Républiq Ministère de l’ Email : [email protected]Institut de Départem Po MA Contrôle de p Commande en résea linéaire et simul Présenté par : Mr. SAYAH A Soutenu le : 11 octobre 2012 Mr. DELLIL AHMED Mr. CHENAFA MOHAMED Mr. MANSOURI ABDELLAH Mr. HASSINI ABDELATIF Mr. HACHEMI KHALID que Algérienne Démocratique et Populaire ’Enseignement Supérieur et De la Recherche Scie Université d’ORAN Es-Senia Maintenance et de Sécurité Industrielle ment : Maintenance en Instrumentation Mémoire our l’obtention du diplôme de : AGISTER en AUTOMATIQUE Option : processus industriel et de laborato Thème : au des systèmes retardés avec o lation sur un moteur électrique ABDELKADER 2 devant le jury : Maître de conférence A IMSI-Oran Maître de conférence A ENSET-Ora H Professeur ENSET-Ora Maître de conférence A IMSI-Oran Maître de conférence B IMSI-Oran Année universitaire : 2011/2012 entifique oire observateur e «DC» Président an Encadreur an Examinateur Examinateur Invité
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Commande en réseau des systèmes retardés avec observateur ... · République Algérienne Démocratique et Populaire Ministère de l’Enseignement Supérieur et De la Recherche
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République Algérienne Démocratique et PopulaireMinistère de l’Enseignement Supérieur et De la Recherche Scientifique
III.3. Observateur de Luenberger…………………………………………………57
III.4. Observateur de Kalman …………………………………………………….58
IV. Commande par retour d'état reconstruit par un observateur de Kalman……………...59
IV .1. Filtre de Kalman…………………………………………..………………..61
IV.2. Conception du filtre de KALMAN (FK)……………………………………62
4
V. Observation des systèmes à retards……………………………………………………62
V.2. Observation de systèmes à retards connus…………………………………...63
V.3. Retard connu sur l'état et la sortie…….…………...…………………………63
VI. Conclusion.…………………………………………………………………………..64
Chapitre III : La commande des systèmes non linéaires
I. Introduction..…………………………….…………………………………………….66I.1. Pourquoi la commande non linéaire .................................................................66
I.2. Qu’est-ce qu’un système non linéaire commandé…………………………….67
II. Introduction a la Commande Non-Linéaire……………………………………………68
II.1. Commandes non linéaires……………………………………………………69
II.2. Systèmes non linéaires.………………………………………………………70
II.3. Multiplicité de la représentation d'état...……………………………………..70
II.4. Introduction aux systèmes dynamiques……………………………………...72
II.4.1. Point d’équilibre.…………………………………………………...72
III. Stabilité des systèmes dynamiques : Stabilité de Lyapunov………………………….73
III.1. stabilité des systèmes à temps continu……………………………………...73
III.2. Méthode directe de Lyapunov………………………………………………76
IV. Stabilité des systèmes à retard………………………………………………………..77
IV .2. Modèles de retards…………………………………………………………79
IV.4. Stabilité des systèmes à retards par la seconde méthode de Lyapunov……..82
IV.4.2. Approche par fonctions de Razumikhin……………………………83
IV.4.3. Approche par fonctionnelles de Krasovskii………………………..84
V. Stabilité exponentielle des systèmes linéaires…………………………………………86
V.1. Cas des retards constants…………………………………………………….87
V.1.1. Première technique : Théorie de Lyapunov et comparaison……….87
V.1.2. Deuxième technique : Méthode du changement de variable………88
VI. Conclusion ..……………………………………………………………………. ……92
Chapitre IV : Observateurs non linéaires
I. Observateurs non linéaires……………………………………………………………...94
I.2. Linéarisation par injection de sortie…………………………………………..95
5
II. Conception d’observateur non linéaire………………………………………………...97
Je remercie Dieu le tout puissant pour la santé, la volonté, la patience etl’aide qu’il nous a données
Le travail que j’ai présenté dans ce mémoire a été réalisé sous la directiondu Dr. CHENAFA MOHAMED maitre de conférence classe A à l’ENSET-ORAN.Je tiens à le remercier beaucoup pour son encadrement, sa disponibilité et conseilsqui ma permis de progresser dans ce mémoire et d'achever ce travail.
Je tiens à remercier très vivement Mr DELLIL AHMED Maitre deconférence classe A à l’IMSI-ORAN, d’avoir bien voulu présidé ma séance desoutenance.
Je tiens aussi à exprimer toute ma reconnaissance à Mr MANSOURIABDELLAH professeur à l’ENSET-ORAN pour avoir accepté d’examiner montravail et de me faire profiter de ses réflexions.
Je remercier également Mr HASSINI ABDELATIF maitre de conférenceclasse A de l’IMSI-ORAN qui à bien voulu examiner ce modeste travail.
Comme je tiens à remercier Mr HACHEMI KHALID maitre de conférencede l’IMSI-ORAN pour participés avec son enthousiasme, et ses judicieux conseils.
Je suis très honoré par Mr BOUDJANI AHMED (ex maitre de conférencesà l’IMSI-ORAN) qui a assuré l’environnement pendant ces années de formation.
J'aimerai exprimer aussi toute ma gratitude envers tous mes amis pour leurssympathies.
Je souhaite aussi dire un grand merci à tous mes amis de la SCiS, pourleurs soutiens.
Je terminerai cet avant-propos en remerciant chaleureusement ma famillepour leurs aides, pour leurs persévérances et leurs patiences, particulièrement mamère et ma femme Je voulais aussi remercier la petit NOUR ELHOUDA pour sonchaleureux sourire. Comme je tien à remercier la famille NAIMI pour leur aide etsurtout AZZEDINE.
8
Notations et acronymes
Ensembles :
R: Ensemble des nombres réels
C: Ensemble des nombres complexes
R+ : Ensemble des nombres réels positifs
N : Ensemble des entiers naturels
N+ : Ensemble des entiers naturels non nuls
Rs : Espace réel euclidien de dimension s
Rr×s : Ensemble des matrices réelles de dimension r×s
Rn : espace vectoriel de dimension n construit sur le corps des réels.
τ(t) : retard variable de l’échantillonnage
α : paramètre de stabilité exponentielle
δ : retard sur la boucle du réseau
μ : retard
ssi : si et seulement si
Matrices et normes
A < B (resp. A > B) : signifie que A-B est une matrice définie négative (resp.
définie positive).
Is (I) : Matrice identité de dimension s
MT : Transposée de la matrice M
M−1 : Inverse de la matrice M
x = [x1 ; ; ; ; ; xn] Є Rn : vecteur d'état instantané
[aij ] : matrice dont le coefficient de la iéme ligne et jéme colonne est aij
hydrauliques et ou autres physiques, aussi bien que les systèmes économiques, biologiques,
ou écologiques.
Chapitre : I La Commande et la stabilité des systèmes linéaires
20
Les liens qui existent entre ces disciplines, basées sur la similitude des équations
mathématiques qui décrivent les phénomènes.
Les classes des systèmes qui pourraient être produits dans des systèmes de
commande modélisés sont montrées sur la figure (1.5) [9].
Figure. I.5 : Classes principales des systèmes.
III. Théorie de la commande
III.1. Introduction :
Le but d’un système de commande est d’exercer des actions entraînant une
amélioration du comportement du système et de ses performances.
L’ensemble des méthodes permettant l’analyse du comportement d’un système
donné et la synthèse des systèmes de commande satisfaisant des spécifications de
performance définit la théorie de la commande.
La théorie de la commande, développe des correcteurs (régulateurs) qui pouvant
être mis en œuvre sur des systèmes technologiques réels. Quelle que soit la nature du
système à commander, on peut classer les différentes structures de commande en deux
grandes familles :
- Les structures de commande en boucle ouverte
- Les structures de commande à contre-réaction appelées également : structures
de commande en boucle fermée.
Classes desSystèmes
ParamètreGroupés
ParamètresDistribués
DiterministesStochastiques
DiscretContinue
Non linéaireLinéaire
Coeff. ConstantTemps Variant
Non HomogèneHomogène
Chapitre : I La Commande et la stabilité des systèmes linéaires
21
III.2. La commande en boucle ouverte
En l’absence d’entrées perturbatrices et en supposant que le modèle mathématique
du système est parfait, on peut générer un signal de commande produisant le signal de
sortie souhaité s(t) en exploitant la connaissance des dynamiques du système.
Figure. I.6. Schéma de principe d’un système de commande en Boucle ouverte (BO).
III.3. La commande en boucle fermée
Si le système à commander n’est pas parfaitement connu ou si des perturbations
l’affectent, ou s’il ya un cahier des charges à respecter en reçoit des sorties non souhaités
alors l’introduction d’un retour d’information sur les sorties mesurées est alors nécessaire.
Le principe de commande en boucle fermée est illustré sur la figure suivante et
définit la structure de commande à contre-réaction (feedback). On parle alors de système
bouclé.
Figure. I.7 : Commande en boucle fermée
Cette structure de commande permet d’améliorer les performances dynamiques du
système commandé (rapidité, rejet de perturbation, meilleur suivi de consignes,
stabilisation de systèmes instables en boucle ouverte). [1]
Chapitre : I La Commande et la stabilité des systèmes linéaires
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III.2. La commande en boucle ouverte
En l’absence d’entrées perturbatrices et en supposant que le modèle mathématique
du système est parfait, on peut générer un signal de commande produisant le signal de
sortie souhaité s(t) en exploitant la connaissance des dynamiques du système.
Figure. I.6. Schéma de principe d’un système de commande en Boucle ouverte (BO).
III.3. La commande en boucle fermée
Si le système à commander n’est pas parfaitement connu ou si des perturbations
l’affectent, ou s’il ya un cahier des charges à respecter en reçoit des sorties non souhaités
alors l’introduction d’un retour d’information sur les sorties mesurées est alors nécessaire.
Le principe de commande en boucle fermée est illustré sur la figure suivante et
définit la structure de commande à contre-réaction (feedback). On parle alors de système
bouclé.
Figure. I.7 : Commande en boucle fermée
Cette structure de commande permet d’améliorer les performances dynamiques du
système commandé (rapidité, rejet de perturbation, meilleur suivi de consignes,
stabilisation de systèmes instables en boucle ouverte). [1]
Chapitre : I La Commande et la stabilité des systèmes linéaires
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III.2. La commande en boucle ouverte
En l’absence d’entrées perturbatrices et en supposant que le modèle mathématique
du système est parfait, on peut générer un signal de commande produisant le signal de
sortie souhaité s(t) en exploitant la connaissance des dynamiques du système.
Figure. I.6. Schéma de principe d’un système de commande en Boucle ouverte (BO).
III.3. La commande en boucle fermée
Si le système à commander n’est pas parfaitement connu ou si des perturbations
l’affectent, ou s’il ya un cahier des charges à respecter en reçoit des sorties non souhaités
alors l’introduction d’un retour d’information sur les sorties mesurées est alors nécessaire.
Le principe de commande en boucle fermée est illustré sur la figure suivante et
définit la structure de commande à contre-réaction (feedback). On parle alors de système
bouclé.
Figure. I.7 : Commande en boucle fermée
Cette structure de commande permet d’améliorer les performances dynamiques du
système commandé (rapidité, rejet de perturbation, meilleur suivi de consignes,
stabilisation de systèmes instables en boucle ouverte). [1]
Chapitre : I La Commande et la stabilité des systèmes linéaires
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Il est important de remarquer que cette structure de commande ne présente pas que
des avantages. Elle nécessite l’emploi de capteurs qui augmentent le coût d’une
installation.
Un système de commande peut réaliser deux fonctions différentes :
- L’asservissement : c’est à dire la poursuite par la sortie d’une consigne variable
dans le temps.
- La régulation : c’est à dire la compensation de l’effet de perturbations variables
sur la sortie avec une consigne fixe.
Le rôle de la commande est de concevoir un système de régulation automatique qui
soit :
- Stable : La grandeur de sortie doit converger vers une valeur finie si le signal
d’entrée est aussi limité.
- Précis : La grandeur à mesurer doit être la plus proche de celle désirée à l’état
statique
- Rapide : Il doit répondre rapidement à une excitation.
Figure. I.8. Stabilité des systèmes
IV. Modèles mathématiques des systèmes linéaires continus
IV.1 Introduction :
Le processus de développement d’un modèle mathématique constitue le lien entre
réalité et théorie mathématique. La phase de modélisation est donc essentielle dans le
processus d’analyse et de synthèse d’un système de commande.
Chapitre : I La Commande et la stabilité des systèmes linéaires
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Il est important de remarquer que cette structure de commande ne présente pas que
des avantages. Elle nécessite l’emploi de capteurs qui augmentent le coût d’une
installation.
Un système de commande peut réaliser deux fonctions différentes :
- L’asservissement : c’est à dire la poursuite par la sortie d’une consigne variable
dans le temps.
- La régulation : c’est à dire la compensation de l’effet de perturbations variables
sur la sortie avec une consigne fixe.
Le rôle de la commande est de concevoir un système de régulation automatique qui
soit :
- Stable : La grandeur de sortie doit converger vers une valeur finie si le signal
d’entrée est aussi limité.
- Précis : La grandeur à mesurer doit être la plus proche de celle désirée à l’état
statique
- Rapide : Il doit répondre rapidement à une excitation.
Figure. I.8. Stabilité des systèmes
IV. Modèles mathématiques des systèmes linéaires continus
IV.1 Introduction :
Le processus de développement d’un modèle mathématique constitue le lien entre
réalité et théorie mathématique. La phase de modélisation est donc essentielle dans le
processus d’analyse et de synthèse d’un système de commande.
Chapitre : I La Commande et la stabilité des systèmes linéaires
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Il est important de remarquer que cette structure de commande ne présente pas que
des avantages. Elle nécessite l’emploi de capteurs qui augmentent le coût d’une
installation.
Un système de commande peut réaliser deux fonctions différentes :
- L’asservissement : c’est à dire la poursuite par la sortie d’une consigne variable
dans le temps.
- La régulation : c’est à dire la compensation de l’effet de perturbations variables
sur la sortie avec une consigne fixe.
Le rôle de la commande est de concevoir un système de régulation automatique qui
soit :
- Stable : La grandeur de sortie doit converger vers une valeur finie si le signal
d’entrée est aussi limité.
- Précis : La grandeur à mesurer doit être la plus proche de celle désirée à l’état
statique
- Rapide : Il doit répondre rapidement à une excitation.
Figure. I.8. Stabilité des systèmes
IV. Modèles mathématiques des systèmes linéaires continus
IV.1 Introduction :
Le processus de développement d’un modèle mathématique constitue le lien entre
réalité et théorie mathématique. La phase de modélisation est donc essentielle dans le
processus d’analyse et de synthèse d’un système de commande.
Chapitre : I La Commande et la stabilité des systèmes linéaires
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La démarche globale peut se résumer de la manière suivante :
1- Définir le système à étudier et ses composants élémentaires.
2- Formuler le modèle mathématique idéal et dresser la liste des hypothèses à
retenir.
3- Ecrire les lois physiques régissant le comportement du système, et les équations
différentielles et algébriques associées.
4- Définir le modèle dédié à l’Automatique.
La complexité du modèle résultant va nous guider à conditionner le choix des
méthodes d’analyse et de synthèse qu’il sera possible de lui appliquer.
IV.2 Approximation linéaire des systèmes physiques
Il est donc important de pouvoir disposer de modèles mathématiques linéaires
suffisamment représentatifs des systèmes physiques réels afin d’y appliquer les nombreux
outils d’analyse existant et fournissant des informations essentielles sur les systèmes non
linéaire [1].
La procédure de linéarisation autour d’un point de fonctionnement est
essentiellement basée sur les développements en séries de Taylor dont les termes d’ordre
supérieur a un sont négligés.
Il est nécessaire de vérifier que cette approximation est valide et que l’on est
toujours dans un voisinage du point à lequel est effectuée la linéarisation.
IV.3 Equations dynamique d’un système linéaire :
Un système linéaire est caractérisé par une équation différentielle linéaire à
coefficients constants de la forme suivante :
m
m
mn
n
n dt
tvda
td
tdvatva
dt
tydb
dt
tdybtyb
)(...
)(
)()(
)(...
)()( 1010 +++=+++ (1.1)
L’équation (1.1) est additive, c’est à dire que l’on a :
)()()( 2121 vsvyvvy +=+
On appelle l’ordre de l’équation (1.1) n l’ordre du système linéaire.
Chapitre : I La Commande et la stabilité des systèmes linéaires
24
IV.4. Fonction de transfert d’un système linéaire
IV.4.1. Réponse d’un système linéaire
Si l’on veut connaître la réponse d’un système linéaire, il suffit de résoudre
l’équation (1.1). On utilise La Transformée de Laplace pour simplifier la résolution de ces
équations pour aboutir en fin à faire un lien direct entre les réponses des systèmes et la TL.
IV.4.2. Rappels sur la transformée de Laplace
IV.4.2.1. Définition :
Soit une fonction f définie pour 0≥t . On définit sa transformée de la place F par :
[ ] dtetftfTLsF st .).()()(0∫
+∞−== (1.2)
IV.4.2.2. Définition :
On appelle fonction de transfert ou transmittance T(P) d’un système linéaire le
rapport entre la transformée de Laplace de la sortie S(p) sur celle de l’entrée E(p).
Figure. I.9. Schéma fonctionnel d’une fonction de transfert
nn
mm
sbsbb
sasaa
sE
sSsT
++++++==
...
...
)(
)()(
10
.10 (1.3)
V. Le modèle interne- la représentation d’état
V.1. Le concept d’état d’un système :
La théorie moderne de la commande des systèmes repose en grande partie sur le
concept d’état d’un système et sur le modèle : la représentation d’état. Le concept d’état a
été introduit par : R.E. Kalman et par les ingénieurs travaillant sur les premières
applications spatiales (Apollo, Polaris) aux débuts des années 60 [1].
T(s)E(s) S(s)
Chapitre : I La Commande et la stabilité des systèmes linéaires
25
V.2. Représentation d’état des systèmes dynamiques
La représentation d’état est un modèle interne structuré qui s’applique aux systèmes
temps-variant ou non linéaires.
On considère donc le système dynamique multivariable de la figure suivante ayant
pour entrées les composantes du vecteur mRtu ∈)( et pour sorties les composantes du
vecteur rRty ∈)( [2].
Figure. I.10. Système dynamique multivariable
L’état d’un système est caractérisé par différentes variables dynamiques appelées
variables d’état regroupées dans un unique vecteur appelé vecteur d’état :
],...,[)( 1 ′= nxxtx (1.4)
Cet ensemble résume complètement la configuration dynamique courante du
système. L’état initial d’un système doit ainsi constituer sa mémoire.
V.3. Vecteur d’état
V.3.1. Définition :
x(t) est un vecteur d’état pour le système si ce vecteur contenant le nombre minimal
de variables internes vérifiant la propriété suivante :
Si, à chaque instant t0, x(t0) est connu alors y(t1) et x(t1) peuvent être déterminés de
manière unique pour tout t1 ≥ t0 si u(t) est connue sur l’intervalle [t0 , t1].
Le vecteur d’état x(t) appartient à un espace vectoriel E, défini comme l’espace
d’état. L’évolution du système peut être représentée au moyen des trajectoires d’état, lieu
dans l’espace d’état E du point de coordonnées x(t) dans le repère choisi [1].
XVecteur d’étatdimension n
UVecteur d’entrée
Vecteur
YVecteur de sortie
VecteurDimension m Dimension r
Chapitre : I La Commande et la stabilité des systèmes linéaires
26
Figure.1.11. Trajectoire d’état dans un espace d’état.
V.4. Représentation d’état :
V.4.1. Définition :
Tout système dynamique peut être représenté par ses équations d’état définies
comme un ensemble d’équations différentielles du premier ordre appelées équations
dynamiques et un ensemble d’équations algébriques appelées équations de sortie ou de
mesure :
)),(),(()( ttutxftx =
)),(),(()( ttutxhty = (1.5)
Où nRtx ∈)( est le vecteur d’état, mRtu ∈)( est le vecteur de commande, rRty ∈)(
est le vecteur de sortie.
V.4.2. Représentation d’état linéaire
Une classe particulièrement importante de modèles d’état est celle des modèles
d’état linéaires. En effet, même si aucun système physique naturel ou artificiel ne peut
vérifier strictement la propriété de linéarité [2].
V.4.2.1. Définition :
Si le système vérifie l’hypothèse de linéarité alors sa représentation d’état est
donnée Par :
Équation dynamique d’étatÉquation de mesure de sortie
Chapitre : I La Commande et la stabilité des systèmes linéaires
26
Figure.1.11. Trajectoire d’état dans un espace d’état.
V.4. Représentation d’état :
V.4.1. Définition :
Tout système dynamique peut être représenté par ses équations d’état définies
comme un ensemble d’équations différentielles du premier ordre appelées équations
dynamiques et un ensemble d’équations algébriques appelées équations de sortie ou de
mesure :
)),(),(()( ttutxftx =
)),(),(()( ttutxhty = (1.5)
Où nRtx ∈)( est le vecteur d’état, mRtu ∈)( est le vecteur de commande, rRty ∈)(
est le vecteur de sortie.
V.4.2. Représentation d’état linéaire
Une classe particulièrement importante de modèles d’état est celle des modèles
d’état linéaires. En effet, même si aucun système physique naturel ou artificiel ne peut
vérifier strictement la propriété de linéarité [2].
V.4.2.1. Définition :
Si le système vérifie l’hypothèse de linéarité alors sa représentation d’état est
donnée Par :
Équation dynamique d’étatÉquation de mesure de sortie
Chapitre : I La Commande et la stabilité des systèmes linéaires
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Figure.1.11. Trajectoire d’état dans un espace d’état.
V.4. Représentation d’état :
V.4.1. Définition :
Tout système dynamique peut être représenté par ses équations d’état définies
comme un ensemble d’équations différentielles du premier ordre appelées équations
dynamiques et un ensemble d’équations algébriques appelées équations de sortie ou de
mesure :
)),(),(()( ttutxftx =
)),(),(()( ttutxhty = (1.5)
Où nRtx ∈)( est le vecteur d’état, mRtu ∈)( est le vecteur de commande, rRty ∈)(
est le vecteur de sortie.
V.4.2. Représentation d’état linéaire
Une classe particulièrement importante de modèles d’état est celle des modèles
d’état linéaires. En effet, même si aucun système physique naturel ou artificiel ne peut
vérifier strictement la propriété de linéarité [2].
V.4.2.1. Définition :
Si le système vérifie l’hypothèse de linéarité alors sa représentation d’état est
donnée Par :
Équation dynamique d’étatÉquation de mesure de sortie
Chapitre : I La Commande et la stabilité des systèmes linéaires
27
+=+=
•
)()()(
)()()(
tuDtxCty
tuBtxAtx (1.6)
Avec :- nnRA ×∈ est la matrice d’état.- mnRB ×∈ est la matrice de commande ou d’entrée.- nrRC ×∈ est la matrice de mesure ou de sortie.- mrRD ×∈ est la matrice de transmission directe.
Un modèle d’état LTI est donc complètement caractérise par le quadriplet A, B,C,D.
Si les matrices A, B, C, D sont constantes, le système est dit : Linéaire a Temps
Invariant (LTI).
V.5. Les modèles externes (entrées-sorties) :
L’idée fondamentale derrière l’utilisation de modèles externes (entrées-sorties) est
d’utiliser l’information minimale afin de modéliser le comportement (relation causale
entrées-sorties).
V.5.1 La matrice de transfert
Soit le système multivariable dont le modèle d’état est donné ci-dessous :
+=+=
•
)()()(
)()()(
tuDtxCty
tuBtxAtx Avec 00 )( xtx = (1.7)
Ou nRtx ∈)( , mRtu ∈)( et rRty ∈)( .
Figure.1.12 Systèmes multivariable
Du fait de la linéarité de l’opérateur de Laplace, il est possible de l’appliquer aux
équations de (1.7) :
)()()(. 0 sBUsAXxsXS +=− (1.8)
Système linéairemultivariable
mu2u 2y
ry
1y1u
Chapitre : I La Commande et la stabilité des systèmes linéaires
28
Ou: )]([)()]([)()],([)( tyLsYettuLsUtxLsX ===
En résolvant les équations (1.8) par rapport à Y (s), il vient :
)())(()()( 01 sDUxsBUAsICsY ++−= − (1.9)
Pour des conditions initiales nulles, x(0) = 0, on obtient la relation entrées-sorties :
)().()(].)([)( 1 sUsGsUDBAsICsY =+−= − (1.10)
V.5.1.1. Définition (Matrice de transfert) :
La matrice mrCsG ×∈)( est appelée matrice de transfert liant l’entrée U(s) à la sortie
Y(s) :)()()( sUsGsY ×= (1.11)
])([)( 1 DBAsICsG +−= − (1.12)
Remarque :
La matrice de transfert permet de représenter le comportement dynamique du
système de manière algébrique.
VI. Commande linéaire
VI.1. Introduction
Un système linéaire est stabilisable s’il existe une commande en boucle fermée telle
que le système commandé soit stable.
Si la commande utilise un retour d’état, il suffit que les modes instables du système
soient commandable [8].
D’une façon générale, la commande en boucle fermée cherche à répondre à des
objectifs de :
(i) Stabilité : retour à l’état d’équilibre après une perturbation ;
(ii) Performance de régulation : rejet d’une perturbation, ainsi que la rapidité du
rejet.
En termes de performances, il s’agit donc de déplacer les valeurs propres de la
boucle fermée dans le demi-plan complexe gauche, le plus loin possible de l'axe
imaginaire[8].
Chapitre : I La Commande et la stabilité des systèmes linéaires
29
VI.2 Formulation du problème de commande à retour d’état
La commande par retour d'état est une méthode employée en asservissement pour
placer les pôles en boucle fermée dans le plan S. L'intérêt de cette technique est que les
pôles, correspondant à la valeur propre du système, vont influencer la dynamique du
système bouclé.
Soit le système à régler décrit par le modèle d’état :
=+=
•
)()(
)()()(
txCty
tuBtxAtx (1.13)
Le problème est de trouver un retour d’état stabilisant, optimal, performant.
Il s’agit donc de trouver la matrice de gain du retour d’état K :
)(.)( txKtu −=
Avec la dimension de nmK .=
Figure. I.13. bloc de commande par retour d’état.
En boucle fermée, l’équation d’état devient, après calcul de K:
)()(
)(][)(
tC xty
txB KAtx
b f
b fb f
=
−=(1.14)
Les conditions initiales sont rejetées d’autant plus rapidement que les valeurspropres de la matrice )( BKA− , ont une partie réelle très négative (i.e. 0)( ≤iR ).
Les « gains » de la matrice K seront plus grands si on désire accélérer le rejet deperturbation.
Quand un système est instable ou qu’il est stable mais trop lent on peut chercher à
le stabiliser ou à l’accélérer il s’agit alors de modifier la dynamique du système en plaçant
les valeurs propres de A plus a gauche de l’axe imaginaire dans le plan en s en temps
continu.
Y(t)u(t) x(t)x
Chapitre : I La Commande et la stabilité des systèmes linéaires
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VI.2 Formulation du problème de commande à retour d’état
La commande par retour d'état est une méthode employée en asservissement pour
placer les pôles en boucle fermée dans le plan S. L'intérêt de cette technique est que les
pôles, correspondant à la valeur propre du système, vont influencer la dynamique du
système bouclé.
Soit le système à régler décrit par le modèle d’état :
=+=
•
)()(
)()()(
txCty
tuBtxAtx (1.13)
Le problème est de trouver un retour d’état stabilisant, optimal, performant.
Il s’agit donc de trouver la matrice de gain du retour d’état K :
)(.)( txKtu −=
Avec la dimension de nmK .=
Figure. I.13. bloc de commande par retour d’état.
En boucle fermée, l’équation d’état devient, après calcul de K:
)()(
)(][)(
tC xty
txB KAtx
b f
b fb f
=
−=(1.14)
Les conditions initiales sont rejetées d’autant plus rapidement que les valeurspropres de la matrice )( BKA− , ont une partie réelle très négative (i.e. 0)( ≤iR ).
Les « gains » de la matrice K seront plus grands si on désire accélérer le rejet deperturbation.
Quand un système est instable ou qu’il est stable mais trop lent on peut chercher à
le stabiliser ou à l’accélérer il s’agit alors de modifier la dynamique du système en plaçant
les valeurs propres de A plus a gauche de l’axe imaginaire dans le plan en s en temps
continu.
Y(t)u(t) x(t)x
Chapitre : I La Commande et la stabilité des systèmes linéaires
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VI.2 Formulation du problème de commande à retour d’état
La commande par retour d'état est une méthode employée en asservissement pour
placer les pôles en boucle fermée dans le plan S. L'intérêt de cette technique est que les
pôles, correspondant à la valeur propre du système, vont influencer la dynamique du
système bouclé.
Soit le système à régler décrit par le modèle d’état :
=+=
•
)()(
)()()(
txCty
tuBtxAtx (1.13)
Le problème est de trouver un retour d’état stabilisant, optimal, performant.
Il s’agit donc de trouver la matrice de gain du retour d’état K :
)(.)( txKtu −=
Avec la dimension de nmK .=
Figure. I.13. bloc de commande par retour d’état.
En boucle fermée, l’équation d’état devient, après calcul de K:
)()(
)(][)(
tC xty
txB KAtx
b f
b fb f
=
−=(1.14)
Les conditions initiales sont rejetées d’autant plus rapidement que les valeurspropres de la matrice )( BKA− , ont une partie réelle très négative (i.e. 0)( ≤iR ).
Les « gains » de la matrice K seront plus grands si on désire accélérer le rejet deperturbation.
Quand un système est instable ou qu’il est stable mais trop lent on peut chercher à
le stabiliser ou à l’accélérer il s’agit alors de modifier la dynamique du système en plaçant
les valeurs propres de A plus a gauche de l’axe imaginaire dans le plan en s en temps
continu.
Y(t)u(t) x(t)x
Chapitre : I La Commande et la stabilité des systèmes linéaires
30
VI.3 Théorème général
VI.3.1 Définition :
La paire (A, B) est stabilisable par retour d’état si et seulement si il existe K telle
que )( BKA− soit asymptotiquement stable. [10]
VI.3.2 Théorème :
La paire (A, B) est stabilisable par retour d’état si et seulement si tous les modes
instables (i.e. non asymptotiquement stables) sont commandable.
VI.4 Description de performances
VI.4.1 Stabilité de la boucle fermée :
La stabilité du système commandé est la première performance exigée. Dans
le cadre de la commande en boucle fermée des systèmes linéaires monovariables à
partir des modèles exacts, les méthodes habituelles d’analyse de stabilité de boucle
fermée suffisent :
- lieu des racines,
- plan de phase,
- critère de Nyquist
- critères algébriques,
S’il s’agit de la commande robuste, la première exigence est la robustesse de
la stabilité. Daprès les travaux de Bode et Nyquist (1930-1950) cette exigence est
présente à travers les notions de marge de stabilité : marge de gain et marge de
phase [10].
VI.5. Stabilité des systèmes linéaires déterministes :
Un système linéaire déterministe est un système basé sur un modèle
mathématique connus dont sa fonction de transfert est déterminée a partir de la
transforme de Laplace par :
Chapitre : I La Commande et la stabilité des systèmes linéaires
31
)()()( sUsGsY ×= (1.15)
Avec s : variable de Laplace, G(s) : fonction de transfert du système
La transformé de LAPLACE du système (1.13) est :
)()()(. sBUsAXsXS +=
)()( sCXsY =
La matrice de transfert entre U(s) et Y (s) est :
BASICsG 1)()( −−= (1.16)
VI.5.1. Polynôme caractéristique :
Si u(t) = 0 pour 0≥t , la solution de l’équation d’état (1,13) est donnée par :
)0(.)( xtx eAt= (1.17)
Le système est stable si seulement si les parties réelles des valeurs propres de A
sont à partie réel négatives.
VI.6. Stabilité des systèmes
VI.6.1. Introduction :
La notion de stabilité est fondamentale dans le développement des systèmes de
commande. Puisque en absence de cette propriété qualitative, aucun système n’est
utilisable en pratique.
Si l’énergie totale d’un système est dissipée de manière continue alors le système
(qu’il soit linéaire ou non linéaire) devra rejoindre finalement un point d’équilibre. [2]
Les questions de stabilité ont été étudiées par A.M. Lyapunov (1892) qui a donnée
une définition générale englobant de nombreux systèmes physiques [11].
Chapitre : I La Commande et la stabilité des systèmes linéaires
32
La stabilité entrée-sortie n’implique pas nécessairement la stabilité interne. De
même, la notion de stabilité à étudier peut être globale, locale ou semi-globale suivant le
système (non linéaire) considère [2].
En mathématique et en automatique, la notion de stabilité de Lyapunov apparaît
dans l'étude des systèmes dynamiques. L'idée de Aleksandr Lyapunov consiste à dire que
si tous les points d'un système démarrent autour d'un point x et que tous ces points restent
autour de ce point x, alors x est stable au sens de Lyapunov.
De plus, si tous ces points convergent vers x alors x est asymptotiquement stable.
VI.6.2. La stabilité interne :
Cette notion est très liée à celle de l’état, des trajectoires d’état et de point
d’équilibre.
VI.6.2.1. Définition : (état d’équilibre)
Un point ex de la trajectoire d’état d’un système dynamique est un état
d’équilibre si : ee xtxxtx =⇔= )()( 0 t ≥ 0, en l’absence de commande et de
perturbations.
Pour un système dynamique de représentation d’état: ))(),(,()( tutxtftx = , les
points d’équilibre sont les solutions de l’équation algébrique : ))(),(,(0 tutxtf=
.0≥∀ t
Note :
- La stabilité au sens de Lyapunov est également définie comme la stabilité
interne. Elle signifie que la trajectoire d’état peut être gardée arbitrairement près de
xe, si l’on prend une condition initiale suffisamment proche de xe.
VI.6.2.2 Point d’équilibre :
- Soit donc un système, )( xfx = et un point d’équilibre ex .
- De telle sort que: )(0 xfx ==
Chapitre : I La Commande et la stabilité des systèmes linéaires
33
Pour un système linéaire décrit par :
)()()( tButAxtx +=
Avec un bouclage (retour d’état) : Kxu −=
xAxBKAx~
][ =−= (1.18)
– point d’équilibre unique (A non singulière) ex = 0
– 0)( ≤ieR c’est la stabilité asymptotique.
Il existe différents types de stabilités pour caractériser l'évolution d'un point vers
son état stable.
Soit un système autonome ( )x f x= où f D R n: → est une application supposée
localement Lipchitzienne sur D Rn⊂ .
On suppose que l’origine x = 0 est un point d'équilibre du système qui satisfait :
f x D( )0 0 0= ⇒ = ⊂ .
Le point d'équilibre du système ( )x f x= est :
- Stable au sens de Lyapunov si 0>)(0> ∃∀ tel que :
0>,<)(<)0( ttxx ∀⇒ (1.19)
- Instable s'il n'est pas stable.
- Asymptotiquement stable si le point est stable et que :
0)(<)0( →⇒ txx quand ∞→t .
- Exponentiellement stable si le point est stable et que : 0>, ∃ teleque :
0>,)0(.<)0( texx t ∀− (1.20)
Chapitre : I La Commande et la stabilité des systèmes linéaires
34
VI.7. Stabilité et fonction de Lyapunov
VI.7.1. Théorème de Lyapunov (1892) :
On présentera ici le théorème sans dépendance temporelle.
S'il existe une fonction dite de Lyapunov RRxV n →:)( telle que :
++ →∃ RRVV :, 21 Non décroissantes telque :
)(<)(<)( 21 xVxVxV (1.21)
++ →∃ RRV :3 Non décroissante et que :
0>s0,>)(3 ∀sV Tel que )(-<))(( 3 xVtxV
Alors le système est trivialement asymptotiquement stable.
On notera que la première condition ne dépend pas du système. En général, la
fonction de Lyapunov possède une forme quadratique en x :
xPxxV T ..)( = , avec P définie positive ( 0>TPP = ).
Dans le cas linéaire, si le système est définie par : XAX .= le théorème de
Lyapunov est le suivant (formulation originale de Lyapunov) :
0>TPP =∃ Telque :
0>,0.. TT QQQAPPA =∀=++ (1.22)
⇔ A est Hurwitz ⇔ le système est asymptotiquement stable.
Remarque :
On voit ici la puissance du théorème de Lyapunov car il permet de conclure sur la
stabilité d'un système dynamique grâce à une équation algébrique.
Toute la difficulté est de trouver une fonction de Lyapunov V(x) dans le cas général
ou la matrice P dans le cas linéaire.
Chapitre : I La Commande et la stabilité des systèmes linéaires
35
VI.7.2. Stabilité asymptotique
Un système est dit asymptotiquement stable si lorsqu'on lui applique une entrée
finie, la sortie ne diverge pas et que si on applique un échelon en entrée du système, alors
toutes les oscillations seront amorties et la sortie tendra de manière asymptotique vers une
valeur stationnaire finale figure I.14.
Figure. I.14. Réponse impulsionelle de deux systèmes asymptotiquement stables
La stabilité asymptotique est une forme particulière de la stabilité des systèmes
dynamiques utilisée en automatique.
Exemple :
Prenons un exemple d’un pendule, on connait ses deux positions d’équilibre celle
du bas, θ = 0, est stable (un petit écart n’entraîne que de petits effets) et celle du haut, θ =
π, est instable (un petit écart entraîne de grands effets).
Si l’on tient compte du freinage de l’air, il est clair que l’équilibre du haut reste
instable. L’équilibre du bas reste stable mais avec en plus un amortissement au cours du
temps des petits écarts.
VI.7.3. Fonction Candidat de Lyapunov
La fonction d’énergie possède deux propriétés essentielles. La première est la
qualité d’extremum au point d’équilibre, à savoir s’il s’agit d’un maximum ou d’un
minimum. Le point d’équilibre a tendance à être stable lorsque cet extremum est un
minimum.
Chapitre : I La Commande et la stabilité des systèmes linéaires
35
VI.7.2. Stabilité asymptotique
Un système est dit asymptotiquement stable si lorsqu'on lui applique une entrée
finie, la sortie ne diverge pas et que si on applique un échelon en entrée du système, alors
toutes les oscillations seront amorties et la sortie tendra de manière asymptotique vers une
valeur stationnaire finale figure I.14.
Figure. I.14. Réponse impulsionelle de deux systèmes asymptotiquement stables
La stabilité asymptotique est une forme particulière de la stabilité des systèmes
dynamiques utilisée en automatique.
Exemple :
Prenons un exemple d’un pendule, on connait ses deux positions d’équilibre celle
du bas, θ = 0, est stable (un petit écart n’entraîne que de petits effets) et celle du haut, θ =
π, est instable (un petit écart entraîne de grands effets).
Si l’on tient compte du freinage de l’air, il est clair que l’équilibre du haut reste
instable. L’équilibre du bas reste stable mais avec en plus un amortissement au cours du
temps des petits écarts.
VI.7.3. Fonction Candidat de Lyapunov
La fonction d’énergie possède deux propriétés essentielles. La première est la
qualité d’extremum au point d’équilibre, à savoir s’il s’agit d’un maximum ou d’un
minimum. Le point d’équilibre a tendance à être stable lorsque cet extremum est un
minimum.
Chapitre : I La Commande et la stabilité des systèmes linéaires
35
VI.7.2. Stabilité asymptotique
Un système est dit asymptotiquement stable si lorsqu'on lui applique une entrée
finie, la sortie ne diverge pas et que si on applique un échelon en entrée du système, alors
toutes les oscillations seront amorties et la sortie tendra de manière asymptotique vers une
valeur stationnaire finale figure I.14.
Figure. I.14. Réponse impulsionelle de deux systèmes asymptotiquement stables
La stabilité asymptotique est une forme particulière de la stabilité des systèmes
dynamiques utilisée en automatique.
Exemple :
Prenons un exemple d’un pendule, on connait ses deux positions d’équilibre celle
du bas, θ = 0, est stable (un petit écart n’entraîne que de petits effets) et celle du haut, θ =
π, est instable (un petit écart entraîne de grands effets).
Si l’on tient compte du freinage de l’air, il est clair que l’équilibre du haut reste
instable. L’équilibre du bas reste stable mais avec en plus un amortissement au cours du
temps des petits écarts.
VI.7.3. Fonction Candidat de Lyapunov
La fonction d’énergie possède deux propriétés essentielles. La première est la
qualité d’extremum au point d’équilibre, à savoir s’il s’agit d’un maximum ou d’un
minimum. Le point d’équilibre a tendance à être stable lorsque cet extremum est un
minimum.
Chapitre : I La Commande et la stabilité des systèmes linéaires
36
Le candidat Lyapunov est une fonction qui présente ce type de particularité. Afin
de forcer la présence d’un minimum au point d’équilibre, la fonction sera contrainte à être
positive pour toute valeur différente de l’origine. Elle ne pourra s’annuler qu’à l’origine.
Les techniques de linéarisation exacte de l’erreur d’estimation reposent sur
l’existence d’un changement de coordonnées (c’est-à-dire un difféomorphisme) qui
transforme le système non linéaire initial en un système linéaire auxiliaire.
Chapitre IV Observateurs non-linéaires
103
On considère le système non linéaire (4.12) suivant :
==
))(()(
))(),(()(
txhty
tutxftx(4.12)
Nous construisons un observateur du système (4.12) par linéarisation :
Étape1: Étant donné un état initial nRx ∈0 , le problème de la linéarisation exacte
de l’erreur d’estimation consiste à rechercher un difféomorphisme T défini sur un
voisinage de 0x tel que:
))(()( txTtz = (4.13)
Ce qui revient à : ))(()( 1 tzTtx −= (4.14)
Le difféomorphisme est choisi de telle sorte que le modèle dynamique du système
(4.4) se met, dans le nouveau système de coordonnées, sous la forme canonique observable
généralisée :
=+=
)()(
),()()(
tCzty
uygtAztz(4.15)
Étape 2 : Comme la non linéarité g ne dépend que des entrées et des mesures, qui
sont connues, par injection on linéarise simplement l’erreur d’estimation. En effet, on
choisit comme observateur :
))(ˆ)(())(),(()(ˆ)(ˆ tzCtyKtutygtzAtz −++= (4.16)
Étape 3 : La dynamique de l’erreur d’estimation )(ˆ)()( tztzte −= s’écrit :
)()()( teKCAte −= (4.17)
Étape 4 : On est donc ramené à un problème linéaire, que l’on sait résoudre, par
une technique de placement de pôles. Le gain K est choisi de telle sorte que la matrice
(A – KC) soit stable.
Chapitre IV Observateurs non-linéaires
104
Étape 5 : Finalement, pour obtenir une estimation de l’état x du système non
linéaire initial, il suffit d’appliquer le difféomorphisme inverse :
)ˆ()(ˆ 1 zTtx −= (4.18)
La difficulté majeure de cette méthode de linéarisation exacte réside dans
l’obtention du difféomorphisme T (4.13).
III.4. Observateurs à grand gain
Les techniques dites "à grand gain" peuvent être appliquées sans transformation du
système initial : dans ce cas, la conception de l’observateur se fait directement à partir de la
structure du système.
La méthode présentée par Thau [17] donne des conditions suffisantes de
convergence de l’état estimé vers l’état réel du système, pour la classe des systèmes non
linéaires décrits par le modèle suivant :
=+=
)()(
))(),(()()(
txCty
tutxftxAtx(4.19)
La dynamique de l’état comporte une partie linéaire non commandée et une partie
non linéaire commandée, vérifiant en général la condition de Lipschitz par rapport à x (au
moins localement) :
Définition 1 : (Condition de Lipschitz) :
Une fonction f définie de : mn RR → est dite k-lipschitzienne, s’il existe 0>K
tel que pour tout 2)(),( nRyx ∈ :
)()()( yxKyfxf −≤− (4.20)
L’observateur "à grand gain" possède la structure suivante :
)ˆ(),ˆ(ˆˆ xCyLuxfxAx −++= (4.21)
Chapitre IV Observateurs non-linéaires
105
La fonction non linéaire : f possède une grande constante de Lipschitz, la moindre
erreur entre l’état réel et l’état estimé va se répercuter et croître. Par conséquent, le gain L
de l’observateur (4.21) doit être important pour compenser cette amplification de l’erreur.
La dynamique de l’erreur d’estimation xxe ˆ−= se déduit de (4.20) et (4.21) :
))(),(ˆ())(),(()()( tutxftutxfteLCAe −+−= (4.22)
Le résultat présenté dans [17] est le suivant :
III.5 Théorème 1 : (Thau) :
Si le gain L vérifie :
)max(2)min(
p
qK
< (4.23)
Où k est la constante de Lipschitz de f, et P, Q sont deux matrices respectivement :
symétrique définie positive et définie positive, solutions de l’équation de Riccati :
Q-=LC)-(AP+PLC)-(A T (4.24)
Alors (4.21) est un observateur asymptotique du système non linéaire (4.19).
Remarque :
La méthode de Thau n’est pas constructive [17], elle ne donne aucune indication surle choix d’un gain satisfaisant la condition (4.23).
Il s’agit d’une technique de vérification, qui garanti la convergence asymptotique del’état estimé x vers l’état réel x, lorsque le gain L a déjà été choisi.
La structure de l’observateur non linéaire est une structure de Luenberger étendue aucas non linéaire. La majoration de l’erreur (4.22) utilise la condition de Lipschitz,majoration qui n’est pas optimale.
Chapitre IV Observateurs non-linéaires
106
IV. Modélisation des systèmes non linéaires, non stationnaires à retards
La plus part des processus réels sont non linéaires, on propose des modèles dont les
paramètres peuvent varier au cours du temps et avec l'état.
La différence avec les systèmes linéaires est que les matrices Ai, Bi et Ci
deviennent des fonctions du temps et/ou de l'état et généralement continues (ou continues
par morceaux). Les équations définissant ces modèles, dans le cas d'un retard simple (c'est-
à-dire: r =1) sur l'état et sur l'entrée, se présentent de la manière suivante :
),(),()(
)(),()(),()(),()(),()(
txxtCty
tuxtBtxxtAtuxtBtxxtAtx
t
tttt
=−+−++=
(1.25)
V. Conclusion :
Ces différentes techniques d’estimation d’état sont alors appliquées à la classe de
systèmes non linéaires et aboutissent à la conception d’observateurs spécifiques, d’ordre
plein et d’ordre réduit.
Les observateurs étendus sont des méthodes répandues pour estimer l’état d’un
système non linéaire. Leur conception, reposent sur la généralisation des observateurs
linéaires, en utilisant des techniques classiques de linéarisation de la dynamique non
linéaire comme par exemple filtre de Kalman étendu et Luenberger étendu.
La construction d’observateurs se décompose en synthèse, et conception pour
choisir la dynamique de l’observateur et une phase d’analyse de la convergence de l’état
observé vers l’état réel du système.
La synthèse de l’observateur exploite les informations disponibles, du système
étudié, ses entrées et ses sorties mesurées. Si des entrées ne sont pas disponibles on parle
alors d’observateur à entrées inconnues.
Chapitre IV Observateurs non-linéaires
107
Le problème devient plus complexe, puisqu’il s’agit soit d’estimer l’état du
système, malgré la présence d’entrées qui interviennent effectivement dans la dynamique
du système mais que l’on ne peut pas inclure dans la dynamique de l’observateur, soit
d’estimer l’état et les entrées inconnues également.
L’analyse de la stabilité (asymptotique ou exponentielle) de l’erreur d’estimation
fait appel à la théorie de la stabilité de Lyapunov-Krasovskii dédiée aux systèmes à retard,
et aboutit à des conditions suffisantes de synchronisation, qui sont exprimées sous forme
de BMI (inégalités matricielles bilinéaires) et de LMI (inégalités matricielles linéaires)
(Annexe 1).
L’intérêt de ce chapitre est de donné un aperçu sur la conception des observateurs
non linéaires appliqués à la commande des systèmes non linéaires retardés ou sans retard,
avec les conditions de stabilités de Lyapunov et le calcule du gain d’observateur L par les
techniques LMI. Puisque la plupart des systèmes physiques sont non linéaires.
Chapitre V commande en réseau application sur moteur DC
108
Chapitre V
Commande en réseau application sur
Moteur «DC»
I. Application de la commande en réseau :
I.1. Introduction
Les systèmes commandés en réseau constituent une nouvelle classe de systèmes,
introduisant des problèmes spécifiques liés à la présence de retards, à la perte d'information et
à la gestion du flux de données. Ces contraintes prennent une importance considérable lors de
la commande des procédés rapides pour lesquels les caractéristiques du réseau ne peuvent plus
être négligées.
Avec l’avènement de l’internet, les réseaux industriels s’ouvrent progressivement pour
offrir de nouvelles fonctionnalités (télé-opération, télémaintenance…) et pour intégrer les
données de production dans des outils de gestion d’entreprises (ERP : Enterprise Resource
Planning) multi-sites, multinationales.
Cette ouverture des réseaux peut rendre difficile la maîtrise des flux que véhicule le
réseau industriel qui doit garantir une qualité de service (QdS) requise par l’application (QdC :
Qualité de Contrôle).
Les réseaux de communication génèrent des perturbations sur le système à commander
en termes de retard, de pertes de données, qui doivent être prises en compte dans la boucle de
régulation du système asservi.
Chapitre V commande en réseau application sur moteur DC
109
Le canal de communication entre le système et le contrôleur est souvent modélisé
comme une ligne de transmission, c'est à dire un élément physique induisant un retard
constant, dépendant des propriétés structurelles de la ligne. Cette description devient plus
complexe lorsque le système est commandé à travers un réseau utilisé par de multiples
utilisateurs. Dans ce cas, le retard induit ne dépend plus seulement d'éléments physiques mais
aussi et surtout des algorithmes mis en place pour la gestion du trafic sur le réseau et le codage
de l'information.
I.2. Les systèmes contrôlés en réseau(SCRs)
Les SCRs peuvent se décomposer en trois parties comme le montre la figure.5.1 le
contrôleur, le réseau et le procédé. Les échanges de données entre le contrôleur et le procédé
se font en connectant les capteurs et les actionneurs sur le réseau. Le cheminement pour
contrôler le système est donc le suivant : le contrôleur digital lit les valeurs de mesures de
sortie du système, les compare aux valeurs désirées, et calcule l’entrée de commande à chaque
intervalle de temps suivant la loi de commande choisie.
La commande est encapsulée dans une trame puis elle est envoyée vers l’actionneur à
travers un réseau de communication. L’actionneur récupère la trame puis en extrait la
consigne. Celle-ci est maintenue constante durant chaque intervalle d’échantillonnage par un
bloqueur d’ordre Zéro (BOZ) et est appliquée à l’entrée de commande du système commandé.
Les informations d’état du système générées par les capteurs sont elles aussi encapsulées pour
être transmises sur le réseau jusqu’au contrôleur.
Les retards dans les SCR ne sont donc pas dus uniquement au support de transmission
mais correspondent à une somme de retards provenant des temps de conversion (A/D et D/A),
des temps de traitement de la commande, des temps de codage/décodage des messages, du
temps d’acheminement des messages à travers le réseau et des temps de mesure et de
réalisation de l’action.
La contrainte pour pouvoir contrôler un procédé est que la somme de ces temps doit
être inférieure à la période d’échantillonnage du système. Si certains temps sont facilement
maîtrisables comme le temps de traitement de la commande, ou considérés comme
Chapitre V commande en réseau application sur moteur DC
110
négligeable, il est plus difficile d’estimer les retards induits par le réseau. Ces retards peuvent
varier considérablement en fonction de l’évolution de la charge du réseau (problème de
congestion) et même être infinis dans le cas d’une perte de trames.
Figure. V.1. Système commandé en réseau
Un réseau peut être caractérisé par deux éléments de première importance lors de sa
modélisation :
1- La gestion du flux de données au niveau local (émetteur/récepteur), où les mesures
physiques sont converties en unités d'information à transmettre.
2- La gestion du flux de données au niveau global, où un algorithme gère les
interactions entre les différents flux, évitant ainsi par exemple les collisions ou la perte de
paquets induits par une surcharge du réseau.
Lors de l'émission, la gestion des données dépend du protocole utilisé et de son
implémentation. La taille, la fréquence d'émission et la priorité des paquets peuvent ainsi être
ajustés, en prenant éventuellement en compte des consignes issues de la gestion globale.
Des études considèrent le canal de transmission comme un retard variable dans le
temps (cause d'instabilité du système). Le retard peut alors être caractérise par un modèle
déterministe.
Chapitre V commande en réseau application sur moteur DC
110
négligeable, il est plus difficile d’estimer les retards induits par le réseau. Ces retards peuvent
varier considérablement en fonction de l’évolution de la charge du réseau (problème de
congestion) et même être infinis dans le cas d’une perte de trames.
Figure. V.1. Système commandé en réseau
Un réseau peut être caractérisé par deux éléments de première importance lors de sa
modélisation :
1- La gestion du flux de données au niveau local (émetteur/récepteur), où les mesures
physiques sont converties en unités d'information à transmettre.
2- La gestion du flux de données au niveau global, où un algorithme gère les
interactions entre les différents flux, évitant ainsi par exemple les collisions ou la perte de
paquets induits par une surcharge du réseau.
Lors de l'émission, la gestion des données dépend du protocole utilisé et de son
implémentation. La taille, la fréquence d'émission et la priorité des paquets peuvent ainsi être
ajustés, en prenant éventuellement en compte des consignes issues de la gestion globale.
Des études considèrent le canal de transmission comme un retard variable dans le
temps (cause d'instabilité du système). Le retard peut alors être caractérise par un modèle
déterministe.
Chapitre V commande en réseau application sur moteur DC
110
négligeable, il est plus difficile d’estimer les retards induits par le réseau. Ces retards peuvent
varier considérablement en fonction de l’évolution de la charge du réseau (problème de
congestion) et même être infinis dans le cas d’une perte de trames.
Figure. V.1. Système commandé en réseau
Un réseau peut être caractérisé par deux éléments de première importance lors de sa
modélisation :
1- La gestion du flux de données au niveau local (émetteur/récepteur), où les mesures
physiques sont converties en unités d'information à transmettre.
2- La gestion du flux de données au niveau global, où un algorithme gère les
interactions entre les différents flux, évitant ainsi par exemple les collisions ou la perte de
paquets induits par une surcharge du réseau.
Lors de l'émission, la gestion des données dépend du protocole utilisé et de son
implémentation. La taille, la fréquence d'émission et la priorité des paquets peuvent ainsi être
ajustés, en prenant éventuellement en compte des consignes issues de la gestion globale.
Des études considèrent le canal de transmission comme un retard variable dans le
temps (cause d'instabilité du système). Le retard peut alors être caractérise par un modèle
déterministe.
Chapitre V commande en réseau application sur moteur DC
111
I.3. Introduction au Réseaux
I.3.1. Présentation
De la même façon que des progiciels, il est nécessaire de se préoccuper du transfert de
données. Les exigences temporelles et le type de données à véhiculer vont permettre de
présenter les réseaux adéquats aux domaines de l'entreprise.
I.3.2. Niveaux de planification et d’exécution
Les applications à ces niveaux sont parfois réparties sur de grandes distances ; les
aspects de synchronisme et de temps réel ne sont pas une contrainte. Pour les réseaux
industriels, le quasi-standard est le référentiel Ethernet à 10 Mbit/s avec l’utilisation du
standard TCP/IP, pour les couches de routage et de transport. Ces couches sont nécessaires du
fait de la quantité de données à échanger et de l’étendue des réseaux supportés.
Pour les liaisons de grandes distances, nous trouvons, au niveau des couches basses des
réseaux, des liaisons spécialisés LS (Transfix…) ou RNIS.
Les réseaux de terrain permettent de répondre aux contraintes temporelles et à la notion
de cohérence temporelle pour les échanges de bas niveau (capteur/actionneur, E/S
(entrées/sorties) déportées …).
Soit les trois différents modèles de protocoles illustrant les principaux réseaux de
communication utilisés dans l'industrie.
I.4. Réseaux de communication
I.4.1 Bus de terrain : CAN
Le bus de terrain CAN (Controller Area Network), fréquemment utilise dans l'industrie
(notamment automobile avec le VAN, qui est un exemple spécifique de CAN utilise pour les
Chapitre V commande en réseau application sur moteur DC
112
contrôleurs électroniques des véhicules motorises,), est caractérise par l'utilisation de niveaux
de priorité pour l'émission des messages (229 niveaux). Son débit est au maximum de 1Mbit/s,
pour une longueur de 40m.
Il existe aussi des bus de terrain industriels professionnels comme Profibus et Modbus
qui ce caractérisent par la précision et rapidité avec des distances moyennes sont utilisés pour
communiquer avec des automates programmables industriels.
I.4.2. Réseaux locaux : Ethernet
Les réseaux locaux (souvent dénommés LAN : Local Area Networks) sont largement
répandus et habituellement utilisés pour connecter des ordinateurs dans les réseaux prives.
Leur taille est limitée, rendant le retard connu et borné, et ils ont un taux de transmission
élevé. Ethernet constitue un exemple courant de réseau LAN en bus, sans contrôleur
centralisé.
L'accès au bus peut être effectue par protocole à détection de porteuse (CSMA - Carrier
Sense Multiple Access) avec détection de collision (CD : Collision Détection). Les
caractéristiques du retard dépendent fortement de la charge du réseau, rendant Ethernet très
difficile à modéliser.
I.4.3. Réseaux longue distance : Protocole de transfert :
Les réseaux grande distance ou WAN (Wide Area Network) sont caractérises par la
présence d'un ou plusieurs routeurs et de commutateurs, qui gèrent et distribuent l'information.
La principale influence du routeur est d'induire une file d'attente ou sont stockes les
messages avant d'être retransmis. Lorsque les flux d'entrée dans le routeur sont trop
importants, celui-ci devient encombre et des paquets d'information sont perdus. L'émetteur
peut-être informe des paquets reçus par l'envoi des acquittements (acknowledgements) par le
destinataire.
Chapitre V commande en réseau application sur moteur DC
113
Un flux de données passant par un routeur est présent dans la Figure. V.2. Un modèle
moyen déterministe du retard est disponible pour différents types de réseaux, notamment pour
ceux à file d'attente [30].
Un protocole de transfert (PT) est mis en œuvre pour permettre aux systèmes connectes
d'émettre et de recevoir à travers le réseau. Des exemples de tels protocoles sont fournis par :
- User Data Protocol (UDP)
- Transfer Control Protocol (TCP)
- Network Control Protocol (NCP)
- Séquence Pocket Exchange (SPX)
Les deux premiers sont construits sur des réseaux à protocoles Internet (IP) alors que
NCP et SPX sont utilises sur des réseaux IPX (Inter network Pocket Exchange). A noter que
TCP et SPX sont des protocoles sécurises.
Le protocole de contrôle de transfert TCP (Transfer Control Protocol) est un exemple
classique de protocole utilise dans les réseaux WAN et LAN, mis en place aux deux
extrémités du canal de communication afin de permettre aux utilisateurs d'émettre et de
recevoir des données à travers internet. C'est un protocole dit sécurise, dans le sens ou tout
paquet perdu est réémis. Son objectif principal est de maximiser le taux de transmission de
l'utilisateur en ajustant la taille de la fenêtre d'émission de l'utilisateur en fonction de la
congestion du réseau, exprimée par le nombre de paquets perdus.
Figure. V.2 : Exemple de flux d’un réseau comportant un routeur.
Chapitre V commande en réseau application sur moteur DC
113
Un flux de données passant par un routeur est présent dans la Figure. V.2. Un modèle
moyen déterministe du retard est disponible pour différents types de réseaux, notamment pour
ceux à file d'attente [30].
Un protocole de transfert (PT) est mis en œuvre pour permettre aux systèmes connectes
d'émettre et de recevoir à travers le réseau. Des exemples de tels protocoles sont fournis par :
- User Data Protocol (UDP)
- Transfer Control Protocol (TCP)
- Network Control Protocol (NCP)
- Séquence Pocket Exchange (SPX)
Les deux premiers sont construits sur des réseaux à protocoles Internet (IP) alors que
NCP et SPX sont utilises sur des réseaux IPX (Inter network Pocket Exchange). A noter que
TCP et SPX sont des protocoles sécurises.
Le protocole de contrôle de transfert TCP (Transfer Control Protocol) est un exemple
classique de protocole utilise dans les réseaux WAN et LAN, mis en place aux deux
extrémités du canal de communication afin de permettre aux utilisateurs d'émettre et de
recevoir des données à travers internet. C'est un protocole dit sécurise, dans le sens ou tout
paquet perdu est réémis. Son objectif principal est de maximiser le taux de transmission de
l'utilisateur en ajustant la taille de la fenêtre d'émission de l'utilisateur en fonction de la
congestion du réseau, exprimée par le nombre de paquets perdus.
Figure. V.2 : Exemple de flux d’un réseau comportant un routeur.
Chapitre V commande en réseau application sur moteur DC
113
Un flux de données passant par un routeur est présent dans la Figure. V.2. Un modèle
moyen déterministe du retard est disponible pour différents types de réseaux, notamment pour
ceux à file d'attente [30].
Un protocole de transfert (PT) est mis en œuvre pour permettre aux systèmes connectes
d'émettre et de recevoir à travers le réseau. Des exemples de tels protocoles sont fournis par :
- User Data Protocol (UDP)
- Transfer Control Protocol (TCP)
- Network Control Protocol (NCP)
- Séquence Pocket Exchange (SPX)
Les deux premiers sont construits sur des réseaux à protocoles Internet (IP) alors que
NCP et SPX sont utilises sur des réseaux IPX (Inter network Pocket Exchange). A noter que
TCP et SPX sont des protocoles sécurises.
Le protocole de contrôle de transfert TCP (Transfer Control Protocol) est un exemple
classique de protocole utilise dans les réseaux WAN et LAN, mis en place aux deux
extrémités du canal de communication afin de permettre aux utilisateurs d'émettre et de
recevoir des données à travers internet. C'est un protocole dit sécurise, dans le sens ou tout
paquet perdu est réémis. Son objectif principal est de maximiser le taux de transmission de
l'utilisateur en ajustant la taille de la fenêtre d'émission de l'utilisateur en fonction de la
congestion du réseau, exprimée par le nombre de paquets perdus.
Figure. V.2 : Exemple de flux d’un réseau comportant un routeur.
Chapitre V commande en réseau application sur moteur DC
114
Bien que le TCP ne soit pas un protocole de premier choix pour la synthèse d'une
commande par réseau (faible qualité de service, notée QdS), il fournit un exemple intéressant
de protocole sécurise.
I.4.5. TCP/IP
Le standard IP (Internet Protocol) sert d'intermédiaire entre les protocoles applicatifs et
les protocoles de transmissions de bas niveau comme Ethernet, Ethernet 100, ATM. IP peut
donc fonctionner sur des liaisons à faible débit aussi bien que sur des liaisons à haut débit.
C’est un protocole routable, qui peut emprunter des chemins de natures différentes (réseau
local, étendu, RTC, RNIS).
L'information à transmettre est découpée en paquets de petites tailles. Chaque paquet,
indépendant des autres, l'information qu'il est chargé de délivrer, possède l'adresse de
l'émetteur ainsi que celle du destinataire. Pour atteindre son destinataire, un paquet va passer
par des routeurs (commutateurs de paquets), chacun d'entre eux passera le paquet au routeur
suivant jusqu'à destination.
Les machines doivent posséder un identificateur unique (l’adresse IP par exemple,
193.52.130.55), représenté par quatre octets. Un découpage logique interne permet de
numéroter les réseaux, les sous-réseaux et enfin les machines [30].
Sur la plupart des machines connectées, plusieurs applications se déroulent
simultanément. Par le biais des numéros de port, TCP joue le rôle d'un multiplexeur
d'applications. Il assure également la fiabilité de la transmission (remise en ordre des paquets,
retransmission des paquets perdus).
Toute application industrielle basée sur TCP/IP bénéficie directement de tous les
principes et logiciels Internet. Un navigateur peut être utilisé en supervision de procédé dans
l’usine, mais aussi sur Internet/Intranet si la liaison IP existe.
Chapitre V commande en réseau application sur moteur DC
115
II. Problématiques :
La présence d'un réseau dans la boucle de commande induit de nombreux problèmes
spécifiques telles que :
1- La quantification du signal lors de l'émission/réception des paquets d'information.
2- La compression / décompression des informations transmis par le réseau, la perte de
paquets due à la congestion du réseau.
3- La gestion du trafic par le routeur afin de garantir la stabilité du système considéré
4- La stabilisation des systèmes en présence de retard.
5- La prise en compte de la bande passante disponible (dépendante de l'état
d'occupation du réseau) lors de la synthèse du contrôleur.
Le problème de stabilisation par l'intermédiaire d'un réseau est principalement
rencontre pour les systèmes embarques à dynamique rapide (automobiles, avions...) ou un
réseau dédie est mis en place entre les capteurs et actionneurs. Ce réseau permet l'utilisation
d'un protocole sécurisé, qui peut être construit sur une base UDP (plus performant que le
TCP).
Le protocole UDP Contrairement au TCP, il travaille en mode non-connecté : il n'y a
pas de moyen de vérifier si tous les paquets envoyés sont bien arrivés à destination et ni dans
quel ordre, il n'est prévu aucun contrôle de flux ni contrôle de congestion. C'est pour cela qu'il
est souvent décrit comme étant un protocole non-fiable
.
II.1 Objectif de la commande en réseau :
L’objectif de ce chapitre est La conception de la commande, l’observation et
l’implémentation informatique d’un système de type maître-esclave communiquant à distance
par le moyen d’un réseau de type internet. Le but principal de la synthèse de commande est ici
de pouvoir garantir des performances (stabilité, rapidité, robustesse) malgré les perturbations
générées par l’utilisation du réseau (retards variables et asymétriques, perte de paquets et
échantillonnage).
Chapitre V commande en réseau application sur moteur DC
116
L’utilisation d’un réseau distant dans la commande est le moyen de réaliser sans danger
des tâches en environnement dangereux (déminage, dépollution…), ou encore de faire
collaborer plusieurs applications d’un système informatique distribué.
Pour des distances importantes, la technologie internet apparaît aujourd’hui comme un
moyen de communication fiable et peu couteux. Dans ce cas on doit prévoir le retard induit
par le réseau pour l’élaboration des lois de commande.
L’énergie et la puissance de calcul embarquées dans l’esclave est très limite à raison du
cout et difficulté de réalisation. Par exemple, dans une situation de déminage, les robots
esclaves sont souvent face à la destruction et on essaie de minimiser leur coût unitaire. Dans
ce cas on ne peut pas lui confier toutes les tâches de commande (planification et suivi de
trajectoire, gestion capteurs, observation) et le rôle du réseau se réduit à véhiculer les
consignes à atteindre.
L’effort de calcul est à déporter au maximum sur le maître. Celui-ci calcule la
commande, l’envoie à l’esclave via le réseau et, réciproquement l’esclave envoie ses données
capteur au maître à travers ce même réseau. Bien sûr, le transfert informatique des données
(capteurs ou commande) par le réseau nécessite l’échantillonnage des sorties capteur de
l’esclave et des commandes générées par le maître.
Dans cette situation, deux sources de retards variables se combinent :
1- Les liens de communications introduisent des retards variables dans l’ensemble de
la boucle, mais aussi des pertes de paquets par le réseau.
2- L’échantillonnage, qui n’est pas généralement périodique à cause de
l’ordonnancement temps-réel des tâches.
Pour l’application l’esclave est représenté par un modèle linéaire. Le contrôle
correspondra à un retour d’état basé sur un observateur linéaire et devra être calculé par le
maître.
Chapitre V commande en réseau application sur moteur DC
117
Le système global devra assurer une performance de rapidité garantie malgré les effets
de retard du réseau, en assurant une propriété de stabilisation exponentielle 0>, te −.
Cette propriété sera démontrée en utilisant une approche de type Lyapunov
(fonctionnelles de Lyapunov-Krasovskii) conduisant à la conception des gains du contrôleur K
et de l’observateur L par résolution d’inégalités matricielles linéaires (LMI).
L’élaboration de la commande est facilitée par la connaissance des retards avec un
système GPS, qui permet la synchronisation des horloges des deux entités maitre et esclave.
On peut mesurer le retard de transmission des variables, non symétrique. « Non
symétrique » signifie que les retards maître-esclave h1 et esclave-maître h2 sont séparément
reconstruits par le système, sans être considérés comme égaux à la moitié du délai de transport
de la boucle de communication complète, appelé RTT (Round Trip Time).
Figure. V.3 : Modélisation de la boucle de transmission
II.2. Hypothèses sur les retards, protocole et synchronisation GPS
L’utilisation d'internet comme lien de communication introduit des retards à la fois
variables, non symétriques et inconnus. En effet, il n'existe pas de modèle dynamique
représentatif du réseau [29].
Il est seulement possible de supposer que les bornes maximales des retards, aller et
retour him sont connues.
L'information correspondante s'écrit :
imi hth ≤≤ )(0 , avec i = 1ou 2. (5.1)
retard h2
Maitre Esclave
retard h1
Réseau
Chapitre V commande en réseau application sur moteur DC
118
Une deuxième hypothèse qui concerne la variation des retards : 1)( ≤tdt
dh i . Ceci
signifie que les paquets seront pris dans l'ordre chronologique de leur émission.
Le Protocol UDP n'exclut pas que des paquets soient perdus. Dans notre situation, les
paquets contiennent des échantillons (sorties ou commandes). TCP impose d'attendre qu'un
paquet perdu soit réémis et réceptionne, avant de pouvoir utiliser les paquets suivants, ce qui
diminuerait les performances, En termes de retards, UDP sera donc moins pénalisant que TCP.
Il faudra par contre que, sous UDP, les paquets soient émis dans l'ordre chronologique
par le maitre et par l’esclave, ce qui implique d'associer à chaque paquet son instant d'émission
(par ajout d'une datation, ou timestamp).
Cette datation, pour être applicable à la commande, demande la synchronisation
temporelle des deux entités Maitre et Esclave.
La solution technique proposée est basée sur l'utilisation de balises GPS équipant les
deux parties et leur donnant accès à la même horloge (c'est la seule fonctionnalité du GPS qui
sera utilisée ici).
Ce dispositif permet la mesure du retard, même non symétrique, avec lequel le paquet
arrive à destination. Par ce biais, les retards Maitre vers Esclave h1(t) et Esclave vers Maitre
h2(t) sont séparément reconstruits (et pas seulement le retard de boucle RTT).
II.3. Prise en compte de l'échantillonnage
D'autre part, l'implantation finale des algorithmes est effectuée en temps discret et les
effets de l’échantillonnage doivent donc être pris en compte. L’échantillonnage peut être
assimilée à un retard additionnel variable dans le temps [29], de valeur kttt −=)(
pour :
1+<≤ kk ttt , ou Tktk ×= représente le iemek instant d'échantillonnage.
Chapitre V commande en réseau application sur moteur DC
119
Figure. V.4. Signal échantillonné bloqué (période constante)
Figure. V.5 Echantillonnage périodique et avec retard : ( kTtt −= )
Ainsi, la seule hypothèse que l'on aura à émettre consiste à borner la période
d'échantillonnage par une valeur T que nous supposerons connue, ce qui signifie que la
relation Ttt kk ≤−≤ +10 est satisfaite.
Les effets de l'échantillonnage résultant peuvent perturber la stabilité du système global
et doivent être pris en compte dans la conception du contrôleur et de l'observateur.
Le retard global généré par la transmission et l'échantillonnage peut s'écrire sous la
forme :
kiki tttht −+= )()( (avec i = 1 ou 2). (5.2)
0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50-1
-0.8
-0.6
-0.4
-0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
signal originalsignal echantillonné 3ssignal echantillonné 10s
t
Chapitre V commande en réseau application sur moteur DC
120
II.4. Problèmes de commande :
Le maitre doit assurer le calcul de la commande et la reconstruction de l'état de
l'esclave. Il faut donc garantir des propriétés de robustesse et de performance du système
global Maitre-Esclave.
Le système global doit converger à une vitesse minimale garantie quelle que soit la
valeur des retards de transmission.
Cette performance globale du système sera obtenue en montrant la convergence
exponentielle (α-stabilité, α étant le taux de convergence garanti), robuste vis-à-vis du retard.
La commande sera utilisée seulement une fois qu'elle aura été reçue par l'esclave, c'est-
à-dire encore h1(t) secondes plus tard. Finalement, l'esclave reçoit une commande calculée à
partir d'une donnée retardée de :
)()( 21 thth + .
Dans ces conditions, il faut améliorer l'information servant à élaborer la commande,
c'est- à-dire de fournir une estimation de l'état non retardé.
Note :
Même si le cas linéaire est simple, il est extrêmement rare de pouvoir mettre
concrètement en œuvre des conditions nécessaires et suffisantes de stabilité adaptées à la
synthèse de lois de commande dans le cas retardé.
L'analyse passe ainsi par des conditions seulement suffisantes, ce qui explique le grand
nombre de publications proposant des conditions techniques sous-optimales mais calculables
au moyen de LMI [29].
Chapitre V commande en réseau application sur moteur DC
121
II.5. Conception de la commande à travers réseau internet :
II.5.1. Présentation du système
Le principe de ce système est basé sur un calcule d’une loi de commande dans la partie
maitre et la transmettre à l’esclave pour exécution. La transmission ne se fait pas
instantanément, les lignes de communication introduisent un délai )(1 th . De même,
l'échantillonnage des données génère un retard additionnel )(1 t [29].
Le retard résultant est noté :
)()()( 111 ttht += (5.3)
Figure. V.6 Structure de la commande maitre-esclave par réseau
L'esclave est considéré comme un système linéaire commandable et observable, à entrée
retardée et dont le modèle (A, B, C) est connu :
=−+=
)()(
))(()()( 1
tCxty
ttButAxtx (5.4)
L'esclave mesure sa sortie )( ty de manière échantillonnée, le Maitre la reçoit après
un retard )(2 th plus le retard )(2 t induit par l'échantillonnage, Donc le maitre reçoit
l’information : ))(( 2 tty −
Où : )()()( 222 ttht += est le retard résultant.
Consigne
Capteur + Bo(t)Observateur
System a commandéContrôleur+Bo(t)
EsclaveMaitre
Réseau
τ1
τ2
h1
h2
Chapitre V commande en réseau application sur moteur DC
122
Les instants d'échantillonnage kt ne sont pas forcement périodiques, c.-à-d. Qu’il
n’existe pas de période T telle que chaque temps d’échantillonnage vérifiant kTt k = , nous
supposons que la différence entre deux instants d'échantillonnage consécutifs est bornée par
une valeur connue T, telque :
Tk
tk
t ≤−+ 1<0 (5.5)
Figure. V.7 échantillonnage non périodique
Les deux retards 21 e t résultant des transmissions et des effets de l'échantillonnage
ont une borne maximale connue :
Th im
im += Avec i =1 ou 2
Tel que la relation :
mii t ≤)(<0 (5.6)
Soit satisfaite et la variation de ce retard est contrainte par :
1)( ≤ti (5.7)
Chapitre V commande en réseau application sur moteur DC
122
Les instants d'échantillonnage kt ne sont pas forcement périodiques, c.-à-d. Qu’il
n’existe pas de période T telle que chaque temps d’échantillonnage vérifiant kTt k = , nous
supposons que la différence entre deux instants d'échantillonnage consécutifs est bornée par
une valeur connue T, telque :
Tk
tk
t ≤−+ 1<0 (5.5)
Figure. V.7 échantillonnage non périodique
Les deux retards 21 e t résultant des transmissions et des effets de l'échantillonnage
ont une borne maximale connue :
Th im
im += Avec i =1 ou 2
Tel que la relation :
mii t ≤)(<0 (5.6)
Soit satisfaite et la variation de ce retard est contrainte par :
1)( ≤ti (5.7)
Chapitre V commande en réseau application sur moteur DC
122
Les instants d'échantillonnage kt ne sont pas forcement périodiques, c.-à-d. Qu’il
n’existe pas de période T telle que chaque temps d’échantillonnage vérifiant kTt k = , nous
supposons que la différence entre deux instants d'échantillonnage consécutifs est bornée par
une valeur connue T, telque :
Tk
tk
t ≤−+ 1<0 (5.5)
Figure. V.7 échantillonnage non périodique
Les deux retards 21 e t résultant des transmissions et des effets de l'échantillonnage
ont une borne maximale connue :
Th im
im += Avec i =1 ou 2
Tel que la relation :
mii t ≤)(<0 (5.6)
Soit satisfaite et la variation de ce retard est contrainte par :
1)( ≤ti (5.7)
Chapitre V commande en réseau application sur moteur DC
123
Remarque :
Ce cas particulier autorise notamment la dérivée du retard à prendre la valeur 1 c.-à-d :
retards variables continus par morceaux, ces retards apparaissent notamment lors de
l’´echantillonnage d’un signal.
Chacune des entités Maître et Esclave dispose d’une antenne GPS leur permettant de
disposer d’une horloge commune. Chaque paquet envoyée contient l’instant et la commande
envoyée.
Les données échangées correspondent à la commande, envoyée du Maître vers
l’Esclave, et à la mesure de la sortie, envoyée de l’Esclave vers le Maître. Et puisque l’esclave
dispose d’une puissance limité c’est la partie Maitre qui doit assurer le calcul de la commande
et la reconstruction de l’´etat de l’esclave.
II.5.2. Loi de commande :
Dans le maitre, un observateur a été implanté ayant pour objectif de calculer une
estimation de l'état x(t) de l'esclave au temps présent, estimation notée : )(ˆ tx
Le maitre compose sa loi de commande, de type retour d'état, à partir de cette
estimation.
La commande sera calculée par le contrôleur et utilisée par l'esclave. La commande par
retour d'état u(t) est calculée à partir de l'estimation de l'état x délivrée par l'observateur, soit :
)(ˆ)( txKtu = (5.8)
Le problème majeur théorique sera de déterminer le gain K garantissant la stabilité
(exponentielle) des dynamiques de l'esclave à cause du retard variable : )(1 t
Chapitre V commande en réseau application sur moteur DC
124
II.5.3. Transmission de la commande :
Le iemek paquet envoyé par le maitre contient la valeur de la commande )( ,1 ktu qu'il
vient juste, de calculer, ainsi que la date kt ,1 de ce calcul. Ce paquet traverse alors le réseau
et est reçu par l'esclave à un instant noté : kk tt ,1,1 −correspond au retard de
transmission et d'échantillonnage, connu par l'esclave dès qu'il a reçu le paquet.
II.5.4 Réception et traitement des données de commande :
La commande, envoyée par le maitre à l'instantkt ,1
est reçue par l'esclave à l’instant
kk tt ,1,1 > , Ceci est réalisable puisque le délai de transmission est borné par une valeur
connue.
Figure. V.8 Traitement de la commande
II.5.4. Transmission de la sortie capteur :
L'esclave a l’accès à sa sortie )(kTy de façon discrète. On procède de la même manière
que pour la commande : un paquet de sortie contient la valeur de la variable )( ',2 kty ainsi que
l'instant ',2 kt , qui représente le i e m ek échantillon délivré par l'esclave.
Chapitre V commande en réseau application sur moteur DC
124
II.5.3. Transmission de la commande :
Le iemek paquet envoyé par le maitre contient la valeur de la commande )( ,1 ktu qu'il
vient juste, de calculer, ainsi que la date kt ,1 de ce calcul. Ce paquet traverse alors le réseau
et est reçu par l'esclave à un instant noté : kk tt ,1,1 −correspond au retard de
transmission et d'échantillonnage, connu par l'esclave dès qu'il a reçu le paquet.
II.5.4 Réception et traitement des données de commande :
La commande, envoyée par le maitre à l'instantkt ,1
est reçue par l'esclave à l’instant
kk tt ,1,1 > , Ceci est réalisable puisque le délai de transmission est borné par une valeur
connue.
Figure. V.8 Traitement de la commande
II.5.4. Transmission de la sortie capteur :
L'esclave a l’accès à sa sortie )(kTy de façon discrète. On procède de la même manière
que pour la commande : un paquet de sortie contient la valeur de la variable )( ',2 kty ainsi que
l'instant ',2 kt , qui représente le i e m ek échantillon délivré par l'esclave.
Chapitre V commande en réseau application sur moteur DC
124
II.5.3. Transmission de la commande :
Le iemek paquet envoyé par le maitre contient la valeur de la commande )( ,1 ktu qu'il
vient juste, de calculer, ainsi que la date kt ,1 de ce calcul. Ce paquet traverse alors le réseau
et est reçu par l'esclave à un instant noté : kk tt ,1,1 −correspond au retard de
transmission et d'échantillonnage, connu par l'esclave dès qu'il a reçu le paquet.
II.5.4 Réception et traitement des données de commande :
La commande, envoyée par le maitre à l'instantkt ,1
est reçue par l'esclave à l’instant
kk tt ,1,1 > , Ceci est réalisable puisque le délai de transmission est borné par une valeur
connue.
Figure. V.8 Traitement de la commande
II.5.4. Transmission de la sortie capteur :
L'esclave a l’accès à sa sortie )(kTy de façon discrète. On procède de la même manière
que pour la commande : un paquet de sortie contient la valeur de la variable )( ',2 kty ainsi que
l'instant ',2 kt , qui représente le i e m ek échantillon délivré par l'esclave.
Chapitre V commande en réseau application sur moteur DC
125
Le maitre reçoit ce paquet à l'instant
',2 kt lorsque le paquet atteint le maitre, alors la
valeur du retard est calculer comme : '' ,2,2 kktt −
,grâce à l'horloge GPS.
II.6. Observation du processus :
Le modèle présent dans le maitre est calculé en temps continu t, mais sa commande est
échantillonnée. Notonsk
t,1
le iemek instant d'échantillonnage de cette commande.
L'indexation 'k correspond à l'instant d'échantillonnage ',2 kt le plus récent qu'a reçu le
maitre à l’instant t.
Nous définissons un retard )(t qui cumule le retardk
t du à l'échantillonnage et le
retard )( kth généré par le réseau sur le paquet contenant le iemek échantillon.
Pour tout signal g(t), ce retard s’écrit :
)),()(())(( kkkk ttthtgthtg −−−=−
))),(( ttg −=
Avec : ,1< +≤ kk ttt .)()( kk tttht −+= (5.9)
L'observateur est alors défini comme suit, pour tout [,[ 11,11,1 mkmkhthtt ++∈ + :
=
−++=
)(ˆ)(
)](ˆ)([)()(ˆ)(ˆ ',2',2,1
txCty
tytyLtButxAtx kkk
(5.10)
En utilisant la notation des retards définis précédemment, (5.6) on peut écrire :
Chapitre V commande en réseau application sur moteur DC
126
−=−==
−−−+−+=
.)(,)(
)(ˆ)(
))]((ˆ))(([))(()(ˆ)(ˆ
',22,11
221
kk tttttt
txCty
ttyttyLttButxAtx
(5.11)
Les instantsk
t,1
et ',2 kt , présents dans les équations de l'observateur, sont connus
grâce à la synchronisation des horloges des deux entités. Et pourk
t,1
, au buffer qui permet
de prévoir le retard.
Les caractéristiques du système permettent de connaître les bornes supérieures des
retards intervenant dans (5.11), à savoir :
.)( 11 Tht m +≤ et .)( 22 Tht m +≤ (5.12)
III. Conception des gains du contrôleur et de l’observateur :
Les gains K du contrôleur (5.8) et L de l'observateur (5.10) doivent être déterminés de
façon à garantir un degré de convergence exponentielle α le plus grand possible. La
performance de rapidité sera alors assurée malgré la présence des retards du réseau et de
l'échantillonnage.
Une condition de stabilité exponentielle basée sur une adaptation de [29] est donné
par :
- Soit le système linéaire à retards )( ti variables et bornés :
−∈=−+−+=
],0,[),()(
))(())(()()( 2110
htttx
ttButtxAtxAtx
(5.13)
2,1,1)()(
),())(
∈∀≤≤+=
itettavec
tt
iii
iii
Chapitre V commande en réseau application sur moteur DC
127
Les retards possèdent en général une borne inférieure 0>)( ii t − non nulle (cas
appelé : non Small Delays).
Le théorème suivant utilise une représentation polytopique dépendant des bornes des
retards. Les coefficients qui vont définir les polytopes sont :
)(22
)(21
)(12
)(11
2222
1111
,
,
+−
+−
==
==
ee
ee
(5.14)
Un retour d'état )()( txKtu = conduit au système bouclé suivant :
−∈=−+−+=
],0,[),()(
))(())(()()( 2110
htttx
ttBKxttxAtxAtx
(5.15)
Théorème 5.1 (Stabilité exponentielle) [29] :
Pour un gain matriciel K donné, le système (5.13) est α stable s'il existe des
– les réeseaux de neurones (neural networks toolbox ),
– la logique floue (fuzzy logic toolbox ),
– le calcul symbolique (symbolic math toolbox), …etc.
Chapitre V commande en réseau application sur moteur DC
140
Simulink est une boite à outils de MATLAB permettant au moyen d’une interface
graphique évoluée la construction rapide et la simulation de schémas fonctionnels complexes,
contenant des systèmes linéaires et non linéaires.
Dans le cadre de la régulation automatique, MATLAB constitue un outil puissant
d’analyse des systèmes dynamiques linéaires où on peut facilement obtenir les propriétés,
comme les pôles et zéros (roots) et tracer les réponses impulsionelle (impulse), indicielle
(step), à un signal quelconque (lsim), ou harmonique (bode, nyquist).
MATLAB est un outil pour l’ingénieur, pour traiter des problèmes pratiques. Avec sa
boite à outils Simulink.
V.2. Simulation avec la boite à outils Simulink
La boite à outils Simulink est un complément puissant dans MATLAB.
Les contributions de Simulink sont principalement :
1. La construction de schémas fonctionnels.
2. La simulation de systèmes linéaires et non-linéaires, ainsi que de systèmes non-
stationnaires.
3. La simulation de systèmes mixtes analogiques et numériques.
La figure suivante montre la librairie de Simulink utilisée pour la conception des
schémas fonctionnels.
Chapitre V commande en réseau application sur moteur DC
141
Figure V.9: Librairie standard de Simulink
Les deux logiciels restent complètement lies l’un à l’autre, Simulink n’étanthiérarchiquement qu’une boite à outils de MATLAB.
La combinaison de Simulink et d’un système d’acquisition en temps réel est possiblemais très délicate et limitée en rapidité, notamment à cause de la lenteur et de la complexité deWindows.
V.3. simulation d’un système dynamique linéaire (Moteur DC)
On propose d’illustrer l’utilisation de Simulink par l’exemple classique d’un moteur à
courant continu à excitation séparée constante exploité en boucle ouverte (Figure 5.10).
Figure V.10 : Schéma technologique d’un entrainement Moteur électrique –DC-.
Chapitre V commande en réseau application sur moteur DC
142
NB : Le frottement est purement visqueux, proportionnel à la vitesse, de coefficientRf.=b
On admettra que le système est parfaitement linéaire, en faisant les hypothèses pour
simplifier l’exemple et se concentrer sur l’essentiel de cette étude :
– on ne prend pas en compte l’effet des perturbations ;
– le frottement sur l’arbre moteur est purement visqueux ;
– le moteur à courant continu étant compensé, l’effet de réaction d’induit est
négligeable.
V.4. Modélisation
Le modèle en t du système est (les conditions initiales étant supposées identiquement
nulles) :
..
.
...
fem
aTem
ea
aaa
RTdt
dJ
iKT
Kdt
diLiRUa
−=
=
++=
(1)
Après transformation de la Laplace :
Ω−=Ω=
Ω++=
...
.
....
fem
aTem
eaaaa
RTsJ
IKT
KIsLIRUa
Après mise en équations, les équations du moteur à courant continu montrent que la
FEM est à contre réaction, le signal d’entrée (la tension d’induit )(tu a a la forme d’un saut
L’équation électrique
Couple électromécanique
L’équation mécaniquede l’arbre du moteur
Chapitre V commande en réseau application sur moteur DC
143
unité qui s’effectue dés l’instant zéro, son amplitude étant 1, que l’on visualise en plus de la
vitesse angulaire )(t et le courant ia(t).
Le schéma fonctionnel détaillé correspond aux équations est comme suit :
Figure V.11 : le schéma fonctionnel du model proposé
Les paramètres du moteur testés avec Simulink données comme suit :
Rm = 1.3; % Resistance d'induit
l = 0.0013; % Inductance d'induit
k = 0.26; % Constante de couple
j = 0.0011; % kg.m^2/s^2 Moment d'inertie
b = 0.24; % coefficient de frottement visqueux (Nms/rad)
Les paramètres des deux Fonctions de transfert du moteur simulé sur Simulink :
numGa1 = 1/Ra;
denGa1 = [ La/Ra , 1 ] ;
numGa2 = 1/ Rf ;
denGa2 = [ J/Rf , 1 ] ;
Chapitre V commande en réseau application sur moteur DC
143
unité qui s’effectue dés l’instant zéro, son amplitude étant 1, que l’on visualise en plus de la
vitesse angulaire )(t et le courant ia(t).
Le schéma fonctionnel détaillé correspond aux équations est comme suit :
Figure V.11 : le schéma fonctionnel du model proposé
Les paramètres du moteur testés avec Simulink données comme suit :
Rm = 1.3; % Resistance d'induit
l = 0.0013; % Inductance d'induit
k = 0.26; % Constante de couple
j = 0.0011; % kg.m^2/s^2 Moment d'inertie
b = 0.24; % coefficient de frottement visqueux (Nms/rad)
Les paramètres des deux Fonctions de transfert du moteur simulé sur Simulink :
numGa1 = 1/Ra;
denGa1 = [ La/Ra , 1 ] ;
numGa2 = 1/ Rf ;
denGa2 = [ J/Rf , 1 ] ;
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unité qui s’effectue dés l’instant zéro, son amplitude étant 1, que l’on visualise en plus de la
vitesse angulaire )(t et le courant ia(t).
Le schéma fonctionnel détaillé correspond aux équations est comme suit :
Figure V.11 : le schéma fonctionnel du model proposé
Les paramètres du moteur testés avec Simulink données comme suit :
Rm = 1.3; % Resistance d'induit
l = 0.0013; % Inductance d'induit
k = 0.26; % Constante de couple
j = 0.0011; % kg.m^2/s^2 Moment d'inertie
b = 0.24; % coefficient de frottement visqueux (Nms/rad)
Les paramètres des deux Fonctions de transfert du moteur simulé sur Simulink :
numGa1 = 1/Ra;
denGa1 = [ La/Ra , 1 ] ;
numGa2 = 1/ Rf ;
denGa2 = [ J/Rf , 1 ] ;
Chapitre V commande en réseau application sur moteur DC
144
Le schéma fonctionnel introduit dans Simulink est représenté comme suit :
Figure V.12 : schéma de simulation avec fonction de Transfer
On peut revenir à la fenêtre Simulink et dans le menu Simulation, option Paramètres,
où des choix importants doivent être faits avant de lancer la simulation :
Figure V.13. : Réglage de paramètres de simulation
UaWTem
ia
constantede couple
KT
constantede FEM
KE
comparateur Transfer Fcn 1
numGa 2(s)
denGa 2(s)Step
Scope 1
Scope
Induit
numGa 1(s)
denGa 1(s)
Chapitre V commande en réseau application sur moteur DC
144
Le schéma fonctionnel introduit dans Simulink est représenté comme suit :
Figure V.12 : schéma de simulation avec fonction de Transfer
On peut revenir à la fenêtre Simulink et dans le menu Simulation, option Paramètres,
où des choix importants doivent être faits avant de lancer la simulation :
Figure V.13. : Réglage de paramètres de simulation
UaWTem
ia
constantede couple
KT
constantede FEM
KE
comparateur Transfer Fcn 1
numGa 2(s)
denGa 2(s)Step
Scope 1
Scope
Induit
numGa 1(s)
denGa 1(s)
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Le schéma fonctionnel introduit dans Simulink est représenté comme suit :
Figure V.12 : schéma de simulation avec fonction de Transfer
On peut revenir à la fenêtre Simulink et dans le menu Simulation, option Paramètres,
où des choix importants doivent être faits avant de lancer la simulation :
Figure V.13. : Réglage de paramètres de simulation
UaWTem
ia
constantede couple
KT
constantede FEM
KE
comparateur Transfer Fcn 1
numGa 2(s)
denGa 2(s)Step
Scope 1
Scope
Induit
numGa 1(s)
denGa 1(s)
Chapitre V commande en réseau application sur moteur DC
145
Les signaux de sortie après simulation avec la fonction de Transfer :
La vitesse )(1 tx = :
Figure V.14 la vitesse )(1 tx =
Le courant )(2 tix a= :
Figure V.15 le courant )(2 tix a=
V.4.1 Model d’état
De l’équation (1) on peut écrire :
aa
a
a
a
ea
aTf
L
Uai
L
R
L
K
dt
di
iJ
K
J
R
dt
d
+−Ω−=
+Ω−=Ω
..
..
(2)
Ω=)(1 tx et aitx =)(2 et la sortie : )()( 1 txty =Ω=
bRlLKKKRR faTea ===== ,,,
0 50 100 150 200 250 300 3500
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
1.4
0 50 100 150 200 250 300 350-0.5
0
0.5
1
Chapitre V commande en réseau application sur moteur DC
146
D’où le model d’état s’écrit comme suit :
=
Ω)(
)(
2
1
tx
tx
dt
d
idt
d
a
L’espace d’état du système est décrit comme suit :
=+=
)()(
)()()(
tCxty
tButAxtx
Avec les matrices A, B et C :
−−
+−=
l
R
l
KJ
K
J
b
Ae
T
,
=
lB 1
0
,[ ]01=C
Ce Moteur DC correspond bien sûr au processus esclave à commander à distance a
travers le réseau de communication internet en injectant un commande observée.
V.5. Simulation
On suit alors le mode opératoire proposé précédemment. Les caractéristiques du retard
de transmission combiné avec l’échantillonnage conduisent aux valeurs (en secondes)
h1=h2=0.37s et μ1 = μ2= 0.11s correspondant à la notation (5.10).
V.5.1 Calcule du gain L de l’observateur
Le théorème 5.2 appliqué au système (5.29) assure la convergence exponentielle de
l’observateur vers la solution e(t) = 0 avec un taux α = 0.8 (obtenu pour ε =2.40) pour le gain
d’observateur suivant :
Chapitre V commande en réseau application sur moteur DC
147
Avec les paramètres de réglages :
mu1=0.11mu2=mu1
h1 =0.37h2=h1psi=2.4alpha=0.8
les états non observables sont calculés avec la commande : unobserv = 0
la matrice P est donnée par :
=2.05131.1473-
1.1473-2.3367P
Valeurs propres de : P = [1.0379, 3.3502]
=1.0135-
5.1069-003eQ
=0.4960-
1.9920-W
Le gain de l’observateur est donné par :
=0.9906-
1.3388-L
Chapitre V commande en réseau application sur moteur DC
148
V.5.2 Calcule du gain K de la commande
Le théorème 5.3 appliqué à (5.34) garantit que la loi de commande par retour d’état
stabilisera exponentiellement le système vers sa consigne, avec un taux α = 0.8 (obtenu pour :
ε= 2.40), pour le gain K suivant :
Après exécution du programme (Annexe 2 ) dans Matlab les résultats d’exécution sont
le nombre des états non commandables est donné par : uncomd = 0
la matrice P pour calculer le gain K est calculée comme suit :
la matrice P est donnée par :
=0.85540.8571-
0.8571-2.3486005eP
Valeurs propres de [ ]2.73870.4635005eP =
[ ]17961-19918-=W
Le gain K est calculé donc :
[ ]0.4650-0.2545-=k
Chapitre V commande en réseau application sur moteur DC
149
Enfin le théorème 2.1 garantit la stabilité du système complet (5.42) avec les gains L et
K calculés ci-dessus. Le taux garanti est finalement de α = 0.8.
V.5.3 modalisation du retard
La simulation sur figures montre des résultats obtenus avec des retards de la forme :
)sin(3.0)()( ttt iiii += .
Le paramètre i représentent la fréquence de la partie variable des retards, l’état en
continu de l’observateur )(ˆ tx est appliqué au calcule de la commande. La consigne
appliquée est un signal en forme échelon unité.
Chapitre V commande en réseau application sur moteur DC
150
V.6 Simulation du système sans retard introduit dans la commandeobservée :
Figure V.11 : model de simulation du système sans retard sur Simulink(Matlab Version 7.6 R2008a)
Si on applique un échelon Ua(t) avec une amplitude de 1 , a l’entrée du système sansretard, les résultats obtenus sont visualisés et affichés comme suit :
Figure V.12 échelon u(t)
e2
^y
^x1et ^x2observées
X1 et X2réels
Subtract 1
Subtract
Step
S-Function 1
observ
S-Function
moteur y
e1
x1 & ^x1
x2 & ^x2
U
0 100 200 300 400 500 600
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
1.1
ec he lon U a(t ).
Chapitre V commande en réseau application sur moteur DC
151
Les deux sorties X1 et X2 du système moteur DC sont représenté comme suit :
La vitesse w(t) en bleu on remarque qu’elle atteint la valeur maximale en régimepermanant et elle se stabilise avec un petite perturbation
Le courant ia(t) atteint sa valeur maximale puis il diminue jusqu'à une valeurstable .
Figure 5.13 Les deux sorties réels du moteur : X1(t) et X2(t)
Les deux sorties X1 et X2 de l’observateur (états estimés) sont représenté de la mêmeforme que les états réels du moteur avec une rapidité du système observé :
Figure 5.14 Les deux sorties estimées X1(t) et X2(t)
0 2 0 0 4 0 0 6 0 0 8 0 0 1 0 0 0 1 2 0 00
0 . 2
0 . 4
0 . 6
0 . 8
1
1 . 2
1 . 4
x 1 m o t e u rx 2 m o t e u r
0 200 400 600 800 1000 12000
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
1.4
x 1 és t im esx 2 és t im es
Chapitre V commande en réseau application sur moteur DC
152
La convergence de l’état X1 estimé vers l’état réel X1 est représentée comme indique lafigure suivante en remarque une convergence rapide ce qui donne une erreur nulle :
Figure 5.15. La convergence de l’état estimé X1(t) vers l’état réel X1(t)
La convergence de l’état X2 estimé vers l’état réel X2 est représentée comme indique lafigure suivante où en remarque la convergence de l’état estimé du courant vers l’état réel :
Figure 5.16. La convergence de l’état estimé X2(t) vers l’état réel X2(t)
0 50 100 1500.75
0.8
0.85
0.9
0.95
1
X1 Réelx1éstiméstep u(t)
0 100 200 300 400 500 600
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
1.1
x2 reelx2 estimestep u(t)
Chapitre V commande en réseau application sur moteur DC
153
L’erreur du système e1(t) de : l’état réel X1(t) - l’état estimé X1(t) , elle converge verszéro comme montre la figure suivante ce qui donne une meilleure précision :