Clase No. 25: Introducción a EDP: Ecuaciones elípticas MAT–251 Dr. Alonso Ramírez Manzanares Depto. de Matemáticas Univ. de Guanajuato e-mail: alram@ cimat.mx web: http://www.cimat.mx/salram/met_num/ Dr. Joaquín Peña Acevedo CIMAT A.C. e-mail: joaquin@ cimat.mx Joaquín Peña (CIMAT) Métodos Numéricos (MAT–251) 12.11.2012 1 / 13
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Clase No. 25: Introducción a EDP: Ecuaciones elípticasJoaquin/Mn11/Clase25.pdfEl orden de la EDP es igual al orden de la derivada parcial de mayor orden que aparece en la ecuación.
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Clase No. 25:
Introducción a EDP:Ecuaciones elípticas
MAT–251 Dr. Alonso Ramírez ManzanaresDepto. de MatemáticasUniv. de Guanajuatoe-mail: [email protected]: http://www.cimat.mx/salram/met_num/
Sea c ≥ 0 y Ω un dominio que tiene una frontera regular ∂Ω. Consideremos elproblema de valor inicial
Lu = f en Ω
u = g sobre ∂Ω
donde g es suave. Entonces el problema anterior tiene solución única.
Para analizar un análisis de convergencia de los métodos basados endiferencias finitas se requieren otras propiedades ya que la suavidad de lasolución no es suficiente.
Vamos a resolver un caso particular de la ecuación de Poisson.Consideremos una función p = p(x,y) que está definida en cuadrado unitarioΩ = [0,1]× [0,1].Queremos resolver
Fijamos el número N de nodos en el eje X y el número M de nodos en el ejeY.Consideramos una partición uniforme. Entonces los incrementos en cada ejeson
hx = 1/(N− 1) y hy = 1/(M− 1)
Definamos los nodos (xj,yi) de la discretización como
xj = (j− 1)hx, yi = (i− 1)hy,
para j = 1,2, ...,N; i = 1,2, ...,M. Éstos definen los nodos de la discretizacióndel dominio:
Con estas ecuaciones se plantea el sistema lineal Ap = b. La matriz A no essimétrica y tampoco es diagonal dominante, según se ve en las ecuacionesanteriores.
cos(πxk1) cos(πxk2)− pken cada nodo xk de la discretización. Puede verse que los errores másgrandes se localizan cerca de las fronteras y = 0 y y = 1, y que el rango delos errores decrece conforme N y M aumentan.