claseexploga

Funciones Exponenciales y Logarıtmicas

David J. Coronado1

1Departamento de Formacion General y Ciencias BasicasUniversidad Simon Bolıvar

Matematicas I

D. Coronado Exponenciales y Logaritmos

Contenido

1 Funciones Exponenciales y LogarıtmicasFunciones ExponencialesExponencial Natural

2 Funciones LogarıtmicasFunciones Logarıtmicas GeneralesLogaritmo Natural


Contenido




Exponenciales LogaritmosFunciones Logarıtmicas

Funciones ExponencialesExponencial Natural

Contenido






Funciones Exponenciales

La funcion f (x) = 2x se denomina funcion exponencial ya que lavariable x es un exponente.No la debemos confundir con la funcion g(x) = x2, en la cual lavariable es la base.Grafiquemosla















De manera general, una funcion exponenciales una funcion de la forma

f (x) = ax

donde a es un entero positivo (constante).





Recordemos ahora,que significa ax :

Si x = n, un entero positivo, tenemos que

an =

n−veces︷︸︸︷a · a · · · · · a

Si x = 0 entonces a0 = 1 y si x = −n (n-positivo) entonces

a−n =1

an

Si x ∈ Q, x = p/q con p, q ∈ Z, q > 0, tenemos

ax = ap/q =q√

ap = ( q√

a)p

¿Que significa si x /∈ Q? por ejemplo ¿que significa 2√

3?





Para calcular 2√

3, lo que haremos sera tomar aproximaciones: esdecir

como 1, 7 <√

3 < 1.8 tenemos que 21,7 < 2√

3 < 21.8

Haciendo mejores aproximaciones nos queda la siguiente tabla

1, 7 <√

3 < 1.8 ⇒ 21,7 < 2√

3 < 21.8

1, 73 <√

3 < 1.74 ⇒ 21,73 < 2√

3 < 21.74

1, 732 <√

3 < 1.733 ⇒ 21,732 < 2√

3 < 21.733

1, 7320 <√

3 < 1.7321 ⇒ 21,7320 < 2√

3 < 21.7321

......





Se puede demostrar, que existe exactamente un numero mayor que21,7, 21,73, 21,732, 21,7320, . . . y menor que21,8, 21,74, 21,733, 21,7321, . . .. Definimos ese numero como 2

√3. Ası

2√

3 ≈ 3.321997 . . .

Veamos algunas graficas, recordemos que a0 = 1 para toda a > 0:





Se puede demostrar, que existe exactamente un numero mayor que21,7, 21,73, 21,732, 21,7320, . . . y menor que21,8, 21,74, 21,733, 21,7321, . . .. Definimos ese numero como 2

√3. Ası

2√

3 ≈ 3.321997 . . .

Veamos algunas graficas, recordemos que a0 = 1 para toda a > 0:





Ejemplo

Grafique las siguientes funciones e indique dominio y rango:

1 y = 2x

2 y = 4x

3 y = 10x

4 y =(

12

)x5 y = 1x





Recordemos la regla de los exponentes:

Teorema (Regla de los Exponentes)

Si a, b son numeros positivos y x , y ∈ R. Entonces

1 ax+y = axay

2 ax−y = ax

ay

3 (ax)y = axy

4 (ab)x = axbx





Ejemplo

Usando reflexiones y traslaciones, esboce las graficas de

y = 3− 2x




Contenido






Funcion Exponencial Natural

Como veremos mas adelante, muchas de las formulas en el calculose ven simplificadas si utilizamos como base el numero e, este estadado por

e = 2, 71828 . . .

Cuando usamos este numero como base, llamamos a la funcionexponencial natural. La denotamos como

exp x = ex





Como veremos mas adelante, muchas de las formulas en el calculose ven simplificadas si utilizamos como base el numero e, este estadado por

e = 2, 71828 . . .

Cuando usamos este numero como base, llamamos a la funcionexponencial natural. La denotamos como

exp x = ex





Veamos como con su grafica, graficaremos la funcion y = 12 e−x − 1



Funciones Logarıtmicas GeneralesLogaritmo Natural

Contenido






Funciones Logarıtmicas

Si a > 0 y a 6= 1, la funcion exponencial f (x) = ax es siemprecreciente o decreciente, por lo tanto es inyectiva y tiene inversa.Esta inversa se denomina funcion logaritmo con base a y se denotapor loga.





Si a > 0 y a 6= 1, la funcion exponencial f (x) = ax es siemprecreciente o decreciente, por lo tanto es inyectiva y tiene inversa.Esta inversa se denomina funcion logaritmo con base a y se denotapor loga.





Recordando la definicion de inversa y aplicandola a la funcionexponencial

f −1(x) = y ⇔ f (y) = x

loga x = y ⇔ ay = x

Por propiedades de la inversa,

loga(ax) = x , para cada x ∈ Raloga x = x , para cada x > 0





Recordando la definicion de inversa y aplicandola a la funcionexponencial

f −1(x) = y ⇔ f (y) = x

loga x = y ⇔ ay = x

Por propiedades de la inversa,

loga(ax) = x , para cada x ∈ Raloga x = x , para cada x > 0





Recordemos las leyes de los logaritmos

Teorema (Leyes de los Logaritmos)

Si x , y son numeros positivos, entonces

1 loga(xy) = loga x + loga y

2 loga

(xy

)= loga x − loga y

3 loga(x r ) = r loga x para r ∈ R.




Contenido






Logaritmo Natural

La inversa de la funcion exponencial natural es el LogaritmoNatural. Lo denotaremos por ln. Ası

ln x = loge x

Por lo tanto

ln x = y ⇔ ey = x

ln(ex) = x x ∈ Re ln x = x x > 0

ln e = 1

Veamos su grafica, dominio y rango.




Logaritmo Natural

Ejemplo

Esboce la grafica de y = ln(x − 2)− 1




FIN


claseexploga

Documents