Matemtica Professor CCaaddeerrnnoo ddee AAttiivviiddaaddeess
PPeeddaaggggiiccaass ddee AApprreennddiizzaaggeemm
AAuuttoorrrreegguullaaddaa 0022 1 1 S S r ri ie e | | 2 2 B Bi im
me es st tr re e DisciplinaCurso BimestreSrie MatemticaEnsino
Mdio21 Habilidades Associadas 1. Resolver problema que envolva
variao proporcional, direta ou inversa, entre grandezas. 2.
Resolver problema envolvendo uma funo polinomialdo 1 grau 3.
Reconhecer o grfico de uma funo polinomial de 1 grau por meio de
seus coeficientes 4. Reconhecer a representao algbrica de uma funo
do 1 grau dado o seu grfico 5.Resolver problema que envolva razes
trigonomtricas no tringulo retngulo (seno, cosseno, tangente). 6.
Utilizar relaes mtricas do tringulo retngulo para resolver
problemas significativos. 2
A Secretaria de Estado de Educao elaborou o presente material
com o intuito de estimular o
envolvimentodoestudantecomsituaesconcretasecontextualizadasdepesquisa,aprendizagem
colaborativaeconstruescoletivasentreosprpriosestudanteserespectivostutoresdocentes
preparados para incentivar o desenvolvimento da autonomia do
alunado. A proposta de desenvolver atividades pedaggicas de
aprendizagem autorregulada mais uma estratgia pedaggica para se
contribuir para a formao de cidados do sculo XXI, capazes de
explorar
suascompetnciascognitivasenocognitivas.Assim,estimula-seabuscadoconhecimentodeforma
autnoma, por meio dos diversos recursos bibliogrficos e
tecnolgicos, de modo a encontrar solues para desafios da
contemporaneidade, na vida pessoal e profissional.
Estasatividadespedaggicasautorreguladaspropiciamaosalunosodesenvolvimentodas
habilidadesecompetnciasnuclearesprevistasnocurrculomnimo,pormeiodeatividades
roteirizadas.Nessecontexto,otutorservistoenquantoummediador,umauxiliar.Aaprendizagem
efetivada na medida em que cada aluno autorregula sua aprendizagem.
Destarte,asatividadespedaggicaspautadasnoprincpiodaautorregulaoobjetivam,
tambm, equipar os alunos, ajud-los a desenvolver o seu conjunto de
ferramentas mentais, ajudando-os a tomar conscincia dos processos e
procedimentos de aprendizagem que podem colocar em prtica.
Aodesenvolverassuascapacidadesdeauto-observaoeautoanlise,elepassaatermaior
domnio daquilo que faz. Desse modo, partindo do que o aluno j
domina, ser possvel contribuir para
odesenvolvimentodesuaspotencialidadesoriginaise,assim,dominarplenamentetodasas
ferramentas da autorregulao. Por meio desse processo de
aprendizagem pautada no princpio da autorregulao, contribui-se
paraodesenvolvimentodehabilidadesecompetnciasfundamentaisparaoaprender-a-aprender,o
aprender-a-conhecer, o aprender-a-fazer, o aprender-a-conviver e o
aprender-a-ser.
AelaboraodestasatividadesfoiconduzidapelaDiretoriadeArticulaoCurricular,da
SuperintendnciaPedaggicadestaSEEDUC,emconjuntocomumaequipedeprofessoresdarede
estadual. Este documentoencontra-se disponvelem nosso
sitewww.conexaoprofessor.rj.gov.br, a fim de que os professores de
nossa rede tambm possam utiliz-lo como contribuio e complementao s
suas aulas.
Estamosdisposioatravsdoe-mailcurriculominimo@educacao.rj.gov.brparaquaisquer
esclarecimentos necessrios e crticas construtivas que contribuam
com a elaborao deste material. Secretaria de Estado de Educao
Apresentao 3 Caro
Tutor,Nestecaderno,vocencontraratividadesdiretamenterelacionadasaalgumas
habilidadesecompetnciasdo2BimestredoCurrculoMnimodeMatemticada1
SriedoEnsinoMdio.Estasatividadescorrespondemaosestudosduranteoperodo
de um ms.
Anossapropostaquevocatuecomotutornarealizaodestasatividades
comaturma,estimulandoaautonomiadosalunosnessaempreitada,mediandoas
trocas de conhecimentos, reflexes, dvidas e questionamentos que
venham a surgir no
percurso.Estaumatimaoportunidadeparavocestimularodesenvolvimentoda
disciplinaeindependnciaindispensveisaosucessonavidapessoaleprofissionalde
nossos alunos no mundo do conhecimento do sculo XXI.
NesteCadernodeAtividades,osalunosvoaprenderumpoucomaissobre funes,
em especial a funo polinomial do primeiro grau. H um interesse
especial em
construiraideiadestafunosempreassociandoasituaesdiriasdoaluno.
Reservamos as aulas de 1 a 6 para este fim.
Nasaulasseguintes,vocencontrarumestudoinicialdatrigonometria.So
apresentadasasrazestrigonomtricassobreumtringuloretngulo.Finalizando,
apresentados uma parte envolvendo trigonometria em um tringulo
qualquer.
Paraosassuntosabordadosemcadabimestre,vamosapresentaralgumas
relaesdiretascomtodososmateriaisqueestodisponibilizadosemnossoportal
eletrnico Conexo Professor, fornecendo diversos recursos de apoio
pedaggico para o Professor Tutor.
Estedocumentoapresenta12(doze)Aulas.Asaulaspodemsercompostaspor
umaexplicao-base,paraquevocsejacapazdecompreenderasprincipaisideias
relacionadasshabilidadesecompetnciasprincipaisdobimestreemquesto,e
atividadesrespectivas.Estimuleosalunosalerotextoe,emseguida,resolveras
Atividades propostas. As Atividades so referentes a dois tempos de
aulas. Para reforar a aprendizagem, propem-se, ainda, uma pesquisa
e uma avaliao sobre o assunto. Um abrao e bom trabalho!Equipe de
Elaborao 4
Introduo...............................................................................................03
ObjetivosGerais
......................................................................................
Materiais de Apoio Pedaggico
..............................................................
Orientao Didtico-Pedaggica
............................................................. Aula
1: Funo Polinomial do Primeiro
Grau............................................ Aula 2: Situaes
problemas sobre Funes ............................................
Aula 3 : Proporcionalidade e funo linear
.......................................... Aula 4 :Grfico da funo
polinomial do primeiro grau ......................... Aula 5 :
Reconhecimento de uma funo a partir do grfico ...................
Aula 6 : Estudo do sinal da funo polinomial do primeiro grau
.............. Aula 7:Razes trigonomtricas no tringulo retngulo
.......................... Aula 8:Alguns ngulos Notveis
............................................................. Aula
9:Lei dos Senos
...............................................................................
Aula 10:Lei dos Cossenos
.......................................................................
Avaliao.................................................................................................
Avaliao Comentada
..............................................................................
Pesquisa
...................................................................................................
05 05 06 07 11 15 19 27 3341 49 57 64 72 73 78
Referncias..............................................................................................
80 Fonte das Imagens
....................................................................................
81 Sumrio 5
Comovistonoprimeirobimestre,na1sriedoEnsinoMdio,oscontedos
maisimportantessooconhecimentodosconjuntosnumricoseoestudodas
Funes. Neste bimestre vamos focar nossa ateno na funo polinomial do
primeiro
grau.Consequentemente,falaremostambmdeformaintrodutria,sobrea
trigonometria no tringulo retngulo e em tringulos quaisquer.
NoportaleletrnicoConexoProfessor,possvelencontraralgunsmateriais
que podem auxili-los. Vamos listar estes materiais a seguir:
Teleaulas Telecurso:Aula8-Descrio:Aquivocpodevisualizaraconstruo do
sistema cartesiano a partir de uma situao problema.Endereo
eletrnico:http://www.telecurso.org.br/matematica/
Telecurso:Aula30-Descrio:Aquivocpodevisualizaruma abordagem
contextualizada de aplicaes em funo do primeiro grau. Endereo
eletrnico: www.telecurso.org.br/matematica Telecurso:Aula 45 -
Descrio: Aula nmero 45. Uma abordagem para a aplicao da funo do 1
grau. Endereo eletrnico: www.telecurso.org.br/matematica Orientaes
Pedaggicas do CM Nome: Jogando e Conhecendo o Plano Cartesiano
Descrio:Nestesitesoapresentadosjogosondeoalunopode
construiraideiadosistemadecoordenadas.Atravsdejogos possvel dar
significado ao assunto. Endereo Eletrnico:
http://portaldoprofessor.mec.gov.br/fichaTecnicaAula.html?aula=1913
Materiais de Apoio Pedaggico Objetivos Gerais 6 A Funo Afim Um
enfoque interdisciplinar
Descrio:Nesteartigosopropostasvriasatividadesparaa construo da funo
afim, sempre baseado em situaes cotidianas. Endereo
Eletrnico:http://www.ccmn.ufrj.br/curso/trabalhos/pdf/matematica-trabalhos/funcoesem/trabalhos%20
%20aprovados/a%20fun%E7%E3o%20afim%20-%20um%20enfoque%20interdisciplinar.pdf
Artigo sobre Funes
Descrio:Nestesiteoalunopodeencontrarartigosediversas atividades
sobre o estudo de funes. Endereo Eletrnico:
http://www.brasilescola.com/matematica/funcoes.htm
ParaqueosalunosrealizemasAtividadesreferentesacadadiadeaula,
sugerimososseguintesprocedimentosparacadaumadasatividadespropostasno
Caderno do
Aluno:1-Expliqueaosalunosqueomaterialfoielaboradoparaqueoalunopossa
compreend-lo sem o auxlio de um professor.2 - Leia para a turma a
Carta aos Alunos, contida na pgina 3.
3-Reproduzaasatividadesparaqueosalunospossamrealiz-lasdeforma
individual ou em dupla.4 - Se houver possibilidade de exibir vdeos
ou pginas eletrnicas sugeridas na seo Materiais de Apoio Pedaggico,
faa-o.5-Peaqueosalunosleiamomaterialetentemcompreenderosconceitos
abordados no texto-base.6 - Aps a leitura domaterial, os alunos
devem resolver as questes propostas nas ATIVIDADES. 7- Asrespostas
apresentadaspelosalunosdevemsercomentadas edebatidas
comtodaaturma.Ogabaritopodeserexpostoemalgumquadrooumuralda
Orientao Didtico-Pedaggica 7 sala para que os alunos possam
verificar se acertaram as questes propostas na Atividade. Todas as
atividades devem seguir esses passos para sua implementao.
Nasaulasanteriores,estudamosoqueumafuno.Aprendemostambma
representarogrficodediferentestiposdefunes.Nouniversomatemtico,
existemalgumasfunesque,porsuacontnuautilizaonodiaadia,recebemum
tratamento especial, isto , so estudadas com maior
profundidade.Nesta aula, vamos aprender um pouco sobre uma destas
funes. a chamada funo polinomial do 1 grau, tambm conhecida como
funo afim.Esperamos que seja muito divertido e instrutivo para voc.
Bom estudo. 1 FUNO POLINOMIAL DO 1 GRAU: Denotamosfuno polinomial
do 1 grau ou funo afim a toda funo do tipo: F (x) =a x + b , com a
0. Vocdeveestarseperguntandoporqueatemdeserdiferentedezero?A
resposta simples! Note que se a = 0temosy = 0 . x +b ,ou seja,y = 0
+ b.Neste
caso,anularamosavariveleficaramosapenascomaparteconstante:y=b.
Afunodeixadeserpolinomialdoprimeirograu,epassaaserumafuno
constante. Observe os exemplos: a)f(x) = 2x 3 ( a = 2 e b = - 3) b)
f(x) = - 5x + 2 ( a = - 5 e b = 2) c) f(x)=- x( a = - 1 e b = 0)
Aula 1: Funo Polinomial do primeiro Grau. 8 muito comum representar
uma funo do 1 grau por:y = a x + b, com 0 a .
Paracadavalordex,afunoassumeumvaloryouf(x),entopodemos
escreverumparordenadocomo(x,y)ou(x,f(x)).Esteparordenadorepresentaum
ponto no plano cartesiano (x, y).Ento usamos a notao f(x) =
Y.Exemplos: a) f(x) =2x - 3 y =2x - 3, b) f(x) = 5x + 2 y = -5x + 2
OdomnioeaimagemdestafunosonmerosReais,isto,podemos atribuir
qualquer valor Real para x e, automaticamente, ser encontrado um
valor Real para y.
interessanteatentarparaofatodocrescimentoedecrescimentonesta funo.O
valor de y depende exclusivamente do valor atribudo a x, sendo
assim, esta
funopermitemodelarsituaestantodecrescimentocomodedecrescimento
proporcional. Vamos analisar alguns exemplos para que voc
compreenda melhor! EXEMPLO 01:
UmtaxistacobraporcorridaR$10,00Reais(bandeirada)emaisR$1,50por
quilmetro rodado. Qual a funo que representa uma corrida com este
taxista? Resoluo: evidente que a cada quilmetro percorrido, o
taxmetro marcar mais R$1,50. Veja a tabela: No h diferena entre
escrever y ou f(x). Ambos representam a funo. 9 Km percorridoPreo
110 + 1 . 1,50 210 + 2 . 1,50 510 + 5 . 1,50 X10 +x . 1,50
Analisandoatabelo,possvelperceberqueafunoserdadaporf(x)=1,50x+10,ondef(x)ovaloraserpagoexaquantidadedequilmetros
percorridos. Temos ento uma funo polinomial do primeiro grau, onde
a = 1,50 e b = 10. Agora que tal exercitar um pouco?
01.Escrevatrsexemplosdesituaesreaisquepodemsermodeladasatravsde uma
funo polinomial do 1 grau.
Resoluo:Qualquerfunoconstrudanoformatof(x)=ax+b,mesmocomb=0deverser
considerada. A nica restrio a diferente de zero.
02.Deacordocomadefinio,umafunopolinomialrepresentadapor:f(x) = ax +
b, com a 0.Escreva as seguintes funes dadosa e b: a) a = 2, b = 3.
b) a = -1, b = 5.c) a = 0, b = -3. d) a = -2, b = -7. Resoluo:
a)f(x)= 2x + 3 ou y = 2x + 3 Atividade Comentada 1 10 b) f(x) = -x
+ 5 ou y = -x + 5 c) A funo no pode ser construda como funo
polinomial do primeiro grau, pois a = 0. d) f(x) = -2x 7 ou y = -2x
- 7 03. Dadas as funes, identifique o valor de a e b: a) f(x) = 2x
5. b)y = -x + c) y = 1 x d) f(x) =
Resoluo:a) a = 2 e b = -5 b) a = -1 e b = c) a = -1 e b = 1 d) a
= e b = -6 04. Dadas as funes a seguir, defina quais so funes afim.
Justifique suas respostas: a) y = x2 7. No afim, pois o expoente da
varivel 2. b) y=
. funo afim. c) f(x) =
- 3. No funo afim, pois a varivel o inverso de x, assim o
expoente -1. d) f(x) = 8. No funo afim, pois a = 0. Resoluo: a) No
afim, pois o expoente da varivel 2. b) funo afim c) No funo afim,
pois a varivel o inverso de x, assim o expoente -1. d) No funo
afim, pois a = 0. 11 05. Dada a funo f(x) = 2x - 3, determine: a)
f(1) b) f(-1)c) f(0) d) f(
) Resoluo:a) f(1) = 2.1 3 = 2 3 = -1 b) f(-1) = 2.(-1) 3 = -2 3
= -5 c) f(0) = 2.0 3 = -3 d) f(
) = 2. - 3 =
3 = 1 3 = -2
Nestaaulavamosaprenderamodelaralgunsproblemascomafuno polinomial do
primeiro grau. Voc vai perceber que todos os dias nos deparamos com
situaes onde essa funo se faz presente, e instintivamente,
realizamos clculos com ela.Atravs de alguns exemplosde aplicao da
funo polinomial do 1 grau, vamos lev-lo a compreender esse
importante assunto: EXEMPLO 01:
Ocustodafabricaodosbrincosdeumafbrica dado pela funo C(x) = 3x +
27, sendo x o nmero de brincos produzidos e C o custo em reais.
Calcule: a) Qual o custo da fabricao de 200 brincos?b) E o custo da
fabricao de 500 brincos? Aula 2:Situaes Problemas sobre Funes 12
Resoluo: a)Paracalcularocustodafabricaode200 brincos devemos
calcular C(200), ou seja:
C(x)=3x+27,esendox=200,temosqueC(200)=3.200+27,isto,C(200) = 600 +
27 = 627.Ento, conclui-se que C(200) = 627.Logo, o custo igual a R$
627,00. b) Para calcular o custo da fabricao de 500 brincos devemos
calcular C(500), ou seja: substituirx = 500 na funo dada:C(x) = 3x
+ 27. Ento, teremos: C(500) = 3 . (500) + 27.Assim, C(500) = 1500 +
27. Conclui-se quem C(500) = 1527 Logo, o custo igual a R$
1.527,00. EXEMPLO
02:Emumasorveteria,oquilogramadosorvetevendidoaR$25,00,sendoqueo
cliente,apspesarosorvete,pagandoumacrscimodeR$3,00podeacrescentar
vriostiposdecobertura.Considerandoxaquantidadedesorveteeyovaloraser
pago pelo sorvete, pede-se:
a)Qualafunoquedefineovaloraserpagonacompradosorvete,levando-se em
conta que no consumir cobertura.
b)Qualafunoquedefineovaloraserpagonacompradosorvete,incluindoa
cobertura. c)Quanto pagarei se consumir 300 gramas de sorvete
utilizando cobertura? d)Com R$8,00, quanto sorvete poderei comprar,
se utilizar cobertura.
Resoluo:Inicialmente,vamosconstruirumatabelaexplicativaparaoconsumode
sorvete: 13 PesoValor pago com coberturaValor pago sem cobertura 1
kg25 . 1 + 325 . 1 2 kg25.2 + 325 . 2 0,5 kg25. 0,5 + 325 . 0,5
a)Bastamultiplicaropreodosorvetepelaquantidadeconsumida,assim,teremos:y
= 25.x b)
Anlogoaoitemanterior,opreodadopelovalordoquilomultiplicadopela
quantidadeconsumida,porm,acrescidodataxadeR$3,00dacobertura.Ento,a
funo ser dada por y = 25.x + 3
c)Observeque300gramasdesorvetepodeserrepresentadopor0,3Kg.Comoa
funo dada pory=25x+3,vamossubstituir x=0,3 nafuno. Ento,temosque y
= 25 . 0,3 + 3. Conclui-se que o valor a ser pago de R$ 10,50. d)
Nestecasotemosovaloraserpagoeprecisamoscalcularaquantidade.Como
y=25.x+3,teremosque8=25.x+3.Vocselembracomofazessaconta?Vamos
relembrar!! 1) y = 25.x + 3, teremos que 8 = 25.x+3. 2) Subtraindo
3 de cada membro teremos: 8 3 = 25x +3 3,5 = 25x X = 5= 02
25.Conclui-se que x = 0,2 Kg = 200 gramas de sorvete. OBSERVAO::
Nasfunespolinomiaisdoprimeirograu,quandob=0,teremosachamada
funolinear.Observeaindaqueessafunoumcasotpicodeproporcionalidade,
poisdependendodosentidodessafuno(crescenteoudecrescente)teremos
grandezas diretamente ou inversamente proporcionais. 14 01. O custo
de fabricao dos carrinhos de brinquedo de uma fbrica est
relacionado com a quantidade de carrinhos de acordo com a funo C(x)
= 2,5x + 50, calcule: a) O custo de fabricao de 50 carrinhos;b) O
custo de fabricao de 80 carrinhos. Resoluo: a) Vamos calcular C(50)
= 2,5 . 50 + 50, logo C(x) = 125 + 50 = 175.Ou seja, o custo na
fabricao de 50 carrinhos de 175. b) Analogamente, faremos C(80) =
2,5 . 80 + 50, assim, C(80) = 200 + 50. Conclui-se que o custo na
fabricao de 80 carrinhos de 250.
02.Olucrodeumartesoemfunodonmerodepeasvendidasdadopela funo L(x) =
6x - 3000. Pede-se: a) O nmero mnimo de peas vendidas para que no
haja prejuzo igual a: b) Qual o lucro para a venda de 250 peas?
Resoluo:a)BastacalcularL(x)=0.Vistoquepeloenunciado,olucronopodesernegativo.
Calculandoaequaoobtidatemos6x3000=0.Logo,6x=3000,e,x=3000/6.
Conclui-se ento que o nmero mnimo de peas vendidas para no ter
prejuzo 500. b)Vamos calcular o lucro para 250 peas, ou seja L(250)
= 6 . 250 -3000.
L(250)=15003000,temosqueL(250)=-1500,conclui-sequecomavendade250
peas teremos lucro negativo, ou seja, prejuzo. 03. Paulo recebe
mensalmente R$ 2.000,00 fixos e mais R$ 100,00 por cada coleo de
livros que ele vender. Seja x a quantidade de colees de livros
vendidas por Paulo e y Atividade Comentada 2 15
osalriototalquePauloirreceber.Qualafunoquerepresentaosalriofinalde
Paulo. Resoluo: Y = 2000 + 100x
04.Emumrestaurante,foifeitaumapesquisaparasaberocustonaproduodo
alimento.
Baseado nesta tabela, responda s questes: a)Qual o custo do
restaurante caso no tenha produo de refeies? b)Escreva a funo que
define o custo do restaurante. Resoluo: a) O custo para zero
refeio, de acordo com a tabela de 500,00. b) Uma funo na forma y =
ax + b. Quando x = 0, teremos y = b, no caso o valor de b para x =
0 500. Temos ento que y = ax +500. Vamos substituir os valores de x
e y de acordo com a tabela: 650 = a. 50 + 500, conclui-se que
50.a=150, ou seja a = 3 800 = a.100 + 500, conclui-se que 100.a =
300, ou seja a = 3. Podemos observar que o valor de a igual a 3.
Substituindo na funo, teremos: y = 3x + 500.
UmadasideiasmaisinteressantesestudadasnoEnsinoFundamentala questo
da proporcionalidade. Voc se lembra do conceito de
proporcionalidade? Quantidade de refeies Custo 0500 50650 100800
150950 Aula 3:Proporcionalidade e funo linear 16
NaGrciaantiga,apartirdosestudosdoMatemticoTalesdeMileto comeamos a
tomar conscincia da utilizao da proporcionalidade. Ele descobriu
que dadasduasoumaisgrandezas,possvelqueelascresamoudiminuamdeforma
constante.
Vejamosumbomexemploquepodemosobservaremnossasaladeaula.Se cada
aluno precisa de dois cadernos, dois alunos vo necessitar de quatro
cadernos e assim por diante. Observe a tabela: evidente que o nmero
de cadernos deve ser o dobro do nmero de alunos.
Assim,podemosescreveraseguintefunopolinomialdoprimeirograu:y=2x.
Observequenohvalordeb,sendoassim,chamaremosestetipodefunode funo
linear. Seguem alguns exemplos para ilustrar esse conceito: EXEMPLO
01:
Ummotoristamantmseucarronumaestradacomumavelocidadeconstantede60
km/h. Responda: a) Em quanto tempo ele percorrer 240 km? b) Quando
quilmetros ele percorrer em 3h? Resoluo:
Esseproblemaenvolveconceitosdeproporcionalidadeefunolinear.Observe
a tabela a seguir: t (em horas)d (em km) 160 2120 3180 td = 60.t
Nmero de alunos Nmero de cadernos 12 24 36 48 x2x 17
Quandoissoocorreentreduasgrandezasdizemosqueelassodiretamente
proporcionais,enalinguagemmatemtica,podemosdizerqueduasgrandezasso
diretamente proporcionais se para cada valor de x de uma delas
corresponde um valor y na outra, satisfazendo as condies: i. Quanto
maior for x, maior ser y ii. Se dobrarmos, triplicarmos, etc. o
valor de x, ento, o valor correspondente de y tambm ser aumentando
na mesma quantidade.
Essacorrespondnciadexeyquesatisfazessasduascondieschama-se
proporcionalidade.Mas,eseovaloraoinvsdeaumentar,elediminuirnamesma
proporo? Neste caso, dizemos que os valores x e y so inversamente
proporcionais. Interessante, no ? Ento, vamos testar o que
aprendemos nesta aula?
01.SejamLamedidadoladoePopermetrodeumquadrado.Verifiquesea
correspondencia de L em P uma proporcionalidade. Justifique a sua
resposta:
Resoluo:Sabemosqueopermetrodadopelasomadoslados.Sendoassim,vamosanalisar
quadrados com diferentes tamanhos: LadoPermetro 1cm1 + 1 + 1 + 1 =
4 cm 2 cm2 + 2+ 2 + 2 = 8 cm 3 cm3 + 3 + 3 + 3 = 12 cm X cmx + x +
x + x = 4 x cm Obviamente, a correspondncia uma proporcionalidade
direta. Quanto maior o lado do quadrado, maior ser seu permetro.
Atividade Comentada 3 18
02.ConsidereLamedidadoladoeAamedidadareadeumquadrado.A
correspondencia de L em A uma proporcionalidade? Justifique a sua
resposta:
Resoluo:Demaneiraanlogavamosinvestigararelaoentreladoerea,lembrandoquea
rea deum quadrado de lado x dado por x . x, isto , x2. Ladorea 1cm1
. 1= 2 cm2 2 cm2 . 2 = 4 cm2 3 cm3 . 3 = 9 cm2 x cmx . x = x2 cm2
Ento, claro perceber que no h crescimento proporcional entre as
grandezas lado e
rea.Enquantooladoaumentaacadaumaunidade,ocrescimentodareano
acompanha na mesma proporo.
03.Umalojadeeletrodomsticoslanaumapromoorelmpago.Nessapromoo, todas
as notas fiscais recebero sobre o preo final um desconto de 10%.
Pede-se: a) Afuno que representa o valor a ser pago aps o desconto
de 10%? b) Quanto um cliente pagar se comprar R$5600,00? c) At que
valor em mercadorias poderei comprar se tenho R$2.700,00 para
gastar? Resoluo:
a)Podemosrepresentar10%pelodecimal0,1,sendoassim,paracalcular10%sobre
um montante, basta multiplicar esse montande por0,1.Como o total de
100%, aps descontar os 10% o cliente pagar apenas 90% da
mercadoria. Este percentual por ser representado pelo decimal 0,9.
Representaremosaquantidadevendidapelavarivelxeovaloraserpagopela
varivel y. Fica ento y = 0,9 x 19
b)Lembrandoquey=f(x),podemosescreverentocomof(x)=0,9x.Calculando
f(5600) teremos: f(5600) = 0,9 . 5600. Ento, F(5600) = 5040,00.c)
Dada a funo y = 0,9x, como temos o valor de y, basta substituir e
calcular x. 0,9x= 3000, isolando a varivel teremos: x =
, conclui-se que x = 3.000,00. 04. Em uma padaria o quilograma
do po custa R$ 5,50. Detemine. a) O preo pago por 2 Kg de po. b) O
preo pago por 500 gramas de po.
c)Afunoquedefinearelaoentreopreodoquilogramadepoeovaloraser pago.
Resoluo: a) 2 . 5,50 = 11,00 b) O preo pago por 500 gramas de po
equivale a 0,5 quilograma, assim, teremos 0,5 . 5,50 = 2,75
c)Afunoquedefinearelaoentreopreodoquilogramadepoeovaloraser
pago.Vamosconsiderarycomosendoovaloraserpagoexaquantidadedepo
adquirida. Logo, a funo ser dada por y = 5,5 x. No plano
cartesiano, o grfico da funo polinomial do 1 grau representado
porumareta.Umaformadeconstruiressegraficoconhecerosdoispontos
principais da reta: o ponto onde o grfico intersecta o eixo x e o
ponto onde o grfico intersecta o eixo y. Aula 4: Grfico da funo
polinomial do 1 grau 20 1 - INTERSEO COM O EIXO X: Na interseco com
o eixo x, temos que f(x) = 0, ou seja, isso significa que y = 0 ,
logo,x ser a raiz da equao ax + b = 0.Se resolvermosa equao ax + b
= 0, temosque:ax = b.Isolando a varivel temos:x =
. Podemos concluir que o ponto de interseco da reta com o eixo x
dado por( b/a, 0). 2 - INTERSEO COM O EIXO Y:
Naintersecodaretacomoeixoy,teremosquex=0,isto,nafunoy=ax+b,quandox=0teremosy=a.0+b,oqueimplicadizerquey=b.
Concluimos ento, que a interseo da reta com o eixo y representada
no ponto (0, b).
claroquepodemosdeterminarinfinitosoutrospontosdareta,pormestes dois
nos so satisfatrios para a funo afim.
Nafunolinear,ogrficosempreintersectaoeixoxnoponto(0,0)e
consequentementetambmintersectaoeixoynomesmoponto.Assimteremos
apenas um ponto, o que no define uma reta. Como proceder nesses
casos? simples!
Sabendoqueodomniodafunopolinomialdoprimeirograuoconjuntodos nmeros
Reais, podemos atribuir a x qualquer valor desse conjunto. EXEMPLO
01: Vamos construir o grfico da funo linear y = 2x.
Resoluo:Vamoscomearcalculandoaraiz,queconformejestudamos,dadapor:x=b/a.Ento,considerandox=0,temosquex=0/2=0.Definimosassimoponto
(0,0).Comoainterseaodaretacomoeixoxocorrenomesmopontoquea interseo
com o eixo y, precisamos de um outro ponto qualquer para construir
a reta. 21 Aleatoriamente escolhemos um valor Real qualquer. No
desejo de no fazer um grfico muito grande, vamos atribuir um valor
menor, 2 por exemplo. Calculando x= 2
temosy=2.2=4.Assim,quandox=2temosy=4.Temosentodoispontosconhecidos:(2,4)
e ( 0,0).Basta agora, marcar os pontos no plano cartesiano e traar
a reta. EXEMPLO 02:Faa um esboo do grfico da funo f(x) = 3x + 6.
Resoluo:Paraconstruiressegrfico,vamosencontrarospontosdeinterseocomos
eixos,ou seja,vamos calcularf(x) = 0ex = 0. 1)f(x) = 0 3x + 6 = 0
3x = -6 x = - 6/3 x = - 2 O ponto de interseo com x (-2, 0).Agora
vamos calcularx = 0: 22 2) x = 0 f(x) = 3 . x + 6 f(0) = 3 . 0 + 6
f(0) = 6 Esse o ponto (0, 6).
Paraconstruiareta,bastalocalizarospontos(0,6)e(2,0)nareta.O grfico,
a reta que passa por esses dois pontos: 4 2 0 -2 -4151050-5xyxy3*x
+ 6 EXEMPLO 03:Faa um esboo do grfico da funo f(x) = -2x + 4.
Resoluo:Fazendo f(x) = 0 temos: -2x+4 = 0 -2x = -4 x = -4/-2 x = 2
Esse o ponto (2, 0). Agora fazendo x = 0: f(0) = -2(0) + 4 f(0) =0
+ 4 f(0) = 4 23 Esse o ponto (0, 4). Agora basta localizar os
pontos no grfico: 3 2 1 0 -16420-2xyxy4 - 2*x
Osexemplo01e02,representamgrficoscrescenteseoexemplo03,
decrescente. Uma funo ditacrescente quando ao aumentarmos os
valores de x, os
valorescorrespondentesdeytambmaumentam,poroutrolado,umafuno
decrescente quando ao aumentarmos os valores de x, os valores
correspondentes de y
diminuem.Escrevendoemumalinguagemmatemticapodemosdizerque:uma
funodo1graudotipof(x)=ax+bsercrescentequandoa>0edecrescente
quando a <
0.Nafunodo1grauf(x)=ax+b,chamamosocoeficienteadecoeficiente
angular,poiseleindicaainclinaodaretaemrelaoaoeixoxeocoeficienteb
chamado de coeficiente linear, pois o valor de y onde o grfico
intersecta o eixo das ordenadas (y). O valor de x para que f(x) =
0, ou seja, a raiz da equao ax+b = 0, chamado de zero da funo. 01.
Faa um esboo do grfico das funes: a) f(x) = 2x 6 b) f(x) = x + 8 c)
f(x) = 2xd) f(x) = -3x Atividade Comentada 4 24 Resoluo:a) A
interseo com x dada por x = -b/a, segue que x = 6/2 = 3. Temos o
ponto (3,0) Interseco com y (0,-6). Marcando os pontos no plano
cartesiano, temos:
b)AIntersecocomoeixoxdadaporx=-b/a,seguequex=-8/1=-8.Temoso
ponto(-8,0).Aintersecocomy(0,8).Marcandoospontosnoplanocartesiano,
temos: c) y = 2x xy = 2x 24 12 25 d) y = -3x xy = -3x 1-3 00 02.
Dada a funo f(x) = kx+6, calcule o valor de k para que f(3) = 12.
(DICA:Substitua os valores de x e y na funo dada.) Resoluo:Se f(3)
= 12 teremos 3x + 6 = 12, logo, 3x = 12 6 Temos que 3x = 6,
conclui-se que x = 2. 03. Dada a funo f(x) = 2x 1, determine:
a)f(2) = 2.2 1 = 4 1 = 3 b)f(-1) = 2. (-1) -1 = -2 1 = -3 c)f(1) =
2.1 1 = 2 1 = 1 d)f(0) = 2.0 1 = 0 1 = -1 e)f( ) = 2.( ) 1 = 1 1 =
0 04. Determine a raiz e o coeficiente linear em cada funo: a)y =
2x 1 b)f(x) = x 3 c)f(x) = x d)f(x) = -3x +1 26 Resoluo: a)y = 2x 1
x = -b/a = Raiz = Coeficiente linear = -1 b) f(x) = x 3 x = -b/a =
3/1 = 3Raiz = 3 Coeficiente linear = -3 c) f(x) = x x = -b/a = 0/1
= 0 Raiz = 0 Coeficiente linear = 0 d) f(x) = -3x +1x = -b/a =
-1/-3 = 1/3Raiz = 1/4 Coeficiente linear = 1 05. Verifique em cada
caso quando a funo crescente ou decrescente. a) f(x) = -x + 4 b) y
= 2 3x c) f(x) = x d) f(x) = 2x 1 Resoluo: a) a =-1, isto , a <
0 . A funo decrescente b) a =-3, isto , a < 0 . A funo
decrescente c) a =1, isto , a > 0 . A funo crescente d) a = 2,
isto , a > 0 . A funo crescente 27
Nasaulasanterioresaprendemosumpoucosobrefunes,especialmente
sobreafunopolinomialdoprimeirograu.Aprendemosareconhecerumafuno
afim e tambm a funo linear em sua forma algbrica. Estudamos como
encontrar a
raizdafunobemcomoaintersecocomoeixoy.Aprendemostambmsobreos
coeficientes a e b da
funo.Nestaaula,vamosinverteresseprocesso,poisatentonspartamosda
representaoalgbricaparaconstruirogrfico.Agoraapropostainversa:apartir
deumgrfico,vamosdefiniraexpressoalgbricadafuno,eanalisaroseu
comportamento. Vamos l? Observe o grfico a seguir: EXEMPLO 01: 3 2
1 0 -16420-2xyxy4 - 2*x Como podemos determinar os valores dos
coeficientes a e b?
Muitosimples!Bastaobservarondeogrficodafunointersectaoeixoy.
Temosentoovalordocoeficienteb,paraonossoexemplo1,temosqueb=4.E,
para encontrar o coeficiente a, observamos a variao da funo. Note
que, enquanto Aula 5: Reconhecimento de uma funo a partir do grfico
28 xestvariandoemduasunidades,emytemosumavariaodequatrounidades.J
vimos quex=-b/ a . De forma equivalente podemos escrevera=- b/ x
.Sabendo queb = 4e aplicando o ponto ( 0, 2 ), temos que: a = -4/2
= -2.Notequeessafunodecrescente,comisso,atribumososinalnegativoao
valor de a. Conclumos assim que a funo que descrevero grfico f(x) =
2x + 4. EXEMPLO 02: Neste exemplo, vamos fazer uma anlise
criteriosa da funo, observe:
Inicialmenteprecisoconheceraformaalgbricadessafuno.Paraisso,
vamoslembrar que todafuno polinomialdoprimeirograu umareta
eseescreve algebricamente na forma y = ax + b.
Precisamosidentificardoispontosnessareta,assimconsiderarospontosA(-1,1)
eB(2,-1). Substituindo os valores de x e y na funo y = ax+b temos o
sistema: 1 = a + b 1 = 2a + b 29 Vamos resolver esse sistema pelo
mtodo da substituio. Caso no se recorde, no se preocupe, vamos
explic-lo passo a passo! 1 Passo: Encontrar as equaes que formam o
sistema. Na primeira equao, isolando b, temos: 1 = -a + b1+ a = bou
b =( 1 + a ) 2 Passo: Substituir o valor de b na outra equao: 1 =
2a + b -1 = 2a + (1+a) -1 = 2a + 1 + a-1 = 1 + 3a -1-1=+ 3a -2 =
3aa= -2/3 3 Passo:Podemos agora substituir o valor encontrado para
a na primeira equao: b = 1 + a b =1 + (-2/3)b =1- 2/3b = 3/3 2/3 b
= 1/3 Como y = ax + b, temos que
Notequecomoafunodecrescenteosinaldeaobrigatoriamente negativo,
pois a deve ser menor que zero. 30 01. Dados os grficos das funes
reais, escreva a funo f(x) = ax + b correspondente. a) b) Atividade
Comentada 5 Resoluo: O valor de b = 2. Como a raiz dada por x =
b/a,e sabendo que a raiz 2, temos: 2 = -2/a, logo a = -1 Podemos
escrever y= ax + , ou seja, y = x +2. Resoluo: O valor de b= 2 Como
a raiz dada por x = b/a,e sabendo que a raiz -2, temos: -2 = -2/a,
logo a = 1 Podemosescrevery=ax+b,ouseja, y = x +2 31 02. Em cada
grfico identifique e escreva a raiz da funo, o valor de b, e se o
valor de a positivo ou negativo. a)b)
c)d)
32 a) x = 1; b= -4 e a >0 b) x = -1; b = -1 e a 0 d) x = 1; b
= 5 e a < 0 03. A seguir apresentado um grfico do espao em funo
do tempo. Pede-se: a)A expresso que define o espao em funo do
tempo. b)O espao inicial. c)O espao percorrido aps 5 segundos. d)O
espao total percorrido em 10 segundos. Resoluo:a) A interseco da
retacom o eixo y (aqui representado por s (espao) 50, logo, na
funo, b=50.
Em10segundosoespaopercorrido250,vistoquepartiudoespao50,ter
percorrido200metrosem10segundos,oqueequivaleadizerqueacadasegundo,
proporcionalmente, percorreu 20 metros. No caso, a = 20. Assim
teremos: S = 20 t + 50 b)O espao inicial se d quando t=0, isto s =
50 metros c)Vamos calcular S(5) = 20.5 + 50 = 100 + 50 = 150
d)Vamos calcular S(10) = 20 . 10 + 50 = 200 + 50 = 250 33
04.Verifique se os pontos abaixo pertencem a funo definida no
grfico: a)(-1,0) b)(-1,1) c)(2,4) d)(1,1) Resoluo:Inicialmente
precisamos definir a forma algbrica da funo. O valor de b = 2. Como
a raiz dada por x = b/a, e sabendo que a raiz -2, temos: -2 = -2/a,
logo a = 1 Podemos escrever y=ax + b y = x +2 Para verificar se os
pontos pertencem a reta, substituimos x e acharemos y. Se o ponto
for pertencente a reta, encontraremos uma igualdade. Sendo assim,
teremos que:a)(-1,0)0 = -1 +2 0 1. No pertence b)(-1,1) 1 = -1 + 2
1 = 1. Pertence c)(2,4)4 = 2 + 2 4 = 4. Pertenced)(1,1)1 = 1 + 2 1
3. No pertence 34
Umadasmuitasaplicaesdafunopolinomialdoprimeirograuna
economia.Aprendemosnasaulaspassadascomoessafunoutilizadana
modelagem de problemas envolvendo proporcionalidade. fcil entender
que atravs
dessafuno,podemosobservarocrecimentooudescrescimentodedeterminada
atividade financeira, desde que essa atividade tenha como modelo a
funo polinomial do primeiro grau. Como exemplo, vamos nos ater ao
seguinte problema: EXEMPLO 01:
OLucrodeumadeterminadaempresamodeladodeacordocomafuno L(x) = 5x
200. Sendo x a quantidade de material produzido poressa empresa,
qual a quantidade necessria para que o lucro seja positivo?
Resoluo:
Inicialmenteprecisamosacharolucrozero,isto,quandoafunozero.
Aprendemosqueafunotery=0nopontoquerepresentaaraizdafuno,
assim,devemoscalcularqualovalordexqueanulaestafuno.Observequena
funo temos:a = 5 eb = 200. Ento:x = b/a x = (200)/5 x = 40.
Comoainterceodafunocomoeixoynoponto(0,200),podemos facilmente traar
um grfico, pois sabemos que essa reta intersepta x em x=40 e y em
y= 200. Aula 6:Estudo do Sinal da Funo polinomial do 1 Grau. 35
Notequequandox=40afunoestsobreoeixox,isto,valezero.Neste caso, no h
lucro e nem prejuzo. Se a quantidade produzida for maior que 40, a
reta est acima do eixo x, ou seja, o lucro positivo, e caso a
produo seja menor que 40, teremos lucro negativo ou prejuzo. Fcil?
Ento vamos ao prximo exemplo! EXEMPLO 02:
PedrotemumafirmadereparosecobraR$50,00emaisR$10,00porhorade
trabalho.SeuirmoJooofereceosmesmosserviosecomamesmaqualidade, porm,
cobra a visita R$ 30,00 e R$ 15,00 a hora trabalhada. Qual destes
profissionais devo chamar caso precise de seus servios tcnicos?
Resoluo: Que dvida, chamo o Pedro ou o Joo?Sabe qual a resposta?
Eladepende do
tempogasto!Vamosconstruirumafunoparacadacaso,sabendoqueambasas
expresses esto em funo do tempo, que chamaremos de h (hora). Pedro:
P(h) = 50 + 10h ( R$50,00 de visita e R$10,00 por cada hora
trabalhada) Joo: J(h) = 30 + 15h (R$30,00 de visita e R$15,00 por
cada hora trabalhada) 36 Vamos descobrir quando os preos so iguais,
para isso faremos J(h )= P(h). Observe os clculos a seguir: 30 +
15h = 50 + 10h 15h 10h = 50 30 5h = 20, h = 4 horas.
Oqueissosignifica?Significaqueseoservioforde4horasdedurao, qualquer
um dos profissionais cobrar o mesmo preo.E se nmero de horas for
menor que 4? Qual devemos chamar?
Porexemplo,seotrabalhoforde3horasdedurao?Vamossubstituirem cada
funo: P(3) = 50 + 10 . 3 = 80 J(3) = 30 + 15 . 3 = 75 evidente que
se o tempo de durao for menor que 4 horas, devemos chamar
oJoo,vistoquecobrarumpreoinferioraocobradoporPedro,obviamente
mantendoamesmaqualidadedeservio.Entretanto,seaquantidadedehoras
trabalhadas for superior a 4 horas, melhor contratar os servios do
Joo. Por exemplo, 5 horas de trabalho, implicam que: P(5) = 50 + 10
. 5 = 100 J(5) = 30 + 15 . 5 = 105 EXEMPLO 03: Outro exemplo de
aplicao prtica simplesmente estudarmos o sinal da funo. Por
exemplo, vamos estudar o sinal da funo f(x) = x +2.
Resoluo:Inicialmenteprecisamosconheceraraizouzerodessafuno.Paraisso,
considere que a = 1e b = 2. 37 x = b/a x = 2/1 x = 2 Como o grfico
uma reta crescente (o sinal de a menor que zero), podemos
analisarsobreoeixox.Parasaberqualosinaldafunoparavaloresmaiorese
menoresque2,bastaatribuirmosumexemplodecada!Vamosconsiderarx=1ex =
4. Vamos verificar qual o sinal de y para cada caso: X = 4f(4) = 4
+ 2. X = 1f(1) = 1 +2. f(4) = 2. f(1) = + 1. Para valoresde x
maiores que 2, f(x) negativo (est abaixo do eixo x) Para valoresde
x menores que 2, f(x) positivo (est acima do eixo x) Para x igual a
2, teremos a funo igual a zero. 01. Dada a funo afim definida pela
expresso y = 2x 6, determine: a) A raiz da funo. b) A interseo da
reta com o eixo y. c) O grfico. d) O estudo da variao do sinal da
funo. Atividade Comentada 6 38 Resoluo:a) A raiz da funo dada por x
= -b/a x = -(-6)/2 x =6/2 x = 3b) A interseo da reta com o eixo y
ocorre em b = -6, ou seja, a interseco se dar no ponto (0,-6) c) O
grfico: d) Se x =3 ento f(x) = 0 Se x > 3 ento f(x) > 0 Se x
< 3 ento f(x) < 0 02. A academia BOA FORMA est em promoo.
Oferece seus servios a partir de uma matrcula de R$70,00 e
mensalidade no valor de R$40,00. Sua concorrente, a academia
SADEDEFERRO,cobraapenasR$20,00dematrcula,pormamensalidadecusta
R$65,00. Baseado nestas informaes, responda:
a)Qualaexpressoquerepresentaovaloraserpagoemfunodotempoparaa
academia BOA FORMA;
b)Qualaexpressoquerepresentaovaloraserpagoemfunodotempoparaa
academia SADE DE FERRO. c) Para malhar 6 meses, qual das academias
ser vantajosa, levando em conta que os servios prestados so os
mesmos? d) Em que condio o preo de ambas as academias ser o mesmo?
39 Resoluo:
a)SejaBovaloraserpagoexaquantidadedemesesdeatividadenaacademia,
teremos: B(x) =70 + 40x
b)SejaSovaloraserpagoexaquantidadedemesesdeatividadenaacademia,
teremos: S(x) =20 + 65x c) B(x) =70 + 40x B(6) = 70 + 40.6B(6) =
310 S(x) =20 + 65xS(6) = 20 + 65.6S(6) = 410 A academia BOA FORMA
vantajosa, pois custa R$100,00 menos. d) S(x) = B(x) 20 + 65 x = 70
+ 40x65x 40x = 70 20 25x = 50 Concluindo, malhando 2 meses o preo
das academias igual. 03. Faa o estudo da variao do sinal em cada
uma das funes a seguir: a) f(x) = 2x 4 b) f(x) = x 3 c) f(x) = -x
+1 d) f(x) = 2x -3 Resoluo: a) f(x) = 2x 4 x = -b/a x = -(-4)/2 x =
2. Como a funo crescente, teremos: Se x = 2 ento f(x) = 0 Se x >
2 ento f(x) > 0 Se x < 2 ento f(x) < 0 b) f(x) = x 3 x =
-b/a x = -(-3)/1 x = 3. Como a funo crescente, teremos: Se x = 3
ento f(x) = 0 Se x > 3 ento f(x) > 0 Se x < 3 ento f(x)
< 0 40 c) f(x) = -x +1 x = -b/a x = -1/-1 x = 1. Como a funo
decrescente, teremos: Se x = 1 ento f(x) = 0 Se x > 1 ento f(x)
< 0 Se x < 1 ento f(x) > 0 d) f(x) = 2x -3 x = -b/a x =
-(-3)/2 x = 3/2. Como a funo crescente, teremos: Se x = 3/2 ento
f(x) = 0 Se x > 3/2 ento f(x) > 0 Se x < 3/2 ento f(x)
< 0 04.Afunolucrodeumadeterminadaempresadefinidapelaexpresso
L(x)=5x400.Sejaxaquantidadedematerialproduzido(emtoneladas)poressa
empresa. Determine: a) Para que valor de x no h lucro e nem
prejuzo?
b)Nomnimoquantastoneladasdematerialaempresadeveproduzirparaterlucro
positivo. c) represente o grfico da funo lucro; Resoluo:a) No haver
lucro e nem prejuzo quando acontecer L(x) = 0,ento: 5x 400 = 0 5x =
400 x = 80 toneladas de material. b) Ser positivo se L(x) maior que
zero. 5x -400 > 0 5x > 400 x > 80 toneladas de material.
c) O grafico ao lado representa a Funo Lucro. 41 Muitas vezes nos
deparamos com situaes que despertammuita curiosidade
acercadesuascriao!Umbomexemploaconstruorepresentadanafigura
abaixo.Comoocarpinteiromediuocomprimentodasmadeiras?Eainclinao
(ngulo), que recursos ele utilizou?
Observequepodemosformarvriostringulosnessaconstruo.Analiseo
desenhoumpoucomaiseverifiquequantostringulosvocconsegueidentificar.
Compare com seus colegas. Figura 1
Namatemticaexisteumrecursointeressantequenosajudaacalculartanto os
ngulos quanto as medidas. a trigonometria no tringulo retngulo.
Apalavratrigonometriavemdogregoepodeserdivididaemtrspartes:
tri+gono+metria, ou seja, medida dos trs ngulos. Nesta aula veremos
como encontrar lados e ngulos dos tringulos retngulos. 1 RAZES
TRIGONOMTRICAS NO TRIANGULO RETNGULO: Observeafigura querepresenta
o tringuloAADea posio dongulo.Ao aumentarmos os lados do tringulo,
no significa que estamos aumentando o ngulo, pois ele se mantm
constante. Aula 7: Razes trigonomtricas no tringulo retngulo 42
Osmatemticosdaantiguidadedescobriramqueaodividirmososladosdos
tringulos, encontraremos valores constantes, isto , ao dividir um
cateto do tringulo pela hipotenusa no tringulo menor encontraremos
o mesmo valor dividirmos o cateto pela hipotenusa correspondente no
tringulo maior. Mas como posso dividir nmeros maiores e menores e
achar o mesmo resultado? uma questo de proporcionalidade.
Atentosaessasrazes,digamos,especiais,osmatemticosnomearamcada
umadelas.Nafiguraabaixovocpodeobservartrstringulosretngulos
semelhantes, e assim fazer as seguintes razes relacionadas ao ngulo
: Seno =
Cosseno =
Tangente =
Observecomoclassificarosladosdostringulosdeacordocomaposiodos
ngulos e : Figura 2 Observequenodesenhootamanhodotringulo
nointerferenovalordasconstantes,mas,a
inclinaodasretassim.Almdisso,essasregras servem apenas para os
tringulos retngulos. 43 De acordo com as figuras acima, podemos
escrever as razes da seguinte: OBSERVAES IMPORTANTES:
1.Tendoconhecimentodosenoedocossenodeumdeterminadongulo,outra
maneira prtica de calcular a tangente fazendo a diviso do seno pelo
cosseno. Isto , seja um ngulo qualquer, temos que tg = . 2.Voc pode
notar que sen = cos , de mesma forma, sen = cs . Isso se deve ao
fato dosngulosebseremcomplementares, ouseja,asomadosngulosiguala
90. EXEMPLO 01: Encontrar estas razes em nosso dia a dia mais comum
do que parece. No desenho abaixo, vemos um tringulo com as suas
medidas.Baseado nessas medidas, calcule as razes trigonomtricas dos
ngulos e . sen =
cos =
tg =
sen =
cos =
tg =
44 Figura 3 Resoluo: Observeque
nafiguraahipotenusamede5m,eoscatetosmedemrespectivamente, 3cm e
4cm. Verifique ainda que, o cateto oposto ao ngulo mede 4cm, e o
adjacente a , 3cm. Com relao ao ngulo , temos o inverso: cateto
oposto a mede 3cm e o adjacente, 4cm.Analisada a figura, basta
aplicar a formula: sen = 4/5 cos = 3/5 tg = 4/3 sen = 3/5 cos = 4/5
g = EXEMPLO 2:No tringulo abaixo vemos as seguintes medidas x cm e
50 cm, ento calcule o valor de x. Dado tg 20 = 0,37. Resoluo:Como a
tangente de um ngulo dada pela razo entre cateto oposto e cateto
adjacente, teremos: 45 tg 20= x / 50,substituindo tg 20 = 0,37
teremos: 0,37 = x/50.x = 0,37 . 50 x = 18,5 cm. EXEMPLO 03:Niemeyer
foi um arquiteto que gostava muito de projetar prdios fora do
comum, por
essemotivoselesetornoumundialmenteconhecido.Afiguraabaixomostraumade
suas obras com as seguintes medidas:Considere dados: sen = 0,8; cos
= 0,5 e tg = 1,7. Figura 4 Calcule o valor de x e y? Resoluo: Como
temos o cateto adjacente ao ngulo , vamos calcular a hipotenusa com
a razo cosseno. Cosseno = cateto adjacente a hipotenusa.
Substituindo os valores dados no exemplo, teremos: 0,5 = 30/y y =
30/0,5. y = 60 m. 46 Agora que sabemos o valor da hipotenusa,
podemos utilizar a razo seno para calcular o lado x que oposto ao
ngulo . Seno = cateto oposto a hipotenusa. Substituindo os valores
dados, teremos: 0,8 = x/60 x =0,8 . 60. x = 48 m.
Vamosverificarsevocaprendeu?Resolvaosexercciosabaixoeemcasode
dvidas, retorne aos exemplos. 01.Sabendo-se que cos = 0,96, calcule
a medida x do lado maior deste tringulo.
Resoluo:Comonstemosapenasocatetoadjacenteeahipotenusa,vamosutilizararazo
cosseno. 0,96 =
0,96 x = 15 x =
x = 15,625 m Atividade Comentada 7 47
02.Analiseafiguraabaixoeencontreamedidadey,emseguida,calculetambma
medida x da parede. Dados os valores: tg = 0,83. Figura 5 Resoluo:
Inicialmentevamoscalcularovalordey.Comotg=0,83,temosque0,83=
, consequentemente, y =
. Conclui-se que y = 1,2 m.Sendo assim, a medida do foro do
telhado ser 1,2 + 3 = 4,2. Pelo mesmoprocesso, podemosagora
calcular aaltura xda parede.Dessemodo,0,83=
,seguequex=4,2.0,83.Conclui-sequex aproximadamente 3,49 m. 03.
Analise o tringulo abaixo e calcule cada valor pedido: a)sen b) cos
c) tg d) ses e) cos f) tg
Resoluo:Pararesolverestasquestes,bastasubstituirosvaloresdosladosdotringulonas
razs que j estudamos. 48 b) sen =
b) cos =
c) tg =
d) sen =
e) cos =
f) tg =
04. Em umtringulo ABC, retngulo em A, o valor da hipotenusa 20
cm, se o sen
=
. Determine o valor AB e AC. Resoluo: Vamos calcular o valor de
AC utilizando a razo seno. senB=
substituindoteremos:
.Aplicandooprincipiodaproporcionalidade teremos 5.AC = 4.20 5.AC
= 80 AC =
. Conclui-se que AC = 16 cm. Para calcular o lado AB
utilizaremos o teorema de Pitgoras: a2 = b2 + c2 202 = 162 + AB2 ,
calculando teremos: 400 = 256 + AB2
AB2 = 400 256 AB2 = 144, segue que AB = , concluindo, AB = 12 cm
05. No tringulo equiltero abaixo, calcule a medida x indicada.
Dados sen 40 =
, cos 40 =
, tg 40 =
. 49 Resoluo: O segmento vertical perpendicular base, logo
divide o tringulo equiltero em dois tringulos retngulo, cujos lados
so 8, 4 e x. Vamosutilizararazoseno:sen40=
.Substituindoosdadosdo problema:
=
, aplicando a propriedade teremos:5.x = 3.8 5.x = 24, x =
x = 4,8
Dentrodoestudodatrigonometria,algunsngulossoutilizadoscommaior
frequncia,poressemotivosochamadosdengulosnotveis,edevidoaesse
constante uso, recebem ateno especial. Nesta aula, vamos conhecer
esses ngulos e desenvolver algumas atividades com os mesmos. 1
NGULOS NOTVEIS:
Paraodesenvolvimentodestaaula,destacamososngulosde30,45e60.
Dadaafrequnciacomquesoutilizadosnaresoluodediversosproblemasdo Aula
8: Alguns ngulos notveis 50
cotidiano,osvaloresdeseno,cossenoetangentedessesngulospodemser
memorizados, a fim de agilizar a aplicao dos mesmos em alguma
atividade.Aseguirdadaa tabelacomosvaloresdasrazestrigonomtricaspara
estes ngulos. Nafiguraaseguirvocveraimagemdeumhomemmedindoongulo
formadoverticalmente.E,comessengulodadopodemoscalcularaalturaea
distncia do homem a torre. Figura 6 Figura 7 304560 sen
cos
tg
1 Esse o teodolito. Um tipo de telescpio montado em cima de um
trip, para ser usado de vrias formas, uma delas medir os ngulos
verticais e horizontais. Como foi mostrado na figura acima. No
esquea que o seno de um ngulo igual ao cosseno do seu complementar.
51 2 - RAZES TRIGONOMTRICAS:
Usandoasrazestrigonomtricasabaixo,podemoscalcularqualquerladodo
triangulo,tendoapenasumnguloeumdoslados,vejaasrazestrigonomtricas
abaixo e leia os exemplos que se seguem:
Vejanosexemplosaseguir,comoutilizaratabeladengulosparaencontrar
valores nos tringulos: EXEMPLO 01:Usando a tabela de ngulos,
descubra o valor de x: Resoluo: O valor de x o cateto oposto ao
ngulo 30 . Desse modo, utilizaremos a razo seno: Sen 30 = x/10. =
x/10, 2x = 10 x = 5. sen =
cos =
tg = 52 EXEMPLO 02:De acordo com o esquema abaixo calcule o
valor de x e de y: Resoluo:Analisando o desenho da escada, observe
que conhecemos o cateto adjacente ao ngulo. Vamos calcular o cateto
oposto. Para isto, utilizaremos a razo tangente. tg 45= y/3, logo,
1 = y/3. Conclui-se que y = 3 m. Para determinar a hipotenusa (x),
podemos utilizar o cosseno ou o seno, visto que j temos os dois
catetos.Utilizaremos a razo cosseno. Pela formula apresentada, tem
que:Cosseno 45 = 3/x.Sendocos 45=
. Basta igualar as razes: 22= 3x x =
Racionalizando o denominador: x =
=
.Dividindo 6 por 2, teremos que x = 3 m 53 EXEMPLO 03:
Nafigura,temosdoisjovensmedindoongulonoteodolito.Paraencontraraaltura
domuro,elesprecisamdeumdosladosdotriangulorosa.Encontre-oedescubraa
altura x. Mais uma vez possvel utilizar a razo tangente, visto que
temos a medida do cateto adjacente. Vamos calcular a medida do
cateto oposto ao ngulo dado, para isso chamaremos o cateto oposto
de z. Tg 30 = z/3. Como tg 30 =
=
3z = 3 . Conclui-se ento que z =Z aproximadamente igual a 1,73 m
Como x a altura do muro somado com a altura do aparelho, teremos: X
= 0,7 + 1,73 X = 2,43 m Vamos exercitar um pouco? Em caso de
dvidas, retorne aos exemplos. 01. Usando a tabela de ngulos
importantes, calcule o valor de x no tringulo: Atividade Comentada
8 54 Resoluo: Sen 30 =
. Substituindo, teremos:
X = 2 . 10, conclui-se que x = 20 cm. 02. No esquema abaixo
temos duas velas e os seguintes ngulos 30 e 60, determine a altura
das velas do barco. Resoluo:Em ambos os casos, como no temos a
hipotenusa, iremos utilizar a razo tangente.
Clculodavelamenor:Tg30=
substituindopelovalordatabelateremos:
,isolandoavarivelx,teremos:x=
.Precisamosracionalizar
estafrao,paraistomultiplicaremostantoonumeradorquantoodenominadorpor
. Temos ento:
. Segue que
conclui-se ento que a vela menor mede metros, que vale
aproximadamente 1,73 metros. 55 Clculo da vela maior:Utilizaremos a
mesma razo trigonomtrica para calcular
aalturadavelamaior:atangente.Sendoassim,temos:tg60 =
,substituindopelo valorencontradonatabela,teremos:
segueque:y=
.Igualaoexerccio
anterior,vamosracionalizarestafrao.Encontraremosquey=
.Paraacharo valor da altura da vela maior, vamos substituir por
1,73.Temos ento: y =
, calculandotemosquey=
conclui-seentoqueaalturadavelamaior aproximadamente 1, 86
metros. 03. Analise o tringulo abaixo e descubra a medida da
altura:
Resoluo:Aotraarmosaalturadividiremosabaseemduaspartesiguaiscom13cmcada.
Teremos ento dois tringulos retngulos, onde a altura ser o cateto
oposto. Como o cateto adjacente conhecido, podemos utilizar a razo
tangente mais uma vez.
Vamoschamaraalturadeh,entocalculandotg30=
,esubstituindopelovalor encontradonatabela,teremos:
=
.Resolvendoaproporo:3h=13,eIsolando a varivel teremos: h =
.Maisumavezprecisosubstituirovalorpor1,73.Lembre-sequeestamos
trabalhandocomumnmeroirracional,isto,noumvalorprecisoesim
aproximado. h =
=
= 7,5 cm. 56 04. No esquema abaixo vemos trs casas distantes
entre si. Responda: Figura 8 a)Qual a distncia entre a casa de Ana
e a escola? b)A distncia entre o Correio e a casa de Ana : Resoluo:
a)Nesteexercciotemosocatetoadjacenteaonguloeprecisamoscalculara
hipotenusadotringulo.Usaremosarazocosseno:cos45=
,comocos45=
, teremos que:
=
. Multiplicando teremos: x Isolando a varivel teremos x =
. Racionalizando a frao teremos: =
= 800AdmitindoTeremos:800 . 1,41 = 1128 metros.
b)Agoraprecisamosencontrarovalordocatetooposto.Nestecaso,utilizaremosa
razo seno. Sen 45 =
, substituindo temos:
2y = 1128 , isolando a varivel teremos: y =
Y = 564, substituindopor 1,41 teremos: y = 564 . 1,41 Conclui-se
que a distncia entre o correio e a casa de Ana 795,24 m. 57
05.Determineaalturadatorrejqueonguloencontradopeloteodolitofoium
ngulo especial. Usando a tabela descubra: Figura 9
Resoluo:Pararesolveresteexercciotemosocatetoadjacenteaonguloeprecisamos
encontrarovalordocatetoopostoaestemesmongulo.Assim,utilizaremosarazo
tangente. Tg 45 = 1 =
conclui-se que a altura da parte da torre representada 47
metros. Vamos agora adicionar a altura do teodolito e teremos a
altura da torre. 47 m + 1,5 m = 48,5 metros.
Caroaluno,nestaaulavocestudarumaimportantepropriedadeda
trigonometria,aleidossenos.Estaleiestabeleceumaimportanterelaoentreas
medidas dos lados de um tringulo qualquer e seno de ngulos agudos e
obtusos. 1 SENO DE NGULOS OBTUSOS:
Nasaulasanteriores,vimossenosdengulosagudos,nestasessoveremos
comocalcularvaloresdesenosdosngulosobtusos,otrianguloabaixo,mostraa
diferena entre os ngulos. Aula 9: Lei dos Senos. 58
Osenodeumnguloobtusoigualaosenodongulosuplementardesse ngulo.
Resumindo, queremos dizer que:sen x = sen (180 - x) Ento se
desejamos calcular o valor de sen 120, por exemplo, basta calcular:
sen 120 = sen (180 - 120) sen 120 = sen 60sen 120 =
2 - LEI DOS SENOS: Observe a seguinte situao problema: A seleo
da Argentina, no ano de 2011, sob o comando de Alejandro Sabella,
usava a triangulao como ttica de jogo. Esse esquema facilita o jogo
na hora de dar
passesenamarcao.ComosaberadistnciaentreosjogadoresMessieGagona Os
ngulos obtusosso os ngulos maiores que 90 e ngulos agudos, so os
menores que 90. 59
horaquecongelaremaimagem,everemque,nessemomento,umtringulofoi
formado por trs jogadores que representam os vrtices? Figura 10 Em
qualquer tringulo as medidas dos lados do tringulo so proporcionais
aos senos dos ngulos opostos. Veja:
EXEMPLO 01: No tringulo abaixo, determine o valor de x. 60
Resoluo:Substituindo os dados apresentados no tringulo na lei dos
senos, temos:
Como os senos de 45 e senosde 30 so conhecidos, o problema est
resolvido!! x22= 512 12 . x = 5 . 22 X = 5 EXEMPLO 02: Obtenha o
seno do ngulo obtuso, e em seguida calcule o valor de x.
Resoluo:Substituindo os valores do problema na lei dos senos,
temos:
61 Noentanto,135noumngulonotvel.Comovamosdescobrirovalordesen
(135)? simples!J estudamos nesta aula que: sen (135) = sen ( 180 -
135 )
X . = 2 X = Agora, que tal exercitar um pouco!!! 01. Encontre o
valor de a no tringulo: Resoluo: Nesse tringulo temos, lado a
oposto ao ngulo 45, 8 oposto ao ngulo 60.
Substituindo os senos pelas fraes:
Atividade Comentada 9 62 =a =
a =
02. Obtenha o valor de x no tringulo: Resoluo:Nesse tringulo
temos: lado 5 ngulo 45, lado x ngulo 30.
03. Obtenha o seno do ngulo obtuso, e calcule o valor de x no
tringulo: 63
Resoluo:Notringuloacimatemosumnguloobtuso,entoencontraremososuplemento
desse ngulo para resolver a questo.
. 04. Maloca o nome que se d h vrias habitaes indgenas de uma
mesma tribo.
umnometambmempregadoparadesignarumaaldeiaindgena.Nafiguraabaixo
vemosumadessashabitaes.Determineamedidadasmadeirasusadaspara
construir essa Maloca. Figura 11 Resoluo:No desenho acima temos:
lado x oposto ao ngulo 60, lado 3 oposto ao ngulo 60.
X = 3 64
05.AseleodaArgentina,noanode2011,sobocomandodeAlejandroSabella,
usava a triangulao como ttica de jogo. Esse esquema facilita o jogo
na hora de dar
passesenamarcao.EncontreadistnciaentreosjogadoresMessieGagonahora
que congelaram a imagem. Figura 12 Resoluo:
X = 2. Caroaluno,nestaaulavocestudarumaimportantepropriedadeda
trigonometria: a lei dos cossenos. Essa lei estabelece uma
importante relao entre as medidas dos lados de um tringulo qualquer
e cosseno de ngulos agudos e obtusos. 1- COSSENO DE NGULOS OBTUSOS:
Nas aulas anteriores, vimos cossenos de ngulos agudos, nesta sesso,
veremos como calcular os valores dos cossenos dos ngulos obtusos. O
triangulo abaixo, mostra a diferena entre os ngulos. Aula 10: Lei
dos Cossenos. 65
Ocossenodeumnguloobtusoigualaocossenodongulosuplementar desse
ngulo. Observe:cos x = - cos (180 - x) Ento, por exemplo, para
calcular o valor de cos 135, basta fazer o seguinte: cos 135 = -
cos (180 - 135) cos 135 = - cos 45 = -
2 - LEI DOS COSSENOS: Vamos explicar a lei dos cossenos, atravs
da seguinte situao problema:
Noramodaconstruocivil,asfigurasgeomtricasestocontinuamente
presentes,masumadasfigurasbastante
utilizadaotringulo,nesseprojetovemos
umacasacomesseformato.NaLeidosCossenospodemoscalcularamedidade
qualquerlado,tendoonguloopostoaoladoeasmedidasdossegmentosque
formam o ngulo. 66 Figura 13
Emqualquertringulo,oquadradodamedidadeumladoigualsomados
quadradosdasmedidasdosoutrosdoislados,menosduasvezesoprodutodas
medidasdessesladospelocossenodonguloformadoporeles.Escrevendoemuma
linguagem matemtica, temos: EXEMPLO 01: No tringulo abaixo,
determine o valor de a. 67 Resoluo:Aplicando a lei dos cossenos,
temos:
a = 36 + 100 2
a = 36 + 100 60 a = 76 a =a =
a = EXEMPLO 02: Calcule o valor de x no triangulo:
Resoluo:Aplicando a lei dos cossenos, temos: 68 c = 36 + 25 2
c = 36 + 25 30 c = 61 - 30 c =
EXEMPLO 03: Obtenha o cosseno do ngulo obtuso e calcule o valor
de x no triangulo. Resoluo:
a = 4 + 25 2
a = 4 + 25 + 10a = 39 a = Viu como simples!! Leia o problema,
anote os dados informados e aplique na lei!Agora, vamos fazer
alguns exerccios para testar seus conhecimentos! 69 01. Encontre o
valor de x no tringulo: Resoluo:Aplicando a lei dos cossenos temos,
a = x e seu ngulo oposto 60. , substituindo. a = 16 + 49 2
a =16 + 49 - 28a = 37 a = 02. Determine o valor de b no tringulo
abaixo: AtividadeComentada 101010 Definindo Plano Cartesiano 70
Resoluo:No tringulo acima temos que encontrar o valor de b, sabendo
que os valores de a e c so iguais e vale 6, aplicando a lei dos
cossenos, , e substituindo. b = 36 + 36 2
b = 36 + 36 36b = 36 b =b = 6 03. Obtenha o cosseno do ngulo
obtuso e calcule x no tringulo: Resoluo:
Antesdecalcularosvaloresnafrmula,calculeosuplementodonguloobtuso,no
esqueaqueovalordocossenodonguloobtusoigualaoangulomenososeu
suplemento.. , substituindo.
a = 16 + 100 + 2
a = 16 + 100 + 40a = 156 a =a = 71
04.OTringulodasBermudasumadaspartesdomundomaistemidaspelos
navegantes, esse territrio tem a fama de ser muito perigoso, pelo
seu grande numero
deacidentesregistrados.NessetrianguloascidadesdeMiamieSanJuanesto
localizada nos vrtices A e B respectivamente. Descubra o valor de x
no mapa abaixo: Figura 14 Resoluo: Usando a lei dos cossenos para
calcular x no mapa acima. , substituindo. a = 64 + 49 2
a = 64 + 49 - 56a = 113 - 56 a =
05. Na construo desse casa tringular foi usado um grande caibro
representado pela letra x na figura. Analise as medidas indicadas e
descubra o valor de x: 72 Figura 15 Resoluo:
Nodesenhoacimavemosumacasaemquequeremosmedirquantosmetrostemo
telhado, para isso usaremos a lei dos cossenos. , substituindo. a =
25 + 49 2
a =25 + 49 - 35 a = 39 a = Caro Professor Aplicador, sugerimos
duas diferentes formas de avaliar as turmas que esto utilizando
este material: uma avaliao e uma pesquisa.
NasdisciplinasemqueosalunosparticipamdaAvaliaodoSaerjinho,pode-se
utilizar a seguinte pontuao: Saerjinho: 2 pontos Avaliao: 5 pontos
Pesquisa: 3 pontos Avaliao 73
NasdisciplinasquenoparticipamdaAvaliaodoSaerjinhopodemutilizara
participaodosalunosdurantealeituraeexecuodasatividadesdocadernocomo
uma das trs notas.Neste caso teramos: Participao: 2 pontos Avaliao:
5 pontos Pesquisa: 3 pontos
Aseguirapresentaremosasavaliaespropostasnestecadernoparaeste
bimestre. Abaixo voc encontrar o grupo de questes que serviro para
a avaliao dos alunos. As mesmas questes esto disponveis para os
alunos no Caderno de Atividades Pedaggicas de Aprendizagem
Autorregulada 02. Segue o gabarito das questes da avaliao proposta
no caderno de atividades do aluno:
01.Oproprietriodeumalanchonetedescobriuquenaproduodohambrguer comum
gasta R$ 1,25 de material em cada unidade, alm disso, tem um gasto
fixo de R$ 97,00 por conta de gs e outros materiais. Qual a funo
que representa o custo (C) total na produo dos hambrgueres em funo
da quantidade produzida (x). (A) C(x) = 1,25 + 97x (B) C(x) = (1,25
+ 97).x(C) C(x) = 97 + 1,25x (D)C(x) = 1,25 x(E) C(x) = 97 1,25x
Resoluo: A parte fixa 97 e a parte que estem funo da quantidade
1,25.Assim, C(x) = 97 + 1,25x Avaliao Comentada 74 02.Na funo
polinomial do primeiro grau v(t) = 2t 4 e t(x) = 3x 4. Determine
V(t) quando x = 1. (A) -2 (B) -1 (C) -6(D) -10(E)0 Resoluo:t(1) =
3.1 4 t(1) = 3 4 t(1) = -1 Como t = -1, vamos calcular v(t): v(-1)
= 2 (-1) -4 v(-1) = -2 4 v(-1) = -6 03.Raquel emprestou R$ 500,00 a
juros simples para um amigo na taxa de 6% ao ms. Qual a funo J(t)
que define o total de juros a ser pago pelo amigo de Raquel aps um
intervalo t de tempo. (A) J(t) =6t (B) J(t) = 500t (C) J(t) = 500 +
30t (D) J(t) = 30t (E) J(t) = 30 + 500t Resoluo:A cada ms Raquel
pagar 6% de 500 de juros, como 6% de 500 igual a 30, temos que
mensalmente o valor pago de juros 30. Como temos t meses, a funo
ser: J(t) = 30t 75 04.No grfico a seguir correto afirmar que:
05. Qual a funo que melhor representa o grfico
(A) f(x) = x - 2 (B)f(x) = x + 2 (C) f(x) = -x + 2 (D) f(x) = -x
- 2 (E) f(x) = -2x Resoluo: Afunodecrescente,isto , a 0; b=3; raiz
2 (C) a > 0; b= 2; raiz 3 (D) a < 0; b = 2; raiz 3(E)a <
0; b = 3; raiz 2; Resoluo:A reta decrescente, logo a