2015/11/29 数理科学・数理教育研究会@亜細亜大学 小島 順 線型代数を幾何代数に拡張する -- D. Hestenes に代表される数学/物理の潮流を取り込む -- n次元(内積を備えた)空間 ! n に対して幾何代数 (geometric algebra) G n を構成する。これ は線型空間として 2 n 次元であり,例えば n = 3 として G 3 は 8次元,その元は M = s + v + B + T の形をしている。 s, v, B, T はそれぞれスカラー,ベクトル,2-ベクトル(bivector),3-ベクト ル(trivector)である。それぞれの次数(grade を使っている)は 0, 1, 2, 3 である。 幾何代数 G n における積は次の規則をみたす。 G1. 分配律 A( B + C ) = AB + AC,( B + C ) A = BA + CA G2. スカラー倍 (aA) B = A(aB) = a( AB) G3. 結合律 ( AB)C = A( BC ) G4. 1の働き 1A = A 1 = A この積を幾何積(geometric product)と言う。その元を一般に多重ベクトル(multivector)と 呼ぶ。 ! n の元である普通のベクトル(1-ベクトル)も多重ベクトルの一つである。 さらに: G5. ユークリッド計量(内積)とのつながり u ∈! n に対して uu = u ⋅ u = |u | 2 G6. ! n の正規直交基底は線型空間としてのG n の標準基底(a canonical basis)を定める。 これだけで幾何代数 G n は定まる。(その存在については,ここでは何も言っていない)。 1 ベクトルの積(復習) ベクトル a, b の内積(スカラー積,ドット積とも) a ⋅ b inner (or dot or scalar) product a ⋅ b = a b cosθ ∈! 1
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2 最近,私の Macbook Air のOS を最新の OS X El Capitan に変えた(El Capitan(エル カピタン) は Yosemite 渓谷にある花崗岩の一枚岩)。これまでの OS X は Snow Leopard v.10.6.8 で,これは El Capitan に簡単にアップデートできるギリギリの限界のバーションであった。 このアップデートによって,GeoGebra 5.0 を Apple Store からダウンロードし,インストールすることが可能となった。十分に実用に耐えるレベルに育っている,と思う。
The book is sufficiently conventional to be adopted as a textbook by an adventurous teacher without getting flack from colleagues. Yet it leads to gems of geometric algebra that are likely to delight thoughtful students and surprise even the most experienced instructors.
文献表[1] Hestenes, D. New Foundations for Classical Mechanics, 2nd edition. Reidel, 2000.[2] Doran, C., and A. Lasenby. Geometric Algebra for Physicist, Cambridge University Press, 2003.[3] Leo Dorst, Daniel Fontijne, Stephen Mann Geometric Algebra for Computer Science --- An Object-Oriented Approach to Geometry ---, Morgan Kaufmann, 2nd printing, 2009.[4] Alan Macdonald Linear and Geometric Algebra, 2nd printing, 2014.[5] Leo Dorst Geometric Algebra: the framework for geometric computations[6] Alan Macdonald A Survey of Geometric Algebra and Geometric Calculus, March 14, 2015 [7] Hestenes, D. Oersted Medal Lecture 2002: Reforming the Mathematical Language of Physics
ウェブサイト
[8] http://geocalc.clas.asu.edu/ Geometric Algebra, Research and Development (Hestenes のサイト,大量の情報がある)[9] http://geometry.mrao.cam.ac.uk/ Geometric Algebra @ UNIVERSITY OF CAMBRIDGE (Doran などのグループのサイト)[10] http://www.geometricalgebra.net/ Geometric Algebra for Computer Science 著書 [3] のためのサイト[11] Geometric Algebra and Foundations of Physics A. Macdonald のサイト