効用最大化問題 x 双対問題 max u x0 p p>0 p x I u x v p ,I s.t ......2 効用最大化問題 x 双対問題 p u(x ) v(p ,I) min p>0 v(p,I) s.t. p · x I max x0 u(x) s.t.

1

p1

p2

p · x⇤ = I

v(p, I) = u(x⇤)

p⇤

v(p, I) = v0

<

x1

x2

x

⇤

p

⇤ · x = I

p⇤1/p⇤2

u(x) = u

⇤

u(x) = u

0

<

効用最大化問題 双対問題x

⇤

p⇤

u(x⇤) ⌘ v(p⇤, I)

minp>0

v(p, I)

s.t. p · x⇤ � I

max

x�0u(x)

s.t. p

⇤ · x � I

2

効用最大化問題 双対問題x

⇤

p⇤

u(x⇤) ⌘ v(p⇤, I)

minp>0

v(p, I)

s.t. p · x⇤ � I

max

x�0u(x)

s.t. p

⇤ · x � I

p

⇤ · x⇤ = I

双対問題のクーン・タッカー条件：

�⇤ = v0I(p⇤, I)：所得の限界効用

L(p,�) = v(p, I) + �(p · x⇤ � I)双対問題のラグランジュ関数：

v0pi(p⇤) + �⇤x⇤

i � 0

�⇤ ⇥v0pi(p⇤) + �⇤x⇤

i

⇤= 0

x

⇤i = �

v

0pi(p⇤, I)

v

0I(p

⇤, I)

ロワの恒等式(後出)

x

⇤i

x

⇤j

=v

0pi(p⇤, I)

v

0pj(p⇤, I)

内点解の場合：

3

x1

x2

p2

p1

p01/p02p001/p

002

O

v(p, I) = v(p0, I)(= v(p00, I))

u(x) = u(x0)(= u(x00))

x

0

x

00

p0

p00

x

002/x

001x

02/x

01

p⇤

···

·

··

p⇤1/p⇤2

v(p, I) = v(p⇤, I)

x

⇤が実現する範囲

v(p⇤, I) v(p0, I) = v(p00, I)

)

無差別曲線と(財価格間の)間接無差別曲線の幾何

4

p1

x1

x2

O

x

⇤u(x) = u(x⇤)

x

⇤1

x

⇤2

v(p, I) = u(x⇤)

Ix

⇤2

p2 ⌘ 1

x

⇤1

ロワの恒等式

p01p001

p

001x

⇤1 + x

⇤2

p

01x

⇤1 + x

⇤2

v0p1(p, I)dp1 + v0I(p, I)dI = 0

! dI

dp1= �

v

0p1

v

0I

= x

⇤1

所得・価格間の間接無差別曲線角あり・軸と交わらない無差別曲線(レオンチェフ型)の場合

5

角あり・軸と交わらない無差別曲線の場合

p1

x1

x2

O

x

⇤

u(x) = u(x⇤)

Ix

⇤2

p2 ⌘ 1

x

⇤1

x

⇤⇤

x

⇤⇤⇤

x

⇤⇤2x

⇤⇤⇤2

x

⇤⇤⇤1 x

⇤⇤1

v(p, I) = u(x⇤)

6

滑らか・軸と交わらない無差別曲線(e.g., コブ=ダグラス型)

p1

x1

x2

Ou(x) = u(x⇤)

I

v(p, I) = u(x⇤)

x

⇤1

x

⇤2

x

⇤1

p⇤1

p⇤1

x

⇤2

p2 ⌘ 1

1

(1,1)

(各財が不可欠)

75

p1

x1

x2

Ou(x) = u(x⇤)

I

v(p, I) = u(x⇤)

x

⇤1

x

⇤2

x

⇤1

p⇤1

p⇤1

x

⇤2

p2 ⌘ 1

1

x2

x2

(x2,1)

x1

各財が不可欠でない場合 (e.g., 代替弾力性 > 1の場合のCES関数)

8

p1

x1

x2

Ou(x) = u(x⇤)

I

v(p, I) = u(x⇤)

x

⇤1

x

⇤2

p⇤1

p⇤1

p2 ⌘ 1

x2

x2

x1

線形の場合（代替弾力性＝∞)

x1

9

I

pi

v

O

10

e(p, u) � minx�0

p · x

s.t.. u(x) ⇥ u

§C.5. 支出最小化問題

支出関数：最適解

h(p, u)補償需要関数：

(i) u0 > u ) e(p, u0) > e(p, u)

(ii) p0 � p ) e(p0, u) � e(p, u)

(iii) e(tp, u) = te(p, u) 8t > 0

(iv) pの凹関数 (連続関数)

選好：合理的・連続・局所非飽和 ⇒

定理C.10 (支出関数の性質）･･･基本的に生産費用最小化問題と同じ

：連続性 (cf. 費用最小化問題)

11

e(p,u)はuの強い意味での増加関数でないとする：

u0 > u

p · x � p · x0> 0

↵ 2 (0, 1)

eu ⌘ u(ex) > u

p · x > p · ex (* p · x0> p · ex)

{

選好の連続性： ex = ↵x

0 2 X s.t.

しかし… ：xの最適性に矛盾

(i)の証明

12

定理C.11 (マッケンジーの補題）　　　　･･･消費者理論におけるシェパードの補題

hi(p, u) =�e(p, u)

�pi, i = 1, . . . ,m

定理C.12 (補償需要関数の性質）

(i) h(p, u) = h(tp, u) � Dph(p, u) · p = 0

(ii) Dph(p, u)：対称・半負値定符号行列

�

�pihi(p, u) 0 8i

�

�pihj(p, u) =

�

�pjhi(p, u) 8i, j (i 6= j)

dp · dh = dp ·Dph(p, u)dp � 0 (補償需要の法則)

13

定理C.13 (補償需要関数の凸性）

選好関係：凸（効用関数：準凹）⇒ 　　　：凸h(p, u)

選好関係：強凸（効用関数：強準凹）⇒ 　　　：単一要素h(p, u)

14

効用最大化問題 双対問題x

⇤

u(x⇤) ⌘ v(p⇤, I⇤)

max

p>0e(p, u

⇤)

s.t. p · x⇤ � e

⇤

支出最小化問題 双対問題

u(x⇤) ⌘ u

⇤

I⇤ ⌘ e(p⇤, u⇤)

x(p⇤, I⇤)

= h(p⇤, u⇤)

v(p⇤, I⇤) ⌘ u⇤

I⇤ ⌘ e⇤

x

⇤

p⇤

e(p⇤, u⇤) ⌘ e⇤

e(p⇤, u⇤) � minx�0

p

⇤ · x

s.t. u(x) ⇥ u

⇤

v(p

⇤, I

⇤) � max

x�0u(x)

s.t. p

⇤ · x ⇥ I

⇤

minp>0

v(p, I⇤)

s.t.p · x⇤ � I

⇤p⇤

u⇤ I⇤

15

x1

x2x2

x1

x

⇤

p1/p2 p1/p2u(x) = u

⇤u(x) = u

⇤

p · x = e(p, u⇤) ⌘ I

⇤p · x = I

⇤

h(p, u⇤) ⌘ x

⇤

効用最大化問題 支出最小化問題

16

§C.6. ロワの恒等式

定理C.15 (ロワの恒等式）

間接効用関数：微分可能,

xi(p⇤, I⇤) ⌘ h(p⇤, u⇤) ⌘ �e(p⇤, u⇤)

�pi= �

�v(p⇤,I⇤)�pi

�v(p⇤,I⇤)�I

証明：

) xi(p, I) = �v

0pi(p, I)

v

0I(p, I)

マッケンジーの補題

17

v(p, I) ⌘ u(x(p, I))

⇥u(x)

⇥xj= �⇤pj

�v(p, I)

�pi=

mX

j=1

�u(x⇤)

�xj

�xj(p, I)

�pi

⇥v(p, I)

⇥pi= �⇤

mX

j=1

pj⇥xj(p, I)

⇥pi

⇥v(p, I)

⇥I= �⇤

mX

j=1

pj⇥xj(p, I)

⇥I

18

p · x(p, I) = I

xi(p, I) +mX

j=1

pj�xj(p, I)

�pi= 0

⇥v(p, I)

⇥pi= ��⇤xi(p, I)

mX

j=1

pj�xj(p, I)

�I= 1

⇥v(p, I)

⇥I= �⇤

xi(p, I) = �v

0pi(p, I)

v

0I(p, I)

財 i 価格の1単位の上昇＝ 所得 単位の下落

19

定義C.21 (需要の所得効果）

所得 ⤴ →需要 ⤴：正常財需要 ⤵：下級財{

x2

I**p2

I*p2

I**p1

I*p1

x1

x2

I**p2

I*p2

I**p1

I*p1

x1

定義C.22 (所得消費曲線）

財1は I*～I** 間で下級財

§C.7. 所得・価格変化と需要量

20

�i ⌘pixi

ImX

i=1

✓i⌘iI = 1

mX

i=1

pixi(p, I) = I

mX

i=1

pixi

I

�xi(p, I)

�I

I

xi= 1

�iI ⌘ ⇥xi(p, I)

⇥I

I

xi(p, I)

定義C.23 (需要の所得弾力性）

定理C.16 (平均所得弾力性）

証明：

I で微分

21

定義C.24 (必需財と贅沢財）

�iI

⇢> 1< 1

�) pi

⇤xi(p, I)

⇤I

⇢><

�⇥i

�iI > 1

�iI < 1

：贅沢財 - luxury good

：必需財 - necessary good

22

�hi(p, u)

�pj=

�xi(p, I)

�pj+

�xi(p, I)

�Ixj(p, I)

�xi(p, I)

�pj=

�hi(p, u)

�pj� �xi(p, I)

�Ixj(p, I)

hi(p, u) ⌘ xi(p, e(p, u))

定理C.17 (スルツキー方程式)

マッケンジーの補題

S(p, I) =

2

64s11(p, I) · · · s1m(p, I)

.... . .

...sm1(p, I) · · · smm(p, I)

3

75

sij(p, I) =�xi(p, I)

�pj+

�xi(p, I)

�Ixj(p, I)

スルツキー(代替)行列：

23

x2

x1

u(x) = u*

u(x) = u**

p1*

p2*p1**

p2*

x* x**

x***

代替効果所得効果

24

定義C.25 (ギッフェン財）

価格 ⤴ → 需要 ⤴：ギッフェン財

正常財 ⇒

�hi(p, I)

�pi 0全ての財：

}下級財 ⇒

�xi(p, I)

�I< 0

�xi(p, I)

�I> 0

�xi(p, I)

�pi< 0

}

�xi(p, I)

�pj=

�hi(p, u)

�pj� �xi(p, I)

�Ixj(p, I)

所得効果大：�xi(p, I)

�pi> 0

所得効果小： �xi(p, I)

�pi< 0

財1は と　の間でギッフェン財

25

x2

x1

x2

x1

Ip2

Ip1*

Ip1

Ip2

Ip1*

Ip1

定義C.26 (価格消費曲線）p1 p⇤1

26

§C.8. 顕示選好理論

選好の一貫性を満たす組み合わせに注目

選好関係：観察不可能

選好関係の合理性を仮定

消費者の理論

効用関数

選好関係の連続性＋

市場価格・需要： 観察可能

顕示選好理論 これまでの理論構築

乖離

6)(

27

定義C.28 (顕示選好の弱公準(WA) - Weak Axiom of Revealed Preference）

8(p, I), (p0, I 0) > 0p · x(p0, I 0) � I

x(p0, I 0) ⇤= x(p, I)

�⇥ p

0 · x(p, I) > I

0

x1

x2

··

p · x = I

p

0 · x = I

0

x(p, I)

x(p0, I 0)

x1

x2

··x(p, I)

x(p0, I 0)

観察された価格・所得ペアと需要行動：⇢

(p, I) ! x(p, I)(p0, I 0) ! x(p0, I 0)

：購入不可能

：購入可能だが選択されない

：　　　は　　　　に対して顕示的に選好される→

28

x1

x2

· ·p · x = I

p

0 · x = I

0

x(p, I)x(p0, I 0)

x1

x2

·

·p · x = I

p

0 · x = I

0

x(p, I)

x(p0, I 0)

x1

x2

··

p · x = I

p

0 · x = I

0x(p, I) x(p0, I 0)

WAを満たす需要行動

29

x1

x2

· ·

p · x = I

p

0 · x = I

0x(p, I)

x1

x2

··p · x = I

p

0 · x = I

0

x(p0, I 0)

x(p0, I 0) x(p, I)

WAを満たさない需要行動

多数の需要パターン → 無差別曲線の近似

30

定理C.19 (WAの必要十分条件)

予算制約が等号で成立： p · x = I

(p, I) � (p0, I 0) = (p0, p0 · x(p, I))

x(p, I)の購入を補償した任意の価格・所得変化：

(p0 � p) · [x(p0, I 0)� x(p, I)] ⇥ 0

に対して補償需要の法則が成立：

WA ⟺

需要関数が0次同次： x(p, I) = x(tp, tI) 8t > 0{

x(p0, I 0) 6= x(p, I)ならば強い不等号

31

(必要性) WA ⇒ 補償需要の法則：

WA：

x(p, I) 6= x(p0, I 0)

p

0 · x(p, I) � I

0p · x(p0, I 0) > I

と仮定する。I

0 = p

0 · x(p, I)所得補償：

p

0 · [x(p0, I 0)� x(p, I)] = 0

p · [x(p0, I 0)� x(p, I)] > 0

(p0 � p) · [x(p0, I 0)� x(p, I)] < 0

∵所得補償

∵ WA

辺々引く

)

32

(十分性) 補償需要の法則 ⇒ WA：

WA が成立しないとする： p · x(p0, I 0) � I

p

0 · [x(p0, I 0)� x(p, I)] = 0所得補償：

⇤ p · x(p0, I 0)� p · x(p, I)| {z }=I

⇥ 0

(p0 � p) · [x(p0, I 0)� x(p, I)] ⇥ 0

：補償需要の法則に矛盾

33

定理C.20 (WAとスルツキー行列)

微分可能バージョン：

予算制約が等号で成立： p · x = I

需要関数が微分可能＋0次同次： x(p, I) = x(tp, tI) 8t > 0

WA： p

0 · x(p, I) � I

0

：半負値定符号(←支出関数の凹性)) S(p, I)

dx = Dpx(p, I)dp+DIx(p, I)dI

= Dpx(p, I) +DIx(p, I)[x(p, I) · dp] [* dI = x(p, I) · dp]=

⇥Dpx(p, I) +DIx(p, I)x(p, I)

T⇤dp

= S(p, I)dp

dp · dx = dp · S(p, I)dp � 0

所得補償

[∵定理C.19]

半負値定符号

34

定理C.21 (スルツキー行列の性質)

S(p, I) ：負値定符号ではない

dp = tp (t > 0)

dI = tI

B((1 + t)p, (1 + t)I) = B(p, I)

x((1 + t)p, (1 + t)I) = x(p, I)

dx = 0

：所得補償

：予算集合の0次同次性：需要関数の0次同次性

) S(p, I)p = 0

⇢S(p, I)p = 0p · S(p, I) = 0

S(p, I)p = 0 :

証明：

-35

p · x = I

mX

i=1

pi�xi(p, I)

�pj+ xj(p, I) = 0

p ·Dpx(p, I) + x(p, I)T = 0T

mX

i=1

pi�xi(p, I)

�I= 1

予算制約の等号成立：

辺々pjで微分 辺々 I で微分

p ·DIx(p, I) = 1

s(p, I) = D

p

x(p, I) +D

I

x(p, I)x(p, I)T

p · s(p, I) = p ·Dp

x(p, I)| {z }

=x(p,I)T

+ p ·DI

x(p, I)| {z }=1

x(p, I)T

= 0

p · S(p, I) = 0 :

36

定理C.22 (WAの必要十分条件)

予算制約が等号で成立：

需要関数が微分可能＋0次同次：{8p, I > 0

v · S(p, I)v < 0 ⇥v �= tp ⇥t > 0WA ,

37

ヒックスとスルツキーの意味での所得補償とスルツキー行列

価格変化：

�IS = p

0 · x(p, I)� I

p ! p0

スルツキーの所得補償(初期の需要水準を補償)：

ヒックスの所得補償(初期の効用水準を保証)：

�IH = e(p0, u)� I

�IS ��IH = p · x(p, I)� e(p0, u) ⇥ 0’

38

x2

x1

スルツキーの意味での補償ヒックスの意味での補償

B ( p , I )

x(p, I)u(x) = u

B(p', I )

p1 ' /p2'

!

!!

! !

!

39

dp = p0 � p価格の微小変化：

Dpe(p, u) = h(p, u) = x(p, I)

e(p0, u) = Dpe(p, u) · dp+ e(p, u)

= h(p, u) · dp+ p · h(p, u)= (dp+ p) · h(p, u)= p

0 · x(p, I)

I ⌘ e(p, u)マッケンジーの補題

ヒックスの所得補償：

：スルツキーの所得補償

40

8<

:

p0 = (2, 2, 2)p1 = (1, 3, 2)p2 = (2, 1.5, 5)

WA： 各需要行動ペア間の一貫性 ↔ 選択肢ペア間の対称性

西村(1990, 例4.6)スルツキー行列の対称性

8<

:

x

0 = (4, 4, 4)x

1 = (6, 2, 4)x

2 = (8, 2, 3)

選択肢が3つ以上の場合：ペア間の一貫性 ⇏ 非循環性 (i.e., 推移性)

41

① x0とx1の比較

p

0 · x0 = (2⇥ 4) + (2⇥ 4) + (2⇥ 4) = 24

p

0 · x1 = (2⇥ 6) + (2⇥ 2) + (2⇥ 4) = 24

p

1 · x1 = (1⇥ 6) + (3⇥ 2) + (2⇥ 4) = 20

p

1 · x0 = (1⇥ 4) + (3⇥ 4) + (2⇥ 4) = 24

x1

x2

·

p

0 · x = 24

p

1 · x = 20

x

0·x

1

p

1 · x = 24 ) x

0 � x

1

42

p

1 · x1 = (1⇥ 6) + (3⇥ 2) + (2⇥ 4) = 20

② x1とx2の比較

p

1 · x2 = (1⇥ 8) + (3⇥ 2) + (2⇥ 3) = 20

p

2 · x2 = (2⇥ 8) + (1.5⇥ 2) + (5⇥ 3) = 34

p

2 · x1 = (2⇥ 6) + (1.5⇥ 2) + (5⇥ 4) = 35

x1

x2

· ·x1

p

1 · x = 20

p

2 · x = 34

x

2

p

2 · x = 35 ) x

1 � x

2

43

③ x2とx0の比較

p

2 · x2 = (2⇥ 8) + (1.5⇥ 2) + (5⇥ 3) = 34

p

2 · x0 = (2⇥ 4) + (1.5⇥ 4) + (5⇥ 4) = 34

p

0 · x2 = (2⇥ 8) + (2⇥ 2) + (2⇥ 3) = 26

p

0 · x0 = (2⇥ 4) + (2⇥ 4) + (2⇥ 4) = 24

x1

x2

·p

0 · x = 24x

0

·x2

p

2 · x = 34

p

0 · x = 26) x

2 � x

0

44

p

0 · x0 = p

0 · x1 = 24

p

1 · x0 = 24 > p

1 · x1 = 20

：p0の下ではx0, x1とも購入可

p

1 · x1 = p

1 · x2 = 20

p

2 · x1 = 35 > p

2 · x2 = 34

p

2 · x2 = p

2 · x0 = 34

p

0 · x2 = 26 > p

0 · x0 = 24

：p1の下ではx0は購入不可

：p1の下ではx1, x2とも購入可：p2の下ではx1は購入不可

：p2の下ではx0, x2とも購入可：p0の下ではx2は購入不可

x

0 � x

1

x

1 � x

2

x

2 � x

0

}

}}

各ペア間の比較はWAと整合：

x

0

x

1x

2

⇒ 需要関数 は顕示選好の強公準を満たすという。

任意数Nの価格・所得ペア：

45

定義C.29 (顕示選好の強公準(SA) - Strong Axiom of Revealed Preference）

x(p, I)

p

i · x(pi+1, I

i+1) ⇥ I

i ⌅i ⇥ N � 1 ⇤ p

N · x(p1, I1) > I

N

x(pi, Ii), i = 1, . . . , N

(pi, Ii), i = 1, . . . , N

需要：x(pi, Ii) 6= x(pj , Ij) 8i 6= j{

x1

x2

· ·x

1·x

N

x

i……

p

i · x = I

i

p

1 · x = I

1

p

N · x = I

N

46

x

1 � x

2 � · · · � x

N ⇥� x

1※ SA：：循環の排除 → スルツキー行列の対称性

定理C.23 (SAと合理的選好関係)

需要関数　　　がSAに従う⇒ 対応する合理的選好関係が存在x(p, I)

証明：MWG (命題3.J.1, p.91)

2階連続微分可能性※ MWG (p.92)

47

§C.9. 消費者の集計

Gorman型効用関数

vi(p, Ii) = ai(p) + b(p)Ii

ロワの恒等式

消費者 i 固有

xji (p, Ii) = �j

i (p) + ⇥j(p)Ii

�ji (p) = �

�ai(p)�pj

b(p)

�j(p) = ��b(p)�pj

b(p)

48

v⇣p,PN

i=1Ii⌘=

NX

i=1

ai(p) + b(p)NX

i=1

Ii

需要関数の集計 → 「代表的個人の」需要関数：

消費者 1, . . . , NXj(p, I1, . . . , IN| {z }) =

NX

i=1

�ji (p) + ⇥j(p)

NX

i=1

Ii

ロワの恒等式

集計してもGorman型

財ID

49

定理C.24 (ホモセティック効用関数)

v(p, I) = V (p)I

ホモセティック効用関数 ⇒ 　　　　　間接効用関数はGorman型：

··1/p2

1/p1 I/p1

I/p2

u(x) = V(p)I

u(x) = V(p)p1/p2

50

定理C.25 (ホモセティック効用関数と需要の法則)

個人の効用関数がホモセティック ⇒

(p0 � p)⇥x

i(p, I)� x

i(p0, I)⇤ 0 8p, p0, I > 0

x

i(p, I) 6= x

i(p0, I) ) “ > ”

個人の需要に関して需要法則の成立：

∵ ホモセティック ⇒ 全ての財が正常財

証明：MWG (命題4.C.2, p.112)

51

： 集計需要に関しても需要法則の成立

集計需要関数もホモセティック

(p0 � p) [x(p, I)� x(p0, I)] 0 8p, p0, I > 0

個人の効用関数がホモセティック ⇒

x(p, I) ⌘X

i

x

i(p, I)

52

準線形効用関数 - quasi-linear utility function

U(x0, x1, . . . , xk) = x0 + u(x1, . . . , xk)

max

x0,x1

x0 + u(x1)

s.t. x0 + p1x1 = I

max

x1

u(x1) + I � p1x1

�

�x1u(x⇤

1) = p1

�2

�x21

u(x⇤1) 0

v(p1, I) = u(x1(p1)) + I � p1x1(p1) = V (p1) + I

k = 1

! x1(p1)

：内点解(e.g., uは凹関数)

53

u(x1)

Ix1 *x0 ,x1

x0

I - x0*

p1 = 1

�u(x⇤1)

�x1= 1

�u(x)

�x1> 1

�u(x)

�x1< 1

とする

>> >>