s. pehlivan analiz ‹v ders notlar‹1 6 ˙OK KATLI • INTEGRALLER ˙ok katl‹integraller ba‚ sl‹… g‹alt‹nda, nce iki katl‹integralleri ve zelliklerini inceleyece… giz. • Iki katl‹integrallerin, integral alma tekni… gi ynünden tek de… gi‚ skenli fonksiyonlar‹n integral alma tekniklerinden farkl‹olmad‹… g‹n‹, integralalmas‹ras‹n‹nde… gi‚ stirilebilece… gini ve bunun yntemini verece… giz. Ayr‹ca de… gi‚ skenlerimizi de… gi‚ stirerek daha kolay integral alabilece… giz. f : R 2 ! R 2 fonksiyonu ve D R 2 blgesi verilsin. Bu durumda iki katl‹integral ZZ D f (x; y) dxdy D blgesinin üzerinde z = f (x; y) fonksiyonunun belirledi… gi yüzeyin alt‹nda kalan hacim olarak belirlenebilir. 6.1 ‚ Sekil D blgesini küük dikdrtgen blgelere blsek her bir hacmi yakla‚ s‹k olarak hesaplayabil-
This document is posted to help you gain knowledge. Please leave a comment to let me know what you think about it! Share it to your friends and learn new things together.
Transcript
s. pehlivan analiz ¬v ders notlar¬1
6 ÇOK KATLI ·INTEGRALLERÇok katl¬integraller basl¬¼g¬alt¬nda, önce iki katl¬integralleri ve özelliklerini inceleyece¼giz.·Iki katl¬integrallerin, integral alma tekni¼gi yönünden tek de¼giskenli fonksiyonlar¬n integralalma tekniklerinden farkl¬olmad¬¼g¬n¬, integral alma s¬ras¬n¬n de¼gistirilebilece¼gini ve bununyöntemini verece¼giz. Ayr¬ca de¼giskenlerimizi de¼gistirerek daha kolay integral alabilece¼giz.
f : R2 ! R2 fonksiyonu ve D � R2 bölgesi verilsin. Bu durumda iki katl¬integral
ZZD
f (x; y) dxdy
D bölgesinin üzerinde z = f (x; y) fonksiyonunun belirledi¼gi yüzeyin alt¬nda kalan hacimolarak belirlenebilir.
6.1 Sekil
D bölgesini küçük dikdörtgen bölgelere bölsek her bir hacmi yaklas¬k olarak hesaplayabil-
s. pehlivan analiz ¬v ders notlar¬2
iriz. Yüzey alt¬nda kalan hacim için yaklas¬m Sekil 6.2 deki gibi gösterilebilir.
6.2 Sekil: Ai tabanl¬prizman¬n hacmi : Ai � f (xi; yi)
Buradaki yaklas¬k hacimlerin yaklas¬k toplamlar¬, f sürekli iseZZD
f (x; y) dxdy
dir. Çok katl¬integraller daha yüksek boyutlara da uygulanabilir. Benzer olarak
ZZD
:::Rf (x1; x2; :::; xn) dx1dx2:::dxn
n-katl¬ integrali verilebilir; ancak bu durumda bu integrali gözönünde canland¬rabilmekçok kolay de¼gildir.
6.1 ·Iki Katl¬·Integraller·Iki katl¬ integral hesab¬nda ard¬s¬k olarak integral alma kurallar¬kullan¬l¬r. Bu k¬s¬mdaöncelikle iki katl¬integral tan¬mlan¬p, baz¬örnekler verilecektir.
6.1.1 Dikdörtgen Üzerinde ·Iki Katl¬·Integraller
Önce [a; b]�[c; d] düzgün dikdörtgensel bölgede durumu inceleyece¼giz. [a; b] nin parçalan¬s¬
a = x0 < x1 < x2 < ::: < xm = b
ve her j = 1; 2; :::;m için xj�1 � rj � xj olsun. �xj = xj � xj�1 ise j = 1; 2; :::;miçin �xj = h ise parçalan¬s¬n h-incelikte oldu¼gu söylenir. Böylece bu islemlerin tümünü
s. pehlivan analiz ¬v ders notlar¬3
fx0; xj ; rjg ; j = 1; 2; :::;m : [a; b] nin h incelikte bir parçalan¬s¬d¬r seklinde tan¬mlaya-biliriz. Benzer sekilde [c; d] nin l-incelikte bir parçalan¬s¬n¬ da fy0; yk; tkg ile göstere-lim. Bu durumda [xj�1; xj ]� [yk�1; yk] dikdörtgenleri [a; b]� [c; d] dikdörtgenlerinin birerparçalan¬s¬d¬r ve (rj ; tk) noktalar¬[xj�1; xj ]� [yk�1; yk] dikdörtgenlerinin içindedir.
6.3 Sekil : D bölgesi [xj�1; xj ]� [yk�1; yk]
6.1.2 Tan¬m (Riemann Toplam¬) [a; b]�[c; d] nin fx0; xj ; rjg j = 1; 2; :::;m ve fy0; yk; tkgk = 1; 2; :::; n parçalan¬s¬olsun.
mXj=1
nXk=1
f (rj ; tk)�xj�yk
toplam¬na bir f (x; y) fonksiyonunun Riemann toplam¬denir.
6.1.3 Tan¬m (·Iki Katl¬·Integral) h ve l ince parçalan¬slar¬üzerinden Riemann toplam-lar¬n h ve l; 0 a yaklas¬rken limitleri [a; b] � [c; d] üzerinden f (x; y) nin iki katl¬integraliolarak adland¬r¬l¬r.
ZZ[a;b]�[c;d]
f (x; y) dA = limh!0
liml!0
mXj=1
nXk=1
f (rj ; tk)�xj�yk
ile verilir.
6.1.4 Herhangi Bir Bölge Üzerinden ·Iki Katl¬·Integral
Bir dikdörtgenden çok D s¬n¬rl¬ bölgesi üzerinde iki katl¬ integrali tan¬mlamak için Dbölgesini içinde bulunduran [a; b]� [c; d] dikdörtgenini seçeriz ve g (x; y) fonksiyonunu
g (x; y) =
�f (x; y) ; (x; y) 2 D0 ; di�ger yerlerde
s. pehlivan analiz ¬v ders notlar¬4
biçiminde tan¬mlar¬z. Böylece key� bir D bölgesi üzerindeki f (x; y) nin iki katl¬integrali
ZZD
f (x; y) dA =
ZZ[a;b]�[c;d]
g (x; y) dA
ile tan¬mlan¬r (Sekil 6.4). Simdi iki katl¬ integraldeki toplamlar¬daha iyi anlayabilmekiçin asa¼g¬daki sekilleri inceleyelim.
6.4 Sekil : Key�D bölgesi
Bölgemiz her zaman düzgün bir dikdörtgen olmayabilir. Bu bölgeyi x ve y-eksenine paraleldo¼grularla küçük parçalara ay¬r¬r¬z.
6.5 Sekil : Birim parça
s. pehlivan analiz ¬v ders notlar¬5
Bu bölgede herbir sat¬r¬ayr¬ayr¬gözönüne alal¬m.
4.6.Sekil (a) : Üstten bak¬s
Bu bölgeye yandan bakarsak,
6.6 Sekil (b) : Yandan bak¬s
seklinde görürüz. D bölgesinde yj ve yj + �yj aras¬ndaki küçük dikdörtgen bölgeninüzerindeki hacmi gözönüne al¬rsak,
6.7 Sekil : Uzaydan bak¬s
s. pehlivan analiz ¬v ders notlar¬6
yaklas¬k olarak; Xi
f (xi; yj)�xi�yj =
(Xi
f (xi; yj)�xi
)�yj
ile hesaplan¬r. Yani bu ince serit üzerinde olusan hacim
6.8.Sekil
yaklas¬k olarak, 8><>:b(yj)Za(yj)
f (x; yj) dx
9>=>;�yjelde ederiz. Her bir ayr¬sat¬rdan elde edilen hacimleri toplayarak yaklas¬k hacmi bulabil-iriz. Böylece z = f (x; y) yüzeyi alt¬nda kalan tahmini hacim
Xj
8><>:b(yj)Za(yj)
f (x; yj) dx
9>=>;�yjolur. Bu yaklas¬k esitlikten
dZc
8><>:b(y)Za(y)
f (x; y) dx
9>=>; dy
elde ederiz. Bu integrali daha çok parantez kullamadan
dZc
b(y)Za(y)
f (x; y) dxdy seklinde ifade
ederiz. Her bir dikdörtgenin alan¬s¬f¬ra do¼gru daralt¬l¬rsa dikdörtgenlerin say¬s¬h¬zla artarve asa¼g¬daki integrali buluruz.
ZZD
f (x; y) dxdy =
dZc
b(y)Za(y)
f (x; y) dxdy
s. pehlivan analiz ¬v ders notlar¬7
Bu integral, tekrar eden integral olarak hesaplanabilir. Önce her bir c � y � d için
I (y) =
b(y)Za(y)
f (x; y) dx
hesaplan¬r daha sonradZc
I (y) dy
hesaplan¬r. Bazen de her bir sat¬r yerine her bir kolon al¬narak hesaplan¬r. Buna göre
6.9 Sekil
ZZD
f (x; y) dxdy =
bZa
d(x)Zc(x)
f (x; y) dydx
elde edilir. Burada suna dikkat edelim;
dZc
b(y)Za(y)
f (x; y) dxdy =
bZa
d(x)Zc(x)
f (x; y) dydx
dir.
Not: ·Iki katl¬integralin de¼geri :D üzerinde f (x; y) = 1; ise iki katl¬integral D nin alan¬d¬r ve buradanZZ
D
f (x; y) dA =
ZZD
1dA = A (D)
elde edilir. Önce düzgün bir bölge üzerinde f (x; y) fonksiyonunun iki katl¬ integralhesab¬n¬bir örnekle verdikten sonra, tekrar eden integralin yorumuna yönelik bir örnek
s. pehlivan analiz ¬v ders notlar¬8
verece¼giz.
6.1.5 Örnek: z = f (x; y) =
8<: 1 ; 0 � x � 3; 0 � y � 12 ; 0 � x � 3; 1 � y � 23 ; 0 � x � 3; 2 � y � 3
ile tan¬ml¬ f fonksiy-
onunun, asa¼g¬da verilen D bölgesi
D = f(x; y) : 0 � x � 3; 0 � y � 3g
üzerinden ZZD
f (x; y) dA
iki katl¬integralinin de¼gerini hesaplay¬n¬z.
Çözüm: Öncelikle D bölgesini gözönüne alal¬m D = f(x; y) : 0 � x � 3; 0 � y � 3gBu D bölgesini D1, D2 ve D3 (Bknz. Sekil 6.10).
6.10 Sekil : D ve D = D1 [D2 [D3 bölgesi
D1 = f(x; y) : 0 � x � 3; 0 � y � 1gD2 = f(x; y) : 0 � x � 3; 1 � y � 2gD3 = f(x; y) : 0 � x � 3; 2 � y � 3g
biçminde olmak üzereD = D1 [D2 [D3
seklinde yazal¬m. O zaman iki katl¬ integrali, integralin toplamsal özelli¼ginden yararla-narak ZZ
6.1.7 Örnek: z = 4�x�y düzlemi alt¬nda D : f(x; y) : 0 � x � 2; 0 � y � 1g dikdört-gen bölgesi üzerindeki hacmi yaklas¬k olarak yukar¬daki aç¬klamalara göre hesaplay¬n¬z.
Çözüm: x-eksenine paralel dilim boyunca hacim hesaplamak istersek; (Sekil 6.12) y sabittutulup, x e göre integral al¬narak kesit alan elde edilir.
6.12 Sekil
y nin fonksiyonu olarak;
I (y) =
x=2Zx=0
(4� x� y) dx =�4x� x
2
2� xy
�x=2x=0
= 6� 2y
buluruz. Böylece tüm hacim:
V =
y=1Zy=0
I (y) dy =
y=1Zy=0
(6� 2y) dy = [6y � y]y=1y=0 = 5
s. pehlivan analiz ¬v ders notlar¬11
sonucunu elde ederiz. Benzer yolla x sabit tutulup, y ye göre integral al¬narak kesit alanelde edilir. (Sekil 6.13)
6.13 Sekil
I (x) =
y=1Zy=0
(4� x� y) dy
x in herbir de¼geri için I (x) =
y=1Zy=0
(4� x� y) dy hesaplanabilir. Bu x deki kesit düzlemde
z = 4�x�y alt¬ndaki aland¬r. x sabit tutularak y ye göre integral alarak I (x) i hesaplar¬z.Toplam hacmi hesaplamak için
V =
x=2Zx=0
I (x) dx =
x=2Zx=0
0@y=1Zy=0
(4� x� y) dy
1A dx=
x=2Zx=0
�4y � xy � y
2
2
�y=1y=0
dx
=
x=2Zx=0
�7
2� x
�dx
=
�7
2x� x
2
2
�20
= 5
elde ederiz. ·Iki hacim hesaplamas¬nda da tekrar eden integraller kullan¬lm¬st¬r. D =
s. pehlivan analiz ¬v ders notlar¬12
f(x; y) : 0 � x � 2; 0 � y � 1g bölgesi üzerindeZZD
(4� x� y) dA
ile hesaplan¬r.
Bu dikdörtgen bölge üzerinde iki katl¬integral hesab¬üzerine Guido Fubini (1879-1943)taraf¬ndan 1907 de yay¬nlanan teoreme göre bir dikdörtgen üzerinde herhangi bir süreklifonksiyonun integrali, integral s¬ras¬de¼gistirilerek hesaplanabilir. Bu teoremi vermedenönce örneklerde de gerek duydu¼gumuz iki katl¬integralin baz¬özelliklerini verelim. Dahasonra da Fubini teoremlerini verece¼giz.
6.2 ·Iki Katl¬·Integralin ÖzellikleriSürekli fonksiyonlar¬n iki katl¬ integralleri, tek katl¬integrallere benzer, hesaplamada veuygulamada faydal¬cebirsel özelliklere sahiptir. Bu özellikler:
1. k herhangi bir say¬olmak üzereZZD
kf (x; y) dA = k
ZZD
f (x; y) dA d¬r.
2.ZZD
(f (x; y)� g (x; y)) dA =ZZD
f (x; y) dA�ZZD
g (x; y) dA d¬r.
3. D üzerinde f (x; y) � 0 iseZZD
f (x; y) dA � 0 d¬r.
4. D üzerinde f (x; y) � g (x; y) iseZZD
f (x; y) dA �ZZD
g (x; y) dA d¬r.
5. Ayn¬çesit tan¬m kümesi üzerinde tan¬ml¬iki, iki katl¬integral toplam¬; bu bölgelerinbirlesimi üzerinden al¬nan iki katl¬integrale esittir. Yani,ZZ
D
f (x; y) dA =
ZZD1
f (x; y) dA+
ZZD2
f (x; y) dA
d¬r(Bknz. Sekil 6.14 ).
6.14 Sekil:ZZD1[D2
f (x; y) dA =
ZZD1
f (x; y) dA+
ZZD2
f (x; y) dA
6.2.1 Örnek: 0 < r1 < r2 ve D =�(x; y) : r21 � x2 + y2 � r22; y > 0
olsun. Bu bölge
üzerinden f (x; y) = xy fonksiyonunun integralini hesaplay¬n¬z.
s. pehlivan analiz ¬v ders notlar¬14
Çözüm:
6.15 SekilZZD
xydA =
ZZD1
xydA+
ZZD2
xydA+
ZZD3
xydA
d¬r. Buradaki her bir integral ayr¬ayr¬hesaplan¬r (Bknz. Sekil 6.15). D1 bölgesi için:
ZZD1
xydA =
�r1Z�r2
2664y=pr22�x2Z
y=0
xydy
3775 dx =�r1Z�r2
hx2y2iy=pr22�x2y=0
dx
=1
2
�r1Z�r2
x�r22 � x2
�dx =
1
2
�x2
2r22 �
x4
4
�x=�r1x=�r2
= ��r22 � r21
�28
bulunur. D2 bölgesi için:
ZZD2
xydA =
r1Z�r1
2664pr22�x2Z
pr21�x2
xydy
3775 dx =r1Z�r1
1
2x�r22 � r21
�dx = 0
bulunur. Son olarak D3 bölgesi için:
ZZD3
xydA =
r2Zr1
2664pr22�x2Z0
xydy
3775 dx =r2Zr1
1
2x�r22 � x2
�dx =
�r22 � r21
�28
olarak bulunur. Bu üç bölge üzerinden integrallerin toplam¬D bölgesi üzerindenZZD
xydA
integralinin de¼geridir. Böylece ZZD
xydA = 0
s. pehlivan analiz ¬v ders notlar¬15
elde edilir.
6.2.2 Teorem (1. Fubini Teremi) D : f(x; y) : a � x � b; c � y � dg dikdörtdenselbölgesi üzerinde sürekli f (x; y) fonksiyonu verilsin.
ZZD
f (x; y) dA =
dZc
bZa
f (x; y) dxdy =
bZa
dZc
f (x; y) dydx
dir. Buna göre Fubini teremi, dikdörtgen bölge üzerinde iki katl¬integral al¬rken integrals¬ras¬n¬n de¼gistirilebilir oldu¼gunu ifade etmektedir. Yukar¬daki örnekte görüldü¼gü gibi x-eksenine dik düzlemler veya y-eksenine dik düzlemler kullan¬larak hacim hesaplanabilir.Bu islemde önce x veya y ye göre integral almak integralin sonucunu etkilemez.
6.2.3 Örnek: D = f(x; y) : 0 � x � 1; �1 � y � 1g bölgesi üzerinden f (x; y) = 1 �3x2y fonksiyonu için ZZ
D
f (x; y) dA
integralini hesaplay¬n¬z.
Çözüm:
ZZD
f (x; y) dA =
1Z�1
1Z0
�1� 3x2y
�dxdy =
1Z�1
�x� x3y
�x=1x=0
dy =
1Z�1
(1� y) dy
=
�y � y
2
2
�y=1y=�1
= 2
integralin s¬ras¬de¼gistirilirse de sonuç ayn¬ç¬kacakt¬r. Gerçekten
1Z0
1Z�1
�1� 3x2y
�dydx =
1Z0
�y � 3
2x2y2
�y=1y=�1
dx =
1Z0
2dx = 2
elde ederiz.
6.2.4 Teorem (2. Fubini Teremi) f fonksiyonu D bölgesi üzerinden sürekli bir
s. pehlivan analiz ¬v ders notlar¬16
fonksiyon olarak verilsin.
6.16 Sekil
(i) D = f(x; y) : a � x � b; g1 (x) � y � g2 (x) j g1 ve g2; [a; b] üzerinde süreklig ol-sun (Sekil 6.16 (a)).
ZZD
f (x; y) dA =
bZa
g2(x)Zg1(x)
f (x; y) dydx
dir.(ii) D = f(x; y) : c � y � d; h1 (y) � x � h2 (y) j h1 ve h2; [c; d] üzerinde süreklig
6.2.6 Örnek: D = f(x; y) : 0 � x � 1; 0 � y � xg bölgesi üzerindenZZD
sinx
xdA
integralini hesaplay¬n¬z.
s. pehlivan analiz ¬v ders notlar¬18
Çözüm: (Bknz. Sekil 6.18)
6.18 Sekil
1Z0
0@ xZ0
sinx
xdy
1A dx = 1Z0
�ysinx
x
�y=xy=0
dx =
1Z0
sinxdx = � cos (1) + 1 � 0; 46
Dikkat edilecek olursa integrasyon s¬ras¬yerde¼gistirilirse,
1Z0
1Zy
sinx
xdxdy
integrali elde edilir. BuZ
sin xx dx integrali bildi¼gimiz temel tekniklerle hesaplanamaz. Bu
durumda bazen integral s¬ras¬n¬n de¼gistirilmesi ise yarayabilir. Buna ait örneklere geçme-den önce integral s¬n¬rlar¬n¬belirlemek için yap¬lan islemleri gözden geçirelim.
6.2.7 ·Integral S¬n¬rlar¬n¬n Belirlenmesi
D =n(x; y) : 0 � x � 1; 1� x � y �
p1� x2
oD bölgesi üzerinden
ZZD
f (x; y) dA iki katl¬integralini hesaplayabilmek için iki yol izleye-
biliriz.(a) Önce y ye göre sonra x ye göre integral alabiliriz. Bu durumda:
s. pehlivan analiz ¬v ders notlar¬19
1. Önce bölgeyi belirleyen e¼grileri çizeriz (Bknz. Sekil 6.19).
6.19 Sekil
2. ·Integralin y s¬n¬rlar¬n¬belirlemek için: D bölgesini y nin artan yönünde bir L do¼grusuile keseriz. Bu bölgeyi dikey kesen hayali bir do¼grudur. D bölgesini ilk kesti¼gi ve bölgeyiterk etti¼gi noktalar¬belirleriz. Bunlar y için integral s¬n¬rlar¬d¬r (Bknz Sekil 6.20).
6.20 Sekil
3. ·Integralin x s¬n¬rlar¬n¬belirlemek için: Dikey do¼grunun bölgeyi tarad¬¼g¬nda x in ald¬¼g¬
s. pehlivan analiz ¬v ders notlar¬20
en küçük ve en büyük de¼gerlerdir.
6.21 Sekil
Böylece integral s¬n¬rlar¬önce y sonra x e göre al¬n¬rsaZZD
f (x; y) dA integrali
ZZD
f (x; y) dA =
x=1Zx=0
y=p1�x2Z
y=1�x
f (x; y) dydx
biçiminde belirlenir(Bknz. Sekil 6.21).(b) Benzer islemler bölgeyi kesen yatay do¼gru boyunca yap¬larak integral s¬n¬rlar¬
kolayca bulunur (Bknz. Sekil 6.22).
6.22 Sekil :ZZD
f (x; y) dA integrali,
ZZD
f (x; y) dA =
y=1Zy=0
x=p1�y2Z
x=1�y
f (x; y) dxdy
s. pehlivan analiz ¬v ders notlar¬21
biçiminde belirlenir.
Simdi integrasyon s¬ras¬n¬n de¼gistirilmesi ile ilgili örneklere geçebiliriz.
6.2.8 Örnek: Asa¼g¬daki integraller için integral bölgelerini belirleyiniz, integral almas¬ralar¬n¬de¼gistiriniz ve hesaplay¬n¬z. Ayr¬ca bölge üzerinde integral s¬ras¬n¬n de¼gismesiintegral de¼gerini de¼gistiriyor mu? Arast¬r¬n¬z.
(a)
2Z0
2xZx2
(4x+ 2) dydx
(b)
3Z1
� 32 (x�3)Z0
dydx
Çözüm: (a) (Bknz. Sekil 6.23)
6.23 Sekil
4Z0
pyZy2
(4x+ 2) dxdy =
4Z0
�2x2 + 2x
�x=pyx= y
2
dy =
4Z0
�2y + 2
py � y
2
2� y
�dy
=
4Z0
��y
2
2+ y + 2
py
�dy =
��y
3
3+y2
2+4
3y32
�y=4y=0
= �43
6+42
2+4
3432 = 8
s. pehlivan analiz ¬v ders notlar¬22
olarak sonuç elde edilir. Verilen integrali hesaplarsak:
2Z0
2xZx2
(4x+ 2) dydx =
2Z0
[4xy + 2y]y=2xy=x2 dx =
2Z0
�8x2 + 4x� 4x3 � 2x2
�dx
=
2Z0
��4x3 + 6x2 + 4x
�dx =
��x4 + 2x3 + 2x2
�x=2x=0
= �16 + 16 + 8 = 8
elde edilir. Buradan görüldü¼gü gibi integral s¬ras¬yerde¼gistirdi¼ginde integral de¼geri de¼gismemek-tedir. Önemli olan integralin bilinen yöntemlerle hesaplanabilir olmas¬d¬r.(b) (Bknz. Sekil 6.24)
6.24 Sekil
3Z0
� 23y+3Z1
dydx =
3Z0
[x]x=� 23y+3x=1 dx =
3Z0
�� 23y + 2
�dx =
3Z0
�� 13y2 + 2y
�y=3y=0
= �3 + 6 = 3
elde edilir. Verilen integrali hesaplarsak:
3Z1
� 32 (x�3)Z0
dydx =
3Z1
[y]x=� 32 (x�3)y=0 dx =
3Z1
�� 32x+
9
2
�dx =
�� 34x
2 +9
2x
�x=3x=1
= �274+27
2���34+9
2
�= 3
bulunur.
6.2 Problemler
1. Asa¼g¬daki integrallerin integrasyon bölgelerini çiziniz ve integralleri hesaplay¬n¬z.
5. 0 � x � �; 0 � y � 1 dikdörtgeni üzerinden f (x; y) = y cosxy fonksiyonunun inte-gralini hesaplay¬n¬z.
6. Asa¼g¬daki fonksiyonlar¬n integrasyon bölgelerini çiziniz, integral alma s¬ralar¬n¬de¼gistirinizve integrallerini hesaplay¬n¬z.
(a)
2Z0
pyZy
dxdy
(b)
1Z0
1�x2Z1�x
dydx
(c)
1Z0
exZ1�x
dydx
(d)
32Z0
9�4x2Z0
16xdydx
s. pehlivan analiz ¬v ders notlar¬24
(e)
2Z0
4�y2Z0
ydxdy
(f)
1Z0
p1�y2Z
�p1�y2
3ydxdy
(g)
2Z0
p4�x2Z
�p4�x2
6xdydx
7. y = x; y = 2x ve x + y = 2 do¼grular¬ aras¬nda kalan bölge üzerindenZZ
xydA
integralini hesaplay¬n¬z.
8. D = f(x; y) : jxj+ jyj = 1g karesinin içindeki bölge üzerindenZZD
�x� 2y2
�dA inte-
gralini hesaplay¬n¬z.
s. pehlivan analiz ¬v ders notlar¬25
6.3 Düzlemin Dönüsümüx = x (u; v) ; y = y (u; v) seklindeki denklemler (u; v) noktas¬ ile (x; y) noktas¬n¬ ilisk-ilendirirler. Bu iki denklemle tan¬mlanan bir T fonksiyonu:
T (u; v) = (x = x (u; v) ; y = y (u; v)) (1)
formülüne göre uv-düzlemindeki noktalarla xy-düzlemindeki noktalar¬ birlestirir. Budönüsüme, uv-düzleminden xy-düzlemine bir T dönüsümü deriz. Buradaki (u; v) nok-tas¬n¬n T dönüsümü alt¬ndaki görüntüsü (x; y) noktas¬d¬r (Sekil 6.25).
6.25 Sekil
uv-düzlemindeki S kümesinin tüm görüntülerinin R kümesi, T dönüsümü alt¬nda S ningörüntüsü olarak adland¬r¬l¬r. uv-düzlemindeki farkl¬noktalar, xy-düzleminde farkl¬görün-tülere sahipse bu durumda T dönüsümüne bire-birdir denir. Bu durumda x = x (u; v) ; y =y (u; v) denklemlerinden x ve y nin fonksiyonlar¬olarak u ve v yi tan¬mlar.
u = u (x; y) ; v = v (x; y) (2)
denklemleri x = x (u; v) ; y = y (u; v) denklemlerinden u ve v çözülerek elde edilir. xy-düzleminden uv-düzlemine tan¬mlanan bir dönüsüm, T nin ters dönüsü- mü alt¬nda (u; v)görüntüsünü veren bir dönüsümdür. Bu dönüsüm T nin tersi olarak adland¬r¬l¬r ve T�1
ile gösterilir.
T dönüsümünün geometrik etkisini görmek için bir yol, uv-düzleminde yatay ve düseydo¼grular¬n, xy-düzlemindeki görüntülerini belirlemektir. Yatay (v = sabit) do¼grular¬ngörüntüleri olan xy-düzlemindeki noktalar¬n kümesi u-e¼grileri olarak adland¬r¬l¬r ve benzersekilde dikey (u = sabit) do¼grular¬n görüntüleri v-e¼grileri olarak adland¬r¬l¬r (Sekil 6.26).
6.26 Sekil
s. pehlivan analiz ¬v ders notlar¬26
6.3.1 Örnek: T dönüsümü uv-düzleminden xy-düzlemine
x =1
4(u+ v) ; y =
1
2(u� v) (3)
denklemleri ile verilsin.(i) T (1; 3) de¼gerini bulunuz,(ii) v = �2;�1; 0; 1; 2 de¼gerine kars¬l¬k gelen u-e¼grilerini çiziniz,(iii) u = �2;�1; 0; 1; 2 de¼gerine kars¬l¬k gelen v-e¼grilerini çiziniz,(iv) u = �2; u = 2; v = �2 ve v = 2 do¼grular¬ ile s¬n¬rl¬uv düzlemindeki karesel
bölgenin T dönüsümü alt¬ndaki görüntüsünü çiziniz.
Çözüm :(i) (3) denkleminde u = 1; v = 3 de¼gerlerini yerine koyal¬m.
T (1; 3) = (1;�1) buluruz.(ii) ve (iii): x ve y nin fonksiyonlar¬olarak u ve v yi ifade edersek:
4x = u+ v
2y = u� v
den u = 2x + y; v = 2x � y elde ederiz. Böylece v = �2;�1; 0; 1 ve 2 için 2x � y =�2; 2x � y = �1; 2x � y = 0; 2x � y = 1 ve 2x � y = 2 buluruz. Benzer sekildeu = �2;�1; 0; 1 ve 2 için 2x+ y = �2; 2x+ y = �1; 2x+ y = 0; 2x+ y = 1 ve 2x+ y = 2elde ederiz. Bu e¼grileri çizelim(Sekil 6.27).
6.27 Sekil
(iv) u = �2; u = 2; v = �2 ve v = 2 s¬n¬r do¼grular¬n¬n belirledi¼gi bölgenin görüntüsü xy
·Iki katl¬integraller için de¼gisken de¼gistirme formülünü elde etmek için, uv-düzlemindekiküçük dikdörtgen bölgenin alan¬n¬ve
x = x (u; v) ; y = y (u; v)
denklemleri ile verilen T dönüsümü alt¬nda xy-düzleminde bulunan görüntüsünün alan¬aras¬ndaki ba¼g¬nt¬y¬anlamaya çal¬smal¬y¬z. Bu amaçla �u ve �v yi pozitif kabul edelimve
u = u0; u = u0 +�u; v = v0; v = v0 +�v
do¼grular¬ile s¬n¬rlanm¬s uv-düzleminde S dikdörtgensel bölgesini gözönüne alal¬m. E¼gerx (u; v) ve y (u; v) fonksiyonlar¬sürekli ve �u ve �v çok büyük de¼gilse xy-düzleminde Snin görüntüsü bu do¼grularla ilgili u ve v e¼grileri ile s¬n¬rlanm¬s e¼grilerden meydana gelmisdikdörtgen R bölgesidir (Sekil 6.29).
6.29 Sekil
uv-düzleminde (u; v) noktas¬na kars¬l¬k xy-düzleminde bu noktaya
r = r (u; v) = x (u; v)�!i + y (u; v)
�!j
yer vektörü kars¬l¬k geliyorsa, v = v0 a kars¬l¬k u-e¼grisi ve u = u0 a kars¬l¬k v-e¼grisi
r (u; v0) = x (u; v0)�!i + y (u; v0)
�!j u� e�grisi (4)
r (u0; v) = x (u0; v)�!i + y (u0; v)
�!j v � e�grisi (5)
vektör formunda gösterilebilir. �u ve �v yi çok küçük kabul etti¼gimizden, R bölgesini
�!a = r (u+�u; v0)� r (u0; v0)�!b = r (u0; v +�v)� r (u0; v0)
s. pehlivan analiz ¬v ders notlar¬28
vektörleri yard¬m¬yla bir paralelkenar ile yaklas¬k olarak belirleyebiliriz (Sekil 6.30).
6.30 Sekil
Burada kesen vektörleri, te¼get vektörlere asa¼g¬daki gibi yaklast¬rmaya çal¬sal¬m
�!a =r (u0 +�u; v0)� r (u0; v0)
�u�u � @r
@u�u =
�@x
@u
�!i +
@y
@u
�!j
��u
�!b =
r (u0; v0 +�v)� r (u0; v0)�v
�v � @r
@v�v =
�@x
@v
�!i +
@y
@v
�!j
��v
Burada k¬smi türevler (u0; v0) da hesaplanm¬st¬r. Fakat T (u0; v0) da s¬ras¬yla @r@u ve
@r@v
vektörleri u ve v e¼grilerine te¼gettir ve sonuç olarak,�@r@u
��u ve
�@r@v
��v dir. Böylece
R bölgesi te¼get vektörler taraf¬ndan paralelkenar ile yaklas¬k olarak belirlenebilir. Te¼getvektörler:
@r
@u�u =
�@x
@u
�!i +
@y
@u
�!j
��u
@r
@v�v =
�@x
@v
�!i +
@y
@v
�!j
��v
dir (Sekil 6.31).
6.31 Sekil
Buradan�A ile gösterdi¼gimizR bölgesinin alan¬, buradaki vektörler ile belirlenen paralelke-nar¬n alan¬olarak yaklas¬k hesaplan¬r. Böylece vektörlerle belirlenen paralelkenar¬n alan¬
s. pehlivan analiz ¬v ders notlar¬29
bilindi¼gi gibi:
Alan = (taban) : (y�ukseklik) = kuk kvk sin � = ku� vk
6.32 Sekil
Yani di¼ger bir deyisle u ve v vektörleri ile belirlenen paralelkenar¬n alan¬u ve v vektör-lerinin vektörel çarp¬m¬n¬n uzunlu¼guna esittir, buna göre paralelkenar¬n alan{ = ku� vkdir (Sekil 6.32).
Simdi problemimize tekrar geri dönelim.
�A � @r@u�u� @r
@v�v
= @r@u � @r
@v
�u�v (6)
burada türevler (u0; v0) da hesaplan¬r. Vektörel çarp¬m¬hesaplarsak;
@r
@u� @r
@v=
��������!i
�!j
�!k
@x@u
@y@u 0
@x@v
@y@v 0
������� =������@x@u
@y@u
@x@v
@y@v
�������!k =������@x@u
@x@v
@y@u
@y@v
�������!k (7)
d¬r. (7) deki determinanta özel bire ad verilir. Buna Jakobiyen denir.
6.3.3 Tan¬m (T nin Jakobiyeni) T dönüsümü uv-düzleminden xy-düzlemine
x = x (u; v) ; y = y (u; v)
denklemleri ile tan¬mlanan bir dönüsüm ise T nin Jakobiyeni J (u; v) veya@ (x; y)
@ (u; v)ile
gösterilir ve
J (u; v) =@ (x; y)
@ (u; v)=
������@x@u
@x@v
@y@u
@y@v
������ = @x
@u
@y
@v� @y
@u
@x
@v
ile tan¬mlan¬r. Bu tan¬mdaki gösterimler (6) ve (7) den
�A � @ (x; y)@ (u; v)
�!k
�u�vveya
�!k birim vektör oldu¼gundan
�A � @ (x; y)@ (u; v)
�u�v (8)
s. pehlivan analiz ¬v ders notlar¬30
ile belirlenir.
(u0; v0) noktas¬nda bu önemli formül, Sekil 5 de R ve S bölgelerinin alanlar¬yla ilgilidir.�u ve �v nin çok küçük de¼gerler olmas¬halinde, R nin alan¬, yaklas¬k olarak; S nin alan¬ile jakobiyeninin mutlak de¼gerinin çarp¬m¬na esittir. Ayr¬ca, �u! 0 ve �v ! 0 iken buyaklas¬mdaki hata s¬f¬ra yaklas¬r.Simdi geometrik bir yaklas¬m olarak asa¼g¬daki kesimde de¼gisken de¼gisimini inceleye-
biliriz.
6.4 ·Iki Katl¬·Integrallerde De¼gisken De¼gisimi
uv-düzlemindeki S bölgesi xy-düzlemindeki R bölgesine x = x (u; v) ; y = y (u; v) den-klemleri ile dönüstürülsün. @(x;y)@(u;v) Jakobiyeni s¬f¬r de¼gil ve S üzerinde isaret de¼gistirmiyorsadönüsüm üzerine baz¬k¬s¬tlamalar ile,
ZZR
f (x; y) dAxy =
ZZS
f (x (u; v) ; y (u; v))���@(x;y)@(u;v)
��� dAuv (9)
dir. Burada dA alt¬ndaki indisler ilgili integrallerin de¼giskenlerini belirlemekte yard¬mc¬olmaktad¬r.
Uyar¬: (9) formülü bu bölümün en önemli k¬sm¬d¬r. T birebir bir dönüsüm, f (x; y) ; Rüzerinde sürekli, R ve S bölgeleri çok karmas¬k de¼gilseler bu formül sa¼glan¬r. Bu formülükullan¬rken asa¼g¬daki islemler yap¬l¬r.
6.33 Sekil : S bölgesinin T dönüsümü alt¬nda R bölgesine dönüsümü
Sekilde görüldü¼gü gibi x = x (u; v) ; y = y (u; v) denklemleri ile tan¬ml¬T dönüsümü, uv-düzlemindeki Sk y¬xy-düzlemindeki Rk bölgesine dönüstürür ve dönüsüm Sk bölgesindeki(u�k; v
�k) noktas¬n¬Rk bölgesindeki
(x�k; y�k) = (x = x (u�k; v
�k) ; y = y (u
�k; v
�k)) noktas¬na dönüstürür. �Ak ile Rk bölgesinin
alan¬gösterilmistir.R bölgesi üzerinde f (x; y) nin iki katl¬ integrali dik koordinatlarda, R bölgesi alt
dikdörtgenlere bölünerek Riemann toplam¬n¬n bir limiti olarak tan¬mlanm¬st¬r. Uygun
s. pehlivan analiz ¬v ders notlar¬31
kosullar alt¬nda altbölgeler, e¼grilerle s¬n¬rland¬r¬lm¬s dikdörtgen altbölgelerle yerde¼gistirir.Bu kabullerle R bölgesi üzerinden f (x; y) nin iki katl¬integrali yaklas¬k olarakZZ
R
f (x; y) dAxy �nXk=1
f (x�k; y�k)�Ak
�nXk=1
f (x (u�k; v�k) ; y (u
�k; v
�k))
����@ (x; y)@ (u; v)
�����uk�vkd¬r. Burada jakobiyen (x�k; y
�k) da de¼gerlendirilmistir. Fakat, bu son ifade integral için
Riemann toplam¬d¬r; ZZS
f (x (u; v) ; y (u; v))
����@ (x; y)@ (u; v)
���� dAuvböylece (9) formülünden n!1 iken hata s¬f¬r olur.
6.4.1 Örnek: x� y = 0; x� y = 1; x+ y = 1 ve x+ y = 3 do¼grular¬ile s¬n¬rland¬r¬lm¬sR bölgesi üzerinden ZZ
R
x� yx+ y
dA
integralini hesaplay¬n¬z.
Çözüm:
6.34 Sekil
R bölgesi üzerinden integral almak istedi¼gimizde üç ayr¬iki katl¬integral üzerinden yukar¬-daki integrali hesaplayailiriz ve bu oldukça s¬k¬c¬bir durum. Ancak x�y ve x+y ifadelerineu ve v dersek, yani
v = x� y; u = x+ y (10)
dersek çok yararl¬bir dönüsüm elde ederiz. S¬n¬r do¼grular¬olan bu dönüsümlerle
u = 1; u = 3; v = 0; v = 1
dir. Sekil 6.34 de R ve S bölgeleri görülmektedir. Bu dönüsümün jakobiyeni @(x;y)@(u;v) bulmakiçin x ve y yi u ve v cinsinden ifadesini (10) denkleminden
Çözüm: Önceki örnekteki gibi xy-düzlemindeki e¼grilerle s¬n¬rl¬bir bölge dönüstürülürseu ve v do¼grular¬n¬verir. Buna göre dört s¬n¬r e¼grisini,
y =1
x; y =
2
x; xy = 1; ve xy = 2
ile tan¬mlayal¬m. Bunun içinu =
y
xve v = xy (11)
dönüsümünü uygularsak, xy-düzlemindeki s¬n¬r e¼grileri uv-düzleminde u = 12 ; u = 1;
v = 1; v = 2 do¼grular¬ile ilgili u ve v-e¼grileri kars¬l¬k gelir (Sekil 35).
6.35 Sekil
s. pehlivan analiz ¬v ders notlar¬33
Jakobiyeni bulmak için (11) deki denklemlerden yararlanarak
x =
rv
uve y =
puv
elde ederiz. Buradan
@ (x; y)
@ (u; v)=
������@x@u
@x@v
@y@u
@y@v
������ =������� 12u
pvu
12puv
12
pvu
12
puv
������ = � 1
4u� 1
4u= � 1
2u
buluruz. Simdi integrali hesaplayabiliriz,ZZR
exydA =
ZZS
ev����� 1
2u
���� dAuv = 1
2
ZZS
ev
udAuv
=1
2
2Z1
1Z12
1
uevdudv =
1
2
2Z1
[ev ln juj]u=1u= 12dv
=1
2ln 2
2Z1
evdv =1
2
�e2 � e
�ln 2
istenen sonuç elde edilir.
6.4.3 Örnek: ZZR
1
y2x3dxdy
integralini R =�(x; y) : a > 0 o.ü. yx2 � a ve c > b > 0 için cx2 � y � bx2
bölgesi üz-
erinden hesaplay¬n¬z.
Çözüm: Verilen R bölgesi Sekil 6.36 deki gibidir.
6.36 Sekil
u = yx2 ve v = yx2 de¼gisken de¼gistirmesi yaparsak; jakobiyen
@(x;y)@(u;v) için
@ (x; y)
@ (u; v)=
�@ (u; v)
@ (x; y)
��1=
���� 2xy x2
� 2yx3
1x2
���� = �2yx +2y
x
��1=x
4y
s. pehlivan analiz ¬v ders notlar¬34
buluruz. Buradan;ZZR
1
y2x3dxdy =
ZZS
1
y2x3
����@ (x; y)@ (u; v)
���� dudv = 1
4
ZZS
1
y2x4x2
ydudv
=1
4
ZZS
1
u21
vdudv =
1
4
1Za
1
u2
cZb
dv
vdu
=1
4
1Za
1
u2[ln v]
cb du =
1
4lnc
b
1Za
1
u2du
=1
4lnc
b
�� 1u
�1a
=1
4alnc
b
olarak istenen sonuç elde edilir.
6.4.4 Örnek:1Z0
1Zy
(x+ y)
x2e(x+y)dxdy
integralini u = x+ y; v = yx de¼gisken de¼gisimi yaparak hesaplay¬n¬z.
Çözüm: Önce R bölgesini ve S bölgesini belrileyelim. (Bknz Sekil 6.37)
6.37 Sekil
S bölgesini belirlerken: y = 0 do¼grusu v = 0 ¬ve x = y do¼grusu v = 1 i verir. x = 1oldu¼gundan u = 1+y ve v = y elde ederiz. Böylece x = 1 al¬rsak; u = v+1 elde ederiz. Budurumda S bölgesi belirlenmis olur fakat bu durumda küçük bir ayr¬nt¬ya dikkat etmekgerekir, R bölgesinde kritik bir nokta olmamal¬d¬r. x = 0 oldu¼gunda ne oldu¼gu hakk¬ndabir problem vard¬r. Bu problem kolayca çözülebilir. 0 � � � 1 olan her � için y = �x(0 < x � 1) do¼grusu v = � (0 < u � �+ 1) e dönüsür. Jakobiyen
@ (x; y)
@ (u; v)=
�@ (u; v)
@ (x; y)
��1=
���� 1 1� yx2
1x
���� = � 1x + y
x2
��1
s. pehlivan analiz ¬v ders notlar¬35
olur. Buradan,
1Z0
1Zy
(x+ y)
x2e(x+y)dxdy =
ZZR
(x+ y)
x2e(x+y)dxdy
=
ZZS
(x+ y)
x2e(x+y)
���� x2x+ y
���� dudv=
ZZS
eududv =
1Z0
v+1Z0
eududv
=
1Z0
[eu]u=v+1u=0 dv =
1Z0
�ev+1 � 1
�dv
=�ev+1 � v
�v=1v=0
= e2 � e� 1
elde ederiz.
s. pehlivan analiz ¬v ders notlar¬36
6.4 Problemler
1. @(x;y)@(u;v) jakobiyenini(a) x = u+ 4v, y = 3u� 5v(b) x = u+ 2v2, y = 2u2 � v(c) x = sinu+ cos v, y = � cosu+ sin v(d) x = 2u
u2+v2 , y = �2v
u2+v2
ifadeleri için bulunuz.
2. Asa¼g¬daki sorularda u ve v ile ile ilgili x ve y yi çözünüz, ayr¬ca @(x;y)@(u;v) jakobiyenlerini
bulunuz.(a) u = 2x� 5y, v = x+ 2y(b) u = ex, v = ye�x
(c) u = x2 � y2, v = x2 + y2 (x > 0; y > 0)(d) u = xy, v = xy3 (x > 0; y > 0)
3. R bölgesi x� 2y = 1, x� 2y = 4, 2x+ y = 1, 2x+ y = 3 do¼grular¬ile s¬n¬rl¬dikdörtgenbölge olmak üzere ZZ
R
x� 2y2x+ y
dA
integralini u = x� 2y, v = 2x+ y dönüsümü yaparak hesaplay¬n¬z.
4. R bölgesi x + y = 0, x + y = 1, x � y = 1, x � y = 4 do¼grular¬ile s¬n¬rl¬bölge olmaküzere ZZ
R
(x� y) ex2�y2dA
integralini u = x+ y, v = x� y dönüsümü yaparak hesaplay¬n¬z.
s. pehlivan analiz ¬v ders notlar¬37
7 ·Iki Katl¬·Integral Uygulamalar¬Bu k¬s¬mda iki katl¬integrallerin uygulamalar¬n¬verece¼giz. Önceki örneklerde gördü¼gümüzgibi iki katl¬integrallerin basl¬ca uygulamalar¬alan, hacim, kütle merkezi, a¼g¬rl¬k merkezive moment hesaplamalar¬nda iki katl¬integrallerin kullan¬lmas¬oldukça etkili bir araçt¬r.
7.1 ·Iki Katl¬·Integrallerde Alan Hesab¬Düzlemde s¬n¬rl¬bir bölgenin alan¬iki katl¬integral yard¬m¬ile hesaplanabilir. f (x; y) = 1
al¬narak, iki katl¬integralin tan¬m¬gere¼giZZ
f (x; y)| {z }1
dA iki katl¬integrali bölgenin alan¬
verir.
7.1 Sekil
Sn =nXk=1
f (xk; yk)| {z }1
�Ak =nXk=1
�Ak
Bilindi¼gi gibi burada �x ve �y s¬f¬ra giderken toplam sonsuza gider ve D bölgesininalan¬n¬verir (Bknz. Sekil 7.1).
Alan = limn!1
nXk=1
�Ak =
ZZdA
7.1.1 Tan¬m: D kapal¬ve s¬n¬rl¬bölgesinin alan¬
A (D) =
ZZD
dA
ile verilir.
s. pehlivan analiz ¬v ders notlar¬38
7.1.2 Örnek: y = x2 e¼grisi ve y = x do¼grunun aras¬nda kalan bölgenin alan¬n¬iki katl¬integral yard¬m¬ile hesaplay¬n¬z.
Çözüm: (Bknz. Sekil 7.2)
7.2 Sekil
A =
1Z0
y=xZy=x2
dydx =
1Z0
[y]xx2 dx =
1Z0
�x� x2
�dx =
�x2
2� x
3
3
�=1
6br2
bulunur.
7.1.3 Örnek: y = x+ 2 do¼grusu ve y = x2 parabolünün s¬n¬rlad¬¼g¬D bölgesinin alan¬n¬iki katl¬integral yard¬m¬ile hesaplay¬n¬z.
Çözüm: (Bknz. Sekil 7.3)
7.3 Sekil
A =
ZZD
dA =
2Z�1
y=x+2Zy=x2
dydx =
2Z�1
[y]x+2x2 dx =
2Z�1
�x+ 2� x2
�dx
=
�x2
2+ 2x� x
3
3
�2�1=9
2br2
s. pehlivan analiz ¬v ders notlar¬39
elde edilir.Bu bölgede
A =
ZZD1
dA+
ZZD2
dA =
1Z0
pyZ
�py
dxdy +
4Z1
pyZ
y�2
dxdy
integrali ile de hesaplanabilir.
7.1.4 Örnek: y = (x� 1)2 ve y = 4� (x� 3)2 parabollerinin s¬n¬rlad¬¼g¬bölgenin alan¬n¬iki katl¬integral yard¬m¬ile hesaplay¬n¬z.
1. Asa¼g¬daki bölgelerin alanlar¬n¬iki katl¬integral yard¬m¬ile hesaplay¬n¬z.(a) x+ y = 2 do¼grusuve koordinat eksenlerinin s¬n¬rlad¬¼g¬bölge,(b) x = 0; y = 2x ve y = 4 do¼grular¬aras¬ndaki bölge,(c) x = y � y2 parabolü ve y = �x do¼grusu aras¬ndaki bölge,(d) y = ex e¼grisi xe y = 0; x = 0 ve x = ln 2 do¼grular¬aras¬ndaki bölge,(e) y = lnx; y = 2 lnx e¼grileri ve x = e do¼grusunun 1. çeyrekteki bölgesi,(f) x = y2 � 1 ve x = 2y2 � 2 parabolleri aras¬ndaki bölge.
s. pehlivan analiz ¬v ders notlar¬41
7.2 ·Iki Katl¬·Integrallerde Hacim Hesab¬·Iki katl¬ integrallerin tan¬m¬gere¼gi herhangi bir z = f (x; y) fonksiyonunun belli bir Dbölgesi üzerindeki iki katl¬integralleri, taban¬D bölgesi; yüksekli¼gi f (x; y) olan bir cisminhacmini verdi¼gini daha önce görmüstük. Buna göre üstten z = f (x; y) ; alttan D bölgesiile s¬n¬rls¬bölgenin hacmi
V =
ZZD
f (x; y) dA
ile verilir. Simdi bununla ilgili birkaç örnek verece¼giz.
7.2.1 Örnek:yaz¬lacak7.2.2 Örnek:yaz¬lacak
s. pehlivan analiz ¬v ders notlar¬42
7.2 Problemler
1. x2+y2 = 4 silindiri, y+ z = 4 ve z = 0 düzlemleri ile s¬n¬rl¬bölgenin hacmini bulunuz.
2. z = 2x+ y düzlemi ve R = f(x; y) j 3 � x � 5; 1 � y � zg üçgensel bölgesi ile s¬n¬rl¬bölgenin hacmini bulunuz.
3. z = x2 yüzeyi ve x = 2, y = 3, y = 0, z = 0 düzlemleri aras¬nda kalan bölgenin hacminibulunuz.
4. x2 + y2 = 4 silindiri ve z = 0 z = 3 � x düzlemleri aras¬nda kalan bölgenin hacminibulunuz.
5. y2 = x, z = 0 ve x+ z = 1 düzlemleri aras¬nda kalan bölgenin hacmini bulunuz.
6. z = 9� x2, z = 0 ve y2 = 3x ile s¬n¬rl¬bölgenin hacmini bulunuz.
7. z = ey�x yüzeyi, x + y = 1 düzlemi ve koordinat düzlemleri aras¬nda kalan bölgeninhacmini bulunuz.
s. pehlivan analiz ¬v ders notlar¬43
7.3 ·Iki Katl¬·Integrallerde Kütle Hesab¬Konunun kolay anlas¬lmas¬n¬sa¼glamak için bir dikdörtgen bölge üzerinde herbir noktadafarkl¬yo¼gunlu¼ga sahip bir düzlemsel plakan¬n kütlesinin iki katl¬integralle hesaplayabiliriz.
7.3.1 Tan¬m: (Kütle Hesab¬): D = f(x; y) : a � x � b; g1 (x) � y � g2 (x)g bölgesiüzerinde sürekli, � (x; y) yo¼gunlu¼guna sahip plakan¬n kütlesini
m =
ZZD
� (x; y) dA
ile verilir.
7.3.2 Örnek: Herhangi bir (x; y) noktas¬nda yo¼gunlu¼gu � (x; y) = x2y3+3x olan asa¼g¬dakidikdörtgen plakan¬n kütlesini hesaplay¬n¬z.
Çözüm:
7.10 Sekil : Dikdörtgenin kütlesi = � (x; y)�x�y
s. pehlivan analiz ¬v ders notlar¬44
m =
ZZD
� (x; y) dxdy =
ZZD
�x2y3 + 3x
�dxdy =
bZ0
aZ0
�x2y3 + 3x
�dxdy
=
bZ0
�1
3a3y3 +
3
2a2�dy =
�1
12a3y4 +
3
2a2y
�ba
=1
12a3b4 +
3
2a2b
veya
m =
ZZD
�x2y3 + 3x
�dydx =
aZ0
bZ0
�x2y3 + 3x
�dydx
aZ0
�1
4x2b4 + 3xb
�dx
=
�1
12x3b4 +
3
2x2b
�a0
=1
12a3b4 +
3
2a2b
elde ederiz.
7.3.3 Örnek: x- ekseni, x = 8 do¼grusu ve y = x23 e¼grisi ile s¬n¬rl¬ince levhan¬n yo¼gunlu¼gu
� (x; y) = xy olsun. Levhan¬n toplam kütlesini bulunuz.
Çözüm:
7.11 Sekil
m =
ZZD
xydA =
8Z0
x23Z0
xydydx =
8Z0
�xy2
2
�x 230
dx =1
2
8Z0
x73 dx
=1
2
�3
10x103
�80
=768
5= 153; 6
7.3.4 Uyar¬: Kütle formülünden aç¬kça anlas¬laca¼g¬ gibi � (x; y) = 1 olmas¬ halindekütle formülü alan formülünü verir.Yani � (x; y) = 1 al¬n¬rsa belirlenmis bölgenin alan¬n¬buluruz.
Simdi de kütle merkezinin hesab¬için ilgili formülü verebiliriz. Bundan sonra ki bölümdekütle merkezins ele alaca¼g¬z.
s. pehlivan analiz ¬v ders notlar¬45
7.3 Problemler
1. Köseleri (0; 0) ; (0; 1) ve (1; 0) noktas¬na yerlestirilen üçgensel bir levhan¬n yo¼gunlu¼gu� (x; y) = xy dir. Bu bölgenin kütlesini hesaplay¬n¬z.
2. x = 1 do¼grusu, y =px e¼grisi ve x-ekseni ile s¬n¬rl¬bölgeye yerlestirilen bir cismin
yo¼gunlu¼gu � (x; y) = x+ y dir. Bu cismin kütlesini hesaplay¬n¬z.
3. y = sinx; y = 0; x = 0 ve x = � ile s¬n¬rl¬bölgeye yerlestirilen bir cismin yo¼gunlu¼guher noktada, o noktan¬n x-eksenine olan uzakl¬¼g¬na esittir. Bu cismin kütlesini bulunuz.
4. Birinci bölgede x2+ y2 = a2 çemberi ve koordinat eksenleri ile s¬n¬rl¬bölgeye yerlestir-ilen bir cismin yo¼gunlu¼gu � (x; y) = xy dir. Bu cismin kütlesini hesaplay¬n¬z.
5. x2+y2 = 1 çemberinin alt yar¬s¬yla ve x-ekseni ile s¬n¬rl¬bölgeye yerlestirilen bir cisminyo¼gunlu¼gu � (x; y) = x2 + y2 dir. Bu cismin kütlesini hesaplay¬n¬z.
s. pehlivan analiz ¬v ders notlar¬46
7.4 Kütle Merkezi - A¼g¬rl¬k Merkezi·Iki kütle m1 ve m2 bir kald¬raçta dayanak noktas¬ndan d1 ve d2 uzakl¬kta yerlessin.Kald¬rac¬n dengede kalmas¬için gerek ve yeter kosul d1m1 = d2m2 olmas¬d¬r.
Asa¼g¬daki sekilde oldu¼gu gibi dayanak noktas¬orijin olan, yatay koordinat eksenli kald¬raçile iyi bir matematiksel model olusturabiliriz.
7.12 Sekil
Bu durumda m1 in x1 koordinat¬x1 = �d1 dir, m2 nin x2 koordinat¬x2 = d2 dir. Dengedurumunda
x1m1 + x2m2 = 0
d¬r. Bilindi¼gi gibi m kütlesi ile bir noktadan olan uzakl¬¼g¬n çarp¬m¬ moment olarakadland¬r¬l¬r. Benzer sekilde m1;m2; :::;mn kütleleri x1; x2; :::; xn noktalar¬nda x-ekseniboyunca uzanm¬s ise momentlerin toplam¬
M = x1m1 + x2m2 + :::+ xnmn =nXi=1
ximi
dir.
7.13 Sekil
Özel durumlar d¬s¬nda bu sistemin dengelendi¼gini düsünmemeliyiz. Böyle bir sistem her-hangi bir noktada dengelenebilir. Sistemi dengede tutan dayanak noktas¬nedir? Arast¬rd¬¼g¬m¬zkoordinata x dersek buna göre toplam moment s¬f¬r olmal¬d¬r, yani
elde ederiz. Kütle merkezi x denge noktas¬d¬r. Dikkat ediniz ki kütle merkezini bulmakiçin orijine göre toplam moment, toplam kütleye bölünür. Benzer olarak düzlemsel bölgeyeyerlestirilmis bir sistem içinde x ve y kütle momentleri hesaplan¬r. Bu konu birinci s¬n¬fta�zik ve analiz derslerinde incelenmisti, biz simdi iki katl¬integrallerde inceleyece¼giz.
Düzlemsel bir bölgede (x1; y1) ; (x2; y2) ; :::; (xn; yn) noktalar¬na m1; m2; :::;mn kütleleris¬ras¬yla yerlestirilsin. y-eksenine ve x-eksenine göre toplam momentler
My =nXk=1
xkmk; Mx =nXk=1
ykmk
ile verilsin. Denge noktas¬n¬n koordinatlar¬(x; y)
x =My
m=
nPk=1
xkmk
nPk=1
mk
; y =Mx
m=
nPk=1
ykmk
nPk=1
mk
ile verilir. xy-düzleminde D bölgesindeki levhan¬n yo¼gunlu¼gu � (x; y) ise kütle merkezininkoordinatlar¬
x =My
m =
RRD
x�(x;y)dARRD
�(x;y)dA; y = Mx
m =
RRD
y�(x;y)dARRD
�(x;y)dA
ile verilir.
7.4.1 Örnek: Birinci çeyrekte, y = 2x; x = 1 do¼grular¬ve x-ekseni ile s¬n¬rl¬üçgenselbölgedeki levhan¬n yo¼gunlu¼gu � (x; y) = 6x+6y+6 ise bu levhan¬n kütle merkezini bulunuz.
s. pehlivan analiz ¬v ders notlar¬48
Çözüm:
7.14 Sekil
Önce üçgensel bölgeye yerlesmis levhan¬n kütlesini hesaplayal¬m.
m =1R0
2xR0
� (x; y) dydx =1R0
2xR0
(6x+ 6y + 6) dydx
=1R0
�6xy + 3y2 + 6y
�2x0dx =
1R0
�24x2 + 12x
�dx
=�8x3 + 6x2
�10= 14
x - eksenine göre moment:
Mx =1R0
2xR0
y� (x; y) dydx =1R0
2xR0
�6xy + 6y2 + 6y
�dydx
=1R0
�3xy2 + 2y3 + 3y2
�y=2xy=0
dx =1R0
�28x3 + 12x2
�dx
=�7x4 + 4x3
�10= 11
Benzer olarak y-eksenine göre moment:
My =1R0
2xR0
x� (x; y) dydx = 10
elde ederiz. Böylece x = My
m = 1014 =
57 ; y = Mx
m = 1114 olarak bulunur.
7.4.2 A¼g¬rl¬k Merkezi : Bir nesnenin yo¼gunlu¼gu sabit ise x ve y için verilen formüllerdepay ve paydadaki sabit yo¼gunluk sadelesir, böylece x ve y deki � yerine 1 al¬narak eldeedilen kütle merkezlerine a¼g¬rl¬k merkezi denir.
7.4.3 Örnek: Birinci çeyrekte, y = x2 parabolü ve y = x do¼grusunun s¬n¬rlad¬¼g¬bölgeyeyerlestirilmis homojen (sabit yo¼gunluklu) levhan¬n a¼g¬rl¬k merkezini bulunuz.
s. pehlivan analiz ¬v ders notlar¬49
Çözüm:
m =1R0
xRx21dydx =
1R0
[y]y=xy=x2 dx =
1R0
�x� x2
�dx =
�x2
2� x
3
3
�10
=1
6;
Mx =1R0
xRx2ydydx =
1R0
�y2
2
�y=xy=x2
dx =1R0
�x2
2� x
4
2
�dx =
�x3
6� x
5
10
�10
=1
15;
My =1R0
xRx2xdydx =
1R0
[xy]y=xy=x2 dx =
1R0
�x2 � x3
�dx =
�x3
3� x
4
4
�10
=1
12
olarak m; Mx ve My bulunur. Buradan
x =My
m=
11216
=1
2; y =
Mx
m=
11516
=2
5
dir; yani (x; y) =�12 ;
25
�elde ederiz.
7.15 Sekil
Uyar¬: Bilindi¼gi gibi homojen cisim için yo¼gunluk sabit oldu¼gundan m = Alan yanim = A al¬rsak, a¼g¬rl¬k merkezi için formüller:
x =1
A
ZZD
xdA; y =1
A
ZZD
ydA
ile verilir.
7.4.4 Örnek: y2 = �2x + 4; y2 = 4x + 4 parabolleri ve y = 0 do¼grusu taraf¬ndans¬n¬rlanan bölgeye yerlestirilen homojen levhan¬n a¼g¬rl¬k merkezini bulunuz.
s. pehlivan analiz ¬v ders notlar¬50
Çözüm: Önce bölgenin alan¬n¬hesaplayal¬m.
7.16 Sekil
A =
2Z�2
12 (4�y
2)Z14 (y
2�4)
dxdy = 2
2Z0
12 (4�y
2)Z14 (y
2�4)
dxdy =1
2
2Z0
��3y2 + 12
�dy = 8br2
elde ederiz. Buradan,
x =1
A
ZZD
xdxdy =1
8
2Z�2
12 (4�y
2)Z14 (y
2�4)
xdxdy =1
8
2Z�2
�x2
2
� 12 (4�y
2)
14 (y
2�4)dy
=1
16
2Z�2
�3
16y4 � 3
2y2 + 3
�dy =
2
5
Bölge simetrik oldu¼gundan y = 0 d¬r. Böylece (x; y) =�25 ; 0�bulunur.
s. pehlivan analiz ¬v ders notlar¬51
7.4 Problemler
1. Köseleri (0; 0) ; (0; 1) ve (1; 0) noktas¬na yerlestirilen üçgensel bir levhan¬n yo¼gunlu¼gu� (x; y) = xy dir. Bu bölgenin kütle merkezini bulunuz.
2. x = 1 do¼grusu, y =px e¼grisi ve x-ekseni ile s¬n¬rl¬bölgeye yerlestirilen bir cismin
yo¼gunlu¼gu � (x; y) = x+ y dir. Bu cismin kütle merkezini bulunuz.
3. y = sinx; y = 0; x = 0 ve x = � ile s¬n¬rl¬bölgeye yerlestirilen bir cismin yo¼gunlu¼guher noktada, o noktan¬n x-eksenine olan uzakl¬¼g¬na esittir. Bu cismin kütle merkezinibulunuz.
4. Birinci bölgede x2+ y2 = a2 çemberi ve koordinat eksenleri ile s¬n¬rl¬bölgeye yerlestir-ilen bir cismin yo¼gunlu¼gu � (x; y) = xy dir. Bu cismin kütle merkezini bulunuz.
5. x2+y2 = 1 çemberinin alt yar¬s¬yla ve x-ekseni ile s¬n¬rl¬bölgeye yerlestirilen bir cisminyo¼gunlu¼gu � (x; y) = x2 + y2 dir. Bu cismin kütle merkezini bulunuz.
6. y = x; x = 1 do¼grular¬ve x-ekseni ile s¬n¬rl¬bölgeye yerlestirilen homojen levhan¬nkütle merkezini bulunuz.
7. y = x2; x = 1 ve x-ekseni ile s¬n¬rl¬ bölgeye yerlestirilen homojen levhan¬n kütlemerkezini bulunuz.
8. x = 3y2�6y ve x = 2y�y2 parabolleri ile s¬n¬rl¬bölgeye yerlestirilen homojen levhan¬nkütle merkezini bulunuz.
9. x2+ y2 = a2 ve x2+ y2 = b2 (a < b) çemberleri ile s¬n¬rl¬bölgeye yerlestirilen homojenlevhan¬n kütle merkezini bulunuz.
s. pehlivan analiz ¬v ders notlar¬52
7.5 Eylemsizlik MomentiFizikten bildi¼gimiz gibi kinetik enerji (KE) ; m kütleli bir parçac¬¼g¬n, v h¬z¬ile bir do¼gruüzerindeki hareketinde
KE =1
2mv2 (1)
Seklinde tan¬mlan¬r. Bir do¼gru üzerinde hareket yerine parçac¬k bir eksen etraf¬nda !aç¬sal h¬z¬ile hareket ederse bunun do¼grusal h¬z¬v = r! olur. Böylece
KE =1
2m (r!)
2=1
2
�r2m
�!2
dir. Bu formüldeki r2m; bu parçac¬¼g¬n eylemsizlik (atalet) momenti olarak adland¬r¬l¬r veI ile gösterilir. Buna göre kinetik enerji
KE =1
2I!2 (2)
olur. (1) ve (2) formüllerinden, dairesel harekette ki bir kimsenin eylemsizlik momentido¼grusal harekette ki bir kimsenin kütlesine benzer bir rol oynar.
7.17 Sekil
Düzlemde m1;m2; :::;mn kütleli n parçac¬¼g¬n L do¼grusundan r1; r2; :::; rn uzakl¬kta yeralmas¬yla olusan sistemde L ye göre eylemsizlik momenti,
I = m1r21 +m2r
22 + :::+mnr
2n =
nXk=1
mkr2k
ile verilir. Di¼ger bir deyisle her bir kütlenin eylemsizlik momentlerinin toplam¬d¬r. Simdixy-düzleminde D bölgesine yerlestirilmis � (x; y) yo¼gunluklu levhay¬gözönüne alal¬m. ·Il-gili toplamlar¬n limitleri al¬narak eylemsizlik momenti için asa¼g¬daki formüller elde edilir.S¬ras¬yla x-eksenine göre, y-eksenine göre ve orijine göre (bazen z-eksenine göre olarak da
s. pehlivan analiz ¬v ders notlar¬53
adland¬r¬l¬r) eylemsizlik momentleri:
Ix =
ZZD
y2� (x; y) dA; Iy =
ZZD
x2� (x; y) dA;
Io = Iz =
ZZD
�x2 + y2
�� (x; y) dA = Ix + Iy
dir.
7.5.1 Örnek: Örnek 7.4.1 deki levhan¬n x; y ve or·Ijine göre eylemsizlik momentlerinibulunuz.
Çözüm:
Ix =1R0
2xR0
y2� (x; y) dydx =1R0
2xR0
�6xy2 + 6y3 + 6y2
�dydx
=1R0
�2xy3 +
3
2y4 + 2y3
�y=2xy=0
dx =1R0
�40x4 + 16x3
�dx
=�8x5 + 4x4
�10= 12:
Benzer sekilde y-eksenine göre
Iy =1R0
2xR0
x2� (x; y) dydx =39
5
elde ederiz. Ix ve Iy bilindi¼gine göre or·Ijine göre eylemsizlik momenti Io = Ix + Iydenkleminden
Io = 12 +39
5=99
5
olarak bulunur.
Uyar¬: � (x; y) yo¼gunluklu bir levhaD bölgesinde ise, bölge içinde olmayan bir l do¼grusunaolan uzakl¬k d (x; y) ise bu l do¼grusuna göre eylemsizlik momenti
Il =
ZZD
� (x; y) d2 (x; y) dA
dir
7.5.2 Örnek: y2 = 4x parabolü ile x = 4 do¼grusu taraf¬ndan s¬n¬rlanan homojen levhan¬n
s. pehlivan analiz ¬v ders notlar¬54
y = �4 do¼grusuna göre eylemsizlik momentini hesaplay¬n¬z.
Çözüm: Levha üzerinden al¬nan bir B (x; y) noktas¬n¬n y = �4 do¼grusuna göre uzakl¬¼g¬d = y + 4 ile verilir. Do¼gru denklemi 0x+ y + 4 = 0 oldu¼gundan
d (x; y) =jax+ by + cjp
a2 + b2=
jy + 4jp02 + 12
= jy + 4j
ile verilir.
7.18 Sekil
Dolay¬s¬yla
I =
y=4Zy=�4
x=4Zx= y2
4
(y + 4)2dxdy =
y=4Zy=�4
(y + 4)2
�4� y
2
4
�dy =
y=4Zy=�4
��y
2
4� 2y3 + 32y + 64
�dy = 45
2
5
dir..
s. pehlivan analiz ¬v ders notlar¬55
7.5 Problemler
1. �a=2 � x � a=2 ve �b=2 � y � b=2 esitlikleri ile belirlenen levhan¬n Iz momentinibulunuz.
2. x2 + (y �R)2 � R2 ile verilen dairesel levhan¬n Iz momentini bulunuz.
3. 0 � y � 2 � 2x ve x � 0 esitlikleri ile belirlenen üçgensel levhan¬n Iy momentinibulunuz.
4. y = x2 ; y = 2 ve x = 2 do¼grular¬taraf¬ndan s¬n¬rlanan bölgeye yerlestirilen homojen
bir levhan¬n x-eksenine göre eylemsizlik momentini bulunuz.
5. y + 2 = 2; y = 2 ve x = 2 do¼grular¬taraf¬ndan s¬n¬rlanan üçgenin x-eksenine göreeylemsizlik momentini bulunuz.
6. y2 = ax parabolü ve x = a do¼grusu taraf¬ndan s¬n¬rlanan bölgeye yerlestirilen homojenbir levhan¬n 0 (0; 0) noktas¬na göre eylemsizlik momentini bulunuz.
7. x = y2 ve x = 2y � y2 parabolleri taraf¬ndan s¬n¬rlanan bölgeye yerlestirilen ve her(x; y) noktas¬ndaki yo¼gunlu¼gu � (x; y) = y+1 olan bir levhan¬n x-eksenine göre eylemsizlikmomentini bulunuz.
8. R yar¬çapl¬daire seklindeki bir levhan¬n daire merkezine göre eylemsizlik momentinibulunuz.
9. r2 = a2 cos 2� e¼grisi taraf¬ndan s¬n¬rlanan bölgeye yerlestirilen homojen levhan¬n kutupnoktas¬na göre eylemsizlik momentini bulunuz.
s. pehlivan analiz ¬v ders notlar¬56
7.6 ·Iki Katl¬·Integraller ·Için Ortalama De¼ger Teoremi
xy düzleminde kapal¬ve s¬n¬rl¬bir D bölgesi üzerindeZZD
dA pozitif bir alana sahip ve
f (x; y) fonksiyonu D üzerinde sürekli olsun. Bu durumda f in bu bölgede (x1; y1) ve(x2; y2) noktalar¬nda minimum ve maksimum de¼gerleri vard¬r. Yani her (x; y) 2 D için
f (x1; y1) � f (x; y) � f (x2; y2)
dir.
A =
ZZD
dA
ile gösterirsek ve D üzerindeki bu esitsizlik integre edilirse,
f (x1; y1)A =
ZZD
f (x1; y1) dA �ZZD
f (x; y) dA �ZZD
f (x2; y2) dA = f (x2; y2)A
elde ederiz. Böylece,
f =1
A
ZZD
f (x; y) dA
de¼geri D üzerinde f in maksimum ve minimum de¼gerleri aras¬nda olur, yani
f (x1; y1) � f � f (x2; y2)
dir.
Düzlemdeki D bölgesi ba¼glant¬l¬d¬r, yani herhangi iki noktas¬n¬x = x (t) ve y = y (t)(0 � t � 1) sürekli parametrik e¼grileri ile D de birlestirebiliriz. Simdi asa¼g¬daki teoremiverelim.
7.6.1 Teorem (·Iki Katl¬ ·Integraller ·Için Ortalama De¼ger Teoremi): xy düzle-minde kapal¬, s¬n¬rl¬ve ba¼glant¬l¬D bölgesi üzerinde f (x; y) fonksiyonu sürekli iseZZ
D
f (x; y) dA = f (x0; y0)� (D bölgesinin alan¬)
olacak sekilde D bölgesinde en az bir (x0; y0) 2 D noktas¬vard¬r.
Bu ifade tek de¼giskenli fonksiyonlar için ortalama de¼ger teoremine oldukça benzerdir. Tekde¼giskenli fonksiyonlardaki [a; b] aral¬¼g¬yerine xy düzlemindeki D bölgesi gelmistir.
Teoremden de kolayca görülece¼gi gibi D kümesi üzerinde integrallenebilir bir f (x; y)fonksiyonunun ortalama de¼geri
f =1
D nin alan¬
ZZD
f (x; y) dA
s. pehlivan analiz ¬v ders notlar¬57
dir. D üzerinde f (x; y) � 0 ise z = f (x; y) yüzeyinin alt¬nda ve D üzerinde uzanan kat¬cisim için hacim D taban¬n¬n alan¬ile, f sabit yüksekli¼ginin çarp¬m¬na esittir.
Ço¼gunlukla bu ifade D üzerinde f (x; y) fonksiyonunun iki katl¬ integralinin ortalamade¼geri olarak ifade edilir.
7.6.2 Örnek: (0; 0) ; (1; 0) ve (1; 1) noktalar¬n¬birlestiren T üçgeni üzerinde f (x; y) =x2 + y2 fonksiyonunun T bölgesi üzerindeki noktalarda yaklas¬k ortalamas¬n¬bulunuz.
Çözüm:
.18 Sekil
T nin alan¬= 12
f =112
x=1Zx=0
y=xZy=0
�x2 + y2
�dydx = 2
x=1Zx=0
�x2y +
y3
3
�y=xy=0
dx
= 2
x=1Zx=0
�x3 +
x3
3
�dx = 2
�x4
3
�x=1x=0
=2
3
olarak bulunur.
s. pehlivan analiz ¬v ders notlar¬58
7.6 Problemler
1. f (x; y) = sin (x+ y) fonksiyonunun B = f(x; y) : 0 � x � �; 0 � y � �g bölgesi üz-erindeki ortalama de¼gerini hesaplay¬n¬z.
2. x2+ y2 � a2; x � 0 ve y � 0 çeyrek dilimindeki noktalardan x+ y = 0 do¼grusuna olanortalama uzakl¬¼g¬bulunuz.
3. Asa¼g¬daki fonksiyonlar ve bunlar¬n tan¬mlad¬¼g¬bölgeler üzerinden ortalama de¼gerlerinibulunuz.(a) x2; D = f(x; y) j a � x � b; c � y � dg
(b) x2 + y2; D = f(x; y) j 0 � x � a; 0 � y � a� xg
(c)1
x; D =
�(x; y) j 0 � x � 1; x2 � y �
px
(d) xy; D = f(x; y) j 0 � x � 2; 0 � y � xg
7.7 Yüzey Alan¬Hesab¬
7.8 Dönel Cismin Hacmi
s. pehlivan analiz ¬v ders notlar¬59
8 Kutupsal Koordinatlarda ·Iki Katl¬·IntegrallerBazen kutupsal koordinatlarda integral hesaplamak çok daha kolay olabilir. Bu k¬s¬mdakutupsal denklemlerde verilen bölgelerin üzerinde iki katl¬integral hesaplamalar¬n¬n nas¬lyap¬laca¼g¬n¬verece¼giz.
xy-düzleminde D bölgesi üzerinde bir fonksiyonun iki katl¬ integralini tan¬mlayaca¼g¬z.Bilindi¼gi gibi dik koordinat sisteminde x ve y eksenlerine paraleller çizerek bölgeyi do¼galbir sekilde bölerek iki katl¬ integral hesaplam¬st¬k. Simdi kutupsal koordinatlar¬n temelde¼giskenleri r ve � ya ba¼gl¬olarak bölgeyi do¼gal olarak bölece¼giz.
Kabul edelim ki f (r; �) fonksiyonu D bölgesinde � = � ve � = � ¬s¬nlar¬ile r = g1 (�) ver = g2 (�) sürekli e¼grileri aras¬nda tan¬mlanm¬s olsun. Böylece bölgeyi
D = f(r; �) : � � � � �; g1 (�) � r � g2 (�)g
ile belirleyebiliriz. Q bölgesi ise 0 � r � a ve � � � � � aras¬ndaki bölge olsun. Bunagöre asa¼g¬daki sekli çizebiliriz.
8.1 Sekil
Q bölgesi ¬s¬nlar ve dairesel yaylarla bölünsün. Dairesel yaylar O merkezli ve �r =am olmak üzere �r; 2�r; :::;m�r yar¬çapl¬ yaylard¬r. Is¬nlar ise �� = (���)
m0 olmaküzere � = �; � = � + ��; � = � + 2��; :::; � = � + m0�� = � d¬r. Q bölgesinin buparçalan¬s¬ndaki her bir parça kutupsal dikdörtgen olarak adland¬r¬l¬r. Bu bölge içindekiD bölgesi içindeki kutupsal dikdörtgenlerin alan¬�A1; �A2; :::;�An olsun. Bunlar¬nmerkezlerini de (rk; �k) olarak adland¬ral¬m. Bu nokta, �Ak bölgesinin ortas¬ndan geçen¬s¬n¬n ortas¬ndaki noktad¬r. Bu durumda toplam form:
Sn =nXk=1
f (rk; �k)�Ak (1)
s. pehlivan analiz ¬v ders notlar¬60
ile verilir. f , D bölgesi üzerinde sürekli ise �r ve �� s¬f¬ra giderken bu parçalanm¬sbölgeleri küçülterek limit al¬rsak bu toplam D bölgesi üzerinden f fonksiyonunun iki katl¬integralini verir:
limn!1
Sn =
ZZD
f (r; �) dA
ile gösterilir. Simdi Sn deki �Ak n¬n nas¬l hesaplanaca¼g¬n¬arast¬raca¼g¬z.
8.2 Sekil
�Ak n¬n iç yay s¬n¬r¬�rk � �r
2
�; d¬s yay s¬n¬r¬ ise
�rk +
�r2
�dir. Dolay¬s¬yla �Ak n¬n
alan¬n¬büyük parçadan küçük parçay¬ç¬kartarak bulabiliriz. Buna göre,
Büyük parça : 12
�rk +
�r
2
�2��
Küçük parça : 12
�rk �
�r
2
�2��
Büyük parça-Küçük parça : �Ak
olmak üzere;
�Ak =��
2
(�rk +
�r
2
�2��rk �
�r
2
�2)
=��
2(2rk�r) = rk�r��
elde ederiz. Denklem (1) de bu sonucu yerine koyarsak,
Sn =nXk=1
f (rk; �k) rk�r��
s. pehlivan analiz ¬v ders notlar¬61
elde ederiz. Fubini teoremini de kullanarak,
ZZD
f (r; �) dA =
�=�Z�=�
r=g2(�)Zr=g1(�)
f (rk; �k) rdrd�
buluruz.
Dik koordinatlarda integrallerde kullan¬lan yöntemler kutupsal koordinatlarda da kul-lan¬l¬r.
8.2.3 Dik Koordinat Sistemindeki ·Integralden Kutupsal Koordinatlara Geçmek
Bunun için islem ad¬mlar¬n¬s¬ras¬ile verelim:(1) x = r cos �; y = r sin � ve dxdy yerine rdrd� yaz¬l¬r.(2) D bölgesinin s¬n¬rlar¬kutupsal s¬n¬rlara dönüstürülür.
ZZD
f (x; y) dxdy =
ZZG
f (r cos �; r sin �) rdrd�
Burada G; kutupsal koordinatlarda integral bölgesini göstermektedir. Burada aç¬kçagörülece¼gi gibi dxdy sadece drd� ile yer de¼gistirmez; rdrd� ile yer de¼gistirir. Bununnedenini konunun bas¬nda aç¬klam¬st¬k.
8.2.4 Örnek: Birinci çeyrekte, x2 + y2 = 1 çemberinin s¬n¬rlad¬¼g¬plakan¬n yo¼gunlu¼gu� (x; y) = 1 ise bu plakan¬n orjine göre eylemsizlik momentini bulunuz.
s. pehlivan analiz ¬v ders notlar¬65
Çözüm:
8.7 Sekil
Kartezyen koordinatlarda integralin de¼geri
1Z0
p1�x2Z0
�x2 + y2
�dydx
dir. y ye göre integral al¬rsak
1Z0
0@x2p1� x2 + �1� x2� 323
1A dxelde ederiz. Bu integral görüldü¼gü gibi biraz karmas¬kt¬r. Bu integrali kutupsal koordi-natlarda çözmek daha kolay olabilir.x = r cos �; y = r sin � ve dxdy yerine rdrd� koyarsak
1Z0
p1�x2Z0
�x2 + y2
�dydx =
�2Z0
1Z0
�r2�rdrd�
=
�2Z0
�r4
4
�r=1r=0
d� =
�2Z0
1
4d� =
�
8
bulunur. Baz¬ integrallerin hesab¬nda kutupsal koordinatlar¬kullanmak oldukça önemlikolayl¬k sa¼glar.
8.2.5 Örnek: D =�(x; y) : x ekseni ve 0 � y �
p1� x2
olmak üzereZZ
D
ex2+y2dydx
integralini hesaplay¬n¬z.
s. pehlivan analiz ¬v ders notlar¬66
Çözüm:
8.8 Sekil
ZZD
ex2+y2dydx =
�Z0
1Z0
er2
rdrd� =
�Z0
�1
2er
2
�10
d�
=
�Z0
1
2(e� 1) d� = �
2(e� 1)
bulunur.
8.2.5 Örnek: Üstten z = 4 � x2 � y2 paraboloidi, alttan z = 0 düzlemi taraf¬ndans¬n¬rlanan bölgenin hacmini bulunuz.
Çözüm: Paraboloidin z = 0 düzlemi ile arakesiti
0 = 4� x2 � y2 ) x2 + y2 = 4
çemberidir. Buradan D integrasyon bölgesi bu çemberin iç bölgedir.
21
01
2
21
01
2
4
2
0
2
4
xy
z
xy
z
8.9 Sekil : z = 4� x2 � y2 yüzeyi ve z = 0 düzlemi
Hacim
V =
ZZD
zdxdy =
2Z�2
p4�x2Z
�p4�x2
�4� x2 � y2
�dydx
s. pehlivan analiz ¬v ders notlar¬67
olacakt¬r. Kutupsal koordinatlara geçersek, x2 + y2 = 4 çemberinin kutupsal koordinat-lardaki gösterimi r = 2 olaca¼g¬ndan 0 � r � 2 aras¬nda 0 � � � 2� garas¬ndaki bölgeyitarar. Buna göre
V =
2�Z0
r=2Zr=0
�4� r2
�rdrd� =
2�Z0
2r2 � 1424����r=2r=0
d�
=
2�Z0
(8� 4) d� = 4 � 2� = 8�br3
elde edilir.
s. pehlivan analiz ¬v ders notlar¬68
8.2 Problemler
1. Birinci bölgede, r = 2 çemberinin d¬s¬nda ve r = 2 (1 + cos �) kardiyoidinin içinde
bölge R ile gösterilmek üzere,ZZR
sin �d� integralini hesaplay¬n¬z.
2. r = 3 sin � e¼grisinin yapraklar¬taraf¬ndan s¬n¬rlanan bölgenin toplam alan¬n¬iki katl¬integral yard¬m¬yla hesaplay¬n¬z.