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L’Intégration Numérique en Calcul d’Orbites
Cours de l’Ecole GRGS 2002
Pierre Exertiera, David Coulota,b
aObservatoire de la Côte d’Azur (CERGA/URA6527), av. Copernic,
F-06130 GrassebInstitut Géographique National (LAREG, IGN/ENSG),
6-8 Av. B. Pascal, F-77455 Marne-la-Vallée
5 février 2003
Résumé
Les méthodes d’intégration numérique utilisées en calcul
d’orbites sont basées sur leprincipe de la discrétisation. On
cherche des valeurs approchées de la solution exacteEj(t) (le
vecteur des 6 paramètres orbitaux, par exemple), sur un ensemble
de pointséquidistants. L’algorithme consiste alors à faire
correspondre, à tous les points d’abscissetn (où tn = t0 + nh, h
étant le pas d’intégration), des nombres (Ej)n qui approchent
lesvaleurs Ej(tn) de la solution exacte du système différentiel
considéré aux points tn.
Les algorithmes généralement employés aujourd’hui sont dits
”à pas liés”, c’est-à-dire qu’ils utilisent, à un instant tn
quelconque, les valeurs aux instants tn+1−k déjàcalculées.
L’avantage de ces méthodes est d’avoir accès à tout moment aux
termesf((Ej)n+1−k, tn+1−k), tableau qui permet aisément
l’interpolation à une date donnée(date de mesure, par exemple).
L’inconvénient, par rapport aux méthodes dites ”à passéparés”,
se situe au démarrage, puisqu’il faut bien constituer le premier
tableau. Ceci seréalise alors souvent par itérations
successives.
On peut noter par ailleurs que l’utilisation de différentes
formules d’interpolationpolynomiale, dans la mise en oeuvre d’un
algorithme d’intégration, débouche sur diversesméthodes
d’intégration. Cowell utilise l’interpolation de Stirling, les
méthodes d’Adamsutilisent les méthodes de Lagrange, Newton,
etc.
1
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Table des matières
1 Introduction 4
2 Vocabulaire Utile 6
3 Méthodes d’intégration numérique en calcul d’orbite 7
3.1 Les limites théoriques . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . 7
3.2 Présentation des méthodes . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . 7
3.3 Intégrateurs linéaires du premier degré . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . 9
3.3.1 Aspects théoriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . 9
3.3.2 Aspects pratiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . 11
3.3.3 Formulation générale . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . 13
3.3.4 Principes de stabilisation . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . 14
3.4 Interpolation de Lagrange et différences divisées . . . .
. . . . . . . . . . . . . 17
3.4.1 Polynôme interpolateur de Lagrange . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . 17
3.4.2 Méthode des différences divisées . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . 17
3.5 Formulation des intégrateurs dits ”à pas liés” . . . . .
. . . . . . . . . . . . . 18
3.5.1 Méthodes d’Adams . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . 19
3.5.2 Méthode de Bulirsch & Stoer . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . 23
3.6 Intégrateurs linéaires du second degré . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . 25
3.6.1 Méthode de (Adams-) Störmer . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . 25
3.6.2 Méthode d’Adams-Moulton-Cowell (AMC) . . . . . . . . . .
. . . . . 26
3.6.3 Méthode de Cowell . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . 28
4 Méthode d’Encke 32
4.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . 32
4.2 Mouvement de référence . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . 32
4.3 Equations différentielles . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . 33
2
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4.3.1 Cas des éléments elliptiques usuels . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . 33
4.3.2 Cas des coordonnées rectangulaires . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . 34
5 La circularisation 37
5.1 Présentation générale de la méthode appliquée à
l’algorithme de Cowell . . . 37
5.1.1 Position du problème . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . 38
5.1.2 Méthode récurrente de calcul des coefficients modifiés
. . . . . . . . . 39
5.2 Initialisation de la récurrence : méthodes d’ordre 2 et 4
. . . . . . . . . . . . . 44
6 Discussion 46
Références 47
3
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1 Introduction
Les méthodes numériques d’intégration des systèmes
différentiels ont connu des progrèstrès importants depuis le
début des années 60. L’utilisation de calculateurs de plus en
plusperformants a permis, depuis 30 ans environ, d’employer ces
méthodes en Mécanique Célesteet en Géodésie Spatiale, voire de
les généraliser ([9]).
Le mouvement du satellite artificiel est décrit par les lois de
Newton, qui font appel àl’ensemble des forces (le modèle) subies
par le satellite :
r̈ =µr
r3+ fG + fNG (1)
où r est le vecteur géocentrique Terre-satellite, r̈ est
l’accélération et µ la constante de lagravitation.
Quelle que soit la forme sous laquelle on présente l’équation
fondamentale de la dynamique(1), il s’agit d’équations
différentielles que l’on veut intégrer numériquement. Suivant
lescas, c’est-à-dire suivant la paramétrisation, en coordonnées
rectangulaires ou en élémentsképlériens, on aura à faire avec
des équations du second degré - au nombre de trois - ou dupremier
degré - six -, respectivement.
Les différents types de mesures spatiales (techniques
spatiales), par leur interprétationen restitution de trajectoires,
ont donné des informations très précises sur la connaissancedes
forces f agissant sur les satellites artificiels de la Terre.
Aujourd’hui, de la qualité del’intégration numérique dépend la
faculté que l’on a de savoir si les modèles de forces
employés,voire aussi certaines données d’accélérométrie très
fines, sont proches de la réalité ou non.
Les forces sont, de façon conventionnelle, séparées en deux
catégories : les forces d’originegravitationnelle fG, qui ne
dépendent que des positions et sont par nature conservatives,
etles forces d’origine non-gravitationnelle fNG (par unité de
masse) qui peuvent dépendre desvitesses et sont, par nature
également, non-conservatives voir dissipatives.
Schématiquement,nous avons :
1. gravitationnel :
– le champ de gravité statique (décrit en harmoniques
sphériques),– le champ de gravité variable (marées, ...),–
l’attraction gravitationnelle du Soleil, de la Lune et des
planètes (effets directs et
indirects),– les effets de la relativité
2. non-gravitationnel :
– le freinage atmosphérique dû aux effets de la densité,– la
pression de radiation solaire directe (incluant les effets
d’ombre),– la pression de radiation rediffusée par la Terre
(effets de réémission et d’émissivité),– les poussées
thermiques dues au satellite,– autres (effet de charge électrique,
...).
Ces équations du mouvement sont typiquement exprimées dans le
système J2000, dont laréalisation effective dans les calculs
d’orbite peut être soit un repère inertiel, souvent défini
4
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par l’équateur et l’équinoxe moyen en 2000, soit un repère
quasi-inertiel, généralement lerepère céleste vrai de la date.
Dans les deux cas, ceci implique de définir et d’utiliser
destransformations de coordonnées appropriées pour pouvoir
exprimer toutes les forces dansle même système. Par exemple, le
champ de gravité statique est communément décrit dansun système
terrestre moyen tournant, ce qui implique une transformation de la
force versle système d’intégration en utilisant la précession,
la nutation, le mouvement du pôle et larotation de la Terre (UT1).
La variable indépendante, dans la terminologie actuelle, est
leTemps Terrestre (TT) qui est équivalent au précédent Temps
Dynamique Terrestre (TDT).
Un résumé récent des modèles de forces, d’orientation de la
Terre et d’échelle de temps estdonné dans les Conventions de
l’International Earth Rotation Service (IERS) [12], notammentpour
les satellites géodésiques.
Les méthodes d’intégration, dites dynamiques, apportent la
meilleure prédiction possibledu mouvement d’un objet spatial à
partir d’une série de mesures de poursuite et d’un
modèled’évolution/restitution d’orbite. Pour cela, des solutions
approchées d’équations approchéessont recherchées, sur la base
de systèmes dynamiques dont l’évolution temporelle est
décritepar un nombre fini d’équations déterministes : ici le
système des équations du mouvementd’un satellite artificiel de la
Terre (voir [16], par exemple).
Dans ce cours, nous verrons tout d’abord la formulation
générale des intégrateurs linéaires,les grandes
caractéristiques des algorithmes, le vocabulaire (notes de F.
Faubert, GRGS,Grasse, 1986). Ensuite, nous décrirons plus finement
le principe puis le calcul des coefficientsdes algorithmes, dans
plusieurs cas. Enfin, nous décrivons plus spécifiquement deux
types deméthodes, la circularisation et la méthode d’Encke, qui
permettent de très bien stabilisé lescalculs d’intégration
numérique lorsque l’on cherche une très faible erreur relative
(projetsGRACE et GOCE, notamment).
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2 Vocabulaire Utile
Le vocabulaire utilisé couramment en géodésie spatiale est
très spécifique, pas toujoursclair, redondant, parfois un peu
obscur pour le lecteur non averti, comme dans de
nombreusesspécialités. Le lecteur trouvera les expressions
suivantes :
géodynamique Etude des sources de variations du champ de
gravité de la Terre (lesdéplacements de masses)
dynamique Représentation des mouvements célestes ou spatiaux
(dynamique orbitaleou spatiale) par intégration des équations de
la dynamique
Les systèmes dynamiques sont des systèmes d’équations
différentielles
non-linéaires
solution d’orbite Ephéméride d’un satellite artificiel
généralement obtenue par intégrationnumérique d’un modèle de
forces
long terme Les arcs longs représentent plusieurs milliers de
révolutions orbitales (1 à20 ans)
court terme Les arcs courts représentent quelques centaines de
révolutions (1 à 10jours)
méthode classique Méthode d’intégration numérique des
équations du mouvement et deséquations de sensibilité des
variables à des paramètres dynamiques choisis
sol. géométrique Calcul des positions/vitesses d’un satellite
artificiel de la Terre, sansmodèle dynamique, grâce à la
redondance des données de poursuite
sol. analytique d’ordre i Expressions formelles et littérales
des variables du mouvement en fonctiondes coefficients des forces
perturbatives
sol. semi-analytique Calcul d’une éphéméride par une
transformation analytique des équationsdu mouvement (filtrage ou
moyenne) et intégration numérique des nou-
velles équations
sensibilité Dérivée partielle des variables décrivant le
mouvement par rapport à desparamètres dynamiques choisis
précision des solutions Ecart-type des différences entre
quantités observées et mesurées (enréférence aux estimateurs
liés au moindres carrés)
Différences entre solutions de différente nature
erreur d’orbite Partie dépendant du temps : normalement
décomposable en séries deFourier de la période orbitale et de
ses sous-multiples. Le signal peut
néanmoins présenter des sauts de phase importants au fur et à
mesure du
temps
Partie constante : erreur d’orbite toujours réitérée en un
point
géographique fixe sur la Terre (erreur géographiquement
corrélée)
propagation d’erreur Calcul de l’influence de l’erreur d’orbite
(part constante essentiellement)dans le calcul d’un sous-produit :
coordonnées de stations, profil al-
timétrique, ...
système spatial Ensemble formé par un satellite (ou une
constellation), son type d’orbite(altitude, ...), la technique de
géodésie spatiale utilisée pour l’acquisition
de mesures de poursuite, et le réseau des stations terrestres
correspon-
dantes
étalonnage (ou calibration) Opération de contrôle d’un
instrument visant à établir son systématismede mesure par
rapport à un autre instrument, plus exact et plus précis
6
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3 Méthodes d’intégration numérique en calcul d’orbite
3.1 Les limites théoriques
La recherche de la meilleure représentation possible, dans
notre approche de la détermina-tion du mouvement orbital, est
très exigeante. Ceci est dû à la proximité des trajectoirespar
rapport à la Terre ([8]), rendant plus complexe le volume des
interactions dynamiquessatellite-milieu spatial dont il faut rendre
compte pour intégrer les équations du mouvement(1). L’exigence
tient aussi et surtout à la très grande précision recherchée
sur les positions etles vitesses fournies par les solutions
d’orbite (les éphémérides) à court terme comme à
longterme.
Les limites de prédiction, en précision et stabilité à long
terme, ne sont pas inhérentes auxpropriétés du système
dynamique, le mouvement du satellite étant stable et régulier au
sensde la Mécanique Céleste sur les durées considérées. Elles
viennent en grande partie de noscapacités actuelles en ce qui
concerne [15] :
– les conditions initiales du mouvement (position et vitesse du
satellite à un instant donné).Elles ne sont connues
qu’approximativement, étant issues soit des observations, soit
decalculs approchés ;
– le modèle d’évolution (l’expression des forces). Son
estimation est délicate et celle del’exactitude de toutes les
constantes numériques qui le décrivent reste difficile.Ajoutons
que l’aspect chaotique de la rotation du satellite sur lui-même
peut introduirepar couplages “spin-orbite” des effets, certes
faibles, mais dont il est très difficile derendre compte dans la
modélisation ;
– les équations différentielles du mouvement. Du fait que
celles-ci ne sont pas intégrables,le développement de techniques
d’intégration spécifiques comme l’intégration numériquese
révèle inévitable, générant des erreurs sur le résultat final
;
– les techniques de mesure de poursuite. Il faut pouvoir
transcrire, interpréter et exploi-ter correctement des
observations de précisions parfois hétérogènes. L’ajustement
desconditions initiales du mouvement ainsi que d’éventuels termes
du modèle en dépend.
Compte tenu de ces considérations, il apparâıt qu’un long
effort est encore nécessaire pouroptimiser la précision des
solutions et assurer leur stabilité à très long terme ([9]).
3.2 Présentation des méthodes
Avant tout, il faut noter ici les quatre critères fondamentaux
nécessaires à l’établissementde toute théorie d’intégration
numérique (voir par exemple [11]) :
– un ensemble de valeurs permettant de calculer l’approximation
suivante,– un formalisme estimant les erreurs de troncature par
pas,– des critères permettant d’accepter un résultat en fonction
de la précision recherchée (cas
des méthodes avec prédiction-correction notamment),– parfois
aussi, un critère permettant de détermminer à quel instant on
doit changer le pas
(sur quelle partie de la trajectoire), et lequel choisir afin
d’optimiser en même temps laprécision et le temps de calcul
(travaux de Kulikov, notamment).
7
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On distingue les méthodes d’intégration numérique ”à pas
liés”, ”à pas séparés”, à pas fixeou variable, et aussi des
méthodes qui ont un système de prédiction-correction.
De plus, ces méthodes sont souvent fondées sur l’approximation
du second membre deséquations par un polynôme ou, parfois, par
une fraction rationnelle.
Nous allons étudier ici les trois méthodes les plus
fréquemment employées dans les pro-grammes de restitution
d’orbite de satellite artificiel. Chacune d’entre elles
représente, par saspécificité une classe particulière de
méthodes :
– les méthodes de type Adams-Moulton et Adams-Bashforth,
utilisées dans le programmeCODIOR (restitution d’orbite moyenne de
satellite) du CERGA, caractérisées par :– un pas lié– une
interpolation polynomiale– des équations différentielles du
premier degré
– les méthodes de type Cowell, utilisées dans les programmes
GINS et ZOOM du CNES,caractérisées par :– un pas lié– une
interpolation par développement de Taylor des fonctions du second
membre– des équations différentielles du second degré
– la méthode de Bulirsh & Stoer, utilisée dans le
programme d’extrapolation d’orbiteLAGRAN, caractérisée par :– un
pas variable (éventuellement), le concept de pas ayant toutefois
un sens spécifique
à cette méthode– un système de prédiction-correction– une
interpolation par fraction rationnelle– des équations
différentielles du premier degré
Fig. 1 – Evaluation de l’intégration numérique sur
STARLETTEDifférence sur 10 jours entre une orbite intégrée en
éléments orbitaux et une orbite intégrée en
coordonnées rectangulaires. Le potentiel gravitationnel
perturbateur est développé jusqu’aux degré
et ordre 20. Le pas d’intégration est de 30 secondes.
8
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3.3 Intégrateurs linéaires du premier degré
3.3.1 Aspects théoriques
Le but est de calculer numériquement la solution d’une
équation différentielle du type decelle du problème de Cauchy
:
dy
dt= f(t, y(t)), t ≥ 0
y(t0) = y0
(2)
où f est une fonction suffisamment régulière des deux
variables t et y. Ceci est équivalent àla recherche d’une
fonction ϕ ∈ C1[0, T ]1 telle que :
∀t ∈ [0, T ], ϕ(t) = y0 +∫ t
0f(s, ϕ(s))ds
où ∀h > 0, h étant un pas d’évolution de la variable t
:
ϕ(h) = y0 +
∫ h
0f(s, ϕ(s))ds
= y0 + hf(0, y0) + h ε(h)
D’où l’on peut déduire une récurrence explicite définissant
yn+1, selon la méthode d’Euler :
yn+1 = yn + h f(tn, yn) tn = nh et n ≥ 0
y0 = y(t0)(3)
Si nous pouvons estimer une erreur ”locale” en Θ(h2), pour
passer de yn à yn+1, il existe,pour définir l’erreur ”globale”,
un processus de cumul des erreurs locales. Car à l’instant tn,au
lieu de partir de yn, on part en fait d’une valeur calculée
ỹn.
Convergence :
Une méthode converge si :max0≤n≤N |ỹn − ϕ(tn)| → 0
quand y(t0) → ϕ(t0) et h → 0.
Ceci revient à dire que, pour t = nh, limn→∞ ỹn(t) = ϕ(t).
Dans ce cas, on a alors h → 0.
La quantité max0≤n≤N |ỹn − ϕ(tn)| est l’erreur globale de la
méthode.
1ϕ est la solution exacte de (2).
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Pour obtenir une approximation de ϕ(t) par la méthode retenue,
il faudrait ainsi faired’autant plus de calculs que h est petit ;
le cumul des erreurs locales se posera alors defaçon accrue. Il y
a convergence si, à la limite, ce cumul s’efface devant
l’augmentationde précision globale de la méthode.
Consistance :
On définit l’erreur de consistance comme étant la quantité
:
en = ϕ(tn+1) − yn+1la valeur yn+1 étant issue de (3), avec yn =
ϕ(tn).
Une méthode est dite consistante lorsque∑
0≤n≤N |en| tend vers 0, lorsque h tend vers 0.
De plus, une méthode est consistante d’ordre α s’il existe une
constante C ≥ 0 telleque :
∀n ∈ IN, 0 ≤ n < N, |en| ≤ Chα+1
Cette notion affirme la ”précision locale” d’une méthode (d’un
schéma) : Θ(hα+1).
On peut déduire de ceci la règle suivante : une consistance
d’ordre Θ(hp+1) implique uneconvergence à Θ(hp). Le schéma
d’Euler converge : s’il est consistant d’ordre Θ(h2), la
conver-gence a lieu en Θ(h). Cependant, le cumul des erreurs
conserve un caractère linéraire : leserreurs locales
s’ajoutent.
Stabilité :
On dit que la méthode est stable s’il existe une constante S ≥
0 telle que, pour toutes suites(yn) et (zn) définies
respectivement par :
yn+1 = yn + hf(tn, yn)
zn+1 = zn + hf(tn, zn) + εn
on ait (où εn désigne une erreur d’arrondi) :
max0≤n≤N |yn − zn| ≤ S(|y0 − z0| +∑
0≤n≤N
|εn|
Ainsi, de petites erreurs dans le calcul génèrent finalement
une erreur contrôlable.
On conçoit que la convergence du schéma exige la stabilité,
mais celle-ci n’est pasforcément satisfaite sur tous les schémas
linéaires (L).
La convergence exige la stabilité de (L), qui a lieu sous
certaines conditions. En règlegénérale : ”consistance +
stabilité ⇒ convergence”.
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Exemple de schémas en Θ(h3)
Euler amélioré (”à pas séparés”)
y?n+1 = ỹn + hf(ỹn, nh)
ỹn+1 = ỹn +h
2[f(ỹn, nh) + f(y
?n+1, (n + 1)h)]
(4)
Adams-Bashforth (AB) (”à pas liés”)
ỹn+1 = ỹn +h
2[3f(ỹn, nh) − f(ỹn−1, (n − 1)h)] (5)
Le premier requiert, à chaque calcul, deux appels au second
membre. Le second, AB, n’enrequiert qu’un, puisque fn−1 est déjà
en mémoire. AB utilise, pour ỹn+1, une extrapolationlinéaire à
partir de ẏn−1 et ẏn ; la consistance est bien d’ordre 3, mais il
faut faire attentionaussi à la stabilité si l’intervalle [0, T ]
est trop grand.
3.3.2 Aspects pratiques
On peut exprimer les choses de façon totalement numérique.
Ainsi, le problème de Cauchyse traduit par :
y(t0 + T ) = y(t0) +n∑
i=0
∫ t0+(i+1)h
t0+ihg(t, y(t))dt (6)
avec : g(t, y(t)) ' f(t, y(t)).
Les méthodes d’intégration numérique se distinguent par le
type de construction de lafonction d’approximation g. Le pas h
d’intégration peut être d’autant plus grand que gapproche mieux
la fonction f , mais alors le calcul de g est d’autant plus
compliqué.
Rappelons que les méthodes sont à un pas (dites ”à pas
séparés”) ou bien multi-pas (dites”à pas liés”). Voici un
exemple d’une méthode ”à pas séparés” de degré un et d’ordre N
, oùN correspond au nombre de fonctions fp utilisées dans le
schéma (Runge-Kutta, RK-N) :
yn+1 − yn = hN∑
p=1
bp fp
fp = f [yn +N∑
j=1
ap,j fj, tn + cph] (7)
Avec les versions suivantes : RK-4 (Kutta), RK-6 (Butcher,
1964), RK-8 (Schanks, 1966).
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⇒ A pas séparés (par exemple : RK) : les fp sont des
évaluations de la fonction (t 7→f(t, y(t))), faites aux pas
précédents :
nt
f
t
f n
Il existe une grande richesse de possibilités de construction
de réseau, pour une meilleureévaluation du second membre.
⇒ A pas liés (par exemple : Cowell) : à chaque pas, on cherche
fp en un réseau (tp, yp) : (i)voisin du pas courant (tn, yn), et
(ii) indépendant des autres pas.
t
f
f
tttt
ffn−4
ff
f
n+1ntt
n−1n−2n−3n−4
n+1n
n−1n−2
n−3
Ici, le réseau de construction est imposé par les précédents
pas d’intégration.
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Différences entre les algorithmes ”à pas séparés” et ”à pas
liés”
Type d’algorithme ”à pas séparés” ”à pas liés”
Volume de calcul à ordre égal supérieur donc : tempsde calcul
et erreur d’ar-rondi en hausse
réduit au minimum
Nbe d’éval. du second membre parpas
N 1
Mémoires des pas précédents sans N pas disponiblesProcédure
de démarrage aucune élaboréeChangement de pas d’intégration à
chaque instant quasi-impossibleConstruction du réseau
d’évaluation grande richesse imposée par les pas
précédentsalgorithme adaptable on peut changer la
classe des polynômesErreur de troncature plus faible
3.3.3 Formulation générale
Afin d’obtenir une consistance d’ordre élevé, on a intérêt
à privilégier une évaluation dela fonction f (second membre),
ainsi que de sa dérivée, par moyenne pondérée ; mais il
fautalors définir les coefficients. D’où l’approximation
inhérente à la classe des méthodes linéairesmulti-pas (linear
multistep (LM) methods) :
yn+1 +P∑
p=p0
ap yn+1−p = hN∑
p=n0
bp fp (8)
Le premier membre est l’évaluation de la dérivée ẏ par
moyenne, pondérée (ap) dedifférences de y au voisinage de yn+1,
et le second l’évaluation de f(t, y) par moyenne pondérée(bp)
d’évaluations fp de la fonction autour de yn+1. L’ordre de
l’intégrateur est bien N , c’est-à-dire le nombre de fonctions fp
entrant dans la moyenne.
Un algorithme est donc déterminé par :– le choix des lieux fp
d’évaluation de la fonction f(t, y)– le choix des coefficients
(ap, bp)La stratégie de formation des fp étant choisie, on peut,
en choisissant les coefficients (bp)
convenablement, faire en sorte que l’équation de progression
soit vérifiée pour quelques fonc-tions particulières fq(t, y).
On privilégie alors un jeu de fonctions que l’intégrateur
intégreraexactement, car l’équation de progression (par exemple :
yn+1 − yn = h
∑
p bp fp) est exacte-ment vérifiée pour ces dernières.
→ Le jeu des fonctions fq(t, y) indépendantes, intégrées
exactement, contient au plus Nfonctions (ordre) ; on n’a donc de
liberté que pour le choix de N constantes (bp).
Exemple : dans l’algorithme de Cowell original, le jeu des N
fonctions choisies corres-pond à N polynômes de degrés allant de
1 à N . La méthode de Cowell intègre ainsi
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exactement toute fonction polynomiale de degré ≤ à l’ordre
d’intégration.→ Il est possible de privilégier des fonctions
autres que des polynômes, comme par exemple
des fonctions circulaires, sinus ou cosinus, à la période du
mouvement considéré.
Erreur de troncature
→ L’intégrateur passe exactement à travers une classe de
fonctions privilégiées fq. Il passedonc du pas n au pas n+1 en
”supposant” que la solution y(t) est combinaison linéairedes
fonctions qu’il intègre exactement.
En pratique, un tel algorithme de décomposition ne sera
acceptable que lorsque ledéveloppement de Taylor de la fonction
pourra être tronqué à l’ordre N avec une erreurnégligeable,
souvent évaluée à l’aide du terme de rang (n + 1), lui-même
négligé.
Si la solution y(t) ne se décompose pas exactement sur la base
des N fonctions fqprivilégiées, il y a troncature dans la
décomposition.
L’évaluation de l’erreur de troncature se fait en pratique avec
deux intégrations à h eth/2 ; la différence entre les résultats
donne alors une idée de sa valeur.
→ Facteurs dégradant l’erreur de troncature :– ordre
d’intégration faible (d’où une mauvaise représentation de la
solution)– pas d’intégration h trop grand– durée de
l’intégration importante (l’erreur de troncature est bien
évidemment fonction
croissante du pas d’intégration).
Erreur d’arrondi
Plusieurs auteurs ont étudié, souvent de façon empirique,
l’erreur d’arrondi et sa propaga-tion dans les mouvements orbitaux
intégrés numériquement sur le très long terme.
→ L’erreur d’arrondi se cumule avec le nombre de pas au carré :
N 2. Elle est proportionnelleà ε = 2−b, où b est le nombre de
bits de la mantisse réservés pour la représentation desnombres
réels en machine ;
→ si la valeur moyenne de l’erreur d’arrondi était zéro,
l’effet en longitude serait proportion-nelle à N 3/2 ;
→ l’utilisation de la méthode d’Encke (voir plus loin) permet
de réduire cet effet d’un facteur0.006 (Nobili et al.).
3.3.4 Principes de stabilisation
Divers auteurs ont recherché des algorithmes qui intègrent
exactement des fonctions nonpolynomiales, notamment en calcul
d’orbites (fonctions trigonométriques, harmoniques, etc).Ceci peut
se faire de deux façons :
1. en modifiant les coefficients (bp) d’un algorithme tel que
celui décrit par la formulationgénérale précédente (8),
2. en recherchant un changement de variable indépendante (ou
descriptive), qui ”régu-larise” un certain algorithme pour une
famille donnée d’orbites.
14
-
Ces procédés s’appliquent dans le cadre de la stabilisation
des méthodes aux différencesfinies (de nombreux calculs,
présentés ici, sont issus de notes de G. Balmino,
CNES/GRGS,Toulouse).
Régularisation
Le temps n’est pas une variable d’intégration bien adaptée
pour les orbites très excentriques(e > 0.1 en géodésie
spatiale, par exemple). La répartition des points sur l’orbite est
insuffi-sante au périgée où les perturbations sont multiples et
de fortes amplitudes.
→ L’intégration d’une équation différentielle de plus donne
le temps t (ou anomalie moyenne)en fonction de la variable
d’intégration. Dans le cas général (~r a pour coordonn/’eesx, y,
z), on a (idem pour y et z) :
dt
ds= f(r, ..)
dx
ds= f(r, ..)
dx
dt
d2x
ds2= g(r, ..)[r̄.V̄ ]
dx
dt+ [f(r, ..)]2
d2x
dt2
La régularisation permet de ramener le calcul d’une orbite
quelconque (en particulieravec une excentricité e importante), au
calcul d’un mouvement circulaire plan, dans lamesure où la
densité des points sur l’orbite est la même au périgée et à
l’apogée.
Ceci est un moyen détourné, certes très efficace, qui ne
remet pas en question la tech-nique d’intégration donc l’erreur de
troncature.– La variable E (anomalie excentrique) est un bon
compromis :
M = E − e sin EdM
dE= (1 − e cos E) → dM
dE=
r
a
Ici : dt/ds = r/a. On compte le temps à partir du début de
l’intégration, d’autrepart, on préfère intégrer numériquement
des fonctions bornées, on pose donc : t =θ0 + s + σ(s), d’où :
dσ/ds = r/a − 1. La partie périodique du temps, prise nulle
aupérigée, est σ. Ce qui implique :
n θ0 = Eorigine − Morigine
et, grâce à l’équation de Kepler :
θ0 =1
ne sinEorigine =
a
µ~r.~V (origine)
On passe de la variable s à la variable temps, avant chaque
appel à la fonction secondmembre, et on revient de la variable
temps à la variable s ensuite. Les formules de
15
-
changement de variables sont les suivantes (idem pour y et z)
:
dt
ds=
r
a
dx
ds=
r
a
dx
dt
d2x
ds2=
1
a2[r̄.V̄ ]
dx
dt+
[
r
a
]2 d2x
dt2
– La variable v (anomalie vraie) est bien adaptée mais les
calculs sont plus complexes :
r2 v̇ = na2√
1 − e2 = C0→ dM
dv=
r
a
2 1√1 − e2
Le calcul de θ0 ne peut se simplifier comme dans le cas de
l’anomalie excentrique,mais il n’est fait qu’une fois pour toute
l’intégration. Les formules de changement devariables sont les
suivantes (idem pour y et z) :
dt
ds=
r2
C0
dx
ds=
r2
C0
dx
dt
d2x
ds2= 2
r2
C20[r̄.V̄ ]
dx
dt+
[
r2
C0
]2d2x
dt2
Circularisation
La circularisation permet d’intégrer exactement les mouvements
plans circulaires uniformes,dans la mesure où les coefficients
(bp) de l’intégrateur correspondent, cette fois, au choix
d’unefonction harmonique exp(j(i − 1)ωt), de fréquence (2π/T )
donnée. Elle peut être utiliséeindépendamment de la
régularisation, mais il n’est cependant pas souhaitable de
l’employersans elle pour le calcul d’orbites excentriques.
→ Cette modification de l’algorithme peut se traduire par
l’adjonction de termes correctifsdans les équations de
l’intégrateur. Les formules corrigées tiennent compte, dans
lescoefficients, du rapport (pas/période).
Mais il faut alors connâıtre la période avec beaucoup de
précision. Une façon efficace deréduire l’erreur de troncature
(sur l’intégration de l’équation du temps, par exemple)est de
tenir compte du moyen mouvement képlérien et des effets
séculaires dus à J2,J4, J6.
Ainsi, le choix de l’option ”circularisation” permet-il, dans
une certaine mesure, deréduire ce type d’erreur de troncature. La
fonction second membre devrait être mieuxreprésentée que dans le
cas des seuls polynômes.
16
-
La section 5 est consacrée à ce formalisme ; elle veut donner
une base afin de montrer com-ment calculer, dans le cadre de la
méthode de Cowell, les coefficients modifiés de
l’algorithme”classique” par l’adjonction de fonctions harmoniques
à plusieurs fréquences.
3.4 Interpolation de Lagrange et différences divisées
Sont rappelées brièvement dans cette partie la méthode
d’interpolation de Lagrange et lesprincipales propriétés des
différences divisées.
On considère une fonction f : [a, b] → IR continue et une
subdivision de n+ 1 points, deuxà deux distincts, t0, t1, ..., tn
du segment [a, b]. On se place dans Pn, IR espace vectoriel
dedimension n + 1 des fonctions polynômes de degré inférieur ou
égal à n.
3.4.1 Polynôme interpolateur de Lagrange
Le polynôme interpolateur de f sur [a, b] selon la subdivision
t0, t1, ..., tn est l’unique po-lynôme pn de Pn tel que :
∀i ∈ {0, 1, ..., n}, pn(ti) = f(ti) (9)Définissant les
fonctions élémentaires li, i ∈ {0, 1, ..., n}, par :
∀x ∈ [a, b], li(t) =n∏
j=0,j 6=i
t − tjti − tj
(10)
on a :
∀t ∈ [a, b], pn(t) =n∑
i=0
f(ti)li(t) (11)
Ce polynôme peut également être calculé à partir des
différences divisées de la fonction f .
3.4.2 Méthode des différences divisées
La méthode des différences divisées est une méthode simple
de calcul du polynôme inter-polateur de Lagrange.
Définition et propriétés. La différence divisée d’ordre k
de la fonction f , notéef [t0, t1, ..., tk], est le coefficient de
plus haut degré (ou encore coefficient directeur) du po-lynôme
interpolateur pk de f . Reprenant le précédent polynôme
interpolateur pn, on peutmontrer :
17
-
∀t ∈ [a, b], pn(t) = f(t0) +n∑
k=1
f [t0, t1, ..., tk](t − t0).(t − t1)...(t − tk−1) (12)
Les différences divisées de f vérifient la formule de
récurrence [7] :
∀k ∈ IN∗, f [t0, t1, ..., tk] =f [t1, ..., tk] − f [t0, ...,
tk−1]
tk − t0(13)
A l’aide de cette formule de récurrence et de l’algorithme de
Hörner, on peut facilementcalculer le polynôme interpolateur de
Lagrange pn [7].
Reprenant les deux expressions (11) et (12), on constate
aisément, par identification duterme de plus haut degré des
polynômes pk, que :
∀k ∈ {0, 1, ..., n}, f [t0, t1, ..., tk] =k∑
i=0
f(ti).Πi (14)
avec :
Πi =k∏
j=0,j 6=i
1
ti − tj
Enfin, terminons avec deux propriétés utiles.
→ La (k − 1)ème différence divisée d’un polynôme de degré
(k − 2) est nulle. En effet, lepolynôme de degré (k − 2) est
égal à son polynôme interpolateur de Lagrange. La (k −1)ème
différence divisée de ce polynôme serait le coefficient
directeur de son polynômeinterpolateur si celui-ci était de
degré (k − 1) ; elle est donc nulle. On peut ainsi écrire(les
coefficients cj étant arbitraires) :
k∑
i=1
c1ti + c2t2i + ... + ck−1t
k−1i
ti.Πi = 0 (15)
→ La (k − 1)ème différence divisée d’un polynôme de degré
(k − 1) est égale au coefficientdu terme de plus haut degré de ce
polynôme.En effet, le polynôme de degré (k − 1)est égal à son
polynôme interpolateur de Lagrange. La (k − 1)ème différence
divisée dece polynôme est le coefficient directeur de son
polynôme interpolateur donc son proprecoefficient directeur. On
peut ainsi écrire (le coefficient ck étant arbitraire) :
k∑
i=1
ck tki
ti.Πi = ck (16)
3.5 Formulation des intégrateurs dits ”à pas liés”
Ces méthodes sont basées sur l’idée que plus d’information
peut être utilisée à un momentdonné dans le processus
d’intégration, en prenant en compte non seulement yn mais
aussiyn−1, yn−2, etc.
18
-
Ces méthodes demandent en général moins de calculs que les
méthodes à un pas, pourla même précision. En revanche, elles
sont complexes à mettre en oeuvre (processus dedémarrage) et,
dans certains cas, dangereuses du point de vue des éventuelles
instabilitésnumériques (voir par exemple [1]).
La plupart des méthodes ”à pas liés” conventionnelles sont
basées sur l’interpolation po-lynomiale. On privilégie ainsi,
dans l’équation (6), l’intégration de classes de fonctions
puis-sances de la seule variable t :
gj(t) = tj−1 (j = 1, N + 1) (17)
qui sont des polynômes de degré ≤ N + 1.
3.5.1 Méthodes d’Adams
Ces méthodes présentent les qualités de simplicité et
d’efficacité qui en font celles les plussouvent choisies dans les
programmes d’intégration numérique. Elles se rapprochent
beaucoupde la méthode ”élémentaire” de Runge-Kutta et semblent
être les plus indiquées pour unepremière approche de
l’intégration numérique. On progresse pas par pas avec une
formegénérale du type :
yn+1 − yn = hN∑
p=1
bp f(yn+1−p, tn+1−p) (18)
Les méthodes d’Adams nécessitent la connaissance d’un nombre
fini de valeurs particulièresde la fonction aux points tn choisis.
Elles résolvent des équations linéaires du premier degré.
Ces méthodes approchent la fonction f par son polynôme de
Lagrange construit à partirdes formules de Newton sur les
différences successives d’une fonction aux points tn.
L’écriture(voir section précédente) montre bien la nécessité
de connâıtre plusieurs valeurs de la fonctionaux instants (t0, t1,
. . . , tn). Les méthodes d’Adams s’inscrivent donc bien dans le
cadre desméthodes dites ”à pas liés”.
Si l’on choisit :
f(t, y(t)) =N+1∑
j=1
cj gj(t) + k(t)
avec : gj(t) = tj−1
où k(t) est le résidu de la décomposition de f sur la base
des fonctions g (c’est-à-dire l’erreurde troncature), on obtient
:
fn+1−p =N+1∑
j=1
cj gj(tn+1−p) p ∈ {1, N}
19
-
d’où :
fn...
fn−N
=
g1,1 . . .... gp,j
.... . . gN,N+1
×
c1...
cN+1
avec : gp,j = t
j−1n+1−p
puis :
cj =N+1∑
p=1
G−1p,j fn+1−p (j = 1, . . . , N + 1)
La fonction f prend les valeurs fn+1−p aux points
correspondants, pour p ∈ {1, N + 1} ; lepolynôme passant par les
points (fn+1−p, tn+1−p) de degré N est unique. Les valeurs
tn+1−pdoivent toutes être distinctes, sinon le déterminant de la
matrice Gp,j (qui doit être régulière),du type Vandermonde, est
nul.
Les coefficients (cj) sont les coefficients du polynôme
d’interpolation de Lagrange ; onpeut alors utiliser la formule de
Newton, faisant intervenir les différences descendantes de
lafonction f :
f(t, y(t)) ' P (t) =N∑
j=0
(−1)jC−sj ∆j− fn
t ∈ [t0, tn] ; s = (t − tn)/havec :
∆j− fn =j∑
k=0
(−1)k Cjk fn−k
Exemple pour N = 2
yn+1 − yn =∫ tn+1
tn(c1 + c2t)dt = c1h +
c22
[t2]tn+1tn
avec :fn+1−p = c1 + c2tn+1−p + c3t
2n+1−p + . . .
ce qui fournit le système suivant :
fnfn−1fn−2...
=
1 tn t2n . . .
1 tn−1 t2n−1
1 tn−2 t2n−2
......
×
c1c2c3...
d’où :
c1 =fn−1tn − fntn−1
tn − tn−1et : c2 =
fn − fn−1tn − tn−1
et :
yn+1 − yn = h[
3
2fn −
1
2fn−1
]
(19)
On retrouve donc bien la formule (5).
20
-
Les méthodes d’Adams sont construites sur ce schéma.
Cependant, deux cas sont à envi-sager : le schéma explicite, dit
”prédicteur”, et le schéma implicite, dit ”correcteur”.
Adams-Bashforth : schéma explicite, prédicteur On a :
yn+1 − yn = hN∑
j=0
ξj ∆j− fn (20)
avec :
ξj = (−1)j∫ 1
0C−sj ds (21)
d’où le schéma explicite (AB) :
yn+1 − yn = hN∑
j=0
σN,j fn−j (22)
Les coefficients (ξj, σN,j) sont indépendants de f et sont
calculés une fois pour toutes. Onutilise pour cela une fonction
génératrice G(t) dont le développement de Mac-Laurin contientles
coefficients (ξj) :
G(t) =∞∑
j=0
ξj tj =
∞∑
j=0
(−t)j∫ 1
0C−sj ds
=
∫ 1
0(1 − t)−s ds =
∫ 1
0e−s ln(1−t) ds
=−t
ln(1 − t) (1 − t) (23)
En identifiant les coefficients de même puissance en t, dans
les équations (23) ci-dessus, onaboutit à :
ξ0 = 1 ξ3 =3
8ξ6 =
19087
60480
ξ1 =1
2ξ3 =
251
720ξ7 =
36799
120960
ξ2 =5
12ξ4 =
95
288ξ8 = . . .
La formule (22), qui donne explicitement (yn+1 − yn) en fonction
des différences ∆j− fn estefficace dès lors que l’on peut faire
des chargements dans la procédure.
Notons que si la différence du plus grand ordre (en N) est
importante, la précision peuts’avérer insuffisante et le nombre N
de termes pris en compte doit être augmenté.
Enfin, comme le nombre N est souvent fixé une fois pour toutes
(pour des raisons deprogrammation informatique), il n’y a pas de
raison particulière pour que les différences soientexplicitées.
On peut ainsi redonner une nouvelle formulation à la méthode, en
exprimant lesdifférences en terme d’ordonnées. En rassemblant les
coefficients de même ordonnée, la formuled’AB apparâıt ainsi
sous la forme :
σN,j = (−1)j[
Cjj ξj + Cj+1j ξj+1 + . . . + CNj ξN
]
(24)
21
-
Notons que la grandeur de ces coefficients ainsi que
l’alternance des signes dans cette sériesont des désavantages de
cette méthode.
Adams-Moulton : schéma implicite, correcteur
La méthode précédente utilise les différences de la fonction
f construites sur les points d’abs-cisses tn+1 et tn ; elle n’est
donc pas optimale. La méthode AM utilise une interpolation :
yn − yn−1 = hN∑
j=0
ξ?j ∆j− fn (25)
avec :
ξ?j = (−1)j∫ 0
−1C−sj ds (26)
d’où le schéma implicite (AM) :
yn − yn−1 = hN∑
j=0
σ?N,j fn−j (27)
De même que précédemment, on utilise une fonction
génératrice G?(t) donnée par :
G?(t) =∞∑
j=0
ξ?j tj =
−tln(1 − t) (28)
En identifiant les coefficients de même puissance en t, on
trouve :
ξ?0 = 1 ξ3 =−124
ξ6 =−86360480
ξ?1 =−12
ξ3 =−19720
ξ7 = . . .
ξ?2 =−112
ξ4 =−3160
ξ8 = . . .
En rassemblant les coefficients de même ordonnée, la formule
AM apparâıt sous la forme :
σ?N,j = (−1)j[
Cjj ξ?j + Cj+1j ξ
?j+1 + . . . + CNj ξ?N
]
(29)
La différence de cette méthode avec AB réside dans le fait
que seules les valeurs yp−1, . . . sontconnues, et que l’on
détermine yp au lieu de yp+1.
D’autre part, la forme particulière de l’équation suggère une
procédure itérative, car ypapparâıt aussi dans le membre de
droite, comme argument de fp. La solution est très rapidesi h est
suffisamment petit et si le prédicteur est suffisamment
précis.
Méthodes de Prédiction-Correction
Ces méthodes profitent des avantages des méthodes fermées
type Adams-Moulton (de trèsbonne précision), en réduisant les
temps de calcul élevés : il suffit de trouver une valeur
estimée y(0)n proche de la valeur finale yn. Pour cela, y
(0)n (appelé prédiction) est obtenue par
22
-
une formule ouverte type Adams-Bashforth de même ordre. C’est
cette valeur y(0)n qui est
introduite dans le membre de droite de la formule fermée.
Ces méthodes contiennent en particulier les méthodes AB et AM
décrites ci-dessus. Le
processus de prédiction-correction (PC) s’arrête lorsque
[f(ν)n − f (ν−1)n ] est négligeable (test
établi par rapport à un critère préalablement choisi). La
dernière valeur f(ν)n est prise comme
valeur finale fn.
Puisque la valeur yn peut être entachée d’erreurs d’arrondi,
suite à la sommation des séries,il faut être très prudent et,
si possible, réévaluer le schéma AM une dernière fois.
Les constantes de stabilité (αN =∑
j |σN,j| et α?N =∑
j |σ?N,j |) sont beaucoup plus grandespour les méthodes AB que
pour les méthodes AM, surtout lorsque N crôıt. En fait, le
domainede stabilité absolu est faible pour une méthode (LM)
explicite. C’est une des raisons pourlesquelles on utilise de
préférence AM, malgré les complications apportées par le
schémaimplicite. Les méthodes AM sont plus stables et plus
précises.
L’erreur d’interpolation (f(t) − pn(t)) tend-elle vers zéro
lorsque n → ∞ ?→ pour un support tj convenablement choisi, la
réponse est certes positive (il y a conver-
gence), à condition toutefois que f(t) soit ”raisonnable”.
C’est en particulier le cas pourles fonctions développables en
série entière autour d’un point quelconque de l’intervallechoisi
pour définir f(t).
→ dans certains cas, en particulier celui des points tj
régulièrement espacés, une divergencepeut apparâıtre si n est
trop grand : ce sont des fortes oscillations du polynôme entreles
points tj .
⇒ d’où la nécessité de ne pas utiliser un ordre trop
élevé.
3.5.2 Méthode de Bulirsch & Stoer
C’est une méthode à pas liés qui intègre des équations
différentielles du premier degré dutype : ẏ = f(t, y(t)), avec
y(0) = y0. Son intérêt réside dans son algorithme de
prédiction-correction très efficace et rapide, ainsi que dans une
stabilité très importante.
C’est une méthode dite d’extrapolation : l’idée consiste à
évaluer y(t0 + H) sur un certainnombre de sous-pas (hs) de plus en
plus petits par rapport au pas ”global” H, afin d’extrapolerà h =
0, une meilleure valeur de y : ỹ(t0 + H). L’inconvénient de cette
méthode est la valeurélevée du pas global H qui diminue
fortement la résolution temporelle de la solution.
Le prédicteur est à pas multiples, c’est-à-dire qu’il fournit
plusieurs valeurs possiblesP (hs, t) - vecteur de IR
n - de y(t0 + H) suivant le sous-pas hs utilisé. Le correcteur
donne lameilleure estimation, ỹ, de y(t0 + H) d’après les
différentes valeurs P (hs, t), en extrapolantces valeurs pour h =
0 à l’aide d’une fraction rationnelle.
Algorithme de prédiction
La méthode numérique la plus simple (symétrique et explicite)
est la méthode du point milieu,méthode de base telle que l’erreur
soit une fonction paire de h (car on obtient une précision
23
-
double pour un même travail) :
y(t0) = y0
y1 = y0 + hs f(t0, y0)
yn+1 − yn−1 = 2h f(tn, yn)
Gragg (1965) a montré que cette méthode possède les
propriétés de symétrie nécessaires.Malheureusement, la méthode
du point milieu a un domaine de stabilité absolue vide, mêmesur
un petit nombre de pas. D’où l’adoption d’une méthode modifiée :
on prend un pasglobal H et un nombre S + 1 de sous-pas hs avec : Ns
= [1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 16, . . .] pours = [0, 1, 2, 3, . . . , S]
et hs = H/Ns.
Cette suite de sous-pas est en effet celle qui rend la
sensibilité de la méthode minimale auxerreurs d’arrondi. Avec
cette suite, tendant vers zéro, les (S + 1) déterminations P (hs)
deỹ(t0 + H) sont telles que :
ỹ(t0 + H,hs) =1
4[ỹNs+1 + 2ỹNs + ỹNs−1] (30)
ce qui correspond bien à une méthode d’ordre 2.
Il est possible de former une combinaison linéaire des valeurs
ỹ(t0 +H,hs) pour approcherỹ(t0 +H) ; ceci est équivalent à
l’extrapolation à h = 0 d’un polynôme passant par les (S
+1)valeurs calculées. Le processus est efficace si l’on peut
trouver une méthode numérique pourlaquelle le développement
asymptotique se mettra sous la forme :
P̃ (h, t) = ỹ(t) + h2 τ1(t) + h4 τ2(t) + . . .
Cette extrapolation est cependant meilleure lorsque l’on choisit
une fonction rationnelle[6].
Algorithme de correction
Soit la fraction rationnelle C(i)S : IR → IRn. La valeur
estimée de y(t) est : ỹ = C(i)S (0) ' C
(i)S ;
ces valeurs se calculent par récurrence (triangle de Romberg)
:
C(i)−1 = 0
C(i)0 = P (hi, x)
C(i)k = C(i+1)k−1 +
C(i+1)k−1 − C(i)k−1
A (k ≥ 1)
(31)
avec :
A =(
hihi+k
)2[
1 −Ci+1k−1 − Cik−1Ci+1k−1 − Ci+1k−2
]
Pour éviter la formation de différences répétées, on peut
établir un calcul par récurrencede ces différences. Ces formules
sont calculées successivement pour s = 0, 1, 2, . . .,
l’indexagesur k est choisi afin d’indiquer la séquence de calculs
en cours.
24
-
Un test de précision est effectué afin d’arrêter le processus
de recherche de la solution par lessous-pas. Avec un facteur de
précision de l’ordre de 10−14, environ 10 étapes
d’extrapolationsuffisent en général.
3.6 Intégrateurs linéaires du second degré
Il s’agit d’intégrer ici une équation du type : ÿ = f(t,
y(t)), donc de passer directement dela dérivée seconde à la
fonction inconnue. Cette formulation est donc beaucoup utilisée
engéodésie spatiale (cf. équation de la dynamique (1)).
L’algorithme PC général est le suivant :
Prédiction
y(1)n+1 +
P∑
p=1
αp yn+1−p = h2
N∑
p=1
βp fn+1−p (32)
Correction
yn+1 +M∑
p=1
α?p yn+1−p = h2
R∑
p=1
β?p fn+1−p + β?0 f(tn+1, y
(1)n+1)
(33)
La première formule prédit une valeur y(1)n+1, valeur qui est
ensuite corrigée par la seconde
formule, étape généralement itérée. Cet algorithme PC est
écrit en ”forme lagrangienne”,c’est-à-dire en fonction des
valeurs descendantes fn+1−p et non en fonction des
”différencesrétrogrades”. De nombreux algorithmes sont souvent
représentés sous forme de différences.
3.6.1 Méthode de (Adams-) Störmer
Parmi les méthodes les plus répandues, on a l’algorithme PC de
Störmer de schéma général :
Prédiction (explicite) :
yn+1 − 2yn + yn−1 = h2K∑
p=0
b−p fn−p
Correction (implicite) :
yn+1 − 2yn + yn−1 = h2K∑
p=−1
b−p fn−p
Le mode opératoire est le suivant. D’après le développement
de Taylor en tn de y, avec unreste intégrale :
y(tn+1) − 2y(tn) + y(tn−1) = h2∫ tn+1
tn−1G(t) ÿ(t) dt
où l’on remplace ÿ par son polynôme d’interpolation de
Newton, aux points (tn, . . . , tn−K) :
ÿ(t) = ÿ(tn) +∆−ÿ(tn)
h(t − tn) + . . . +
∆K− ÿ(tn)
hKK!(t − tn) . . . (t − tn−K+1)
25
-
Après intégration :
y(tn+1) − 2y(tn) + y(tn−1) = h2K∑
p=0
βp ∆p−ÿ(tn) + r
Kn
avec :
βp =1
p!
∫ 1
0(1 − t)t . . . (t + p − 1)dt + 1
p!
∫ −1
0(−1 − t)t . . . (t + p − 1)dt
Exemple : βp = 1, 0, 1/12, 1/12, 19/240, 3/40, . . ..
D’où :
y∗n+1 − 2yn + yn−1 = h2K∑
p=0
βp ∆p− fn (prédiction)
Et si l’on remplace ÿ par son polynôme d’interpolation aux
points (tn+1, . . . tn−K+1), onobtient :
yn+1 − 2yn + yn−1 = h2K∑
p=0
γp ∆p− f
∗n+1 (correction)
avec :
γp =1
p!
∫ 1
0(1 − t)(t − 1)t . . . (t + p − 2)dt + 1
p!
∫ −1
0(−1 − t)(t − 1)t . . . (t + p − 2)dt
Exemple : γp = 1,−1, 1/12, 0,−1/240,−1/240, . . ..
La méthode est parfois appelée méthode d’Adams-Störmer.
3.6.2 Méthode d’Adams-Moulton-Cowell (AMC)
Cette méthode a été programmée il y a plusieurs années par
G. Balmino et son équipe, enplus de la méthode de Cowell, afin
d’intégrer les équations du satellite artificiel. Nous
l’avonsreprise, et reprogrammée (travaux de P.Schaeffer, 1993),
afin d’effectuer des tests.
L’algorithme provient des travaux de Cohen et Hubbard, lui-même
re-écrit dans l’articled’Oesterwinter & Cohen duquel nous nous
sommes inspirés ([13]). Sa particularité est demélanger les
coefficients de formules d’Adams, avec des coefficients de Cowell ;
on a donc,en quelques sortes, deux intégrateurs en un : l’un pour
passer de l’accélération à la position,l’autre pour passer de
l’accélération à la vitesse.
En tant que méthode à pas liés, l’algorithme utilise le
tableau d’initialisation suivant (avecles valeurs typiques : c =
14, qui est l’ordre de démarrage, a = b = 7, et m = 12 l’ordre
de
26
-
progression) :| − c| − (c − 1)...| − (a + 1)| − a...| − 1| 0|
1...| − (b − 1)| − b| − (b + 1)...| (c − 1)| c|...
La phase de démarrage est la suivante (h est le pas) :
¨̄rn = ¨̄r0 pour : −a ≤ n ≤ b
r̄−1 = r̄0 − h ˙̄r0 + h2a+b∑
i=0
γi ¨̄rb−i
Les accélérations :
¨̄r−n =a+b∑
j=0
bj ¨̄r−n+1+j pour : n = a + 1, a + 2, . . . , c
¨̄rn =a+b∑
j=0
bj ¨̄rn−1−j pour : n = b + 1, b + 2, . . . , c
Les positions et vitesses, uniquement sur [a, b] :
r̄n = 2r̄n−1 − r̄n−2 + h2c∑
j=0
α∗j ¨̄rn−j pour : n = 1, 2, . . . , b
r̄−n = 2r̄−n+1 − r̄−n+2 + h2c∑
j=0
α∗j ¨̄r−n+j pour : n = 2, 3, . . . , a
et :
˙̄rn = ˙̄rn−1 + hc∑
j=0
β∗j ¨̄rn−j pour : n = 1, 2, . . . , b
˙̄r−n = ˙̄r−n+1 + hc∑
j=0
β∗j ¨̄r−n+j pour : n = 1, 2, . . . , a
27
-
A ce stade, le programme doit contrôler le nombre de cycles
nécessaires à la convergence (engénéral 4 sont suffisants) ;
pour cela, il est recommandé de tester la différence absolue
dansles accélérations successives par rapport à une valeur a
priori.
La phase de progression est double (puisque nous sommes dans un
sch :’ema deprédiction et correction) ; soit, la prédiction :
r̄n = 2r̄n−1 − r̄n−2 + h2m∑
j=0
α′
j¨̄rn−1−j
˙̄rn = ˙̄rn−1 + hm∑
j=0
β′
j¨̄rn−1−j
et la correction, où de nouvelles accélérations seront
calculées, soit :
r̄n = 2r̄n−1 − r̄n−2 + h2m∑
j=0
αj ¨̄rn−j
˙̄rn = ˙̄rn−1 + hm∑
j=0
βj ¨̄rn−j
De même qu’en phase de démarrage, il est important de tester
la convergence de ce schéma.Nous avons cependant modifié
légèrement l’ algorithme en choisissant de tester non plus
lesaccélérations mais les vitesses successives. Nous avons pu
contrôler que cela nous apporteune plus grande stabilité
numérique des solutions (en référence à une méthode a priori
”plusstable”, celle de Bulirsch & Stoer).
3.6.3 Méthode de Cowell
Cette méthode est une des rares méthodes qui permettent
d’intégrer directement deséquations différentielles du second
degré. Elle a été appliquée par Cowell et Crommelin pour
mettre en évidence l’existence du 8ème satellite de Jupiter,
ainsi que pour décrire très cor-rectement le retour de la comète
de Halley en 1910.
C’est une méthode à pas liés qui nécessite la connaissance
d’une position et d’une vitesseà l’instant t0 (conditions
initiales du mouvement). Elle utilise l’interpolation polynomiale
deStirling afin d’exprimer les dérivées en termes de
différences. L’algorithme de Cowell à l’ordre2p intègre
exactement toute solution polynomiale de degré 2p.
On peut noter aussi que cette méthode possède une extension,
créée par Kulikov, quipermet de changer le pas en cours
d’intégration.
Soit h le pas d’intégration. On considère deux valeurs de
l’argument t : t = tk − h ett = tk + h. On développe ensuite la
valeur de la ”position” x en fonction de ses dérivées, àl’aide
d’une série de Taylor :
x(tk − h) = xk−1 = xk +∞∑
n=1
(−1)n hn
n!
(
dnx
dtn
)
k(34)
28
-
et :
x(tk + h) = xk+1 = xk +∞∑
n=1
hn
n!
(
dnx
dtn
)
k(35)
On introduit la différence du premier ordre ∆1 comme étant
:
∆1k−1/2 = ∆1xk−1/2 = xk − xk−1
∆1k+1/2 = ∆1xk+1/2 = xk+1 − xk
Dès lors, la différence du second ordre est :
∆2k = ∆1k+1/2 − ∆1k−1/2 = xk+1 − 2xk + xk−1
En utilisant les deux premières relations (34) et (35), on
obtient
∆2xk = 2∞∑
n=1
h2n
2n!
(
d2nx
dt2n
)
k
A partir de l’équation du mouvement d2x/dt2 = R(x, t), et avec
f = h2ẍ = h2R, on introduitla valeur de x et l’on obtient :
∆2xk = fk + 2∞∑
0
h2n
(2n + 2)!
(
d2nf
dt2n
)
k
(36)
Les expressions des dérivées (dnf/dtn)k, en terme de
différences, sont données par desformules d’interpolation
polynomiale. Pour Cowell, on utilise la formule de Stirling :
f(tk + zh) = fk + zf1k +
z2
2!f2k +
z(z2 − 1)3!
f3k +z2(z2 − 1)
4!f4k + . . . (37)
⇒ A titre d’exemple, la formule de Bessel permet d’exprimer les
dérivées de f en tk en termede différences, pour les lignes n =
k + 1/2, et est exploitée dans une variante de laméthode de
Cowell :
f(tk + zh) = fk + zf1k+1/2 +
z(z − 1)2!
f2k+1/2 +z(z − 1)(z − 2)
3!f3k+1/2
+(z + 1)z(z − 1)(z − 2)
4!f4k+1/2 + . . .
A partir de la formule de Stirling (37), les dérivées sont
obtenues en dérivant f(tk + zh)par rapport à z. On a : df/dz =
(df/dt).(dt/dz) et, comme t = tk + zh, dt/dz = h etdf/dz =
h(df/dt)k, ainsi :
df
dz= f1k +
2z
2!f2k +
3z2 − 13!
f3k +4z3 − 2z
4!f4k + . . .
De même :d2f
dz2=
2
2!f2k +
6z
3!f3k +
12z2 − 24!
f4k + . . .
29
-
soit :
h2(
d2f
dt2
)
k
= f2k −1
12f4k + . . . (38)
On trouve ainsi la formule de base de la méthode de Cowell
:
∆2xk = fk +1
12f2k −
1
240f4k +
31
60480f6k + . . . (39)
La formule de Cowell donnant directement xk est obtenue par deux
sommations de la sérieprécédente, d’abord sur : k′ = j, (0, i)
et ensuite sur i, (0, R − 1). On obtient finalement :
xk = f−2k +
1
12fk −
1
240f2k +
31
60480f4k −
289
3628800f6k +
317
22809600f8k + . . . (40)
avec :
f−2k = f−20 +
k−1∑
i=0
f−1i+1/2
f−1i+1/2 = f−1−1/2 +
i∑
j=0
fj
(41)
Les valeurs initiales des sommes f−20 et f−1−1/2 sont
arbitraires ; elles sont choisies grâce à la
formule (38), à condition que les données de départ soient
définies en terme de position et devitesse à l’instant t0 :
f−20 = x0 −1
12f0 +
1
240f20 −
31
60480f40 + . . .
f−1−1/2 = h ẋ0 −
1
2f0 +
1
12f10 −
11
720f30 + . . .
(42)
Les relations précédentes représentent le formalisme
mathématique de Cowell. Pour débuterle procédé d’intégration,
il faut calculer la table suivante :
f−20 , f−1−1/2, f−2, f−1, f0, f1, f2
De plus, lorsque l’on calcule les valeurs initiales des deux
premières sommes, équations(42), on doit faire attention à la
précision, notamment pour la seconde, car l’erreur sur ceterme est
proportionnelle au temps.
Ensuite, le second membre des équations de la dynamique doit
être calculé pour différentsinstants autour de t0 :
t0 − 3h, t0 − 2h, t0 − h, t0, t0 + h, t0 + 2h, t0 + 3h
En partant du fait que les différences du sixième ordre sont
constantes (hypothèse principalede la méthode), et en tenant
compte de la relation (38) et de la formule donnant les
ordonnéesfk (due à Tokmalayena), les formules utilisées dans les
programmes sont les suivantes :
30
-
x−3 = f−20 − 3f−1−1/2 +
237671
3628800f−3 +
645569
604800f−2 +
91415
48384f−1 +
18937
181440f0
− 14513241920
f1 +11729
604800f2 −
9829
3628800f3
x−2 = . . .
...
(43)
le vecteur initial x0 étant déjà disponible. Les valeurs
initiales des sommes (42) peuvent êtrecalculées par :
f−20 = x0 +289
3628800f−3 −
599
604800f−2 +
1793
241920f−1 −
2497
25920f0
+1793
241920f1 −
599
604800f2 +
289
3628800f3
(44)
et :
f−1−1/2 = hẋ0 −
191
120960f−3 +
211
15120f−2 −
7843
120960f−1 −
1
2f0
+7843
120960f1 −
211
15120f2 +
191
120960f3
(45)
le vecteur initial ẋ0 étant également disponible.
Une procédure itérative est à mettre en place. On considère
le second membre des équationsdu mouvement comme constant pendant
l’intervalle de temps [t0 − 3h, t0 + 3h] et égal à f0,qui est
calculée avec x0. Les sommes (42) et (43) sont calculées, puis
les valeurs de f pourtous les temps en utilisant (41) et f = h2ẍ =
h2R. Dès lors, les sommes (42) et (43) sontrecalculées n fois
avec les nouvelles valeurs fi. Le procédé d’approximations
successives estpoursuivi jusqu’à ce que les différences entre
deux valeurs consécutives des modules de f −20 ,f−1−1/2, et f
soient inférieures au facteur de convergence choisi au
départ.
31
-
4 Méthode d’Encke
4.1 Introduction
Le principe de cette méthode est d’intégrer les équations du
mouvement d’un corps Spar rapport au mouvement de référence d’un
corps fictif S̃ ; ce dernier étant prédéterminé enfonction des
conditions initiales et de l’environnement (modèle physique).
Ainsi, les grandeurscaractéristiques du mouvement différentiel
conservent des amplitudes faibles, ce qui permetde gagner en
précision. Dans le cadre des calculs d’orbites, l’application de
cette méthodeconsiste ainsi à intégrer le mouvement du satellite
par rapport à une orbite ”moyenne” commel’illustre la figure
(2).
.corps attracteur
mouvement résiduel
orbite réelle
orbite moyenne
Fig. 2 – Méthode d’Encke pour le calcul d’orbites.
Pour les calculs d’orbites, on peut utiliser des variables
cartésiennes (coordonnées rectan-gulaires) pour lesquelles les
équations du mouvement constituent un système différentiel
dedegré 2 et de dimension 3 ou des éléments elliptiques pour
lesquels les équations du mouve-ment sont les équations de
Lagrange et/ou les équations de Gauss [5].
Les mouvements de S et de S̃ doivent être décrits siuvant le
même type de variables, mêmesi, dans la pratique, on part
toujours des élémlents elliptiques usuels (moyens) pour
décrirela trajectoire de S̃.
4.2 Mouvement de référence
Dans le cas de satellites artificiels terrestres, on sait que
les orbites s’écartent peu d’ellipseskepleriennes en précession.
En éléments elliptiques, ceci se traduit, pour cette ellipse
moyennede référence, par les relations :
ã = ã0
ẽ = ẽ0
Ĩ = Ĩ0
Ω̃ = Ω̃0 +˙̃Ω0(t − t0)
32
-
ω̃ = ω̃0 + ˙̃ω0(t − t0)M̃ = M̃0 + n̄0(t − t0)
où les éléments initiaux (ã0, ẽ0, Ĩ0, Ω̃0, ω̃0, M̃0) ainsi
que les termes de variations séculaires
( ˙̃Ω0, ˙̃ω0, n̄0 =˙̃M0) dépendent des caractéristiques
moyennes du mouvement ainsi que des
forces considérées.
Pour déterminer cette ellipse précessante ”moyenne”, on peut
effectuer une intégrationnumérique avec un modèle de forces
simplifié pour déterminer les éléments elliptiques à
partirdesquels on peut, par moindres carrés, déterminer les
éléments moyens. On peut égalementutiliser des théories
analytiques telles que [4], fournissant les éléments elliptiques
osculateursen fonction des éléments moyens.
Si l’on utilise des coordonnées rectangulaires, il existe des
relations ”classiques” permettantde déterminer ces coordonnées à
partir des éléments elliptiques (voir [5], entre autres).
4.3 Equations différentielles
4.3.1 Cas des éléments elliptiques usuels
Dans le cas des éléments elliptiques ”usuels”, on part des
équations de Gauss-Lagrange dela forme :
ȧ = fa
ė = fe
İ = fI
Ω̇ = fΩ
ω̇ = fω
Ṁ = fM
et on utilise les décompositions a = ã0 +∆a,..., Ω = Ω̃0
+˙̃Ω0(t− t0)+∆Ω,... pour finalement
aboutir au système différentiel :
d∆a
dt= fa
d∆e
dt= fe
d∆I
dt= fI
d∆Ω
dt= fΩ − ˙̃Ω0
d∆ω
dt= fω − ˙̃ω0
33
-
d∆M
dt= fM − n̄0
que l’on résout à l’aide d’une méthode d’intégration
numérique à partir des conditions ini-tiales : ∆a0 = a0 − ã0, .
. . ,∆M0 = M0 − M̃0.
A chaque pas de calcul de l’intégrateur numérique, on
détermine ainsi a = ã + ∆a,...,M = M̃ + ∆M et on peut également
avoir accès aux coordonnées rectangulaires à l’aide desrelations
de passage précédemment évoquées.
4.3.2 Cas des coordonnées rectangulaires
Mouvement de référence. Nous partons du mouvement de
référence vu dans le repèremobile défini par :
- le vecteur P̄ unitaire passant par le périastre de l’ellipse
en précession,
- le vecteur Q̄ unitaire, orthogonal à P̄ dans le plan de cette
ellipse.
Dans ce paragraphe, nous appellerons X,Y,Z les coordonnées du
système d’axes del’intégration numérique ; le repère formé par
(O,P,Q) définissant un système de coordonnées(, x, y), avec
:
r̄ = xP̄ + yQ̄
˙̄r = ẋP̄ + ẏQ̄ + x ˙̄P + y ˙̄Q
¨̄r = ẍP̄ + ÿQ̄ + 2ẋ ˙̄P + 2ẏ ˙̄Q + x ¨̄P + y ¨̄Q (46)
On utilise également les formules suivantes (où E est
l’anomalie excentrique) :
r = a(1 − e cos E)M = E − e sinE = n̄(t − t0)x = a(cos E − e) =
r cos vy = a
√
1 − e2 sinE = r sin vẋ = −a sinE Ėẏ = a
√
1 − e2 cos E Ė
ẍ = −a(sinEË − cos EĖ2) = aĖ2 e − cos E1 − e cos E =
−aĖ
2 cos v
ÿ = a√
1 − e2(cos EË − sinEĖ2) = −aĖ2√
1 − e2 sinE1 − e cos E = −aĖ
2 sin v
On a donc :
¨̄r = −a3
r2n̄2 cos v P̄ − a
3
r2n̄2 sin v Q̄ + ρ̄ (47)
avec :ρ̄ = 2ẋ ˙̄P + 2ẏ ˙̄Q + x ¨̄P + y ¨̄Q (48)
Attention, alors que l’on a bien ñ20 ã30 = µ, on n’a pas
n̄
2 a3 = µ. On peut transformerl’équation précédente en
remplaçant cos v par x/r et sin v par y/r ; d’où :
¨̄r = −n̄2 a3
r3(xP̄ + yQ̄) + ρ̄
34
-
c’est-à-dire :
¨̄r = −n̄2 a3
r3r̄ + ρ̄ (49)
Le calcul du vecteur d’accélération apparente ρ̄ se fait comme
suit :
P̄ =
cos Ω cos ω − cos I sinω sinΩsinΩ cos ω + cos I sinω cosΩsin I
sinω
=
PXPYPZ
= −∂Q̄
∂ω
Q̄ =
− cos Ω sinω − cos I cos ω sinΩ− sinΩ sinω + cos I cos ω cos
Ωsin I cos ω
=
QXQYQZ
=
∂P̄
∂ω
D’où (I étant constant pour le mouvement de référence, ainsi
que Ω̇ et ω̇) :
˙̄P =∂P̄
∂ΩΩ̇ +
∂P̄
∂ωω̇
˙̄Q =∂Q̄
∂ΩΩ̇ +
∂Q̄
∂ωω̇
¨̄P =∂2P̄
∂Ω2Ω̇2 + 2
∂2P̄
∂Ω∂ωΩ̇ω̇ +
∂2P̄
∂ω2ω̇2
¨̄Q =∂2Q̄
∂Ω2Ω̇2 + 2
∂2Q̄
∂Ω∂ωΩ̇ω̇ +
∂2Q̄
∂ω2ω̇2
avec :
∂P̄
∂Ω=
−PYPX0
,
∂Q̄
∂Ω=
−QYQX0
∂P̄
∂ω= Q̄ ,
∂Q̄
∂ω= −P̄
∂2P̄
∂Ω2=
−PX−PY
0
,
∂2P̄
∂Ω∂ω=
∂Q̄
∂Ω,
∂2P̄
∂ω2= −P̄
∂2Q̄
∂Ω2=
−QX−QY
0
,
∂2Q̄
∂Ω∂ω= −∂P̄
∂Ω,
∂2Q̄
∂ω2= −Q̄
On utilise enfin, dans la formule (48), les expressions de x, y,
ẋ, ẏ pour le mouvement deréférence.
Mouvement différentiel. Le système des équations du mouvement
en coordonnées rec-tangulaires est re-écrit en mettant en
évidence le terme principal du potentiel du corps central,et les
autres forces perturbatives ∆F̄ :
¨̄r = −µ r̄r3
+ ∆F̄ (50)
35
-
et le système pour le mouvement de référence est, d’après ce
qui précède :
¨̄rref = −n̄2
a3refr3ref
r̄ref + ρ̄ref (51)
en écrivant explicitement ”ref” pour plus de clarté dans les
variables (et pour éviter lesconfusions entre variables ã, les
vecteurs ā, et les vecteurs de référencequ’il aurait fallu
écrire˜̄a. Ici, n̄ est toujours le ”moyen” moyen mouvement de
référence (identique à n̄0 des équationsxx).
Des équations (50) et (51), on obtient :
¨̄r − ¨̄rref = ∆¨̄r = −µ(
r̄
r3− n̄
2
µ
a3refr3ref
r̄ref
)
− ρ̄ref + ∆F̄ (52)
On introduit, afin d’améliorer l’expression entre parenthèses
ci-dessus, le moyen mouvement
képlérien de référence : nref(= ñ0) =√
µ/a3ref(=√
µ/ã30), et donc :
∆¨̄r = −µ
r̄
r3−(
n̄
nref
)2r̄refr3ref
− ρ̄ref + ∆F̄ (53)
Sous cette forme, (53) pose un problème numérique car les deux
termes du crochet son trèsvoisins (si l’ellipse de référence est
bien choisie). On peut utiliser la double précision (en 128bits)
afin d’effectuer cette soustraction (en ayant bien calculé tous
les termes de référence endouble précision, avant). Ou bien, on
peut aussi transformer cette différence suivant :
Posons : (n̄/nref)2 = 1 + δ, et ε̄ = ∆r̄ = r̄ − r̄ref (où δ est
proche de zéro dans la pratique,
et ||ε̄|| reste petit) ; on écrit alors :
r̄
r3− (1 + δ) r̄ref
r3ref
=1
r3ref
[
r̄r3refr3
− (1 + δ)r̄ref
]
=1
r3ref
[
r̄
(
(
rrefr
)3
− 1)
,+ ε̄ − δ r̄ref
]
On a donc résumé le problème à une différence de scalaires,
proches de l’unité, au lieu d’unedifférence de vecteurs. Soit
alors β =
(
rref/r)3 − 1, cette différence. Nous allons transformer
cette opération en une somme de petites quantités, en posant
:(
rref/r)2
= 1 + α, et β =
(1 + α)3/2 − 1 ; d’où :
∆¨̄r = −µD̄ + ∆F̄ − ρ̄ref (54)D̄ =
[
β(∆r̄ + r̄ref) + ∆r̄ − δ r̄ref]
avec les conditions initiales suivantes : ∆r̄0 = r̄0 − r̄ref(t0)
et ∆ ˙̄r0 = ˙̄r0 − ˙̄rref(t0)
36
-
5 La circularisation
Les méthodes classiques d’intégration numérique (méthode de
Cowell, méthodes d’Adams-Bashforth, d’Adams-Moulton, ..., voir
sections précédentes) sont basées sur des approxima-tions
polynomiales et intègrent donc exactement des fonctions
polynomiales. Lorsque cesméthodes sont appliquées aux équations
de la mécanique céleste et, plus particulièrement,aux équations
du mouvement d’un satellite d’un corps central (à dominantes
périodiques),elles peuvent théoriquement être sources
d’instabilités numériques (par la propagation deserreurs).
A l’époque où les ordinateurs n’étaient pas des calculateurs
aussi performants qu’aujour-d’hui (fin des années 60, début des
années 70), une méthode permettant de modifier lescoefficients
caractéristiques des méthodes d’intégration pour intégrer
exactement des fonc-tions circulaires (d’où le nom de
circularisation) a été développée par Bettis et Stiefel,
[14],[2] et [3]. Le but de ce chapitre est de présenter cette
méthode et son utilisation dans le cadrede la dynamique
orbitale.
5.1 Présentation générale de la méthode appliquée à
l’algorithme de Co-
well
On s’intéresse aux deux types d’équations différentielles
ẍ(t) = f(x, t) et ẋ(t) = f(x, t). Onrésout ces équations par
intégration numérique à l’aide des différences de la fonction f
. Onse donne un pas d’intégration h et on définit ces
différences par la relation de récurrence :
∆mfn = ∆m−1fn+ 1
2
− ∆m−1fn− 12
(55)
sachant que : ∆0fn = fn = f(x(nh), nh).
On résout ainsi les deux équations précédentes,
respectivement, à l’aide des deux relationssuivantes qui, dans la
pratique, sont tronquées à un indice m donné, ordre de la
méthodeutilisée :
∆2x0 = h2
∞∑
k=0
αk ∆kfp− k
2
(56)
x1 − x0 = h∞∑
k=0
αk ∆kfp− k
2
(57)
Rappel :
− si p = 1 dans (56), on utilise la méthode de Cowell,− si p =
0, c’est la méthode de Störmer,− si p = 1 dans (57), on utilise
la méthode d’Adams-Moulton,− si p = 0, c’est la méthode
d’Adams-Bashforth.
37
-
Dans toute la suite de cette partie, on ne s’intéresse plus
qu’à la seule méthode de Cowell[14]. On se place dans le contexte
de la résolution de l’équation différentielle ẍ(t) = f(x,
t)avec cette méthode, d’ordre n,
Rappel :
∆2x0 = h2
n∑
k=0
αk∆kf1− k
2
Les coefficients de la méthode classique peuvent être obtenus
en utilisant la fonction spécifiquef(x, t) = zt/h. En résolvant
l’équation différentielle avec cette fonction, on aboutit à
:
x(t) =h2
(ln z)2z
th et : ∆2x0 =
zh2
(ln z)2
[
1 − 1z
]2
On peut montrer que :
∆kf1− k2
= z
[
1 − 1z
]k
En posant ε = 1 − z−1, on obtient ainsi la relation :(
ε
ln(1 − ε)
)2
= P (ε)
avec P (ε) =∑n
k=0 αk varepsilonk. Effectuant alors le développement en série
entière de la
fonction génératrice ε 7→ P (ε), on obtient les coefficients
classiques αk par identification. Al’ordre 6, par exemple, on a
[14] :
(
ε
ln(1 − ε)
)2
' 1 − ε + 112
ε2 − 1240
ε4 − 1240
ε5 − 22160480
ε6 (58)
On désire adapter cette méthode de Cowell (”classique”) pour
intégrer exactement desfonctions circulaires.
5.1.1 Position du problème
Supposons tout d’abord que l’on souhaite intégrer exactement
les deux fonctions (t 7→cos ωt) et (t 7→ sinωt). La fonction
spécifique devient donc : f(x, t) = eiωt. Afin de se ramenerà
Cowell (où f(x, t) = z
th , il faut donc poser :
z = e2iσ et :σ = ωh/2
Pour que la méthode de Cowell intègre exactement les deux
fonctions circulaires précédentes,il faut donc que la relation
définissant P (ε) soit vérifiée pour :
ε = 1 − e−2iσ et :ε = 1 − e2iσ
Ceci revient à modifier deux coefficients du polynôme P , les
deux coefficients de plus hautdegré, par exemple ; les autres
coefficients demeurent ceux de la méthode classique.
38
-
Le nouveau jeu de coefficients αk permet alors d’intégrer
exactement toute fonction de laforme (t 7→ Qn−2(t) + a cos ωt + b
sinωt), Qn−2 désignant une fonction polynôme de degréinférieur
ou égal à n − 2 [2].
On suppose maintenant que l’ordre de la méthode est pair (n =
2ν) et on souhaite intégrerexactement toute fonction de la forme
:
t 7→ a0 +ν∑
j=1
(aj cos ωjt + bj sinωjt)
donc possédant ν fréquences. Pour ce faire, le polynôme P
doit vérifier les 2ν + 1 relations :
(
εjln(1 − εj)
)2
= P (εj), j ∈ {−ν, ..., ν} (59)
avec ∀j ∈ {−ν, ..., ν}, , εj = 1 − e2iσj , σ−j = −σj et donc σ0
= 0.
Notant :
L(σ) =
(
ε
ln(1 − ε)
)2
=
(
sinσ
σ
)2
e−2iσ (60)
le problème est donc de déterminer les 2ν + 1 coefficients
modifiés αk, k ∈ {0, 1, ..., 2ν} àpartir des 2ν + 1 relations
L(σj) = P (εj), j ∈ {−ν, ..., ν}.
5.1.2 Méthode récurrente de calcul des coefficients
modifiés
Le polynôme P cherché n’est autre que le polynôme
interpolateur de la fonction L aux2ν + 1 points εj . Toute formule
d’interpolation classique pourrait être utilisée ; c’est celle
deLagrange qui est retenue. Les deux coefficients de plus haut
degré de P peuvent ainsi êtredéterminés à l’aide de
l’interpolation de Lagrange. Les autres pourraient l’être
égalementmais ce serait fastidieux. On utilise donc une méthode
récurrente.
Différences divisées de la fonction (x 7→ 1/x). Les
différences divisées de la fonction(
x 7→ 1x)
interviennent directement dans les calculs de la méthode de
circularisation.
Considérons donc la fonction g : x 7→ 1/x. La différence
divisée d’ordre 0 de g (on utilisela notation simplifiée [x0]
pour g[x0]) est [x0] = 1/x0. La formule de récurrence (13)
donnealors facilement [x0, x1] = −1/x0x1. Il semble ainsi que :
[x0, ..., xk] = (−1)kk∏
i=0
1
xi(61)
En l’admettant pour les ordres inférieurs ou égaux à k, (13)
donne :
[x0, ..., xk+1] = (−1)k+1k+1∏
i=0
1
xi
39
-
(61) est donc vérifiée, et (14) permet alors d’écrire :
k∏
i=1
1
xi= (−1)k−1
k∑
i=1
1
xi.Πi
avec Πi =∏k
j=1,j 6=i1
xi−xj.
Les deux relations (15) et (16) donnent alors (les coefficients
cj sont arbitraires) :
k∏
i=1
1
xi= −ck +
k∑
i=1
(−1)k−1(1 + c1xi + c2x2i + ... + ck−1xk−1i ) + ckxkixi
.Πi (62)
Calcul des deux coefficients de plus haut degré. Le coefficient
α2ν est le coefficientde plus haut degré du polynôme
interpolateur de Lagrange de la fonction L. Par définitiondes
différences divisées, ce coefficient est donc la différence
divisée d’ordre 2ν L[σ−ν , ..., σν ].Or, α2ν ∈ IR et la fonction L
a une formulation complexe. Il est donc nécessaire de calculerce
coefficient d’une autre façon. P ayant pour expression :
P (ε) =ν∑
j=−ν
L(σj) prodνm=−ν,m6=j
ε − εmεj − εm
(63)
le coefficient de plus haut degré de P est donc :
αn =ν∑
j=−ν
L(σj) prodνm=−ν,m6=j
1
εj − εm(64)
soit encore :
αn = L(σ0)ν∏
m=−ν,m6=0
1
ε0 − εm+
−1∑
j=−ν
L(σj)ν∏
m=−ν,m6=j
1
εj − εm
+ν∑
j=1
L(σj)ν∏
m=−ν,m6=j
1
εj − εm(65)
avec ε0 = 0 et :ν∏
m=−ν,m 6=0
−1εm
=ν∏
m=1
1
ε−mεm=
ν∏
m=1
1
um
où um = 4 sin2 σm.
En opérant un changement d’indice, on aboutit finalement à
l’expression :
αn = L(σ0)ν∏
k=1
1
uk
+ν∑
k=1
L(σk)ε−k(ε−k − 1)ν−1 − L(σ−k)εk(εk − 1)ν−1(εk − ε−k)uk
.Πk (66)
40
-
où :
Πk =ν∏
m=1, m6=k
1
uk − um
Utilisant alors la suite polynomiale Sn dont les propriétés
sont exposées plus loin, on aboutità :
αn = L(σ0)ν∏
k=1
1
uk
+ν∑
k=1
[
S2ν−4(uk)
uν−1k+
S2ν−2(uk)
uνk
]
.Πk4σ2k
(67)
Or :S2ν−4(uk)
uν−1k+
S2ν−2(uk)
uνk= (−1)ν [1 + Q∗ν−2(uk)]
où Q∗p désigne une fonction polynôme de degré p dont le
terme constant est nul.
D’après le calcul des différences divisées de la fonction (x
7→ 1/x) et les propriétés de cesdifférences (les coefficients cj
sont arbitraires) :
ν∏
k=1
1
uk= −cν +
ν∑
k=1
(−1)ν−1(1 + c1uk + c2u2k + ... + cν−1uν−1k ) + cνuνkuk
.Πk
Prenant cν = cν−1 = 0, on obtient alors :
αn = (−1)ν−1ν∑
k=1
[
1 + c1uk + ... + cν−2uν−2k
uk− 1 + Q
∗ν−2(uk)
4σ2k
]
.Πk (68)
Les coefficients cj , j ∈ {1, ..., ν − 2}, étant arbitraires,
on peut les choisir de façon à vérifier :
1 + c1uk + ... + cν−2uν−2k = 1 + Q
∗ν−2(uk)
ce qui donne finalement :
αn = −ν∑
k=1
S2ν−3(uk)
uν−1k.
[
1
uk− 1
4σ2k
]
.Πk (69)
où αn est donc la (ν − 1)ème différence divisée de la
fonction :
u 7→ S2ν−3(u)uν−1
.
[
1
u− 1
4σ2
]
aux points u1, ..., uν .
Considérons maintenant le coefficient αn−1. Par identification
à partir de l’expression dupolynôme interpolateur P (63) :
41
-
αn−1 = −ν∑
k=−ν
L(σk)
∑νm=−ν, m6=k εm
∏νm=−ν,m6=k(εk − εm)
(70)
En isolant le terme correspondant à k = 0, on aboutit à
l’expression :
αn−1 =
(
1 −ν∑
m=1
um
)
αn −L(σ0)
∏νm=1 um
+ν∑
k=−ν, k 6=0
L(σk)εk − 1
∏νm=−ν,m6=k(εk − εm)
(71)
Après un calcul similaire à celui mené pour αn, on aboutit à
:
αn−1 −(
1 −ν∑
m=1
um
)
αn = −ν∑
k=1
S2ν−5(uk)
uν−2k.
[
1
uk− 1
4σ2k
]
.Πk (72)
où αn−1 − (1 −∑ν
m=1 um)αn est donc la (ν − 1)ème différence divisée de la
fonction :
u 7→ S2ν−5(u)uν−2
.
[
1
u− 1
4σ2
]
aux points u1, ..., uν .
Il reste désormais à déterminer les autres coefficients
modifiés du polynôme P .
Calcul des autres coefficients. On veut calculer les
coefficients modifiés restants αm, m ∈{1, ..., n − 2}. Pour ce
faire, on suppose que l’on connâıt le jeu des coefficients
modifiés pourla méthode d’ordre (n − 2) : α∗1, ..., α∗n−2, et que
l’on connâıt également les deux coefficientsde plus haut degré
pour la méthode d’ordre n calculés précédemment : αn−1 et
αn.
On dispose de P ∗, polynôme interpolateur de L, de degré n−2,
aux points ε0, ε±1, ..., ε±(ν−1)et on s’intéresse au polynôme
interpolateur P de L, de degré n, aux points ε0, ε±1, ..., ε±ν .Un
polynôme ayant pour zéros les points 0, ε±1, ..., ε±(ν−1) est
:
ε.(ε2 − u1ε + u1)...(ε2 − uν−1ε + uν−1)On peut donc écrire
:
∀ε ∈ IR, P (ε) = P ∗(ε) + ε.(ε2 − u1ε + u1)...(ε2 − uν−1ε +
uν−1).(aε + b) (73)
Pour déterminer a et b, on identifie les deux termes de plus
haut degré des deux membres