1 効用最大化問題 双対問題 x ∗ p ∗ u(x ∗ ) ≡ v (p ∗ ,I ) min p>0 v (p, I ) s.t. p · x ∗ ≤ I max x≥0 u(x) s.t. p ∗ · x ≤ I p ∗ · x ∗ = I 双対問題のクーン・タッカー条件: λ ∗ = v I (p ∗ ,I ) :所得の限界効用 L(p, λ)= v (p, I )+ λ(p · x ∗ − I ) 双対問題のラグランジュ関数: v p i (p ∗ )+ λ ∗ x ∗ i ≥ 0 λ ∗ v p i (p ∗ )+ λ ∗ x ∗ i =0 x ∗ i = − v p i (p ∗ ,I ) v I (p ∗ ,I ) ロワの恒等式(後出) x ∗ i x ∗ j = v p i (p ∗ ,I ) v p j (p ∗ ,I ) 内点解の場合:
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効用最大化問題 x 双対問題 max u x...s.t. p · x∗ ≤ I max x≥0 u(x) s.t. p ∗ · x ≤ I p∗ · x∗ = I 双対問題のクーン・タッカー条件: λ∗ = v
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Transcript
1
効用最大化問題 双対問題x∗
p∗
u(x∗) ≡ v(p∗, I)
minp>0
v(p, I)
s.t. p · x∗ ≤ I
maxx≥0
u(x)
s.t. p∗ · x ≤ I
p∗ · x∗ = I
双対問題のクーン・タッカー条件:
λ∗ = v�I(p∗, I):所得の限界効用
L(p,λ) = v(p, I) + λ(p · x∗ − I)双対問題のラグランジュ関数:
v�pi(p∗) + λ∗x∗
i ≥ 0
λ∗ �v�pi(p∗) + λ∗x∗
i
�= 0
x∗i = −
v�pi(p∗, I)
v�I(p∗, I)
ロワの恒等式(後出)
x∗i
x∗j
=v�pi
(p∗, I)
v�pj(p∗, I)
内点解の場合:
2
x1
x2
p2
p1
p�1/p�2p��1/p
��2
O
v(p, I) = v(p�, I)(= v(p��, I))
u(x) = u(x�)(= u(x��))
x�
x��
p�
p��
x��2/x
��1x�
2/x�1
p∗
···
·
··
p∗1/p∗2
v(p, I) = v(p∗, I)
x∗が実現する範囲
v(p∗, I) ≤ v(p�, I) = v(p��, I)
⇒
無差別曲線と(財価格間の)間接無差別曲線の幾何
3
p1
x1
x2
O
x∗u(x) = u(x∗)
x∗1
x∗2
v(p, I) = u(x∗)
I
x∗2
p2 ≡ 1
x∗1
ロワの恒等式
p�1p��1
p��1x∗1 + x∗
2
p�1x∗1 + x∗
2
v�p1(p, I)dp1 + v�I(p, I)dI = 0
→ dI
dp1= −
v�p1
v�I= x∗
1
所得・価格間の間接無差別曲線角あり・軸と交わらない無差別曲線(レオンチェフ型)の場合
4
角あり・軸と交わらない無差別曲線の場合
p1
x1
x2
O
x∗
u(x) = u(x∗)
Ix∗2
p2 ≡ 1
x∗1
x∗∗
x∗∗∗
x∗∗2x∗∗∗
2
x∗∗∗1 x∗∗
1
v(p, I) = u(x∗)
5
滑らか・軸と交わらない無差別曲線(e.g., コブ=ダグラス型)
p1
x1
x2
Ou(x) = u(x∗)
I
v(p, I) = u(x∗)
x∗1
x∗2
x∗1
p∗1
p∗1
x∗2
p2 ≡ 1
1
(∞,∞)
(各財が不可欠)
65
p1
x1
x2
Ou(x) = u(x∗)
I
v(p, I) = u(x∗)
x∗1
x∗2
x∗1
p∗1
p∗1
x∗2
p2 ≡ 1
1
x2
x2
(x2,∞)
x1
各財が不可欠でない場合 (e.g., 代替弾力性 > 1の場合のCES関数)
7
p1
x1
x2
Ou(x) = u(x∗)
I
v(p, I) = u(x∗)
x∗1
x∗2
p∗1
p∗1
p2 ≡ 1
x2
x2
x1
線形の場合(代替弾力性=∞)
8
I
pi
v
O
9
e(p, u) ≡ minx≥0
p · x
s.t.. u(x) ≥ u
§C.5. 支出最小化問題
支出関数:最適解
h(p, u)補償需要関数:
(i) u� > u ⇒ e(p, u�) > e(p, u)
(ii) p� ≥ p ⇒ e(p�, u) ≥ e(p, u)
(iii) e(tp, u) = te(p, u) ∀t > 0
(iv) pの凹関数 (連続関数)
選好:合理的・連続・局所非飽和 ⇒
定理C.10 (支出関数の性質)・・・基本的に生産費用最小化問題と同じ
:強い不等号 ⇐ 局所非飽和性
10
定理C.11 (マッケンジーの補題) ・・・消費者理論におけるシェパードの補題
hi(p, u) =∂e(p, u)
∂pi, i = 1, . . . ,m
定理C.12 (補償需要関数の性質)
(i) h(p, u) = h(tp, u) ⇒ Dph(p, u) · p = 0
(ii) Dph(p, u):対称・半負値定符号行列
∂
∂pihi(p, u) ≤ 0 ∀i
∂
∂pihj(p, u) =
∂
∂pjhi(p, u) ∀i, j (i �= j)
dp · dh = dp ·Dph(p, u)dp ≤ 0 (補償需要の法則)
11
定理C.13 (補償需要関数の凸性)
選好関係:凸(効用関数:準凹)⇒ :凸h(p, u)
選好関係:強凸(効用関数:強準凹)⇒ :単一要素h(p, u)
12
効用最大化問題 双対問題x∗
u(x∗) ≡ v(p∗, I∗)
maxp>0
e(p, u∗)
s.t. p · x∗ ≤ e∗
支出最小化問題 双対問題
u(x∗) ≡ u∗
I∗ ≡ e(p∗, u∗)p∗x∗
x(p∗, I∗)
= h(p∗, u∗)
v(p∗, I∗) ≡ u∗
I∗ ≡ e∗
x∗
p∗
e(p∗, u∗) ≡ e∗
e(p∗, u∗) ≡ minx≥0
p∗ · x
s.t. u(x) ≥ u∗
v(p∗, I∗) ≡ maxx≥0
u(x)
s.t. p∗ · x ≤ I∗
minp>0
v(p, I∗)
s.t.p · x∗ ≤ I∗p∗
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§C.6. ロワの恒等式
定理C.15 (ロワの恒等式)
効用関数:連続+強準凹間接効用関数:微分可能
u∗ ≡ v(p, e(p, u∗))
xi(p∗, I∗) ≡ h(p∗, u∗) ≡ ∂e(p∗, u∗)
∂pi= −
∂v(p∗,I∗)∂pi
∂v(p∗,I∗)∂I
証明:
} ⇒ xi(p, I) = −v�pi
(p, I)
v�I(p, I)
マッケンジーの補題
⇒ 0 =∂v(p∗, I∗)
∂pi+
∂v(p∗, i∗)
∂I
∂e(p, u∗)
∂pi
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v(p, I) ≡ u(x(p, I))
∂u(x)
∂xj= λ∗pj
∂v(p, I)
∂pi=
m�
j=1
∂u(x∗)
∂xj
∂xj(p, I)
∂pi
∂v(p, I)
∂I=
m�
j=1
∂u(x)
∂xj
∂xj(p, I)
∂I
∂v(p, I)
∂pi= λ∗
m�
j=1
pj∂xj(p, I)
∂pi
∂v(p, I)
∂I= λ∗
m�
j=1
pj∂xj(p, I)
∂I
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p · x(p, I) = I
xi(p, I) +m�
j=1
pj∂xj(p, I)
∂pi= 0
∂v(p, I)
∂pi= −λ∗xi(p, I)
m�
j=1
pj∂xj(p, I)
∂I= 1
∂v(p, I)
∂I= λ∗
xi(p, I) = −v�pi
(p, I)
v�I(p, I)
16
定義C.21 (需要の所得効果)
所得 ⤴ →需要 ⤴:正常財需要 ⤵:下級財{
x2
I**p2
I*p2
I**p1
I*p1
x1
x2
I**p2
I*p2
I**p1
I*p1
x1
定義C.22 (所得消費曲線)
財1は I*~I** 間で下級財
§C.7. 所得・価格変化と需要量
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θi ≡pixi
Im�
i=1
θiηiI = 1
m�
i=1
pixi(p, I) = I
m�
i=1
pixi
I
∂xi(p, I)
∂I
I
xi= 1
ηiI ≡ ∂xi(p, I)
∂I
I
xi(p, I)
定義C.23 (需要の所得弾力性)
定理C.16 (平均所得弾力性)
証明:
I で割る
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定義C.24 (必需財と贅沢財)
ηiI
�> 1< 1
�⇒ pi
∂xi(p, I)
∂I
�><
�θi
ηiI > 1
ηiI < 1
:贅沢財 - luxury good
:必需財 - necessary good
19
∂hi(p, u)
∂pj=
∂xi(p, I)
∂pj+
∂xi(p, I)
∂Ixj(p, I)
∂xi(p, I)
∂pj=
∂hi(p, u)
∂pj− ∂xi(p, I)
∂Ixj(p, I)
hi(p, u) ≡ xi(p, e(p, u))
定理C.17 (スルツキー方程式)
マッケンジーの補題
S(p, I) =
s11(p, I) · · · s1m(p, I)
.... . .
...sm1(p, I) · · · smm(p, I)
sij(p, I) =∂xi(p, I)
∂pj+
∂xi(p, I)
∂Ixj(p, I)
スルツキー(代替)行列:
20
x2
x1
u(x) = u*
u(x) = u**
p1*
p2*p1**
p2*
x* x**
x***
代替効果所得効果
21
定義C.25 (ギッフェン財)
価格 ⤴ → 需要 ⤴:ギッフェン財
正常財 ⇒
∂hi(p, I)
∂pi≤ 0全ての財:
}下級財 ⇒
∂xi(p, I)
∂I< 0
∂xi(p, I)
∂I> 0
∂xi(p, I)
∂pi< 0
}
∂xi(p, I)
∂pj=
∂hi(p, u)
∂pj− ∂xi(p, I)
∂Ixj(p, I)
所得効果大:∂xi(p, I)
∂pi> 0
所得効果小: ∂xi(p, I)
∂pi< 0
財1は と の間でギッフェン財
22
x2
x1
x2
x1
Ip2
Ip1*
Ip1
Ip2
Ip1*
Ip1
定義C.26 (価格消費曲線)p1 p∗1
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§C.8. 顕示選好理論
選好の一貫性を満たす組み合わせに注目
選好関係:観察不可能
選好関係の合理性を仮定
消費者の理論
効用関数
選好関係の連続性+
市場価格・需要: 観察可能
顕示選好理論 これまでの理論構築
乖離
�⇒⇐
24
定義C.28 (顕示選好の弱公準(WA) - Weak Axiom of Revealed Preference)
∀(p, I), (p�, I �) > 0p · x(p�, I �) ≤ Ix(p�, I �) �= x(p, I)