Columnas

Columnas

Autor: Kevin E. Patrón Hernández

Estudiante Ing. Mecánica, VII nivel.

Introducción al Diseño Mecánico

Universidad Tecnológica de Bolivar

Columnas

Definición de columna

1. “Los miembros largos y esbeltos sometidos a una fuerza axial de compresión se llaman

columnas, y la deflexión lateral que sucede se llama pandeo”. Hibbeler

2. “Una columna es una pieza estructural que soporta una carga axial por compresión y

tiende a fallar como resultado de una inestabilidad elástica, o pandeo, más que por

trituración del material”. Mott

3. “El término columna se aplica a todos los elementos sometidos a compresión, excepto en

los que la falla sería por compresión simple o pura”. Shigley

Conceptos básicos

Si es la longitud no soportada de la columna, y es el radio de giro mínimo de la

misma

, siendo el momento de inercia mínimo del área de la sección

transversal y el área de la sección transversal, entonces, la relación geométrica

se

llama relación de esbeltez.

Es una medida de la flexibilidad de la columna.

Se entiende por carga crítica a la carga axial máxima que puede soportar una columna

cuando está a punto de pandearse, es decir, se encuentra en equilibrio neutro.

El que una columna permanezca estable o se vuelva inestable al someterse a una carga

axial dependerá de su capacidad de restitución, que se basa en su resistencia a la flexión.

Así, para determinar la carga crítica y la forma pandeada de la columna, se aplica la

ecuación

que relaciona el momento interno en la columna con su forma

flexionada.

Cabe mencionar que con ésta ecuación se supone que la pendiente de la curva elástica es

pequeña y que solo hay deflexiones por flexión. Además, la carga es aplicada en el

centroide de área de la sección transversal (carga céntrica).

En la figura vemos el diagrama de cuerpo libre de una columna con extremos articulados.

Al resolver por estática el momento interno como función de la distancia , vemos que la

ecuación diferencial anterior se transforma en

La ecuación resultante es una ecuación diferencial homogénea lineal de segundo orden,

con coeficientes constantes, cuya solución general es

Las constantes de integración se determinan con las condiciones en la frontera.

Para el caso de extremos articulados, , resolviendo se obtiene que

El valor mínimo de se obtiene cuando , por lo que entonces la carga crítica de la

columna (¡para extremos articulados!) es

Haciendo un análisis similar, se puede obtener la carga crítica de una columna para

diversas condiciones de soporte en los extremos.

En general, la carga crítica de una columna cargada céntricamente está dada por la carga

crítica de Euler

La constante C de condiciones de soporte en los extremos, es una constante que depende

de la condición de soporte en los extremos de la columna, la cual resulta de resolver la

ecuación diferencial con las condiciones de frontera correspondiente al tipo de soporte en

los extremos de la columna.

Se obtienen las siguientes constantes con su respectiva condición de soporte en los

extremos

En otros textos, la constante que depende de la condición de soporte en los extremos es K

(por lo tanto, el radio de giro mínimo en tales textos es designado por r). Además, para

aplicar la condición de soporte en los extremos se habla de una longitud efectiva, tal que

cumpla lo siguiente

Cabe mencionar que aplicar la longitud efectiva es equivalente a aplicar la constante

multiplicando a la ecuación de carga crítica de Euler

Así, se establece una relación entre éstos dos constantes de condición de soporte en los

extremos (la cual varía únicamente de acuerdo al texto que se esté utilizando!)

Una forma alternativa de escribir la ecuación de carga crítica de Euler es

Así

Lo cual es conocido como esfuerzo crítico o carga unitaria de Euler.

Es muy importante notar que la carga crítica es independiente de la resistencia del

material (en columnas de Euler); más bien depende de las dimensiones de la columna y de

la rigidez o el módulo de elasticidad del material.

Al graficar la ecuación anterior (con ) para diversos valores del esfuerzo crítico en

términos de la relación de esbeltez, se obtiene la siguiente gráfica

Aparentemente la figura anterior cubre toda la variedad de problemas de compresión

desde el elemento más corto sometido a ésta hasta el más largo. De ésta manera, parece

que cualquier miembro a compresión con un valor

menor que

se podrá

considerar como un elemento a compresión pura y no como columna.

Desafortunadamente ¡esto no es cierto!

Para resolver éste inconveniente se elige un punto T de modo que

En ese sentido, se define la razón de transición de delgadez o constante de columna

como la relación de esbeltez obtenida tal que el esfuerzo crítico en la columna (o carga

unitaria) sea igual a la mitad de la resistencia a la fluencia del material. Es decir

La fórmula de la carga crítica obtenida anteriormente no es válida para una columna con

valor de

menor que

Por lo tanto, al ajustar una curva (parabólica) a la curva de

Euler (curva obtenida por la ecuación de carga crítica obtenida anteriormente), tal que

inicie en y finalice en

se obtiene la curva de J. B. Johnson, la cual es

donde

Las columnas que satisfacen la condición de Johnson,

son llamadas

columnas “cortas”, y las columnas que satisfacen la condición de Euler,

son

llamadas columnas “largas”.

Es importante darse cuenta que una columna se pandea respecto al eje principal del corte

transversal que tenga el menor momento de inercia (el eje más débil).

Los ingenieros suelen tratar de obtener un equilibrio manteniendo los momentos de

inercia iguales en todas direcciones. Entonces, desde el punto de vista geométrico, con

tubos redondos se harían columnas excelentes. También los tubos cuadrados o las formas

que tienen se seleccionan con frecuencia para columnas.

Así, puede que se le coloque un arriostramiento a la columna de con el fin de que su

capacidad de carga respecto al eje débil aumente.

Al arriostrar una columna respecto al eje débil, se cambia la forma de pandeo de la

columna, de tal forma que la carga crítica de la misma sea un poco mayor que sin el

arriostramiento. Entonces, como consecuencia de cambiar la constante de condición en

los soportes, cambia la carga crítica respecto al eje. Así, se obtienen dos cargas críticas

diferentes, una para cada una de los ejes sobre los cuales se puede pandear la columna.

La siguiente figura muestra ejemplos de columnas arriostradas

Diseño de columnas cargadas céntricamente

Formas eficientes para secciones transversales de columnas

Una forma eficiente para la sección transversal de una columna es aquella que proporcione buen

rendimiento con poca cantidad de material. Para las columnas, la forma de la sección transversal

y sus dimensiones determinan el valor del radio de giro

A partir de la definición de la relación de esbeltez, , se puede observar que a medida que se

hace más grande, se hace más pequeña la relación de esbeltez.

En las ecuaciones de carga crítica, una relación de esbeltez menor da por resultado una carga

crítica más grande, ¡la situación más deseable! .Por tanto, es deseable minimizar el radio de giro

para diseñar una sección transversal de columna eficiente.

Normalmente, una columna tenderá a pandearse respecto al eje con el radio de giro más

pequeño. Por tanto, es deseable una columna con valores iguales para el radio de giro en

cualquier sentido.Esto indica que para un área determinada de material debemos tratar de

maximizar el momento de inercia para maximizar el radio de giro. Una forma con un momento de

inercia alto, tiene su área distribuida lejos de su eje centroidal.

Las formas que tienen las características deseables que se describen incluyen tuberías y tubos

circulares huecos, tubería cuadrada hueca y secciones fabricadas de columnas que se fabrican a

partir de formas estructurales colocadas en los límites externos de la sección. Las secciones

circulares sólidas y las secciones cuadradas sólidas también son buenas, si bien no tan eficiente

como las secciones huecas.

Diseño de columnas cargadas céntricamente

En una situación de diseño, la carga que se espera en la columna se conocerá junto con la longitud

que se requiere en la aplicación. Así, el diseñador especificará lo que se menciona a continuación:

1. La manera en que se conectarán los extremos a la estructura la cual afecta el

empotramiento de los extremos.

2. La forma general de la sección transversal de la columna (por ejemplo, tubo redondo,

cuadrado, rectangular y hueco, entre otros).

3. El material para la columna.

4. El factor de diseño, considerando la aplicación.

5. Las dimensiones finales para la columna.

Para algunas formas simples de sección transversal, como la sección sólida redonda o cuadrada,

las dimensiones finales se calculan a partir de la fórmula apropiada: la fórmula de Euler o la

fórmula de J.B Johnson. Si no es posible una solución algebraica, habrá que recurrir a la iteración.

En una situación de diseño, el desconocimiento de las dimensiones de las secciones transversales

hace que sea imposible calcular el radio de giro y, en consecuencia la relación de esbeltez. Sin la

relación de esbeltez, no puede determinarse si la columna es larga (de Euler) o corta (de Johnson).

Por tanto, se desconoce la fórmula que debe utilizarse.

Esta dificultad se supera al suponer que la columna es corta o larga y proceder con la forma

correspondiente. Así, después que se determinan las dimensiones para la sección transversal, se

calculará el valor real de la relación de esbeltez y se comparará con la razón de transición de

delgadez. Esto demostrará si se ha utilizado o no la fórmula correcta. En caso afirmativo, la

respuesta es correcta. De lo contrario, debe utilizarse la fórmula alternativa y repetirse el cálculo

para determinar nuevas dimensiones.

Diseño de una columna que se carga en el centroide de la sección transversal

1. Especifique , donde Pa es la carga tolerable o

permisible, que por lo general se establece como igual a la carga máxima real que se

espera. Nd es el factor de diseño.

2. Calcule

3. Suponga que la columna es larga (de Euler).

4. Calcule

5. Especifique o despeje para las dimensiones de la forma.

6. Calcule el radio de giro

7. Si

la columna es de Euler, y las dimensiones son correctas (FIN)

8. Si

la columna es de Johnson. Se usa entonces la fórmula de Johnson.

9. En caso de ser columna corta (de Johnson), despeje para dimensiones de manera que

10. Siguiendo con el paso 9 , se recalcula

11. Continuando con el paso 10, Si

la columna es de Johnson. Las dimensiones

son correctas (FIN)

12. Si

, entonces

es casi igual a

, y los resultados obtenidos ya sea

de la ecuación de Euler o de la ecuación de Johnson serán casi iguales

En muchos problemas de columnas se pide el valor de la carga crítica de la columna. En

estos problemas, la longitud, condiciones de soporte en los extremos, el material, y las

dimensiones de la sección transversal de la columna son datos de entrada.

Para encontrar la carga crítica y para encontrar la carga admisible máxima se sigue el

siguiente procedimiento

1. Se calculan los valores de los momentos de inercia respecto a los ejes principales

centroidales.

2. Se comparan ambos valores obtenidos del inciso 1 y se observa cual de los dos es

menor.

3. La columna se pandeará alrededor del eje más débil, por lo tanto, el radio de giro se

calcula con el momento de inercia menor obtenido en el inciso 2.

4. Se calcula el valor de la relación de esbeltez.

5. Se identifica el tipo de columna (corta o larga) comparando la relación de esbeltez con

la razón de transición de delgadez.

6. Se aplica la ecuación de Euler o Johnson (según sea columna larga o corta

respectivamente) para obtener la carga crítica.

7. Una vez obtenida la carga crítica, el valor de la carga admisible máxima es

La carga máxima admisible es un valor de carga seguro, menor que la carga crítica sobre la

columna Obviamente el factor de diseño debe ser mayor que 1.

En todo problema de diseño, para comprobar que no existe la falla por pandeo se debe

verificar que

Donde es la carga de operación real del miembro estructural o mecánico que trabaja

como columna, la cual es obtenida mediante un análisis estático de la estructura.

Es importante hacer notar que la carga crítica se puede obtener inmediatamente con la

carga de operación real del elemento de máquina que trabaja como columna. Así

Cuando en éste tipo de ejercicios no se menciona algo sobre el factor de diseño, entonces

Además de verificar que no exista falla por pandeo, se debe verificar que la carga con la

cual trabajará el elemento no produzca falla por aplastamiento. Esto se traduce en

comprobar que

Si no se cumple la condición anterior, las dimensiones de la sección de la sección

transversal se deben hallar a partir de

Evitando así cualquier falla por aplastamiento o trituración del material, y

automáticamente evitando el pandeo, pues las dimensiones ahora obtenidas serán

mucho mayores.

Diseño de columnas cargadas excéntricamente

Columnas con carga excéntrica

Las conclusiones obtenidas anteriormente son válidas únicamente para todas las columnas

cargadas céntricamente, las cuales son en realidad columnas ideales. Cabe notar que estas

columnas presentan muchas desviaciones respecto a las columnas que se presentan en problemas

reales de ingeniería, como la excentricidad de la carga o la encorvadura, las cuales quizás ocurran

durante la manufactura o el ensamble de la columna.

Una columna cargada excéntricamente es aquella sobre la cual la carga no se aplica en el

centroide de la sección transversal, sino en otro punto arbitrario dentro de la sección transversal

de la columna o incluso fuera de la misma (utilizando algún elemento unido a la columna en su

parte superior y colocando la carga en tal elemento).

En realidad las columnas nunca se pandean de repente; más bien comienzan a doblarse, aunque

siempre en forma muy insignificante, inmediatamente después de aplicar la carga.

El resultado es que el criterio real para la aplicación de cargas se limita ya sea a una deflexión

especificada de la columna, o no permitiendo que el esfuerzo máximo en la columna rebase un

valor admisible.

Para empezar a estudiar este tipo de columnas, consideremos el diagrama de cuerpo libre de una

columna cargada excéntricamente

El momento interno de la columna es

En consecuencia, la ecuación diferencial de la curva de deflexión es

Su solución general consiste en las soluciones complementarias y particular, es decir

Al aplicar las condiciones de frontera para éste caso, , la curva de deflexión se

puede escribir así

Debido a la simetría de la carga, en el punto medio de la columna habrá la deflexión máxima

El momento flexionante máximo también ocurre a la mitad de la longitud y es

La magnitud del esfuerzo máximo de compresión máximo a la mitad de la longitud se determina

superponiendo la componente axial y la componente de la flexión. Esto es

Reemplazando el valor del momento máximo

Como el radio de giro se define como

, la ecuación anterior se puede escribir en una forma

llamada fórmula de la secante

Donde

esfuerzo elástico máximo en la columna, que se presenta en el lado interno cóncavo, en el

punto medio de la columna. Este esfuerzo es de compresión.

carga vertical aplicada a la columna. , a menos que ; en ese caso y la

ecuación de la secante se convierte en la ecuación de Euler!

Excentricidad de la carga , medida desde el eje neutro del área transversal de la columna

hasta la línea de acción de .

distancia del eje neutro a la fibra mas externa de la columna, donde se desarrolla el esfuerzo

máximo de compresión.

Longitud no arriostrada de la columna en el plano de flexión. Para soportes distintos de las

articulaciones, se deberá usar la longitud efectiva

: radio de giro mínimo de la sección transversal de la columna.

Es importante notar que la ecuación de Euler es un caso particular de la fórmula de la secante,

cuando

Debido a ésta relación no lineal, todo factor de seguridad que se use para fines de diseño, se aplica

a la carga, y no al esfuerzo. Es por eso que en las ecuaciones anteriores para columnas cargadas

céntricamente el factor de diseño no se emplea para esfuerzos sino para la carga.

El término

se conoce como relación de excentricidad.

Al graficar ésta ecuación para cierto acero con una determinada resistencia a la fluencia

compresiva, se observa que las curvas de

se aproximan asintóticamente a la curva de Euler a

medida que se incrementa

.

En la gráfica se compara la fórmula de la secante y la fórmula de Euler para un acero con

Al imponer la resistencia a la fluencia compresiva como el valor máximo de , la fórmula

de la secante resulta

La ecuación de diseño para columnas cargadas excéntricamente introduce un valor menor de la

resistencia a la fluencia compresiva, lo cual se obtiene dividiendo la fluencia compresiva por un

factor de diseño mayor que 1.

Así, para evitar el pandeo en columnas cargadas excéntricamente se debe verificar la siguiente

condición

Para soportes distintos de las articulaciones, se reemplaza por y la ecuación anterior queda

Diseño de columnas cargadas excéntricamente

En los problemas donde se necesita la carga crítica excéntrica se emplea la condición de

no falla por pandeo para el caso límite. El esfuerzo crítico por carga excéntrica no es

mayor o igual, sino directamente igual (lo cual es el caso límite) a la resistencia a la

fluencia entre un factor de diseño.

Vemos que determinar la carga crítica excéntrica de ésta ecuación (no lineal) es casi imposible por

medios analíticos directos. Para remediar esto, se pueden utilizar diferentes métodos numéricos

para solucionar ecuaciones no lineales con una variable independiente, entre los que están el

método de punto fijo, el método de la secante y el método de Newton-Rapshon, siendo éste

último uno de los más potentes.

Si no se desea entrar en rigurosidades matemáticas, también se puede aplicar simplemente un

procedimiento por tanteos. Esto es, dándole valores arbitrarios a de tal forma que se cumpla la

igualdad anterior.

Además, el problema en cuestión se puede resolver también por medio de la gráfica de la

ecuación anterior correspondiente a la relación de excentricidad hallada y al acero de la columna

utilizado.

Por ejemplo, si ,

y

para una columna

de un acero con una resistencia a la fluencia

Vemos que para éstos valores dados, la carga crítica unitaria

es, según la gráfica,

aproximadamente

Reemplazando el valor del área

Este valor se puede comprobar, demostrando que satisface la fórmula de la secante

(No especifican nada sobre el factor de diseño)

Reemplazando todos los valores dados, la expresión anterior resulta

Pueden presentarse casos donde debido a un arriostramiento impuesto en una columna cargada

excéntricamente, en un plano de pandeo se presente la excentricidad y en el otro plano de

pandeo no obviamente.

En esos casos, toca analizar cada plano por separado, es decir, se utiliza la fórmula de la secante

para el plano que tiene la excentricidad y la fórmula de Euler (o Johnson según sea el caso) para el

plano donde no se presente la excentricidad.

Al hallar ambos valores de carga crítica (una para cada eje de pandeo) resultará una menor que la

otra. Entonces, la carga crítica definitiva de la columna es la carga crítica menor de las dos cargas

críticas obtenidas antes.

Bibliografía

Mecánica de Materiales, R.C Hibbeler, sexta edición, Ed. Pearson.

Diseño en Ingeniería Mecánica de Shigley, R. Budynas y J. K. Nisbett, octava

edición, Ed. Mc. Graw Hill.

Diseño de elementos de máquinas, R. Mott, segunda edición, Ed. Prentice Hall