COLEGIO DE BACHILLERES DEL ESTADO DE MICHOACÁN SISTEMA DE ENSEÑANZA ABIERTA Y A DISTANCIA APUNTES PARA LA ASIGNATURA DE MATEMÁTICAS III (Geometría Analítica) Por ELEAZAR SASHIDA ROJAS JORGE LUIS ESTRADA SORIA Profesores de Asesoría Pátzcuaro, Michoacán, México Agosto del 2006 1
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COLEGIO DE BACHILLERES DEL ESTADO DE MICHOACÁN
SISTEMA DE ENSEÑANZA ABIERTA Y A DISTANCIA
APUNTES PARA LA ASIGNATURA DE MATEMÁTICAS III
(Geometría Analítica)
Por ELEAZAR SASHIDA ROJAS
JORGE LUIS ESTRADA SORIA Profesores de Asesoría
Pátzcuaro, Michoacán, México Agosto del 2006
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Encuadre El propósito de estos apuntes de la asignatura de Matemáticas III es ayudar al
estudiante a comprender y utilizar la Geometría Analítica. Al docente como
material didáctico de dicha asignatura del tronco común, para que el proceso
enseñanza-aprendizaje tenga resultados eficientes en este campo matemático
que es de suma importancia en la formación del alumno.
El contenido programático de esta asignatura es de cinco unidades las cuales
se orientaron en tres módulos para su estudio que conforman el curso de
Matemáticas III (Geometría Analítica) en nivel medio superior. Estos apuntes
contiene ejercicios que van de lo sencillo a lo complejo, para cubrir los niveles
del conocimiento requeridos en el programa del COBAEM, con la intención de
auxiliar en este proceso educativo.
Este material está enmarcado en el apartado de Construcciones geométricas
en el plano cartesiano con el Álgebra y la Geometría plana , y se trata de un
material de trabajo, dirigido tanto al profesorado del nivel medio Superior del
COBAEM, como apoyo a la propuesta de trabajo de Geometría analítica de
dicha asignatura en el SEAD.
El documento está estructurado en cinco unidades del programa de
matemáticas III. En ellos se recogen ideas o sugerencias adaptadas al curso,
se advierte que en ocasiones, algunos de los temas tratados pueden parecer
adecuados solamente para ciertos temas o con excesivo nivel de académico
para ser empleados pero, ahora bien, ¿acaso el alumno del bachillerato, no es
capaz de encontrar propiedades geométricas ?, ¿es que no puede construir
modelos para "demostrar" dichas propiedades?, estableciendo demostraciones
analíticas de teoremas de la geometría y en el último módulo, se cierra este
trabajo con construcciones con nivel de complicación, que tienen un interés
exclusivo para el profesor que quiera ampliar su información. El presente
documento de Matemáticas III, Geometría Analítica tiene como finalidad de
fomentar la creatividad del docente y del estudiante para enriquecer el proceso
enseñanza aprendizaje de las matemáticas.
El propósito de su elaboración es informar, orientar y asesorar a los educandos
del Colegio de Bachilleres de Michoacán, en la compresión y ejercitación del
álgebra con la geometría plana y trigonometría llevadas al plano cartesiano, así
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como dar respuesta a sus inquietudes de aprendizaje. Es de suma importancia
hacer mención que muchos de los contenidos de este documento ha sido
recopilación de un sin numero de libros y de autores por lo que agradezco la
oportunidad de poder hacer uso de ellos, con la finalidad de establecer una
facilidad en el uso y la asimilación del conocimiento. Agregando novedades
encontradas en la bibliografía citada.
Objetivos General de la Asignatura de matemáticas III El estudiante: Resolverá problemas teóricos o de aplicación práctica,
provenientes del ámbito escolar o de su vida cotidiana, mediante el análisis y
aplicación, crítica y reflexiva, de técnicas, conceptos y procedimientos de la
geometría plana con coordenadas, mostrando interés científico y
responsabilidad en la aplicación participativa y productiva de tales
conocimientos al entorno personal y social en el cual se desarrolla.
Objetivos particulares de la Unidad Temática II: La línea recta El estudiante:
Resolverá problemas teóricos o prácticos de distintos ámbitos, aplicando e
integrando, de manera crítica y reflexiva, los conceptos, técnicas y
procedimientos básicos de Geometría Analítica, con propiedades, ecuaciones y
gráficas de la línea recta, en un ambiente escolar que favorezca el desarrollo
de actitudes de responsabilidad, cooperación, iniciativa y colaboración hacia el
entorno en el que se desenvuelve.
Desarrollo temático Este programa de Matemáticas III se imparte en el tercer semestre y trata los
siguientes temas: Sistema de ejes coordenados, el cual proporciona los
elementos necesarios para el análisis de coordenadas para el cálculo de
pendientes, distancias, áreas y ángulos de figuras geométricas. La línea recta,
en el que se analizan las propiedades, ecuaciones y gráficas de la línea recta.
La circunferencia, en la que se observan sus características geométricas al
igual que sus ecuaciones ordinarias. La parábola, en la que se analiza sus
propiedades, aplicaciones y sus diferentes ecuaciones; y por último las
Secciones cónicas y ecuaciones cuadráticas donde se describe su ecuación
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general, su composición geométrica, así como la relación que guarda con las
unidades anteriores.
Considerando que Matemáticas III se enfoca al conocimiento de la geometría
analítica, su antecedente es Matemáticas II, la cual desarrolla la geometría y la
trigonometría, teniendo como subsecuente Matemáticas IV, donde sus
contenidos están orientados al Precálculo, de esta manera se conforma el
componente de formación básica del campo de las Matemáticas; quedando
como asignaturas secuenciales Cálculo Diferencial e Integral y Probabilidad y
Estadística I y II que forman parte del componente propedéutico.
Contenidos del programa de matemáticas III
Unidad I. Sistema de ejes coordenados
Unidad II. La línea recta
Unidad III. La circunferencia
Unidad IV. La parábola
Unidad V. Secciones cónicas y ecuaciones cuadráticas
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Unidad II. La línea recta 2.1 Ecuaciones y propiedades de la recta
El propósito en esta unidad, es presentar las propiedades, ecuaciones y
gráficas de las formas de la línea recta. Se asume conocidos por parte del
alumno, los conceptos de plano cartesiano, la localización de puntos en el
mismo, algunos conceptos preliminares como son el de distancia entre dos
puntos del plano, coordenadas del punto que divide a un segmento en una
razón dada, así como también los conceptos de pendiente e inclinación de una
recta en el plano cartesiano.
2.1.1 Forma punto-pendiente
• La recta como lugar geométrico
• Ecuación de una recta conocidos su pendiente y uno de sus puntos
Considere una recta l de la que se conocen m (m = tan ) y b (ver fig.
siguiente)
-10 -5 5
6
4
2
-2
b
b
L´
L
B
P´(x,0)
P´´(x,y)
P(x,y)
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Trácese por el origen la recta l’ paralela a l. Sea P(x, y) un punto de l. Al llamar
P’ la proyección de P sobre el eje x; PP’ corta a la recta l’ en un punto P’’ de
coordenadas
P’’(x, Y), Y y.
Como P’’ (x, Y) está sobre l’, entonces , de donde Y = mx
Ahora, el cuadrilátero OBPP’’ es un paralelogramo.
Luego, P’’P = OB = b. Y se tiene que:
Y = P’P = P’P’’ + P’’P = Y + b = mx + b.
Es decir, para todo (x, y) l, y = mx + b = (tan )x + b
La ecuación y = mx + b es la ecuación de la recta en términos de su pendiente
m y su intercepto b con el eje y.
Ecuación de la recta que pasa por un punto y de pendiente conocida
Considere la recta l que pasa por un punto dado P1(x1, y1) y cuya pendiente m
también es conocida. ..
4
2
-2
-4
-10 -5 5 10
L b
P1(X1,Y1)
6
Al llamar b al intercepto de la recta l con el eje y, entonces la ecuación de l,
viene dada por:
y = mx + b (1)
Como P1(x1, y1) l, entonces satisface (1) y en consecuencia se tiene:
y1 = mx1 + b (2)
Al restar de la ecuación (2) la ecuación (1) se elimina el parámetro b que se
desconoce y se obtiene:
y – y1 = m(x – x1) (3)
La ecuación (3) es conocida como la forma: PUNTO-PENDIENTE de la
ecuación de la recta.
Nótese que la ecuación (3) también puede escribirse en la forma:
y = mx + (y1 – mx1).
Lo que indica que el intercepto b con el eje y viene dado por:
b = y1 – mx1
• Ecuación de una recta conocidos dos de sus puntos
Sea l la recta que pasa por los puntos P1(x1, y1) y P2(x2, y2) y llámese m1 su pendiente
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4
2
-2
-4
-10 -5 5 10
x
Y
p1(x1,y2)
P2(x2,y2)
Como l pasa por el punto P1(x1, y1) y tiene pendiente m1, se tiene de acuerdo a
la ecuación anterior, que
y – y1 = m1 (x – x1) (1)
representa la ecuación de dicha recta. Ahora, como el punto P2(x2, y2) l,
entonces satisface su ecuación.
Esto es y2 – y1 = ; de donde
(2)
Sustituyendo (2) en (1) se obtiene
(3)
La ecuación (3) se conoce como la forma: DOS-PUNTOS de la ecuación de la
recta.
Observaciones
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i. Nótese que la ecuación (2) nos proporciona el valor de la pendiente m y
la ecuación
(3) también puede escribirse en la forma:
Lo que indica que el intercepto de la recta l con el eje y viene dado por:
ii. Si (x, y) es un punto cualquiera de la recta determinada por P1(x1y1)
entonces la ecuación de la resta (3) también puede escribirse en forma de
determinante, así:
= 0
.... 2 .1.2 Forma pendiente ordenada al origen
• Intersección de una recta con el eje y
La ecuación punto pendiente, analizada anteriormente en 2.1.1
y – y1 = m(x – x1)
Despejando la variable y , puede escribirse en la forma:
y = mx + (y1 – mx1).
Y por analogía con la ecuación pendiente ordenada al origen, analizada en
el apartado 2.1.1
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y= mx+b
Lo que indica que el intercepto b con el eje y viene dado por:
b = y1 – mx1
4
2
-2
-4
-10 -5 5 10
L b
P1(X1,Y1)
2.1.3. Forma simétrica
• Intersecciones de una recta con los ejes coordenados
• Ecuación de una recta conocidas sus intersecciones con los
ejes coordenados
Considere la recta l de la cual conocemos los interceptos a y b con los ejes
x e y respectivamente (fig. siguiente)
10
4
2
-2
-4
-10 -5 5 10
X
YL
b
a
A(a,0)
B(0,b)
Como l pasa por los puntos A(a, 0) y B(0, b), entonces de acuerdo a la sección
la ecuación de l viene dada por:
Es decir, de donde,
Dividiendo esta última ecuación por b, se obtiene:
(1)
La ecuación (1) se conoce como la ecuación SEGMENTARIA, CANÓNICA O
FORMA DE LOS INTERCEPTOS de la línea recta. Los números a y b son las
medidas de los segmentos que la recta intercepta con cada eje, con su signo
correspondiente, pues haciendo en (1)
y = 0, resulta x = a (Intercepto con el eje x)
x = 0, resulta x = b (Intercepto con el eje y)
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2.1.4. Forma general de la ecuación de la recta
• Conversión de la ecuación de una recta a la forma general y
viceversa
• La línea recta y la ecuación general de primer grado
Ecuación general de la línea recta
La ecuación Ax + By +C = 0 donde A, B, C son números reales y A, B no son
simultáneamente nulos, se conoce como la ECUACIÓN GENERAL de primer
grado en las variables x e y.
La ecuación explícita de la recta cuando se conocen dos puntos excluye las
rectas paralelas al eje y, cuyas ecuaciones son de la forma x = constante, pero
todas las rectas del plano, sin excepción, quedan incluidas en la ecuación Ax +
By + C = 0 que se conoce como: la ecuación general de la línea recta, como
lo afirma el siguiente teorema:
TEOREMA
La ecuación general de primer grado Ax + By + C = 0 (1) , A, B, C R; A y B no
son simultáneamente nulos, representan una línea recta.
Demostración
I. Se puede Considerar varios casos:
A = 0, B diferente de 0.
En este caso, la ecuación (1) se transforma en By + C = 0, de donde
(2)
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II. En este caso, la ecuación (1) se transforma en Ax + C = 0, de
donde
(3)
La ecuación (3) representa una línea recta paralela al eje y y cuyo intercepto
con el eje x es
III. En este caso, la ecuación (1) puede escribirse en la siguiente
forma:
(4)
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La ecuación (4) representa una línea recta, cuya pendiente es y cuyo
intercepto con el eje y viene dado por
Observaciones
1. La ecuación general de la línea recta es posible escribirla en varias formas,
de tal manera que solo involucre dos constantes. Es decir, si A, B y C (los
coeficientes A y B se denominan coeficientes directores de la recta) son todos
distintos de cero, podemos escribir la ecuación (1), en las siguientes formas
equivalentes:
(A) ; (B) ; (C)
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En cada una de las ecuaciones (A), (B) y (C) existe esencialmente solo
dos constantes independientes, por ejemplo en (A).
Esto indica que para determinar la ecuación de una recta en particular,
necesitamos conocer dos condiciones, como por ejemplo, dos puntos, un punto
y la pendiente, en concordancia con lo establecido en los numerales anteriores.
2. Cuando la ecuación de una recta esta expresada en la forma general
Ax + By + C = 0, su pendiente ó coeficiente angular con respecto al eje x,
m viene dado por y su coeficiente angular n, con respecto al eje y
viene dado por .
2.1.5. Forma normal de la ecuación de la recta
• Obtención de la forma normal a partir de la forma general
• Normal a una recta y distancia al Origen
De la forma general de la recta Ax + By + C = 0 (1), a la forma normal.
Caso 1. B
Se puede asumir que B > 0. Ya que si el coeficiente de y fuera negativo,
bastaría con multiplicar toda la ecuación (1) por –1.
La razón para asumir que B > 0, se debe al hecho de que el coeficiente de y en
la forma normal es positivo.
Se demostrará entonces que la ecuación (1) puede reducirse a la forma:
x cosα + y senα - p = 0 (2)
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Para ello, multiplíquese la ecuación (1) por una constante apropiada k de tal
forma que la ecuación kAx + kBy +kC = 0 (3) coincida con la ecuación (2).
Entonces kA = cos α , kB = senα y kC= -p
Así que k2A2 + k2B2 = 1, de donde
Se ha tomado solamente la raíz positiva puesto que B > 0 y 0o 180º.
Al sustituir el valor de k así obtenido en (3) completando la reducción de la
ecuación (1) a la forma normal: , en la
cual , y
Caso 2. B = 0
En este caso, la ecuación (1) se transforma en Ax + C = 0, de
donde y esta última ecuación puede identificarse con la forma
normal x – p = 0 que corresponde a una recta paralela al eje y.
• Distancia entre rectas paralelas
Considere nuevamente dos rectas l y r paralelas y de ecuaciones:
l: y = mx + b1 ó l: mx – y + b1 = 0
r: y = mx + b2 ó r: mx – y + b2 = 0
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Supóngase además que 0 < b1 < b2.
Sean B1 y B2 los puntos donde las rectas l y r cortan respectivamente el eje
Por el punto medio B del segmento , trazamos la paralela a l. Dicha recta
se conoce en geometría como la paralela media de l y r. Es evidente que su
intercepto con el eje y
es y como es paralela a l y r su pendiente es m.
Luego, (3) es la ecuación de la paralela media de l y r.
Se puede determinar ahora la distancia entre l y r.
Al llamar y
De acuerdo a la fórmula de la distancia de un punto a una recta, se tiene que:
Igualmente,
.
Pero que representa la distancia entre las rectas paralelas es tal que:
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es la distancia entre las rectas
paralelas l y r
.. 2.1.6. Distancia entre un punto y una recta
• Distancia dirigida de una recta a un punto
• Distancia no dirigida entre un punto y una recta
Consideremos una recta l y el punto P(x1, y1) que no pertenece a la recta.
Suponga que la ecuación de la recta l ha sido reducida a la forma normal
x cos α + y sen α - p = 0 (1)
La distancia d entre P1 y l puede considerarse positiva o negativa de acuerdo a
que p esté por encima o por debajo de l.
Puesto que p y a son respectivamente, el intercepto normal y el ángulo normal
de l, se sigue entonces que (p + d) y a son el intercepto normal y el ángulo
normal de la recta l1 que contiene al punto P(x1, y1) y es paralela a l. En
consecuencia, la forma normal de la recta l1 es:
x cos α + y sen α - (p + d) = 0 (2)
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Como P(x1, y1) gl1, satisface entonces la ecuación (2).
Es decir, x1 cosα + y1 sen α - (p + d) = 0
De donde, d = x1 cos α + y1 senα - p (3)
Al comparar las ecuaciones (3) y (1) podemos establecer la siguiente regla:
Regla: Para encontrar la distancia d entre una recta l y un punto dado,
sustituimos las coordenadas del punto en el primer miembro de la forma normal
de l.
Así por ejemplo, como , representa la forma normal de la recta
Ax + By + C = 0, con B > 0, se sigue entonces que la distancia del punto
P(x1, y1) a la recta Ax + By + C = 0, B > 0, viene dada por:
donde el signo de d indica que el punto P(x1, y1) está
por encima o por debajo de la recta l.
En muchas ocasiones no interesa conocer la posición del punto y la recta, sino
simplemente la distancia positiva entre ellas. En este caso, la distancia del
punto a la recta se expresa por medio de la fórmula:
2.2. Ecuaciones de rectas notables en un triángulo
2.2.1. Medianas
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Mediana de un triángulo es la recta que pasan por un vértice y el punto medio
del lado opuesto.
Sea el triángulo ACE y los Vértices A (-6.03,-3.62), C(-1.98,4.97) y
E(4.95, -4.52)
1.- Halla las coordenadas de los puntos medios de los lados del triángulo de
vértices A, C, E
2.-Calcula las ecuaciones de las medianas.
3.- Comprueba tus cálculos con los resultados siguientes
4.- Calcula el baricentro o centroide, como punto de intersección de las
medianas (resolviendo, el sistema determinado con dos medianas) y