferencial EIntegral
Ecuaciones
Diferenciales
ClculoDiferencial
lgebra
Aritmtica
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La pieza del rompecabezas que vamos a estudiar se llama:
Algebra, una de las
ramas de las matemticas que son vitales para que tu formacin
acadmica sea deexcelencia, si tu dominas el algebra bsica, todo lo
dems es pan comido.
Para m que es el lgebra?
Bsicamente el lgebra es la base del lenguaje matemtico.
El lgebra es una ciencia en donde las cantidades se representan
en trminossimblicos usando letras, nmeros, signos de agrupacin,
signos para lasoperaciones, de puntuacin, etc. de modo tal que la
forma de representar losproblemas que estn dados en el lenguaje
cotidiano se puedan compactar en un
lenguaje especial en donde las matemticas pueda resolverlos de
una manerasencilla.
La matemtica es una ciencia universal por lo que requiere de su
propio lenguaje,aunque el algebra no es un lenguaje en s, es el
primer paso que todo cientfico debedar para poder tener un nivel ms
avanzado. No es cierto?
Toda la ciencia y tecnologa en general es el resultado de un
proceso de evolucinque ha llevado miles de aos para tener la forma
que actualmente se tiene, lamatemtica no es la excepcin y el lgebra
que actualmente conocemos igualmentees el resultado de todo un
proceso en el que han intervenido decenas dematemticos, fsicos,
qumicos, filsofos, etc. que han contribuido al desarrollo
dellenguaje de la matemtica.
Sin el lgebra, no puedo imaginar cmo seran las matemticas de
hoy.
Para ver ms informacin de algunos significados del lgebra y su
evolucin terecomiendo ver el siguiente enlace:
http://es.wikipedia.org/wiki/%C3%81lgebra
http://es.wikipedia.org/wiki/%C3%81lgebrahttp://es.wikipedia.org/wiki/%C3%81lgebrahttp://es.wikipedia.org/wiki/%C3%81lgebra
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2. Fundamentos de Aritmtica.2.1 Leyes De Los Signos
Introduccin.
Si algo en las matemticas es fundamental son las leyes de los
signos, herramientasbsicas que si an no dominas, ya es momento que
decidas de una vez por todashacerlo porque de ellas depende toda la
matemtica de nivel ms avanzado.
ELIMINA TODA DISTRACCIN: APAGA TU CELULAR, LA TV, CIERRA EL
MESENGER, EL FACEBOOK, CIERRA LA PUERTA DE TU HABITACIN Y DIQUE
NO ESTS PARA NADIE, PORQUE ES VITAL QUE TODA TU ATENCINEST PUESTA
EN ESTE CONCEPTO.
Olvdate de que aun no has aprendido este tema, por eso ests aqu
en estemomento para aprender. Al terminar de ver este documento y
los videos, teaseguro que las leyes de los signos para la aritmtica
son pan comido para ti.
Agrrate de tu asiento, abrchate el cinturn de seguridad porque
nos vamos deviaje al mundo del lgebra
La aritmtica trata sobre las propiedades de los nmeros naturales
,...,4,3,2,1,0N y de 2 operaciones bsicas:
Suma (+) y Multiplicacin o Producto ()
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Existen 2 leyes de los signos, una para la suma y otra para la
multiplicacin y a suvez, para cada operacin existen leyes para
signos iguales y para signos diferentes.
Sin ms rollo, vamos al grano.
I.- LEYES DE LOS SIGNOS PARA LA SUMA.
a). Signos Iguales:
Para sumar 2 cantidades del mismo signo, se escribe el mismo
signo y las
cantidades se suman
b). Signos Diferentes:
Para sumar 2 cantidades de signos diferentes, se escribe el
signo de la cantidad
mayor (en valor absoluto) y las cantidades se restan.
Cantidad Mayor- Cantidad menor.
LEYES DE LOS SIGNOS
SUMA
PRODUCTO
Signos Iguales
Signos Contrarios
Signos Iguales
Signos Contrarios
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Notas importantes:
i) El principal problema a la hora de aplicar estas leyes
consiste en nosaber identificar cuando aplicar la ley de la suma o
producto.
Para resolver este asunto observa bien el siguiente diagrama,
dondete muestro la diferencia que hay en la representacin de una
suma yun producto:
Simbologa de una Suma. Simbologa de Un Producto.2-3 (2)(-3)-1-1
(-1)(-1)
8
7
2
3
8
7
2
3
5+8 (5)(8)
La diferencia bsica se encuentra en el uso de los parntesis.
ii). Para aplicar correctamente estas leyes y hacer bien las
operacionesinvolucradas, primero debes determinar el signoy
despus
hacer las operaciones correspondientes.
iii). Estas leyes se han enunciado para 2 cantidades, el uso de
ellascuando tenemos 3 o ms cantidades igualmente es fcil, basta
conagrupar de todos las cantidades negativas por un lado, y por
otro ladolas positivas y simplificar conforme a los ejemplos que
vamos a tratarms adelante.
Ejemplos: Desarrollar las siguientes operaciones usando la ley
de los
signos para la suma.
I. Signos Iguales:PRECAUCIN: ES SUMA
Aqu no vale eso de menos por menos ni cosa por el estilo!
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Nivel Bsico.
853). a
El caso ms simple ocurre cuando las dos cantidades son
positivas, es la sumaordinaria: 3+5=8.
523). b
En este segundo caso es la suma de 2 cantidades negativas: -3 y
-2, aqu primeroescribimos el signo negativo y luego se suman las
cantidades sin el signo,obteniendo -5.
La idea que est detrs de esta suma, es la de sumar los signos
negativos como siestuviramos sumando manzanas o peras: 3
negativosmas 2 negativos es iguala 5 negativos.
Ver el siguiente diagrama:
Simplemente es contar cuantos negativos hay en total.
Observa los siguientes ejemplos resueltos de la misma
manera:
642).
1798).
633).
111).
1376).
431).
1349).
1495).
j
i
h
g
f
e
d
c
-
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Nivel Intermedio.
181395). c
Aqu tenemos la suma de ms de dos cantidades negativas. Se
procede de la mismamanera, se antepone el signo NEGATIVO y
posteriormente se suman dichascantidades. El resultado es -18.
137249). d
Aqu tenemos puras cantidades positivas, por lo que no hay
problema en sumarlascomo usualmente se hace, el resultado es
13.
Otros ejemplos resueltos:
46134425).
298498).
41231233).
63111).
289676).
25111031).
205249).
246495).
j
i
h
g
f
e
d
c
-
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Para practicar:
Nivel Bsico.
1421).
1918).
44).
141).
93).
131).
411).93).
56).
48).
j
i
h
g
f
e
dc
b
a
Nivel Intermedio.
11411421).
185107).
211273).
13531).
19964).
111253).
1512219).
6312).
9936).
9863).
j
i
h
g
f
e
d
c
b
a
-
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Nivel Avanzado.
63641972469242).17431261986398).
611297538643).
157892611011).
13912839776).
498521131).
13321101349).
3187531).
747189731).
747289731).
ji
h
g
f
e
d
c
b
a
2. Signos Diferentes:
En este caso primero elegimos la cantidad que es mayor y
observamos el signoque tiene sta. Luego hacemos la resta: cantidad
mayor MENOS cantidad menor.
Nivel Bsico.
253). a
En este ejemplo la cantidad mayor es el 5 cuyo signo es
negativo(recuerda que elsigno de una cantidad est a su izquierda).
De acuerdo?
-
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Entonces escribimos el signo: -
Luego hacemos la resta: 5-3=2. En este paso nos olvidamos del
signo, porque ya lotomamos en cuenta al principio. El resultado
final se obtiene juntando le signo yel 2 esto es: -2.
253). b
En este ejemplo la cantidad mayor es el 5 cuyo signo es POSITIVO
(recuerda que
el signo de una cantidad est a su izquierda). De acuerdo?
Entonces escribimos el signo: +
Luego hacemos la resta: 5-3=2. El resultado final se obtiene
juntando el signo + yel 2 esto es: +2.
Nota: En el resultado +2, se omite el signo +.Observa el
resultado de cada ejemplo dados a continuacin.
022).
198).
693).
9101).
176).
231).
549).
495).
j
i
h
g
f
e
d
c
Nivel Intermedio.
4653).a
La idea consiste en agrupar por separado las cantidades
negativas de las positivas yluego aplicar las leyes para cantidades
que tienen signos diferentes, veamos elsiguiente desarrollo:
-
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6
612
64534653
Primero juntamos las cantidades -3, -5, -4 y se simplifican por
separado parafinalmente operar con el nico nmero positivo que es 6.
El resultado se reduce acalcular -12+6= -6 (se pone el signo del
mayor, y se hace la resta).
??46125611). b
Desarrollo: Usamos la misma idea.
0
2222
4126651146125611
Observa y escribe los siguientes ejemplos en tu libreta de
notas.
12
2133
119174895117498195).
c
-
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14
4
1620
3103187413871043).
d
54
8228
11711531451715311145).
e
Para Practicar:
Bsico.
42).
98).
34).
110).
66).
91).
49).
95).
53).
53).
j
i
h
g
f
e
d
c
b
a
Intermedio.
-
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15
4242).
1598).
5434).
74110).
11066).
31291).
1849).
8195).
4653).
4653).
j
i
h
g
f
e
d
c
b
a
Avanzado.
1027651928393918542).
353157658372528).
1117592818224).
298754321110).
42173986).
672423191).
492579).
139895).
53109553).
5109763).
j
i
h
g
f
e
d
c
b
a
-
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II.- LEYES DE LOS SIGNOS PARA EL PRODUCTO.
a). Signos Iguales:
El Producto De Cantidades que tienen el mismo signo siemprees
POSITIVO
Ejemplos: Desarrollar las siguientes operaciones usando la ley
de lossignos para el producto.
PRODUCTO CON SIGNOS IGUALES.
Nivel Bsico.
Notemos que en el producto usamos parntesis para que no haya
confusin con laoperacin de suma, an cuando las cantidades sean
positivas. Recuerda: no es lomismo -3-5=-8 que (-3)(-5)=15.
Para hacer uso correcto de estas leyes primero determinamos el
signo del resultado(recordando que, para 2 cantidades, signos
iguales nos da POSITIVO y signosdiferentes nos da NEGATIVO) y
posteriormente las cantidades se multiplican.Observa los siguientes
ejemplos directos.
Nivel Bsico (2 factores).
(+)(+)=+
(-)(-)=+
-
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5
3
20
12)
5
4)(
4
3).(
63)9)(8).(
9)3)(3).(
1)1)(1).(
42)7)(6).(
3)3)(1).(
36)4)(9).(
45)9)(5).(
15)5)(3).(
15)5)(3).(
j
i
h
g
f
e
d
c
b
a
Nivel Intermedio.
En estos ejemplos vamos aumentar el nmero de factores
(cantidades).
Secreto# 1: si el nmero de cantidades NEGATIVAS por multiplicar
es IMPAR, elresultado SIEMPRE ser NEGATIVO.
Por qu? Es simple podemos agrupar las cantidades de 2 en 2 (lo
cual siempreser positivo) y siempre nos va a quedar una cantidad
negativa sola sin un
compaero, y eso har que el signo de esa cantidad sea el signo de
todo elresultado.
Secreto# 2: si el nmero de cantidades NEGATIVAS por multiplicar
es PAR, elresultado SIEMPRE ser POSITIVO.
140
)7)(20()7)(5)(4).(
a
Nota: Aqu podemos aplicar el secreto # 1 sin necesidad de
agrupar de 2 en 2,porque tenemos 3 (impar) cantidades
negativas.
Realizamos (-4)(-5)=20 y el
resultado los multiplicamos
por -7.
-
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18
140
)7)(5)(4()7)(5)(4(
270
)6)(45()2)(3)(9)(5).(
b
Nota: Aqu podemos aplicar el secreto # 2 sin necesidad de
agrupar de 2 en 2,porque tenemos 4 (par) cantidades negativas.
270
)2)(3)(9)(5()2)(3)(9)(5).(
b
Observa Y escribe en tus notas los siguientes ejemplos
resueltos.
He agrupado de 2 en 2, y en ocasiones sobra una cantidad
negativa.
Como tenemos un nmero
impar de factores (3), slo
anteponemos el signo negativo
y luego multiplicamos los
nmeros.
Agrupamos (-5)(-9) y (-3)(-2),obteniendo 45 y 6,respectivamente.
Luegomultiplicamos los resultadosobtenidos.
Como tenemos un nmero par de
factores (4), slo el resultado ser
POSITIVO y luego multiplicamos
los nmeros. En realidad lossignos negativos desaparecen.
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160
84)
8
7)(
5
4)(
4
3).(
648)6)(4)(27()3)(2)(4)(1)(9)(3).(
27)3)(3)(3).(
18)3)(6)(1()3)(3)(2)(1)(1).(
210)5)(7)(6).(
486)54)(3)(3()9)(6)(1)(3)(3)(1).(
9072)4)(9)(7)(4)(9).(
90)2)(45()2)(9)(5).(
2520)5)(8)(7)(3)(3).(
240)16)(15()4)(4)(5)(3).(
j
i
h
g
f
e
d
c
b
a
Nivel avanzado.
En este tipo de ejemplos vamos a utilizar algunos de los smbolos
deagrupacin como el parntesis, el corchete y las llaves. Pon
muchaatencin a este tipo de ejercicios.
La idea consiste en ir eliminando los parntesis de adentro hacia
afuera, aplicandolas leyes de los signos para la multiplicacin.
5
)5(
))5(().
a
Paso1. Eliminamos el parntesis de
adentro multiplicando los signos
ne ativos.
Paso 2. Obtenemos un solo
parntesis, el cual vamos a eliminar
multiplicando una vez ms los signos.
-
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5
)5(
))5((
)))5((())))5(((().
b
64
)32(2
))8(4(2
)))1(8(4(2
))))1((8(4(2
)))))1(((8(4(2)))))65(((8(4(2).
c
704
)352(2
))88(4(2
)))11(8(4(2
))))11((8(4(2
)))))11(((8(4(2)))))65(((8(4(2).
d
Nota: Eliminamos sucesivamente los
parntesis de adentro hacia afuera,
en cada paso se eliminan una pareja,
multiplicando los signos
correspondientes.
Recuerda observar bien el nmero de
parntesis que van quedando.
-
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Para Practicar:
Nivel Bsico.
Desarrollar los siguientes productos.
)7
2)(
4
3).(
)19)(8).(
)5)(13).(
)11)(12).(
)9)(6).(
)13)(11).(
)7)(2).(
)6)(5).(
)15)(3).(
)2)(4).(
j
i
h
g
f
e
d
c
b
a
Nivel Intermedio.
Desarrollar los siguientes productos.
)8
1)(5
8)(5
2).(
)3)(9)(3)(11)(8)(3).(
)6)(4)(3).(
)8)(6)(2)(5)(2).(
)6)(9)(6).(
)9)(7)(2)(7)(4)(21).(
)5)(3)(6)(4)(5).(
)8)(2)(3).(
)3)(7)(9)(4)(3).(
)4)(8)(6)(4).(
j
i
h
g
f
e
d
c
b
a
-
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Nivel avanzado.
)))))))1((((((().
)))))21(5(6(9(4(3).
)))))1(3(6(9(4(3).
))))2(((().
)))1(((2).
e
d
c
b
a
b). Signos Diferentes:
El Producto De 2 Cantidades que tienen signos DIFERENTES SIEMPRE
esNEGATIVO
(+)(-)=-
(-)(+)=-
-
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Ejemplos.
Nivel Bsico.
Empezamos con ejemplos directos con slo 2 cantidades de signos
contrarios.
Debemos observar que siempre el producto, bajo estas
condiciones, serNEGAVITO. Adems No importa el orden en que
aparezcan los signos.
5
3
20
12)
5
4)(
4
3).(
63)9)(8).(
9)3)(3).(
1)1)(1).(
42)7)(6).(3)3)(1).(
36)4)(9).(
45)9)(5).(
15)5)(3).(
15)5)(3).(
j
i
h
g
fe
d
c
b
a
Nivel Intermedio.
En este tipo de ejercicios vamos aumentar el nmero de cantidades
de diferentessignos.
OJO! Para hacer el producto ms rpido vamos aplicar los 2
secretos:
Secreto# 1: si el nmero de cantidades NEGATIVAS por multiplicar
es IMPAR, elresultado SIEMPRE ser NEGATIVO.
Secreto# 2: si el nmero de cantidades NEGATIVAS por multiplicar
es PAR, elresultado SIEMPRE ser POSITIVO.
De hecho, con estas observaciones no debes preocuparte por las
cantidades quetengan signo positivo.
980)7)(7)(5)(4).( a El signo del resultado es negativo,porque
tenemos un nmero
impar de factores. Multiplicamos
las cantidades.
-
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1568)7)(7)(8)(4).( b
1)1)(1)(1)(1)(1)(1).( c
113400)9)(5)(4)(21)(10)(3).( d
El signo del resultado es positivo,
porque tenemos un nmero par
de factores. Multiplicamos las
cantidades.
El signo del resultado es Negativo, porque
tenemos un nmero impar de factores.
Luego simplemente multiplicamos las
cantidades.
-
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Para Practicar:
Nivel Bsico.
Desarrollar los siguientes productos.
)7
2)(4
3).(
)19)(8).(
)5)(13).(
)11)(12).(
)9)(6).(
)13)(11).(
)7)(2).(
)6)(5).(
)15)(3).(
)2)(4).(
j
i
h
g
f
e
d
c
b
a
Nivel Intermedio.
Desarrollar los siguientes productos.
-
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Adolfo Chapuz Bentez
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Te saluda Adolfo Chapuz Bentez.
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