Columna Fuerte

NOTAS DEL CURSO DE

DISENO DE SUPER-ESTRUCTURAS DECONCRETO REFORZADO

Autor:Jose G. Rangel Ramrez

www.cessarer.com / www.icsescra.com

2Prefacio

SOBRE ESTAS NOTAS

Las notas parciales del curso de Diseno de super-estructuras de concreto reforzado abarcan temas a nivel maestra yfueron elaboradas con proposito educativo. Este documento es una recopilacion de informacion y texto de la literaturarecomendada y citada en este documento. En la informacion adicional que no sea parte de la recopilacion existelos derechos de autor Copyrigth c2012 para Jose G. Rangel Ramrez. Este documento es gratis y de libre uso,por lo que se puede re-distribuir y/o modificar bajo los terminos de la licencia publica general GPL (GPL por sussiglas en ingles, General Public License) y la licencia de documentacion libre (FDL, free documentation licence, porsus siglas en ingles) de la fundacion de software libre en su version mas reciente. Esto indica que esta permitido ladistribucion, reproduccion y modificacion sin algun costo o requirimiento mayor. Para mayores detalles, ver GNU-GPL: http://www.gnu.org/licenses/fdl.html. Esto mencionado previamente no implica algun permiso pararealizar beneficio economico y/o alguna garanta de beneficiarse economicamente por medio de este. En la preparacionde este documento, fueron empleados recursos y aplicaciones de uso libre y abierto. Si se realiza alguna modificaciono cambio adicional en este documento que se substancialmente util, el autor apreciara el ser informado con el motivode adicionar, modificar y mejorar el documento.

Jose G. Rangel Ramrez

Indice general

1. El diseno de refuerzo en las uniones 51.1. Generalidades acerca de las uniones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51.2. La union viga-columna . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

1.2.1. Uniones de elementos de marco rgido . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61.2.2. Union viga-columna y las previsiones del las NTC y ACI . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131.2.3. La union de viga secundaria con viga principal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

1.3. El modelo puntal-tensor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181.4. La formacion de articulaciones en vigas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

1.4.1. El concepto de columna fuerte viga debil . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 301.4.2. Que hacen las normas para garantizar la ductilidad y resistencial? . . . . . . . . . . . . . . . 32

1.5. Las columnas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 321.5.1. Introduccion al comportamiento elastico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 341.5.2. El analisis de segundo orden para efectos de esbeltez . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51

2. Las vigas de gran peralte 532.1. Generalidades acerca de vigas de gran peralte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 532.2. El comportamiento y modos de falla de las vigas de gran peralte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 532.3. Las especificaciones acerca de las vigas de gran peralte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55

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4 INDICE GENERAL

Captulo 1

El diseno de refuerzo en las uniones

1.1. Generalidades acerca de las unionesLas uniones o conexiones son partes sensibles y esenciales que se deben mantenerse en buen estado estructural

con el fin de proveer a una estructura de buen desempeno y ductilidad bajo las solicitaciones de carga. Durante lasexcitaciones se pueden presentar esfuerzos maximos, rotaciones y dano que puede terminar en colapso total o parcialde la estructura. Es comun la creencia que debido a la cantidad de varillas de acero de refuerzo y concreto en lasuniones, estas no eran sectores crticos dentro de la estructura. Sin embargo esto no es asi, debido a que estas unionesestan sujetas a condiciones complejas en su frontera y a defectos, producto de su construccion y detallado, son sectoresmuy propensos a dano y falla en condiciones donde los elementos estructurales adjuntos no han alcanzado su capacidadultima.

Aspectos teoricos

Este texto pretende abordar la parte (muy minuscula debido a su complejidad y extension del tema) de la pro-blematica del comportamiento de las uniones. El estudio de las uniones esta intrnsecamente relacionado con la com-plejidad de las cargas y combinaciones de carga sobre esta misma. Desde un punto de vista simplificado y practico, lasuniones tendran un buen desempeno estructural (directa o indirectamente) si cumple con las siguientes caractersticas:

a) Una conexion debe ser construible, es decir, que su armado, cimbrado y vaciado presenten condiciones que per-mitan su concepcion.

b) Una union debera de tener una resistencia que por lo menos satisfaga la combinacion de carga mas adversa quepodra presentarse en esta debido a los miembros estructurales. Lo optimo es que sobrepase esa combinacion mascrtica.

c) Una conexion debe tener al menos el mismo comportamiento bajo carga de servicio que los elementos estructuralesque conecta.

d) La resistencia de la union no debe ser de una magnitud mayor o de cierta manera ser un punto con alta resistenciaque gobierne la capacidad integral de la estructura (o un sector de esta) o que su comportamiento sea un obstaculopara que miembros que se unen puedan alcanzar sus resistencia y rotaciones.

e) Una union debe presentar un diseno y conformacion en funcion a las solicitaciones de carga en el sitio y carac-tersticas de los fenomenos en el.

Desde la perpectiva de carga la uniones pueden estar sujetas a:

a) Carga por gravedad (peso propio)

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6 CAPITULO 1. EL DISENO DE REFUERZO EN LAS UNIONES

b) Carga monotonica creciente

c) Carga con inversion de esfuerzos

En el caso de carga por gravedad se necesitara que la conexion tenga la resistencia necesaria para resistir losestados lmite de servicio y falla. En el caso de carga monotonica creciente se espera una demanda en resistenciay ductilidad de la seccion por lo que se debe colocar refuerzo considerable para alcanzar las demandas de rotacionpor la carga. En el caso de inversion de esfuerzo (e.g. excitacion ssmica), la cantidad de refuerzo y su localizacionsera mayormente uniforme pretendiendo a darle a la seccion transversal la resistencia y ductilidad para el caso de unadegradacion de resistencia bajo cargas alternadas y repetitivas, simetrica y asimetricamente en diferentes sectores.

Aspectos practicos

La pregunta es Donde se puede encontrar los requerimientos de diseno estructural y detallado para las unio-nes?. El buen comportamiento de las uniones son parte importante en el buen desempeno estructural de los marcosresistentes. Bajo la premisa de que una estructura de concreto reforzado en base a marcos resistentes depende de lasconexiones y buen desempeo de los elementos estructurales, estos requerimientos se encuentran mayormente en sec-ciones de los codigos y normas de diseno que cubren los requisitos generales para marcos resistentes. Dentro de lasnormas tecnica complementarias se puede observar la seccion 7-marcos ductiles (ver [2]). Tambien se puede explorarlas normas de Instituto Americano del Concreto (ACI, American Concrete Institute por sus siglas en ingles) en lasdisposiciones especiales para diseno ssmico, ver [5]. Tambien se recomienda ver el siguiente documento [3].

1.2. La union viga-columna

1.2.1. Uniones de elementos de marco rgidoPara abordar la problematica y estados lmite de servicio y de falla de las uniones, se puede hacer una simple

clasificacion de las conexiones principales en marcos rgidos:

1. Uniones de esquina o de rodilla bajo carga de cierre

2. Uniones de esquina o de rodilla bajo carga que abre

3. Uniones exteriores en marcos planos

4. Uniones interiores en marcos planos

Antes se menciono que una union debe tener por lo menos el mismo comportamiento bajo carga de servicio que loselementos estructurales que conecta. Para cada tipo de conexion la excedencia del estado lmite de servicio (agrieta-miento, giro, rotacion, deflexion, distorsion, etc) y falla esta gobernado por la geometra y caracterstica de la cargaque llega a esta. A continuacion se mencionara y abordara la problematica de cada uno de estos tipos de uniones.

Las uniones de esquina puede mostrar el caso de una union T que se presenta en sistemas de piso descansandoen vigas y estas a su vez en columnas. Tambien puede verse en el caso de un muro de contencion.

Uniones de esquina o de rodilla bajo carga de cierre

La junta de rodilla es aquella union de 90 grados de dos elementos estructurales, ver figura (1.1). Las fuerzasinternas en la junta pueden ocasionar que falle la junta antes de que se alcance la resistencia de la viga o columna.Experimentalmente se observo (ver en la referencia [14]) que al confinar la esquina de la union se puede tener unmayor efectividad en alcanzar el momento resistente en la seccion.

Si se supone que en la figura (1.1.a) hay una union de rodilla y su armado es continuo. Esto pareciera suponerque existe un buen anclaje por la continuidad, sin embargo esto no garantiza el buen desempeno por la falta de

1.2. LA UNION VIGA-COLUMNA 7

Figura 1.1: Dano en uniones de rodilla bajo momento de apertura. (a) Grietas tpicas. (b) Compresion y tension enambos lados de la union. (c), (d) y (e) Ejemplos tpicos de conexiones de esquina continuas sujetas a cargas de apertura.

confinamiento y de ah el patron de grietas en direccion a la arista de la esquina. En principio la fuerza de tension T(ver figura (1.2)) tiene un esfuerzo tangencial en los lmites extremos del cubo confinado por las varillas. El esfuerzode tension f t en estas paredes esta dado por:

f t =T

bd(1.1)

Esto a su vez puede escribirse como sigue,

T

bd=Asfybd

= fy (1.2)

De esto se obtiene que,

f t = fy (1.3)

=f tfy

(1.4)

Donde es la cuanta de acero, As es el area de acero, fy es el esfuerzo de fluencia del acero y T fuerza de tension.Por lo que la cuanta al llegar a la union estara limitada a ser igual a f

t

fy, Porque se dice que limitada? Se dice que

limitada por que la cuanta se disena para la seccion y si se necesitara menos o mas de la que plantea la expresion(1.4) entonces se tendra que limitar a la que necesita la conexion y en realidad se necesita una cuanta que seaadecuada en el elemento estructural.

De estudios como en [14] y [9] se observo que cuando = 0,75 % se logro la capacidad del los elementosestructurales adjuntos dado que despues se fisuro la union. Para valores de = 3,0 % se presento que fallo la union sinque se presentara la mayor capacidad de elementos estructural adjuntos. Esto plantea la importancia del confinamientoen la union.

Tambien plante una forma de poder reforzar este tipo de union de rodilla con fuerzas de cierre. Si se planteareforzarla se puede reforzar la union con varillas perpendicular a la trayectoria de la grieta, ver figura (1.3).


Figura 1.2: Esfuerzos tangenciales en la union

Figura 1.3: Varilla orientada perpendicularmente para detener el agrietamiento.

En el trabajo [14] y [9] se puede concluir que cuando existen elementos estructurales pequenos con carga de cierrede baja magnitud (por consiguiente un bajo):

a) Se puede solo continuar con su armado hasta la union y traslapandose con el otro elemento adjunto.

b) Las varillas en tension se deberan doblar en una curvatura suficiente (curvatura menor comprehendera un mayorbloque a tension y con curvatura mayor el bloque de concreto en la union tendra menor volumen) para impedir lafalla por apoyo o por fisura.

c) La cantidad de refuerzo en tension en la union (y elemento adjunto) debe tener un menor al ya mencionado.

Cuando se utilizan miembros estructurales mayores y por consiguiente un elevado contenido de acero de refuerzo,se puede plantear las siguientes opciones de refuerzo:

a) Se puede colocar varillas perpendiculares a la grieta potencial.

b) Cuando el ensanchamiento de la grieta ocasiona el trabajo del acero a tension, entonces se puede reforzar conestribos dentro de la conexion.

c) Dado que se puede poner varillas perpendiculares a la potencial grieta, estas pueden ser reforzadas por ganchos enla direccion a la grieta que den a la varilla a tension (en su radio de curvatura) un soporte.

Uniones de esquina o de rodilla bajo carga que abre

El caso de una carga que abre es mas crtico que una carga que cierra. En una fuerza que cierra existe esfuerzos(varillas externa a tension con un radio de giro) que en su parte media tiene una posicion perpendicular a la grieta.En el caso de una fuerza que abre, no hay en la arista interna de la union y debajo del recubrimiento algun refuerzoperpendicular a la trayectoria de la grieta. Las fuerzas de compresion (ver figura (1.5) ) tratan de desprenderel bloqueque esta confinado.

Para este tpo de carga sucede lo mismo que el caso anterior, que bajo cuantas del orden de = 0,75 % [9] ycon 8 especmenes no se logro ni el 50 % de la capacidad que llega al pao por el elemento estructural. Este porcentaje


Figura 1.4: Refuerzo para union en 90 grados de un marco de magnitudes mayores con carga de cierre.

Figura 1.5: Fuerzas que abren a union en angulo de 90 grados y grietas tpicas.

es calculado del resultado de la division del momento de prueba entre el Momento calculado de la capacidad de laseccion al llegar a la union. Con esto se esta (al menos experimentalmente) en una situacion mas adversa por cargaque abre. Ademas se trata de especmenes pequenos (20.3 cm) y no de elementos de dimensiones mayores y que sepodran presentar en edificios de media y gran altura. Esto plantea la importancia de reforzar una union de rodilla.

Si la distancia entre acero en lecho superior Ass y el lecho inferior Asi de la viga es dv y esta misma distancia parala columna es dc, se puede calcular la distancia diagonal D del la union,

D =d2v + d

2c (1.5)

Esta distancia D no tiene influencia alguna de casos cuando el peralte hc de la columna sea mucho menor que leperalta de la viga hv sea mucho mayor. Para considerar esta influencia de dimensiones se puede dividir esta ultimaexpresion entre el peralte de la columna dc :

D =d2v + d

2c

D

dc=

1

dc

d2v + d

2c

D

dc=

d2v + d

2c

d2c

D

dc=

d2vd2c

+d2cd2c

D

dc=

(dvdc

)2+ 1 (1.6)

En principio esta ecuacion 1.6 es igual que la expresion 1.5 cuando dv = dc pero en caso de que dc sea muchomenor que dv esta distancia D (en esta caso D/dc) sera mayor. Aunque realmente esta expresion 1.6 no es realmente


la distancia diagonal del nudo, esta si toma en cuenta la relacion desfavorable de dos elementos que se unen condiferentes dimensiones, por lo que se adopta de manera conservadora que,

D (

dvdc

)2+ 1 cuando dv dc (1.7)

Si las secciones de los elementos estructurales que llegan a la union estan debidamente reforzadas con acero balan-ceado, entonces la fuerza del bloque a compresion tiene la misma fuerza que la tension del refuerzo al lado contrarioC = T . Planteando que ambos elementos que llegan union tiene la misma dimension y dandole una dimension unitariadc = 1 y dv = 1, se puede calcular la fuerza de la tension que pretende unir el bloque, bajo la fuerza de los bloques acompresion que trata de agrietar y separa, ver figura(1.5),

FD =C2 + C2

FD =

2C2

FD =

2C

FD =

2T (1.8)

Basandose en geometra se tiene que la fuerza FD es la misma fuerza de tension FT que trata de abrir la grieta en laparte interna de la union. Esta fuerza de tension esta dada por el acero de refuerzo que trata de contener la abertura dela grieta se tiene que,

FT = AsT fyT (1.9)Donde AsT es el area de acero en tension que se debe colocar en la union y fyT es el esfuerzo de fluencia de esteacero. Este refuerzo AsT estara perpendicular a la grieta y se esperara que bajo cierta abertura este acero empiece aser empujado para fuera por la fuerza diagonal FD que se presenta en la grieta. Esta fuerza diagonal FT que sujete aal armado Asv en su lugar, es:

FD = AsD fyD (1.10)Donde AsD es el area de acero de refuerzo de los anillos para sujetar el refuerzo a tension por abertura y fyD es elesfuerzo de fluencia de este acero. Para que la grieta teoricamente no se abra estas fuerzas deben ser FT = FD. Por loque se tiene,

FD = FT

AsD fyD = AsT fyTAsD =

AsT fyTfyT

(1.11)

Esta relacion que define el area de acero de refuerzo AsD cuenta con una hipotesis: que las dimensiones de loselementos adjuntos son iguales. En el caso de que no sea as, se debe tener una expresion que capture esta relacion yafecte a esta area AsD. La ecuacion (1.7) sirve para este proposito,

AsD = DAsT fyTfyD

= AsTfyTfyD

(dvdc

)2+ 1 (1.12)

Realmente AsD consistira en un grupo de varilla por lo que puede ser definida como,

as,i n = AsT fyTfyD

(dvdc

)2+ 1 (1.13)


Figura 1.6: Refuerzo teorico para momento que abre la union.

Donde n es el numero total de varillas y as,i es el area estandar de la i-esima varilla. Para calcular esta area de un solavarilla que sera usada como refuerzo, se tiene que,

as,i =AsTn

fyTfyD

(dvdc

)2+ 1 (1.14)

Esta es una expresion aproximada que puede servir de partida para reforzar bajo momento de apertura. Este refuerzopuede verse en la figura 1.6.

En casos experimentales como en los mostrados por [14] y mostrado en [11] se observo que los porcentajes de ladivision Mprueba/Mcalculado variaron dependiendo la configuracion del refuerzo para probetas de 20.3 cm. Esto semuestra en la figura 1.7 tomada de [11]. Se puede observar en la figura (1.7) una seria carencia de eficiencia estructuralen el arreglos (a) y (b). En estas se aprecia una carencia de confinamiento en la union. Este tipo de union es tpicaen uniones de rodilla en muros de contencion y otros muros cortos. Es en este tipo de estructuras donde tambien esprobable que la cantidad de acero a flexion sea relativamente menor y se refuercen por temperatura. Esto anterior poneen evidencia la sensibilidad de estos tipos de estructuras bajo momento que las abre.

En las figura (1.7)-(c) hasta -(e) se muestran detalles utilizados comunmente en la practica. De estas pruebasexperimentales se muestra que ninguno paso de 37 %. Es decir, se presento un momento de 37 % la capacidad de laviga y fallo la union. En teora si la carga viva y muerta se afectan por un factor de 1,4, entonces para la carga vivasin factorizar sera 0,714 % de la carga muerta y viva estimada. Si el momento mantiene esta relacion se necesita queel momento maximo real cubra al menos 71,4 % de la sumatoria de carga viva y carga muerta estimada sin factorizar.Si la viga es disenada para el momento factorizado y asi se extiende su armada al nodo, es posible que esta junta notenga un buen comportamiento por solo cubrir hasta 37 % del momento calculado. Ademas, esto es pensando que nose fracturo antes. En las figuras (1.7)-(f) a -(h) se evidencia que al confinar con aros la junta se puede lograr hasta64,7 % de la capacidad designada a los elementos estructurales.


Figura 1.7: Tomado de referencia [11]. Juntas de esquinas probadas por [14]. Los porcentajes que se muestran son dela relacion Mprueba/Mcalculado.

Uniones exteriores en marcos planos

Las uniones exteriores en marcos planos resisten diferentes regmenes de carga en sus diferentes caras. En el casoadverso de sismo, se infringen inversiones de momentos durante varios ciclos puede tener particular efecto negativoen este tipo de juntas. Pero hay una razon tan importante como soportar el dano sufrido en forma de agrietamiento.Y es la reduccion de la seccion del elemento estructural que transmite el momento a otras secciones por medio de launion. En caso de un agrietamiento severo, no habra fuerza cortante y momento flexionante que sea transmitido y porlo tanto la estructura no se desempenara de manera eficiente bajo una excitacion ssmica.

Hay tres cuestiones importantes al analizar las uniones exteriores en marcos planos:

1. Las varillas superior de la viga que llega al nudo (ver figura 1.8, linea de color azul) esta envueltas en incertidumbre.El concreto exterior en el lecho superior de la viga esta sujeto a menor adherencia que en el acero en el lecho inferiorde la viga. Esto es debido a la segregacion del concreto. Esto reduce la adherencia bajo traccion y compresion enla varilla. Si la varilla es doblada en hacia bajo (nodo superior de la columna inferior) se espera que la curva deeste doblez pueda ayudar al anclaje, de manera que con anclaje se suple los posible defectos en adherencia. No esrecomendable el doblez haca arriba (nodo inferior de la columna superior) por que se pierde confinamiento en elnodo y al no haber anclaje (debido a que el doblez favorece a que actue la adherencia y esta no es efectiva) se creeque se tiene un pobre desempeno.

2. La varilla en el lecho inferior (ver figura 1.8, linea de color rojo) de la viga tiene las condiciones de adherencia porel favorecimiento de una segregacion natural del concreto. Si la varilla superior tuviera baja adherencia y esta varillainferior supliera de resistencia para mantener al elemento unido al nudo, estara este lecho inferior soportando consu buena adherencia y anclaje, una buena parte de la fuerza en la union viga-nudo. Al final y al cabo de variosciclos de carga, este adherencia y anclaje pueden degradarse y poniendo en entre dicho el desempeo del nodo y dela estructura.

3. Las varillas que recorren la columna superior e inferior (ver figura 1.8, lineas de color verde y rosado), estanseparadas por el ancho del nudo. Parece contradictorio que estas varillas pretendan transmitir todo la carga al nudosi estan tan distantes. Se puede pensar que los estribos deben de cierta manera realizar la labor de confinar el nudoy transmitir la carga. En la realidad esto no puede ser a la perfeccion. El acero de las columnas superior e inferiordebe ser bien distribuido para realizar esta labor de transmitir la carga a toda la union y que esta lleva las fuerzas alos otros elementos.


Figura 1.8: Agrietamiento y acciones en la union exterior

En la figura 1.9 se puede observa una variedad de uniones exteriores en marcos planos

Uniones interiores en marcos planos

En comparacion, las uniones interiores soportan cantidades de cargas mayores a las uniones exteriores. Basica-mente las vigas en fachadas cargan la mitad (aunque algunas puedes ser por estetica y no cargar mas que su pesopropio) de las interiores aunado al hecho que las juntas interiores tiene sus caras totalmente confinadas. Exite tambienalgunas desventajas de las uniones interiores con respecto a las exteriores. El nudo interior tiene los mismo problemasde segregacion que una union exterior, aunado al hecho de que llega mas acero de refuerzo a este y se podra obstruirel paso del agregado grueso a algunos sectores de la union. La ventaja del nodo interior es que el confinamiento yvariedad de acero puede transmitirle las fuerzas de manera satisfactoria. La otras de las mayores desventajas es depen-der de la adherencia y no tener las condiciones (por su condicion de union interior de paso de armado longitudinal)de su armado longitudinal dispuesto al confinamiento. El refuerzo longitudinal que llega a este nudo interior es depaso y debe continuar hasta el siguiente elemento, ya sea viga o columna. Es decir, se confa a la adherencia el buendesempeno estructural del nudo y se tiene que prever como confinar con estribos y ganchos la union.

En la seccion anterior se menciona de manera somera la problematica de las uniones y como el anclaje, resistenciaa cortante, fuerzas y elementos de confinamiento juegan un papel importante dentro de la resistencia de la union. Acontinuacion se mencionara sobre aspectos normativos que son mencionados para en su medida garantizar el mnimobuen comportamiento estructural de las uniones.

1.2.2. Union viga-columna y las previsiones del las NTC y ACILas NTC-Concreto reforzado [2] define a la union viga-columna como:

Una union viga-columna o nudo se define como aquella parte de la columna comprendida en la altura dela viga mas peraltada que llega a ella.

La NTC [2] en su seccion 7.4 y [5] en su captulo 21 plantean de igual manera los mismo requerimientos y estasnormas parte de la suposicion que:


Figura 1.9: Uniones exteriores viga-columna en marcos planos. Tomado de la referencia [1].

Figura 1.10: Uniones interiores viga-columna en marcos planos. Tomado de la referencia [1].


Figura 1.11: Refuerzo transversal vertical en uniones viga-columna. Figura tomada de la referencia [2].

La demanda de fuerza cortante en el nudo se debe a las barras longitudinales de las vigas que llegan a launion.

Esto tiene sentido por dos razones. La primera es que la fuerza de las barras de refuerzo longitudinal de las vigas tieneun mayor par que la de las columnas y la segunda razon es que bajo una mayor variacion de momento flexionante sepresenta una mayor fuerza cortante en el nudo. Tambien hace referencia a la contribucion de la losa a la fuerza delnodo. Esta normas dicen de manera general que el refuerzo longitudinal de las vigas debe trascender hasta el nucleode la columna por lo que pasara por le nucleo del nudo, ver [2] . Como se vio con anterioridad esto es relevante perono siempre lo optimo por que si el acero no esta orientado en un sentido especfico donde puede impedir la aberturade la grieta para una configuracion especfica de carga, esto simplemente es irrelevante. Sin embargo, debido a lacomplejidad de la ciertas combinaciones de carga que se invierte, esto es un requisito para acotar el refuerzo desde unpunto de vista general.

El refuerzo transversal del nudo debe ser regido por lo establecido por el refuerzo mnimo de refuerzo transversalhorizontal (cuanta mnima, min) y es permitido reforzar con la mitad del refuerzo transversal horizontal si el nodoesta entre 4 vigas y las vigas tiene un ancho que es al menos igual a 0.75 veces el ancho respectivo de la columna.Esto supone que hay un traslape efectivo de acero longitudinal entre vigas contiguas y no solo un traslape entre acerode viga a columna. Ademas se supone que aunque no exista colado in-situ existe el debido anclaje de todas y cada unade las vigas que llegan al nodo. La cuestion podra ser al conectar elementos colados in-situ con prefabricados. Estosultimos deberan tener la debida configuracion de acero saliente para conectarse continuamente con los elementoscolados in-situ.

El refuerzo tranversal vertical (estribos) debe ser colocado a lo largo del nudo en uniones de esquina, ver figura(1.11). Este refuerzo transversal pueden ser estribos en forma de U siempre y cuando se le den a los extremos ladebida longitud de desarrollo.

La fuerza cortante que resiste un nodo o la fuerza de corte del nodo se requiere ser calculada tomando en cuentalos siguientes aspectos, ver figuras (1.12) y (1.13):

1. La revision de fuerza cortante se debe hacer en direcciones principales.

2. La fuerza de corte se plantea que se presenta en un plano horizontal a media altura del nodo.


Figura 1.12: Determinacion de la fuerza cortante actuante en un nudo de marcos ductiles. Figura tomada de la referen-cia [2].

3. El confinamiento en sus diferentes caras y el un numero determinado de vigas y columnas con ciertas caractersticas.Las caracteristicas relevantes de los elementos estructural que llegan al nodo son: Carga en el elemento estructural(e.g. la viga puede no tener carga, sin embargo se considera que confina al nodo si se extiende mas de un peralte dela cara del nudo), Si la base o ancho de la viga cubre al menos 75 % del ancho de la columna (ancho del nodo) y sicualquier elemento adyacente que llega al nodo tiene al menos 75 % del peralte mayor de alguno de los elementosque llega al nudo.

4. Si en el nodo existe una discontinuidad entre columnas que llegan a el, su resistencia sera afectada y se reducira enun 25 %.

5. Existe el concepto de ancho efectivo del nudo be. Este ancho debe evaluarse dependiendo el caso. Si la trabe esuna viga-T entonces se debe considerar el ancho correspondiente a su patn y a su nervadura. Este ancho efectivobe debe ser menor o igual a menor de estas condiciones: La primera es el promedio de los anchos de las vigas quellegan al nodo, La segunda es que no sera mayor que el ancho de las vigas mas el peralte de la columna y la ultimaes que no debe ser mayor que la dimension transversal (perpendicular a la direccion del analisis de la resistencia decortante) de la columna que llega al nodo.

En la figura (1.13) se muestra el concepto de ancho efectivo del nudo be y en la figura (1.12) se muestra el sendero pordonde se estima la fuerza cortante del nudo.

En las recomendaciones del comite ACI-352 en [10] Los nodos son divididos en dos tipos de nodos:

1. Nodos para estructuras en areas no-ssmicas.

2. Nodos los cuales soportaran deformaciones (rotaciones) inelasticas.

En detalle es mencionado tambien que los nodos pueden ser clasificados en interiores, exteriores y de esquina. Estoplantea que para cada tipo de nodo se debe elaborar un diagrama libre del nodo y las fuerzas que sufre. Esto para


Figura 1.13: Area de la seccion que resiste la fuerza cortante en nudos de marcos ductiles. Figura tomada de lareferencia [2].


Figura 1.14: Transmision de fuerzas y conexion entre vigas secundarias y principales. Figura tomada de la referencia[2].

estimar la fuerza cortante en el. Esto se hace de la misma manera en las NTC, ver figura (1.12). Las NTC como elACI-352 plantean desde un plano general que se debe confinar la region del nodo, limitar el cortante en el nodo ylimitar el tamano de la varilla en el nodo.

1.2.3. La union de viga secundaria con viga principalEn el particular caso de las NTC [2] para el refuerzo del apoyo de la viga secundaria en una primaria, surge el

estribo o refuerzo por suspension. Este nombre hace alusion a la suposicion de que al formarse la griete en este tipode apoyo, el pedazo se podra desprender y sera suspendido y sostenido por el refuerzo transversal de la viga primaria.En la figura (1.14) se muestra el esquema de las NTC.

1.3. El modelo puntal-tensorCuando se estudia la teora estructural de las deformaciones y elementos mecanicos en los elementos estructurales,

es como primer punto el establecer hipotesis como la de mencionar que las secciones planas permanecen planas(deformacion perpendicular a la seccion es lineal) y decir que las deformaciones son pequenas. Esto es cierto en elmas puros sentido teorico, sin embargo al analizar elementos estructurales en sectores donde se apoyan o donde recibencargas, esto no es as. Se puede decir que existen regiones donde los esfuerzos siguen las suposiciones practicas queusualmente se hacen. En otras palabras sigue la teora de las vigas (beam theory en ingles) a estas regiones de loselementos estructurales se le pueden llamar region-B. A los sectores de las vigas o elementos estructurales dondela concentracion de fuerzas hace que las deformaciones no sean lineales, se le puede llamar region-D. En principioy por sugerencia de Saint Venant estos efectos de distorsiones en una region-D por algun apoyo, carga concentradao discontinuidad del elemento estructural, generalmente se prolongan en sus efectos hasta una vez el peralta del

1.4. LA FORMACION DE ARTICULACIONES EN VIGAS 19

Figura 1.15: Regiones-B y regiones-D. Tomado de [7]

elemento estructural. Este distancia-D de las distorsion puede llegar a ser un buen parametro para saber hasta dondese puede considerar una region-D. Producto de las distorsiones mayores, existira agrietamiento. Es obvio que lasgrietas se extenderan por el sendero que tengan sin reforzar y por donde el esfuerzo mayor vaya concentrandose.Antes del agrietamiento se puede analizar cualquier elemento de forma elastica y saber el esfuerzo. Al momento deagrietarse el elemento deja netamente de soportar las fuerzas en todo su cuerpo. Estas se concentran en ciertos sectoresde esfuerzo. La pregunta sera Es posible reforzar estos sectores del tal manera que despues del agrietamiento elelemento internamente resista las fuerzas? En principio esta respuesta es afirmativa y tiene relacion con el modelopuntal-tensor. Este modelo consiste en idealizar a estos sectores a compresion dentro del elemento agrietado como unpuntal de concreto que en su alma contiene refuerzo longitudinal de acero en forma de varillas. La transicion de puntala puntal se le nombra como zonas nodales. De manera simple se puede decir que es como idealizar una armadura abase de elementos estructurales formados por una o mas varillas con una area efectiva de concreto a su alrededor.

Cuando se piensa en las fuerzas que deben tener los elementos de la armadura dentro de los elementos estructurales,es importante considerar que las compresion no es problema para el concreto, la cuestion es que el agrietamiento y esrefuerzo este debidamente situado para darle al elemento estructural la fuerza para soportar las fuerzas.

1.4. La formacion de articulaciones en vigas

Las articulaciones en las vigas es un tema de vital importancia en el comportamiento de las estructuras de concretoreforzado. Esta articulacion se da a medida que se le va requiriendo mayor curvatura a una seccion de concretoreforzado de en un corte transversal de una viga. Para construir esta grafica momento curvatura se debe primero elegirel modelo que represente el comportamiento de:

1 Comportamiento del concreto no confinado

2 Comportamiento del concreto confinado


3 Comportamiento del acero de refuero

4 Efectos relacionados con el comportamiento del concreto y acero de refuerzo longitudinal a la par

5 Efectos relacionados con el comportamiento del concreto y acero de refuerzo transversal

En la figura 1.16 se muestra algunas de las teoras y modelos del comportamiento del concreto en una seccion trans-versal.

En este figura (1.16) se muestra como el comportamiento va de un comportamiento lineal a paraboloide, elptico ehiperbolico. Estos diagramas de esfuerzos del concreto solo incluye al concreto que esta confinado en el alma. El re-cubrimiento de concreto no esta confinado por lo que el modelo debe cambiar. El concreto y acero como material tienesus propiedades en las cuales los esfuerzos de fluencia, a compresion, tension, de aplastamiento y las deformacionesson importantes.

Los miembros de concreto reforzado estan compuestos por acero y concreto. Los parametros de interes para poderestimar la formacion de articulaciones son:

1. Resistencia a compresion del concreto, f c

2. Resistencia ultima a compresion del concreto, f u

3. Resistencia confinada a compresion del concreto f cc

4. Resistencia a aplastamiento por compresion del concreto, f cca

5. Deformacion a la maxima resistencia del concreto, cc

6. Deformacion ultima del concreto, cu

7. Modulo de elasticidad inicial del concreto (modulo tangencial), Ec

8. Modulo elastico suavisado del concreto (modulo tangencial para ciclado), Ecs

9. Resistencia maxima a tension del concreto ft

10. Deformacion ultima a tension del concreto,t

11. Deformacion ultima de concreto confinado, ccu

12. Relacion de Poisson,

13. Deformacion de fluencia del acero, y

14. Esfuerzo de fluencia del acero, fy

15. Modulo de elasticidad del acero, Ey de fy y y

16. Deformacion inicial de endurecimiento por deformacion del acero, sh

17. Deformacion ultima del acero, su

18. Modulo inicial de endurecimiento por deformacion del acero, Esh

19. Deformacion ultima de fractura del acero, suu

20. Esfuerzo maximo a la deformacion ultima del acero, fsu


Figura 1.16: Desarrollo de teorias de resistencia ultima a flexion. Figura tomada de las notas de referencia de ACI-318-89 del Portland Concrete Association.


Figura 1.17: Diagrama esfuerzo-deformacion del acero de refuerzo.

Figura 1.18: Esquemas de las curvas esfuerzo-deformacion del concreto no-confinado y confinado.


De estos anteriores parametros dependera la capacidad de generarse bajo cierto regimen de carga la plastificacion dela viga de concreto reforzado. En la figura 1.17, se muestran algunas de las propiedades del acero de refuerzo. En elcaso de concreto los parametros ya mencionados son utilizados en diferentes teoras y formulaciones para representarla curva de esfuerzo deformacion del concreto. Algunos de estos modelos toman en consideracion el caso de concretocuando esta confinado con estribos y el caso cuando no esta confinado (en el recubrimiento). En esencia los modelosesfuerzo-deformacion del concreto se pueden esquematizar en la figura (1.18). La curva a b cd e esquematizael comportamiento general que se cree que tiene el concreto. Esta presenta una parte lineal muy pequena al principiode las deformaciones. Esta etapa lineal pronto acaba y da paso a un comportamiento parabolico pasando por el puntoa donde se acentua la cedencia del concreto bajo deformacion hasta el punto b (f c) y a partir de este puede mostrarun comportamiento de fluencia hasta c. Apartir de c se suscita un decaimiento hasta d donde alcanza su esfuerzo ydeformacion ultima, f u y cu. A partir de d el concreto severamente fractura no tiene mas que aportar y simplementesi se mantuviera de alguna manera en una pieza (que no es muy posible!), tan solo permitira deformacion bajo ningunaoposicion. Este tipo de curva es la que propone Hognestad en [4] (sin el segmento d-e). Otro modelo es el que propusoKent y Park en [6]. Este modelo es esquematizado por la curva a b i j. Estos autores proponen que la ramadescendente b i se mueve en el punto i dependiendo si esta confinado o no el concreto. Es decir el punto i se ira masa la derecha entre mas confinado este el concreto. Esto parece razonable que la rama descendente del esfuerzo cambie,sin embargo este modelo no afecta la localizacion del punto en a o b. Es decir, no hay un incremento de esfuerzodel concreto debido al confinamiento como se ha visto en la etapa experimental. El modelo de Sozen y Roy en [12]que va del origen a k m es justificable por simplicidad debido a que no representa el comportamiento no linealdel concreto. Sin embargo, la practicidad de este modelo lineal puede hacerlo mas facil de utilizar. Si se contrastaesta ultima curva con la curva a b h se puede decir que la primera se podra deber a un concreto confinado y lasegunda a un concreto sin confinar. La curva a f g contempla una cima pronunciada en el comportamiento delconcreto a deformacion. Esto fue lo propuesto por Soliman y Yu en [13]. Para finalizar, la curva ak l representa almodelo de Mander-Priestley-Park en [8]. Este es un modelo de buena aceptacion en el ambito tecnico que contemplael incremento de la resistencia del concreto bajo confinamiento y lo toma en cuenta tambien con una linea ascendentepos-fluencia que desciendo en una proporcion menor que si no estuviera confinado. Para analizar el comportamientode un elemento en alguna de sus secciones transversales se tiene que utilizar uno de estos modelos ya mencionados enuna curva llamada grafica momento-curvatura. Para calcular se debe fijar la deformacion (deformacion unitaria) yencontrar la profundidad a del bloque de esfuerzos a compresion, ver la figura (1.18) en la parte superior. Esta distanciaa debe encontrarse bajo la condicion de que la fuerza a compresion C de todo el bloque de esfuerzos a compresion delconcreto mas la fuerza de compresion del refuerzo de acero en compresion C2 (acero en lecho superior) sean igualesa la fuerza en tension T1 del acero en tension (lecho inferior), C + C2 = T1. En la figura(1.18) en la parte inferiorse muestra La grafica momento-curvatura M tendra de manera general las caracteristicas que se muestran en lafigura 1.20. Esta curva tiene tres puntos principales:

1. Momento Mcr y curvatura cr de fractura o momento y curvatura agrietada

2. Momento My y curvatura y de fluencia.

3. Momento Mu y curvatura u ultima

El momento y curvatura agrietada Mcr y cr se presentan en el momento las deformaciones del concreto a tensionexceden la capacidad de este. Es decir, se presentan tales deformaciones que el concreto se agrieta y pierde su inerciatotal (area maciza), transformandose en una Inercia agrietada. Esta perdida de inercia se refleja en una perdida deproporcionalidad en la curva M por lo que despues de que se presenta el agrietamiento la pendiente dM/ddisminuye su valor. Esta pendiente es igual al producto del modulo de elasticidad equivalente de la seccion y la Inerciade la seccion.Ee I . Como el modulo de elasticidad equivalenteEe es debido a los materiales que componen la seccioneste es de alguna manera invariante durante el agrietamiento, por lo que una disminucion en dM/d se pensara quees mayormente debido a la disminucion de I .

Al pasar el punto de agrietamiento existe una discontinuidad y cambio de pendiente que se mantiene constantehasta el momento y curvatura de fluencia My y y , respectivamente. Al llegar la capacidad de esta seccion a ese punto


Figura 1.19: Deformaciones y esfuerzos bajo una deformacion en el extremo superior de una seccion tranversal y unperalte a del bloque de esfuerzos a compresion.

Figura 1.20: Curva momento-curvatura


Figura 1.21: Curvatura y rotacion de una viga bajo un momento Mx

se dice que tiene el punto de fluencia de la seccion y donde tiene grandes rotaciones sobre su eje neutro (curvatura)debido al momento y si la seccion fuera de una viga bajo ese mismo momento, se tendra grandes curvaturas, verfigura (1.21). La localizacion y variacion de este punto de fluencia esta sujeta a confinamiento, carga axial del elemen-to estructural. Al pasar del punto de fluencia empieza una nueva pendiente hacia el momento y curvatura ultima. Ladistancia entre el el punto de fluencia y ultimo se le llama ductilidad d. Esta ductilidad es calculada con (u/y). Laductilidad es una propiedad importante a rotacion y curvatura de la viga por las fuerzas externas. Esta ductilidad en ro-tacion puede prevenir y avisar sobre futuras fallas de las vigas. Al pasar de y a u la curvatura se hace mayor bajo unmnimo incremento de momento en la seccion lo que por lo que este lapso puede servir para advertir cualquier colap-so. El hecho de tener un indebido o nulo confinamiento del concreto por estribos, procesos constructivos que arrojenconcreto de mala calidad y un mal diseo, impactara en la resistencia (My) y la ductilidad (u/y). Para elaborar unejercicio al respecto se utilizara la aplicacion llamada OPENSEES que puede ser descargada gratuitamente de http://opensees.berkeley.edu/ y en la siguiente direccion se puede encontrar un ejemplo de la evaluacion de la grafi-cas momento-curvatura http://opensees.berkeley.edu/wiki/index.php/Moment_Curvature_Example. Enla primera direccion eletronica se podra encontrar mas ayuda de como poder correr el codigo del OPENSEES (enlenguaje TCL). A continuacion se presenta el codigo de entrada para calcular el la curva M.

#


# Definicion de material para el acero de refuerzo

# etiqueta fy E b

uniaxialMaterial Steel01 3 $fy $E 0.01

# Defincion de material que representa al concreto en el nucleo confinado

# y recubrimiento

# Por simplicidad se considera el mismo modelo para concreto confinado

# y concreto en recubrimiento: La diferencia es solo los valores de

# Resistencia.

# Nucleo de Concreto Etiqueta fc ec0 fcu ecu

uniaxialMaterial Concrete01 1 -300.0 -0.004 -200.0 -0.014

# Recubrimiento de concreto (este es no confinado)

uniaxialMaterial Concrete01 2 -250.0 -0.002 0.0 -0.006 ;

# Valores geometricos de la seccion transversal

# Ancho de viga (cm)

set beaWidth 30

# peralte de viga (cm)

set beaDepth 60

# Recubrimiento

set cover 3.0 ;

# areas de acero de varilla del no. 3 y 4

set Asn3 0.71;

set Asn4 1.27;

# Algunas variables derivadas de los parametros ya asignados

set y1 [expr $beaDepth/2.0] ; # la mitad del la altura de la viga

set z1 [expr $beaWidth/2.0] ; # la mitad del ancho de la viga

# Definicion de la seccion transversal de la viga por

# medio de una funcion intrinseca en OPENSEES

section Fiber 1 {

# Crear las fibras que describen el nucleo

# Se crea un parche rectangular define el nucleo de

# concreto entre estribos y las coordenadas de cada esquina.

# Las coordenadas de las esquinas del parche son definidas con

# la mitad del peralte y ancho de viga, y restandole el recubrimiento

patch rect 1 10 10 [expr $cover-$y1] [expr $cover-$z1] [expr $y1-$cover] [expr $z1-$cover]

# Crear las fibras que describen el recubrimiento (top, bottom, left, right)

# de la misma manera que le parche del nucleo, se crean los parches de

# concreto en el recubrimiento. Son 4 parches rectangulares.

patch rect 2 10 2 [expr -$y1] [expr $z1-$cover] $y1 $z1

patch rect 2 10 2 [expr -$y1] [expr -$z1] $y1 [expr $cover-$z1]

patch rect 2 2 4 [expr -$y1] [expr $cover-$z1] [expr $cover-$y1] [expr $z1-$cover]

patch rect 2 2 4 [expr $y1-$cover] [expr $cover-$z1] $y1 [expr $z1-$cover]


# Crear las fibras que representan el refuerzo (left, middle, right)

# Se crean dos lechos de refuerzo superior e inferior de la seccion

layer straight 3 2 $Asn4 [expr $y1-$cover] [expr $z1-$cover] [expr $y1-$cover] [expr $cover-$z1]

layer straight 3 2 $Asn4 [expr $cover-$y1] [expr $z1-$cover] [expr $cover-$y1] [expr $cover-$z1]

}

# Estimar la curvatura de fluencia

# No es asumida carga axial por se una viga

# Set axial load

set P 0.0 ;

set d [expr $beaDepth-$cover] ;# d -- Peralte efectivo

set epsy [expr $fy/$E] ;# deformacion de fluencia del acero

set Ky [expr $epsy/(0.7*$d)] ; # un estimado de la curvatura de fluencia

# Escribe en la pantalla el estimado de la curvatura de fluencia

puts "Estimado de curvatura de fluencia: $Ky"

set mu 20; # Ductilidad que se desea analizar

# El analisis de la curvatura se hara por pasos. Entre cada

# paso hay un incremento por lo que se tiene que dar el numero

# de incrementos:

set numIncr 2000; # Numero de incremento del analisis

# La grafica momento curvatura es analizada por medio del

# procedimiento (subrutina) siguiente.

proc MomentCurvature {secTag axialLoad maxK {numIncr 100} } {

# Definicion de dos nodos en la misma coordenada (0.0,0.0)

node 1 0.0 0.0

node 2 0.0 0.0

# Restringir todas los GDL para el primer nodo y

# solo el de traslacion en y en el segundo nodo.

fix 1 1 1 1

fix 2 0 1 0

# Definir elemento de cero loingitud

# etiqueta ndI ndJ secTag

element zeroLengthSection 1 1 2 $secTag

# Grabar los datos del nodo

recorder Node -file section$secTag.out -time -node 2 -dof 3 disp

# Definir la constante de carga axial - carga axial nula

pattern Plain 1 "Constant" {

load 2 $axialLoad 0.0 0.0

}


# Definir parametros de analisis

integrator LoadControl 0.0

system SparseGeneral -piv

test NormUnbalance 1.0e-9 10

numberer Plain

constraints Plain

algorithm Newton

analysis Static

# Realiza el analisis de la carga P sobre la seccion

# en caso de viga P=0

analyze 1

# Se define el momento de referencia unitario

pattern Plain 2 "Linear" {

load 2 0.0 0.0 1.0

}

# Se calcula el incremento de curvatura dK

set dK [expr $maxK/$numIncr] ;

puts "dK: $dK" ;

# Se usa control de desplazameitno en el nodo 2 de la seccion en analisis

integrator DisplacementControl 2 3 $dK 1 $dK $dK

# Se realiza el analisis en los incrementos sealados

analyze $numIncr

}

# Se llama al procedimiento (subrutina) de arribay se le alimenta

# con los argumentos o datos de entrada en el orden debido para

# calcular la grafica momento curvatura.

MomentCurvature 1 $P [expr $Ky*$mu] $numIncr

Para calcular la curva momento curvatura se descarga el archivo con extension .exe del sitio ya mencionado.Despues se escribe el comando source y seguido el nombre del archivo XXXX con la extension .tcl.

source XXXX.tcl

En el codigo mostrado con anterioridad, es el caso de una viga con las siguientes caractersticas:

a) Dimension de base es b = 30 cm y con altura h = 60 cm

b) Acero en lecho inferior Asinf son 2 varillas de ] 4

c) Acero en lecho superior Assup son 2 varillas de ] 4

d) En el caso de concreto confinado se usara a cada 15 cm

El codigo anterior no considera confinamiento en el nucleo de concreto. En la figura (1.23) se muestra en linea grissolida una viga con las propiedades ya mencionadas y con una curva bilineal de esfuerzo-deformacion del acero derefuerzo. La grafica de linea solida negra se muestra la grafica M con un modelo simple trilineal de esfuerzodeformacion de acero de refuerzo. La linea gris segmentada muestra la grafica M con el modelo de Park del


Figura 1.22: Grafica momento-curvatura M de diferentes caractersticas en la seccion transversal

Figura 1.23: Grafica momento-curvatura M de diferentes caractersticas en la seccion transversal

acero de refuerzo, ver figura (1.17) . La linea segmenta-punteada de color negro, representa la grafica M conel modelo de Park del acero de refuerzo y concreto confinado en el nucleo. Como es evidente el confinamiento esprimordial para alcanzar mayores ductilidades y resistencias en la seccion. Tambien el comportamiento de acero yconcreto presentan la influencia en la forma de la cima de la grafica M . En esta seccion se muestra la importanciadel refuerzo longitudinal, transversal y el confinamiento. La grafica de momento curvatura es de alguna manera unadescripcion de la resistencia durante la vida de carga flexion. Esta descripcion refleja la ocurrencia de la plastificaciony as la formacion de articulaciones en las vigas. Ahora es el caso de las columnas. Mientras que las trabes sonelementos a flexion, las columnas son elementos estructurales que tiene flexo-compresion. La fuerza P aplicada encompresion tiene un efecto positivo y negativo. El efecto positvo consiste en que la grafica M se incrementa, esdecir el elemento estructural gana mayor resistencia. Sin embargo esta carga puntual reduce la ductilidad de elementoestructural, ver la figura (1.23). En este figura se ve que la linea gris solida es la misma que en la figura 1.22. Enesta grafica no es considerada una fuerza P por lo que P = 0. Si la carga P se aumenta a 5000 kg se tiene la lineanegra solida. Si P se aumenta a 50000 kg entonces la linea segmento-punteada negra resulta. Se ve que al aumentar lacarga P se gana resistencia y se pierde ductilidad. Esto es de preocuparse cuando se requiere que las columnas roteny tengan una curvatura mayor.


Figura 1.24: Esquema del mecanismo de falla de columna fuerte-viga debil. Figura tomada de la referencia [1].

1.4.1. El concepto de columna fuerte viga debilEl concepto de columna fuerte-viga debil (CF-VD) pretende sacar provecho de cuatro importantes situaciones:

1. Conducir al edificio por un patron o mecanismo de falla que que sea estable de cierta manera.

2. Evitar fallas fragiles debido a fallas de columnas.

3. Disipar la mayor cantidad de energa por medio de dao (rotaciones por flexion) en los elementos estructurales masductiles.

4. Mayor resistencia lateral y degradacion secuencial de esta.

El mecanismo de falla por CF-VD es ciertamente muy deseable pero no explcitamente requerido en los codigos comoNTC-2004, sino requerimientos para garantizarlo. El concepto de CF-VD es un patron de formacion de articulacionesque hace ver el interes de dirigir la formacion de dano en las vigas. El dano en las vigas es mayormente deseabledebido a su naturaleza ductil. En el tema anterior se muestra la que la grafica M es ciertamente mas ductil parauna viga que para una columna. La secuencia del dano en vigas sera: dano por agrietamiento y el debido dano porrotacion durante su etapa ductil. En las columnas la segunda etapa de dano sera menor. Si se debe tomar un elementoen referencia por su ductilidad seran la vigas. El area bajo la curva M es ciertamente la energa interna debidoa deformacion (rotacion) por flexion de un elemento estructural. Esto implica que solo si el elemento no falla poradherencia, anclaje y cortante, la curva M sera la que describa la vida a flexion.

En analoga a la grafica M se puede analizar una curva deformacion lateral-cortante basal, Cb. En lafigura (1.25) en la parte superior se muestra una curva Cb para el mecanismo de falla CF-VD y otro mecanismodonde se presenta la falla de una serie de columnas en un nivel. Como se aprecia en la figura la capacidad de resistiruna mayor carga lateral queda mermada por la falla de las columnas. La formacion de articulaciones plasticas encolumnas es un estado de naturaleza no ductil por lo que se esperara rotaciones menores dependiendo la carga axialen estas. Conforme sean columnas de pisos inferiores se espera que su capacidad ductil sea cada vez menor debidoa la carga axial por lo que es obviamente esperado la falla de columnas en la parte inferior del edificio. El area bajolas curva superior de la figura(1.25) es menor en el caso de falla de una columna de entrepiso. Esto plantea la bajadisipacion de energa por dao y que no se a utilizado toda esta energa histeretica.

En principio el diseno es la revision comparativa de acciones y resistencias para definir la seguridad de un sistemaestructural donde las acciones deben ser mayores que las resistencia. Existen diversas filosofias de diseno:

1. Filosofa considerando el estado de esfuerzos en los materiales

2. Filosofa de considerar la resistencia de los elementos estructurales


Figura 1.25: Curva fuerza lateral - deformacion lateral total de la estructura (arriba). Curva deformacion lateral -cortante basal representando los estados lmite de seguridad bajo la filosofa de diseno sismorresistente.


3. Filosofa considerando la resistencia total de la estructura

Codigo como el ASD-AISC (Admissible Stress Design- American Institute of Steel Construction, diseno por esfuerzospermisibles - Instituto Americano de la construccion en Acero) plantean la primera filosofa en forma de diseno por es-fuerzos permisibles y diseno por esfuerzos de trabajo. Cada vez es mas dificil clasificar a un codigo y norma de disenodentro y exclusivamente en una de estas tres filosofas de diseo. Esto porque los codigo y normas de diseno de hoyen da tiene previsiones que toman en cuenta el diseno por resistencia ultima (como lo planteaba el AIJ, ArchitecturalInstite of Japan - Instituto Arquitectonico de Japon ), diseno por estado lmite (como lo plantea las normas europeas)y diseno por factores de carga y resistencia (como lo plantea el ACI de Estados Unidos, American Concrete Institute -Instituto Americano del Concreto y tambien el LRFD-AISC, Load and Resistance Factor Design del AISC). Un ejem-plo de la tercera filosofa de diseo es el diseno lmite y diseno por capacidad que fuera innovadoramente empleado porlos codigo de Nueva Zelanda. Hoy en da existen codigo como las NTC-2004-Concreto que tiene requerimientos quereflejan la filosofa de diseno sismorresistente:

1. Estados lmite de Servicio, EL

2. Estados lmite de Dano, ELD

3. Estados lmite de seguridad, ELS

El primer estado lmite plantea el resistir sin dano niveles menores de carga bajo una excitacion ssmica. Debido a estecriterio basado en estados lmite se plantea la incursion en la segunda filosofa de diseo. En el ELD se establece quese debe resistir la excitacion ssmica sin un mayor dano estructural, aunque posiblmente con algun dano no estructuralcon niveles moderados de movimiento ssmico. El tercer ELS plantea que se debe resistir el colapso, aunque con alguntipo de dano estructural y no estructural, bajo niveles mayores de movimiento ssmico. En la figura ??figc1p25) en laparte inferior se muestra una curva Cb donde se esquematiza la filosofa de diseno sismorresistente. Hasta estepunto en este seccion parece entreverse que el mecanismo de CF-VD plantea la incursion en una filosofa de disenosismorresistente promueve la seguridad de las super-estructuras.

1.4.2. Que hacen las normas para garantizar la ductilidad y resistencial?Es claro que las normas y codigos de diseno deben establecer como calcular las propiedades de los materiales,

configuracion y disposicion del acero de refuerzo. Las NTC-2004 en la seccion 7.2 para miembros a flexion (ver figura1.26) plantea configuraciones de refuerzo tranversal para un confinamiento optimo. El confinamiento esta directamen-te relacionada a la resistencia y ductilidad de una viga. Esto se muestra en una grafica M . Bajo esta premisa deestablecer el requerimientos para un mejor confinamiento se plantea mayores resistencia y ductilidades de una viga eindirectamente mayor capacidad de rotacion, dano a la falla y mejor comportamiento sismorresistente en el edificio.En la seccion 7.3-miembros a flexo-compresion va puntualmente a fortalecer y prestablecer los lineamientos mnimossobre como y donde reforzar las columnas, ver figura (1.27). Se pretende establecer un buen confinamiento en sec-tores donde se presentan momentos de orden superior. Esto debido que es en estos sectores donde se presentaran lasrotaciones y curvaturas mayores para columnas y as permitirles una mayor ductilidad. En esta seccion se mencionaque la suma de momentos al pano del nudo donde se conecta la columna debe ser 1,5-veces mayor que el momento alpano del nudo donde se conectan las vigas. Es obvio que esta medida atiende a fortalecer la capacidad a flexion de lascolumnas sobre la de las vigas y as garantizar la generacion del mecanismo de CF-VD. Al final de la seccion 7.5 de laNTC-2004-Concreto se plantean requerimiento para formar articulaciones fuera de pano de la viga, ver figura (1.28).Esto con el motivo de sacar el dano de sectores sensibles como el nudo. Una articulacion en la viga afectara a la vigay la articulacion y dano en el nudo afectara a los elementos que llegan a el.

1.5. Las columnasLas columnas son aquellos elementos a flexion y compresion. Para empezar el estudio de los elementos estructu-

rales tipo columna se puede empezar planteando la teora de comportamiento elastico.

1.5. LAS COLUMNAS 33

Figura 1.26: Detallado de elementos a flexion en marcos ductiles. Figura tomada de la referencia [2].

Figura 1.27: Detallado de elementos a flexocompresion en marcos ductiles. Figura tomada de la referencia [2].


Figura 1.28: Marcos ductiles con articulaciones plasticas alejadas de la cara de la columna. Figura tomada de lareferencia [2].

1.5.1. Introduccion al comportamiento elasticoEn la vida real el comportamiento de un elemento estructural bajo alguna influencia externa (carga) tiene facetas

con comportamientos diferentes, e.g. Elastica, inelastica. Desde el punto de vista practico es posible asumir que elcomportamiento es elastico. Para describir este comportamiento se deben hacer hipotesis para generar los modelosfsicos que representan este comportamiento. De la misma manera, se debe primero darle un nombre o apellido a lainfluencia externa que desencadena los diferentes estados de comportamiento elastico. Es as como llegamos darle unnombre a los causantes de los esfuerzos y deformaciones del elemento estructural, que son:

1. Flexion (momento flexionante)

2. Fuerza axial

3. Fuerza cortante (cortante)

4. Torsion (momento torsionante)

Para empezar a formular los modelos fsicos, tenemos que hacer ciertas suposiciones practicas (mas no realistas. Unacosa es querer ir otra es ser) de nuestro comportamiento elastico. Dentro de las hipotesis geometricas empezamospor el caso mas simple, al decir que nos interesa elementos estructurales prismaticos y que ademas el material eshomogeneo y de propiedades isotropicas. Para eludir el describir un estado mas alla del elastico podremos as asumirque nos interesa un estado donde las deformaciones son muy pequeas con respecto a las dimensiones de elementoprismatico y que nuestro comportamiento elastico rige dentro de estas deformaciones muy pequeas. En resumen, estascuatro suposiciones se podran llamar como las suposiciones globales, que regiran en los diferentes estados de cargaexterna que se estudiaran dentro del comportamiento elastico.

Flexion

En la figura (1.29) se muestra un elemento prismatico de seccion transversal general con una carga aplicada conexcentricidad en ambos ejes de plano transversal . Esta aplicacion de carga es equivalente a considerar una cargaen el eje centroidal de la seccion mas un par de momentos flexionantes en los ejes . La convencion de signos esta


Figura 1.29: Seccion transversal de elemento prismatico sujeto a flexion y fuerza axial.


Figura 1.30: Curvatura y rotacion de una viga bajo un momento Mx

hecha basandose en la regla de la mano derecha, ver figura (1.29). La carga P aplicada en el eje centroidal causa unadeformacion unitaria o deformacion ( dz) en el eje centroidal y que es igual ( dz) = (p/E) = (P dz/A E).Los momentos Mx y My no desplazan el eje centroidal, sin embargo Mx y My si infringen una curvatura (donde = ), ver la figura (1.30) La curvatura puede definirse como el cambio de curvatura del eje centroidal entre dospuntos separados por dz. Geometricamente se puede deducir de la figura (1.30) que,

tan(y) =

y(1.15)

Pensando en la suposicion global de deformaciones pequenas y que la funcion tangente es aproximadamente igual alangulo y para valores muy pequenos de esta rotacion, entonces se puede asumir que:

y =

y(1.16)

De la mecanicas de materiales basica, se sabe que los esfuerzos en una seccion debido a la flexion biaxial son:

=P

A+Mxy

Ix Myx

Iy(1.17)

Y que las deformaciones correspondientes son:

=P

AE+Mxy

EIx MyxEIy

(1.18)

Al tomar solo la deformacion unitaria del momento en x, las deformaciones pasan a ser = Mxy/EIx. Si se reescribecon la ecuacion (1.16) en:

= y (1.19)

y se iguala con la nueva expresion para deformaciones se tiene:

yy =Mxy

EIxMx = EIxy (1.20)


Figura 1.31: Fuerzas en el plano x y de un diferencial dz del elemento estructural.

Si se vuelve al tema de la grafica momento curvatura ahora se puede explicar por que la pendiente del diagramaMes igual a EIx. De la expresion anterior se puede decir que:

yMx

=1

EIxMxy

= EIx (1.21)

Por analoga a la expresion (1.20) se pude escribir esta misma expresion para el eje y:

My = EIyx (1.22)

En la figura (1.31) se tiene un segmento z de un elemento prismatico (seccion asimetrica en ejes x y y) que seencuentra a flexion debido a una carga constantemente distribuida y aplicada en su centro de cortante S. Esto explicaque solo tengo flexion pura en el plano y z a pesar de tener una seccion asimetrica en su seccion transversal. Ladeflexion es positiva en la direccion del eje y. Al equilibrar las fuerzas verticales del segmento x y sabiendo quex 0, resulta que:

dVydz

= qy (1.23)Con el procedimiento anterior pero ahora equilibrando los momentos al final del segmento, se obtiene:

dMxdz

= Vy (1.24)

Al obtener (1.23) y (1.24) se hace obvio que:

d2Mxdz2

= qy (1.25)Las expresiones (1.20) y (1.22) definen el momento con respecto a su eje, por lo que al combinar la ecuacion diferencial(1.25) con (1.20) se obtiene:

EIxy = qy (1.26)


Figura 1.32: Columna simplemente apoyada bajo carga axial.

Donde y representa la segunda derivada de la curvatura con respecto a z y puede ser matematicamente definidacomo:

y =

[1 + ()2]32

(1.27)

Donde cada tilde representa una diferenciacion con respecto a z. Al igual que las deformaciones, la curvatura espequena por lo que se puede asumir que:

y (1.28)Esta ultima suposicion da la facilidad de reescribir la expresion (1.26) de la siguiente manera:

EIxiv = qy o

d2 (EIx)

dz2= qy (1.29)

Con las expresiones (1.28) y (1.20) se tiene lo siguiente:

Mx = EIx (1.30)Y debido a lo que se asume en (1.24) se tiene lo siguiente:

Vy = EIx (1.31)Estas ultimas ecuaciones definen el momento flexionante y fuerza cortante en funcion de variables diferenciadas conrespecto a la deflexion en la direccion y en un elemento solo a flexion. Esta breve introduccion al comportamientoelastico permite formular las ecuaciones diferenciales que justifican el comportamiento fsico de la estabilidad bajocarga axial de un elemento columna. Para empezar el estudio de la estabilidad de las columnas se tomara un enfoquede equilibrio (enfoque de Euler) para estudiar la carga crtica de la columna. En la figura (1.32) se muestra el elementoestructural que se abordara bajo carga axial. Para formular la ecuacion diferencial que describe la deflexion por lacarga axial P que desestabiliza, se acudira al equilibrio. Si se iguala la influencia de la carga P y su excentricidad debido a la deflexion, con la ecuacion (1.30), se tiene:

EIx = P (1.32)Este expresion se puede reescribir:

EIx P = 0EIx

+ P = 0

+P

EIx = 0

+ k2 = 0 (1.33)


Donde k2 = P/EIx. De esta manera se formula el problema de deflexion (pandeo lateral) como una ecuacion dife-rencial de segundo orden homongenea. La solucion general de este tipo de problemas ED es:

(z) = Asen(Kz) +Bcos(kz) (1.34)

El ejemplo adoptado tiene las siguientes condiciones y valores en la frontera:

1. El momento en el nodo inicial (apoyo fijo) es cero

2. El momento en el nodo final (apoyo movil) es cero

3. La deflexion en el nodo inicial (apoyo fijo) es cero

4. La deflexion en el nodo final (apoyo movil) es cero

Esto plantea las siguientes condiciones de frontera:

1. Deflexiones: (z = 0 = L) = 0

2. Momentos: EIx(z = 0 = L) = 0 o = 0Cuando se imponen las condiciones anteriores se llega a que B = 0 y por lo tanto:

(z) = A sen(kL) (1.35)

Para que se cumpla que (x) = 0 cuando z = L, tiene forzosamente kL = npi por lo que k = npi/L. Esto transformala expresion siguiente en:

(z) = A sen(npizL

)(1.36)

Si k = npi/L se tiene que:P

EIx=npi

L

P =n2pi2EIx

L2(1.37)

Donde n esta definida conforme a los modos de pandeo de la carga P . Esta carga definida anteriormente no es masque la carga crtica Pcr = P . Esta carga es la menor cuando n = 1,

Pcr =pi2EIxL2

(1.38)

Esta carga crtica Pcr es definida como la carga crtica del primer modo de pandeo global para una columna condos extremos articulados en los extremos. De la ecuacion anterior podemos ver que es directamente proporcional almodulo de elasticidad y segundo momento de area. Tambien es inversamente proporcional a la longitud de la columna.Con lo anterior mencionado, se sabe que conforme crece la longitud, su capacidad carga disminuye y conforme creceel valor de su inercia o modulo de elasticidad, su capacidad de carga incrementa. La segundo momento de area puedeser incrementado al tomar seccion que tengan la mayor parte de su area lejos del centroide y as se incrementara lacapacidad de carga del elemento estructural. En esta seccion. la obtencion de la carga crtica se baso en la preservaciondel equilibrio y hipotesis globales ya mencionada (suposiciones globales).

En la carga crtica anterior se parte de idealizar a la columna como una elemento perfecto. Sin embargo al tener unaimperfeccion en su eje longitudinal, se tienen mayores agravantes. Cuando se considera un elemento columna comoperfecto, se sabe que la trayectoria de accion de la carga pasa por el centroide de la seccion y en el eje longitudinal


Figura 1.33: Columna con curvatura inicial como parte de un defecto.

del elemento estructural. Si existieran pequenas imperfecciones esto planteara una curvatura inicial como parte deldefecto, ver figura (1.33). Si se supone que se tiene el elemento columna de la figura (1.33). La deflexion inicial(imperfeccion inicial) en principio dependera de los arriostramientos y forma de pandeo (relacionado con n). Paratomar en cuenta los diferentes modos de pandeo se puede representar el pandeo inicial como una sumatoria de losdiferentes modos de pandeo.

0(z) =

n=n=1

ansen(npizL

)(1.39)

Para tomar en cuenta la imperfeccion se tendra que modificar la ecuacion (1.30),

Mx = EIx d2( 0)dz2

(1.40)

Manipulando algebraicamente esta expresion se tiene:

Mx = EIx d2( 0)dz2

Mx = EIx + EIx0 (1.41)

En esta ultima expresion se puede igualar al momento de pandeo,

P = EIx + EIx0EIx + P

= EIx0 (1.42)


Al obtener la ecuacion diferencial anterior se puede agregar los defectos propuestos en la expresion (1.39),

EIx + P = EIx

n=n=1

ann2pi2

L2sen

(npizL

) +

P

EIx=

n=n=1

ann2pi2

L2sen

(npizL

)(1.43)

Esta ecuacion diferencial (1.43) es una ecuacion diferencial no homogenea de segundo grado. Por la naturaleza de lasolucion se espera que la solucion particular de la parte no homogenea sea de la siguiente forma,

p =

n=n=1

bn sen(npizL

)(1.44)

Al derivar esta solucion propuesta,

p =n=n=1

bnnpi

Lcos(npizL

)(1.45)

p = n=n=1

bnn2pi2

L2sen

(npizL

)(1.46)

y sustituir las derivadas dentro de la ecuacion diferencial inicial,

n=n=1

bnn2pi2

L2sen

(npizL

)+

P

EIx

n=n=1

bnnpi

Lcos(npizL

)=

n=n=1

ann2pi2

L2sen

(npizL

)(bnn

2pi2

L2+ bn

P

EIx

) n=n=1

sen(npizL

)= ann

2pi2

L2

n=n=1

sen(npizL

)(bn

2pi2

L2+ bn

P

EIx

)n=1

=

(an

2pi2

L2

)n=1((

bn2pi2

L2+ b

P

EIx

)= an

2pi2

L2

) 1

n2pi2

L2

b+ bPEIxn2pi2

L2

= a

b

(1 + P

n2Pcr

)= a

b

(1 P

n2Pcr

)= a

b =a

1 Pn2Pcr(1.47)

Extendiendo esta constante para el caso de series,

bn =an

1 Pn2Pcr(1.48)

Sabiendo la constante bn y la solucion homogenea se tiene que la solucion general es:

(z) = A sen(kz) +B cos(kz) +

n=n=1

an

1 Pn2Pcrsen

(npizL

)(1.49)


Figura 1.34: Patrones de carga tpicos para columnas en un marco resistente.

Las constantes restantes A y B son evaluadas de las condiciones iniciales (z = 0) = 0. Cuando (z = 0) = 0 sellega a que B = 0 y con (z = L) = 0 a que A = 0. Por lo que la solucion final es:

(z) =

n=n=1

an

1 Pn2Pcrsen

(npizL

)(1.50)

Cuando z = L/2 se tiene que,

(z) =a

1 PPcr(1.51)

Conforme el valor de la carga P (de una columna imperfecta) sea menor a la carga de Euler Pcr (de una columnaperfecta), la deflexion en el punto central tendera a tener el valor de a. Conforme se acerque el valor de P a Pcr ladeflexion tendera a un valor infinito. La carga crtica P de una columna imperfecta se puede definir como la carga enla cual desarrolla un desplazamiento infinito. La constante a dependera de condiciones relacionadas con los momentosen los extremos y otras condiciones de frontera de elemento estructural. Si se contempla un comportamiento elasticose puede decir que la deflexion es proporcional a la carga P . Si se divide la expresion (1.36) entre (1.50) se tiene losiguiente,

(z)

(z)n=1=

Asen(pizL

)a1

1 PPcrsen

(pizL

)(z)

(z)n=1=

Aa1

1 PPcr(z)

(z)n=1=A

a1

(1 P

Pcr

)(1.52)

Si se plantea que las deflexiones, pandeos y cualquier distorsion es pequena, entonces se vuelve a estipular que se estadentro del comportamiento elastico. Si se esta dentro del comportamiento elastico entonces existe proporcionalidadentre la carga P aplicada a una columna y la deflexion. Por lo que el termino a la derecha de la expresion (1.52) hacelas veces de un factor de la carga crtica imperfecta a perfecta.

Lo anterior plantea la estabilidad bajo carga P y Pcr de una columna imperfecta y perfecta. Esto refleja el com-portamiento propio de un solo elemento. Este tipo de miembros son regularmente encontrados en estructuras a base demarcos, como elementos verticales. Si no existiera en este tipo de marcos una fuerza lateral, estos miembros tendransolo fuerzas en sus extremos que provienen de los momentos transmitidos por otros elementos. En la figura (1.34)se muestran patrones de cargas-tipo para estos elementos cuando se encuentran en los marcos. El comportamiento decarga-deformacion de las columnas puede explicarse por medio de la figura (1.35). La curva de linea gruesa solida


Figura 1.35: Patrones de carga tpicos para columnas en un marco resistente.

es aquella que representa el optimo comportamiento de momento-curvatura o momento-rotacion para el caso de estafigura (1.35). Se debe comentar que esta curva es modulada por la fuerza axial(se reduce en escala vertical depen-diendo de la magnitud de la fuerza axial) como ya se mostro en la parte de formacion de articulaciones y graficasmomento-curvatura. La curva que finaliza en (1) es cuando la columna se desva del patron optimo debido a defor-maciones laterales (deformaciones laterales torsionales o algun pandeo local). En este curva 1 se va que efectos deesbeltez e imperfecciones pueden llevar a este pobre desempeno estructural. Esta curva (1) alcanzara como maximo unmomento crtico elastico porque es posible que aunque no se exista la fluencia de todo el acero, el elemento estructuralse deflexionara drasticamente.

La curva que finaliza en (2) muestra la falla cuando la columna presenta un pandeo lateral-torsional inelastico.Esta curva (2) se puede decir que bifurca del patron optimo cuando ocurre el momento critico de fluencia My siendoeste momento, mayor al de la curva (1). Es posible que efectos de esbeltez a nivel elemento no sean daninos para estecaso o simplemente no existen imperfecciones considerables. Su falla se debio a fallas en el confinamiento o refuerzoconfinante, pandeo de la longitud libre de varillas longitudinales y otros efectos relacionados con el refuerzo y calidadde los materiales. Finalmente, la curva (3) es aquella la cual casi cumple el patron de comportamiento optimo, sinembargo casi al finalizar su vida resistente, va a presentar algun defecto (a nivel material o constructivo) que hacebifurcar al comportamiento.

Los efectos que producen la bifurcacion y variacion del patron optimo de comportamiento son aquellos que intere-san cuantificar y tomar en cuenta para el diseno. Estos efectos pueden ser debido a relacion de esbeltez o simplementeesbeltez mayor de un elemento estructural. La relacion de esbeltez se calcula de la siguiente manera:

re =KL

r(1.53)

donde

r =

I

A(1.54)

Donde A e I son el area e inercia de la seccion transversal de la columna, r es al radio de giro, K es el factor delongitud efectiva a partir de las condiciones de frontera y L es la longitud libre de la columna. De modo que si laseccion transversal de un elemento estructural es pequena entonces su area e inercia son pequenas y al dividir (K L)entre su radio de giro, la relacion esbeltez re resultara ser un valor grande. Es decir, las dimensiones de la seccion


transversal son inversamente proporcional a la re y la longitud L es directamente proporcional al valor de re. En elcaso del factor de longitud efectivaK es mas complejo. Este factor esta fuertemente relacionado con las condiciones defrontera (conectividad y elementos adjuntos) de la columna. Este factor puede ser menor o mayor que la unidad. Para elcaso de marcos resistentes K no esta simplemente en funcion de las condiciones de frontera sino del comportamientode la estructura en conjunto. Es as como la normatividad hace diferencia entre marcos contraventeados (restringidosen desplazamiento lateral o restringidos en distorsion lateral de sus extremos) y marcos no-contraventeados.

En la figura (1.36) (parte superior) se muestra la posible configuracion deformada de un marco resistente en unedificio. En este marco que tiene una restriccion de distorsion lateral, que es dada en la vida real por diferentes tiposde elementos. Los elementos estructurales o elementos que se pueden utilizar para darle un contraventeo y reducirsu distorsion lateral pueden ser: contraventeo que consista en diagonales simples, diagonales concentricas, diagonalesexcentricas, muros de cortante, armaduras externas, armaduras adicionales a los costados del edificio, disipadores deenerga de diferente tipo, estructura de contencion a un costado del edificio, etc.

Para empezar con la formulacion aproximada del problema de estabilidad en marcos, se hacen una serie de hipote-sis. La primera sera que todas la columnas tienen rigideces identicas (Inercia y modulo de elasticidad) y/o hay unadiferencia no significativa. Al pensar en esta primera hipotesis se puede pensar que ya hay distancia entre lo real y loteorico, sin embargo en la vida real la variacion de secciones transversales, no es tan abrupta y por el desempeo dela estructura, las rigideces y/o materiales deben estar dispuestos para dar una capacidad no muy distante en valor. Sise toma la columna 1 2 de la figura (1.36, esquina superior izquierda) se tendra la configuracion deformada que sepuede ver en la figura (1.36, esquina inferior derecha) a la hora de presentarse la carga crtica de pandeo. En esta ulti-ma figura (1.36, esquina inferior derecha), se muestran una serie de angulos , y desplazamientos en direccionespositivas. Si caracterizamos la deformada como una funcion trigonometrica circular usando la funcion:

y(z) = A sen( pizKL

)(1.55)

En esta expresion (1.55) se sabe queA es la constante que modula la funcion seno en funcion de z y que la longitud estarepresentada por K L siendo K el factor de longitud efectiva. Las deformaciones en los extremos son las siguientes:

2 = yz=z2 y 1 = yz=(z2L) (1.56)La deformacion 2 se da en la funcion (1.55) cuando z = z2 y cuando la deformacion 1 cuando z = (z2 L). Altomar la expresion (1.55) y sustituirle los valores de cada deformacion, se llega a,

2 = A sen( pizKL

)(1.57)

1 = A sen(pi(z2 L)KL

)= A

(sen

(piz2KL

)cos( piK

) cos

(piz2KL

)sen

( piK

))(1.58)

Para 1 se utiliza la identidad trigonometrica sen(x y) = sen(x)cos(y) cos(x)sen(y). De la configuraciondeformada de la columna y asumiendo que las deformaciones son pequenas se tien que,

=2 1L

(1.59)

Si en la expresion anterior se sustituye las expresiones (1.57) y (1.58),

= AL

(sen

(piz2KL

) [1 cos

( piden

)]+ cos

(piz2KL

)sen

( piK

))(1.60)

De lo visto anteriormente se sae que la derivada de 1.55 se puede calcular las rotaciones por lo que se tiene lo siguiente,

1 = [dy

dz

]x=x2L

+ (1.61)

2 = [dy

dz

]x=x2

(1.62)


Figura 1.36: Marco contraventeado: Configuracion deformada y nomograma de Jackson-Moreland.


Usando la solucion (1.55) y (1.60) dentro de (1.62) se obtiene,

2 =A

L

[sen

(piz2KL

)(1 cos

( piK

))+ cos

(piz2KL

)(sen

( piK

) piK

)](1.63)

1 =A

L

[sen

(piz2KL

)( piKsen

( piK

) 1 + cos

( piK

))+ cos

(piz2KL

)( piKcos( piK

)sen

( piK

))](1.64)

Debido al arreglo de las proporciones y a la manera en la que se deforma el marco, el momento flector en cada vigasera constante en toda su longitud y con un valor absoluto de (P ). En el nivel de inferior de la columna estesera (P 1) y el nivel de arriba (P 2). La pendiente del extremo izquiero de (2) a (2) de la viga es:

2 =P2b

2EI2(1.65)

Si se sabe que P = pi2EI/K2L2 y se tiene las expresiones (1.57) y (1.58), entonces se puede escribir como sigue:

2 = A2L

( piK

)2sen

(piz2KL

)= A GA

2L

( piK

)2sen

(piz2KL

)(1.66)

Y al simplificar usando GA = (IB/LI2), se tiene:

1 = A GB2L

( piK

)2 [sen

(piz2KL

)cos( piK

) cos

(piz2KL

)sen

( piK

)](1.67)

Donde GB = (IB/LI1). Se tiene que 1 y 2 esta definida por un par de expresiones (1.64) y (1.67). Tambien 2 estadefinida por las expresiones (1.63) y (1.66). Se se igualan ambas para cada rotacion se obtendra lo siguiente:

cot(piz2KL

)=GB2

(piK

)2cos(piK

)+ 1 cos ( piK ) piK sen ( piK )

piK cos

(piK

) sen ( piK ) GB2 ( piK )2 sen ( piK ) de la igualacion de 1 (1.68)cot(piz2KL

)=cos(piK

) GA2 ( piK )2 1sen

(piK

) piK (1.69)Estas ultimas ecuaciones pueden igualarse para obtener:

GA GB4

( piK

)2+

(GA +GB)

2

[1

piK

tan(piK

)]+ 2 tan ( 2piK )piK

= 1 (1.70)

Las variablesGA yGB representa la relacion entre las rigideces de las trabes adyacentes y la columnas en cuestion. Enun contexto mas general estas variables pueden representar las definiciones que se utilizan en la normatividad, que escomo una relacion que tome en cuenta las rigideces de los elementos que llegan a los nodos extremos de una columnaen un marco sin contraventeo:

GA =

ni=1

IC,iLC,i

mj=1

IB,jLB,j

(1.71)

GB =

ni=1

IC,iLC,i

mj=1

IB,jLB,j

(1.72)


Los sub-ndices B y C se refieren a vigas (beams en ingles) y a columnas, respectivamente. Los sub-ndices A yB se refieren a los extremos. Los indices n y m se refieren al numero de columnas y trabes que se conectan en losnodos inferior y superior. El uso de esta ecuacion (1.70) es bien sabido en las practicas de diseo, sin embargo esusado esquematicamente bajo la forma de un nomograma. Este nomograma se presentan en la figura (1.36, esquinainferior izquierda) para el caso de un marco contraventeado. El nomograma fue desarrollado por Julian y Laurence dela compania Jackson & Moreland Engineers, por lo que el nombre completo es nomograma de Jackson-Moreland.

Para el caso de marcos no-contraventeados se puede abordar de la misma manera que los contraventeados. Salvoque la configuracion deformada cambiara porque tendra una desplazamiento considerable debido a la falta de algunelemento que restringa la distorsion lateral del marco estructural, ver figura (1.37). Las expresiones son las mismassolo cambiando las rotaciones en los nodos:

1 = [dy

dz

]x=x2L

(1.73)

2 = [dy

dz

]x=x2

(1.74)

Y de estas expresiones se tiene:

2 =Api

KLcos(pi z2KL

)(1.75)

1 =Api

KL

[cos(pi z2KL

)cos( piK

)+ sen

(pi z2KL

sen( piK

))](1.76)

Si se observa la figura (1.37, esquina inferior izquierda) y la manera con que el marco se deforma, el momento en cadaviga variara linealmente a lo largo de su longitud, con un punto de inflexion al centro del claro. El valor absoluto delmomento en cada extremo de las vigas en el nivel de base de la columna es P 1 y el de la viga en el nivel superiorde la columan es P 2. Por lo tanto, la pendiente en el extremo superior y la viga de (2) a (2) es:

2 =P2b

6EI2(1.77)

Si se sabe que P = pi2EI/K2L2 y remplazando 2 por su equivalente de la ecuacion (1.58) se obtiene:

2 = A GA6L

( piK

)2sen

(pi z2KL

)(1.78)

De forma similar se puede hacer para calcular 1,

1 = A GB6L

( piK

)2 [sen

(pi z2KL

) cos

[ piK cospi z2

KL sen

(pi z2KL

)]](1.79)

Al igual que para marcos contraventeados se puede utilizar las dos definiciones de y para obtener una expresionanaloga a (1.70) pero ahora para marcos no-contraventeados:

GA GB(piK

)2 366(GA +GB)

=piK

tan(piK

) (1.80)Esta ultima ecuacion tambien tiene su respectivo nomograma de Jackson-Moreland. Este se puede ver en la figura(1.37, esquina inferior derecha). Ambos nomogramas para un marco contraventeado y no-contraventeado han servidode ayuda en codigos y requerimientos de diseo. Ambos aparecen en normatividad en donde se sugiere su utilidad paraencontrar longitudes efectivas de columnas en marcos de cargados verticalmente. Es as como se aborda y se haceuna aproximacion del la longitud efectiva de columnas en marcos de carga es necesaria debido a la complejidad delproblema. Cabe sealar que el RCDF-NTC incluyen estos nomogramas en sus requerimiento de diseo de elementos deconcreto reforzado. Al igual que en el AISC-LRFD en su seccion de comentarios. Cabe senalar que los nomogramasfueron elaborados bajo ciertas suposiciones. Algunas de estas muy normales y otras no tan comunes. Las hipotesis sonlas siguientes:


. El comportamiento esta dentro del dominio elastico

. Todos los miembros en cuestion tiene secciones constantes en toda su longitud

. Todo los nodos son rgidos

. La curva elastica de una columna en un marco contraventeado es en curvatura simple

. Las columnas en cuestion se pandean simultaneamente

. El parametro es el mismo para toda las columnas

. No hay una compresion significante en las vigas en cuestion

Estas restricciones son especificadas en algunos codigos pero deben mantenerse en la mente de los ingenieros quedisean las construcciones. La pregunta forzada es Cuando no se podra utilizar estos nomogramas? Esta pregunta enrealidad es muy difcil de contestar, sin embargo en casos que gran complejidad y en los cuales no se ven claramentelas hipotesis propuestas, se debe tener cierta mesura en utiliza

Columna Fuerte

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