CNH2B4 / KOMPUTASI NUMERIKdedetarwidi.staff.telkomuniversity.ac.id/files/2016/04/Minggu_4... · cnh2b4 / komputasi numerik tim dosen kk modeling and computational experiment solusi

CNH2B4 / KOMPUTASI NUMERIK

TIM DOSEN

KK MODELING AND COMPUTATIONAL EXPERIMENT

SOLUSI SISTEM PERSAMAAN LINEAR: METODE ELIMINASI GAUSS& GAUSS-JORDAN

4

SISTEM PERSAMAAN LINEAR

Sistem Linier (sistembanyak variabel) memiliki persamaanumum:

Dalam bentukperkalian matrikmenjadi:

nnnnnnn

n

n

n

b

b

b

b

x

x

x

x

aaaa

aaaa

aaaa

aaaa

......

...

...

...

...

...

3

2

1

3

2

1

321

3333231

2232221

1131211

11 1 12 2 13 3 1 1

21 1 22 2 23 3 2 2

31 1 32 2 33 3 3 3

1 1 2 2 3 3

...

...

...

...

...

n n

n n

n n

n n n nn n n

a x a x a x a x b

a x a x a x a x b

a x a x a x a x b

a x a x a x a x b

A x b

2 10/7/2017

Eliminasi Gauss

3 10/7/2017

11 1 12 2 13 3 1 1

21 1 22 2 23 3 2 2

31 1 32 2 33 3 3 3

1 1 2 2 3 3

...

...

...

...

...

n n

n n

n n

n n n nn n n

a x a x a x a x b

a x a x a x a x b

a x a x a x a x b

a x a x a x a x b

1, 111 12 13 1

2, 121 22 23 2

3, 131 32 33 3

, 11 2 3

...

...

...

...

nn

nn

nn

n nn n n nn

aa a a a

aa a a a

aa a a a

aa a a a

Sistem persamaan linear:

Matriks yang diperluas:

Operasi baris elementer:

j = i+1, i+2, …, n

sampai terbentuk matriks segitiga atas.

( ( / ) ) ( )j ji ii i jE a a E E

Eliminasi Gauss

nnnnnnnnnn aaxaxa /1,1,

Solusinya menggunakan substitusi mundur:

1,1

,11,1

11,1,111,1

nn

nnnnn

nnnnnnnnna

xaaxaxaxa

2,2

,211,21,2

21,2,211,222,2

nn

nnnnnnnn

nnnnnnnnnnnna

xaxaaxaxaxaxa

dst.....

OBE

4 10/7/2017

1, 1111 12 13 1

2, 1222 23 2

3, 1333 3

, 1

...

0 ...

0 0 ...

.........

0 0 0 ...

nn

nn

nn

n nnnn

axa a a a

axa a a

axa a

axa

1, 1111 12 13 1

2, 1221 22 23 2

3, 1331 32 33 3

, 11 2 3

...

...

...

.........

...

nn

nn

nn

n nnn n n nn

axa a a a

axa a a a

axa a a a

axa a a a

5

Sekali xn, xn-1, xn-2, …, xi+1 diketahui , maka nilai xi

dapat dihitung dengan:

ii

n

ij

jijni

ia

xaa

x

1

1, ) (dengan i = n-1, n-2, …, 1 dan aii ≠ 0

6 10/7/2017 IKG2E3 KOMPUTASI NUMERIK

Burd

en,

Ric

hard

L., a

nd J

. D

ougla

s F

aires.

Num

erical Analy

sis

. Bro

oks/C

ole

, U

SA,

2001.

Contoh :

Subsitusi Mundur :

132

3344

532

321

321

321

xxx

xxx

xxx

42 12 6

3 2223 12

2 3 1 5 2 3 1 5 2 3 1 5

4 4 3 3 0 2 1 7 0 2 1 7

2 3 1 1 0 6 2 6 0 0 5 15

E EE E

E E

3

32

2 31

153

5

7 ( 1) 7 ( 1)(3)2

2 2

5 [3 ( 1) ] 5 [3(2) ( 1)(3)]1

2 2

x

xx

x xx

Eliminasi Gauss(Cont.)

7 10/7/2017

pivot bernilai nol diatasi dengan Strategi Pivoting:

jika app = 0, cari baris k yang ak,p ≠ 0 dan k>p, kemudian

pertukarkan baris p dengan baris k.

Eliminasi Gauss(Cont.)

8 10/7/2017

KemungkinanSolusi SPL

3

1

0

300

110

111lim

1

1

0

213

132

111

Gauss

inasiE

0

6

4

000

330

211lim

6

2

4

321

112

211

Gauss

inasiE

y

x

1

-1Solusi banyak

y

x

1

-1

Tidak ada solusi

y

x

1

-1

Solusi tunggal

1

6

4

000

330

211lim

7

2

4

321

112

211

Gauss

inasiE

9 10/7/2017

EliminasiGauss-Jordan

Format matrik mengalami perubahan :

Ax = b I x =b’

Matrik A bersamaan dengan vektor b dieliminasi sampaimatrik A menjadi matrik Identitas

solusinya :

x1 = b1’, x2 = b2’, …..xn = bn’

'

...

'

'

'

1...000

...

0...100

0...010

0...001

...

...

...

...

...

...

3

2

1

3

2

1

321

3333231

2232221

1131211

nnnnnnn

n

n

n

b

b

b

b

b

b

b

b

aaaa

aaaa

aaaa

aaaa

10 10/7/2017

Contoh

Jawab menggunakan eliminasi Gauss-Jordan

11

132

3344

532

321

321

321

xxx

xxx

xxx

42 12 6

3 2223 12

1121

2 35 3 11 2 22 21

1 35 135

2 3 1 5 2 3 1 5 2 3 1 5

4 4 3 3 0 2 1 7 0 2 1 7

2 3 1 1 0 6 2 6 0 0 5 15

2 3 0 8 2 0 0 2 1

0 2 0 4 0 2 0 4

0 0 5 15 0 0 5 15

E EE E

E E

EE E

E E EE E

E

1 2 3

0 0 1

0 1 0 2

0 0 1 3

1, 2, 3x x x

10/7/2017

THANK YOU