2010 Claudio Alejandro Faúndez Rodríguez 30/11/2010 Unidad Didáctica Nivel Medio III: El Estudio de las Probabilidades
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2010
Claudio Alejandro Faúndez Rodríguez
30/11/2010
Unidad Didáctica Nivel Medio III: El Estudio de las Probabilidades
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Contenido
OBJETIVOS DE LA UNIDAD .............................................................................................................. 2
Objetivos Generales ........................................................................................................................ 2
Objetivos Específicos ...................................................................................................................... 3
CONTENIDOS..................................................................................................................................... 3
Cognitivos ........................................................................................................................................ 3
Procedimentales .............................................................................................................................. 4
Actitudinales .................................................................................................................................... 5
Clase 1 de 21: Un poco de historia ..................................................................................................... 6
Clase 2 de 21: Experimento aleatorio y sus posibles resultados ...................................................... 12
Clase 3 de 21: Frecuencia absoluta y relativa .................................................................................. 17
Clase 4 de 21: Equiprobabilidad ....................................................................................................... 23
Clase 5 de 21: Sucesos de un experimento aleatorio....................................................................... 27
Clase 6 de 21: Repasando los sucesos ............................................................................................ 30
Clase 7 de 21: Control 1 Unidad del Estudio de las Probabilidades ................................................. 34
Clase 8 de 21: Probabilidad clásica .................................................................................................. 36
Clase 9 de 21: Probabilidad experimental ........................................................................................ 40
Clase 10 de 21: Continuando con las probabilidades ....................................................................... 44
Clase 11 de 21: Variables ................................................................................................................. 48
Clase 12 de 21: Probabilidad de sucesos ......................................................................................... 53
Clase 13 de 21: Relaciones entre sucesos ....................................................................................... 57
Clase 14 de 21: Sigamos con las probabilidades de sucesos .......................................................... 61
Clase 15 de 21: Probabilidad de diversos sucesos .......................................................................... 65
Clase 16 de 21: Control 2 Unidad del Estudio de las Probabilidades ............................................... 69
Clase 17 de 21: Regla del producto .................................................................................................. 72
Clase 18 de 21: Permutaciones ........................................................................................................ 75
Clase 19 de 21: Variaciones ............................................................................................................. 78
Clase 20 de 21: Combinaciones ....................................................................................................... 81
Clase 21 de 21: Control 3 Unidad del Estudio de las Probabilidades ............................................... 84
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Unidad Didáctica: El Estudio de las
Probabilidades
Tercer Año de Enseñanza Media
OBJETIVOS DE LA UNIDAD
Objetivos Generales
Distinguir con claridad que la palabra probabilidad es un término que,
perteneciendo al vocabulario corriente de las personas, se utiliza tanto para indicar
una creencia subjetiva como para realizar una estimación empírica, o para
designar una expresión teórica bien precisa.
Comprender y afianzar los conceptos de probabilidad y probabilidad condicionada
para preparar el trabajo con nociones de estadística inferencial en 4º año medio.
Construir e interpretar tablas y gráficos estadísticos, brindando una excelente
oportunidad para incentivar a los(as) estudiantes a iniciar debates respecto a
temas con incidencia en los aspectos valóricos, tales como las responsabilidades
en los accidentes de tránsito, la relevancia de la diversidad a través de datos
relativos a los pueblos originarios, la frecuencia y distribución de los incendios
forestales en Chile y sus consecuencias, entre otros.
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Objetivos Específicos
Reconocer e interpretar variables aleatorias de acuerdo a los contextos en que se
presentan.
Conocer la "ley de los grandes números" y relacionar la frecuencia relativa con la
probabilidad de un suceso.
Distinguir entre sucesos equiprobables y no equiprobables.
Resolver problemas que requieren el cálculo de probabilidad condicionada en
situaciones sencillas.
Distinguir cuando la situación problemática se resuelve con una permutación,
variación o combinación.
CONTENIDOS
Cognitivos
Nociones de probabilidad.
o Experimento aleatorio y espacio muestral.
o Frecuencia absoluta, relativa y porcentual.
o Equiprobabilidad.
o Suceso elemental, compuesto.
Probabilidades y probabilidades.
o Probabilidad clásica, experimental y subjetiva.
o Regla de Laplace.
o Variable aleatoria.
o Sucesos compatibles, mutuamente excluyentes e independientes.
o Probabilidad condicionada.
Combinatoria básica.
o Regla del producto.
o Permutaciones, variaciones y combinaciones.
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Procedimentales
Nociones de probabilidad.
o Atienden explicaciones escritas de conceptos relacionados con el capítulo,
presentes en diversos fenómenos cotidianos.
o Construyen tablas de frecuencias absolutas, relativas, porcentuales y
acumuladas, a partir de datos de experimentos aleatorios.
o Interpretan tablas de resultados de experimentos aleatorios y calculan
probabilidades de ocurrencia de sucesos.
o Modelan experimentos aleatorios haciendo uso de simulaciones
computacionales simples.
o Aplican los conceptos a situaciones concretas.
o Resuelven situaciones problemáticas (ejercicios propuestos en el texto).
Probabilidades y probabilidades.
o Atienden explicaciones escritas de conceptos relacionados con el capítulo,
presentes en diversos fenómenos cotidianos.
o Aplican los conceptos a situaciones concretas.
o Resuelven problemas que requieran el cálculo de probabilidad
condicionada en situaciones sencillas.
o Resuelven situaciones problemáticas (ejercicios propuestos en el texto).
Combinatoria básica.
o Atienden explicaciones escritas de conceptos relacionados con el capítulo,
presentes en diversos fenómenos cotidianos.
o Aplican los conceptos a situaciones concretas.
o Resuelven situaciones problemáticas (ejercicios propuestos en el texto).
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Actitudinales
Aumenta el interés y la capacidad de conocer la realidad y utilizar el conocimiento,
para su propio crecimiento y autoafirmación, permitiéndoles resolver desafíos con
grado de dificultad creciente, valorando sus propias capacidades.
Generan un desarrollo en el pensamiento, en especial, relativo a habilidades de
investigación y de modelamiento matemático de situaciones y fenómenos, a través
de las actividades que suponen selección y organización de información y datos;
las de resolución de problemas y de pensamiento lógico, a través de la aplicación
de leyes y principios, por un lado, y de generalización a partir de relaciones
observadas, por otro. Puesto que el desarrollo del pensamiento probabilístico
contribuye a tomar decisiones fundamentales en situaciones sociales.
Disponen de un desarrollo de actitudes de rigor y perseverancia así como de
flexibilidad, originalidad y asunción del riesgo, y las capacidades de recibir y
aceptar consejos y críticas, aumentando su desarrollo personal y su entorno social
ligados al trabajo.
Amplían su capacidad de juicio, y la aplicación de criterios morales, a problemas
económicos, del medio ambiente y sociales, al resolver matemáticamente las
actividades propuestas en la unidad.
Perciben la matemática como una disciplina que recoge y busca respuestas a
desafíos propios o que provienen de otros ámbitos.
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Clase a clase
Clase 1 de 21: Un poco de historia
Objetivos:
Objetivo General: conocer los fundamentos que iniciaron el estudio de las
probabilidades, a través de la revisión de la historia de los juegos de azar.
Objetivos Específicos:
Fomentar el aprendizaje histórico y epistemológico mediante la lectura de un
fragmento histórico y el análisis de árboles resumen de la historia tanto de
probabilidades como de azar.
Promover el aprendizaje individual, con textos y actividades complementarias, que
involucran la lectura y comprensión de textos, además de resúmenes
bibliográficos.
Desarrollar un análisis crítico de la información presentada, impulsando el
descubrimiento, a través de la exploración, de los orígenes de las probabilidades.
Además de realizar una etapa de comentarios y reflexión.
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Contenidos:
Procedimentales:
Conocen los orígenes del estudio de las probabilidades, a través de la revisión
histórica y epistemológica de diversos matemáticos relacionados con este tema.
Identifican diversos juegos de azar presentes a lo largo de la historia del ser
humano, además de diseñar un cronograma basado en el árbol histórico
presentado.
Realizan un aprendizaje autónomo a través de la lectura complementaria y el
desarrollo de diversas actividades de investigación biográfica de algunos
matemáticos relacionados con los orígenes del estudio de las probabilidades.
Actitudinales:
Aumenta el interés y la capacidad de conocer la realidad y utilizar el conocimiento,
para su propio crecimiento y autoafirmación.
Fortalecen la confianza y el respeto al emitir sus opiniones frente a sus demás
compañeros, durante las instancias desarrolladas en donde los alumnos pueden
participar en clases.
Perciben el estudio de la probabilidad como una rama de la matemática que
recoge y busca respuestas a desafíos propios o que provienen de diversos
ámbitos.
Preparación de Materiales:
Se diseñarán diversas diapositivas con la información necesaria para desarrollar las
situaciones propuestas en la clase.
Además se proporcionarán dos fichas históricas, una relacionada con el origen de las
probabilidades y otra respecto de la presencia del azar a lo largo de la historia.
Finalmente, tras realizar diversas actividades de indagación, se formalizará el concepto de
azar y se reforzará que éste se encuentra presenta en diversos juegos así como también
en el accionar diario del ser humano.
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Desde los juegos de azar a la teoría matemática
“Durante el siglo XVII aparecieron los primeros problemas relativos a los juegos de dados.
Para los franceses de esa época, los juegos de azar constituían uno de sus mayores
entretenimientos, pero las apuestas fueron aumentando y surgieron jugadores
empedernidos que querían cuantificar de alguna forma la ocurrencia de un suceso. Uno
de estos jugadores fue Antoine Gombaud, Caballero De Meré, un miembro de la nobleza
francesa, apasionado por los juegos de azar y las apuestas, quien le escribió al
matemático a Blas Pascal, consultándole acerca de estos temas, a su vez Pascal le
escribió a Fermat para discutir acerca de los problemas propuestos por De Meré,
empezando así el desarrollo de la teoría de las probabilidades.
Pero la aplicación de las probabilidades no abarcaron solamente a los juegos de dados,
como muchas otras ramas de la Matemática, el desarrollo de la teoría de probabilidades
se vio estimulado por la variedad de sus aplicaciones, lo que, a su vez, provocó la
extensión de sus campos de aplicación, que recorren la estadística, la genética, la
psicología, la economía, la ingeniería, la física subatómica, la mecánica estadística y la
predicción del tiempo, por mencionar algunos”
Situación 1: basándote en el texto, reúnete en grupo y respondan las siguientes
preguntas.
a) ¿En que otros juegos está presente el azar? Haz una lista.
b) ¿Practicas algún juego que involucre el azar? Describe brevemente el
funcionamiento de ese juego.
c) ¿Conocías alguno de estos personajes? Realiza una breve biografía de ellos
(años de nacimiento y fallecimiento, aportes a la matemática)
d) ¿En que situaciones de la vida cotidiana usamos la probabilidad?
Revisa las páginas 190 y 191 del libro para complementar tu aprendizaje
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Situación 2: ve la historia de las probabilidades, diseña un cronograma y pasa los datos.
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Usamos la palabra azar para referirmos a acontecimientos
fortuitos, imprevisibles, casuales
En los juegos de azar más que una estrategia, lo que se necesita para
ganar es “suerte”
La lotería, las ruletas, los juegos con naipes y lanzar los dados son algunos ejemplos de
juegos de azar
Azar viene del vocablo árabe zahr, la aromática flor del naranjo, que se
solía pintar en una de las caras de un dado
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Situación 3: observa la historia del azar, diseña un cronograma y pasa los datos.
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Clase 2 de 21: Experimento aleatorio y sus posibles resultados
Objetivos:
Objetivo General: reconocer e interpretar variables aleatorias de acuerdo a los
contextos en que se presentan.
Objetivos Específicos:
Comprender descripciones de los conceptos respectivos a experimento aleatorio y
espacio muestral, a través de los diferentes ejemplos y situaciones dispuestas en
la clase.
Conocer y aplicar los conceptos de experimento aleatorio y espacio muestral a
situaciones concretas presentes en las situaciones a desarrollar.
Participar en discusiones grupales con la finalidad de desarrollar la capacidad de
de recibir y aceptar críticas y consejos.
Aumentar el interés y la capacidad de conocer la realidad y usar el conocimiento,
basándose en la identificación y modificación de los errores cometidos al
desarrollar diferentes actividades, en pro de su crecimiento y autoafirmación.
Contenidos:
Conceptuales: experimento aleatorio, espacio muestral.
Procedimentales:
Comprenden las explicaciones descritas, de los conceptos relacionados con
experimento aleatorio y espacio muestral, presentes en diversos fenómenos
cotidianos.
Aplican los conceptos, relacionados con lo que es un experimento aleatorio y
espacio muestral, a situaciones concretas, propuestas durante la realización de la
clase.
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Resuelven situaciones problemáticas referentes a ejercicios propuestos en la
clase, éstas son resueltas individual y grupalmente, para que finalmente sean
formalizadas en conjunto.
Actitudinales:
Participan en discusiones grupales, desarrolladas al resolver diversas situaciones,
desarrollando la capacidad de recibir y aceptar críticas y consejos.
Reflexionan sobre los errores cometidos al desarrollar diferentes actividades, para
identificarlo y modificarlo, aumentando el interés y la capacidad de conocer la
realidad y utilizar el conocimiento, en pro de su crecimiento y autoafirmación.
Comparten la idea de que los contenidos de la unidad corresponden a
conocimientos presentes en su vida diaria que atienden problemas del medio
ambiente, económicos y sociales, donde es posible aplicar juicios y criterios
morales.
Generan un desarrollo en el pensamiento relativo a habilidades de investigación y
de modelamiento matemático de situaciones y fenómenos, a través de la
resolución de problemas y de pensamiento lógico, a través de la aplicación de
métodos. Puesto que el desarrollo del pensamiento probabilístico contribuye a
tomar decisiones fundamentales en situaciones sociales.
Preparación de Materiales:
Se diseñarán diferentes diapositivas con la información pertinente a la clase, además de
las diversas situaciones a tratar.
Se utilizará el plumón y la pizarra con la finalidad que los alumnos puedan plasmar los
resultados y conclusiones obtenidas al desarrollar las situaciones propuestas.
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Situación 1: resuelve individualmente lo siguiente.
Consideremos el experimento aleatorio consistente en lanzar tres
veces una moneda al aire, y registrar cada vez el resultado obtenido.
Encuentra el espacio muestral registrando los resultados posibles
utilizando un diagrama de árbol.
Situación 2: consideremos el experimento aleatorio que consiste en extraer dos bolitas
de una caja que contiene 4 bolitas verdes y 3 rojas. Encuentra el espacio muestral de
acuerdo a la siguiente tabla.
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es aquel cuyo resultado, al ser repetido tantas veces como se desee en
condiciones similares, no puede ser predicho con certeza
por ejemplo, al lanzar una moneda al aire, los resultados posibles son cara o
sello, pero no sabemos de antemano cuál de ellos va a salir
al hacer rodar un dado de seis caras, el resultado puede ser que cualesquiera
de las caras que quede apuntando hacia arriba, pero no se tiene certeza sobre
cuál de ellas será
se denomina E al conjunto formado por todos los posibles resultados de un
experimento aleatorio
en el caso del lanzamiento de una moneda el espacio muestral es
E = {cara, sello}
cuando hacemos rodar un dado de seis caras es E = {1, 2, 3, 4, 5, 6}
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Situación 3: reúnete con un compañero y describan el
espacio muestral de los siguientes experimentos
aleatorios:
a) Sacar al azar una ficha de una caja que contiene
9 fichas numeradas del 1 al 9.
b) Hacer rodar dos dados y anotar la suma de los
puntos obtenidos (usa la tabla anexa si lo
deseas).
Responder al azar dos preguntas, cuyas respuestas
posibles son verdaderas o falsas.
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Clase 3 de 21: Frecuencia absoluta y relativa
Objetivos:
Objetivo General: reconocer y utilizar tanto la frecuencia relativa como la
frecuencia absoluta de acuerdo a los contextos en que se presentan, además de los
conceptos que están ligados a este conocimiento.
Objetivos Específicos:
Comprender los conceptos relativos a frecuencia relativa y frecuencia absoluta, a
través de los diferentes ejemplos y situaciones dispuestas en la clase.
Interpretar las diferentes tablas presentadas y desarrolladas durante el transcurso
de la clase, tanto las hechas por los alumnos como por las expresadas por el
profesor.
Desarrollar la capacidad de recibir y aceptar críticas y consejos durante la
participación de los estudiantes en discusiones.
Ampliar el interés y la capacidad de comprender la realidad y utilizar el
conocimiento, fundamentándose en la identificación y modificación de los errores
cometidos al hacer diferentes actividades, en pro de su progresión y
autoafirmación.
Contenidos:
Conceptuales: frecuencia absoluta, relativa y porcentual.
Procedimentales:
Comprenden las explicaciones descritas, de los conceptos relacionados con
frecuencias, tanto relativas como absolutas, presentes en diversos fenómenos
cotidianos.
Construyen tablas de frecuencias absolutas, relativas, porcentuales y acumuladas,
a partir de datos de experimentos aleatorios, que se presentan en problemas que
presentan cotidianamente los alumnos.
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Aplican los conceptos, relacionados con frecuencia absoluta, relativa y porcentual,
a situaciones concretas, propuestas durante la realización de la clase.
Resuelven situaciones problemáticas referentes a ejercicios propuestos en la
clase, éstas son resueltas individual y grupalmente, para que finalmente sean
formalizadas en conjunto.
Actitudinales:
Disponen de un desarrollo de actitudes de rigor y perseverancia, aumentando su
desarrollo personal y el del entorno social ligado a su trabajo.
Participan en discusiones grupales, desarrolladas al resolver diversas situaciones,
desarrollando la capacidad de recibir y aceptar críticas y consejos.
Reflexionan sobre los errores cometidos al desarrollar diferentes actividades, para
identificarlo y modificarlo, aumentando el interés y la capacidad de conocer la
realidad y utilizar el conocimiento, en pro de su crecimiento y autoafirmación.
Amplían su capacidad de juicio, y la aplicación de criterios morales, a problemas
económicos, del medio ambiente y sociales, al resolver matemáticamente las
actividades propuestas en la clase.
Construyen el pensamiento crítico a través del cuestionamiento de las
conclusiones obtenidas durante la resolución de las situaciones propuestas.
Perciben la matemática como una disciplina que recoge y busca respuestas a
desafíos propios o que provienen de otros ámbitos.
Preparación de Materiales:
Se diseñarán diferentes diapositivas con la información pertinente a la clase, además de
las diversas situaciones a tratar.
Se utilizará el plumón y la pizarra para que los alumnos puedan anotar los resultados y
conclusiones obtenidas al desarrollar las situaciones propuestas, en las tablas
correspondientes.
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Situación 1: resuelve individualmente la siguiente problemática relacionada con las notas
de un curso universitario, luego comparemos los resultados.
En un curso universitario al que asisten 10 estudiantes, la primera evaluación arrojó las
siguientes notas:
a) Confecciona una tabla de frecuencias
(utiliza la tabla anexa si lo deseas).
b) ¿Cuántos estudiantes han obtenido una
nota igual a 6?
c) ¿Cuál es la frecuencia relativa de esa
nota?
d) Expresa en porcentaje la frecuencia
relativa encontrada en c).
e) Construye un gráfico de barras,
ubicando en el eje x las notas obtenidas
por los(as) alumnos(as) y en el eje y los
valores de la frecuencia relativa.
Los resultados de un experimento se pueden
registrar y el experimento se puede
repetir bajo las mismas condiciones todas las veces que se desee
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La frecuencia absoluta de un resultado es el número de veces que ocurre ese resultado
La frecuencia relativa de un resultado es el
cociente entre su frecuencia absoluta y el
total de resultados observados
Si se hace rodar 500 veces un dado y en 37 ocasiones se obtiene un 4
La frecuencia absoluta de 4 es f = 37
Es la frecuencia relativa de 4
La frecuencia relativa también se puede expresar como frecuencia
relativa porcentual
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Situación 2: resuelve en grupo los siguientes problemáticas, luego comparemos los
resultados.
1. Lanza una moneda al aire 50 veces y completa la siguiente tabla de frecuencia:
2. Se reunieron 10 estudiantes y cada uno(a) hizo 50 lanzamientos de una moneda y
el experimento consistía en registrar el número de veces en las que cada uno
obtenía “cara”. La tabla resume los resultados obtenidos.
a) ¿Cómo se obtienen los valores de la tercera, cuarta y quinta columna?
b) ¿Cuántos lanzamientos se hicieron en total?
c) Explica a qué corresponde el valor 0,504 en la última línea.
d) Grafica la frecuencia relativa acumulada en función del número de
lanzamientos acumulados.
e) Comenta la forma de la gráfica al unir los puntos obtenidos.
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Situación 3: realiza el siguiente trabajo de investigación, organizándote
en un grupo de tres compañeros(as) para estudiar las tendencias del
curso en sus preferencias deportivas.
a) Selecciona los siguientes deportes: fútbol, básquetbol, ping pong.
b) Considera las siguientes posibilidades de ámbitos donde practicar tales
deportes: en el liceo como parte de las actividades deportivas, en los recreos,
en los barrios donde viven los(as) estudiantes.
c) Formulen una encuesta con esas preguntas y tabulen los resultados para
mujeres, para varones y para el total de los(as) estudiantes.
d) Analicen los siguientes temas:
i. ¿En qué ámbito los varones tienen más inclinación por el fútbol?
ii. ¿En qué deporte las mujeres tienen más preferencias que los hombres
y en qué ámbitos?
iii. ¿Cuál es el deporte preferido por los varones en los recreos? ¿Y por
las mujeres?
iv. ¿Se pueden proyectar estos resultados a otros cursos? ¿A otras
ciudades?
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Clase 4 de 21: Equiprobabilidad
Objetivos:
Objetivo General: reconocer e identificar el concepto de equiprobabilidad, de
acuerdo a los contextos en que se presenta, distinguiendo entre sucesos equiprobables y
no equiprobables.
Objetivos Específicos:
Comprender los conceptos relativos a equiprobabilidad, a través de los diferentes
ejemplos y situaciones dispuestas en la clase.
Fomentar la participación en clase, con la finalidad de desarrollar la capacidad de
recibir y aceptar críticas y consejos durante la intervención de los estudiantes en
las discusiones.
Acrecentar el interés y la capacidad de comprender la realidad de los estudiantes,
fundamentándose en la identificación y modificación de los errores cometidos al
trabajar en las diferentes actividades, en pro de su progresión y autoafirmación.
Contenidos:
Conceptuales: sucesos equiprobables y no equiprobables.
Procedimentales:
Identificar si los resultados de algunos experimentos aleatorios son equiprobables
o son no equiprobables, dependiendo de la situación planteada que refleja un
fenómeno cotidiano.
Resuelven situaciones problemáticas referentes a ejercicios propuestos en la
clase, éstas son resueltas individual y grupalmente, para que finalmente sean
formalizadas en conjunto.
Aplican los conceptos, relacionados con los sucesos de un experimento aleatorio,
a situaciones concretas, propuestas durante la realización de la clase.
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Actitudinales:
Amplían su capacidad de juicio, y la aplicación de criterios morales, a problemas
económicos, del medio ambiente y sociales, al resolver matemáticamente las
actividades propuestas en la clase.
Disponen de un desarrollo de actitudes de rigor y perseverancia, aumentando su
desarrollo personal y el del entorno social ligado a su trabajo.
Participan en discusiones grupales, desarrolladas al resolver diversas situaciones,
desarrollando la capacidad de recibir y aceptar críticas y consejos.
Construyen el pensamiento crítico a través del cuestionamiento de las
conclusiones obtenidas durante la resolución de las situaciones propuestas.
Preparación de Materiales:
Se utilizará el plumón y la pizarra para que los alumnos puedan anotar los resultados y
conclusiones obtenidas al desarrollar las situaciones propuestas, para así poder comparar
las resoluciones de cada alumno o grupo.
Se diseñarán diferentes diapositivas con la información pertinente a la clase, además de
las diversas situaciones a tratar, para generar más tiempo de actividades.
Situación 1: reúnete con tu compañero y decide si los resultados son equiprobables, en
cada uno de los siguientes experimentos aleatorios:
a) Se extrae una bolita al azar de una bolsa que
contiene 50 bolitas negras, 50 blancas y 50 grises
todas del mismo tamaño e indistinguibles al tacto.
b) En una bolsa hay 50 bolitas negras, 25 blancas y
10 grises de la cual se saca una bolita al azar.
c) Se selecciona al azar una carta de una baraja
española, y se registra si la carta es numerada o
es figura (sota, caballo o rey), sin importar la pinta.
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Situación 2: en qué caso(s) los resultados de cada experimento son equiprobables.
Justifica tus respuestas.
a) Se elige un(a) estudiante al azar y se anota su sexo, en un colegio donde hay 750
estudiantes matriculados, de los cuales 500 son del sexo femenino.
b) Se lanzan dos dados (no trucados) y se registra la suma que se obtiene al sumar
sus puntos.
c) Se abre la guía telefónica residencial en una página al azar y se registra la letra
inicial de los apellidos de las personas que aparecen en la página.
• Si al realizar un experimento se verifica que las frecuencias relativas tienden a estabilizarse en valores parecidos para los diferentes resultados posibles de obtener
Equiprobable
• lanzar una moneda
• hacer rodar un dado
• dejar caer una bolita en una ruleta (dividida en partes iguales) que gira
Por ejemplo
En la medida que los objetos aludidos
estén funcionando normalmente
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• Si las frecuencias relativas de los diferentes resultados posibles
tienden a estabilizarse en valores notoriamente diferentes entre
ellas
No equiprobables
• un dado trucado (o cargado)
• una moneda defectuosa
• una ruleta dividida en partes de diferentes áreas
Por ejemplo
Moneda defectuosa
Dado truncado
Ruleta dividida en partes de diferentes
áreas
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Clase 5 de 21: Sucesos de un experimento aleatorio
Objetivos:
Objetivo General: reconocer e identificar los sucesos de un experimento aleatorio,
de acuerdo a los contextos en que se presenta, distinguiendo entre suceso elemental y
suceso compuesto.
Objetivos Específicos:
Comprender los conceptos relativos a suceso elemental y compuesto, a través de
los diferentes ejemplos y situaciones dispuestas en la clase.
Fomentar la participación en clase, con la finalidad de desarrollar la capacidad de
recibir y aceptar críticas y consejos durante la intervención de los estudiantes en
las discusiones.
Acrecentar el interés y la capacidad de comprender la realidad de los estudiantes,
fundamentándose en la identificación y modificación de los errores cometidos al
trabajar en las diferentes actividades, en pro de su progresión y autoafirmación.
Contenidos:
Conceptuales: sucesos elemental y compuesto.
Procedimentales:
Diferenciar los sucesos elementales de los compuestos, dependiendo de la
situación planteada que refleja un fenómeno cotidiano y cercano a los alumnos.
Resuelven situaciones problemáticas referentes a ejercicios propuestos en la
clase, éstas son resueltas individual y grupalmente, para que finalmente sean
formalizadas en conjunto.
Aplican los conceptos, relacionados con los sucesos elementales y compuestos, a
situaciones concretas, propuestas durante la realización de la clase.
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Actitudinales:
Participan en discusiones grupales, desarrolladas al resolver diversas situaciones,
desarrollando la capacidad de recibir y aceptar críticas y consejos.
Amplían su capacidad de juicio, y la aplicación de criterios morales, a problemas
económicos, del medio ambiente y sociales, al resolver matemáticamente las
actividades propuestas en la clase.
Construyen el pensamiento crítico a través del cuestionamiento de las
conclusiones obtenidas durante la resolución de las situaciones propuestas.
Disponen de un desarrollo de actitudes de rigor y perseverancia, aumentando su
desarrollo personal y el del entorno social ligado a su trabajo.
Preparación de Materiales:
Se utilizará el plumón y la pizarra para que los alumnos puedan anotar los resultados y
conclusiones obtenidas al desarrollar las situaciones propuestas, para así poder comparar
las resoluciones de cada alumno o grupo.
Se diseñarán diferentes diapositivas con la información pertinente a la clase, además de
las diversas situaciones a tratar, para generar más tiempo de actividades.
Situación 1: resuelve individualmente en tu cuaderno la siguiente
problemática de un alumno como tú (utiliza la tabla anexa si lo deseas).
Un estudiante responde al azar a dos preguntas, cuyas alternativas de
respuesta son verdadero o falso.
a) Encuentra el espacio muestral.
b) Escribe el suceso “responder verdadero a la primera pregunta”.
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Situación 2: un turista recorre una ciudad doblando a la izquierda o doblando a la
derecha al azar, cada dos esquinas. Después de completar cuatro virajes, se detiene a
sacar fotografías.
a) Escribe el espacio muestral de uno de estos episodios.
b) Escribe el suceso “doblar a la izquierda solo en una oportunidad”.
c) Escribe el suceso “doblar a la derecha al menos en 3 oportunidades”.
Cada uno de los resultados que conforman el espacio muestral
O bien, "obener cara" al lanzar una moneda al aire
Subconjunto del espacio muestral, formado por sucesos
elementales
Por ejemplo, al tirar un dado un suceso sería que saliera par, otro, obtener múltiplo de 3
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Clase 6 de 21: Repasando los sucesos
Objetivos:
Objetivo General: reconocer e identificar los sucesos de un experimento aleatorio,
de acuerdo a los contextos en que se presenta.
Objetivos Específicos:
Comprender los conceptos relativos a los sucesos de un experimento aleatorio, a
través de los diferentes ejemplos y situaciones dispuestas en la clase.
Fomentar la participación en clase, con la finalidad de desarrollar la capacidad de
recibir y aceptar críticas y consejos durante la intervención de los estudiantes en
las discusiones.
Acrecentar el interés y la capacidad de comprender la realidad de los estudiantes,
fundamentándose en la identificación y modificación de los errores cometidos al
trabajar en las diferentes actividades, en pro de su progresión y autoafirmación.
Contenidos:
Conceptuales: sucesos imposible, seguro, elemental y compuesto.
Procedimentales:
Aplican los conceptos, relacionados con los sucesos de un experimento, a
situaciones concretas, propuestas durante la realización de la clase.
Identificar los diferentes sucesos de un experimento aleatorio, dependiendo de la
situación planteada que refleja un fenómeno cotidiano y cercano a los alumnos.
Resuelven situaciones problemáticas referentes a ejercicios propuestos en la
clase, éstas son resueltas individual y grupalmente, para que finalmente sean
formalizadas en conjunto.
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Actitudinales:
Construyen el pensamiento crítico a través del cuestionamiento de las
conclusiones obtenidas durante la resolución de las situaciones propuestas.
Participan en discusiones grupales, desarrolladas al resolver diversas situaciones,
desarrollando la capacidad de recibir y aceptar críticas y consejos.
Amplían su capacidad de juicio, y la aplicación de criterios morales, a problemas
económicos, del medio ambiente y sociales, al resolver matemáticamente las
actividades propuestas en la clase.
Disponen de un desarrollo de actitudes de rigor y perseverancia, aumentando su
desarrollo personal y el del entorno social ligado a su trabajo.
Preparación de Materiales:
Se diseñarán diferentes diapositivas con la información pertinente a la clase, además de
las diversas situaciones a tratar, para generar más tiempo de actividades.
Se utilizará el plumón y la pizarra para que los alumnos puedan anotar los resultados y
conclusiones obtenidas al desarrollar las situaciones propuestas, para así poder comparar
las resoluciones de cada alumno o grupo.
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• Suceso sin resultados, es decir, un evento con probabilidad de ocurrencia nula
• Ejemplo: “Obtener 7” al hacer rodar un dado normal de seis caras
Suceso imposible
• Es un suceso con probabilidad 1
• Ejemplo: “Obtener cara o sello” al lanzar una moneda al aire
Suceso seguro
• Hace referencia a cada uno de los resulatdos que conforman el espacio muestral
• Ejemplo: "Sacar 5" al tirar un dado de seis caras
Suceso elemental
• Es un subconjunto del espacio muestral, formado por sucesos elementales
• Ejemplo: "Obtener un número impar" al hacer girar la manecilla de una ruleta con números del 1 al 30
Suceso compuesto
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Situación 1: en un experimento que consiste en hacer rodar dos dados de seis caras y
registrar la suma de los puntos obtenidos se han definido los sucesos A, B, C, D y E.
Escribe el conjunto de resultados que define a cada uno de ellos y anota qué tipo de
suceso se trata.
a) A: “la suma es igual a 2”
b) B: “la suma es igual a 1”
c) C: “la suma es número primo”
d) D: “la suma es un número entre 2 y 12”
e) E: “la suma es menor o igual que 9”
Situación 2: se extrae una bola de una urna que contiene 10 bolas numeradas con los
números
Define en este experimento un suceso:
a) Seguro
b) Imposible
c) Elemental
d) Compuesto
OJO: se ha establecido una diferencia entre suceso y resultado
Por ejemplo, al lanzar un dado, el suceso A: “que salga un número
par” = {2, 4, 6}. Si al lanzar el dado el resultado es 2, significa que
el suceso A ocurre, mientras que si al lanzar el dado el resultado
es 3, significa que el suceso A no ocurre
34
Clase 7 de 21: Control 1 Unidad del Estudio de las Probabilidades
Objetivos:
Objetivo General: tomar las determinaciones adecuadas para asignar una
calificación a cada alumno que manifieste la medida de objetivos adquiridos en los
contenidos abordados hasta el momento en la unidad didáctica.
Objetivos Específicos:
Determinar si el alumno posee los niveles mínimos necesarios para abordar los
siguientes contenidos de la unidad didáctica.
Diagnosticar las dificultades de aprendizaje de los alumnos e indicar los resultados
obtenidos al final del aprendizaje.
Preparación de Materiales:
Se diseñará una evaluación de acuerdo a las diferentes situaciones estudiadas durante
las clases.
Situación 1: una caja contiene miles de clavos, algunos de los
cuales son defectuosos. Si la probabilidad de extraer al azar
uno defectuoso es 0,02, calcula cuál es la probabilidad de que:
a) al extraer uno al azar no sea defectuoso
b) al extraer dos al azar ambos sean defectuosos
c) al extraer dos al azar uno sea defectuoso y el otro no
Situación 2: en una bolsa hay 1.000 bolas numeradas de 1
a 1.000. Si se extrae una bola al azar, ¿cuál es la
probabilidad de que la suma de sus cifras sea 7?
35
Situación 3: en un librero hay 5 libros de Biología, 3 de
Química y 4 de Física. Determina de cuántas maneras
diferentes pueden disponerse en el librero si:
a) no hay un orden preestablecido
b) todos los de la misma disciplina deben estar siempre
juntos
Situación 4: hay un banco de preguntas constituido por 30 de
Biología, 25 de Química, 35 de Física y 10 de Matemática.
Determina la probabilidad de que al elegir 5 preguntas al azar
estas correspondan a:
a) Biología
b) Física
c) Química
d) Matemática
36
Clase 8 de 21: Probabilidad clásica
Objetivos:
Objetivo General: comprender y afianzar los conceptos de probabilidad a través de
la resolución de diversos problemas que requieren el cálculo de probabilidad en
situaciones sencillas.
Objetivos Específicos:
Comprender los conceptos relativos a probabilidad clásica, además de la regla de
Laplace, a través de los diferentes ejemplos y situaciones dispuestas en la clase.
Calcular la probabilidad de que un determinado sucesos ocurra, de acuerdo a
situaciones concretas presentes en los problemas a desarrollar.
Fomentar la participación en clase, con la finalidad de desarrollar la capacidad de
recibir y aceptar críticas y consejos durante la intervención de los estudiantes en
las discusiones.
Acrecentar el interés y la capacidad de comprender la realidad de los estudiantes,
fundamentándose en la identificación y modificación de los errores cometidos al
trabajar en las diferentes actividades, en pro de su progresión y autoafirmación.
Contenidos:
Conceptuales: probabilidad clásica y regla de Laplace.
Procedimentales:
Reconocen explicaciones expuestas de conceptos relacionados con probabilidad,
presentes en diversos fenómenos cotidianos y calculan la probabilidad de
ocurrencia de estos sucesos.
Resuelven situaciones problemáticas referentes a ejercicios propuestos en la
clase, éstas son resueltas individual y grupalmente, para que finalmente sean
formalizadas en conjunto.
37
Aplican los conceptos, relacionados con la probabilidad de un suceso, a
situaciones concretas, propuestas durante la realización de la clase.
Actitudinales:
Amplían su capacidad de juicio, y la aplicación de criterios morales, a problemas
económicos, del medio ambiente y sociales, al resolver matemáticamente las
actividades propuestas en la clase.
Disponen de un desarrollo de actitudes de rigor y perseverancia, aumentando su
desarrollo personal y el del entorno social ligado a su trabajo.
Participan en discusiones grupales, desarrolladas al resolver diversas situaciones,
desarrollando la capacidad de recibir y aceptar críticas y consejos.
Preparación de Materiales:
Se utilizará el plumón y la pizarra para que los alumnos puedan anotar los resultados y
conclusiones obtenidas al desarrollar las situaciones propuestas, para así poder comparar
las resoluciones de cada alumno o grupo.
Se diseñarán diferentes diapositivas con la información pertinente a la clase, además de
las diversas situaciones a tratar, para generar más tiempo de actividades.
38
Situación 1: individualmente, calcula la probabilidad de que al lanzar un dado de 8 caras
numeradas del 1 al 8, se obtenga:
a) el número 6
b) un número par
Situación 2: reúnete en grupo, responde lo que se pregunta a continuación y luego
preséntalo a tus compañeros.
a) Calcula la probabilidad de que al lanzar un dado salga un número “menor que 5”.
b) Si una bolsa contiene 5 bolitas azules y 3 rojas, indistinguibles al tacto, calcula la
probabilidad de extraer una bolita roja.
c) Calcula la probabilidad de “sacar un as” al extraer una carta al azar de la baraja
española
d) (40 cartas).
e) ¿Cuál es la probabilidad de que al lanzar un dado “salga un número primo”?
f) Calcula la probabilidad de comprar el único número ganador de una lotería, si se
han impreso 30.000 boletos, cada uno con un número diferente a todo el resto.
g) Determina la probabilidad de que al lanzar tres monedas se obtengan tres sellos.
• Se basa en la idea de que es posible calcular la posibilidad de ocurrencia de un determinado resultado antes de realizar el experimento (a priori)
• La forma teórica de obtener una probabilidad se calcula aplicando la Regla de Laplace
Probabilidad clásica
39
Para aplicar la Regla de Laplace, el experimento aleatorio debe cumplir algunas condiciones:
El número de resultados posibles tiene que ser
finito y conocido
Todos los resultados tienen que tener la misma probabilidad de ocurrencia
Regla de Laplace
Si un experimento aleatorio tiene un número finito n de
resultados y todos ellos son equiprobables, entonces:
La probabilidad de ocurrencia
de uno de tales resultados es:
La probabilidad de ocurrencia de
un suceso A que consta con k de
dichos resultados es:
O bien:
Lanzamiento de una moneda al aire
Una moneda tiene solo dos lados: cara y sello
La probabilidad de obtener una de ellas, digamos “sello”, es:
40
Clase 9 de 21: Probabilidad experimental
Objetivos:
Objetivo General: comprender y afianzar los conceptos de probabilidad a través de
la resolución de diversos problemas que requieren el cálculo de probabilidad en
situaciones sencillas.
Objetivos Específicos:
Comprender los conceptos relativos a probabilidad experimental, a través de los
diferentes ejemplos y situaciones dispuestas en la clase.
Calcular la probabilidad de que un determinado sucesos ocurra, de acuerdo a
situaciones concretas presentes en los problemas a desarrollar.
Acrecentar el interés y la capacidad de comprender la realidad de los estudiantes,
fundamentándose en la identificación y modificación de los errores cometidos al
trabajar en las diferentes actividades, en pro de su progresión y autoafirmación.
Fomentar la participación en clase, con la finalidad de desarrollar la capacidad de
recibir y aceptar críticas y consejos durante la intervención de los estudiantes en
las discusiones.
Contenidos:
Conceptuales: probabilidad experimental.
Procedimentales:
Reconocen y resuelven situaciones problemáticas referentes a conceptos
relacionados con la probabilidad experimental, presentes en diversos fenómenos
cotidianos y calculan la probabilidad de ocurrencia de estos sucesos.
Aplican los conceptos, relacionados con la probabilidad experimental de un
suceso, a situaciones concretas, propuestas durante la realización de la clase.
41
Actitudinales:
Amplían su capacidad de juicio, y la aplicación de criterios morales, a problemas
económicos, del medio ambiente y sociales, al resolver matemáticamente las
actividades propuestas en la clase.
Disponen de un desarrollo de actitudes de rigor y perseverancia, aumentando su
desarrollo personal y el del entorno social ligado a su trabajo.
Participan en discusiones grupales, desarrolladas al resolver diversas situaciones,
desarrollando la capacidad de recibir y aceptar críticas y consejos.
Preparación de Materiales:
Se utilizará el plumón y la pizarra para que los alumnos puedan anotar los resultados y
conclusiones obtenidas al desarrollar las situaciones propuestas, para así poder comparar
las resoluciones de cada alumno o grupo.
Se diseñarán diferentes diapositivas con la información pertinente a la clase, además de
las diversas situaciones a tratar, para generar más tiempo de actividades.
Situación 1: respondamos en conjunto las siguientes preguntas:
a) ¿Es siempre posible definir a priori el número de casos favorables en un
experimento aleatorio?
b) Consideremos el experimento aleatorio consistente
en elegir al azar una ampolleta dentro de un lote
de 2.000 ampolletas aparentemente idénticas.
i. ¿Cuál es la probabilidad del suceso “elegir
una ampolleta defectuosa”?
ii. ¿Es posible conocer el número de
ampolletas defectuosas que hay entre las
2.000 sin probarlas?
42
Situación 2: se tiene una caja que contiene cerca de 8.000 bolitas rojas y bancas,
indistinguibles al tacto. Se saca una bolita al azar y se devuelve. Al
realizar el experimento 100 veces, se obtuvo 21 veces una bolita
roja y 79 veces una de color blanco. Calcula la probabilidad de:
a) extraer una bolita roja
b) extraer una bolita blanca
Situación 3: observa cada una de las cajas.
Determina en cuál de las cajas:
a) es equiprobable sacar una bolita azul o una roja.
b) es más probable sacar una bolita roja que sacar una azul.
c) es más probable sacar una bolita azul que sacar una roja.
Probabilidad experimental
Se evalúa realizando numerosas veces el
experimento en cuestión, registrando cada uno de sus
resultados
Se define como el cociente entre el número delos casos favorables y el número de
casos observados
43
Situación 4: observa la tabla que muestra los resultados obtenidos al lanzar un dado 345
veces:
a) ¿Consideras estos resultados dentro de lo esperado? ¿O piensas que el dado
tiene algún defecto?
b) Calcula la frecuencia relativa de cada resultado.
c) Calcula la probabilidad de ocurrencia de cada resultado.
Situación 5: calcula la probabilidad experimental en los siguientes experimentos
aleatorios:
a) se lanzó una moneda al aire 100 veces y los resultados que se
obtuvieron fueron 70 veces “cara” y 30 veces “sello”. Compara la frecuencia
relativa de cada resultado con la probabilidad teórica.
b) al lanzar 240 veces un dado de ocho caras iguales (octaedro)
numeradas de 1 al 8, los resultados obtenidos fueron los siguientes:
Compara la frecuencia relativa con la probabilidad teórica.
Un dado trucado de seis caras es no que ha experimentado la alteración de una o varias de las
simetrías propias de un cubo
44
Clase 10 de 21: Continuando con las probabilidades
Objetivos:
Objetivo General: comprender y afianzar los conceptos de probabilidad a través de
la resolución de diversos problemas que requieren el cálculo de probabilidad en
situaciones sencillas.
Objetivos Específicos:
Resolver ejercicios que involucran los conceptos relativos a probabilidad, clásica,
experimental y subjetiva, presentes en los diferentes ejemplos y situaciones
dispuestas en la clase.
Fomentar la participación en clase, con la finalidad de desarrollar la capacidad de
recibir y aceptar críticas y consejos durante la intervención de los estudiantes en
las discusiones.
Interpretar los diferentes resultados y decisiones obtenidas durante el transcurso
de la clase, tanto las elaboradas por los alumnos como por las enunciadas por el
profesor.
Contenidos:
Conceptuales: probabilidad experimental, teórica y subjetiva.
Procedimentales:
Aplican los conceptos, relacionados con la probabilidad de un suceso, a
situaciones concretas, propuestas durante la realización de la clase.
Resuelven situaciones problemáticas referentes a ejercicios propuestos en la
clase, éstas son resueltas individual y grupalmente, para que finalmente sean
formalizadas en conjunto.
Reconocen explicaciones expuestas de conceptos relacionados con probabilidad,
presentes en diversos fenómenos cotidianos y calculan la probabilidad de
ocurrencia de estos sucesos.
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Actitudinales:
Participan en discusiones grupales, desarrolladas al resolver diversas situaciones,
desarrollando la capacidad de recibir y aceptar críticas y consejos.
Amplían su capacidad de juicio, y la aplicación de criterios morales, a problemas
económicos, del medio ambiente y sociales, al resolver matemáticamente las
actividades propuestas en la clase.
Disponen de un desarrollo de actitudes de rigor y perseverancia, aumentando su
desarrollo personal y el del entorno social ligado a su trabajo.
Preparación de Materiales:
Se diseñarán diferentes diapositivas con las definiciones pertinentes a la clase, además
de las diversas situaciones a tratar, para generar más tiempo de actividades.
Se utilizará el plumón y la pizarra para que los alumnos puedan anotar los resultados y
conclusiones obtenidas al desarrollar las situaciones propuestas, para así poder comparar
las resoluciones de cada alumno o grupo.
46
Es la probabilidad de que suceda un evento especifico, que es asignada por
una persona basándose en cualquier información disponible
Se realiza cuando existe poca o ninguna posibilidad en la cual se pueda
basar una probabilidad
Predecir el resultado de un partido de fútbol entre dos equipos que se van a
enfrentar sólo una vez durante la temporada que nos interesa
Estimar la probabilidad de que el Chile gane la próxima copa del mundo
Estimar la probabilidad de que saquen 7 en matemáticas en cuarto medio
Asignarle a la ocurrencia del suceso un valor numérico que refleja nuestra
propia percepción respecto a la factibilidad del mismo
47
Situación 1: se lanza un dado 18 000 veces; se obtienen los
resultados consignados en la siguiente tabla, agrupados de
acuerdo al número de tiradas.
Nº de
tiradas
Resultados posibles
1 2 3 4 5 6
20 5 4 2 4 2 3
60 6 6 6 11 9 22
300 47 40 43 58 39 73
600 89 84 82 111 104 130
1200 174 166 185 203 207 265
2400 362 345 387 396 407 503
6000 946 885 1002 993 941 1233
18000 2940 2841 2823 2757 2816 3823
a) Calcula las frecuencias relativas para los datos de dos filas y de dos columnas.
b) ¿Qué deducción se puede plantear a partir del análisis de estos resultados?
Situación 2: en una reunión hay 60 personas, 20 son mujeres y
40 hombres. Entre ellas, 20 hombres son fumadores y 8 mujeres
son fumadoras. Encontrar:
a) La probabilidad de que al elegir una persona al azar sea no
fumadora.
b) Si se elige al azar una persona fumadora, la probabilidad
de que sea hombre.
Situación 3: una clase consta de 6 niñas y 10 niños. Si se escoge
un comité de 3 al azar, hallar la probabilidad de:
a) Selecciona 3 niños.
b) Selecciona exactamente 2 niños y 1 niña.
c) Seleccionar por lo menos 1 niño.
d) Seleccionar exactamente 2 niñas y 1 niño.
48
Clase 11 de 21: Variables
Objetivos:
Objetivo General: comprender y fortalecer el concepto de variable, además de los
algunos tipos de variables, a través de la resolución de diversos problemas que requieren
el cálculo de probabilidad en situaciones sencillas.
Objetivos Específicos:
Interpretar los diferentes resultados y decisiones obtenidas durante el transcurso
de la clase, tanto las elaboradas por los alumnos como por las enunciadas por el
profesor.
Fomentar la participación en clase, con la finalidad de desarrollar la capacidad de
recibir y aceptar críticas y consejos durante la intervención de los estudiantes en
las discusiones.
Percibir la matemática como una disciplina que recoge y busca respuestas a
desafíos propios o que provienen de otros ámbitos.
Contenidos:
Conceptuales: variable aleatoria, cuantitativa, continua y discreta.
Procedimentales:
Reconocen explicaciones expuestas de conceptos relacionados con las variables,
presentes en diversos fenómenos cotidianos y calculan la probabilidad de
ocurrencia de estos sucesos.
Analizan información estadística recolectada con propósitos bien definidos, para
mostrar el cálculo de ciertas probabilidades a partir de ella.
Resuelven situaciones problemáticas referentes a ejercicios propuestos en la
clase, éstas son resueltas individual y grupalmente, para que finalmente sean
formalizadas en conjunto.
49
Actitudinales:
Establecen un desarrollo de actitudes de rigor y perseverancia, aumentando su
desarrollo personal y el del entorno social ligado a su trabajo.
Cooperan en discusiones grupales, desarrolladas al resolver diversas situaciones,
desarrollando la capacidad de recibir y aceptar críticas y consejos.
Aumentan su capacidad de juicio, y la aplicación de criterios morales, a problemas
económicos, del medio ambiente y sociales, al resolver matemáticamente las
actividades propuestas en la clase.
Preparación de Materiales:
Se diseñarán diferentes diapositivas con las definiciones pertinentes a la clase, además
de las diversas situaciones a tratar, para generar más tiempo de actividades.
Se utilizará el plumón y la pizarra para que los alumnos puedan anotar los resultados y
conclusiones obtenidas al desarrollar las situaciones propuestas, para así poder comparar
las resoluciones de cada alumno o grupo.
• Es una función que le asocia un valor numérico único a cada uno de los resultados del espacio muestral
Variable aleatoria
• Si el experimento aleatorio consiste en hacer rodar dos dados y registrar su suma, la variable aleatoria toma todos los valores enteros entre 2 y 12
Por ejemplo:
50
Situación 1: trabajemos en conjunto para indicar la variable aleatoria en cada uno de los
siguientes experimentos aleatorios.
a) elegir al azar una semana y contabilizar los minutos de espera del microbús
durante esa semana.
b) extraer al azar una carta de la baraja inglesa (52 cartas, 4 pintas) y registrar su
valor.
c) registrar el color de ojos de las personas que entran a una farmacia durante
una mañana.
d) lanzar 100 veces una moneda al aire y registrar las veces que salió sello.
e) registrar en una tabla los milímetros de agua caída en tu ciudad durante los
meses de invierno de los últimos 5 años.
Situación 2: resuelve individualmente en tu cuaderno lo
siguiente, para luego discutirlo como curso.
Describe cuál es el experimento aleatorio que determina el valor
de cada una de las siguientes variables aleatorias:
a) la suma de los puntos que muestran las caras de tres
dados (de seis caras) que se lanzan al azar.
b) el número de patentes de vehículos terminadas en 5 que pasan por la calle
mientras esperas el microbús.
c) el número de compañeros y compañeras que faltaron a clases durante un mes.
d) el número de accidentes de tránsito ocurridos durante los fines de semana de un
año.
e) el número de veces que un vaso plástico cae boca arriba cuando se deja caer
desde una mesa hasta el suelo.
Variable que puede tomar cualquier valordentro de un
intervalo dado
51
Situación 3: consideremos el experimento aleatorio que consiste en lanzar tres monedas
al aire, responda lo siguiente.
a) Determine el espacio muestral.
b) Sea la variable aleatoria definida de la siguiente forma: a cada elemento del
espacio muestral le asignamos un número real tal que corresponde al número
de caras. Completa la siguiente tabla indicando el suceso, el valor de (número
de caras en el suceso) y la probabilidad de que tal suceso ocurra.
Variables que solo pueden tomar ciertos valores en el intervalo considerado
y no admiten valores intermedios
El tiempo que tardo en ir de mi trabajo a mi casa.
Puedo demorar 28 minutos; 32,5 minutos,
etc
El número de estudiantes de un colegio es una
variable discreta. Puede haber 643 estudiantes o 328, pero no puede haber
722,3 estudiantes
Por ejemplo:
52
Situación 4: basándote en la siguiente información
estadística del cuadro, calcula la probabilidad de que al
elegir al azar un habitante de nuestro país, este sea:
a) Mapuche.
b) Mujer aimara.
c) Hombre rapanui.
• son las que toman valores númericosVariable
cuantitativa
• son variables que no tienen una representación numérica
• se expresan por una cualidad
Variable cualitativa
53
Clase 12 de 21: Probabilidad de sucesos
Objetivos:
Objetivo General: resolver problemas que requieren el cálculo de probabilidad de
sucesos en situaciones sencillas, además de interpretar los resultados obtenidos en los
diferentes problemas.
Objetivos Específicos:
Comprender descripciones de los conceptos respectivos a la probabilidad de
sucesos, además de su aplicación en las diferentes situaciones contextualizando
los resultados al problema planteado.
Interpretar las diferentes probabilidades calculadas durante el transcurso de la
clase, tanto los desarrollados por los alumnos como por los expresados por el
profesor.
Participar en discusiones grupales con la finalidad de desarrollar la capacidad de
de recibir y aceptar críticas y consejos.
Contenidos:
Conceptuales: sucesos compuestos, complemento de un suceso, sucesos
compatibles y mutuamente excluyentes.
Procedimentales:
Comprenden las explicaciones descritas, de los conceptos relacionados con la
probabilidad de sucesos.
Interpretan los resultados del cálculo de las diferentes probabilidades, presentes
en los problemas planteados durante la clase.
Resuelven situaciones problemáticas referentes a ejercicios propuestos en la
clase, éstas son resueltas individual y grupalmente, para que finalmente sean
formalizadas en conjunto.
54
Actitudinales:
Participan en discusiones grupales, desarrolladas al resolver diversas situaciones,
desarrollando la capacidad de recibir y aceptar críticas y consejos.
Comparten la idea de que los contenidos de la unidad corresponden a
conocimientos presentes en su vida diaria que atienden problemas del medio
ambiente, económicos y sociales, donde es posible aplicar juicios y criterios
morales.
Generan un desarrollo en el pensamiento relativo a habilidades de investigación y
de modelamiento matemático de situaciones y fenómenos, a través de la
resolución de problemas y de pensamiento lógico, a través de la aplicación de
métodos. Puesto que el desarrollo del pensamiento probabilístico contribuye a
tomar decisiones fundamentales en situaciones sociales.
Preparación de Materiales:
Se diseñarán diferentes diapositivas con la información pertinente a la clase, además de
las diversas situaciones a tratar.
Se utilizará el plumón y la pizarra con la finalidad que los alumnos puedan plasmar los
resultados y conclusiones obtenidas al desarrollar las situaciones propuestas.
55
Situación 1: determina individualmente lo siguiente, sabiendo que lanzamos un dado de
ocho caras.
a) ¿Cuál es el espacio muestral?
b) ¿Cuál es la probabilidad de cada resultado o suceso elemental?
c) ¿Qué probabilidad de ocurrencia tiene el suceso “obtener un número par”?
d) ¿Qué probabilidad de ocurrencia tiene el suceso “obtener un número impar”?
e) ¿Cuál es la probabilidad de ocurrencia del suceso “obtener un número mayor que
3”?
Situación 2: un experimento aleatorio consiste en
extraer una carta al azar de una baraja de naipe
español (40 cartas, 4 palos: oro, copa, espada y
basto). Definimos el suceso A como “sacar oro”.
Calcula.
a) P(A)
b) La probabilidad del suceso “sacar una carta
que no sea oro”.
• Se calcula sumando las probabilidades de los sucesos elementales que lo componen
Probabilidad de un suceso compuesto
56
Situación 3: reúnete en grupo, resuelve lo siguiente y luego discutámoslo como grupo
curso; sabiendo que se extrae una carta al azar de la baraja
española y se define el suceso A: “sacar una figura” (sota, caballo
o rey).
a) ¿Cuál es la probabilidad de que ocurra el suceso A?
b) ¿Cuál es la probabilidad de que ocurra el suceso complementario al suceso A?
c) ¿Cuál es el significado de tal suceso?
Situación 4: al lanzar tres monedas al aire se definen los siguientes sucesos:
A: “que se obtengan tres caras”
B: “que se obtengan dos caras y un sello”
Determine la probabilidad de ocurrencia de:
a) A
b) El complemento de A
c) B
d) El complemento de B
• Es el conjunto de todos los elementos del espacio muestral E, que no están incluidos en el suceso A
Complemento de un suceso
57
Clase 13 de 21: Relaciones entre sucesos
Objetivos:
Objetivo General: conocer los diferentes tipos de sucesos y resolver problemas
que requieren el cálculo de probabilidad de éstos en situaciones sencillas.
Objetivos Específicos:
Comprender descripciones de los conceptos respectivos a las relaciones de
sucesos, además de su aplicación en las diferentes situaciones contextualizando
los resultados al problema planteado.
Interpretar las diferentes probabilidades calculadas durante el transcurso de la
clase, tanto los desarrollados por los alumnos como por los expresados por el
profesor.
Participar en discusiones grupales con la finalidad de desarrollar la capacidad de
de recibir y aceptar críticas y consejos.
Contenidos:
Conceptuales: sucesos compatibles y mutuamente excluyentes.
Procedimentales:
Comprenden las explicaciones descritas, de los conceptos relacionados con la
probabilidad de sucesos.
Interpretan los resultados del cálculo de las diferentes probabilidades, presentes
en los problemas planteados durante la clase.
Resuelven situaciones problemáticas referentes a ejercicios propuestos en la
clase, éstas son resueltas individual y grupalmente, para que finalmente sean
formalizadas en conjunto.
58
Actitudinales:
Generan un desarrollo en el pensamiento relativo a habilidades de investigación y
de modelamiento matemático de situaciones y fenómenos, a través de la
resolución de problemas y de pensamiento lógico, a través de la aplicación de
métodos. Puesto que el desarrollo del pensamiento probabilístico contribuye a
tomar decisiones fundamentales en situaciones sociales.
Participan en discusiones grupales, desarrolladas al resolver diversas situaciones,
desarrollando la capacidad de recibir y aceptar críticas y consejos.
Comparten la idea de que los contenidos de la unidad corresponden a
conocimientos presentes en su vida diaria que atienden problemas del medio
ambiente, económicos y sociales, donde es posible aplicar juicios y criterios
morales.
Preparación de Materiales:
Se diseñarán diferentes diapositivas con la información pertinente a la clase, además de
las diversas situaciones a tratar.
Se utilizará el plumón y la pizarra con la finalidad que los alumnos puedan plasmar los
resultados y conclusiones obtenidas al desarrollar las situaciones propuestas.
59
Situación 1: consideremos el experimento aleatorio de hacer rodar un dado de seis
caras. Definamos los siguientes sucesos:
A: “Obtener 4”
B: “Obtener un múltiplo de 2”
C: “Obtener un número par”
D: “Obtener un número menor que 4”
F: “Obtener 6”
a) Encuentra los conjuntos que definen el espacio muestral E y los sucesos A, B, C,
D, F.
b) Analiza las relaciones de compatibilidad y exclusión entre los diferentes sucesos
definidos.
Situación 2: resuelve individualmente y determina lo siguiente, sabiendo que se hace
rodar un dado y se definen los siguientes sucesos: A: “obtener el número 5”, B: “obtener
un número impar” y C: “obtener un número menor que 6”; determina:
a) el espacio muestral
b) el suceso A, B y C
c) la relación que existe entre los sucesos A y B
d) el(los) resultado(s) que permite(n) asegurar que ocurran A y B simultáneamente
• Cuando dos sucesos, A y B, tienen algún suceso elemental
• Si A es sacar puntuación par al tirar un dado y B es obtener múltiplo de 3, A y B son compatibles porque el 6 es un suceso elemental común
Sucesos compatibles
• Cuando dos sucesos, A y B, no tienen ningún elemento en común
• Si A es sacar puntuación par al tirar un dado y B es obtener múltiplo de 5, A y B son incompatibles
Sucesos mutuamente excluyentes
60
Situación 3: se extrae al azar una carta de una baraja española de naipes y se definen
los siguientes sucesos:
A: “Sacar un rey”
B: “Sacar un oro”
C: “Sacar una copa”
Determina:
a) el número de resultados posibles de cada suceso
b) los sucesos que ocurren si se extrae un rey de copas
c) los sucesos mutuamente excluyentes
Situación 4: se extrae una bola de una bolsa que contiene 8 bolas numeradas del 1 al 8.
Se definen los siguientes sucesos:
A: “obtener un número primo mayor que 2”
B: “obtener un número par”
Determina:
a) el espacio muestral
b) el suceso A
c) el suceso B
d) la relación entre los sucesos A y B
Situación 5: de una baraja inglesa se extrae al azar una carta. Considera los siguientes
sucesos:
A: “sacar un corazón”
B: “sacar un trébol”
C: “sacar un as”
Determina:
a) el espacio muestral
b) el suceso A y el suceso B
c) el(los) suceso(s) que ocurre(n) si se extrae un as de trébol
d) las relaciones que existen entre estos sucesos
61
Clase 14 de 21: Sigamos con las probabilidades de sucesos
Objetivos:
Objetivo General: resolver problemas que requieren el cálculo de probabilidad de
sucesos en situaciones sencillas, además de interpretar los resultados obtenidos en los
diferentes problemas.
Objetivos Específicos:
Comprender descripciones de los conceptos respectivos a la probabilidad de
algunos sucesos y las relaciones existentes entre éstos, además de su aplicación
en las diferentes situaciones contextualizando los resultados al problema
planteado.
Interpretar las diferentes probabilidades calculadas durante el transcurso de la
clase, tanto los desarrollados por los alumnos como por los expresados por el
profesor.
Participar en discusiones grupales con la finalidad de desarrollar la capacidad de
de recibir y aceptar críticas y consejos.
Contenidos:
Conceptuales: probabilidad de sucesos mutuamente excluyentes y de sucesos
independientes.
Procedimentales:
Comprenden las explicaciones descritas, de los conceptos relacionados con la
probabilidad de sucesos y las relaciones existentes entre sucesos.
Resuelven situaciones problemáticas referentes a ejercicios propuestos en la
clase, éstas son resueltas individual y grupalmente, para que finalmente sean
formalizadas en conjunto.
Interpretan los resultados del cálculo de las diferentes probabilidades, presentes
en los problemas planteados durante la clase.
62
Actitudinales:
Generan un desarrollo en el pensamiento relativo a habilidades de investigación y
de modelamiento matemático de situaciones y fenómenos, a través de la
resolución de problemas y de pensamiento lógico, a través de la aplicación de
métodos. Puesto que el desarrollo del pensamiento probabilístico contribuye a
tomar decisiones fundamentales en situaciones sociales.
Participan en discusiones grupales, desarrolladas al resolver diversas situaciones,
desarrollando la capacidad de recibir y aceptar críticas y consejos.
Comparten la idea de que los contenidos de la unidad corresponden a
conocimientos presentes en su vida diaria que atienden problemas del medio
ambiente, económicos y sociales, donde es posible aplicar juicios y criterios
morales.
Preparación de Materiales:
Se diseñarán diferentes diapositivas con la información y las diversas situaciones a
desarrollar durante la clase.
Se utilizará el plumón y la pizarra con la finalidad que los alumnos puedan plasmar los
resultados y conclusiones obtenidas al desarrollar las situaciones propuestas.
Probabilidad de sucesos incompatibles
Recordemos: que cuando dos sucesos, A y B,
no tienen ningún elemento en común son
sucesos incompatibles (mutuamente
excluyentes)
63
Situación 1: trabajemos en conjunto y consideremos un experimento consistente en
sacar una bola de una urna que contiene 1 bola roja, 3 bolas azules y 6 bolas blancas. Se
debe calcular la probabilidad de que ocurra cada uno de los siguientes sucesos:
a) R: “Que salga una bola roja”.
b) A: “Que salga una bola azul”.
c) B: “Que salga una bola blanca”.
d) “Que salga una bola roja o blanca”.
e) “Que salga una bola azul o blanca”.
f) “Que salga una bola que no sea roja”.
Situación 2: resolvamos grupalmente el siguiente problema.
Una ruleta está dividida en seis sectores de igual tamaño
numerados del 1 al 6, dos verdes y cuatro amarillos (como se ve
en la figura). Consideremos el experimento aleatorio de hacer
girar la ruleta dos veces consecutivas y registrar los colores de
los sectores que indica la flecha al detenerse.
a) Compara el total de resultados posibles de este experimento con el total de
resultados posibles cuando hacemos girar la ruleta solo una vez.
b) Calcula las probabilidades de ocurrencia de los siguientes sucesos:
i. caer en verde las dos tiradas.
ii. caer en amarillo las dos tiradas.
iii. caer en verde en la 1ª tirada y en amarillo en la 2ª tirada.
iv. caer en amarillo en la 1ª tirada y en verde en la 2ª tirada.
v. caer una vez en verde y otra vez en amarillo.
• Si la ocurrencia de A no afecta la probabilidad de ocurrencia de B y viceversa
• Al lazar dos dados los resultados son independientes
Sucesos independientes
64
Situación 3: el siguiente cuadro muestra la población de la Región Metropolitana (RM)
según el grupo étnico al que pertenece.
Se elige al azar un habitante de la Región Metropolitana. Calcula la probabilidad de que la
persona seleccionada sea mapuche o aimara.
Situación 4: Analicemos el experimento consistente en extraer al azar dos bolas, una
después de la otra, de una urna con 7 bolas, 3 verdes y 4 rojas (como lo indica la figura).
a) Consideremos en primera instancia el experimento con
reposición. ¿Cuál es la probabilidad de extraer dos bolas
verdes?
b) Consideremos ahora el experimento sin reposición. ¿Cuál
es la probabilidad de extraer dos bolas verdes?
65
Clase 15 de 21: Probabilidad de diversos sucesos
Objetivos:
Objetivo General: resolver problemas que requieren el cálculo de probabilidad de
sucesos en situaciones sencillas, además de interpretar los resultados obtenidos en los
diferentes problemas.
Objetivos Específicos:
Comprender descripciones de los conceptos respectivos a la probabilidad de
algunos sucesos y las relaciones existentes entre éstos, además de su aplicación
en las diferentes situaciones contextualizando los resultados.
Interpretar las diferentes probabilidades calculadas durante el transcurso de la
clase, tanto los desarrollados por los alumnos como por los expresados por el
profesor.
Participar en discusiones grupales con la finalidad de desarrollar la capacidad de
de recibir y aceptar críticas y consejos.
Contenidos:
Conceptuales: probabilidad condicionada, con reemplazo y sin reemplazo, sucesos
dependientes e independientes.
Procedimentales:
Comprenden las explicaciones descritas, de los conceptos relacionados con la
probabilidad condicionada y los conceptos de sucesos dependientes e
independientes.
Resuelven situaciones problemáticas referentes a ejercicios propuestos en la
clase, éstas son resueltas individual y grupalmente, para que finalmente sean
formalizadas en conjunto.
Interpretan los resultados del cálculo de las diferentes probabilidades, presentes
en los problemas planteados durante la clase.
66
Actitudinales:
Participan en discusiones grupales, desarrolladas al resolver diversas situaciones,
desarrollando la capacidad de recibir y aceptar críticas y consejos.
Generan un desarrollo en el pensamiento relativo a habilidades de investigación y
de modelamiento matemático de situaciones y fenómenos, a través de la
resolución de problemas y de pensamiento lógico, a través de la aplicación de
métodos. Puesto que el desarrollo del pensamiento probabilístico contribuye a
tomar decisiones fundamentales en situaciones sociales.
Comparten la idea de que los contenidos de la unidad corresponden a
conocimientos presentes en su vida diaria que atienden problemas del medio
ambiente, económicos y sociales, donde es posible aplicar juicios y criterios
morales.
Preparación de Materiales:
Se diseñarán diferentes diapositivas con la información y las diversas situaciones a
desarrollar durante la clase.
Se utilizará el plumón y la pizarra con la finalidad que los alumnos puedan plasmar los
resultados y conclusiones obtenidas al desarrollar las situaciones propuestas.
• Ocurrencia de un suceso A, sabiendo que también ocurre otro suceso B
Probabilidad condicionada
Se lee “la probabilidad de A dado B”
67
Situación 1: individualmente resuelve el siguiente problema.
Consideremos una urna que contiene 5 bolas: 3 bolas rojas
y 2 azules. Se extrae, sin mirar, una bola.
a) ¿Cuál es la probabilidad de sacar primero una bola
roja, devolverla y en seguida sacar una bola azul?
b) ¿Cuál es la probabilidad de sacar primero una bola
roja, no devolverla y en seguida sacar una bola azul?
Situación 2: seleccionamos al azar una carta de la baraja
española. Se definen los sucesos:
A: “Sacar una figura”
B: “Sacar oro”
¿Cuál es la probabilidad de que la carta seleccionada sea figura sabiendo que salió un
oro?
Situación 3: hacemos rodar un dado de seis caras y queremos
calcular la probabilidad del suceso “obtener 2”, sabiendo que ha
salido un número par.
• Si A y B son dos sucesos
• Y P(A) = P(A/B), o bien, P(B) = P(B/A)Sucesos
independientes
• Si A y B son dos sucesos
• Y P(A) ≠ P(A/B), o bien, P(B) ≠ P(B/A)Sucesos
dependientes
68
Situación 4: se extraen dos cartas de una baraja española, una
después de la otra sin devolución. Calcula la probabilidad que
la segunda carta sea un rey (A), dado que la primera carta fue
rey de bastos (B). Comenta acerca de la relación entre A y B.
Situación 5: se eligen al azar estudiantes de un liceo, recogiendo información sobre su
sexo y el uso de transporte colectivo para llegar de su casa al liceo, elaborando la tabla
siguiente.
a) Calcula la probabilidad de que el (la) estudiante elegido(a) sea hombre, dado que
usa transporte colectivo.
b) Calcula la probabilidad de que el (la) estudiante elegido(a) sea mujer, dado que
usa transporte colectivo.
69
Clase 16 de 21: Control 2 Unidad del Estudio de las
Probabilidades
Objetivos:
Objetivo General: tomar las determinaciones adecuadas para asignar una
calificación a cada alumno que manifieste la medida de objetivos adquiridos en los
contenidos abordados hasta el momento en la unidad didáctica.
Objetivos Específicos:
Determinar si el alumno posee los niveles mínimos necesarios para abordar los
siguientes contenidos de la unidad didáctica.
Diagnosticar las dificultades de aprendizaje de los alumnos e indicar los resultados
obtenidos al final del aprendizaje.
Preparación de Materiales:
Se diseñará una evaluación de acuerdo a las diferentes situaciones estudiadas durante
las clases.
70
Situación 1: considera el experimento aleatorio que consiste en elegir una carta al azar
de la baraja inglesa. Se definen los sucesos:
• A: “Sacar figura
• B: “Sacar diamante”
Calcula:
a) la probabilidad de cada evento.
b) la probabilidad de que la carta seleccionada sea diamante, sabiendo que fue
figura.
Situación 2: se lanzan 4 monedas al aire a la vez.
a) ¿Cuántos resultados posibles pueden darse?
b) ¿Cuántos resultados podrán obtenerse con 4, 3, 2, 1 o 0 caras?
Situación 3: los estudiantes de un curso debían elegir un idioma entre inglés y francés, y
un deporte entre básquetbol y vóleibol. La elección de los(as) jóvenes fue registrada en la
siguiente tabla:
Observa la tabla y responde.
a) ¿cuántos(as) estudiantes eligieron inglés?
b) si se elige un(a) estudiante al azar, ¿cuál es la probabilidad de que haya elegido
inglés?
c) si se elige un(a) estudiante al azar, ¿cuál es la probabilidad de que haya elegido
francés?
d) ¿cuál es la probabilidad de que al elegir un(a) estudiante al azar, éste (ésta) haya
elegido inglés y vóleibol?
e) calcula la probabilidad de “elegir francés, habiendo elegido vóleibol”.
f) calcula la probabilidad de “elegir inglés, habiendo elegido básquetbol”.
71
Situación 4: se hace rodar un dado de seis caras y se definen los sucesos:
• A: “Que salga un número par”
• B: “Que salga un número mayor que 2”
Calcula:
a) la probabilidad de cada evento.
b) la probabilidad de obtener un número par, sabiendo que salió un número
mayor que 2.
c) la probabilidad de obtener un número par, sabiendo que salió un número
menor que 4.
d) los sucesos A y B, ¿son dependientes o independientes?
Situación 5: un(a) profesor(a) universitario(a) de cálculo toma las
dos primeras pruebas del semestre y un 25% de los estudiantes
tuvo nota de aprobación (mínimo 4) en ambas, mientras que un 42%
igualó o superó el 4 en la primera prueba.
¿Qué porcentaje de los(as) estudiantes que aprobaron la primera
prueba (suceso A) también aprobaron la segunda (suceso B)?
Situación 6: determina la probabilidad de que al hacer rodar un
dado dos veces:
a) en ambos lanzamientos caiga en 2
b) en el primer lanzamiento caiga en 5 y en el segundo
caiga en 3 o en 1
72
Clase 17 de 21: Regla del producto
Objetivos:
Objetivo General: comprender y afianzar los conceptos de combinatoria a través
de la resolución de diversos problemas que requieren la utilización de la regla del
producto.
Objetivos Específicos:
Comprender los conceptos relativos a combinatoria, además de la regla del
producto, a través de los diferentes ejemplos y situaciones dispuestas en la clase.
Fomentar la participación en clase, con la finalidad de desarrollar la capacidad de
recibir y aceptar críticas y consejos durante la intervención de los estudiantes en
las discusiones.
Acrecentar el interés y la capacidad de comprender la realidad de los estudiantes,
fundamentándose en la identificación y modificación de los errores cometidos al
trabajar en las diferentes actividades, en pro de su progresión y autoafirmación.
Contenidos:
Conceptuales: regla del producto.
Procedimentales:
Atienden explicaciones expuestas de conceptos relacionados con combinatoria
básica, presentes en diversos fenómenos cotidianos.
Aplican los conceptos enseñados al resolver situaciones problemáticas referentes
a ejercicios propuestos en la clase, tanto individual como grupalmente, para que
finalmente sean formalizadas en conjunto.
Aplican los conceptos, relacionados con la probabilidad de un suceso, a
situaciones concretas, propuestas durante la realización de la clase.
73
Actitudinales:
Amplían su capacidad de juicio, y la aplicación de criterios morales, a problemas
económicos, del medio ambiente y sociales, al resolver matemáticamente las
actividades propuestas en la clase.
Disponen de un desarrollo de actitudes de rigor y perseverancia, aumentando su
desarrollo personal y el del entorno social ligado a su trabajo.
Participan en discusiones grupales, desarrolladas al resolver diversas situaciones,
desarrollando la capacidad de recibir y aceptar críticas y consejos.
Preparación de Materiales:
Se utilizará el plumón y la pizarra para que los alumnos puedan anotar los resultados y
conclusiones obtenidas al desarrollar las situaciones propuestas, para así poder comparar
las resoluciones de cada alumno o grupo.
Se diseñarán diferentes diapositivas con la información pertinente a la clase, además de
las diversas situaciones a tratar, para generar más tiempo de actividades.
Situación 1: resuelve en tu cuaderno la siguiente problemática.
a) Un experimento consiste en seleccionar dos
fichas al azar de una caja que contiene 5
fichas numeradas de 1 a 5. Determina la
probabilidad de que ambas fichas extraídas
tengan números:
i. pares.
ii. Impares
b) Repite el experimento con una caja con 100 fichas numeradas del 1 al 100.
74
Situación 2: analicemos las placas patentes de los
automóviles en nuestro país. En la actualidad una
patente tiene una combinación de 2 letras y de 4
números (salvo los vehículos más nuevos), donde el
primero de éstos no puede ser cero.
Supongamos que se usan 23 letras del abecedario (se excluyen la I, la Ñ, la O y la W).
a) ¿De cuántas maneras se puede escoger la primera letra?
b) ¿De cuántas maneras se puede escoger la segunda letra?
c) ¿Cuántas son las combinaciones de letras posibles?
d) ¿Cuántas combinaciones de números son posibles?
e) ¿Cuántas patentes se pueden diseñar?
Situación 3: Eduardo ha elegido su ropa de trabajo y de fin de semana, de manera que
cualquier elección que haga entre sus 2 pares de zapatos, 3 pantalones, 3 chaquetas, 5
corbatas y 4 camisas le satisface estética y funcionalmente. ¿Cuántas tenidas diferentes
puede lucir?
Situación 4: reúnete en grupo y responde las siguientes preguntas.
a) ¿Cuántos números de tres dígitos se pueden escribir con los
números del 1 al 5?
b) Se quiere pintar la fachada de una casa de 3 colores diferentes,
elegidos de una paleta de 7 colores que combinan entre sí. ¿Cuántas
alternativas de elección de colores existen?
• Para disponer elementos en dos posiciones, y se cuenta con n elementos para la primera posición y con m elementos para la segunda posición, el total de parejas que se puede formar es n • m
Regla del
producto
75
Clase 18 de 21: Permutaciones
Objetivos:
Objetivo General: comprender y afianzar los conceptos de permutación a través de
la resolución de diversos problemas.
Objetivos Específicos:
Comprender los conceptos relativos a permutación, a través de los diferentes
ejemplos y situaciones dispuestas en la clase.
Acrecentar el interés y la capacidad de comprender la realidad de los estudiantes,
fundamentándose en la identificación y modificación de los errores cometidos al
trabajar en las diferentes actividades, en pro de su progresión y autoafirmación.
Fomentar la participación en clase, con la finalidad de desarrollar la capacidad de
recibir y aceptar críticas y consejos durante la intervención de los estudiantes en
las discusiones.
Contenidos:
Conceptuales: permutación, factorial.
Procedimentales:
Aplican el factorial de un número natural cualquiera al resolver situaciones
problemáticas referentes a ejercicios propuestos en la clase, tanto individual como
grupalmente, para que finalmente sean formalizadas en conjunto.
Atienden explicaciones expuestas de conceptos relacionados con permutación,
presentes en diversos fenómenos cotidianos.
Aplican los conceptos, relacionados con permutaciones, a situaciones concretas,
propuestas durante la realización de la clase.
76
Actitudinales:
Participan en discusiones grupales, desarrolladas al resolver diversas situaciones,
desarrollando la capacidad de recibir y aceptar críticas y consejos.
Amplían su capacidad de juicio, y la aplicación de criterios morales, a problemas
económicos, del medio ambiente y sociales, al resolver matemáticamente las
actividades propuestas en la clase.
Disponen de un desarrollo de actitudes de rigor y perseverancia, aumentando su
desarrollo personal y el del entorno social ligado a su trabajo.
Preparación de Materiales:
Se utilizará el plumón y la pizarra para que los alumnos puedan anotar los resultados y
conclusiones obtenidas al desarrollar las situaciones propuestas, para así poder comparar
las resoluciones de cada alumno o grupo.
Se diseñarán diferentes diapositivas con la información pertinente a la clase, además de
las diversas situaciones a tratar, para generar más tiempo de actividades.
• Sea un conjunto cualquiera de n elementos
• Es una lista ordenada de esos n elementos, en la cual no están permitidas las repeticiones
• El número de permutaciones de n elementos es
Permutación
77
Situación 1: si tenemos que acomodar 8 libros en un anaquel, ¿Cuántas
son las formas diferentes de distribución de los 8 libros en línea?
Situación 2: ¿de cuántas maneras se pueden ordenar en línea tres libros
(uno rojo, uno azul y uno verde) en un estante?
Situación 3: se quiere distinguir a 5 estudiantes del liceo en virtud a
sus méritos, para lo cual se cuenta con 5 premios distintos. ¿De
cuántas maneras diferentes es posible asignarlos?
Situación 4: el jefe de una repartición
decide enviar a 6 funcionarios a visitar 6
localidades para difundir un programa de ayuda social. Cada
uno debe visitar una localidad. ¿De cuántas maneras es posible
asignar las destinaciones?
78
Clase 19 de 21: Variaciones
Objetivos:
Objetivo General: comprender y afianzar los conceptos de variación, a través de la
resolución de diversos problemas.
Objetivos Específicos:
Comprender los conceptos relativos a variación, a través de los diferentes
ejemplos y situaciones dispuestas en la clase.
Acrecentar el interés y la capacidad de comprender la realidad de los estudiantes,
fundamentándose en la identificación y modificación de los errores cometidos al
trabajar en las diferentes actividades, en pro de su progresión y autoafirmación.
Fomentar la participación en clase, con la finalidad de desarrollar la capacidad de
recibir y aceptar críticas y consejos durante la intervención de los estudiantes en
las discusiones.
Contenidos:
Conceptuales: variación.
Procedimentales:
Resuelven diversas situaciones problemáticas referentes a ejercicios propuestos
en la clase, tanto individual como grupalmente, para que finalmente sean
formalizadas en conjunto.
Atienden explicaciones expuestas de conceptos relacionados con variación,
presentes en diversos fenómenos cotidianos.
Aplican los conceptos, relacionados con variaciones, a situaciones concretas,
propuestas durante la realización de la clase.
79
Actitudinales:
Participan en discusiones grupales, desarrolladas al resolver diversas situaciones,
desarrollando la capacidad de recibir y aceptar críticas y consejos.
Amplían su capacidad de juicio, y la aplicación de criterios morales, a problemas
económicos, del medio ambiente y sociales, al resolver matemáticamente las
actividades propuestas en la clase.
Disponen de un desarrollo de actitudes de rigor y perseverancia, aumentando su
desarrollo personal y el del entorno social ligado a su trabajo.
Preparación de Materiales:
Se utilizará el plumón y la pizarra para que los alumnos puedan anotar los resultados y
conclusiones obtenidas al desarrollar las situaciones propuestas, para así poder comparar
las resoluciones de cada alumno o grupo.
Se diseñarán diferentes diapositivas con la información pertinente a la clase, además de
las diversas situaciones a tratar, para generar más tiempo de actividades.
• Sea un conjunto cualquiera de n elementos
• Es una lista ordenada de r elementos de esos n, en la cual no están permitidas las repeticiones
• El número de variaciones de r elementos elegidos de un conjunto de n elementos es:
Variación
80
Situación 1: para su cumpleaños, Alejandra invitó a sus amigas
a tomar helados. En la heladería había 4 sabores frutales: piña,
frutilla, mora y damasco. La celebrada ofreció a todas sus
invitadas helados de dos sabores (que eran servidos uno sobre
el otro), en todos los ordenamientos posibles y no hubo dos
combinaciones iguales. ¿Cuántas personas había?
Situación 2: calcula cuántos números de 3 dígitos se pueden formar con los números
De acuerdo a las siguientes condiciones:
a) si no se permiten dígitos repetidos dentro de un número.
b) si se permiten dígitos repetidos dentro de un número.
Situación 3: en un curso de 25 estudiantes se van rotando los 4
cargos directivos (presidente, vicepresidente, secretario y
tesorero), de modo de compartir responsabilidades y experiencias.
¿Cuántas directivas distintas es posible formar?
• Lista ordenada de r elementos de un conjunto de n elementos, en la cual cada elemento puede repetirse tantas veces como se quiera
Variación con repetición
81
Clase 20 de 21: Combinaciones
Objetivos:
Objetivo General: comprender y afianzar los conceptos de combinación, a través
de la resolución de diversos problemas.
Objetivos Específicos:
Fomentar la participación en clase, con la finalidad de desarrollar la capacidad de
recibir y aceptar críticas y consejos durante la intervención de los estudiantes en
las discusiones.
Comprender los conceptos relativos a combinación, a través de los diferentes
ejemplos y situaciones dispuestas en la clase.
Acrecentar el interés y la capacidad de comprender la realidad de los estudiantes,
fundamentándose en la identificación y modificación de los errores cometidos al
trabajar en las diferentes actividades, en pro de su progresión y autoafirmación.
Contenidos:
Conceptuales: variación.
Procedimentales:
Resuelven diversas situaciones problemáticas referentes a ejercicios propuestos
en la clase, tanto individual como grupalmente, para que finalmente sean
formalizadas en conjunto.
Atienden explicaciones expuestas de conceptos relacionados con combinación,
presentes en diversos fenómenos cotidianos.
Aplican los conceptos, relacionados con combinaciones, a situaciones concretas,
propuestas durante la realización de la clase.
82
Actitudinales:
Participan en discusiones grupales, desarrolladas al resolver diversas situaciones,
desarrollando la capacidad de recibir y aceptar críticas y consejos.
Amplían su capacidad de juicio, y la aplicación de criterios morales, a problemas
económicos, del medio ambiente y sociales, al resolver matemáticamente las
actividades propuestas en la clase.
Disponen de un desarrollo de actitudes de rigor y perseverancia, aumentando su
desarrollo personal y el del entorno social ligado a su trabajo.
Preparación de Materiales:
Se utilizará el plumón y la pizarra para que los alumnos puedan anotar los resultados y
conclusiones obtenidas al desarrollar las situaciones propuestas, para así poder comparar
las resoluciones de cada alumno o grupo.
Se diseñarán diferentes diapositivas con la información pertinente a la clase, además de
las diversas situaciones a tratar, para generar más tiempo de actividades.
83
Situación 1: Alex tiene la convicción de que se mantiene
en forma gracias a que todos los días su colación
consiste en tres frutas diferentes y cada día el surtido
cambia respecto al del día anterior. Además, tiene la
fortuna de abastecerse de ellas en su propia huerta, de la
que recolecta naranjas, manzanas, peras, ciruelas y
duraznos. Calcula el número de colaciones distintas que
puede formar.
Situación 2: calcula el número de grupos de 5 cartas que se
pueden formar con una baraja española de 40 cartas sin que
importe el orden en que se elige los componentes.
Situación 3: calcula el número de posiciones que pueden adoptar
10 personas alrededor de una mesa, si los puestos son
indistinguibles unos de otros.
• Sea un conjunto cualquiera de n elementos
• Es una lista no ordenada de r elementos de esos n, en la cual no están permitidas las repeticiones
• El número de combinaciones de r elementos elegidos de un conjunto de n elementos es
Combinación
84
Clase 21 de 21: Control 3 Unidad del Estudio de las
Probabilidades
Objetivos:
Objetivo General: tomar las determinaciones adecuadas para asignar una
calificación a cada alumno que manifieste la medida de objetivos adquiridos en los
contenidos abordados hasta el momento en la unidad didáctica.
Objetivos Específicos:
Determinar si el alumno posee los niveles mínimos necesarios para abordar los
siguientes contenidos de la unidad didáctica.
Diagnosticar las dificultades de aprendizaje de los alumnos e indicar los resultados
obtenidos al final del aprendizaje.
Preparación de Materiales:
Se diseñará una evaluación de acuerdo a las diferentes situaciones estudiadas durante
las clases.
Situación 1: en una jaula hay 5 ardillas negras, 3 blancas y
6 jaspeadas. Determina la probabilidad de que al abrir la
puerta salgan:
a) 2 blancas o 3 jaspeadas
b) 3 negras y 2 jaspeadas
Situación 2: el inspector del colegio ha elegido a
20 estudiantes para organizar un desfile y les
solicita que formen una fila. ¿De cuántas maneras
diferentes pueden formar la fila, si el más pequeño
debe ir siempre en el primer lugar y el más alto en
el último?
85
Situación 3: en una urna hay 5 bolitas blancas, 6 azules y 7
rojas. Si se hacen 2 extracciones de 3 bolitas cada una, y no
hay devolución de las bolitas extraídas. ¿Cuál es la
probabilidad de que en la primera extracción las 3 bolitas sean
rojas y en la segunda, las 3 sean blancas?
Situación 4: en un curso de 30 alumnos(as) el
40% son mujeres y un tercio de ellas tienen ojos
verdes. Si 9 personas de este curso tienen ojos
verdes, calcula la probabilidad de que:
a) al elegir una persona al azar sea hombre y
no tenga ojos verdes
b) al elegir 2 personas, éstas sean mujeres y
una tenga ojos verdes y la otra no