114 UNIDADE 3 Cônicas e números complexos Sheff/Shutterstock/Glow Images Por que secções cônicas? Porque são curvas obtidas por meio da interseção entre um cone circular reto e um plano, que diferem de acordo com o ângulo com que o plano secante corta o cone. As superfícies parabólicas, elípticas e hiperbólicas possuem propriedades de reflexão que podem ser observadas em diversas aplicações tecnológicas. Os refletores elípticos usados pelos dentistas têm por objetivo concentrar o máximo de luz na área de trabalho, além de evitar que os raios luminosos ofusquem a visão do paciente, causando desconforto.
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Cônicas e números complexos · secções cônicas Cônicas é o título da obra em que o matemático e astrônomo grego Apolônio de Pérgamo (2 62 a.C.-1 90 a.C.) apresenta o mais
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UNIDADE
3 Cônicas e números complexos
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Por que secções cônicas? Porque são curvas obtidas
por meio da interseção entre um cone circular reto e
um plano, que diferem de acordo com o ângulo com que
o plano secante corta o cone.
As superfícies parabólicas, elípticas e hiperbólicas
possuem propriedades de reflexão que podem ser
observadas em diversas aplicações tecnológicas.
Os refletores elípticos usados pelos dentistas
têm por objetivo concentrar o máximo de luz
na área de trabalho, além de evitar que os
raios luminosos ofusquem a visão do paciente,
causando desconforto.
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1. A que se deve o renome mundial do forno solar de Odeillo?
2. Que tipos de formatos de espelhos são usados em alguns telescópios?
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O forno solar de Odeillo, localizado nos Pireneus franceses, é formado por um espelho parabólico com a altura de um edifício de sete andares.É um dos dois maiores fornos solares do mundo, junto com o de Parkent (Usbequistão), e deve sua reputação à sua especialização na investigação de concentração de radiação solar e do comportamento dos materiais submetidos a temperaturas extremas.
O espelho hiperbólico é também usado em telescópios (esta imagem é do telescópio de Hale) como um espelho secundário, além do espelho parabólico principal. Sua importância está em redirecionar a luz do foco principal para um ponto mais conveniente.
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5CAPÍTULO
Geometria analítica: secções cônicas
Cônicas é o título da obra em que o matemático e astrônomo grego
Apolônio de Pérgamo (262 a.C.-190 a.C.) apresenta o mais completo
estudo das curvas obtidas a partir de cortes (secções) específicos em
cones: a parábola, a hipérbole e a elipse, atribuindo a elas os nomes
como são conhecidas até hoje. Essa obra auxiliou o trabalho de muitos
pensadores, principalmente astrônomos.
3. Elipse2. Hipérbole1. Parábola
Copérnico, Kepler, Halley e Newton, por exemplo, fizeram uso de suas
configurações para explicar fenômenos físicos, como as trajetórias dos
planetas e a trajetória descrita por um projétil.
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Ao serem inseridas na Geometria analítica, as secções cônicas, defini-
das como lugares geométricos (conjuntos de pontos que verificam certa
propriedade), ganharam uma expressão algébrica, ampliando ainda mais
sua importância e sua aplicabilidade.
Neste capítulo vamos partir das definições desses lugares geomé-
tricos para as equações algébricas que as representam, estudar suas
propriedades e identificar seus elementos.
Representação do Sistema Solar. (Esta imagem não segue a proporção e as cores reais.)
Observação: Como o valor do coeficiente c indica a distância do foco ao vértice e a concavidade da parábola, compare as parábolas do exercício resolvido 3: em y2 � 8x (c � 2), a concavidade é maior que em y2 � 4x (c � 1), pois 2 � 1.
2. Determine o foco, o vértice e a diretriz da parábola a partir das equações:a) y2 � 28x c) x2 � 10y
b) x2 � �4y d) y2 � �16x
1. Determine a equação da parábola de foco F e diretriz d nos seguintes casos:a) F(9, 0) e d: x � �9 c) F(0, 7) e d: y � �7
b) F(0, �6) e d: y � 6 d) F(�5, 0) e d: x � 5
ATENÇÃO!Não escreva no
seu livro!Exercícios
Unidade 3 • C™nicas e nœmeros complexos122
Equa•‹o da par‡bola com vŽrtice em um ponto qualquer
Vamos determinar a equa•‹o da par‡bola que tem como diretriz a reta de equa•‹o x � �4 e como
foco o ponto F(6, 2):
D(�4, 2)
Q(�4, y)
F(6, 2)
P(x, y)
V
d
x
yx � �4
Nesse caso, o vŽrtice Ž o ponto mŽdio do segmento FD, no qual F(6, 2) e D(�4, 2):
V6 4
2
2 2
2
� �,
⇒ V(1, 2)
Pela dist‰ncia de V atŽ F encontramos o valor de c:
c � ( ) ( )6 1 2 22 2
� � � � 5
Os pontos P(x, y) da par‡bola s‹o tais que d(P, F) � d(P, Q), em que Q(�4, y):
Devemos lembrar que vale a rec’proca: a partir da equa•‹o da par‡bola podemos chegar ao vŽrtice e
ao valor de c e, da’, ao foco e ˆ diretriz.
Observação: No volume 1 desta cole•‹o, estudamos as fun•›es quadr‡ticas
y � ax2 � bx � c, cujos gr‡ficos s‹o par‡bolas. Aquelas par‡bolas e as
estudadas neste cap’tulo s‹o as mesmas, pois, quando usamos a tŽcnica
de completar quadrados, podemos transformar qualquer equa•‹o do tipo
y � ax2 � bx � c, vista no volume 1, em uma do tipo (x � xV)2 � �4c(y � yV),
como temos trabalhado neste volume.
Para refletirQuando estudamos a par‡bola como gr‡fico de uma fun•‹o quadr‡ tica, n‹o havia possibilidade de o eixo de si metria ser horizontal. Por qu•?
Fique atento!Cuidado! O c de y � ax2 � bx � c n‹o Ž o mesmo c de y � yV � �4c(x � xV)2.
4. Determine a equa•‹o e as coordenadas do vŽrtice da par‡bola que tem foco no ponto F(1, 5) e a reta diretriz de equa•‹o y � �3.
Resolução:
Os dados do problema permitem fazer um esbo•o do gr‡fico e, assim, identificar o tipo da equa•‹o:
F(1, 5)
D(1, �3)
V
y � �3
(x � xV)2 � 4c(y � yV)O vŽrtice Ž o ponto mŽdio de tFDu. Ent‹o:
5. Se uma parábola tem como equação x2 � 4x � 12y � 8 � 0, determine as coordenadas do vértice, as coordenadas do foco, a equação da reta diretriz da parábola e a equação do eixo de simetria.
Resolu•‹o:
Completando os quadrados perfeitos, temos:x2 � 4x � 12y � 8 � 0 ⇒ x2 � 4x � 12y � 8 ⇒ x2 � 4x � ……4 � 12y � 8 � ……4 ⇒ x x y
x
2x xx x4x xx x 4 12 1y 2
2(
� �x xx x4x xx x � �4 14 12 12 1y
�
� �� �� �� �� �� �
)) ( )2
12( )( )� ( )( )y( )( )
⇒
⇒ (x � 2)2 � 4 � 3(y � 1) em que xV � 2, yV � �1 e c � 3
Fazendo um esboço do gráfico, vem:
(2, �1 � 3)
(2, �1)
(2, �1 � 3)
3
3
y � �4
Logo, V(2, �1), F(2, 2), a diretriz é y � �4 e o eixo de simetria é x � 2.
6. Determine a equação, o foco F e a diretriz d da parábola com vértice V(�2, �3), sabendo que o foco está no quarto quadrante, d é paralela ao eixo y e o parâmetro, p (2c), é 8.
Resolu•‹o:
p � 8 indica que c � 4, pois c � p
2.
As informações do problema levam a um esboço do gráfico ao lado.
A posição da parábola indica que a equação é da forma (y � yV)2 � 4c(x � xV).Daí, vem:V(�2, �3)c � 4F(�2 � 4, �3) ⇒ F(2, �3)D(�2 � 4, �3) ⇒ D(�6, �3)diretriz x � �6
Substituindo as informações na fórmula, temos:(y � yV)2 � 4c(x � xV) ⇒ (y � 2)2 � 4 � 4(x � 3) ⇒ (y � 2)2 � 16(x � 3)Logo, a parábola tem equação (y � 2)2 � 16(x � 3), F(2, �3) e diretriz x � �6.
d
x
y
D(�2 �4, �3) V(�2, �3) F(�2 � 4, �3)
3. Determine a equação da parábola que tem:a) foco no ponto F(3, 0) e diretriz de equação x � �3;
b) diretriz de equação y � 3 e vértice V(0, 0);
c) foco no ponto F(1, 2) e diretriz de equação x � �2;
d) diretriz de equação x � 2 e vértice V(�1, �3).
4. A parábola de equação x2 � 6x � y � 8 � 0 intersec-ta o eixo x nos pontos A e B. Sendo V o vértice da pa-rábola, determine a área do triângulo VAB.
Exercícios
5. Encontre as coordenadas do vértice, as coordenadas do foco, a equação da reta diretriz e a equação do eixo de simetria das parábolas de equações:a) y2 � 6y � 12x � 21 � 0b) x2 � 2x � y � 4 � 0
6. Determine a equação das parábolas:a) de vértice V(�1, 4), eixo paralelo ao eixo y e que
passa pelo ponto A(3, 0);b) de vértice V(4, 2) e foco F(4, 5).