colaboartibo 3 calculo

8/20/2019 colaboartibo 3 calculo

1/24

TRABAJO COLABORATIVO FASE 3

Presenta

NIDIA NORALDA ARIAS AVILA – C.C. 24.070.493

MONICA TATIANA MONTOYA -C.C 1.049.1.012

!"SSICA MIL"NA VAL"N#$"LA-C.C. 1.0%4.79.2

D$VAN !"SID SAIN"A- C.C 10%&0244

CODIGO 100411 - Grupo 413

Tutor

LIC. CRISTIAN CAMILO CASTIBLANCO

UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA

CEAD TUNJA

CURSO CALCULO INTEGRAL

MONIUIRA! NOVIEMBRE DEL "01#

http://campus04.unad.edu.co/campus04_20152/user/view.php?id=526016&course=8http://campus04.unad.edu.co/campus04_20152/user/view.php?id=526016&course=8


2/24

INTROD$CCION

Existen múltiples aplicaciones de las integrales en la ingeniería civil, eléctrica,

electrónica, industrial, economía, en la hidráulica, en el trabajo, en el movimiento,

en la estadística, etc. El presente trabajo contiene ejercicios prácticos, en los

cuales no solo se aplican técnicas para resolver integrales, sino principios propios

de cada tipo de problema de aplicación partiendo del análisis de graficas (área

bajo curvas, longitud de curvas, definir volúmenes de sólidos de revolución

mediante diferentes técnicas, centros de masa ! entre otros.

El contenido del documento refleja los conocimientos ad"uiridos en la #nidad $o.%

del &urso 'cadémico denominado &alculo )ntegral, el cual es objeto de estudio

en el campus virtual de la #$'*. &on la actividad reali+ada los estudiantes

tuvimos la oportunidad de ad"uirir destre+as ! nuevos conceptos para desarrollar

integrales en la vida práctica ! profesional, logrando así los objetivos propuestos

por la #niversidad $acional 'bierta ! ' *istancia.


3/24

"!"RCICIOS PROP$"STOS

1. Encuentre el área de la región comprendida entre la curva

x x x x f 6)( 23 −−=

! el eje . -ugerencia Elabore la gráfica para unamejor comprensión del ejercicio.

Solución:

f ( x )= x3− x2−6 x=0

x ( x2− x−6)=0

x ( x−3 ) ( x+2 )=0

Sus raíces son:

x=−2

x=0

x=3

Entonces se calcula el área entre -2 y 0


4/24

x

( x3− x2−6 x ) dx+∫0

3

(¿¿3− x2−6 x)dx

∫−2

0

¿

∫−2

0

x3dx−∫

−2

0

x2dx−6∫

−2

0

xdx

¿ 1

4 [ x 4 ]−2

0

−1

3 [ x3 ]−2

0

−6

2 [ x2 ]−2

0

¿ 1

4 [0−16 ]−1

3 [0+8 ]−3 [0−4 ]

¿−16

4 −

1

3(8 )+12=

16

3

Ahora calcula el área entre 0 y 3:

¿∫0

3

x3dx−∫

0

3

x2dx−∫

0

3

6 x dx

¿ 1

4 [ x 4 ]0

3

−1

3[ x3 ]0

3

−6

2[ x2 ]0

3

¿ 1

4 ⌈ 3

4−04 ⌉−1

3[33−03 ]−3 [32−02 ]

¿ 1

4 (81 )−

1

3(27 )−27

¿−63

4

Entonces el área total es:

Total=¿|−634 |+|163 | A¿

Total=¿63

4 +

16

3

A¿

A total=253

12 =21,0833


5/24

2. &alcular el área de la región limitada por las curvas x y 22 =

e.4−= x y

-ugerencia Elabore la gráfica ! despeje x en función de ! en las curvas dadas.

S'()*+,n

y2=2 x →x=

y2

2 =g( y )

y= x−4 →x= y+4=f ( y)

0 2 4 6 8 10 12 14

-4

-2

0

2

4

6

Area de la regiòn Limitada

X

Y

¿∫a

b

[ f ( y )−g(g)]=∫−2

4

[ ( y+4 )= y2

2 ]dy

y+4− y2

2

(¿)dy=∫−2

4

y dy+∫−2

4

4 dy−∫−2

4

y2

2 dy

A=∫−2

4

¿


6/24

At = y

2

2 { 4−2+4 y { 4−2− y

3

6 { 4−2

A=42−(−2)2

2

+ [4 (4 )−4 (−2 ) ]−43−(−2)3

6

A=16−4

2 +16+8−

64−86

A=12

2 +16+8−

72

6

A=6+16+8−12

At =18U 2

3. *ada la curva

24 x y −=

la cual gira alrededor del eje x, /cuál será el área

de la superficie de revolución, generada en el intervalo[ ]1,1−

0 (1a superficie esuna porción de una esfera de radio 2

S'()*+,n

f ( x )=√ 4− x2

x1¿2

¿1−¿

f ( x )√ ¿

As=2π ∫c

d

¿

dy

dx= − x

√ 4− x2


7/24

As=2π ∫−1

1

√ 4− x2∗(√1−[ − x√ 4− x2 ]2

)dx

As=2π ∫−1

1

√ 4− x2∗

√4− x

2

+ x2

4− x2 dx

As=2π ∫−1

1

√ 4− x2∗√ 4

√ 4− x2dx

As=2π ∫−1

1

2dx

As=2∗2π ∫−1

1

dx

As=4π x ( 1−1)

As=4π [1−(−1) ]=4 π [1+1 ]

As=2∗4 π

As=8 π Unidades Cuadradas

4. *etermine la longitud de la curva

)cos(ln x y = en el intervalo

[ ]3,0 π .

S'()*+,n


8/24

[ f ' ( x)]1+¿¿¿2¿√ ¿

L=∫a

b

¿

3rimero hallamos f ' ( x )

x

cos¿dy

dx=

1

cos x

d

dx¿

x

−sin¿dy

dx=

1

cos x ¿

dy

dx=−sin xcos x

=−tan x

L=∫0

π

3

√ 1+(−tanx )2

dx

L=∫0

π

3

√ 1+(tan x)2

dx

x

sec ¿¿¿2¿¿√ ¿

L=∫0

π

3

¿

L=∫0

π

3

secxdx


9/24

x+ tan xsec¿¿¿¿

ln ¿

L=¿π

3

0+ tan0sec ¿¿¿¿

π

3 +tan ¿−ln ¿

sec ¿¿

L=ln ¿

L=ln (2+√ 3 )−ln(1+0)

2+√ 3(¿)−0

L=ln¿

L=1.3170

N'ta Para ((ear a( res)(ta/' /e( *+ta/' eer*+*+' Se* se +nter, /e (a

s+)+ente anera

∫ secxdx

4ultiplicamos arriba ! abajo por

secx+ tanxsecx+ tan x

∫ secx∗sec x+ tan xsecx+ tan x dx

¿∫ sec2 x+secxtanx

secx+ tan x

5acemos u=secx+tanx


10/24

du=secx tan x+sec2 x dx

Entonces la integral "ueda de la forma

∫

du

u

¿ ln|u|+C

3ero u=sec x tan x

Entonces la respuesta es

∫ secxdx=ln|secx+tanx|+C

%. Encontrar el volumen del sólido formado al girar la región acotada por 22)( x x f −=, !

1)( = x g alrededor de la recta

.1= y -ugerencia #tilice el

método de los discos para hallar el volumen del sólido ! elabore la gráfica parauna mejor comprensión del ejercicio.

S'()*+,n

f ( x )=2− x2

g ( x )=1

y=1

5allamos los puntos de corte entre f(x ! g(x

f ( x )=g ( x )

2− x2=1

x2=2−1

x2=1

x=±1

3ara calcular el radio, restamos g ( x ) de f ( x)


11/24

R ( x)=f ( x )−g ( x )=(2− x2 )−1=1− x2

6inalmente para hallar el volumen integramos entre 78 ! 8

V =π ∫a

b

[ R ( x ) ]2

dx=π ∫−1

1

(1− x2)2

dx

V =π ∫−1

1

(1−2 x2+ x4 )dx

V =[π ( x−2 x3

3 +

x5

5 )]−11

V =[πx−23 π x3+π x55

]−1

1

V =π [ x ]−11−

2

3 π [ x3 ]−1

1

+π

5 [ x5 ]−1

1

V =π [1−(−1)]−23 π [1−−(1 ) ]+ π

5 [1−(−1)]

V =2 π −4

3 π +

2

5 π

V =16

15 π ≈3,35

. 5alle el volumen del sólido generado al rotar sobre el eje x 9 78 la región

encerrada por la parábola

2 y x = , ! la recta x 9 2!. -ugerencia #tilice el

método de las arandelas para hallar el volumen del sólido ! elabore la gráfica parauna mejor comprensión del ejercicio.

S'()*+,n


12/24

3rimero hallamos los puntos de corte

x= y2

x=2 y

Entonces se igualan las x y

2=2 y

y2−2 y=0

y ( y−2 )=0

3or lo tanto y=0

y=2

1as coordenadas de nuestros puntos serán

(0,0)(4,2)

5allamos el área

A ( y )=[2 y−(−1)]2−[ y2−(−1)]2

A ( y )=[2 y+1 ]2− [ y2+1 ]2

A ( y )=[4 y2+4 y+1 ]− [ y4+2 y2+1 ]

A ( y )=− y4+2 y 2+4 y

V =π ∫0

2

(− y4

+2 y2

+4 y )dy

V =−π ∫0

2

y4dy+2π ∫

0

2

y2dy+4 π ∫

0

2

ydy

V =−π 5

[ y5 ]02

+2

3 π [ y3 ]0

2

+2π [ y2 ]02


13/24

V =−π 5

[25 ]+ 23

π [23 ]+2π [22 ]

V =−325

π +16

3 π +8π

V =10415

π

7. 5allar el centroide),(

_ _

y x de la región limitada por la curva

2 x y = ! la recta

2+= x y.

y= x2

y= x+2

x+2= x2

x2− x−2=0

( x+1 ) ( x−2 )=0

x=−1 x=2

´ x=∫−1

2

x [ x+2− x2 ] dx

∫−1

2

[ x+2− x2 ]dx


14/24

¿∫−1

2

[ x2+2 x− x3]dx

∫−1

2

[ x+2− x2 ] dx

¿[13 x3+2∗12 x2− 14 x4]−1

2

[12 x2+2 x−13 x3]−12

−1¿2−1

4 (−1¿4)

−1¿3+¿

¿−1¿3

−1¿2+2 (−1 )−1

3 ¿

1

2¿

1

2∗22+2∗2−

1

3∗23−¿

1

3¿

1

3 (2 )3

+22

−1

4 (2 )4

−¿¿¿¿

¿(83+4−4−(−13 +1−14 ))2+4−

8

3−( 12−2+

1

3 )

¿

9

4

9

2 =

9∗29∗4

=2

4=

1

2


15/24

x+2¿2− x4

¿dx¿¿

1

2∫−1

2

¿

´ y=¿

¿

1

2∫−1

2

[ x2+4 x+4− x4 ]dx

9

2

¿

1

2

[1

3

x3+

4∗1

2

x2+4 x−

1

5

x5

]−1

2

9

2

¿

1

2 [ 13 (2 )3+2∗22+4∗2−15 (2 )5−( 13 (−1 )+2−4+ 15 )]9

2

¿

1

2 [ 13∗8+8+8−325 + 13−2+4−15 ]9

2

¿

1

2 [ 725 ]9

2

=72

45

¿( 12 , 7245 )


16/24

&. #na varilla de longitud :; cm tiene una densidad lineal "ue varíaproporcionalmente al cuadrado de su distancia a uno de los extremos, es decir

2)( x R x = ρ para < una constante. -i la densidad en el extremo más pesado es de

=2;; g>cm, halle su masa total ! centro de masa (&e.

)( x ρ

9 unidades de masapor unidad de longitud.

S'()*+,n

S'()*+,n

ρ ( x)= asa

Longitud=7200

g

c!

7200 g

c!= R x2, "erox=60

3or lo tanto

R=7200

602

R=7200

3600

R=2

'hora se halla la 4asa

=∫0

L

ρ ( x )dx

=∫0

60

2 x2dx

=2∫0

60

x2dx

=2

3

[ x3 ]0

60

=2

3[603 ]

=144000


17/24

´ x=∫0

L

xρ ( x ) dx

∫0

L

ρ ( x )dx

∫0

60

x∗(¿2 x2)dx

∫0

60

2 x2dx

´ x=¿

´ x=

2∫0

60

x3dx

2∫0

60

x2dx

´ x=

2

4[ x4 ]

0

60

2

3[ x3 ]

0

60

´ x=

2

460

4

2

360

3

´ x=6480000144000

´ x=45

El centro de masa está a ?@ cm del extremo más liviano o a 8@ cm del extremomás pesado 9. 1a aceleración de una partícula "ue se mueve a lo largo de una recta es

./)cos()( 22 seg mt t a π π =

-i en el instante inicial

)0( =t

, la posición de la

partícula es)0( = s ! la velocidad es

./8 seg mv = 5allar

s cuando

.1=t

S'()*+,n


18/24

a=π 2cos (πt )

#=8

t =0

a=# $ (t )

# (t )=∫ π 2cos(πt )dt

# (t )=[π sin ( πt )+C ]

# (t )=π sin (πt )+C

Cuando V (0 )=8

Entonces C =8

La expresin para la !elocidad es:# (t )=π sin ( πt )+8

"ado #ue # ( t )=s $ (t )

Entonces

s (t )=∫ π sin ( πt )+8dt

s (t )=8 t −cos (πt )+ %

La otra condicin del pro$le%a dices (0 )=0

s (0 )=8 (0 )−cos (0 t )+ %=0

s (0 )=0−1+ %=0

&or lo tanto: %=1

' la expresin para la posicin resulta:s (t )=8 t −cos (πt )+1

Ahora e!alua%os la posicin en t(1s (1 )=8 (1 )−cos ( π (1 ) )+1

s (1 )=8−cos ( π )+1

s (1 )=9−cos (π )

s (1 )=9−(−1)

s (1 )=9+1

s (1 )=10

&or lo tanto:


19/24

s (1 )=10!etros

10. #na fuer+a de ?; $ se re"uiere para detener un resorte "ue está estiradodesde su longitud natural de 8; cm a una longitud de 8@ cm. /&uánto trabajo se

hace al estirar el resorte de 8@ a 8A cm0

S'()*+,n

f ( x )=x

&uando se estira desde 8; cm a 8@ cm, el estiramiento es de @ cm9;.;@m. Es

decir "ue f (0.05 )=40 , lo "ue "uiere decir "ue

0.05 ( =40

= 400.05

=800

f ( x )=800 x

Entonces el trabajo será

) =∫0.05

0.08

800 xdx

) =800

2 [ x2 ]0.05

0.08

) =400 (0.082

−0.052

)) =400(0.0039)

) =1.56*

11. 1as funciones de la oferta ! la demanda de cierto producto están dadas por

( ) x xS 22 += !

( ) .100 2 x x D −=*etermine el excedente del consumidor !

del productor, suponiendo "ue se ha establecido el e"uilibrio del mercado.

S'()*+,n

3rimero se igualan -(x9*(x

52+2 x=100− x2

x2+2 x=100−52

x ( x+2 )=48


20/24

x2+2 x−48=0

( x+8 ) ( x−6 )=0

3or tanto x=−8

x=6

5allamos luego el punto de e"uilibrio al reempla+ar x9: en cual"uiera de las 2ecuaciones

+ (6 )=52+2 (6 )=64

El 3unto de e"uilibrio es (6,64 )

3ara hallar el excedente del consumidor usamos

-C =∫0

.

% ( x ) dx−./

-C =∫0

6

(100− x2 )dx−(6 ) (64 )

-C =∫0

6

100dx−∫0

6

x2

dx−384

-C =100∫0

6

dx−∫0

6

x2

dx−384

-C =100 [ x ]06−1

3 [ x3 ]0

6

−384

-C =100 (6−0 )−1

3 (63−03 )−384

-C =600−72−384

, -C =144

3ara hallar el excedente del productor usamos

- /=./−∫0

.

+ ( x ) dx

- /=(6 ) (64 )−∫0

6

(52+2 x ) dx

- /=384−∫0

6

52dx−2∫0

6

x dx


21/24

- /=384−52∫0

6

dx−2∫0

6

x dx

- /=384−52 [ x ]06−

2

2[ x2 ]0

6

, - /=384−52(6−0 )−(36−0)

- /=384−312−36

, - /=36

12. El costo marginal de un artículo cuando se producen x unidades es

4000603 2 ++− x xpesos por unidad. -i el costo total de producción de las 8;

primeras unidades es BC;;;;, /cuál es el costo total de producción de las @;primeras unidades0

S'()*+,n

C ,( x)=−3 x

2+60 x+4000

3 x2

(¿¿+60 x+4000)dx

C ,

( x)=∫¿

C ∫¿

C ,

( x)=− x3+30 x2+4000 x+Co 0uncioncosto total

C (10 )=− x3+30 x2+4000 x+Co

10¿2+4000 (10 )+Co10¿3+30¿

90000=−¿

90000=−10000+3000+40000+Co

90000=42000+Co


22/24

Co=48000

C ( x)=− x3+30 x2+4000 x+48000

50¿2+4000 (50)+4800050¿3+30¿C (50)=−¿

C (50)=−125000+75000+200000+48000

C (50)=198000

lcostode "roduccion delas50 "ri!erasunidades esde 1198000

CONCL$SION"S


23/24

En las integrales como herramienta matemática, se pueden utili+ar graficas

con regiones planas en dos casos específicos, el área bajo una curva ! el

área entre las curvas.

#na función f(x cu!a primera derivada es continua, se denomina -#'DE !

su gráfica es una curva suave.

El volumen de la superficie de una revolución se puede hallar aplicando

varias técnicas o métodos a saber 4étodo de 'randelas, 4étodo de

cas"uetes cilíndricos ! método de rebanadas o discos.

*e acuerdo a los principios de dinámica ! mecánica, se sabe "ue el

momentum es el producto de la masa ! la distancia respecto a un punto de

e"uilibrio)

-egún el teorema del Dolumen, si una región plana < se gira alrededor de

una recta en el plano "ue no interfecta el interior de la región, entonces el

volumen del sólido "ue se genera es igual al área de la región multiplicada

por la distancia recorrida por el centroide de la región durante el giro.

En la actualidad existen aplicaciones en el softare computacional "ue

contribu!en con el aprendi+aje del cálculo )ntegral, entre ellos, los

denominados programas graficadores ! "ue solucionan integrales

indefinidas ! definidas como *E


24/24

Educatina. (;8 de febrero de 2;82. Aplicación de integral: cálculo de áreas - análisis

matemático. IvideoJ. *isponible en http>>.!outube.com>atch0v9K;Lh)GMrMAE

'!ala, K. (2;8%. Videos en Texto Unidad 3. >datateca.unad.edu.co>contenidos>8;;?88>&alculoNintegral78;;?88NversionN'D'>DideosNenNtextoN#nidadN%.pdf

Gareas 3lus. (2A de agosto de 2;82. Volumen de sólidos y la integral definida

(conceptos). IvideoJ. *isponible en http>>.!outube.com>atch0v9%&LaM@K":#

Gareas 3lus. (2C de agosto de 2;82. Volumen de un sólido de reolución e!emplo ".

IvideoJ. *isponible en http>>.!outube.com>atch0v9uOnlPP%)a4)

'!ala, K. (2;8%. Videos en Texto Unidad 3. >datateca.unad.edu.co>contenidos>8;;?88>&alculoNintegral7

8;;?88NversionN'D'>DideosNenNtextoN#nidadN%.pdf

'!ala, K. (2: de febrero de 2;8%. Aplicación de la integral a la f#sica $ tra%a!o mecánico.

IvideoJ. *isponible en http>>.!outube.com>atch0v9ug7dv*f#A.!outube.com>atch0v9g@)s&@:f&@'

>.!outube.com>atch0v9C++4A-%l=?)

'!ala, K. (2;8%. Videos en Texto Unidad 3. >datateca.unad.edu.co>contenidos>8;;?88>&alculoNintegral78;;?88NversionN'D'>DideosNenNtextoN#nidadN%.pdf
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