COLEGIO DE ESTUDIOS CIENTÍFICOS Y TECNOLÓGICOS
DEL ESTADO DE SONORA
Módulo de aprendizaje
ÁLGEBRA
Hermosillo, Sonora; agosto de 2009
Registro ISBN:
COLEGIO DE ESTUDIOS CIENTÍFICOS Y TECNOLÓGICOS DEL ESTADO DE SONORA
DIRECCIÓN ACADÉMICA
Departamento de Desarrollo Curricular
Calle La Escondida #34, Col. Santa Fe,
Hermosillo, Sonora, México. CP. 83249
Álgebra
Módulo de aprendizaje
Copyright ©, 2009 por Colegio de Estudios Científicos y Tecnológicos del Estado de Sonora
Todos los derechos reservados
Primera edición 2009. Impreso en México
DIRECTORIO
MDO. Roberto Lagarda Lagarda
Director General
Mtro. Martín Antonio Yépiz Robles
Director Académico
C.P. Dora Luz López
Directora de Administración y Finanzas
Mtro. Juan Antonio Tristán Muñiz
Director de Planeación
Lic. Carlos Quinto Mendívil Montiel
Director de Vinculación
C.P. Rafael Pablos Tavares
Director del Órgano de Control y Desarrollo Administrativo
Álgebra
Datos del alumno
Nombre ________________________________________________________
Plantel _______________________Grupo ______________Turno _________
Domicilio _______________________________________________________
___________________________________ Teléfono ___________________
Celular _____________________ e-mail _____________________________
COLEGIO DE ESTUDIOS CIENTÍFICOS Y TECNOLÓGICOS DEL ESTADO DE SONORA
DIRECCIÓN ACADÉMICA
Departamento de Desarrollo Curricular
Calle La Escondida #34, Col. Santa Fe,
Hermosillo, Sonora, México. CP. 83249
Álgebra
Módulo de aprendizaje
Primer semestre
Elaboradores
Marisela Armenta Castro
Luis Armando Cadena Montaño
Francisco Javier Cruz Barra
Jorge Luis Figueroa Arce
Silvia Elena Ibarra Olmos
Ramón Alberto Maldonado Córdova
Norma Guadalupe Martínez Maldonado
Martha Valencia Acosta
Corrección de estilo
Héctor A. de la Rosa Quintero
Supervisión académica
María Asunción Santana Rojas
Eneida Esmeralda Montaño Martínez
Jesús Enrique Córdova Bustamante
Edición y diseño
Rogelio Villa García
Elisa Sofía Valdez Alcorn
Coordinación técnica
Laura Isabel Quiroz Colossio
Coordinación general
Martín Antonio Yépiz Robles
UBICACIÓN CURRICULAR
COMPONENTE:
de Formación Básica
CAMPO DE CONOCIMIENTO:
Matemáticas
HORAS SEMANALES: 4 CRÉDITOS: 8
ASIGNATURA
ANTECEDENTE:
Ninguna
ASIGNATURA
CONSECUENTE:
Geometría y trigonometría
8
ESTRUCTURA GENERAL DE LA MATERIA DE ÁLGEBRA
Álgebra
Ecuaciones
Lenguaje Algebraico
Operaciones
fundamentales
Ecuaciones
lineales
Expresión
algebraica
Ecuaciones
cuadráticas
Sistemas de
ecuaciones
Terminología
Lenguaje común
Lenguaje algebraico
Cálculos de valor Numérico
Suma y resta de polinomios
Leyes de los exponentes y radicales
Multiplicación y división de polinomios
Productos notables
Factorización
Igualdades
Ecuaciones de primer grado
Despeje de fórmulas
Definición de sistemas
Sistemas de ecuaciones con 2 y 3 incógnitas de primer grado
Métodos de solución
Métodos de solución - Factorización - Completar trinomio
cuadrado perfecto - Fórmula general
9
ÍNDICE
Presentación……………………….……………………………………………………………...... 11
Recomendaciones para el alumno ……………………………………………………………..... 12
Competencias………………………………………………………………………………………. 14
Unidad 1. Expresiones algebraicas y operaciones fundamentales 17
Evaluación diagnóstica……………………………………………………………………………. 19
1.1. Expresiones algebraicas 20
1.1.1. Terminología………………………………………………………………….…………… 20
1.1.2. Lenguaje común………………………………………………………………………….. 22
1.1.3. Lenguaje algebraico………………………………………………………………………. 24
1.1.4. Cálculo de valor numérico………………………………………………………………... 26
1.2. Operaciones fundamentales 28
1.2.1. Suma y resta de polinomios…………………………………………………………… 28
1.2.2. Leyes de los exponentes…..…………………………………………………………… 33
1.2.3. Leyes de los radicales……..……………………………………………………………. 39
1.2.4. Multiplicación y división de polinomios…………………………………..……………. 42
Autoevaluación…………………………………………………………………………………… 54
Instrumentos de evaluación…………………………………………………………………….. 59
Unidad 2. Productos notables, factorización y ecuaciones lineales 61
Evaluación diagnóstica……………………………………………………………………………. 63
2.1. Productos notables 64
2.1.1. Binomio al cuadrado……………………………………………………………………. 64
2.1.2. Binomios con término común……………………… …………………………………. 68
2.1.3. Binomios conjugados ………………………………………………………………….. 72
2.1.4. Binomios al cubo…………..……………………… …………………………………… 75
10
2.2. Factorización 80
2.2.1. Factorización por término común.……………………………………………………. 80
2.2.2. Factorización de diferencia de cuadrados…………………………………….……… 83
2.2.3. Factorización de un trinomio cuadrado perfecto……………………………….……. 85
2.2.4. Factorización de un trinomio de la forma ax2 + bx + c………..………………..…… 88
2.3. Ecuaciones lineales 92
2.3.1. Igualdades………………………………………………………………………………… 92
2.3.2. Ecuaciones de primer grado..…………………………………………………………... 94
2.3.3. Despeje de fórmulas……………………………….……………………………………. 106
Autoevaluación………………………………………………………………………………….. 109
Instrumentos de evaluación…………………………………………………………………….. 114
Unidad 3. Sistemas de ecuaciones y ecuaciones cuadráticas 117
Evaluación diagnóstica…………………………………………………………………………… 119
3.1. Sistemas de ecuaciones 120
3.1.1. Definición………………………………………………..…………………………….… 120
3.1.2. Sistemas de ecuaciones lineales con 2 y 3 incógnitas……………………………… 122
3.1.3. Métodos de solución..………………………………………………………………….. 125
3.2. Ecuaciones cuadráticas 134
3.2.1. Métodos de solución por factorización..………………………………………….…… 160
3.2.2. Método de solución por completar trinomio cuadrado perfecto……………….……. 164
3.2.3. Método de solución por fórmula general.….………………………………….………. 170
Autoevaluación…………………………………………………………………………………… 175
Instrumentos de evaluación…………………………………………..………………………... 180
Claves de respuestas de las autoevaluaciones.……………………………………………… 182
Glosario………………………………………………...…………………………………………. 183
Referencias………………………………………………………………………………………. 185
11
PRESENTACIÓN
El Colegio de Estudios Científicos y Tecnológicos del Estado de Sonora, comprometido con la calidad educativa, ha implementado acciones que apoyan tu desarrollo académico, siendo una de estas, la elaboración del presente módulo de aprendizaje, el cual pertenece a la asignatura de Álgebra, que cursarás durante este tu primer semestre. La asignatura de Álgebra, tiene como propósito desarrollar la capacidad del razonamiento matemático haciendo uso del lenguaje algebraico, a partir de la resolución de problemas de la vida cotidiana dentro y fuera del contexto matemático, representados en modelos donde se aplican conocimientos y conceptos algebraicos, en un clima de colaboración y respeto. Para lograr lo anterior, éste módulo de aprendizaje se conforma de tres unidades, descritas a continuación:
UNIDAD I. Expresiones algebraicas y operaciones fundamentales.
UNIDAD II. Productos notables, factorización y ecuaciones lineales.
UNIDAD III. Sistemas de ecuaciones y ecuaciones cuadráticas.
En el contenido de estas unidades, se relaciona la teoría con la práctica, a través de
ejercicios, encaminados a apoyarte en el desarrollo de las competencias requeridas para
los alumnos que cursan esta asignatura.
Seguros de que harás de este material, una herramienta de aprendizaje, te invitamos a
realizar siempre tu mayor esfuerzo y dedicación para que logres adquirir las bases
necesarias, para tu éxito académico.
12
RECOMENDACIONES PARA EL ALUMNO
El presente módulo de aprendizaje, representa un importante esfuerzo que el Colegio de
Estudios Científicos y Tecnológicos del Estado de Sonora, ha realizado, para brindarte los
contenidos que se abordarán en la asignatura de Álgebra.
Los contenidos de Álgebra, serán abordados a través de diversos textos, ejercicios,
evaluaciones, entre otras actividades. Cabe mencionar, que algunas de las actividades
propuestas las deberás realizar de manera individual mientras que en algunas otras,
colaborarás con otros compañeros formando equipos de trabajo bajo la guía de tu
profesor.
Para lograr un óptimo uso de este módulo de aprendizaje, deberás:
Considerarlo como el texto rector de la asignatura, que requiere sin embargo, ser
enriquecido consultando otras fuentes de información.
Consultar los contenidos, antes de abordarlos en clase, de tal manera que tengas
conocimientos previos de lo que se estudiará.
Participar y llevar a cabo cada una de las actividades y ejercicios de aprendizaje,
propuestos.
Es muy importante que cada una de las ideas propuestas en los equipos de
trabajo, sean respetadas, para enriquecer las aportaciones y lograr aprendizajes
significativos.
Considerarlo como un documento que presenta información relevante en el área
de las Matemáticas, a ser utilizado incluso después de concluir esta asignatura.
Identificar las imágenes que te encontrarás en los textos que maneja el módulo de
aprendizaje, mismas que tienen un significado particular:
13
Esperando que este material de apoyo, sea de gran utilidad en tu proceso de aprendizaje,
y así mismo despierte el interés por conocer y aprender más sobre esta ciencia, te
deseamos el mayor de los éxitos.
Evaluación diagnóstica que cada estudiante debe responder al inicio de cada unidad para saber su grado de conocimiento.
Ejercicio que se elaborará en equipo.
Ejercicio que se elaborará de manera individual.
Ejemplo del tema tratado en clase.
Tarea que se elaborará en casa, relacionada con el tema visto en clase.
Tarea de investigación.
Material recortable que se utilizará para resolver algunas de las tareas a elaborar en casa.
Ejercicios que se elaborarán para aplicar lo aprendido en casos de la vida cotidiana.
Examen de autoevaluación que se resolverá al final de cada unidad.
Aprendizajes a lograr al inicio de cada subtema.
14
COMPETENCIA DE LA ASIGNATURA
Utiliza símbolos algebraicos en la representación de problemas cotidianos por medio de ecuaciones de primer y segundo grado.
Resuelve sumas, restas, multiplicaciones, divisiones y factorizaciones de expresiones algebraicas.
Resuelve problemas cotidianos utilizando operaciones algebraicas.
15
COMPETENCIAS
Genéricas
Disciplinarias
Son conocimientos, habilidades y actitudes asociados con las disciplinas en las que tradicionalmente se ha organizado el saber y que todo bachiller debe adquirir.
Formula y resuelve problemas matemáticos, aplicando diferentes enfoques.
Explica e interpreta los resultados obtenidos mediante procedimientos
matemáticos y los contrasta con modelos establecidos o situaciones reales.
Argumenta la solución obtenida de un problema con métodos numéricos,
gráficos, analíticos o de variación, mediante lenguaje verbal, matemático y el
uso de las tecnologías de la información y la comunicación.
Analiza las relaciones entre dos o más variables de un proceso social o natural
para determinar o estimar su comportamiento.
Cuantifica, representa y contrasta experimental o matemáticamente las
magnitudes del espacio y las propiedades físicas de los objetos que lo rodean.
Describen, fundamentalmente conocimientos, habilidades, actitudes y valores indispensables en la formación de los alumnos.
Escucha, interpreta y emite mensajes pertinentes en distintos contextos
mediante la utilización de medios, códigos y herramientas apropiados.
Desarrolla innovaciones y propone soluciones a problemas a partir de métodos
establecidos.
Participa y colabora de manera efectiva en equipos diversos.
16
Unidad I Expresiones
algebraicas y
operaciones
fundamentales
17
Competencias de la unidad
Al término de esta unidad, el alumno:
Resuelve sumas, restas, multiplicaciones, divisiones de expresiones algebraicas.
Aplica las operaciones algebraicas en la resolución de problemas cotidianos.
Temario
1.1. EXPRESIONES ALGEBRAICAS
1.1.1. Terminología
1.1.2. Lenguaje común
1.1.3. Lenguaje algebraico
1.1.4. Cálculo del valor numérico
1.2. OPERACIONES FUNDAMENTALES
1.2.1. Suma y resta de polinomios
1.2.2. Leyes de los exponentes
1.2.3. Leyes de los radicales
1.2.4. Multiplicación y división de polinomios
18
1.- El resultado de la operación (6-2) + (1+3) – 3 corresponde a:
a) 9 b) 3 c) 8 d) 5 e) 11
2.- El resultado de la operación 2(3)2 - 4 corresponde a:
a)2 b) 14 c)8 d) 16 e) 10
3.- Al realizar las operaciones resulta:
a) 2 b)3 c) 1 d) 1 e) 0
4.- Al realizar las operaciones 6 -2-4-3 resulta:
a) -3 b)3 c) -15 d) -2 e) 15
5.- De acuerdo al número de elementos o términos que contiene, la expresión 2a+b recibe
el nombre de:
a) Polinomio b) Monomio c) Trinomio d) Binomio e) Fórmula
6.- El valor que corresponde a la operación 2(3)2 +2(2)-4 es:
a) 4 b) 12 c) 18 d) 10 e)8
7.- La simplificación de la expresión 3x-2x
a) 6x b) 5x2 c) x d) –x e) -5x2
8.- El producto de (2ab)(4ab2) equivale a :
a) 6ab2 b)8ab2 c) 8a2b2 d)8a2b3 e)6a2b3
9.- El cociente equivale a:
a) 4x6 b) 4x14 c) 12x14 d) 4x e)4x40
A continuación se te presentan una serie de preguntas de opción
múltiple relacionadas con operaciones básicas y algunos temas
de álgebra que profundizarás con más detalle a lo largo a las
actividades del cuaderno de trabajo. Esfuérzate por contestarlas
subrayando la respuesta correcta. Las respuestas podrás
encontrarlas al final del cuaderno de trabajo.
Evaluación diagnóstica
19
1.1. EXPRESIONES ALGEBRAICAS
1.1.1. Terminología
El propósito del tema es que comprendas, interpretes y apliques de forma correcta el lenguaje algebraico. Como podrás recordar el Álgebra es la rama de las matemáticas encargada de hacer generalizaciones a partir de situaciones particulares, su principal característica es la utilización de letras, números y símbolos aritméticos a los que quizás ya estás acostumbrado. Los ejercicios que se involucran en esta actividad te ayudarán a entender y aplicar su terminología en el mundo que te rodea.
¡Ánimo! Y a cumplir con las actividades, recuerda que todo éxito requiere de un esfuerzo.
Términos algebraicos: 2a, b, 3x2, -2x3, 3x, 2m Expresiones algebraicas: 2a + b, 3x2 + 2a – b, -2x3 - 3x + 2m – 4
EJEMPLO
Expresión Términos
3x2
+ 3x
2a + b
- 3x3y – x + 5
Definir los términos algebraicos. Definir las expresiones algebraicas. Identificar los elementos de los términos algebraicos. Diferenciar entre términos algebraicos y numéricos. Identificar diferentes sinónimos de las operaciones aritméticas. Trabajar de manera colaborativa. Actuar con responsabilidad en el cumplimiento de tareas. Comunicarse en forma oral y escrita.
Aprendizajes a lograr
Ejercicio no. 1
Reúnete en pareja, identifica los términos de las siguientes
expresiones algebraicas y completa la tabla.
Esta actividad se evaluará con la lista de cotejo que se encuentra
en la página 60.
Grupo
20
Término Signo Coeficiente Literal(es) Exponente
o grado
3x2
2a
- b
- 3x3 y
Expresión algebraica Nombre
3x2 + 3x
2a + b
- 3x3y – x + 5
3ab
1/2ab + 2
Investiga los elementos de los términos algebraicos e identifica el
signo, coeficiente, literal y exponente o grado de cada uno de los
términos siguientes y completa la tabla.
Esta actividad se evaluará con la lista de cotejo que se encuentra
en la página 60.
Individual Ejercicio no. 2
Investiga la clasificación de las expresiones algebraicas de
acuerdo al número de sus términos y completa la tabla.
Esta actividad se evaluará con la lista de cotejo que se encuentra
en la página 59.
Tarea de investigación no. 1
21
1.1.2. Lenguaje común
El lenguaje común o cotidiano, es el lenguaje que utilizamos en nuestra vida diaria y corresponde a la manera como nombramos algunos símbolos o expresiones matemáticas. El símbolo “+” es más nombrado comúnmente como “suma”, “más”, “adición”, etc.
Así mismo otros símbolos operacionales que iremos practicando a medida que nos
adentremos en el tema. Comenta algunos casos con tus compañeros y profesor.
En Álgebra para representar cantidades desconocidas se utilizan las letras del
abecedario. Las cantidades conocidas son representadas por sus magnitudes
equivalentes a los números arábigos.
Problema:
La expresión algebraica 2a+3, en lenguaje común se
expresa:
Respuesta:
El doble de un número cualquiera aumentado en tres.
EJEMPLO
Expresar en lenguaje común una expresión algebraica. Trabajar de manera colaborativa. Actuar con responsabilidad en el cumplimiento de tareas. Escuchar, interpretar y emitir mensajes pertinentes en distintos
contextos mediante la utilización de medios, códigos y herramientas apropiados.
Expresar ideas y conceptos mediante representaciones lingüísticas, matemáticas o gráficas.
Aprendizajes a lograr
22
1. abc ______________________________________________
2. 10
ba
______________________________________________
3. 23a ______________________________________________
4. 2
)( 2ba
______________________________________________
5. 3
3x
______________________________________________
6. yx 43 2 ______________________________________________
De manera individual, escribe en lenguaje común las siguientes expresiones algebraicas. Esta actividad se evaluará con la lista de cotejo que se encuentra en la página 60.
Individual Ejercicio no. 4
Grupo Ejercicio no. 3
En equipos de tres integrantes, escribir en lenguaje común las
siguientes expresiones algebraicas y comentar las respuestas
ante el grupo. Se evaluará con la lista de cotejo de la página 60.
1.- x3
2.- ba 42
3.- )(3 ba
4.- 2)( ba
5.- 2
ba
23
1.1.3. Lenguaje algebraico
La suma de tres números
cualesquiera.
El cubo de un número menos
el cuadrado de otro.
El producto de dos números
cualesquiera.
3 ba
El lenguaje algebraico nace en la civilización
musulmana y consta principalmente de las letras del
alfabeto y algunos vocablos griegos. La principal
función de lenguaje algebraico es estructurar un
idioma que ayude a generalizar las diferentes
operaciones que se desarrollan dentro de la
aritmética, El enunciado, “La raíz cúbica de la
suma de dos números, en lenguaje algebraico se
expresa:
Aprendizajes a lograr
Expresar en lenguaje algebraico un enunciado dado en lenguaje común.
Trabajar de manera colaborativa. Actuar con responsabilidad en el cumplimiento de tareas. Escuchar, interpretar y emitir mensajes pertinentes en distintos
contextos mediante la utilización de medios, códigos y herramientas apropiados.
Expresar ideas y conceptos mediante representaciones lingüísticas, matemáticas o gráficas.
EJEMPLO
Grupo
En equipos de tres integrantes expresa en lenguaje algebraico los
siguientes enunciados.
Esta actividad se evaluará con la lista de cotejo que se encuentra en la
página 60.
Ejercicio no. 5
24
La suma de la tercera parte de
un número y la mitad de otro.
El cubo de la suma de dos
números.
El cuadrado de la mitad de la
suma de dos números.
El cociente de la suma de dos
números entre su diferencia.
La cuarta parte de la suma de
dos números.
El cuádruple de la suma de
dos números.
Si tenías $a, cobras $b y te
regalan $m., ¿cuánto tienes
ahora?
Si vas a la tienda y compras x
lápices por 75 pesos; ¿cuánto
cuesta un lápiz?
Un terreno rectangular de 23
m. de largo mide x m. de
ancho. Expresa su superficie.
La cuarta parte de un número
más la tercera parte del
mismo.
25
1.1.4. Cálculo del valor numérico
Ejercicio no. 6
Grupo
Reúnete en pareja y resuelve los ejercicios, determinando el valor
numérico de cada una de las expresiones, si x = 3.
Esta actividad se evaluará con la lista de cotejo que se encuentra en
la página 60.
1.- 2x + 3 = _______
2.- x2 - 3 = _______
3.- 3x2 + 2x - 3 = _______
Aprendizajes a lograr
Realizar operaciones con números reales. Jerarquizar operaciones. Identificar símbolos de agrupación. Trabajar de manera colaborativa. Escuchar, interpretar y emitir mensajes pertinentes en distintos
contextos. Interpretar información contenida en un texto.
Para calcular el valor numérico de una expresión algebraica
basta con sustituir las letras por sus valores indicados y
realizar las operaciones.
2(2) + 3 = 4 + 3 = 7
Al sustituir en la expresión los números 2 y 3 por
letras a y b respectivamente, esta expresión se
expresa como: 2a + b
El 7 recibe el nombre de valor numérico de la expresión.
EJEMPLO
26
1.- El perímetro de una circunferencia se determina por la fórmula P = 2r. Construirán
jardineras circulares para plantar flores. Determina el perímetro de las jardineras si
tendrán un radio de 2.5 m.
a) 2.5m. b) 5m. c) 9m. d) 4.5m. e) 6m.
2.- El área de un triangulo se determina por la fórmula A = bh / 2. Determina el área de
una pared triangular de base b = 4 m. y altura h = 3 m.
a) 3 m2 b) 6 m2 c) 12 m2 d) 9 m2 e) 8 m2
Esta actividad se evaluará con la lista de cotejo que se encuentra en la página 59.
De forma individual determina el valor numérico de las siguientes
expresiones si a = 2 y b = 3
Esta actividad se evaluará con la lista de cotejo que se encuentra en
la página 60.
1. - 2ab + 4 = __________
2. - 3a2 - 2b = __________
Individual Ejercicio no. 7
Nombre ____________________________________________________
Grupo ________________________ Turno _____________________
Fecha _____________________________________________________
Instrumento de evaluación _____________________ Página _________
Ejercicios para aplicar lo aprendido en casos de la vida
cotidiana
27
1.2. OPERACIONES FUNDAMENTALES
1.2.1. Suma y resta de polinomios
Problemas geométricos y algebraicos:
1. Cálculo de perímetros
a) ¿Cuánto mide el perímetro de la siguiente figura? b) ¿Cuál es la medida del perímetro del trapecio mostrado?
2.5n
n
6n
t
t+1.5
t+2
Aprendizajes a lograr
Identificar términos semejantes. Realizar operaciones con números reales. Sumar y restar polinomios. Trabajar de manera colaborativa. Actuar con responsabilidad en el cumplimiento de tareas. Escuchar, interpretar y emitir mensajes pertinentes en distintos
contextos. Interpretar información contenida en un texto.
Con la ayuda de tu profesor, reúnete en equipo y contesta cada una de las siguientes actividades. Esta actividad se evaluará con la lista de cotejo que se encuentra
en la página 60.
Grupo Ejercicio no. 8
28
c) ¿Cuánto suman los perímetros de todas las figuras que se muestran, de acuerdo con la
medida de los lados que se proporcionan?
f) Si al perímetro del rectángulo le restas el del cuadrado, ¿qué obtienes?
g) Si tuviésemos cinco hexágonos como los del inciso anterior, ¿cuánto mediría la suma
de sus correspondientes perímetros?
h) Si al perímetro del hexágono le restas el del triángulo, ¿qué obtienes?
t t
n 2m m
m
29
2. Cálculo de volúmenes
a) ¿Cuánto vale la suma del volumen de los cubos mostrados? La arista mide x unidades
de longitud en cada cubo.
Volumen cubo 1 =
Volumen cubo 2 =
Volumen cubo 3 =
Volumen total =
Problemas geométricos y algebraicos:
1. Cálculo de áreas
a) Asumiendo que la medida de los tres cuadrados que se muestran son congruentes, y
que su lado mide n unidades, ¿cuánto vale la suma de las tres áreas?
Cubo 1 Cubo 2 Cubo 3
Individual
De manera individual realiza cada una de las siguientes actividades.
Esta actividad se evaluará con la lista de cotejo que se encuentra en
la página 60.
Ejercicio no. 9
30
b) En el caso que te mostramos ahora, te pedimos que calcules la suma de las áreas del
cuadrado y del rectángulo. Los datos son: el lado del cuadrado mide n; el rectángulo mide
n unidades de ancho y de largo mide el doble de lo que mide el ancho.
c) ¿Qué encontramos si al área del rectángulo le restamos el área del cuadrado?
d) Calcula el área de la siguiente figura, atendiendo a las medidas de los lados que se
proporcionan:
e) Si ahora el área solicitada fuese la suma de las áreas de las figuras, ¿qué
contestarías, si el lado del cuadrado mide n unidades y en el caso del triángulo, su base
mide n y su altura mide h unidades?
3n
8n
n
31
a) ¿Qué tipo de expresiones algebraicas aparecieron en tus cálculos?
b) ¿Qué características comunes tienen?
c) ¿Por qué se podían sumar y/o restar?
d) Intenta sintetizar tus observaciones, mediante el establecimiento de una conjetura para
la suma y resta de este tipo de expresiones algebraicas.
e) ¿Para qué tipo de expresiones algebraicas crees que tenga validez tu conjetura?
f) Verifica si tu conjetura funciona en los casos que siguen, en donde se trata de encontrar
los términos que ocuparían el lugar del espacio en blanco:
_______16______)2145.1()8______3( zwzywy
wzywzy 10_____________________)145.1()82(
)465.0()92()2( bababa
bzzztbt 316752
mmnmn 6________)104(____)5(
Esta actividad se evaluará con la lista de cotejo que se encuentra en la página 59.
Tarea no. 2
Regresa a repasar los cálculos que has venido realizando en esta
actividad y contesta las interrogantes que se formulan en las líneas que
siguen:
32
1.2.2. Leyes de los exponentes
Recuperando ideas: las leyes de los exponentes
Caso 1. El producto de potencias que tienen la misma base.
a) Llena la tabla siguiente:
¿Cuántas veces aparece la literal como
factor?
Notación empleando exponentes
Relación entre los
exponentes
a
1 1a
)(aa
2 112 aaa 2=1+1
)(aaaaaa
3 )( 213 aaa 3 = 1 + 2
)())(( aaaaaaaaaaaa
4 43122 )()( aaaaa
))(())(( aaaaaaaaaaaaaaa
5 )()( 3245 aaaaa
))((
))(()(
aaaaaa
aaaaaaaaaaaaaaaaaa
Reúnete en equipo y, con ayuda de tu profesor, realicen cada una
de las siguientes actividades, después comenten sus resultados
ante el grupo.
Grupo Ejercicio no.
10
Realizar operaciones con números reales. Aplicar las diferentes leyes de los exponentes. Trabajar de manera colaborativa. Actuar con responsabilidad en el cumplimiento de tareas. Escuchar, interpretar y emitir mensajes pertinentes en distintos
contextos. Interpretar información contenida en un texto. Expresar en forma algebraica el producto de potencias con la
misma base.
Aprendizajes a lograr
Esta actividad se evaluará con la lista de cotejo que se encuentra en
la página 60.
Reúnete en equipo y, con ayuda de tu profesor, realicen cada una
de las siguientes actividades, después comenten sus resultados
ante el grupo.
Grupo Ejercicio no. 10
33
b) Escribe cuál crees que será la regla para calcular el producto de potencias que tienen la misma base c) Representa algebraicamente la regla que enunciaste en el caso anterior. Compárala con la que enunciaron tus compañeros. Argumenten sus propuestas hasta que lleguen a un acuerdo.
Caso 2. La potencia de un producto
a) Llena la siguiente tabla, a partir de la información proporcionada:
Producto de potencias propuesto Notación empleando exponentes
ab 11ba
))(())(( bbaaabab 222)( baab
))(())()(( bbbaaaababab )()( 333 baab
))(())()()(( bbbbaaaaabababab 444)( baab
))()()()(( ababababab
(ab)(ab)(ab)(ab)(ab)(ab)=
))()()()()()()()(( ababababababababab
))...()()(( abababab
(aparece veinte veces el factor ab )
))...()()(( abababab
(aparece n veces el factor ab )
b) Escribe cuál crees que será la regla general que te permita calcular la potencia de un producto: c) Representa algebraicamente la regla que enunciaste en el caso anterior. Compárala con la que enunciaron tus compañeros. Argumenten sus propuestas hasta que lleguen a un acuerdo.
34
Caso 3. La potencia de una potencia
Notación desarrollada
Forma compacta
22 )(a ))(( 22 aa
32 )(a ))()(( 222 aaa 6a
42 )(a ))()()(( 2222 aaaa 8a
52 )(a
62 )(a
na )( 2
na )( 3
na4
na150
mna )(
b) Escribe la regla general que te permita calcular la potencia de una potencia: c) Representa algebraicamente la regla que enunciaste en el caso anterior. Compárala con la que enunciaron tus compañeros. Argumenten sus propuestas hasta que lleguen a un acuerdo Caso 4. La potencia de un cociente a) Llena los espacios faltantes en la tabla que sigue:
Potencia de un
cociente
Forma desarrollada
Otra expresión
para el cociente
2
3
2
2
2
3
2
3
2
3
2
9
4
3
3
2
3
3
3
2
3
2
3
2
3
2
27
8
5
3
2
5
5
3
2
3
2
3
2
3
2
3
2
3
2
m
3
2
35
b) ¿Qué regla de carácter general puedes desprender de la información de la tabla anterior? Escríbela retórica y algebraicamente. c) Intenta generalizar el proceso anterior, planteando ahora la potencia de un cociente cualquiera
Potencia de un
cociente
Forma desarrollada
Otra expresión
para el cociente
2
b
a
3
b
a
16
b
a
m
b
a
f) Escribe cuál crees que será la regla general que te permita calcular la potencia de una potencia: g) Representa algebraicamente la regla que enunciaste en el caso anterior. Compárala con la que enunciaron tus compañeros. Argumenten sus propuestas hasta que lleguen a un acuerdo.
36
1. Caso 5. División de potencias que tienen la misma base a) ¿A qué tipo de cálculo nos estaremos refiriendo con la expresión “división de potencias que tienen la misma base”? b) ¿Cuál crees que sea la regla a utilizar en este caso? Exprésala verbal y algebraicamente. c) ¿Cómo podrías justificarla? 2. De manera individual, simplifica las siguientes expresiones algebraicas,
aplicando las leyes de los exponentes:
1.- )()( 35 aa __________________________________________________
2.- )()( 2nmmn ________________________________________________
3.- 4
6
x
x_______________________________________________________
4.-
2
3
x
x______________________________________________________
5.- 322 )( x __________________________________________________
6. )()( xyyx 22
_______________________________________________
7. 63 aa _____________________________________________________
8.
7
5
y
y_______________________________________________________
9.
n
nm
5
10 2
____________________________________________________
10. 43223 )( zyx ______________________________________________
Ejercicio no. 11
Con base a la experiencia adquirida en el trabajo de equipo,
realiza las siguientes actividades.
Esta actividad se evaluará con la lista de cotejo que se encuentra
en la página 60.
Individual
37
Resuelve los siguientes problemas de aplicación donde se utilizan las leyes de los exponentes: 1.- Se quiere construir una pila, de forma cúbica, para almacenar agua que mida x metros por lado, ¿cómo quedaría expresado el volumen de dicha pila? 2.- Determinar el área de un terreno cuadrado que mide L metros por lado.
Esta actividad se evaluará con la lista de cotejo que se encuentra en la página 59.
V = ___ *____*____=_______
A=________________
Nombre ____________________________________________________
Grupo _________________________ Turno __ __________________
Fecha _____________________________________________________
Instrumento de evaluación __________________ Página ___________
Ejercicios para aplicar lo aprendido en casos de la vida
cotidiana.
38
1.2.3. Leyes de los radicales
Un radical puede expresarse como una potencia
donde el exponente es fraccionario. A continuación se
presentan algunas expresiones equivalentes.
44
1
3 53
5
3
2
3 2
2
1
d)
c)
)
x a)
xx
xx
xxb
x
En equipos de tres integrantes, utilizando las leyes de los radicales,
expresar en forma exponencial y viceversa.
Esta actividad se evaluará con la lista de cotejo que se encuentra en la
página 60.
1.- 5
2
y _______________________________________________________
2.- 2
3
m _______________________________________________________
3.- 7 2x ______________________________________________________
4.- 3 9x ______________________________________________________
Grupo Ejercicio no. 12
Realizar operaciones con números reales. Convierte potencias con exponentes racionales a la forma de
radical. Convertir radicales a potencias con exponentes racionales. Trabajar de manera colaborativa. Actuar con responsabilidad en el cumplimiento de tareas. Escuchar, interpretar y emitir mensajes pertinentes en distintos
contextos. Interpretar información contenida en un texto.
Aprendizajes a lograr
EJEMPLO
39
1. 3
1
y _____________________________________________________________
2. 6
4
z ___________________________________________________________
3. 5 y ___________________________________________________________
4. 6 7n __________________________________________________________
5. 9x __________________________________________________________
6. 4 5x __________________________________________________________
7. 8 3y __________________________________________________________
8. 9
2
x __________________________________________________________
9. 10
1
z __________________________________________________________
Ejercicio no. 13
De manera individual, utilizando las leyes de los radicales, expresa
en forma exponencial y viceversa.
Esta actividad se evaluará con la lista de cotejo que se encuentra
en la página 60.
Individual
40
1.- Se tiene una pila, de forma cúbica, con una capacidad de “x” m3¿cuál es la medida de
sus lados?
2.- La habitación de una vivienda es cuadrada y tiene una superficie de 25 m2. ¿Cuál será
la medida del lado y su perímetro?
Esta actividad se evaluará con la lista de cotejo que se encuentra en la página 59.
V= x L = ______
Nombre ___________________________________________________
Grupo __________________________ Turno ___________________
Fecha _____________________________________________________
Instrumento de evaluación ____________________ Página __________
Ejercicios para aplicar lo aprendido en casos de la vida
cotidiana.
41
1.2.4. Multiplicación y división de polinomios
Cálculo de áreas y multiplicación de expresiones algebraicas
a) ¿Qué opciones tienes para calcular el área del cuadrilátero que se muestra a
continuación, tomando en cuenta las medidas de los lados que se proporcionan? Haz los
cálculos necesarios de acuerdo con las opciones que hayas planteado y compara los
resultados de cada una de las opciones que consideraste.
x
x 1
Aprendizajes a lograr
Interpretar información contenida en un texto. Realizar operaciones con números reales. Aplicar leyes de los exponentes. Reducir términos semejantes. Multiplicar y dividir expresiones algebraicas. Trabajar de manera colaborativa. Actuar con responsabilidad en el cumplimiento de tareas. Escuchar, interpretar y emitir mensajes pertinentes en distintos
contextos.
Ejercicio no.14
Con ayuda de tu profesor reúnete en equipo y desarrollen cada una de las siguientes actividades y después comparen respuestas ante el grupo. Esta actividad se evaluará con la lista de cotejo que se encuentra
en la página 60.
Grupo
42
b) Si ahora la figura considerada fuera la que sigue, ¿qué opciones tienes para el cálculo
de su área?
c) ¿Y en ésta?
d) Concentra los resultados de todos los incisos previos en la tabla proporcionada:
Figura del
inciso.
Expresión algebraica
para la forma de cada
área.
Expresión algebraica formada por la suma
de las áreas.
a)
b)
c)
a
a
2
x
x
y
43
e) A partir del análisis del contenido de la tabla previa, ¿encuentras algún aspecto
relevante que puedas destacar sobre la multiplicación de este tipo de expresiones
algebraicas? Escribe a continuación lo que te parezca interesante sobre el particular. Te
sugerimos pongas especial atención sobre los siguientes elementos:
1. ¿Qué pasa con los coeficientes de los diferentes términos?
2. ¿Qué sucede con los exponentes de las literales involucradas?
3. ¿Cuántos términos se obtienen al multiplicar?
Multiplicando monomios
En las actividades “cálculo de áreas y multiplicación de expresiones algebraicas” y
“cálculo de volúmenes y multiplicación de expresiones algebraicas”, estuviste trabajando
con multiplicaciones de expresiones algebraicas donde únicamente aparecía una literal, y
los exponentes a los que estaba elevada eran cero, uno, dos o tres. Nos interesa abordar
ahora una situación más general, en donde abandonaremos el referente de la geometría,
y nos quedaremos solamente en el campo del álgebra.
Las multiplicaciones que proponemos ahora están planteadas para expresiones
algebraicas en donde puede aparecer más de una literal, elevadas a diferentes
exponentes.
a) )2)(5( 24 mm
b) )4)(2
1( 2tt
c) ( ) ( ) = 6 88x y
d) (3t )( ) = 5429 yxt
e) (-xy) (-4 ) = tyx 3312
f) ))(( nm aa
g) mm aa 2)(_____)( i) ¿Cómo hiciste para multiplicarlas?
Ejercicio no.15
Tomando como experiencia las actividades resueltas en
equipo, realiza las siguientes operaciones.
Esta actividad se evaluará con la lista de cotejo que se
encuentra en la página 60.
Individual
44
Multiplicando polinomios
En las operaciones que siguen, te darás cuenta cómo se recuperan e integran los
procedimientos que has venido utilizando hasta el momento, nos referimos a la
multiplicación de monomios, de binomios, a la multiplicación de potencias que tienen la
misma base, así como a la reducción de términos semejantes.
a) Para el producto siguiente:
)243)(5( 232 mmmm
¿En qué subproductos se puede descomponer? Escribe tu propuesta y realiza los
productos que hayas indicado.
b) Haz lo mismo para el caso siguiente:
)243)(65( 232 mmmmm
¿En qué subproductos se puede descomponer? Escribe tu propuesta y haz los productos
que hayas indicado.
c) Intenta ahora los siguientes productos, sistematizando el proceso de descomposición
que planteaste en los dos incisos anteriores.
d) )243)(365( 232 mmmmm
e) )8
3
5)(18
3
4( 24 xyxxyx
=
45
f) )1210)(642( 33223 baababa
En esta actividad, vamos a calcular el volumen de algunos cuerpos geométricos y a
relacionar estos cálculos con el producto de expresiones algebraicas, tal y como lo
hicimos en la actividad inmediata anterior.
a) Iniciamos solicitándote el cálculo del volumen de este prisma de base cuadrada. Tal y
como se señala en la figura, el lado de la base es m + 1 unidades, en tanto que la altura
mide m + 5 unidades de longitud.
b) En cambio, en este cilindro, el radio mide t+5 unidades, mientras que la altura mide el
doble de lo que mide el radio. ¿Cuál es entonces su volumen?
m+1
m+5
Nombre ___________________________________________________
Grupo __________________________ Turno ___________________
Fecha _____________________________________________________
Instrumento de evaluación ____________________ Página __________
Ejercicios para aplicar lo aprendido en casos de la vida
cotidiana.
46
c) En el cubo que sigue, la arista mide m+5 unidades, ¿cuál es su volumen?
e) Concentremos la información de los cálculos previos en la tabla que sigue:
Cuerpo
geométrico.
Expresión algebraica que
se obtiene a partir de la
fórmula para calcular el
volumen, de acuerdo con
los datos que se dan,
pero sin hacer
operaciones.
Resultado que se obtiene
después de realizar
operaciones.
Esta actividad se evaluará con la lista de cotejo que se encuentra en la página 59.
47
División de expresiones algebraicas
La división de las expresiones algebraicas, puede simplificarse en tres casos: División entre monomios, un polinomio entre un monomio y polinomio entre polinomio.
Para los dos primeros casos, solo es necesaria recordar la ley del cociente de dos
potencias de la misma base y aplicar las reglas de división de los números reales.
En este caso:
= 2x5−2 − x4−2 + 3x2−2
a): Resolver
Procedimiento de solución:
=
= 4x9 - 3 Dividir coeficientes numéricos y restar exponentes.
= 4x6
b) Resolver el cociente
Procedimiento de solución:
= El denominador 2x2, divide a cada término del
numerador
= Dividir coeficientes numéricos y restar exponentes.
= 2𝑥3 − 𝑥4−22 + 3
EJEMPLO
48
Con lo que hemos aprendido sobre las divisiones de un monomio entre otro, vamos a
abordar el problema de dividir un polinomio entre un monomio.
a) La división siguiente:
)()243( 34 mmmm
¿En qué “divisiones parciales” se puede descomponer? Escribe tu propuesta y realiza los
cocientes que hayas indicado.
b) Haz lo mismo para el caso siguiente:
)5()25204030( 22345 ttttt
¿En qué subproductos se puede descomponer? Escribe tu propuesta y haz los productos
que hayas indicado.
Ejercicio no. 16
Con ayuda de tu profesor reúnete en equipo y desarrollen cada una de las siguientes actividades y después comparen respuestas ante el grupo. Esta actividad se evaluará con la lista de cotejo que se encuentra
en la página 60.
Grupo
49
c) Intenta ahora los siguientes cocientes, sistematizando el proceso de descomposición
que planteaste en los dos incisos anteriores.
1. )2
1()243( 446 mmmm
2. )8()816( 3322 xyyxyx
3. )4()210( 23333 babaabba
4. )9()812718( 333222 abccbacbaabc
5. )()32( 2245 btbtbt
d) Transforma estos productos a las divisiones equivalentes:
31510___)__________)(________5(
826____)__________)(________2(
45____)__________)(________(
2____)__________)(________(
3
23
2
4
mmm
xxxx
aaa
tt
50
División entre polinomios:
EJEMPLO
43
8232 2
x
xxx
Resolver
Se ordena el dividendo y el divisor en términos de una sola letra.
x
xxx
3
8232 2
x
xxx
3
8232 2
xxx
4063 2
43
8232 2
x
xxx
84063 2
x
xx
84063 2
x
xx
084 x
Solución: 432
823 2
xx
xx
Se divide el primer término del
dividendo entre el primer término del
divisor = 3x, y se obtiene el
primer término del cociente.
Este primer término 3x se
multiplica por todo el divisor
(3x)(x + 2) = 3x2 + 6x y el
resultado se resta al dividendo,
por eso cambia de signo.
Se divide el primer término del
resto entre el primer término del
divisor = -4 y se obtiene el
segundo término del cociente.
Este segundo término -4 se
multiplica por todo el divisor (-4)
(x + 2) = -4x - 8 y el resultado
se resta al dividendo, por eso
cambia de signo.
x + 2 3x2 + 2x – 8
51
Esta actividad se evaluará con la lista de cotejo que se encuentra en la página 60.
Resuelve los siguientes problemas:
a) El cilindro que sigue tiene por volumen 3r ; si su altura mide r, ¿cuánto mide su radio?
¿Cuál fue tu razonamiento para encontrar lo que se pidió?
Ejercicio no.17
a) a2 + 2a - 3 entre a + 3
b) a2 - 2a - 3 entre a + 1
c) x2 + x – 20 entre x + 5
d) m2 – 11m + 30 entre m – 6
e) a4 – a2 – 2a – 1 entre a2 + a + 1
f) x3 + 12x2 – 5x entre x2 – 2x + 5
g) x4 – x2 – 2x – 1 entre x2 – x - 1
Individual
Utilizando las propiedades de los números reales y las propiedades de los exponentes, resuelve tres reactivos sobre división de polinomios con diferente número de términos asignados por el maestro, en su cuaderno de trabajo. Por ejemplo los siguientes.
Nombre ___________________________________________________
Grupo _____________ Turno _________Fecha _________________
Instrumento de evaluación _lista de cotejo Página _59_______
Ejercicios para aplicar lo aprendido en casos de la vida cotidiana
52
b) En este prisma rectangular, su volumen mide ttt 23 2 unidades; si la altura mide t,
¿cuánto mide el área de la base? ¿Cómo hiciste para encontrarla?
c) Si en este rectángulo el área mide nn 55 2 unidades de área, y la altura mide n
unidades de longitud, ¿cuánto mide la base? ¿Cómo encontraste la respuesta?
d) En el rectángulo que resulta de sumar las áreas del cuadrado lila y del rectángulo
blanco, el área mide xx 112 unidades; si en el cuadrado sombreado el lado mide x
unidades, ¿cuánto mide el lado faltante del rectángulo original? ¿Cuál fue el
procedimiento que empleaste para llegar a tu resultado?
t
x
X
53
Selecciona la respuesta correcta en cada caso:
1.- Nombre que recibe una expresión algebraica que consta de un solo término. a) Binomio b) Monomio c) Trinomio d) Polinomio e) Exponente 2.- El grado absoluto del término - 4x2y3 corresponde a: a) 3 b) 2 c) 5 d) 6 e) – 4 3.- El número de términos de la expresión 4x2 - 3x + 1 corresponde a a) 3 b) 4 c) 5 d) 1 e) 2 4.- Es el primer elemento que contiene un término algebraico. a) Exponente b) Variable c) Literales d) Signo e) Constante
Nombre _________________________________________________
Grupo _________________________ Turno __________________
Fecha __________________________________________________
Autoevaluación
54
5.- Son aquellas partes que están separadas por los símbolos de sumas o restas en una expresión algebraica. a) Exponentes b) Términos c) Literales d) Variables e) Constantes
6.- La edad actual de Juan es “x” años. ¿Cuál era su edad hace once años?
añosx
a11
)
añosxb 11)
añosxc 11)
añosxd 11)
añosxe 11) 7.- El recíproco del producto de dos números.
ab
a1
)
abb)
bac
1)
bad
1)
bae
/
1)
8.- La expresión 2
ba , traducida a lenguaje común es:
a) La mitad de un número más otro número b) El doble de dos números c) La mitad de la suma de dos números d) El doble de la suma de dos números e) La mitad de dos números
55
9.- La expresión
3
2
x, traducida a lenguaje común es:
a) La mitad del cubo de un número b) El doble del cubo de un número c) La mitad de un número d) El cubo de un número e) El cubo de la mitad de un número 10.- Una expresión está determinada por v +at, determina su valor cuando a = 3, t = 3 y v = 4. a) 21 b) 6 c) 12 d) 11 e) 13 11.- El valor de la expresión (x - 3)(y + 4) , cuando x =1 , y = 2 , corresponde a : a) -4 b) 12 c) 8 d) -12 e) 14
12.- Al simplificar la expresión: 2
1
y
y, obtenemos:
3) ya 3) yb 2) yc
yd) 1) ye
13.- La expresión )5()4( 422 yxxy simplificada es igual a: 6320) yxa
639) yxb 220) xyc
4320) yxd 63) yxe
56
14.- Expresar en forma exponencial 4 6z
a) 2z
b) 3
2
z
c) 2
3
z
d) 3z
e) 3
4
z
15.- Expresar en forma radical 5
12
x
a) 6 5x
b) 5 12x
c) 12 5x
d)5 6x
e)5 3x
16.- Al sumar 2a - 3c y 5a + c se obtiene: a) 10a – 2 c b) 7a – 2c c) 3a – 3c d) 7a + 4c e) 6a – 3c 17.- Al restar 10x + 5y de 25x – 8y
a) 30x – 3y b) 35 x + 13y c) 15x + 13y d) 15x – 13y e) 35x – 3y
18.- Resolver el producto algebraico de 2xy(x + 3x – x2)
a) 2xy – 6 xy – 2x2 b) x2 y - 6x2 y + 2x3 y c) 2x2 y + 6x2 y – 2x3 y d) 2x2 + 6x2 – 2x3 e) 2y + 6xy2 – 2x3y2
57
19.- Resolver el cociente
a) 6x – 2x2 b) 8x5 – 2x3 c) 2x2 – 2x3 d) x2 – 2x e) 2x3 – x
20.- Resolver el cociente ab
abba 32
a) 2ba
b) ba 2
c) 22 ba
d) aba 2
e) 2bab
58
INSTRUMENTOS DE EVALUACIÓN
Evaluación de productos (tareas aplicadas a la vida cotidiana)
No. Indicador Cumplió Ejecución Observaciones
Sí No Ponderación Calif.
1 Resolvió el total de los ejercicios
0.21
2 Resolvió correctamente los ejercicios
0.30
3 Entregó en tiempo y forma indicada los ejercicios.
0.20
4 Realizó correctamente las operaciones.
0.50
Calificación de esta evaluación 1.21
Tabla de ponderación
1 = sí cumplió 0 = no cumplió
Ejecución: multiplicación del cumplimiento por la ponderación
Evaluación de productos (investigaciones)
No. Indicador Cumplió Ejecución Observaciones
Sí No Ponderación Calif. 1 Entregó en tiempo y
forma 0.1
2 La información fue clara y acorde al tema
0.3
3 Presentación del trabajo 0.1
Calificación de esta evaluación 0.5
Tabla de ponderación
1 = sí cumplió 0 = no cumplió
Ejecución: multiplicación del cumplimiento por la ponderación
59
Evaluación del desempeño (ejercicios)
En equipo
No. Indicador Cumplió Ejecución Observaciones
Sí No Ponderación Calif.
1 Se integró al equipo. 0.3
2 Mostró interés por el tema.
0.3
3 Mostró conocer los conceptos que utilizó
0.3
4 Mostró habilidad para responder a los ejercicios
0.4
5 Aplicó correctamente el procedimiento
0.4
Calificación de esta evaluación 1.7
Individual
No. Indicador Cumplió Ejecución Observaciones
Sí No Ponderación Calif.
1 Mostró interés por el tema.
0.40
2 Mostró conocer los conceptos que utilizó
0.60
3 Mostró habilidad para responder a los ejercicios
0.60
4 Aplicó correctamente el procedimiento
0.60
Calificación de esta evaluación 2.2
Tabla de ponderación
1 = sí cumplió 0 = no cumplió
Ejecución: multiplicación del cumplimiento por la ponderación
60
Unidad 2 Productos notables,
factorización y
ecuaciones lineales
61
Competencias de la unidad
Al término de esta unidad el estudiante:
Aplica las reglas de multiplicación de binomios.
Realiza diversas factorizaciones de expresiones algebraicas.
Utiliza las operaciones algebraicas para resolver problemas cotidianos que generen ecuaciones de
primer grado.
Temario
2.1. PRODUCTOS NOTABLES
2.1.1. Binomio al cuadrado
2.1.2. Binomios con término común
2.1.3. Binomios conjugados
2.1.4. Binomio al cubo
2.2. FACTORIZACIÓN
2.2.1. Factorización por término común
2.2.2. Factorización de diferencia de cuadrados
2.2.3. Factorización de trinomios
2.3. ECUACIONES LINEALES
2.3.1. Igualdades
2.3.2. Ecuaciones de primer grado
2.3.3. Despeje de fórmulas
62
1.- Explica qué es un producto notable
________________________________________________________________________
________________________________________________________________________
2.- ¿Qué es un factor?
________________________________________________________________________
________________________________________________________________________
3.- Explica lo que es una igualdad.
________________________________________________________________________
________________________________________________________________________
4.- Explica lo que es una ecuación.
________________________________________________________________________
________________________________________________________________________
5.- Escribe dos ecuaciones de primer grado.
________________________________________________________________________
________________________________________________________________________
6.- ¿Qué significa resolver una ecuación?
________________________________________________________________________
________________________________________________________________________
7.- Resuelve la siguiente ecuación: 64 x
________________________________________________________________________________________________________________________________________________
8.- Si t
dv , entonces d es igual a:
________________________________________________________________________
________________________________________________________________________
Escribe la respuesta correcta en cada caso:
Evaluación diagnóstica
63
2.1. PRODUCTOS NOTABLES
2.1.1. Binomio al cuadrado
En las actividades que siguen, estudiaremos algunos productos de expresiones algebraicas que tienen características interesantes. Seguiremos un recurso que hemos utilizado anteriormente, es decir, emplearemos como referencia el cálculo de áreas, para encontrar un camino para el cálculo algebraico de dichos productos. Tal y como lo enunciamos en el título, reciben el nombre de “productos notables”.
ñ
El cuadrado de la suma de dos cantidades puede representarse geométricamente cuando los valores son positivos. Observe los siguientes pasos:
EJEMPLO
Al término de la sesión el estudiante será capaz de a aplicar el binomio al cuadrado de los productos notables en la solución de problemas.
Aprendizajes a lograr
Construimos un cuadrado de x unidades de lado, es decir, de lado :
Construimos un cuadrado de unidades de lado:
Construimos dos rectángulos de largo y de ancho :
𝑥𝑦
64
Uniendo las 4 figuras anteriores formaremos un cuadrado de yx unidades de lado. El
área de este cuadrado es yx yx = 2yx , y como puede verse en la figura
siguiente, esta área está formada por un cuadrado de área 2x , un cuadrado de área 2y y
dos rectángulos de área xy; es decir, 2xy. Entonces el área total es la suma de todas.
Consideremos la figura que se muestra:
a) Calcula el área del cuadrado, primero utilizando la fórmula ya conocida para el
área de un cuadrado, y después como la suma de las áreas. ________________________________________________________________________
b) Medida del lado del cuadrado integrador:
a
b
a b
22 yxyxyx
222
22
2
2
yxyxyx
yxyx
Ejercicio no.1
Reunidos en equipos de tres integrantes responder lo que se indica en la siguiente actividad. Esta actividad se evaluará con la lista de cotejo que se encuentra
en la página 114.
Grupo
65
________________________________________________________________________
c) Área de dicho cuadrado de acuerdo con la fórmula para el área de un cuadrado arbitrario:
________________________________________________________________________
d) ¿Cuántos términos tiene esta expresión? ________________________________________________________________________
e) ¿A qué potencia está elevada? ________________________________________________________________________
f) Área del cuadrado como suma de áreas. ________________________________________________________________________
g) ¿Cuántos términos tiene esta última expresión? ________________________________________________________________________
h) Explica cuál sería la regla que se utiliza para desarrollar un binomio al cuadrado.
________________________________________________________________________
i) ¿Qué sucede en el caso en el que b sea un número negativo? ¿Pierde generalidad tu regla? Explica tu respuesta.
________________________________________________________________________
66
a) 2)1( x __________________________________________________________
b) 2)57( yx _______________________________________________________
c) 2)32( cab _______________________________________________________
d) 2)84( mn _______________________________________________________
e) 22 )3( zyx _______________________________________________________
f) 223 )32( yx _____________________________________________________
g) 2)15( x _________________________________________________________
h) 2)1( x __________________________________________________________
Esta actividad se evaluará con la lista de cotejo que se encuentra en la página 114.
Resultado ___________
Recomendaciones y observaciones ______ _______________________________
__________________________________________________________________
______________________________________________________
Tarea no. 1
Resuelve los siguientes binomios al cuadrado
67
2.1.2. Binomios con término común
Uniendo las cuatro figuras anteriores formaremos un rectángulo de ancho 2x y de
largo mide 3x , como se muestra en la siguiente figura, en donde el área de este
rectángulo se obtiene multiplicando largo por ancho: 2x 3x , y como puede verse
esta área está formada por un cuadrado de área 2x , tres rectángulos de áreas
6,3,2 xx .
EJEMPLO
Entonces:
2x 3x = 6322 xxx
Agrupando términos semejantes
2x 3x = 652 xx
Al término de la sesión el estudiante será capaz de efectuar
productos notables de binomios con término común en la
multiplicación de expresiones algebraicas.
Aprendizajes a lograr
Construimos tres rectángulos con las siguientes medidas:
Construimos un cuadrado que mide por lado unidades:
68
a) Para el siguiente rectángulo calculen el área.
c
a
a b
Primero utilicen la fórmula ya conocida para el área de un rectángulo, y después emplea
la suma de las áreas. Cuando lo hayan hecho, contesten lo siguiente:
Medida de los lados del rectángulo: ___________________________________________
Área del rectángulo de acuerdo con la fórmula acostumbrada: ______________________
¿Qué características tiene esta última expresión? ________________________________
Área del rectángulo como suma de áreas:______________________________________
¿Cuántos términos tiene esta última expresión?__________________________________
b) Expliquen cuál sería la regla que se utiliza para desarrollar estos binomios con
un término común.
________________________________________________________________________
________________________________________________________________________
Ejercicio no. 2
En grupos de tres integrantes, comentar y responder la siguiente actividad: Esta actividad se evaluará con la lista de cotejo que se encuentra
en la página 114.
Grupo
69
Esta actividad se evaluará con la lista de cotejo que se encuentra en la página 114.
a) Escribe cinco expresiones algebraicas similares y calcúlalas con
la relación que encontraste. Si todavía fuese necesario, construye
la figura correspondiente para que te ayude a visualizar.
b) Intercambia tus propuestas con las de algún compañero y luego
comparen sus resultados. Si hay diferencias, coméntenlas hasta
que lleguen a un resultado único.
Individual Ejercicio no. 3
70
a) )5)(3( xx _______________________________________________________
b) )10)(2( xx ______________________________________________________
c) )7)(5( aa ______________________________________________________________
d) )4)(1( aa _____________________________________________________
e) )4)(3( xyzxy ____________________________________________________
Esta actividad se evaluará con la lista de cotejo que se encuentra en la página 114.
Resultado ___________
Recomendaciones y observaciones _____________________________
___________________________________________________________
__________________________________________________
___________________________________________________________
___
Tarea no. 2
Desarrolla los siguientes binomios con un término común
71
2.1.3. Productos de dos binomios conjugados
a + 1
a) Si nos interesa conocer el área del rectángulo que tiene por lados (a + 1) y (a - 1),
¿cómo podemos calcularla, a partir de la figura mostrada?
________________________________________________________________________
b) Determina al área de la región sombreada de acuerdo con la fórmula acostumbrada:
________________________________________________________________________
1
a-1
a
a
1
b
Al término de la sesión el estudiante será capaz de efectuar
productos de binomios conjugados en la multiplicación de
expresiones algebraicas.
Aprendizajes a lograr
Ejercicio no. 4
En grupos de tres integrantes, comentar y responder la siguiente actividad. Se evaluará con la lista de cotejo que se encuentra en la página 114.
Grupo
72
c) ¿Qué características tiene la expresión (a + 1) (a - 1)?
________________________________________________________________________
d) Tomando como referencia el resultado de esta actividad, desarrollar (a + b) (a – b).
________________________________________________________________________
e) A este tipo de productos, en el álgebra se le conoce como productos de binomios
conjugados por las características descritas en el inciso c, de acuerdo a esto explica
cuál sería la regla que se utiliza para desarrollar estos productos.
________________________________________________________________________
________________________________________________________________________
Esta actividad se evaluará con la lista de cotejo que se encuentra en la página 114.
Individual
d) Escribe cinco expresiones algebraicas similares y calcúlalas con la relación que encontraste. Si todavía fuese necesario, construye el cuadrado correspondiente para que te ayude a visualizar.
e) Intercambia tus propuestas con las de algún compañero y
luego comparen sus resultados. Si hay diferencias,
coméntenlas hasta que lleguen a un resultado único.
Ejercicio no. 5
73
a) )5)(5( xx _______________________________________________________
b) )23)(23( xx _____________________________________________________
c) )7)(7( 22 zxyzxy __________________________________________________
d) )8)(8( zz ________________________________________________________
e) )95)(95( cc ______________________________________________________
f) )10)(10( yy ______________________________________________________
Esta actividad se evaluará con la lista de cotejo que se encuentra en la página 114.
Resultado ___________
Recomendaciones y observaciones ______________________________ ___________________________________________________________
___________________________________________________________
___
Tarea no. 3
Resuelve los siguientes binomios conjugados
74
2.1.4. Binomio al cubo
Hasta el momento has desarrollado competencias para la multiplicación de expresiones algebraicas, así como para la identificación y cálculo de productos de algunas expresiones que tienen características especiales, tal y como sucedió con los tres casos previos. Lo que vamos a plantearte ahora, te permitirá retomar varias de las reglas y
razonamientos previamente estudiados, con la intención de usarlos para el último de los
productos notables que serán tratados en este cuaderno de trabajo.
3223
322223
22222
23
33
22
)2()2())((
)(
babbaa
babbaabbaa
bababbabaababa
bababa
EJEMPLO
El desarrollo de 3)( ba es:
Al término de la sesión el estudiante será capaz de aplicar
la regla del binomio al cubo en la multiplicación de
expresiones algebraicas.
Aprendizajes a lograr
75
a) Calcula 3)( yx
__________________________________
_______________________________________________________
_________)(__________)__________(_________))((
)(
______)__)(______(_________)(
2
2
3
yxyxyx
yx
yx
b) ¿Cuántos términos aparecieron en el producto solicitado? _______________________
c) ¿Cuáles son esos términos? Escríbelos en renglones separados. _________________
d) ¿Qué relación tienen esos términos con x y con y?_____________________________
________________________________________________________________________
e) A partir de lo que escribiste en el inciso d), ¿enuncia la regla para el cálculo de un
binomio al cubo? _________________________________________________________
________________________________________________________________________
________________________________________________________________________
f) Expresa la regla anterior mediante el uso del lenguaje algebraico. Usa la tabla que
sigue:
3)( yx
g) ¿En qué se modifica tu regla si en lugar de tener 3)( yx tuvieses ?)( 3yx
________________________________________________________________________
Realiza la siguiente actividad integrado en equipos de tres personas. Esta actividad se evaluará con la lista de cotejo que se encuentra en
la página 114.
Grupo Ejercicio no. 6
76
Usa la regla que encontraste para el cálculo de los siguientes binomios al cubo:
____________________________________________________________)32(
_____________________________________________________________)1.0(
____________________________________________________________)7
3
5
2(
_____________________________________________________________)45(
______________________________________________________________)3(
_____________________________________________________________)22(
_______________________________________________________________)(
332
3
3
3
3
3
3
ba
zw
wt
yx
nm
yx
yx
Individual
De manera individual desarrolla los siguientes binomios al cubo
Esta actividad se evaluará con la lista de cotejo que se encuentra
en la página 114.
Ejercicio no.
7
77
a) 3)1( x _________________________________________________________
b) 3)32( yx _______________________________________________________
c) 3)25( x ________________________________________________________
d) 3)( yx ________________________________________________________
e) 333 )( yx _______________________________________________________
Esta actividad se evaluará con la lista de cotejo que se encuentra en la página 114.
Resultado ___________
Recomendaciones y observaciones ______________________________
___________________________________________________________
_
___________________________________________________________
___
Tarea no. 4
Resuelve los siguientes binomios al cubo
78
En esta actividad, vamos a calcular el volumen de algunos cuerpos geométricos y a
relacionar estos cálculos con el producto de expresiones algebraicas, tal y como lo
hicimos en las actividades anteriores.
a) Un terreno de forma rectangular tiene de largo 2x-3 y de ancho 2x-5. Determine su área
b) Un terreno cuadrado tiene de lado 2x+5. ¿Cuánto mide de área?
c) Si un terreno rectangular tiene de largo 3m + n y de ancho 3m- n. ¿Cuánto vale su
área?
d) Se tiene un recipiente cúbico cuyas dimensiones son m + 5 de lado. Determina la
expresión algebraica que determina su volumen.
Tema 2.2: Factorización
Esta actividad se evaluará con la lista de cotejo que se encuentra en la página 114.
Nombre __________________________________________________
Grupo _______________________ Turno _____________________
Fecha ___________________________________________________
Instrumento de evaluación _____________________ Página _______
Ejercicios para aplicar lo aprendido en casos de la vida
cotidiana.
79
2.2. FACTORIZACIÓN
2.2.1. Factorización por término común
En el álgebra factorizar una expresión algebraica es hallar dos o más factores cuyo producto es igual a la expresión propuesta.
La factorización puede considerarse como la operación inversa a la multiplicación, pues el propósito de ésta última es hallar el producto de dos o más factores; mientras que en la factorización, se buscan los factores de un producto dado.
Se llaman factores o divisores de una expresión algebraica, a los términos que multiplicados entre sí dan como producto la primera expresión. El procedimiento para la factorización de polinomios cuando sus términos tienen un factor común consiste en representar los términos del polinomio como producto de dos factores, uno de ellos es el factor común y el otro es aquella expresión cuyos términos son los que multiplicados por el factor común dan como resultado el polinomio a factorizar.
Factorizar el polinomio: xx 36 2
Primero hay que buscar el factor común entre los coeficientes 6 y 3 el cual es 3.
Después se busca el factor común entre x2 y x el cual es x.
El factor común es 3x
Enseguida éste factor común se multiplica por lo que resulta de dividir cada término del
polinomio entre el factor común:
12x3x
EJEMPLO
Al término de la sesión el estudiante será capaz de
identificará la factorización por un término común en la
resolución problemas.
Aprendizajes a lograr
80
Ejercicio no. 9 Individual
De manera individual, factorizar los siguientes polinomios:
1. xxx 333 23 = ___________________________________
2. aa 22 = _________________________________________
3. xyx = __________________________________________
4. 23 1612 aa = _____________________________________
Esta actividad se evaluará con la lista de cotejo que se
encuentra en la página 114.
En equipos de tres integrantes factorizar los siguientes polinomios:
Esta actividad se evaluará con la lista de cotejo de la página 114.
1.- bb 52 2 =__________________________________________
2.- ababba 9123 22 =__________________________________
3.- yzxzxy 826 =_____________________________________
4.- yx 22 =___________________________________________
Grupo Ejercicio no. 8
81
1.- 2xyxyxz = ___________________________________________________
2.- 32 155 mm = ____________________________________________________
3.- 284 2 xx = ____________________________________________________
4.- nmnmm 234 9156 = _____________________________________________
5.- 22 69 xyyx = ____________________________________________________
Esta actividad se evaluará con la lista de cotejo que se encuentra en la página 114.
Tarea no. 5
Factorizar los siguientes polinomios
Resultado ___________
Recomendaciones y observaciones ______________________________
___________________________________________________________
__
___________________________________________________________
___
82
2.2.2. Factorización de diferencia de cuadrados
Como recordarás, en la actividad de productos
notables y factorización estudiamos el producto de
binomios conjugados, ahí se prueba geométricamente
que 22 bababa , se obtuvo a partir de
observar la descomposición de un cuadrado y
relacionar el área de los cuadrados involucrados, esto
es:
b
a - b
a
a
b
EJEMPLO
Al término de la sesión el estudiante será capaz de identificar
y factorizar una diferencia de cuadrados en la resolución de
problemas.
Aprendizajes a lograr
83
Ahora retomaremos el problema inverso, es decir, si tienes la diferencia de cuadrados, ¿cuáles son los binomios conjugados a los que corresponde? En cada caso, justifica geométricamente.
1. ______________12 x
2. ______________92 x
3. ______________
4
12 x
4. ______________
9
42 x
5. ______________04.02 x
A partir de lo que hiciste, ¿Cuál sería el procedimiento a seguir para factorizar una diferencia de cuadrados? ___________________________________________________ ________________________________________________________________________
a. ______________492 x
b. ______________94 2 x
c. ______________16100 2 x
d. ______________
81
64
9
2
x
Ejercicio no. 10
Integrados en equipos de tres personas, realiza la actividad que se
te indica.
Esta actividad se evaluará con la lista de cotejo que se encuentra
en la página 114.
Grupo
Ejercicio no. 11 Individual
De manera individual factorizar las siguientes expresiones:
Esta actividad se evaluará con la lista de cotejo que se encuentra
en la página 114.
84
1.- 821 ba = _______________________________________________________
2.- 210 49ba = _____________________________________________________
3.- 282 cba = ______________________________________________________
4.- 2100 x = _______________________________________________________
5.- 44 ba = ________________________________________________________
2.2.3. Factorización de un trinomio cuadrado perfecto
A partir de lo estudiado en actividades anteriores, te percatarás de la igualdad entre las expresiones correspondientes al cálculo del área de la figura y su descomposición, donde se supone que:
Área del cuadrado: 2111 uuu
=
2362424 uuu 216u +
28u + 28u +
24u
EJEMPLO
Al término de la sesión el estudiante será capaz de identificar y
factorizar trinomios.
Aprendizajes a lograr
+ + +
Factorizar las siguientes diferencias de cuadrados.
La actividad se evaluará con la lista de cotejo de la
página 114.
Tarea no. 6
85
Si prescindimos del término que nos indica las unidades y utilizamos la notación exponencial, puede expresarse como:
48216242424622 esto es: 222
2)24(2424
Esta última expresión se identifica como el cuadrado de un binomio y al resultado como
un trinomio cuadrado perfecto.
=
x + 2
____________2222
xxx
Enseguida, se plantea el problema inverso, a partir de la descomposición y los datos
correspondientes, dibuja el cuadrado asociado a esa descomposición:
2_________________________________
x
3 3
Ejercicio no. 12
Considera la siguiente descomposición y establece la relación
algebraica que resulta de la descomposición que se hace enseguida.
Esta actividad se evaluará con la lista de cotejo que se encuentra en
la página 114.
Grupo
86
Para cada trinomio, completa:
Expresa por escrito el procedimiento que utilizaste para encontrar el cuadrado al que
corresponde cada trinomio cuadrado perfecto, estudiado en esta actividad.
________________________________________________________________________
________________________________________________________________________
Expresa simbólicamente el procedimiento antes descrito. __________________________
1. 22 _____________________4914 xx
2. 22 _____________________12122 xx
3. 22 _____________________22530 xx
4. 22 _____________________
4
93 xx
5. 22 _____________________
4
1 xx
1. 22 _____________________4914 xx
2. 22 _____________________10020 xx
3. 22 13 169 _______ ________ ____ ____x x
4. 22 _____________________
4
255 xx
5. 22 _____________________
4
1 xx
Ejercicio no. 13 Individual
Aplica el procedimiento anterior en los siguientes casos. Esta actividad se evaluará con la lista de cotejo que se
encuentra en la página 114.
87
1.- 962 xx = _____________________________________________________
2.- 9124 2 xx = ___________________________________________________
3.- 22 168 yxyx = _________________________________________________
4.- 25309 2 xx = __________________________________________________
2.2.3. Factorización de un trinomio de la forma cbxax 2
Integrando dos actividades
Al factorizar el trinomio 342 xx obtenemos:
342 xx 1442 xx Lo que tenemos en el primer miembro es exactamente
igual a lo que tenemos en el segundo miembro de la igualdad.
1)2(144 22 xxx Se factoriza el trinomio cuadrado perfecto y lo que
nos queda en el segundo miembro es una diferencia de cuadrados.
)12)(12(1)2( 2 xxx Se factoriza la diferencia de cuadrados.
)1)(3()12)(12( xxxx Se agrupan los términos semejantes en cada factor.
Por lo tanto
EJEMPLO
Factorizar los siguientes trinomios cuadrados perfectos
Esta actividad se evaluará con la lista de cotejo que se
encuentra en la página 114.
Tarea no. 7
88
a) Utiliza lo del ejemplo anterior para completar la factorización:
49656 22 xxxx
4___)(___496 22 xx
)_________)(________(4)______( 2
)______)(______()_________)(________(
¿Hay alguna relación entre los términos de la expresión original y los de su factorización?
_______ ¿Cuál?__________________________________________________________
________________________________________________________________________
b) Ahora, factoriza las expresiones siguientes:
1. 1582 xx _______________________________________________________
2. 782 xx ________________________________________________________
3. 2 10 22x x _______________________________________________________
Ejercicio no.14
En equipos de tres integrantes resolver la siguiente actividad. Esta actividad se evaluará con la lista de cotejo que se encuentra en la
página 114.
Grupo
89
a)
Completa la factorización de 1082 2 xx , utilizando el procedimiento estudiado en
la actividad anterior:
5421082 22 xxxx
9______2542 22 xxx
_________)________)((29______2 2 x
______2_________)________)((2 xx
Al igual que se planteó antes, ¿hay alguna relación entre los términos de la expresión
original y los de su factorización? _______ ¿Cuál? _______________________________
________________________________________________________________________ Factoriza los siguientes trinomios
1.- 88192 aa =_____________________________________________________
2.- 22 xx =________________________________________________________
3.- 40132 nn =_____________________________________________________
4.- 26 2 xx =_______________________________________________________
1462 2 xx
1252 2 xx
1572 2 aa
Ejercicio no. 15 Individual
De manera individual desarrolla las siguientes actividades.
Esta actividad se evaluará con la lista de cotejo que se encuentra
en la página 114.
Factorizar los siguientes trinomios.
Esta actividad se evaluará con la lista de cotejo
que se encuentra en la página 114.
Tarea no. 8
90
1.- La expresión 652 xx representa el área de un terreno rectangular, obtener el largo
y el ancho de dicho terreno.
2.- La expresión 122 mm representa el área de una parcela cuadrada, calcular la
medida de sus lados.
Esta actividad se evaluará con la lista de cotejo que se encuentra en la página 113.
Nombre __________________________________________________
Grupo _____________________ Turno _______________________
Fecha ___________________________________________________
Instrumento de evaluación ___________________ Página _________
Ejercicios para aplicar lo aprendido en casos de la vida
cotidiana.
91
2.3. ECUACIONES LINEALES
2.3.1. Igualdades
Esta actividad se evaluará con la lista de cotejo que se encuentra en la página 113.
Investigar de manera individual lo que se indica a continuación
sobre igualdades:
- Definición
- Propiedades
- Elementos que la forman
Tarea de investigación no. 1
Al término de la sesión el estudiante será capaz de Identificar y describir una igualdad algebraica.
Identificar los elementos de igualdades algebraicas.
Aprendizajes a lograr
Una de las características importantes de la matemática es que resulta de suma utilidad
para construir modelos de fenómenos de la naturaleza. Un mismo fenómeno puede ser
estudiado desde el punto de vista de la Química, la Física, la Sociología, la Ecología, etc.;
sin embargo, para todas ellas, la construcción del modelo matemático, o más
específicamente, algebraico, brinda la oportunidad de que sintetiza una relación que se ha
establecido entre dos o más cantidades.
Esa relación puede ser de muchos tipos; en esta sección estudiaremos modelos que nos
están mostrando una relación lineal presente, como ya decíamos, entre dos o más
variables. Tales modelos se abordarán a partir de una serie de situaciones problemáticas
que esperamos resulten atractivas e interesantes para ti.
92
Responde las siguientes cuestiones en base a lo que investigaste:
1. Es una expresión cuyo miembro izquierdo es exactamente igual al miembro derecho
______________________________________________________________________
2. Consiste en cambiar los términos de una ecuación de un miembro al otro cambiándole
de signo.________________________________________________________________
3. Son los valores de las incógnitas que verifican o satisfacen la ecuación.
______________________________________________________________________
4. Identifica el número de términos en la igualdad 5x – x = 3x – 35.
______________________________________________________________________
5. Escribe las propiedades de la igualdad.
________________________________________________________________________
________________________________________________________________________
________________________________________________________________________
Individual Ejercicio no. 16
De manera individual realiza la siguiente actividad:
Esta actividad se evaluará con la lista de cotejo que se encuentra
en la página 114.
93
2.3.2. Ecuaciones de primer grado
La herencia del minero
Una anécdota que se cuenta por los pueblos de Sonora, trata de la herencia que un viejo
minero, al sentirse ya muy enfermo, quiso repartir entre sus cuatro hijos, varones todo.
Dicen que los reunió a todos junto a su lecho de enfermo, y así les habló:
-“Hijos míos, ya pronto tendré que rendir mi tributo a la madre Tierra. No pasarán muchos
días para que abandone este mundo. Pero quiero marchar con la certeza de que los
asuntos terrenales han quedo arreglados a mi entera satisfacción, pues no quiero dejar
pendientes a mis familiares. Así es que, en vista de que su madre ya murió, y yo no tengo
más por quién preocuparme que no sea por ustedes, mañana les repartiré la única
herencia que les voy a dejar. En el cuarto de al lado, en la cómoda que era de su abuela,
tengo un costal de pepitas de oro que nunca vendí, guardándolas siempre con la idea de
entregárselas antes de mi muerte. Vengan por favor mañana, a esta misma hora, para
hacer la repartición justa y equitativa.”
Los hijos, atribulados, se despiden del padre, prometiendo que al otro día regresarían. Sin
embargo, el hijo mayor se retira del lugar pensado que no es justo que a todos se les
entregue lo mismo, él es el hijo mayor y le tocó acompañar a su padre muchos años,
mientras sus hermanos menores quedaban en casa. Así es que pasada la medianoche
regresa a la casa del padre, entra sigilosamente, cuenta las pepitas, y se lleva la cuarta
parte de ellas.
El segundo de los hijos razona de manera semejante, preguntándose por qué les debe de
tocar lo mismo, si él siempre se ocupó de ayudar a su madre a cuidar a los hermanos
menores mientras el mayor andaba con el padre en las minas. Así es que decide regresar
a la casa del papá, busca la bolsa de pepitas, las cuenta y se lleva la cuarta parte sin que
nadie se de cuenta de su acción.
Aprendizajes a lograr
Al término de la sesión el estudiante será capaz de utilizar las operaciones algebraicas para resolver problemas cotidianos que generen ecuaciones de primer grado.
EJEMPLO
94
No es de extrañar que el tercero de los hijos tampoco piense que sea justo recibir la
misma cantidad que los hermanos, puesto que a él le tocaba ir siempre por todos los
mandados y de cuando en cuando cuidar al hermano menor. Convencido de su
argumento, regresa a casa de su padre entrada la madrugada, encuentra la bolsa de
pepitas, las cuenta y se lleva a su casa la cuarta parte de las pepitas de oro que encontró.
Finalmente, el hermano menor, llega a la conclusión de que él, precisamente por el hecho
de ser el menor, debe de quedar mejor protegido que sus hermanos mayores, que ya
tienen sus entradas de dinero seguras. Vuelve entonces a casa de su padre, y sin que
nadie lo vea, toma la bolsa de pepitas, las cuenta, y se lleva la cuarta parte a su casa.
Al otro día, a la otra estipulada, llegan los cuatro hijos al cuarto del padre, quien
trabajosamente se dirige al cuarto vecino, trae la bolsa de pepitas, la abre, cuenta las
pepitas y hace cuatro montoncitos de 81 pepitas de reluciente oro, entregando la parte
correspondiente a cada uno de sus hijos, los cuales las reciben con lágrimas en los ojos.
a) ¿Cuántas pepitas había originalmente en la bolsa del viejo minero? 1024
b) ¿Cuántas pepitas les tocaron en realidad a cada uno de los hijos?
Primer hijo Segundo hijo Tercer hijo Cuarto hijo
337 273 225 189
c) Si tratamos de organizar nuestros razonamientos en la siguiente tabla:
Cantidad original de
pepitas
X
El primero hijo
Toma x4
1 pepitas
Restamos xx4
1 y nos queda:
Deja x4
3 pepitas
Segundo hijo
Toma
x
4
3
4
1 pepitas
Deja x16
9 pepitas
Tercer hijo
Toma
x
16
9
4
1 pepitas
Deja x64
27 pepitas
Cuarto hijo
Toma
x
64
27
4
1 pepitas
Deja x256
81 pepitas
El padre
Reparte esta cantidad de pepitas
Toma x256
81 pepitas
Entrega ___81_________ pepitas a cada uno de los hijos
95
Cantidad original de
pepitas
X
El primero hijo
Toma ______________ pepitas
Deja _______________ pepitas
Segundo hijo
Toma ______________ pepitas
Deja _______________ pepitas
Tercer hijo
Toma ______________ pepitas
Deja _______________ pepitas
Cuarto hijo
Toma ______________ pepitas
Deja _______________ pepitas
Quinto hijo
Toma ______________ pepitas
Deja _______________ pepitas
El padre
Reparte esta cantidad de pepitas
Toma ______________ pepitas
Entrega ______________ pepitas
a cada uno de los hijos
¿Qué puedes comentar respecto a lo que acabas de hacer?
________________________________________________________________________
________________________________________________________________________
Utilizando los razonamientos del ejemplo anterior para rehacer el
problema, suponiendo que el número de hijos es 5, y que cada
uno va actuando de la misma manera que lo hicieron los hijos del
caso anterior (ejemplo), tendríamos los datos que siguen:
Esta actividad se evaluará con la lista de cotejo que se encuentra
en la página 114.
Grupo Ejercicio no. 17
96
Actividad 1
Los aguadores
Aarón se dedica a la venta de agua a los habitantes de las granjas que no cuentan con
servicio de agua potable en la población de La Tinajera, cercana a Ciudad Obregón,
Sonora. Para ello utiliza un camión cisterna que todos los días llena antes de empezar su
recorrido.
El pasado jueves tuvo que salir del pueblo por un problema familiar, así es que le pidió a
su amigo Juan Carlos que se hiciera cargo del camión, encomienda que éste aceptó por
ayudar a su amigo, aunque no tiene la menor idea de cómo funciona el reparto. Aarón
solamente le dice que en el tablero del carro hay un indicador que le irá mostrando el nivel
de agua de su cisterna, dándole además la lista de clientes que debe visitar.
La primera entrega de Juan Carlos la realiza en la granja de Jorge, quien le pide le llene
las dos pilas que tiene en el patio, y que al otro día pagará su importe. Juan Carlos
acepta, cumple su cometido y continúa su recorrido, no sin antes echar un ojo al indicador
del tablero, que le muestra que se encuentra a ¾ de su capacidad.
a) ¿Con cuánta agua se quedó Jorge?
________________________________________________________________________
Continúa su recorrido, llegando ahora a la casa de Víctor, quien se queda con la mitad de
agua que traía la cisterna, prometiendo también pagar su adeudo al día siguiente.
b) ¿Con cuánta agua se quedó Víctor?
________________________________________________________________________
c) ¿Qué le marca el indicador a Aarón, después de salir de la granja de Víctor?
________________________________________________________________________
Individual
Ejercicio no. 18
Resuelve las siguientes actividades de manera individual.
Esta actividad se evaluará con la lista de cotejo que se
encuentra en la página 114.
97
d) Finalmente, termina la jornada llegando a la granja de Rosario, quien se queda con
toda el agua que quedaba en la cisterna, pagando a Juan Carlos $9000.00. Con esta
información, el joven hace algunas cuentas y exclama, “Ah, ya sé cuánto cuesta toda el
agua de la cisterna”. ¿Cómo razonó para saber este dato?
________________________________________________________________________
e) ¿Cuál es el adeudo de Víctor y cuál el de Juan Carlos?
________________________________________________________________________
f) De acuerdo con la información anterior, ¿Es posible saber cuál es el precio del litro de
agua?
________________________________________________________________________
a) Resolver la ecuación 5 + 4x = 3x + 7
Solución: Trasponemos el término x3 al primer miembro y se reducen los términos semejantes. 5 + 4x = 3x + 7 5 + 4x - 3x =3x – 3x + 7 5 + x = 7 A continuación trasponemos el término 5 al segundo miembro y se reducen términos semejantes. 5 +x -5 = 7 -5 x = 2 Comprobemos que x = 2 satisface la ecuación dada. 5 +4(2) = 3(2) +7 5 +8 = 6 +7 13 = 13, tal como queríamos comprobar
EJEMPLO
98
b) Resolver la ecuación 2(x+1) +3(x-2) = x +3 Solución: Se suprimen los paréntesis mediante una multiplicación y sumamos términos semejantes. 2x +2+3x-6= x +3 5x -4 –x = x –x +3 trasponemos la x y se reducen términos semejantes O sea, 4x -4 = 3 trasponemos el término -4 tendremos y se reducen los términos semejantes: 4x -4 +4 = 3 +4 O sea 4x = 7. Dividamos ambos miembros entre cuatro
4
7
4
4
x
Es decir x = 7/4 es la solución de la ecuación.
Comprobemos que 7/4, satisface la ecuación dada al sustituir en la ecuación
2(x+1) +3(x-2) = x +3
4
19
4
19
4
19
4
3
4
22
4
19
4
13
4
112
34
72
4
731
4
72
EJEMPLO
99
Cada una de las ecuaciones tenía exactamente una solución. Cuando se da una ecuación que puede escribirse como ax + b=c, existen tres posibilidades para la solución:
1) La ecuación tiene una sola solución. Se trata de una ecuación condicional.
2) La ecuación no tiene solución. Es una ecuación contradictoria.
3) La ecuación tiene un número infinito de soluciones. Es una identidad.
c) Resuelve la ecuación 8x +7 = 9x +3 Solución La ecuación ya está simplificada: 8x +7 = 9x +3 Se resta 7 de ambos lados. 8x + 7 – 7 = 9x + 3 – 7 8x = 9x – 4 Resta 9x de ambos lados. 8x – 9x = 9x – 9x – 4 -x = - 4 Multiplicar por -1 ambos miembros. (- 1)(- x) = (- 1)( - 4) entonces x = 4, y la solución es 4 Comprobación
3939
336732
3)4(97)4(8
3978
xx
EJEMPLO
100
1. Solución de una ecuación contradictoria.
d) Resuelva 3 +8(x+1) = 5 +8x Solución: Simplificar aplicando la propiedad distributiva y reduciendo términos semejantes. 3 + 8(x + 1) = 5 + 8x 3 + 8x + 8 = 5 + 8x 11 + 8x = 5 + 8x Restar 5 de ambos términos. 6 – 5 + 8x = 5 – 5 + 8x 6 + 8x = 8x Restar 8x de ambos lados 6 + 8x – 8x = 8x – 8x 6 = 0 La proposición 6=0 es una proposición falsa. Cuando esto ocurre, indica que la ecuación no tiene solución, es decir, es una ecuación contradictoria y escribimos “no hay solución”.
2. Solución de una ecuación con un número infinito de soluciones.
e) Resolver 7+2(x+1) = 9+2x Solución: Simplificamos usando la propiedad distributiva y reduciendo términos semejantes. 7+2(x+1) = 9+2x 7 + 2x + 2 = 9 + 2x 9 + 2x = 9 + 2x Nos podríamos detener aquí. Puesto que ambos lados son idénticos, la ecuación es una identidad. Todo número real es una solución. Pero ¿Qué pasa si continúanos? Veamos 9 + 2x = 9 + 2x Restar 9 de ambos lados 9 - 9 + 2x = 9 - 9 + 2x 2x = 2x Restar 2x de ambos lados. 2x – 2x = 2x – 2x 0 = 0 La proposición 0=0 es una proposición verdadera y cuando esto ocurre:
Indica que cualquier número real es una solución.
La ecuación tiene un número infinito de soluciones y escribimos “todos los números reales” para la solución.
EJEMPLO
101
a)
b)
c)
d)
e)
f )
g)
h)
i )
Reunidos en equipos de cuatro integrantes resolver las siguientes
ecuaciones de primer grado.
Esta actividad se evaluará con la lista de cotejo que se encuentra
en la página 114.
Grupo Ejercicio no. 19
102
a) 8x + 9 = 5 + 3(2x – 1) + x
b) 5 + t = – 15 – 3t.
c) 6x = 2x – 3
d) 4x + 1 = 2
e) 3x + 101 – 4x – 33 = 108 – 16x – 100
Ejercicio no. 20 Individual
Resolver las siguientes ecuaciones de primer grado.
Esta actividad se evaluará con la lista de cotejo que se encuentra
en la página 114.
103
De manera individual, determine el valor de la incógnita en cada ecuación:
a) 5p – 8 = 3(p – 2) + p.
b) x + ½ (4x – 7) = 2x + 4.
c) 6x = 2x – 3
d) 4x + 1 = 2
e) 8x – 4 + 3x = 7x + x + 14
f) 3x + 101 – 4x – 33 = 108 – 16x – 100
Esta actividad se evaluará con la lista de cotejo que se encuentra en la página 114.
Resultado ___________
Recomendaciones y observaciones ______________________________ ___________________________________________________________
Nombre _______________________________________________
Grupo _________________ Turno ________________________
Fecha ________________________________________________
Tarea no. 9
104
Resolver los siguientes problemas, contestando a lo que se indica.
1. Un número multiplicado por 5 sumado con el mismo número multiplicado por 6
da 55. ¿Cuál es el número?
2. ¿Qué número se debe restar de p + 2 para obtener 5?
3. El doble de un número aumentado en 12 es igual a su triple disminuido en 5.
¿Cuál es el número?
4. Tres números impares consecutivos suman 81. ¿Cuáles son los números?
5. El doble de un número más el triple de su sucesor, más el doble del sucesor de
éste es 147. Hallar el número.
6. La diferencia entre los cuadrados de dos números consecutivos es 103.
¿Cuáles son los números?
Esta actividad se evaluará con la lista de cotejo que se encuentra en la página 114.
Nombre __________________________________________________
Grupo _____________________ Turno _______________________
Fecha ___________________________________________________
Instrumento de evaluación __________________ Página __________
Ejercicios para aplicar lo aprendido en casos de la vida
cotidiana.
105
2.3.3. Despeje de fórmulas
En la formula ghv 2 despejando h obtenemos:
Primeramente elevamos al cuadrado ambos miembros de la igualdad para eliminar el
radical.
22 2ghv
ghv 22
Utilizando la transposición de términos, 2g pasaría dividiendo ya que están multiplicando a
h.
hg
v
2
2
Aprendizajes a lograr
Al término de la sesión el estudiante será capaz de utilizar las
operaciones algebraicas para despejar variables.
EJEMPLO
106
Expresión
Variables
a despejar Procedimiento
4P a a
2
bhA
b, h
180o ,,
34
3V r
r
3V a a
o 9F 32
5
OC
Co
2A r r
ppP 15.0 p
5( 32)
9
o oC F Fo
2 2 2c a b C, a , b
V abh a, b, h
P a b c d e a, b, e
Reunidos en equipos de tres integrantes realiza lo que se te indica
en la siguiente actividad.
Esta actividad se evaluará con la lista de cotejo que se encuentra
en la página “No”.
Ahora, lo que haremos será utilizar lo que ya aprendimos sobre
ecuaciones para despejar las variables que se piden en cada una
de las siguientes fórmulas. Esta actividad se evaluará con la lista de
cotejo que se encuentra en la página 114.
Grupo Ejercicio no. 21
107
Expresión Variables a despejar Procedimiento
hrV 2 R
A
FP
A
FdT D
AvQ V
Resolver el siguiente problema
1.- Se cuenta con un tinaco de forma esférica cuya capacidad es de 2 m3, determina su
radio, sabiendo que el volumen de la esfera está dado por: 3
3
4rV
Esta actividad se evaluará con la lista de cotejo que se encuentra en la página 113.
Nombre __________________________________________________
Grupo _____________________ Turno _______________________
Fecha ___________________________________________________
Instrumento de Evaluación __________________ Página __________
Ejercicios para aplicar lo aprendido en casos de la vida
cotidiana.
De manera individual, despeja la variable que se indica
en cada fórmula:
Esta actividad se evaluará con la lista de cotejo que se
encuentra en la página 114.
Tarea no. 11
108
Selecciona la respuesta correcta en cada caso
1.- Al factorizar la expresión aa 22 obtenemos:
a) 2aa
b) aaa 2
c) 2aa
d) 22 aa
e) 22 aa
2.- La factorización de xyyx 20254 22 equivale a:
a) 252 yx
b) 252 yx
c) 25yx
d) 25yx
e) 252 x
Nombre ________________________________________________
Grupo ________________________ Turno__________________
Fecha_________________________________________________
Autoevaluación
109
3.- 42 2516 yx factorizado equivale a:
a) yxyx 5454
b) yy 5454
c) 22 5454 yxyx
d) 5454 xx
e) 33 5454 yxyx
4.- Al factorizar el trinomio 1272 xx obtenemos:
a) 43 xx
b) 43 xx
c) 43 xx
d) 43 xx
e) 43 xx
5.- Al factorizar el trinomio 376 2 xx se obtiene:
a) 1332 xx
b) 1332 xx
c) 1332 xx
d) 1332 xx
e) 1313 xx
110
6.- Al resolver la ecuación 9 3 5 1x x obtenemos:
a) -1
b) 1
c) 2
d)-2
e) 0
7.- Determina el valor de x en la ecuación 6(2x – 5) + 2 = 20.
a) -2
b) -4
c) 2
d) 4
e) 1
8.- Mateo trabaja en el almacén de una tienda, cada mes se reciben 48 costales, estos
son de fríjol y de arroz, si sabemos que de arroz son el triple de costales en comparación
con los de fríjol ¿cuántos costales de fríjol se reciben?
a) 15 costales de fríjol
b) 12 costales de fríjol
c) 14 costales de fríjol
d) 16 costales de frijol
e) 24 costales de frijol
111
9.- En la cocina "La comida de Mamá" se preparan comidas corridas para llevar, uno de
sus clientes, en sábado les solicita una tercera parte más de comidas porque su familia lo
visita ese día, por lo que se le envían 12 órdenes ¿cuántas comidas pide entre semana?
a) 7 comidas
b) 5 comidas
c) 9 comidas
d) 8 comidas
e) 11 comidas
10.- El binomio (a+7)2 equivale a:
a) 49142 aa
b) 49142 aa
c) 1472 aa
d) 4972 aa
e) 4972 aa
11.- Al desarrollar el binomio 31x obtenemos:
a) 133 23 xxx
b) 133 23 xxx
c) 169 23 xxx
d) 133 23 xxx
e) 133 23 xxx
12.- 22 22 aa es igual a:
a) 42 a
b) 22 a
c) 24 a
d) 44 a
e) 42 a
112
13.- El desarrollo de 21 mm equivale a:
a) 22 mm
b) 22 mm
c) 22 mm
d) 32 mm
e) 32 mm
14.- Despejar h de la fórmula de presión hidrostática ghP :
a) hPh
b)g
Ph
c)P
gh
d)g
Ph
e)
Pgh
15.- Al despejar r de la fórmula de fuerza eléctrica 2
21
r
qKqF obtenemos:
a) F
qKqr 21
b) F
qKqr 21
c) 21qKq
Fr
d) KF
qqr 21
e) 21qq
KFr
113
INSTRUMENTOS DE EVALUACIÓN
Evaluación de productos (tareas aplicadas a la vida cotidiana)
No. Indicador Cumplió Ejecución Observaciones
Sí No Ponderación Calif.
1 Resolvió el total de los ejercicios
0.10
2 Resolvió correctamente los ejercicios
0.28
3 Entregó en tiempo y forma indicada los ejercicios.
0.10
4 Realizó correctamente las operaciones.
0.50
Calificación de esta evaluación 0.98
Tabla de ponderación
1 = sí cumplió 0 = no cumplió
Ejecución: multiplicación del cumplimiento por la ponderación
Evaluación de productos (investigaciones)
No. Indicador Cumplió Ejecución Observaciones
Sí No Ponderación Calif.
1 Entregó en tiempo y forma 0.1
2 La información fue clara y acorde al tema
0.1
3 Presentación del trabajo 0.1
Calificación de esta evaluación 0.3
Tabla de ponderación
1 = sí cumplió 0 = no cumplió
Ejecución: multiplicación del cumplimiento por la ponderación
114
INSTRUMENTOS DE EVALUACIÓN
Evaluación del desempeño (ejercicios)
En equipo
No. Indicador Cumplió Ejecución Observaciones
Sí No Ponderación Calif.
1 Se integró al equipo. 0.25
2 Mostró interés por el tema. 0.25
3 Mostró conocer los conceptos que utilizó
0.5
4 Mostró habilidad para responder a los ejercicios
0.5
5 Aplicó correctamente el procedimiento
0.5
Calificación de esta evaluación 2
Individual
No. Indicador Cumplió Ejecución Observaciones
Sí No Ponderación Calif.
1 Mostró interés por el tema. 0.20
2 Mostró conocer los conceptos que utilizó
0.20
3 Mostró habilidad para responder a los ejercicios
0.40
4 Aplicó correctamente el procedimiento
0.40
Calificación de esta evaluación 1.2
Tabla de ponderación
1 = sí cumplió 0 = No cumplió
Ejecución: multiplicación del cumplimiento por la ponderación
115
116
.
Unidad 3 Sistemas de
ecuaciones y
ecuaciones
cuadráticas
117
Al término de esta unidad el estudiante:
Representa en forma algebraica problemas de la vida cotidiana por medio de sistemas de ecuaciones y
ecuaciones de segundo grado.
Utiliza las operaciones algebraicas para resolver problemas cotidianos que generen sistemas de ecuaciones
y ecuaciones de segundo grado.
Temario
3.1. SISTEMAS DE ECUACIONES
3.1.1. Definición
3.1.2. Sistema de ecuaciones con 2 y 3 incógnitas de primer grado
3.1.3. Métodos de solución
3.2. ECUACIONES CUADRÁTICAS
3.2.1. Métodos de solución por factorización
3.2.2. Método por completar trinomio cuadrado perfecto
3.2.3. Fórmula general
3.2.4. Aplicación de los métodos en la solución de problemas
Competencias de la unidad
118
1. ¿Qué es una ecuación lineal? ________________________________________
2. ¿Qué significa resolver una ecuación? ________________________________
3. ¿Qué es un sistema de ecuaciones? _________________________________
__________________________________________________________________
4. Menciona algún método para resolver un sistema de ecuaciones lineales:
__________________________________________________________________
5. ¿Qué es una ecuación de cuadrática? ________________________________
__________________________________________________________________
6. Escribe la fórmula general: _________________________________________
Escribe la respuesta correcta en cada uno de los espacios en
blanco:
Evaluación diagnóstica
119
3.1. SISTEMAS DE ECUACIONES
3.1.1. Definición
Como una extensión para describir más ampliamente ciertos comportamientos, aparecen
la incorporación de más variables en el estudio una situación dada, a manera de ejemplo,
podemos mencionar los cobros del servicio telefónico, en donde el costo total mensual del
servicio depende del total de llamadas a teléfonos de casa, llamadas a teléfonos
celulares, largas distancias, etc. Si sólo consideramos las variables mencionadas,
tenemos una relación entre cuatro variables y este simple hecho amerita incluir nuevos
recursos para su estudio. A esto hay que agregarle la forma en que estas variables se
relacionan, así, no únicamente se trata de averiguar cuántas variables están involucradas
en una situación dada, interesa además la forma en cómo éstas se relacionan.
Es en esta unidad, precisamente, en la que nos adentraremos al análisis de situaciones
cuya modelación incluye la relación entre de dos o más variables, pero nos restringiremos
al caso de comportamientos lineales. Las actividades están orientadas al análisis de estas
relaciones lineales sujetas a determinadas condiciones. Por ejemplo, si se sabe el monto
total del recibo telefónico, es posible responder a la pregunta ¿cuántas llamadas de cada
tipo se hicieron?, pero no solamente eso, también responder preguntas tales como ¿se
puede determinar el número de llamadas de cada tipo, si se conoce los montos del
servicio telefónico de los últimos tres meses? Para dar respuesta a estas interrogantes y a
otras equivalente incursionaremos en la presente unidad al estudio de los Sistemas de
Ecuaciones Lineales.
Las actividades que aquí te proponemos, se presentan a partir de situaciones que
esperamos te sean familiares y cercanas a tus experiencias. Desde luego, la dinámica de
trabajo que te hemos propuesto a lo largo del Cuaderno de Trabajo no debe
abandonarse, es a partir de ella que se espera surjan las estrategias de resolución, que
se discuta alrededor de ellas y que se valoren como recursos valiosos para desarrollar
los procedimientos y métodos del álgebra.
Aprendizajes a lograr
Al término de la sesión el estudiante será capaz de identificar un
sistema de ecuaciones y la consistencia en relación a la
solución de cada uno de ellos.
120
Esta actividad se evaluará con la lista de cotejo que se encuentra en la página 181.
1.- Se le llama a la reunión de dos o más ecuaciones con dos o más incógnitas.
2.- Nombre que recibe el sistema de ecuaciones que tiene una solución
3.- Nombre que recibe un sistema de ecuaciones que no tiene solución
Investigar de manera individual lo que se indica a continuación:
- Definición de sistemas de ecuaciones lineales.
- Clasificación de sistemas de ecuaciones.
Tarea de investigación no. 1
Grupo Ejercicio no. 1
Reunidos en equipo de tres respondan los siguientes ejercicios. Esta actividad se evaluará con la lista de cotejo que se encuentra en la página 181.
121
3.1.2. Sistemas de ecuaciones con dos y tres incógnitas de primer grado
En un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas de la forma: 𝑎𝑥 + 𝑏𝑦 = 𝑐𝑑𝑥 + 𝑒𝑦 = 𝑞
Resolver el sistema implica encontrar los valores de “x” e “y” tales que hagan verdadera
las ecuaciones.
En un sistema se presentan siempre uno de los tres casos siguientes:
a) Que exista una solución. Cuando el sistema 𝑎𝑒 − 𝑏𝑑 ≠ 0
b) Que no exista solución. Cuando en el sistema 𝑎𝑒 − 𝑏𝑑 = 0, pero c y d no son
múltiplos.
c) Tiene una infinidad de soluciones. Cuando en el sistema a, b y c son múltiplos a
d, e y g respectivamente.
a) Si consideramos el sistema:
Se tiene que (2)(-1) - (3)(3) ≠ 0, entonces el sistema tiene una única
solución.
2x + 3y = 1
3x – y = - 1
EJEMPLO
Al término de la sesión el estudiante será capaz definir los
sistemas consistentes e inconsistentes.
Interpretar las raíces o soluciones de un sistema de
ecuaciones simultáneas.
Aprendizajes a lograr
122
Para resolver un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas, implica encontrar los
valores que hacen verdadera las ecuaciones, gráficamente representan las coordenadas
del punto de intersección de las gráficas de las ecuaciones, es decir el punto de
intersección de las rectas generadas.
En un sistema de tres ecuaciones con tres incógnitas, de la forma:
ax + by + cz = d
ex + fy + gz = h
ix + jy + kz = m
La solución corresponde a los valores de x, y y z que hacen verdadera las tres
ecuaciones, que corresponderían a las coordenadas de un punto en el espacio, es decir la
intersección de tres planos (tercera dimensión).
b) Si consideramos el sistema:
Se tiene que el (2)(12) – (4)(6) = 0 (son múltiplos del 3) pero el 1 y el 5 no
lo son, entonces el sistema no tiene solución.
2x + 4y = 1
6x+12y=5
6x + 12y = 5
EJEMPLO
c) Si consideramos el sistema:
Se tiene que la primera ecuación es el triple de la segunda, entonces el
1,3 y 4 son múltiplos del 2, 6 y 12 respectivamente, entonces el sistema
no tiene solución.
x + 3y = 4
2x+6y =2
2
2x + 6y = 12
EJEMPLO
123
a) 3x + 2y = 1
5x – y = 2
b) -2x + y = 0
2x – y = 1
c) 4x + 2y = 12
2x + y = 6
d) x – 2y = 3
4x + 3y = 6
Individual
Indicar si los siguientes sistemas de ecuaciones tienen una, ninguna o una infinidad de soluciones. Esta actividad se evaluará con la lista de cotejo que se encuentra en la página 181.
Ejercicio no. 2
124
3.1.3. Métodos de solución
Reducción o suma y resta.
En el método de reducción, en un sistema de la forma: 𝑎𝑥 + 𝑏𝑦 = 𝑐𝑑𝑥 + 𝑒𝑦 = 𝑓
Primero se trata de que de los coeficientes a y d, o bien b y e sean iguales y de
diferentes signos; de lo contrario se busca un número que al multiplicarlo por alguna
ecuación se obtengan coeficientes numéricos iguales pero de diferente signo.
Después se suman las ecuaciones reduciendo términos semejantes, para que al resolver
la ecuación se encuentre uno de los valores, el de x o el de y.
Por último este valor se utiliza sustituyéndolo en una de las ecuaciones del sistema para
poder encontrar el otro valor utilizando el método de despejes.
Resolver el sistema por reducción:
2𝑥 + 4𝑦 = 63𝑥 − 4𝑦 = −1
Solución: Se observa que tiene coeficientes
numéricos iguales con diferente signo; 4𝑦, −4𝑦, por lo
que se procede a sumar las expresiones:
2𝑥 + 4𝑦 = 63𝑥 − 4𝑦 = −1
Sumar y despejar x 5𝑥 + 0 = 6𝑥 = 1
Sustituir en una ecuación y despejar 𝑦
Usando 2𝑥 + 4𝑦 = 6; tenemos 2 1 + 4𝑦 = 6 despejando
𝑦 =6 − 2
4= 1
Solución 𝑥 = 1, 𝑦 = 1
EJEMPLO
Al término de la sesión el estudiante será capaz de aplicar la
regla del método de sustitución en la resolución de un
sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas.
Aprendizajes a lograr
125
Resolver utilizando el método de sustitución para resolver el siguiente sistema: 4x + 2y = -8 2x – 6y = 12 Solución: 4x + 2y = -8 ecuación (1) 2x – 6y = 12 ecuación (2) Despejar “y” de la primera ecuación. 4x + 2y = -8 transponer 4x al segundo miembro 4x – 4x + 2y = -8 – 4x sumar términos semejantes 2y = -8 – 4x dividir ambos miembros entre 2 Y = -4 – 2x Sustituir Y = -4 – 2x en la ecuación (2) 2x – 6y = 12 2x – 6(-4 – 2x) = 12 resolver la multiplicación 2x + 24 + 12x = 12 transponer el término -24 al segundo miembro 2x + 24 - 24 + 12x = 12 - 24 sumar términos semejantes 14x = -12 dividir entre 14 a ambos miembros X= -12/14 X = -6/7 Sustituir x =-6/7 en la ecuación (2) 2x – 6y = 12 2(-6/7) – 6y = 12 resolver el producto -12/7 - 6y = 12 transponer la fracción al segundo miembro -12/7 + 12/7 – 6y = 12 + 12/7 sumar términos semejantes -6y = 96/7 dividir entre -6 a ambos miembros para obtener “y” Y = 16/7 La solución del sistema es x = -6/7 y y = 16/7
EJEMPLO
Método de sustitución:
Utilizado en un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas como el siguiente:
ax + by = c
dx + ey = f
Consiste primeramente en despejar una de las variables “x” o “y” de una de las
ecuaciones para después sustituirla en la otra, y así poder resolver por el método de
despejes encontrando uno de los valores utilizándolo para encontrar el otro utilizando la
otra ecuación.
126
Sustituyendo en cualquiera de la dos ecuaciones, de preferencia en el despeje de
“y” , es decir y = - 4 - 2x.
Tendremos: y =
La solución del sistema está formada por la pareja de valores x= , y =
Método de determinantes:
Un determinante se representa por:
el cual se resuelve como ∆ = ad – bc
Para un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas:
ax + by = c
dx + ey = f
Los valores de “x” y de “y” se obtendrían de la siguiente manera:
ed
ba
ef
bc
x
ed
ba
fd
ca
y
a b
c d
127
Sistemas de ecuaciones 3x3
Resolvamos el sistema de ecuaciones siguiente por reducción:
3x – y = -1 ecuación (1) x + 2z = 1 ecuación (2)
y – 3z = -7 ecuación (3)
EJEMPLO
Resolver el sistema:
414
56
620
54110
52
34
518
322
ed
ba
ef
bc
x
214
28
14
4472
14
182
224
ed
ba
fd
ca
y
La solución del sistema es x = 4 y y = 2, es decir el punto de intersección de las rectas generadas por las ecuaciones en el plano x e y está dada por (4, 2)
EJEMPLO
128
Consideremos las ecuaciones (1) y (2) y eliminemos la “x” multiplicando por -3 a la
segunda ecuación.
3x – y = -1
x + 2z = 1 (-3)
3x – y = -1
-3x – 6z = -3 Sumar las ecuaciones para reducir términos semejantes.
-y – 6z = -4 Siendo esta nuestra ecuación (4).
Ahora tomando la ecuación (4) y la que aún no hemos ocupado, es decir la ecuación (3).
2y – 3z = -7 ecuación (3)
-y – 6z = -4 ecuación (4) Eliminemos la “y” multiplicando por 2 a la cuarta ecuación.
2y – 3z = -7
-y – 6z = -4 (2)
2y – 3z = -7
-2y – 12z = -8 Sumar y para reducir términos semejantes.
-15z = -15 Dividir entre -15 en ambos miembros de la igualdad.
z = 1
129
Sustituyendo z =1 en la ecuación (3) obtenemos el valor de y:
2y – 3z = - 7
2y – 3(1) = - 7
2y – 3 = - 7
2y – 3 + 3 = - 7 + 3
2y = - 4 y = - 2
Sustituyendo z = 1 en la ecuación (2) obtenemos el valor de x:
x + 2z = 1
x + 2(1) = 1
x + 2 = 1
x + 2 – 2 = 1 – 2
x = -1
Entonces la solución del sistema es x = -1, y = - 2 y z = 1.
130
Resolver los siguientes sistemas de ecuaciones lineales por
los métodos de:
Sustitución, reducción y determinantes
a ) 3.x - 2.y = -16
5.x + 4.y = 10
b ) 4.x - y = 12 2.x + 3.y = -5
Grupo Ejercicio no. 3
Reunidos en equipo de tres integrantes resolver las siguientes ecuaciones de primer grado. Esta actividad se evaluará con la lista de cotejo que
se encuentra en la página 181.
131
a ) x + y = 5
-x + y = -2
b ) 2.x - 3.y = 0
4.x + y = 14
c ) 4.x - 8.y = 44
2.x + 4.y = 22
d ) 3.x - 4.y = 1
2.x - 3.y = 0
Individual Ejercicio no. 4
Resolver los siguientes sistemas de ecuaciones, por los métodos de reducción, sustitución y determinantes. Esta actividad se evaluará con la lista de cotejo que se encuentra en la página 181.
132
Resolver los sistemas de ecuaciones por el método que más se adecue.
x - y = 4
2x - y = 0
b)
x - 2.y -1 = 0
y - 2.x + 2 = 0
x +
2y – 5z = 4
3x – 2y + z = 4
2x – y = 3
x – y = 2
2x - z = 1
2y + 2z = 6
a) 3x + y = 5
x - 2z = 6
+ 2y – z = 0
Individual Ejercicio no. 5
Resolver el siguiente sistema de ecuaciones, por el método de reducción. Esta actividad se evaluará con la lista de cotejo que se encuentra en la página 181.
Esta actividad se evaluará con la lista de cotejo que se encuentra en la página 181.
Tarea no. 1
5“No”
133
Resolver los siguientes problemas
1) Calcula dos números cuya suma sea 8 y su diferencia sea 12.
2) La suma de dos números es 65 y su diferencia 23. Halla los números.
3) La diferencia de dos números es 1/6. El triple del mayor menos el doble del menor
es 1. Halla dichos números.
Esta actividad se evaluará con la lista de cotejo que se encuentra en la página 180.
Nombre ________________________________________________
Grupo ________________________ Turno __________________
Fecha _________________________________________________
Instrumento de evaluación __________________ Página _______
Ejercicios para aplicar lo aprendido en casos de la vida
cotidiana.
134
3.2. ECUACIONES CUADRÁTICAS
Continuamos en esta unidad con el estudio de ecuaciones, pero ahora nos
concentraremos en el estudio de las ecuaciones de segundo grado y en una introducción
al estudio de las inecuaciones.
Las actividades que integran esta unidad, desde luego, buscan favorecer el desarrollo de
las habilidades del pensamiento algebraico al que hemos hecho alusión a lo largo de este
cuaderno de trabajo, en esta ocasión al intentar que vivas de nuevo otras experiencias
para propiciar el surgimiento de herramientas apropiadas para la resolución de las
mismas.
En estas actividades te darás cuenta de los variados contextos, desde luego, incluyendo
el matemático, en los que una relación cuadrática surge, estudiar los ingresos recabados
por la venta de un determinado producto, analizar el comportamiento de las utilidades,
calcular las dimensiones de una caja con ciertas características, analizar la producción de
un cultivo, etc., son situaciones concretas de modelos ampliamente utilizados en las áreas
de Economía, de Ingenierías o en Física, particularmente, en el estudio del movimiento
rectilíneo uniformemente acelerado., por mencionar algunas.
Esperamos, nuevamente, que las actividades te resulten atractivas e interesantes.
Aprendizajes a lograr
Al término de la sesión el estudiante será capaz resolver una ecuación cuadrática
135
a) El diseño de un texto
b) Utiliza la información anterior para completar la siguiente tabla:
Ancho del
margen 0.5 cm 1.0 cm 1.5 cm 2.0 cm 2.5 cm 3.0 cm
Largo
Ancho
Área de la
región
impresa
Grupo Ejercicio no. 6
Reunidos en equipos de cuatro integrantes resolver los siguientes
problemas.
Esta actividad se evaluará con la lista de cotejo que se encuentra en la página 181.
Para el diseño de un libro de
texto, se requieren hojas de
tamaño 25 cm por 18 cm. El área
impresa debe tener un margen
igual de ancho en los cuatro
lados.
a) Considerando que ""a
representa el ancho del margen
en cada lado, ¿Cuál sería una
expresión algebraica para el
largo de la región impresa? ¿Y
para el ancho de la región
impresa?
136
c) Si el ancho del margen es de 1cm, ¿cuáles son las medidas del área impresa?
d) Si se requiere que el área de la región impresa sea de 2294cm , ¿cuál debe ser el
ancho del margen?
e) Si se requiere que el área de la región impresa sea de 2424cm , ¿cuál sería la medida
de sus longitudes?
f) Y para un área de la región impresa de 2370cm , ¿cuál sería la medida de sus
longitudes?
1) La construcción de una bodega
Individual
Resolver los siguientes problemas contestando de manera
correcta a cada indicación descrita, los cuales deberán ser
revisados de manera grupal.
Esta actividad se evaluará con la lista de cotejo que se encuentra en la página 181.
Ejercicio no. 7
Don Rodrigo va a construir una
bodega en un solar de una casa
derrumbada, donde queda en pie
una pared que se desea
aprovechar en esta nueva
construcción. El costo de mano
de obra es de $1,750.00 por cada
metro lineal de construcción. Con
base en esta información,
responda a lo siguiente:
137
a) ¿Cuál sería el costo total por la construcción de una bodega de 5 metros de largo por
4 metros de ancho?
________________________________________________________________________
________________________________________________________________________
b) Si se quiere invertir un total de $70,000.00 en mano de obra, ¿qué dimensiones puede
tener la bodega?
Largo
Ancho
c) Para cada una de las posibles dimensiones del inciso anterior, calcula el área de la
bodega
Largo
Ancho
Área de la bodega
d) ¿Con el presupuesto anterior, se puede construir una bodega de 75 metros cuadrados
de área?
________________________________________________________________________
________________________________________________________________________
e) ¿Cuáles serían las dimensiones de esa bodega que cubra una superficie de 100
metros cuadrados?
________________________________________________________________________
________________________________________________________________________
138
2) La cosecha de manzanas
Los administradores del huerto “San
Arnulfo”, empresa productora de
manzana en Yécora, Sonora, están
revisando los registros de la producción,
con la finalidad de estimar las ventas
para los próximos años. Debido a un
problema en su computadora, solo
disponen de la información gráfica que
se muestra a lo largo de esta actividad y
a partir de la misma, preparan el informe
que entregarán a “San Arnulfo”. En cada
caso, justifica su análisis argumentando
la validez de sus planteamientos y
ayúdales a complementar su informe.
139
a) Como puede observarse, de la gráfica 1, la producción de manzanas por árbol (en
kgs.) está relacionada con la cantidad de árboles plantados por unidad de superficie1
(densidad), esta relación puede expresarse mediante la ecuación lineal
03005 yx , donde x es la densidad e y los kilogramos producidos por árbol. Su
lectura nos indica que, por ejemplo, si la densidad es de 20 árboles por unidad de
superficie, se cosechan un total de 200 kilogramos de manzana por árbol. De lo
anterior, puede entonces concluirse que la densidad más conveniente en términos de
producción total (cosecha) es plantar 30 árboles por unidad de superficie. A
continuación, argumenta numérica y gráficamente la validez de esta última afirmación.
Argumentos numéricos:
Densidad
Producción por árbol
Cosecha (Producción total)
Argumentos gráficos:
1 La unidad de superficie a la que se refiere en la presente actividad es una fracción de hectárea.
140
b) Para analizar el ingreso total por la producción, se dispone de la siguiente gráfica:
De la que se puede extraer la siguiente información numérica:
Densidad
(Número
de árboles
por unidad
de
superficie)
30 34
Valor de
la
producción
por árbol
180 174 159
141
Y que expresan verbalmente: “Cuando la densidad del huerto es de 30 árboles, la
producción puede venderse en $180 por árbol. Por cada árbol en que se incrementa la
densidad, el valor de la producción por árbol disminuye en $3”
c) El valor de la producción total puede calcularse multiplicando la densidad por el valor
de la producción por árbol; con base en esto, construye una gráfica para argumentar
acerca del número de árboles que deberán plantarse por unidad de superficie para
obtener el valor máximo de la cosecha.
d) Finalmente, complementa el informe incluyendo una ecuación cuya solución sea el
número de árboles que necesitan plantarse para obtener el valor máximo de la
cosecha.
142
3) Problemas y soluciones en la antigüedad
"Tómese la mitad de 1, que es el coeficiente de x, y cuádrese. Entonces, súmese 1/4 a
870, para obtener 4
481,3. Ahora, tómese la raíz cuadrada de
4
481,3 para obtener
2
59.
Al número obtenido, súmese la mitad de 1 que es el coeficiente de x. El resultado obtenido, 30, es una solución de la ecuación".
a) Usando la notación moderna, escribe la ecuación y el método que describe el
pergamino.
b) Plantea y resuelve al menos tres ecuaciones similares y utiliza el método para
resolverlas.
c) ¿Cómo usarías el método para resolver la ecuación cxx 2 ?
Desde tiempos antiguos se utilizan
las ecuaciones como herramienta
para dar respuesta a situaciones
concretas. En los escritos de los
antiguos babilonios y egipcios, se
han descifrado tales problemas y la
forma en como ellos los resolvían.
Algunas de las antiguas tablillas
contienen problemas de tipo
algebraico y geométrico, pero las
soluciones no utilizan nociones de
geometría. Un antiguo pergamino de
los babilonios contiene la solución de
la ecuación 8702 xx .
143
El problema analizado anteriormente, muestra el carácter retórico del álgebra antigua, es
decir no empleaba la notación simbólica a la que ahora estamos acostumbrados. El
siguiente era un problema típico: “Un cuadrado y 10 raíces son iguales a 39 unidades”,
por cuadrado se refiere al área de un cuadrado y raíz significa el lado del cuadrado. El
problema puede también enunciarse como: ¿Cuál es el cuadrado que combinado con diez
de sus raíces dará una suma total de 39? La manera de resolverlo era tomar la mitad de
las raíces ya mencionadas, por lo tanto, 5, que multiplicado consigo mismo da 25, una
cantidad que se agrega a 39, lo cual da 64. Se toma entonces la raíz cuadrada de 64, que
da 8, luego se resta de esto la mitad de de las raíces, 5, lo que deja 3. El número 3 es así
la raíz del cuadrado y 9 el área de ese cuadrado, como podrás ver si regresamos a la
cuestión inicial, el cuadrado, 9, y 10 de sus raíces 10(3) son iguales a 39 unidades.
d) Usa la notación moderna para escribir la ecuación y el método de resolución descrito.
e) Plantea y resuelve al menos tres ecuaciones similares y utiliza el método para
resolverlas
f) ¿Cómo usarías el método para resolver la ecuación cbxx 2 ?
144
4) Relaciones numéricas
Parte I
a) La tabla siguiente contiene algunas parejas de números, su suma y su producto,
complétala agregando parejas de números enteros y su suma y producto:
x Y yx yx
6 3 9 18
4 -2 2 -8
-8 -11 -19 88
Como puedes advertir, cada pareja de valores satisface, simultáneamente, un par de
ecuaciones, por ejemplo, en el primer caso, éstas pueden expresarse de la siguiente
forma:
18
9
yx
yx
b) Para cada una de las parejas restantes escribe un par de ecuaciones de la cual, cada
pareja sea solución.
c) Ahora, considera el caso general, es decir resuelve el siguiente problema:
“Dados dos números tales que cumplen que: syx y pyx , hallar el valor de
yex ”.
d) Utilizando el inciso c, resuelve cada uno de los sistemas de ecuaciones que planteaste en el inciso a).
145
5) Relaciones numéricas
Parte II
a) La tabla siguiente contiene algunas parejas de números, su diferencia y su producto,
complétala agregando parejas de números enteros y su suma y producto:
X Y yx yx
6 3 3 18
4 -2 6 -8
-8 -12 4 96
Como puedes advertir, cada pareja de valores satisface, simultáneamente, un par de
ecuaciones, por ejemplo, en el primer caso, éstas pueden expresarse de la siguiente
forma:
18
3
yx
yx
b) Para cada una de las parejas restantes escribe un par de ecuaciones de la cual, cada
pareja sea solución.
c) Ahora, considera el caso general, es decir resuelve el siguiente problema:
“Dados dos números tales que cumplen que: dyx y pyx , hallar el valor de
yex ”
d) Utilizando el inciso c, resuelve cada uno de los sistemas de ecuaciones que planteaste en el inciso a.
146
6) Una tarea de sexto año
Antes de reunirse con su equipo, Fernando revisa la convocatoria del torneo, cuyas bases
explican que se aceptarán todos los equipos que se inscriban y que el sistema de
competencia será el de “todos contra todos”, es decir, cada equipo jugará contra todos los
demás una única vez.
Cuando se reúnen para discutir cómo elaborar dicho rol, esos puntos de la convocatoria
son lo primero que les expone. Después de un rato, Raúl comenta: “Miren, ya que no
sabemos cuántos equipos se van a inscribir, podemos elaborar una tabla suponiendo que
sólo participan cuatro equipos, eso es fácil, es como hacer el rol de la Serie del Caribe,
sólo que en nuestro torneo se jugará un partido y no dos”. “Tienes razón”, dice Homar,
“pero….pues entonces hagamos la tabla con más equipos, cinco por ejemplo y veamos
que tantos juegos más necesitamos”.
Mercedes, profesora de la
escuela primaria “Profesor
Emiliano Zapata”, está a cargo
de coordinar la organización de
los Domingos Deportivos, que
este año consistirá en un torneo
de beisbol inter-escuelas
primarias. Ella siempre busca
que todos sus alumnos se
involucren en las actividades
escolares y les distribuye tareas
por equipo.
El equipo de Fernando,
integrado además de él por
Raúl, Osvaldo y Nomar, son los
encargados de hacer el rol de
juegos y buscar los campos de
beisbol necesarios para
realizarlos.
147
A continuación se reproduce la tabla:
Equipo
A
Equipo
B
Equipo
C
Equipo
D
Equipo
E
B – A C – A D – A E – A Equipo
A
A – B D – B E – B
Equipo
B
A – C B – C D – C E – C
Equipo
C
A – D B – D C – D E – D
Equipo
D
A – E B – E C – E D – E
Equipo
E
Una vez que han elaborado la tabla, dice Osvaldo: “Ahh, vean….si participan cinco
equipos serán diez juegos, porque es una tabla simétrica”. “Si”, responde Fernando, “pero
cinco equipos son muy poquitos, de seguro habrá muchos más, qué les parece si mejor le
pedimos a Eduardo y Aarón que nos ayuden con este problema, ellos están en la prepa,
de seguro nos pueden ayudar, porque acuérdense que también necesitamos saber
cuántos campos vamos a necesitar, si se pueden jugar dos partidos por día en cada
campo”. “¡Perfecto!”, exclaman todos a la vez, “Vamos con ellos”.
Cuando les plantean el problema, Aarón responde: “Cuando estaba en sexto, nos tocó
organizar el rol de maestros de ceremonias de los Lunes Cívicos, ahí participábamos por
parejas. Hicimos lo mismo que ustedes, pero ahora que ya sabemos un poco de álgebra,
hemos deducido una fórmula para resolver este problema. Les voy a platicar como le
hicimos y luego plantearé algunos casos, más o menos como las preguntas que nos hizo
la profe Meche, aquí está una tabla como la que construimos…
148
No. de
equipos
Cálculo del número
total de parejas
Total de
partidos
3 3(2)/2 3
4 4(3)/2 6
5 5(4)/2 10
Pero en el salón éramos 32 pues”… “les salieron muchas parejas, ¿verdad?”, se adelanta
Nomar. “Si”, dice Eduardo, “pero ahora ya sabemos cómo responder a las preguntas que
nos hacía la profe Meche, más rápido, aquí les digo algunas, vayan al CECYTES que está
aquí cerquita y pídanle a los de primer semestre que se las resuelvan, para que hagan
bien el rol de juegos”.
a) ¿Cómo se puede expresar este problema en su forma general? Es decir, si hay “n”
equipos participantes en el torneo, ¿cuántos juegos se pueden llevar a cabo bajo el
sistema de competencia descrito antes?
b) ¿Cuántos equipos se necesitan para que se pueden llevar a cabo 28 juegos?
c) ¿Y para realizar 91 juegos durante todo el torneo, cuántos equipos se requiere que se
inscriban?
d) Si el rol regular será durante el calendario de Domingos Deportivos, que son los
primeros veinte domingos del ciclo escolar, ¿Cuántos equipos se necesitan inscribir
para que haya en total de 253 partidos?
e) Explica por qué no es posible, bajo el sistema de competencia aquí planteado, realizar
100 juegos.
149
Resolver los siguientes problemas de aplicación utilizando los conocimientos
adquiridos sobre ecuaciones de segundo grado.
1) A resolver crucigramas
Nombre ________________________________________________
Grupo ________________________ Turno __________________
Fecha _________________________________________________
Instrumento de evaluación __Lista de cotejo_____ Página __180__
Ejercicios para aplicar lo aprendido en casos de la vida
cotidiana.
150
Verticales
1. Es el menor de dos números
cuya suma es 20 y su producto
99.
2. Número cuya diferencia entre
su cuadrado y su quíntuplo es
104.
3. La base de un rectángulo es
dos metros mayor que la altura.
Si a la base se le aumenta un
metro y a la altura dos metros,
resulta otro rectángulo de área
24 metros cuadrados más que el
área del primero. El
semiperímetro del rectángulo es:
4. Perímetro de un triángulo
rectángulo isósceles cuya área
es doce metros cuadrados.
6. Si al triple de un número se le
suma su cuadrado se obtiene 88.
Horizontales
3. Dos números que sumados dan diez y
cuya suma de sus cuadrados es cincuenta.
4. Número positivo cuyo cuadrado
disminuido en el doble del número resulta 10
unidades más del séptuplo del número.
5. Es la suma de dos números enteros
positivos cuya diferencia de cubos es 488.
7. Valor absoluto de la suma de dos
números consecutivos cuyo producto es 56.
8. Hallar la edad de una persona, sabiendo
que si al cuadrado se le resta el triple de la
edad resulta nueve veces ésta.
9. Medida de uno de los lados de un
rectángulo de 24 metros de perímetro y 35
metros cuadrados de área.
151
2) Más sobre ecuaciones en la antigüedad
En el al-jabr2 de al-Jwarizmi se presenta un estudio exhaustivo y sistemático de los seis
diferentes tipos de ecuaciones lineales y cuadráticas, clasificadas y ejemplificadas de la
siguiente forma:
1) Cuadrados iguales a raíces3, ejemplo: xx 43
1 2
2) Cuadrados iguales a números, 805 2 x
3) Raíces iguales a números, 204 x
4) Cuadrados y raíces iguales a números, 39102 xx
5) Cuadrados y números iguales a raíces, xx 10212
6) Raíces y números iguales a cuadrados, 4432 xx
Todas estas ecuaciones se consideraban distintas pues en ese tiempo no se introducían
los números negativos, razón por la cual se necesitaba separar los casos.
a) Plantea otros ejemplos distintos al presentado en cada uno de los casos anteriores
b) Resuelve cada uno de los casos iniciales y los que planteaste. Verifica tu respuesta
2 Obra matemática que data de alrededor del año 825 atribuida al árabe Muhammed ibn Musa, Al-Khwarizmi
(Al-Jwarizmi).
3 Por cuadrado se refiere al área de un cuadrado y una raíz significa el lado el cuadrado.
152
3) Construyendo una plataforma para los salvavidas
En el periodo vacacional de Semana
Santa, las playas sonorenses se
llenan de vacacionistas nacionales y
extranjeros. En Bahía Kino, por
ejemplo, es muy conocida la gran
afluencia de visitantes.
Para la próxima Semana Santa, las
autoridades locales se están
preparando con la infraestructura
necesaria para prevenir accidentes.
En este sentido, se está planeando
la construcción de plataformas de
observación para el personal que
estará encargado de vigilar la playa
y cuidando a los bañistas, las cuales
serán distribuidas a lo largo de la playa.
Las características de la construcción son muy sencillas. Sobre una plataforma
rectangular, que tendrá una elevación de 12 metros y medirá 8 metros de ancho por 12 de
largo, se montará una carpa que deberá cubrir un área, al centro de la plataforma, de 60
metros cuadrados. La idea es que la parte no cubierta sea una especie de corredor cuyo
ancho mida lo mismo por cualquier lado de la carpa. ¿Cuánto debe medir el ancho del
corredor?
a) Traza un diagrama de la situación descrita.
b) A partir de la información proporcionada para las medidas de los lados de la
plataforma, ¿cuándo deben medir los lados de la sección que quedará cubierta?
153
c) ¿Qué relación algebraica podemos establecer entre las medidas obtenidas en el inciso
anterior para los lados de la sección cubierta y su área, que ya sabemos que será de 60
metros cuadrados?
d) ¿Será posible encontrar, a partir de la relación anterior, la medida que andamos
buscando? ¿Cómo?
4) A resolver crucigramas II
1
2
3
4
5 6
7
8
9
10
11
154
Verticales
1. Un polígono de n lados tiene n(n-3)/2 diagonales. ¿Cuántos lados tiene un polígono con
27 diagonales?
2. Número positivo que multiplicado por 30 es 1,000 unidades menor que su cuadrado.
5. En un torneo de ajedrez cada participante juega dos veces con el resto de los
competidores. Si un torneo se jugaron en total 156 partidos, ¿cuántos jugadores
participaron en el torneo?
6. Es el mayor de dos números pares consecutivos cuyo producto es 728.
7. La suma de los cuadrados de tres números consecutivos es 365. ¿Cuál es el mayor de
estos números?
9. Una compañía de 180 soldados está dispuesta en filas. El número de soldados de cada
fila es 8 más que el número de filas que hay. ¿Cuántas filas hay?
10. Número cuyo resultado de multiplicarse por sí mismo da igual que su doble.
Horizontales
3. Es el mayor de dos números cuya suma es 9 y cuya suma de cuadrados es 53. 4. El mayor de dos números impares consecutivos cuya suma de cuadrados es 394. 7. La suma de los primeros "n" números naturales es 190, ¿cuál es el mayor de estos números? 8. Un número positivo es 3/5 partes de otro número y el producto de ambos es 2,160. ¿El mayor de los números es? 11. Con un pedazo cuadrado de cartón se construye una caja abierta cortando en cada esquina cuadrados de 3 cm de lado y doblando hacia arriba los rectángulos resultantes. Si la caja tiene un volumen de 432 centímetros cúbicos, ¿de cuántos centímetros de longitud era el cartón del que se fabricó la caja?
155
5) A resolver crucigramas II b
1 2
3 4
5
6
7
8
9
10
11
156
Verticales
1. Con un pedazo cuadrado de cartón se
construye una caja abierta cortando en
cada esquina cuadrados de 3 cm de lado y
doblando hacia arriba los rectángulos
resultantes. Si la caja tiene un volumen de
432 centímetros cúbicos, ¿de cuántos
centímetros de longitud era el cartón del
que se fabricó la caja?
2. Número cuyo resultado de multiplicarse
por sí mismo da igual que su doble.
3. En un torneo de ajedrez cada
participante juega dos veces con el resto de
los competidores. Si en un torneo se
jugaron en total 156 partidos, ¿cuántos
jugadores participaron en el torneo?
6. Un número positivo es 3/5 partes de otro
número y el producto de ambos es 2,160.
El mayor de los números es…
8. Una compañía de 180 soldados está
dispuesta en filas. El número de soldados
de cada fila es 8 más que el número de filas
que hay. ¿Cuántas filas hay?
10. Es el mayor de dos números cuya suma
es 9 y cuya suma de sus cuadrados 53.
Horizontales
4. El mayor de dos números pares
consecutivos cuyo producto es 728.
5. La suma de los primeros "n" números
naturales es 190, ¿cuál es el mayor de
estos números?
7. Un polígono de n lados tiene n(n-3)/2
diagonales. ¿Cuántos lados tiene un
polígono con 27 diagonales?
8. La suma de los cuadrados de tres
números consecutivos es 365. ¿Cuál es el
mayor de estos números?
9. El mayor de dos números impares
consecutivos cuya suma de sus cuadrados
es 394.
11. Número positivo que multiplicado por 30
es 1,000 unidades menor que su cuadrado
157
6) Más sobre ecuaciones cuadráticas y su resolución
a) Daniela, alumna del CECyTES
Granados, nos quiere compartir
un procedimiento que encontró
para la resolver una ecuación de
segundo grado, pero quiere que
nosotros demos los resultados
que hacen falta en la secuencia
de operaciones que resultan al
resolver la ecuación
012203 2 xx
Primero se multiplica la ecuación por 3, obteniendo:
036609 2 xx (1)
Luego se multiplica la ecuación por 4, así se obtiene la ecuación: __________ (2)
Si sumas -144 en ambos lados de la ecuación que obtuviste en (2), resulta:
14424036 2 xx (3)
Enseguida, suma en ambos lados de la ecuación, el resultado de elevar al cuadrado 20,
es decir 400, con esto obtienes: ____________________________________ (4)
Factorizando (4) se tiene obtiene la ecuación 2562062x (5)
De la resolución de esta última ecuación se obtiene la solución de la ecuación inicialmente
planteada, ¡resuélvela y comprueba tu resultado!
158
b) Utiliza el método de Daniela para resolver las siguientes ecuaciones:
1. 0143 2 xx
2. 0144 2 xx
3. 0424 2 xx
4. 322
2
xx
5. 0122 xx
c) Por equipo, planteen otros problemas similares, resuélvanlos y comprueben sus
resultados.
d) Daniela dice a sus compañeros, que la profesora Graciela hace algunos días le
comentó que ese procedimiento puede ser generalizado para obtener un método de
resolución de una ecuación de segundo grado, conocido como la fórmula general de
resolución de ecuaciones de segundo grado en una variable. Intenta obtener dicha
fórmula, completando lo que sigue:
Considera la ecuación de segundo grado, 02 cbxax
Multiplicando la ecuación por a se obtiene: __________________________________
Luego, al multiplicar por 4, obtienes 0444 22 acabxxa
Suma ac4 en ambos lados de la ecuación, esto es:
acacacabxxa 44444 22 , que simplificando queda: _____________________
Suma 2b en ambos lados de la ecuación para obtener: _________________________
159
Cuya parte izquierda es un trinomio cuadrado perfecto que al ser factorizado queda:
22 4)2( bacbax , o bien, acbbax 4)2( 22
Al resolver esta última ecuación se obtiene: acbbax 42 2
La cual se resuelve para x, el valor buscado, esto es: a
acbbx
2
42
Esta última expresión se conoce como la fórmula general para resolver ecuaciones de
segundo grado en una variable.
e) Por equipo, utilizando la fórmula general resuelvan las ecuaciones de los incisos b y c.
Esta actividad se evaluará con la lista de cotejo que se encuentra en la página 181.
160
3.2.1. Métodos de solución por factorización
EJEMPLO
Aprendizajes a lograr
Al término de la sesión el estudiante será capaz de identificar factores comunes en una ecuación de segundo grado.
Aplicar la el método de factorización por término común en una ecuación incompleta de segundo grado.
Hallar las raíces conjugadas de una ecuación incompleta utilizando el método de factorización de una diferencia de cuadrado.
Regla:
1.- Se iguala a cero la ecuación.
2.- Se abren dos paréntesis
escribiendo la raíz del primer término
en cada factor.
3.- Se escribe el signo del segundo
término en el primer factor y el
producto de los signos del segundo y
tercer término en el segundo factor.
4.- Si los signos de los factores son
iguales se buscan dos números que
sumados den el coeficiente del
segundo término y multiplicados el
tercero.
5.- Si los signos de los factores son
diferentes se buscan dos números
que restados den el coeficiente del
segundo término y multiplicados el
tercero.
Determina los factores de la ecuación
x2 – 16x = – 465
x2 – 16x + 465 = 0
( x ) ( x ) = 0
( x – ) ( x – ) = 0
( x – 31 ) ( x – 15 ) = 0
161
Esta actividad se evaluará con la lista de cotejo que se encuentra en la página 181.
Resuelve cada una de las siguientes ecuaciones de segundo
grado, utilizando el método de factorización.
Esta actividad se evaluará con la lista de cotejo que se encuentra en la página 181.
Individual Ejercicio no. 8
1.- x2 – 16x + 465 = 0
2.- x2 – x – 6 = 0
3.- x2 + 2x = 48
4.- x2 – 13x – 68 = 0
5.- x2 + 34x = -288
1.- x2 + x – 30 = 0
2.- x2 + 12x = – 27
3.- x2 – 11x + 152 = 0
4.- x2 – 26x = 315
5.- 4x2 – 2x – 12 = 0
Grupo Ejercicio no. 9
Reúnete en equipo y resuelve cada uno de los ejercicios aplicando
la regla de factorización de ecuaciones de segundo grado.
162
Responde los siguientes problemas que puedes aplicar en la vida diaria
1) Un helicóptero deja caer un automóvil desde una altura de 245 metros,
registrándose los siguientes datos:
a) De acuerdo con la información, se completa la siguiente tabla:
Tiempo Distancia de caída
Altura a la que se
encuentra el automóvil
0 0 245
1 5 240
2 20
3
4
5
6
7
b) ¿Cuánto tiempo tardó el auto en llegar al suelo? _____________________
Tiempo que transcurre
(seg)
0 1 2 3 4
Distancia que ha caído el
automóvil (m)
0 5 20 45 80
Nombre ________________________________________________
Grupo ________________________ Turno __________________
Fecha _________________________________________________
Instrumento de evaluación ___lista de cotejo_____ Página __180__
Ejercicios para aplicar lo aprendido en casos de la vida
cotidiana.
163
c) ¿Cuál de las siguientes expresiones permite calcular la distancia de caída (d) en
función del tiempo transcurrido (t)? _________________________
25td td 5 td 25 25 td
2) Se va a fabricar una caja de base cuadrada sin tapa, con una hoja de cartón,
cortando cuadrados de 3 cm de las esquinas y doblando los lados.
Si la caja debe tener 48cm3, ¿qué tamaño debe tener la hoja que se va a usar?
3) Hallar un número tal que sumado con su cuadrado sea 2550.
4) La producción de naranjas por árbol en una huerta, depende del número de veces
que este se rige en la temporada. La expresión 0465162 xx relaciona la
producción con el número de veces que se riega el árbol, si la producción por árbol
fue de 465 naranjas. Determina el número de veces que se regó la huerta.
Esta actividad se evaluará con la lista de cotejo que se encuentra en la página 180.
164
3.2.2. Método por completar trinomio cuadrado perfecto
Aprendizajes a lograr
Resolver una ecuación de segundo grado completando un
trinomio cuadrado perfecto.
EJEMPLO
1) Completar el trinomio cuadrado perfecto de la ecuación incompleta x2 – 8x = 0.
Solución:
x2 – 8x = 0
x2 – 8x + 16 = 0 + 16 Reducir términos semejantes .
x2 – 8x + 16 = 16 Obteniendo así el trinomio cuadrado perfecto en el primer miembro.
Factorizando ahora el trinomio se tiene como ecuación:
(x - 4)2 = 16
Tomar la mitad de 8 que es el coeficiente de x. se obtiene 4 y al
elevarlo al cuadrado se obtiene (4)2 = 16 para después en ambos
miembros de la igualdad.
165
2 ) Completar el trinomio cuadrado perfecto de la ecuación completa x2 + 10x - 20 = 0.
Solución:
x2 + 10x - 20 =0 Trasponer el 20 al segundo miembro
x2 + 10x – 20 + 20 =0 +20 Reducir términos semejantes.
x2 + 10x = 20
x2 + 10x + 25 = 25 Obteniendo así el trinomio cuadrado perfecto en el primer miembro.
Factorizando ahora el trinomio se tiene:
(x + 5)2 = 25
Tomar la mitad de 10 que es el coeficiente de x. se obtiene 5 y al
elevarlo al cuadrado se obtiene (5)2 = 25 para después sumar
en ambos miembros de la igualdad.
EJEMPLO
166
3) Resolver la ecuación 2x2 + 12x + 14 = 0
Solución:
2x2 + 12x + 14 = 0 Dividir entre 2 ambos miembros de la ecuación.
2
0
2
14122 2
xx
Simplificar.
x2 + 6x + 7 = 0 Completar el trinomio cuadrado perfecto.
x2 + 6x + 9 + 7 = 0 + 9 Transponiendo el término 7 al segundo miembro.
x2 + 6x + 9 +7 - 7= 9- 7 Simplificar términos semejantes.
x2 + 6x + 9 = 2 Factorizar el trinomio.
(x + 3)2 = 3 Utilizar el método de despejes.
X + 3 = ± 3 Aplicar propiedad de los exponentes.
X + 3 - 3= ± 3 - 3 Transponiendo el 3 al segundo miembro y reducir términos
semejantes, se obtiene como resultado.
X = ± 3 - 3 Suma y resta para obtener las raíces de la ecuación.
X1= 3 - 3 X2= - 3 - 3
X1 = -1.27 X2 = - 4.73
EJEMPLO
167
Esta actividad se evaluará con la lista de cotejo que se encuentra en la página 181.
Esta actividad se evaluará con la lista de cotejo que se encuentra en la página 181.
1. 0962 xx
2. 036122 xx
3. 0522 xx
4. 0232 2 xx
Individual
Resolver las ecuaciones siguientes encontrando los valores de
la variable.
Ejercicio no. 11
1) x2 – x + 52 = 0
2) x2 – 12x – 120 = 0
3) x2 + 5x – 6 = 0
4) x2 + 4x = 0
5) 3x2 – 10x – 25 = 0
Reunidos en equipo de tres integrantes, completar el trinomio
cuadrado perfecto y resolver las siguientes ecuaciones:
Grupo Ejercicio no. 10
168
1) 2 5 6 0x x
2) 2 6 0x x
3) 2 4 21 0x x
4) 2 2 8 0x x
5) 2 20 64 0x x
Determina las raíces de las siguientes ecuaciones cuadráticas. Esta actividad se evaluará con la lista de cotejo que se encuentra en la página 180.
Tarea no. 2
169
1) ¿Cuál es el número cuyo producto con su triple es 5 veces el número?
2) El cuadrado de la suma de un número y 3 es 9. ¿Cuál es el número?
3) La diferencia entre el cuadrado de un número y él mismo es 0. ¿Cuál es el número?
4) Determina la medida de los lados de un triángulo rectángulo, si sus valores son
números enteros consecutivos.
5) Los lados de un rectángulo están representados por x - 5 y x - 3. Determina la medida
de ellos, sabiendo que el área del rectángulo es 15 cm2.
Esta actividad se evaluará con la lista de cotejo que se encuentra en la página 180.
Nombre _____________________________________________
Grupo ______________________ Turno _________________
Fecha ______________________________________________
Instrumento de evaluación ________________ Página _______
Ejercicios para aplicar lo aprendido en casos de la vida
cotidiana.
170
3.2.3. Método de solución de fórmula general
a) Daniela, alumna del Cecytes Granados, nos quiere compartir un procedimiento que
encontró para la resolver una ecuación de segundo grado, pero quiere que nosotros
demos los resultados que hacen falta en la secuencia de operaciones que resultan al
resolver la ecuación 012203 2 xx .
Primero se multiplica la ecuación por 3, obteniendo:
036609 2 xx
(1)
Luego se multiplica la ecuación por 4, así se obtiene la ecuación: ______________ (2)
Si sumas -144 en ambos lados de la ecuación que obtuviste en (2), resulta:
14424036 2 xx (3)
Enseguida, suma en ambos lados de la ecuación, el resultado de elevar al cuadrado -20,
es decir 400, con esto obtienes: _____________________________ (4)
Factorizando (4) se tiene obtiene la ecuación 2562062x (5)
Aprendizajes a lograr
Aplicar la fórmula General para resolver una ecuación de
segundo grado.
Interpretar las soluciones de acuerdo al valor del discriminante
de una ecuación.
Con ayuda de tu maestro, reúnete en equipo y realiza cada una de
las siguientes actividades.
Esta actividad se evaluará con la lista de cotejo que se encuentra en la página 181.
Grupo Ejercicio no. 12
171
De la resolución de esta última ecuación se obtiene la solución de la ecuación inicialmente
planteada, ¡resuélvela y comprueba tu resultado!
b) Ese procedimiento puede ser generalizado para obtener un método de resolución de
una ecuación de segundo grado, conocido como la fórmula general de resolución de
ecuaciones de segundo grado en una variable. Intenta obtener dicha fórmula,
completando lo que sigue:
Considera la ecuación de segundo grado, 02 cbxax
Multiplicando la ecuación por a se obtiene: ____________________
Luego, al multiplicar por 4, obtienes 0444 22 acabxxa
Suma ac4 en ambos lados de la ecuación, esto es:
acacacabxxa 44444 22 , que simplificando queda: ____________________
Suma 2b en ambos lados de la ecuación para obtener: _________________________
Cuya parte izquierda es un trinomio cuadrado perfecto que al ser factorizado queda:
22 4)2( bacbax , o bien, acbbax 4)2( 22
Al resolver esta última ecuación se obtiene: acbbax 42 2
La cual se resuelve para x, el valor buscado, esto es: a
acbbx
2
42
172
Esta última expresión se conoce como la fórmula general para resolver ecuaciones de
segundo grado en una variable.
En una ecuación de segundo grado que tenga la forma ax2 +bx+ c= 0 las letras a,b y c se
llaman coeficientes cuadrático, lineal e independiente respectivamente.
Completa la tabla siguiente identificando los coeficientes de cada una de las
siguientes ecuaciones.
Ecuación Coef. Cuadrático
a
Coef. Lineal
b
Coef.
Independiente
c
2x2 +3x +8 =0
X2 – 4x +5 =0
3x2 -6x = 0
5x2 = 12
Ecuación Solución X1 =
Solución X2 =
x2 -3x +2 = 0
2x2 +2x -12 = 0
3x2 -6x = 0
3x2 – 12 = 0
De forma individual identifica los coeficientes en cada una de las siguientes ecuaciones y resuélvelas aplicando la fórmula general. Se evaluará con la lista de cotejo que se encuentra en la página 181.
Individual Ejercicio no. 13
173
Resuelve cada uno de los siguientes ejercicios
1.- Si el discriminante D = b2 -4ac =0 entonces significa que la ecuación:
a) Tiene una solución b) No tiene solución c) Tiene dos soluciones d) Tiene soluciones enteras e) Tiene más de dos soluciones
2.- Si el discriminante D = b2 -4ac es negativo entonces significa que la ecuación:
a) Tiene una solución b) No tiene solución c) Tiene dos soluciones d) Tiene soluciones enteras e) Tiene más de dos soluciones
3.- Si el discriminante D = b2 -4ac es positivo entonces significa que la ecuación: a) Tiene una solución b) No tiene solución c) Tiene dos soluciones d) Tiene soluciones enteras e) Tiene más de dos soluciones
Esta actividad se evaluará con la lista de cotejo que se encuentra en la página 180.
En la fórmula general , investiga que nombre
recibe la expresión b2 -4ac y la relación que tiene con las raíces o soluciones de una ecuación cuadrática. Esta actividad se evaluará con la lista de cotejo que se encuentra en la página 180.
Tarea de investigación no. 2
Nombre ________________________________________________
Grupo _________________ Turno ________________________
Fecha __________________________________________________
Tarea no. 3
174
Resuelve cada uno de los siguientes ejercicios y compara respuestas con tus compañeros. 1.- A un terreno de 20m x30 m se le construirá una banqueta a lo largo y ancho tal y
como se muestra en la figura. Determine la medida de lo ancho de la banqueta de tal
modo que queden 459 m2 libres dentro del terreno.
a) 2 m
b) 3m
c) 4m
d) 5m
e) 6
2.- Se pretende elaborar un espectacular de 7.5 m x 8m cuyo espacio es de 60 m2, para
adornarlo se creará un marco uniforme de longitud x alrededor del espectacular. ¿Qué
medida debe de tener el marco para que el área a ocupar en el centro sea de 39 m2?
a) 1.5
b) 0.5
c) 0.75
d) 2
e) 2.5
Esta actividad se evaluará con la lista de cotejo que se encuentra en la página 180.
Nombre ________________________________________________
Grupo ________________________ Turno __________________
Fecha _________________________________________________
Instrumento de evaluación __________________ Página _______
Ejercicios para aplicar lo aprendido en casos de la vida cotidiana.
175
Selecciona la respuesta correcta en cada caso
1.- Es una solución una solución de la ecuación 2x2 +5x = 0
a) 1
b) -1
c) 2
d) 0
e) -1
2.- ¿Cuál es el factor común de la ecuación -6x2 + 9x = 0
a) 0
b) 3/2
c) -3
d) -3x
e) 3x
3.- Las raíces de la ecuación 2x2 + 8x = 0 corresponden a la pareja de valores:
a) x1 = - 4 , x2 =0
b) x1 = 4 , x2 =0
c) x1 = - 6 , x2 =0
d) x1 = -1 , x2 =1
e) x1 = 6 , x2 =0
Nombre ________________________________________________
Grupo ________________________ Turno __________________
Fecha _________________________________________________
Autoevaluación
176
4.- Qué modificaciones se le debe de hacer a la ecuación x2+4x +3 = 0 para completar un trinomio cuadrado perfecto?
a) Sumar 1 en el primer miembro
b) Sumar 1 en el segundo miembro
c) Multiplicar por -1 en ambos miembros
d) Multiplicar por 2 ambos lados
e) Sumar 1 en ambos miembros
5.- Una de la raíces de la ecuación (x +3)2 = 16 corresponde a:
a) -7
b) 3
c) 7
d) -3
e) 2
6.- Determinar las soluciones de la ecuación x2 +7x +12 = 0
a) x1 = 4 , x2 = - 2
b) x1 = - 4 , x2 = - 3
c) x1 = 4 , x2 = 3
d) x1 = - 4 , x2 = 3
e) x1 = 4 , x2 =-3
7.- La ecuación x2 -2x – 8 = 0 está compuesta por los factores binomiales (x-4)(x+2). ¿Qué parejas de valores corresponde a las soluciones de la ecuación?
a) x1 = - 4 , x2 = 2
b) x1 = 1 , x2 = - 2
c) x1 = 4 , x2 = - 2
d) x1 = 3 , x2 = - 1
e) x1 = -4 , x2 = - 2
177
8.- Las raíces de la ecuación (3x -2)2 = 9 corresponden a:
a) 5/3 y -2/3
b)5/3 y -1 /3
c)5/3 y 1 /3
d)-5/3 y -1/3
e) -5/3 y 2/3
9.- Si el discriminante b2 -4ac =0 entonces significa que la ecuación:
a) Tiene una solución
b) No tiene solución
c) Tiene dos soluciones
d) Tiene soluciones enteras
e) Tiene más de dos soluciones
10.- Si el discriminante b2 -4ac es negativo entonces significa que la ecuación:
a) Tiene una solución
b) No tiene solución
c) Tiene dos soluciones
d) Tiene soluciones enteras
e) Tiene más de dos soluciones
11.- Si el discriminante b2 -4ac es positivo entonces significa que la ecuación:
a) Tiene una solución
b) No tiene solución
c) Tiene dos soluciones
d) Tiene soluciones enteras
e) Tiene más de dos soluciones
12.- Determinar la soluciones de la ecuación 2x2+2x-12 = 0
a) x1 = - 3 , x2 = -2
b) x1 = 3 , x2 = 2
c) x1 = - 1 , x2 = -2
d) x1 = - 3 , x2 = 2
e) x1 = 4 , x2 = -3
178
13.- Determinar las soluciones de la ecuación 6x2-12x -18 = 0
a) -1 y 3
b) 1 y 3
c) -1 y -3
d) 2 y -3
e) -2 y -3
14.- ¿Cuál es el número máximo de soluciones posibles para una ecuación cuadrática?
a) 1
b)2
c) 0
d) 4
e) 3
15.- ¿Cuál de los siguientes valores satisface o cumple con la ecuación (x+4)2 = 9
a) 1
b) 3
c) -3
d) - 1
e) 0
16.- ¿Cuál de los siguientes trinomios es un trinomio cuadrado perfecto?
a) x2 +6x+7
b) x2 - 4x +3
c) x2 – 5x - 20
d) 4x2 - 8x +4
e) x2 - 6x +9
179
17.- Las soluciones al sistema de ecuaciones: son:
a) x = 12, y = 6
b) x = 4, y = 1
c) x = 7, y = 1
d) x = 4, y = 2
e) x = 0, y = 3
18.- Las soluciones al sistema de ecuaciones: 5 19
2 7
x y
x y
son:
a) x 12 y 6
b) x 4 y 1
c) x 7 y 1
d) x 4 y 2
e) x = 0 y = 4
19.- Las soluciones al sistema de ecuaciones: 3 2 23
8
x y
x y
a) x 7 y 1
b) x 4 y 1
c) x 12 y 6
d) x = 4 y = 2
e) x = 0 y = 4
20.- Las soluciones al sistema de ecuaciones
a) x =1, y =8, z = 2
b) x =3, y =0, z = -1
c) x =2, y =7, z = 4
d) x =8, y =5, z = 3
e) x =8, y =7, z = 5
180
INSTRUMENTOS DE EVALUACIÓN
Evaluación de productos (tareas aplicadas a la vida cotidiana)
No. Indicador Cumplió Ejecución Observaciones
Sí No Ponderación Calif.
1 Resolvió el total de los ejercicios
0.15
2 Resolvió correctamente los ejercicios
0.70
3 Entregó en tiempo y forma indicada los ejercicios.
0.20
4 Realizó correctamente las operaciones.
0.70
Calificación de esta evaluación 1.75
Tabla de ponderación
1 = sí cumplió 0 = no cumplió
Ejecución: multiplicación del cumplimiento por la ponderación
Evaluación de productos (investigaciones)
No. Indicador Cumplió Ejecución Observaciones
Sí No Ponderación Calif.
1 Entregó en tiempo y forma 0.1
2 La información fue clara y acorde al tema
0.3
3 Presentación del trabajo 0.1
Calificación de esta evaluación 0.5
Tabla de ponderación
1 = sí cumplió 0 = no cumplió
Ejecución: multiplicación del cumplimiento por la ponderación
181
Evaluación del desempeño (ejercicios)
En equipo
No. Indicador Cumplió Ejecución Observaciones
Sí No Ponderación Calif.
1 Se integró al equipo. 0.25
2 Mostró interés por el tema. 0.25
3 Mostró conocer los conceptos que utilizó
0.5
4 Mostró habilidad para responder a los ejercicios
0.75
5 Aplicó correctamente el procedimiento
0.75
Calificación de esta evaluación 2.5
Individual
No. Indicador Cumplió Ejecución Observaciones
Sí No Ponderación Calif.
1 Mostró interés por el tema. 0.40
2 Mostró conocer los conceptos que utilizó
0.50
3 Mostró habilidad para responder a los ejercicios
1
4 Aplicó correctamente el procedimiento
1
Calificación de esta evaluación 2.9
Tabla de ponderación
1 = sí cumplió 0 = no cumplió
Ejecución: multiplicación del cumplimiento por la ponderación
182
Claves de respuestas de las autoevaluaciones
Unidad
I
Unidad
II
Unidad
III
1.- b
2.- c
3.- a
4.- d
5.- b
6.- b
7.- a
8.- c
9.- e
10.- e
11.- d
12.- d
13.- a
14.- c
15.- b
16.- b
17.- d
18.- c
19.- e
20.- a
1.- a
2.- b
3.- c
4.- a
5.- a
6.- a
7.- d
8.- b
9.- c
10.- b
11.- a
12.- d
13.- a
14.- d
15.- b
1.- d
2.- e
3.- a
4.- e
5.- a
6.- b
7.- c
8.- b
9.- a
10.- b
11.- c
12.- d
13.- a
14.- b
15.- d
16.- e
17.- d
18.- b
19.- a
20.- e
183
GLOSARIO
Área: superficie comprendida dentro de un perímetro: Binomio: suma o resta de monomios, como participio ej., la expresión x + 4. Cociente: el coeficiente del monomio es el número que aparece multiplicando a las variables. Coeficiente: factor que en un monomio, binomio o polinomio multiplica a las indeterminadas. Congruentes: dos ecuaciones o variables son congruentes cuando son iguales o significan lo mismo. Constantes: se aplica al valor o la cantidad que permanece fija en un cálculo o proceso matemático. Cuádruplo: que es cuatro veces el número o cantidad. Ecuación: igualdad entre dos expresiones que contienen una o más incógnitas. Ecuación cuadrática: toda ecuación de la forma ax2 + bx + c = 0, en donde a ≠ 0, es una ecuación cuadrática o de segundo grado con una incógnita. Ecuación lineal: es la ecuación con una o más variables, en donde ninguna de ellas aparece de segunda o mayor potencia. Expresión: conjunto de letras y números relacionados entre sí por medio de signos de operaciones. Exponente: número o expresión algebraica que se coloca a la derecha y en la parte superior de otro, llamado base, e indica el número de veces que ha de multiplicarse éste por sí mismo. Factor: cada una de las cantidades que se multiplican para formar un producto. Igualdad: expresión de la equivalencia de dos cantidades. se expresa con el signo =. Literal: la parte literal de un momio está constituida por las letras y sus exponentes. Monomio: es una expresión algebraica en la que las únicas operaciones que aparecen entre las variables son el producto y la potencia de exponente natural. Polinomio: polinomio con tres términos. Perímetro: el perímetro de una figura plana es igual a la suma de las longitudes de sus lados.
184
Producto: indica una multiplicación. Retórica: manera de expresarse propia de una persona. Termino: en un polinomio cada monomio es un término. Variable: un símbolo que se usa para indicar a cualquier elemento de un conjunto de sustitución. Volumen: espacio que ocupa un cuerpo.
185
REFERENCIAS
Baldor, Aurelio. (1988). Algebra. México. Publicaciones Cultural.
Drooyan, Irving y Franklin, Katherine. Elementos de Algebra para bachillerato. ED. Limusa.
Rees, Paul y Sparks , Fred. Algebra. Décima Edición. ED. Mc Graw Hill.
Rich, Barnett y Schmidt, Philip A. Álgebra Schaum. ED. Mc Graw Hill.
Shaaf, Peter. Algebra un enfoque modern. ED. Reverté S.A de C.V.
Smith, Etal. Algebra. ED. Wesley
Paul K. Rees, Fred. W. Sparks y Charles Sparks Rees. (1991). Algebra. Décima edición. ED Mc Graw Hill.
Elizabeth P. Phillips, Thomas Butts y Michael Shaughnessy. (1988) Álgebra
con aplicaciones. ED. Harla.
Stanley A. Smith, Randall I. Charles, Jhon A. Dossey, Mervin L. Keedy y Marvin L. Bittinger. (1998). Algebra, Trigonometría y Geometría Analítica. ED. Pearson.
186
“Fecha de terminación de la impresión”
“Diseñada por”
Dirección donde fue diseñada
“Número de ejemplares impresos”