clase de Limite

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Lımites

David J. Coronado1

1Departamento de Formacion General y Ciencias BasicasUniversidad Simon Bolıvar

Matematicas I

D. Coronado Lımites

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Contenido

1 Definicion de LımitesDefinicion IntuitivaDefinicion Formal de LımitesPropiedades de Lımites

2 Calculo de LımitesEjemplos

3 Lımites NotablesLımites notablesEjemplos

4 Mas EjemplosIndeterminaciones del tipo 0/0Lımites de F. Trigonometricas


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DefinicionCalculo de Lımites

Lımites NotablesMas Ejemplos

IntuitivaFormalPropiedades de Lımites

Contenido






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Definicion Intuitiva de Lımite

x

y

y = f (x)

L

c


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x

y

y = f (x)

L

c

Intuitivamente

limx→c

f (x) = L

Es el valor L al se aproxima una funcion fcuando la variable x se acerca a un valorfijo c .


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x

y

y = f (x)

L

c

Intuitivamente

El lımite de f (x) cuando x tiende a a es elnumero L, que se escribe

limx→c

f (x) = L

siempre que f (x) esta cercana a L paratoda x lo suficientemente cerca, perodiferente, a a.Si no existe tal numero, decimos que ellımite no existe.


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Definicion de Lımites

Ejemplo

limx→1

x3 − 1

x − 1= 3

x < 1 f (x)

0.8 2.440.9 2.710.95 2.85240.99 2.97010.995 2.9850250.999 2.994001

x > 1 f (x)

1.2 3.641.1 3.311.05 3.15251.01 3.03011.005 3.0150251.001 3.003001

Note que 1 /∈ Domf .


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Ejemplo

limx→1

x3 − 1

x − 1= 3

x < 1 f (x)

0.8 2.440.9 2.710.95 2.85240.99 2.97010.995 2.9850250.999 2.994001

x > 1 f (x)

1.2 3.641.1 3.311.05 3.15251.01 3.03011.005 3.0150251.001 3.003001



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Ejemplo

limx→1

x3 − 1

x − 1= 3

x < 1 f (x)

0.8 2.440.9 2.710.95 2.85240.99 2.97010.995 2.9850250.999 2.994001

x > 1 f (x)

1.2 3.641.1 3.311.05 3.15251.01 3.03011.005 3.0150251.001 3.003001



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Ejemplo

limx→1

x3 − 1

x − 1= 3

x < 1 f (x)

0.8 2.440.9 2.710.95 2.85240.99 2.97010.995 2.9850250.999 2.994001

x > 1 f (x)

1.2 3.641.1 3.311.05 3.15251.01 3.03011.005 3.0150251.001 3.003001



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Ejemplo

limx→2

(x + 3) = 5

x f (x)

x < 2...

x f (x)

x > 2... Note que 2 ∈ Domf .


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Ejemplo

limx→2

(x + 3) = 5

x f (x)

x < 2...

x f (x)



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Ejemplo

limx→2

(x + 3) = 5

x f (x)

x < 2...

x f (x)



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Ejemplo

limx→2

(x + 3) = 5

x f (x)

x < 2...

x f (x)



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Contenido






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x

y

y = f (x)

L

c

Definicion Formal

Dado ε > 0, existe δ > 0 tal que

0 < |x − c | < δ ⇒ |f (x)− L| < ε


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x

y

y = f (x)

L

c

Definicion Formal

Dado ε > 0, existe δ > 0 tal que

0 < |x − c | < δ ⇒ |f (x)− L| < ε


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Ejemplo

Demostrar quelimx→1

(2x + 1) = 3

Solucion:


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Ejemplo


(2x + 1) = 3

Solucion:Primero identificamos:

f (x) = 2x + 1

c = 1

L = 3

Sustituimos en la definicion:Dado ε > 0, debemos encontrar unδ > 0 tal que

0 < |x − 1| < δ ⇒ |2x + 1− 3| < ε


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Ejemplo


(2x + 1) = 3

Solucion:Para encontrar δ, simplificamos |f (x)− L|:

|f (x)− L| = |2x + 1− 3| = |2x − 2|= 2|x − 1|


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Ejemplo


(2x + 1) = 3

Solucion:Quedo |f (x)− L| = 2|x − 1| pero, |x − 1| < δ. Por lo tanto

|f (x)− L| = 2|x − 1| < 2δ = ε

Al tener del lado derecho una expresion sin la variable la igualamosa ε y despejamos δ:

2δ = ε⇒ δ = ε/2


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Ejemplo


(2x + 1) = 3

Solucion:Para concluir el ejercicio, escribimos:

dado ε > 0 si δ < ε/2 se cumple que

0 < |x − 1| < δ ⇒ |2x + 1− 3| < ε


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Ejemplo


(x2 − 3x + 1) = −1

Solucion:


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Ejemplo


(x2 − 3x + 1) = −1

Solucion:Identificamos:

f (x) = x2 − 3x + 1

c = 1

L = −1

Escribimos la definicion: Dado ε > 0,debemos hallar δ > 0 tal que

0 < |x−1| < δ ⇒ |x2−3x+1−(−1)| < ε


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Ejemplo


(x2 − 3x + 1) = −1

Solucion:

Simplificamos |f (x)− L|:

|f (x)− L| = |x2 − 3x + 1− (−1)|= |x2 − 3x + 2|= |x − 2||x − 1|

Nos quedo|f (x)−L| = |x−2||x−1|.Tenemos que,|x − 1| < δ, ası que

|f (x)− L| < |x − 2|δ


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Ejemplo


(x2 − 3x + 1) = −1

Solucion:Falta eliminar |x−2|. Para ello, le damos a δ cualquier valor positivo

y acotamos: si δ = 1 nos queda:

|x − 1| < 1 ⇒ −1 < x − 1 < 1

⇒ 0 < x < 2

⇒ −2 < x − 2 < 0


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Ejemplo


(x2 − 3x + 1) = −1

Solucion:De donde podemos concluir que

−2 < x − 2 < 2⇒ |x − 2| < 2

Sustituyendo:

|f (x)− L| < |x − 2|δ ⇒ |f (x)− L| < 2δ = ε

⇒ δ = ε/2


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Ejemplo


(x2 − 3x + 1) = −1

Solucion:Ası concluımos:

dado ε > 0 si δ < min{1, ε/2} se cumple que:

0 < |x − 1| < δ ⇒ |x2 − 3x + 1− (−1)| < ε


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Ejemplos: Lımites que no existen

x

y

y = f (x)

x = −2

321

limx→−2

f (x) NO existe

x

y

y = 1/x2

limx→0

1

x2NO existe


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Ejemplos: Lımites que no existen

x

y

y = f (x)

x = −2

321

limx→−2

f (x) NO existe

x

y

y = 1/x2

limx→0

1

x2NO existe


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Contenido






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Propiedades de Limites

Teorema (Propiedades)

1 Si f (x) = c , c ∈ R. Entonces limx→a f (x) = c .

2 limx→a

xn = an, ∀n ∈ Z+.

Si limx→a f (x) = L y limx→a g(x) = M. Entonces

3 limx→a(f (x)± g(x)) = L + M.

4 limx→a(f (x) · g(x)) = L ·M.

5 limx→a(c · f (x)) = c · L, c ∈ R.

6 limx→af (x)g(x) = L

M ,M 6= 0.

7 limx→an√

f (x) = n√

L, si n es par, L debe ser positivo.


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2 limx→a

xn = an, ∀n ∈ Z+.


3 limx→a(f (x)± g(x)) = L + M.

4 limx→a(f (x) · g(x)) = L ·M.

5 limx→a(c · f (x)) = c · L, c ∈ R.


M ,M 6= 0.

7 limx→an√

f (x) = n√



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2 limx→a

xn = an, ∀n ∈ Z+.


3 limx→a(f (x)± g(x)) = L + M.

4 limx→a(f (x) · g(x)) = L ·M.

5 limx→a(c · f (x)) = c · L, c ∈ R.


M ,M 6= 0.

7 limx→an√

f (x) = n√



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2 limx→a

xn = an, ∀n ∈ Z+.


3 limx→a(f (x)± g(x)) = L + M.

4 limx→a(f (x) · g(x)) = L ·M.

5 limx→a(c · f (x)) = c · L, c ∈ R.


M ,M 6= 0.

7 limx→an√

f (x) = n√



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2 limx→a

xn = an, ∀n ∈ Z+.


3 limx→a(f (x)± g(x)) = L + M.

4 limx→a(f (x) · g(x)) = L ·M.

5 limx→a(c · f (x)) = c · L, c ∈ R.


M ,M 6= 0.

7 limx→an√

f (x) = n√



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2 limx→a

xn = an, ∀n ∈ Z+.


3 limx→a(f (x)± g(x)) = L + M.

4 limx→a(f (x) · g(x)) = L ·M.

5 limx→a(c · f (x)) = c · L, c ∈ R.


M ,M 6= 0.

7 limx→an√

f (x) = n√



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2 limx→a

xn = an, ∀n ∈ Z+.


3 limx→a(f (x)± g(x)) = L + M.

4 limx→a(f (x) · g(x)) = L ·M.

5 limx→a(c · f (x)) = c · L, c ∈ R.


M ,M 6= 0.

7 limx→an√

f (x) = n√



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2 limx→a

xn = an, ∀n ∈ Z+.


3 limx→a(f (x)± g(x)) = L + M.

4 limx→a(f (x) · g(x)) = L ·M.

5 limx→a(c · f (x)) = c · L, c ∈ R.


M ,M 6= 0.

7 limx→an√

f (x) = n√



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Propiedades de Lımites

Teorema (Polinomios)

Si f es una funcion polinomial. Entonces

limx→a

f (x) = f (a).


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Ejemplos

Contenido






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Ejemplos

Ejemplos

Ejemplo

Calcular el lımite: limx→2

7.

Solucion: limx→2

7 = 7

Ejemplo

Calcular el lımite limx→6

x2.

Solucion:

limx→6

x2 = 62

= 36

Ejemplo


(x2 + x).

Solucion:

limx→2

(x2 + x) = (22 + 2)

= 6


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Ejemplos

Ejemplos

Ejemplo


7.

Solucion: limx→2

7 = 7

Ejemplo


x2.

Solucion:

limx→6

x2 = 62

= 36

Ejemplo


(x2 + x).

Solucion:

limx→2

(x2 + x) = (22 + 2)

= 6


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Ejemplos

Ejemplos

Ejemplo


7.

Solucion: limx→2

7 = 7

Ejemplo


x2.

Solucion:

limx→6

x2 = 62

= 36

Ejemplo


(x2 + x).

Solucion:

limx→2

(x2 + x) = (22 + 2)

= 6


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Ejemplos

Ejemplos

Ejemplo


7.

Solucion: limx→2

7 = 7

Ejemplo


x2.

Solucion:

limx→6

x2 = 62

= 36

Ejemplo


(x2 + x).

Solucion:

limx→2

(x2 + x) = (22 + 2)

= 6


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Ejemplos

Ejemplos

Ejemplo


7.

Solucion: limx→2

7 = 7

Ejemplo


x2.

Solucion:

limx→6

x2 = 62

= 36

Ejemplo


(x2 + x).

Solucion:

limx→2

(x2 + x) = (22 + 2)

= 6


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Ejemplos

Ejemplos

Ejemplo


7.

Solucion: limx→2

7 = 7

Ejemplo


x2.

Solucion:

limx→6

x2 = 62

= 36

Ejemplo


(x2 + x).

Solucion:

limx→2

(x2 + x) = (22 + 2)

= 6


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Ejemplos

Ejemplos

Ejemplo

Calcular el lımite limq→−1

(q3 − q + 1).

Solucion:

limq→−1

(q3 − q + 1) = (−1)3 − (−1) + 1

= 1


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Ejemplos

Ejemplos

Ejemplo

Calcular el lımite limq→−1

(q3 − q + 1).

Solucion:

limq→−1

(q3 − q + 1) = (−1)3 − (−1) + 1

= 1


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Ejemplos

Ejemplos

Ejemplo


[(x + 1)(x − 3)].

Solucion:

limx→2

[(x + 1)(x − 3)] = [(2 + 1)(2− 3)]

= (3)(−1)

= −3


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Ejemplos

Ejemplos

Ejemplo


[(x + 1)(x − 3)].

Solucion:

limx→2

[(x + 1)(x − 3)] = [(2 + 1)(2− 3)]

= (3)(−1)

= −3


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Ejemplos

Ejemplos

Ejemplo

Calcular el lımite limx→−3

(x3 + 4x2 − 7).

Solucion:

limx→−3

(x3 + 4x2 − 7) = (−3)3 + 4(−3)2 − 7

= 2


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Ejemplos

Ejemplos

Ejemplo


(x3 + 4x2 − 7).

Solucion:

limx→−3

(x3 + 4x2 − 7) = (−3)3 + 4(−3)2 − 7

= 2


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Ejemplos

Ejemplos

Ejemplo


2x2 + x − 3

x3 + 4.

Solucion:

limx→1

2x2 + x − 3

x3 + 4=

2(1)2 + (1)− 3

(1)3 + 4

=0

5= 0


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Ejemplos

Ejemplos

Ejemplo


2x2 + x − 3

x3 + 4.

Solucion:

limx→1

2x2 + x − 3

x3 + 4=

2(1)2 + (1)− 3

(1)3 + 4

=0

5= 0


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Ejemplos

Ejemplos

Ejemplo


3√

x2 + 7.

Solucion:

limx→3

3√

x2 + 7 =3√

32 + 7

= 23√

2


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Ejemplos

Ejemplos

Ejemplo


3√

x2 + 7.

Solucion:

limx→3

3√

x2 + 7 =3√

32 + 7

= 23√

2


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Ejemplos

Ejemplos

Ejemplo


x2 − 1

x + 1.

Solucion:


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Ejemplos

Ejemplos

Ejemplo


x2 − 1

x + 1.

Solucion:Evaluando en x = −1

limx→−1

x2 − 1

x + 1=

(−1)2 − 1

(−1) + 1

=0

0

Lo cual es una indeterminacion.


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Ejemplos

Ejemplos

Ejemplo


x2 − 1

x + 1.

Solucion:Para romper una indeterminacion 0

0 debemos factorizar y simplificar:

limx→−1

x2 − 1

x + 1= lim

x→−1

��(x + 1)(x − 1)

��x + 1rompemos la indet

= limx→−1

(x − 1) ahora, evaluamos

= (−1)− 1

= −2


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Ejemplos

Ejemplos

Ejemplo


x3 − 1

x − 1.

Solucion:


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Ejemplos

Ejemplos

Ejemplo


x3 − 1

x − 1.

Solucion:Evaluando en x = 1

limx→1

x3 − 1

x − 1=

(1)3 − 1

(1)− 1

=0

0

Nuevamente, indeterminado.


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Ejemplos

Ejemplos

Ejemplo


x3 − 1

x − 1.

Solucion:Para romper una indeterminacion 0

0 debemos factorizar y simplificar:Para ello debemos recordar la formula para factorizar la diferenciade cubos:

a3 − b3 = (a− b)(a2 + ab + b2)


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Ejemplos

Ejemplos

Ejemplo


x3 − 1

x − 1.

Solucion:Ahora factorizamos: a3 − b3 = (a− b)(a2 + ab + b2)

limx→1

x3 − 1

x − 1= lim

x→1

��(x − 1)(x2 + x + 1)

��x − 1rompemos la indet

= limx→1

(x2 + x + 1) evaluamos

= 12 + 1 + 1

= 3


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NotablesNotables

Contenido






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NotablesNotables

Lımites Notables

Teorema

1 limx→0

senx

x= 1

2 limx→0

1− cos x

x= 0

3 limx→0

1− cos x

x2=

1

2


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NotablesNotables

Lımites Notables

Teorema

Lımites notables que involucran la funcion exponencial

1 limx→0

(1 + x)1x = e

2 limx→0

ex − 1

x= 1


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NotablesNotables

Contenido






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NotablesNotables

Ejemplos

Ejemplo

Evaluar el lımite limx→0

sen2x

x.

Solucion:


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NotablesNotables

Ejemplos

Ejemplo


sen2x

x.


limx→0

sen2x

x=

sen0

0

=0

0

Indeterminado.


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NotablesNotables

Ejemplos

Ejemplo


sen2x

x.

Solucion:Esta vez, no podemos factorizar.Para romper una indeterminacion tratamos de que aparezca el lımite

notable limx→0

senx

x= 1:

Para ello debemos lo que hacemos es multiplicar y dividir la expresionpor 2:

sen2x

x=

2

2

senx

x= 2

sen2x

2x


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NotablesNotables

Ejemplos

Ejemplo


sen2x

x.

Solucion:Ası nos queda:

limx→0

sen2x

x= 2 lim

x→0

sen2x

2xhaciendo(y = 2x)

= 2 limy→0

seny

y= 2 · 1= 2


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Ind 0/0Trigonometricos

Contenido






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Ejemplos

Ejemplo


x − 3

x2 − 9.

Solucion:


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Ejemplos

Ejemplo


x − 3

x2 − 9.


limx→3

x − 3

x2 − 9=

3− 3

32 − 9

=0

0

Indeterminado.


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Ejemplos

Ejemplo


x − 3

x2 − 9.

Solucion:Factorizando

limx→3

x − 3

x2 − 9= lim

x→3

��x − 3

��(x − 3)(x + 3)

= limx→3

1

x + 3

=1

6


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Ejemplos

Ejemplo


x2 − 9x + 20

x2 − 3x − 4.

Solucion:


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Ejemplos

Ejemplo


x2 − 9x + 20

x2 − 3x − 4.


limx→4

x2 − 9x + 20

x2 − 3x − 4=

42 − 9(4) + 20

42 − 3(4)− 4

=0

0

Indeterminado.


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Ejemplos

Ejemplo


x2 − 9x + 20

x2 − 3x − 4.


limx→4

x2 − 9x + 20

x2 − 3x − 4= lim

x→4

��(x − 4)(x − 5)

��(x − 4)(x + 1)

= limx→3

x − 5

x + 1

=−2

4= −1

2


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Ejemplos

Ejemplo


x2 − 2x

x.

Solucion:


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Ejemplos

Ejemplo


x2 − 2x

x.


limx→0

x2 − 2x

x=

02 − 2(0)

0

=0

0

Indeterminado.


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Ejemplos

Ejemplo


x2 − 2x

x.


limx→0

x2 − 2x

x= lim

x→0

�x(x − 2)

�x= lim

x→0(x − 2)

= −2


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Ejemplos

Ejemplo

Evaluar el lımite limx→−3

x4 − 81

x2 + 8x + 15.

Solucion:


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Ejemplos

Ejemplo


x4 − 81

x2 + 8x + 15.

Solucion:Evaluando en x = −3

limx→−3

x4 − 81

x2 + 8x + 15=

(−3)4 − 81

(−3)2 + 8(−3) + 15

=0

0

Indeterminado.


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Ejemplos

Ejemplo


x4 − 81

x2 + 8x + 15.

Solucion:

limx→−3

x4 − 81

x2 + 8x + 15= lim

x→−3

(x2 − 9)(x2 + 9)

x2 + 8x + 15

= limx→−3

(x − 3)��(x + 3)(x2 + 9)

��(x + 3)(x + 5)

= limx→−3

(x − 3)(x2 + 9)

x + 5=

(−6)(18)

2= −54


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Ejemplos

Ejemplo


√x − 1

x − 1

Solucion:


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Ejemplos

Ejemplo


√x − 1

x − 1

Solucion:


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Ejemplos

Ejemplo


√x − 1

x − 1

Solucion:


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Contenido






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Trigonometricos

Ejemplo


sen4x

tan x

Solucion:


logo




Trigonometricos

Ejemplo


sen4x

tan x

Solucion:


logo




Trigonometricos

Ejemplo


sen4x

tan x

Solucion:


logo




Trigonometricos

Ejemplo


3x tan x

senx

Solucion:


logo




Trigonometricos

Ejemplo


3x tan x

senx

Solucion:


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Trigonometricos

Ejemplo


3x tan x

senx

Solucion:


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FIN


clase de Limite

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