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Formateo PCML.Couch III, Sistemas de Comunicaciones Digitales y
Analgicos, 5 Ed., Seccin 3.3
Muestreo instantneo, cuantizacin y codificacin Relacin seal a
ruido en el formateo Compresin silbica Transmisin de los caracteres
PCM por un canal ruidoso Relacin seal a ruido en transmisin PCM
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Introduccin
En este captulo, las seales y el ruido se describen en trminos
de seales aleatorias. Se analizarn los siguientes aspectos del
formateo PCM
La seal analgica (de voz) debe ser muestreada y cuantizada
Parmetros relevantes en este proceso son la distorsin por
solapamiento de las componentes espectrales de frecuencia y el
ruido de cuantizacin.
Para mitigar el efecto de distorsin por solapamiento se muestrea
a tasas superiores a las establecidas por el criterio de Nyquist,
para relajar las condiciones del filtro pasabajos.
El nmero de niveles de cuantizacin influye sobre el ruido de
cuantizacin.
En transmisin de seales de voz se logra un considerable aumento
en la relacin S/N mediante la compresin de las muestras (ley A y
).
El canal de transmisin ruidoso afecta la relacin seal a ruido en
el extremo receptor.
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Diagrama de bloques funcional de un sistema de
telecomunicaciones digital
FormateoCodif. de Fuente
Formateo Inverso
Decodif. de
Fuente
Mux Codif. de LneaModulac.
de portadora
Tx
Sincronismo de Trama/Cuadro
Acceso al Medio de Tx
Ecualiz. de canal
Amplific. en FI y
selectivid.RxMux
Recuperacin de Sincronismo de Trama/Cuadro Detector
M-ario
Recuperacin de
Sincronismo
Informacin en bits Seal digital (smbolo)
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Un sistema PCM con cuantizacin uniforme Un sistema de
codificacin PCM puede representarse mediante el
siguiente diagrama de bloques. En este sistema, interesa por el
momento poder establecer el efecto del
ruido de cuantizacin, es decir, se analizarn los bloques en
color verde.
Conversin A/D
Repetidor/ Regenerador
Conversin A/D
Repetidor/ Regenerador
Fuente analgica
B
Pulso de muestreo natural p(t)
Destino S/N= ?
Ruido AWGN
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Muestreo instantneo Sea x(t) la seal analgica limitada en
frecuencia a la frecuencia mxima B. El
muestreo instantneo (de cresta plana) consiste en multiplicar la
seal x(t) por un tren de impulsos y almacenar la muestra instantnea
durante el ciclo de conversin.
>=
=
2021
)(
t
tt
tAtp
== )()()()()()()( sss kTtkTxtpkTttxtpts
Ts
s(t)
t
= )()()( ss kTtkTxtAts
=
= )()()()()()( s
ss kffXfsincT
AfSkTttxtAts
tiempo
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Teorema de Muestreo, (Nyquist)
Para el muestreo instantneo con pulsos de techo plano, se debe
filtrar y ecualizar para compensar el trmino sinc(f) que depende de
f
No importando cul sea la tcnica de muestreo que se utilice, se
produce distorsin si fs < 2B. (Teorema de Nyquist)
Para facilitar el filtraje se escoge fs > 1,22B en
aplicaciones reales
Funcin sinc(x)
-0,4-0,2
00,20,40,60,8
11,2
0
,
0
0
,
2
0
,
4
0
,
6
0
,
8
1
,
0
1
,
2
1
,
4
1
,
6
1
,
8
2
,
0
2
,
2
2
,
4
2
,
6
2
,
8
3
,
0
x
B-B B-B
B-B
B-B
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Digitalizacin de la seal de voz
Todas las conversaciones telefnicas en Chile se realizan
digitalizando las seales de voz.
La tcnica bsica que se utiliza se denomina PCM (Pulse
CodeModulation).
En el formato bsico, o canal B, la seal de voz se muestrea a una
frecuencia de 8000 muestras por segundo.
Cada una de las muestras se codifica con 8 bits.
Luego, un canal B equivale a transmitir a 64 kb/s
La codificacin no es lineal, como se ver luego, debido a las
propiedades estadsticas de las amplitudes de las muestras
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PCM: muestreo, cuantizacin y codificacin El muestreo que se
realiza en los codificadores PCM es,
invariablemente, el instantneo. Para convertir la muestra
analgica en un cdigo digital es necesario
aproximar su valor real al ms cercano que se pueda obtener
mediante la representacin binaria del conversor A/D usando la
tcnica demuestreo instantneo.
El error de aproximacin se denomina error de cuantizacin. En
ausencia de ruido de canal, este error de cuantizacin establecer
la
relacin S/N Una de las caractersticas importantes de este error
es que permite
establecer a priori, por diseo, la relacin seal a ruido en el
extremo receptor, si el ruido de canal es tal que se cometen muy
pocos errores en la recepcin de bits. Este aspecto ser un resultado
importante que se obtendr al final de esta clase.
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Conversin A/D
La mayora de los conversores anlogo/digitales que se usan hoy en
da son del tipo de aproximacin sucesiva.
Las componentes bsicas que requiere un conversor A/D de
aproximacin sucesiva son: un circuito de muestreo y un reloj, un
comparador, un registro de carga paralela vaciado en serie (para la
transmisin de los bits a la siguiente etapa del sistema de
comunicaciones), un conversor D/A y una lgica de control para
realizar las operaciones necesarias.
Un bloque bsico importante es el conversor D/A
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Conversin D/A La base de funcionamiento del
conversor D/A es un transistor NPN que opera como fuente de
corriente, cuya base es comandada por un circuito TTL.
La resistencia de emisor es la que fija el valor de la corriente
que fluye hacia la carga.
Se usarn varios de estos transistores para generar un voltaje
proporcional a los bits que ofrece una lgica digital.
En la siguiente lmina se ver aplicado este principio.
TTL output RL
VCC
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Conversin D/A
En el circuito de la figura, si todas las entradas estn altas,
el voltaje en RL ser 0. Si se fija en 0 V la entrada del bit menos
significativo (lsb), entonces circular una corriente de VCC/R por
la carga, aproximadamente.
En la medida que otras entradas sean llevadas a 0V, la corriente
ser aumentada en 2(i-1)VCC/R, siendo i el bit que se haya puesto en
0.
MSB R/2(n-1) R/2(n-2) lsb R
RL
VCC
Para que exista correspondencia, basta que las entradas sean
conectadas a inversores TTL
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Conversores A/D
La mayora de los conversores que se utilizan hoy en da para
codificar las seales analgicas de voz, audio y video son los de
aproximacin sucesiva: toman la muestra, la almacenan y la
compararan con la salida que se obtiene en el conversor D/A al
fijar sucesivamente los bits de su registro en 1, desde el ms al
menos significativo. Si la muestra resulta de mayor amplitud que el
valor de prueba, entonces se mantiene el bit en 1, si resulta
menor, se cambia su valor por un 0.
S&H Comparador
Conversor D/A Registro de n bits
Circuito contador
Escribe 1 si VoEscribe 0 si -Vo
+ -
Salida de n bits c/Ts [s]Ejemplo: ADC0804 (NS)
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PCM: cuantizacin uniforme
Para un cuantizador PCM valen las siguientes
consideraciones:
Se considera que la seal a ser cuantizada no presenta componente
continua y alcanza una amplitud mxima equivalente al rango del
ecualizador: Amx.
Se supone que existen M = 2n niveles de cuantizacin, siendo n el
nmero de bits que se emplearn para la transmisin.
El bit ms significativo es el bit de signo. Se supone que la
seal se distribuye uniformemente dentro del
intervalo de cuantizacin. Para una cuantizacin uniforme se
supone que las amplitudes de la
seal se distribuyen probabilsticamente igual en todos los
niveles (distribucin uniforme).
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PCM: error cuadrtico medio en un intervalo de cuantizacin
Sea x un nivel de amplitud a cuantizarxi el valor aproximado
mediante la cuantizacini el tamao del intervalo de cuantizacin
asociado a xi
pi(x) la funcin de densidad de probabilidad de x condicionada a
que x est en el rango cuyo valor medio es xi. Se supone que esta
densidad es uniforme en el rango [ xi-i/2, xi+i/2]
Entonces xi - i/2 < x < xi + i/2La esperanza (condicional)
del error ser
Amx
-Amx
t
Amplitud
ixi
qx
( ) ( ) ( )2 2
2 2E[( )| ] 0
i i i
i i i
x / /
i i i i i ix / /
x - x x x x p x dx p x zdz
+
= = =
( ) ( ) ( )2 2 2
22 2
2 2E[( ) | ]
12
i i i
i i i
x / /i
i i i i i ix / /
x - x x x x p x dx p x z dz
+
= = =
El error cuadrtico medio (condicional) del error de cuantizacin,
en cambio, ser
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PCM: error cuadrtico medio de cuantizacin
Si se define como pi la probabilidad (incondicional)deestar en
el intervalo en cuestin xi - i/2 < x < xi + i/2
y descondicionando respecto de xi
Amx
-Amx
p(x)
Amplitud de x(t)
( )( )
2
2( ) ( )
donde es la fdp incondicional de x
i i
i i
x /
i ix /
p i p x dx p x
p x
+
=
( )
( )
22 2
2 2
E[ ] E E ( ) |12
12 12
i
iq i i
i
i
p ix - x x
p i
=
= =
= =
pi(x)
xi
se supone que p(xi) se distribuye
uniformemente en el rango xi + i/2
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PCM: potencia de la seal
Para la seal consideremos primeramente que sta se distribuye
uniformemente en el rango:
-Amx < x < Amx entonces:
y la potencia normalizada es
0)(][mx
mx
==
A
A
dxxpxxE
32)(]E[x])-E[(xPS
2mx
mx
222
mx
mx
mx
mx
AdxAxdxxpx
A
A
A
A
====
En cambio si se usa un tono (sinusoidal) como seal de prueba PS
= Amx2/2.
En general se tendr que PSAmx2, lo cual puede anotarse como
PS=dAmx2
Amx
-Amx
p(x)
Amplitud de x(t)
xi
p(x) = 1/2Amx
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PCM: Relacin seal a ruido S/N
La potencia de ruido de cuantizacin es PNq = 2/12 La potencia de
seal es PS = dAmx2
Si se usan n bits para codificar la seal, el ms significativo
ser utilizado como bit de signo +.
Entonces Amx= 2n-1 ypor lo tanto PNq = Amx2/(1222(n-1)) =
Amx2/(322n) Por lo cual:
nnddBPNPS
dPNPS
q
n
q
02,602,6)3(log10][
23
10
2
+=+=
=
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PCM: Relacin seal a ruido S/N Ejemplo: para seales de voz la
relacin seal a ruido para
comunicaciones telefnicas debe ser del orden de 36 dB. Si la
seal de voz se distribuye uniformemente en amplitud
(lo cual no es cierto, como se ver a continuacin), entonces d =
1/3, y el nmero de bits requerido ser de
bitsnndBPNPS
PNPS
q
n
q
66
3602,6][
22
==
=
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Un ejemplo prctico: grabacin de msica en CD Si se desea
establecer un buen rango dinmico para msica grabada
codificada digitalmente se puede considerar que 90 dB de rango
dinmico y una seal de informacin limitada a 15 kHz por canal podra
ser equivalente a una transmisin FM buena.
Esto requiere de una codificacin de 15 b y una tasa de muestreo
de 1,230 kHz = 36 kHz, o equivalentemente 540 kb/s.
Esto permitira grabar un canal durante 6508/0,54[s] = 160[min],
sin capacidad de correccin de errores.
En cambio, la duracin de una grabacin estereofnica (2 canales)
sera de 80 minutos.
Pregunta: si en la prctica se utiliza una frecuencia de muestreo
de 44,1 kHz, codificacin Reed-Solomon para corregir rayaduras y
huellas digitales (2:1) en el CD y se pueden grabar 2 canales
(stereo) por unos 75 min.,
cuntos bits se requieren para codificar c/u de los dos canales?
cul es la PS/PN resultante en cada canal, expresada en dB?
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Ejemplos de Codificacin PCM Para ilustrar la tcnica, se
escucharn diversos registros, grabados con diversas
frecuencias de muestreo y codificados con diversos grados de
precisin (cuantizacin):
1. Frecuencia de muestreo, constante = 10000 muestras/seg. No
bits de cuantizacin variable por muestra, = 12, 9, 4, 2, 1 [bit].
2. 12 bits bits de cuantizacin/muestra, Frecuencia de muestreo
variable = 10, 5, 2.5, 1.25 [kmuestras/segundo].
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Ejemplo de una seal de voz.
Se observa el registro de una seal de voz grabada. Ntese que la
mayor energa est centrada en las vocales. Otro aspecto importante
es la duracin promedio de una vocal, (30ms)
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Si se realiza un zoom sobre la parte sealada en verde en el
registro superior (la seal de la palabra Murcilago), se tendr la
figura inferior.
Detalles de una seal de voz.
Ntese que muchos ciclos de la seal se repiten en forma casi
idntica.El muestreo (c/125s) registra muchos valores en un
ciclo.
Ntese que la mayora de los valores de amplitud de la seal se
concentran en las inmediaciones del valor cero.
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PCM: cuantizacin no-uniforme
La cuantizacin no-uniforme se usa en los codificadores PCM, ya
que durante la mayor parte del tiempo los niveles de potencia de la
voz son bajos y conviene tener una relacin S/N relativamente
constante en una amplia gama dinmica de potencia.
Consiste en cuantizar con intervalos ms pequeos las seales de
menor potencia, y con niveles ms espaciados las muestras de mayor
energa de la seal. La distorsin de la seal se evita efectuando el
proceso inverso en el extremo receptor. Es importante que se hayan
desarrollado estndares para determinar el
tamao de los niveles de cuantizacin. Ley A : Se emplea en Europa
y el resto del mundo Ley : Se emplea en EE.UU., Canad y Japn. El
efecto de cuantizacin no uniforme se logra tambin amplificando
los niveles pequeos de seal y comprimiendo las muestras de mayor
amplitud antes de presentar la muestra a un conversor A/D
uniforme.
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Compresin y Descompresin
A/D
DecodificacinPCM
A/D
CodificacinPCM
Muestreo
Compresin
Filtro pasa bajos
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y(x)
x/xmax
A=87,560.8
A=50
A=2A=1
0.6
0.4
0.2
0.80.60.40.2
Ley A
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y(x)
x/xmax
=255
=50
=5
=0
0.8
0.6
0.4
0.80.60.40.2
0.2
Ley
11)1ln()1ln(
)sgn()( ++= xxxxy
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PCM: efectos de errores de Tx Cuando se transmite una informacin
digital, a menudo se introducen
errores en la recepcin de los smbolos, debido al efecto del
ruido. Evidentemente, el error que se introduce tiene significado
diferente
segn sea la posicin del bit errado, dentro del caracter
(agrupacin de los bits que representan una muestra de voz o de
imagen codificada, o una letra de un texto, o el valor obtenido a
la salida de un conversor A/D en aplicaciones de
telemetra,etc.).
Por ejemplo, si se transmiten octetos codificados de seales de
voz, si se produce un error en el msb, esto se traduce en un error
de signo. En cambio, si es en el lsb, afecta slo al menor nivel de
cuantizacin.
A continuacin se analizar el efecto del ruido de canal en la
recepcin de una seal codificada en PCM con cuantizacin
uniforme.
El anlisis se basa en poder expresar el valor medio esperado del
error, y su varianza, dado que la varianza es una medida de la
potencia del error registrado.
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Representacin de los errores de canal en transmisin binaria Los
errores de transmisin pueden ser representados
mediante un diagrama de transicin de smbolos recibidos. En una
recepcin binaria es posible identificar diferentes
transiciones: PC(1/1)
PC(0/1)
PC(0/0)
PC(1/0)
1
0
PT(1)
PT(0)
PT(1)+ PT(0)=1 PC(1/1)+ PC(0/1)=1
1
0
PR(1)
PR(0)
PR(1)+ PR(0)=1
Pe = PRT(0,1) + PRT(1,0) = PC(0/1)PT(1) + PC(1/0)PT(0)
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Obtencin de la probabilidad de error en canal binario
simtrico
En un canal binario simtrico: PC(0/1) = PC(1/0) Entonces Pe =
PC(0/1), no importando si se transmiten
ms 1s que 0s. Posteriormente se analizar como se pueden obtener
los
errores de canal en funcin de la densidad espectral de potencia
de ruido y la energa de la seal.
Si se envan n bits en sucesin, y la probabilidad de error en
recepcin es Pe y si el error de un bit es independiente del
precedente o del siguiente, entonces la probabilidad de recibirlos
todos ellos correctamente estar dada por: P = (1- Pe)n 1- nPe, si
Pe < 10-3
Pe = PRT(0,1) + PRT(1,0) = PC(0/1)PT(1) + PC(1/0)PT(0)
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Efecto del error de canal
Supngase que se envan n bits codificados. Evidentemente, el
error cometido ser diferente segn sea
la ubicacin del o de los bits recibidos con error. Si 2Amx es el
rango total de la seal recibida, codificada
mediante M = 2n niveles, entonces el error de cuantizacini
cometido por la recepcin de un bit errado en la posicin i, ser de
magnitud Amx/2n -i.
As si el error se comete en msb, i = n, |n| = Amx Si el error se
comete en el lsb, i = 1, |1| = Amx/2n -1
Ejemplo: n = 4, si el error se comete en el bit lsb, entonces
|1| = Amx/23 = Amx/8 = 2Amax/16 = rango total/# niveles
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Efecto del error de canal Si Pe es la probabilidad de cometer un
error en la recepcin de un bit y
es independiente de su ubicacin, entonces asumiendo uno y
ceroequiprobables, el error promedio de la muestra decodificada est
dado por:
El error cuadrtico medio promedio que resulta debido al error
los bits estar dado por
[ ]( ) ( )( ) ( ) ( )
2 2 2e e2
1 121
2 2 2 2ee 2
0
1E P P sea 2
4 PE P 1 2 2 13 2
n ni i max n i
i in j nmx
mx nj
E A j n - i
AA
= =
=
= = = = =
[ ] ( ) ( )e e1 1
E P P bit i = 0 P P bit i = 1 0n n
i ii i
= =
= =
-
Efecto del error de canal En probabilidades se tiene que si dos
variables aleatorias son sumadas, el
valor medio de la nueva variable aleatoria es igual a la suma de
los valores medios.
Ahora, si las variables aleatorias son independientes, la
varianza de la nueva variable aleatoria tambin es la suma
Combinando el error de cuantizacin (ver pag 17) con el error
debido al canal, resulta:
( ) ( ) ( )( ) ( )( )
2 22 2e
2 2
22 2
e2
4 PE 2 13 2 3 2
E 4P 2 1 13 2
nmx mxz n n
nmxz n
A A
A
= +
= +
[ ] [ ] [ ][ ]( )2 2 2 2z
z x+y E E E
x, y indep. E x y
z x y
z E z = = +
= = +
-
Relacin S/N para PCM(considerando el ruido de cuantizacin y de
canal)
Si se considera que la potencia de seal de un proceso de
transmisin de una seal analgica, muestreada y codificada en PCM es
PS = dA2mx, entonces la relacin S/N es
( )( )( )
( )
2
22
e2
2
2e
1 4P 2 13 2
3 2
1 4P 2 1
max
PCM nmaxn
n
nPCM
d APSPN A
dPSPN
= +
=+
-
Consideraciones relativas a la importancia relativa de
errores.
En la relacin obtenida es posible establecer 2 cotas
interesantes relacionadas con la cuantificacin de los errores
derivados de la cuantizacin y del ruido en el canal.
Por ejemplo, se puede evaluar Pepara el caso en que la potencia
asociada al error de cuantizacines preponderante (por ejemplo 10
veces la que se puede asociar al error causada por el ruido de
canal) y viceversa.
( ) ( ){ }2
2 2e2
1 4 P 2 13 2
nm xz n
AE = +
Pe para efecto error canal
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Sumario El muestreo de seales analgicas requiere que la
frecuencia de muestreo tiene
que ser al menos el doble de la frecuencia de corte del filtro
pasabajos de entrada.
La mayora de los conversores A/D utilizan el muestreo
instantneo. La duracin del ciclo de conversin influye en la
distorsin que puede experimentar la seal.
El error de cuantizacin es una fuente de ruido importante, pero
manejable por diseo en enlaces digitales.
El ruido de canal es otra fuente de imprecisin en la recepcin de
seales codificadas digitalmente.
Hay situaciones en que el efecto predominante en el deterioro de
la relacin S/N es el ruido de canal, o bien, el ruido de
cuantizacin. El experto en telecomunicaciones debe poder distinguir
los 2 efectos y determinar si un sistema est operando
adecuadamente.
Referencias: L.Couch: Sistemas de Comunicacin Digitales y
Analgicos, 5 Ed, Seccin 3.3, Ejercicios 3.8 a 3.19