Clase 19 Agosto

7/21/2019 Clase 19 Agosto

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Estado Sólido

Dr. Alfredo Tlahuice Flores

19 Agosto del 2015, CICFIM-FCFM, UANL



Actividad 11

Encontrar las coordenadas de los sitios octaédricos y tetraédricos de la BCC



Actividad 11. Solución

Sitio Tetraedral

Los vértices del tetraedro son:

A 1,0,0B 1,1,0

C 0.5,0.5,0.5

D 1.5,0.5,0.5

Se calcula la distancia entre 2 puntos: d= sqrt{ (x-x1)2+(y-y1)2+(z-z1)2}

Siendo x1,y1,z1 las coordenadas de uno de los vértices del tetraedro.

(PA)2= (x-1)2+(y-0)2+(z-0)2

(PB)2= (x-1)2+(y-1)2+(z-0)2 (PC)2= (x-0.5)2+(y-0.5)2+(z-0.5)2

(PD)2= (x-1.5)2+(y-0.5)2+(z-0.5)2

Desarrollando:

(PA)2= x2-2x+1+y2+z2 = x2+y2+z2-2x+1

(PB)2= x2-2x+1+y2-2y+1+z2 = x2+y2+z2-2x-2y+2

(PC)2= x2-x+y2-y2+z2-z+(3/4) = x2+y2+z2-x-y-z+(3/4)(PD)2= x2-3x+(9/4)+y2-y+(1/4)+z2-z+(1/4) = x2+y2+z2-3x-y-z+(11/4)

Se debe resolver el sistema de ecuaciones:

Igualando 0= -2y+1 -2y=1

(PA)2= (PB)2 -x+0.25= -y-z -x+y+z=-0.25

(PA)2

= (PC)2

x+1-(11/4)= -y-z x+y+z= (7/4)(PA)2= (PD)2

1,0,0 1,1,0




-2y=-1

-x+y+z=-0.25 ∆=| 0 -2 0 ∆x=| -1 2 0 ∆y=| 0 -1 0

x+y+z= (7/4) -1 1 1 -0.25 1 1 -1 -0.25 11 1 1| 7/4 1 1| 1 7/4 1|

∆z=| 0 -2 -1

-1 1 -0.25

1 1 7/4 |

X= ∆x/ ∆ =1

Y= ∆y/ ∆= 0.5

Z= ∆z/ ∆=0.25

Conclusión. Se encontraron las coordenadas del centro del tetraedro que ya se

conocían.

Ejercicio: Repetir el procedimiento para el caso del sitio octaédrico.



Actividad 12

Cuál es la relación de radios para el sitio tetraedral y octaedral de una BCC

NOTA: Los sitios no son perfectos, se puede considerar que son pseudo-tetraédricos

o pseudo-octaédricos.




Sitio Octaedral

Los átomos que están en 0.5,0.5,0.5 (centro de cuerpo)y 0.5,1,0.5 (centro de cara) se tocan R+R i

Y sobre la diagonal del cubo se tiene 2R

Ri+R= a/2

Usando la relación entre a y R para la BCC: a= 4R/sqrt(3)

Ri+R= 2R/sqrt(3)

Ri= {-1+2/sqrt(3)} R= 0.1547 R

Conclusión: Se tiene un valor menor al de un hueco octaédrico regular (0.414)

Y se tiene un valor parecido al de un hueco triangular.

R+Ri

a/2

a/2



a=2.309

Si el radio de las esferas es 1entonces, el radio de las esferas del intersticio es 0.15473

4 Ra Para BCC

Sitios Octaédricos en BCC



Sitio TetraedralDel triángulo se tiene la relación:

(R+Ri)2= a2 * {0.52+0.252}

Ri+R=a* sqrt(5)/4

Sustituyendo la relación entre a y R para BCC

a= 4R/sqrt(3)

Ri+R= 4R/sqrt(3) * sqrt(5)/4

Ri+R= sqrt(5/3)*R

Ri= sqrt(5/3)*R –R

Ri= R{ sqrt(5/3)-1}

Ri= 0.291 R

Conclusión: Se tiene un valor mayor al de un hueco tetraedral regular (0.225)

0.5 a

0.25a



Si el radio de las esferas es 1entonces, el radio de las esferas del intersticio es 0.291

a=2.309

Sitios Tetraédricos en BCC



Actividad 13

Encontrar las coordenadas de los sitios octaédricos y tetraédricos de la FCC



1,0,0

1/4,1/4,1/4 3/4,3/4,1/4

3/4,1/4,3/4

1/4,3/4,3/4


Sitio Tetraedral

Se tienen los vértices del tetraedro

A 0.0,0.0,0.0

B 0.5,0.5,0.0

C 0.5,0.0,0.5

D 0.0,0.5,0.5

Se calcula la distancia entre 2 puntos:

d= sqrt{ (x-x1)2+(y-y1)2+(z-z1)2}

Siendo x1,y1,z1 las coordenadas de uno

de los vértices del tetraedro.

(PA)2= (x-0)2+(y-0)2+(z-0)2 = x2+y2+z2

(PB)2= (x-0.5)2+(y-0.5)2+(z-0)2 = x2+y2+z2-x-z+0.5

(PC)2= (x-0.5)2+(y-0)2+(z-0.5)2 = x2+y2+z2-x-z+0.5

(PD)2= (x-0)2+(y-0.5)2+(z-0.5)2 = x2+y2+z2-y-z+0.5


Igualando 0= -x-y+0.5 x+y= 0.5

(PA)2= (PB)2 0= -x-z+0.5 x+z= 0.5(PA)2= (PC)2 0= -y-z+0.5 y+z= 0.5


∆=| 0 1 0 ∆x=| 0.5 1 0 ∆ y=| 1 0.5 0 ∆z=| 1 1 0.5

1 0 1 0.5 0 1 1 0.5 1 1 0 0.5

0 1 1| 0.5 1 1| 0 0.5 1| 0 1 0.5|

X= ∆x/ ∆ =1/4

Y= ∆y/ ∆= 1/4

Z= ∆z/ ∆= 1/4

0,0,0

0,0,1



4 Ra

Sitios Octaédricos en FCC



Sitios Tetraédricos en FCC

2

4 Ra



Cloruro de Cesio (CsCl)



Cloruro de Sodio (NaCl)



Fluorita (CaF2)



Blenda de Zinc (ZnS)

S

Zn

Diamante

Arseniuro de Galio

(GaAs)

Ga

As



Direcciones y planos

Las coordenadas dentro del cristal se

expresan como una triada separada por comas.

Los materiales se deforman en las direcciones en la que los átomos

están en contacto más estrecho.

Los índices de Miller son la notación abreviada

para las direcciones dentro de un cristal.

Se debe seguir el siguiente procedimiento:

1) Usar un sistema dextrógiro y determinar lascoordenadas de 2 puntos en la dirección a

determinar.

2) Restar la coordenada inicial de la final.

3) Reducir las fracciones y/o los resultados de la

resta a los enteros mínimos.

4) Encerrar los números en corchetes cuadrados ([]).

Los signos negativos se representan sobre el número.

Ejemplo:

Aristas del cubo: [100],[010],[001],[0-10],[00-1],[-100]

Todas son direcciones equivalentes <100>

Diagonales del cubo: <111>

Diagonales de la caras: <110>

1,0,1

0,1,1

0,1,0





Familia de direcciones



Actividad 14

Determine los índices de Miller de la dirección definida en la siguiente figura




La coordenadas de los puntos son:

1,0,1/2 y 0,1,1/3

< 0,1,1/3> - < 1,0,1/2 > = <-1,1,-1/6>

Eliminando fracciones

6* <-1,1,-1/6> = -6, 6, -1

Entonces es la dirección

[-6,6,-1]

Ejercicio: Determine los índices de Miller de la dirección cúbica. Las coordenadas

de posición son ¾,0,1/4 y ¼, ½, 1/2



PlanosSe debe seguir el siguiente procedimiento.

1) Identificar los puntos de intersección con los

ejes x,y,z, en unidades de a. Cuando el plano

pasa a través del origen, entonces el sistema

de coordenadas deberá moverse.2) Tome los recíprocos de las intersecciones.

3) Elimine las fracciones sin reducir a enteros

mínimos.

4) Encierre los números entre paréntesis ().

Los negativos se colocan sobre el número.

Se debe tener en cuenta lo siguiente:

i) Los planos y sus negativos son iguales.

ii) Los planos y sus múltiplos no son iguales

(Contrario a lo que pasa con las direcciones).

iii) Una familia de planos se representa con {}.

(111)

(222)

(200)(220)

Intercepcionesx=1, y=1, z=1

Intercepciones

x=1/2, y=1/2,

z=1/2

Intercepciones

x=1/2, y=,z=





Los planos y sus negativos son iguales

En un sistema cúbico, la direcciónY el plano con los mismos indices

Son perpendiculares.



Actividad 15

Determinar los índices de Miller de un plano cuyas intersecciones con los ejes

x,y,z son:1/3 , 2/3, 1




Se conocen las intersecciones:

1/3 , 2/3, 1

Cuyos recíprocos son:

3 , 3/2, 1

Se evitan las fracciones multiplicando por 2:

6, 3,2

Entonces el plano es: (632)

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