Tema 4
Tema 4. Control de Proyectos
Uno de los trabajos ms desafiantes para el administrador es la
direccin de un proyecto de gran escala que requiere coordinar
numerosas actividades.
Deben considerarse un sinfn de detalles al planear cmo coordinar
todas las actividades, al desarrollar una programacin realista y
despus supervisar el avance del proyecto.
Se dispone de dos tcnicas de investigacin de operaciones,
desarrolladas a finales de los aos de 1950, que se relacionan muy
de cerca:
1. PERTProgram Evaluation and Review Technique, que es una
tcnica de evaluacin y revisin de programas.
2. CPMCritical Path Method, mtodo de la ruta crtica para
auxiliar al director del proyecto a cumplir sus
responsabilidades
Ambas tcnicas usan redes para ayudar a planear e ilustrar la
coordinacin de todas las actividades.
Tambin utilizan un paquete de software para manejar todos los
datos necesarios para desarrollar la informacin de la programacin y
luego supervisar el avance del proyecto.
Uno de los paquetes ms usados es el software de administracin de
proyectos, comnmente llamado MS Project de Microsoft.
PERT y CPM se desarrollaron independientemente y en sus
versiones originales tenan algunas diferencias importantes; sin
embargo, por lo mucho que tienen en comn, se han fusionado de modo
gradual al pasar los aos, haciendo que quienes las aplican usen los
dos nombres indistintamente o combinados en un solo acrnimo,
PERT/CPM.
Ejemplo prototipo
La compaa Reliable Construction acaba de ganar una licitacin de
$5.4 millones para construir una nueva planta.
El cliente necesita que la planta est en operacin en un ao, por
lo que el contrato incluye las siguientes clusulas:
1. Una multa de $300,000 si Reliable no termina la construccin
al trmino de 47 semanas a partir de hoy.
2. Para proporcionar un incentivo adicional por la construccin
rpida, se pagar un bono de $150,000 si la planta queda terminada en
40 semanas.
Reliable ha designado a su mejor director de construccin, usted,
a este proyecto para asegurar que marche a tiempo.
Usted acepta el reto de realizarlo conforme al programa y tal
vez terminarlo antes.
Sin embargo, ante la duda de que sea factible terminar en 40
semanas sin incurrir en costos excesivos, usted ha decidido centrar
su planeacin inicial para cumplir con la fecha lmite de 47
semanas.
Usted necesitar arreglarse con un cierto nmero de brigadas que
realicen las distintas actividades de construccin en diferentes
tiempos.
La siguiente tabla muestra la lista de actividades que usted ha
preparado, en donde la tercera columna proporciona informacin
importante para la programacin de las brigadas:
ActividadDescripcin de la actividadPredecesores
inmediatosDuracin estimada
(en semanas)
AExcavacin2
BCimentacinA4
CLevantar murosB10
DColocar techoC6
EInstalar plomera exteriorC4
FInstalar plomera interiorE5
GAplanados exterioresD7
HPintura exteriorE,G9
IInstalar cableado elctricoC7
JAplanados interioresF,I8
KInstalacin de pisosJ4
LPintura interiorJ5
MColocar accesorios exterioresH2
NColocar accesorios interioresK,L6
Predecesores inmediatos: para una actividad dada, son aquellas
actividades que deben terminarse no ms tarde del tiempo de inicio
de la actividad dada.
Sucesores inmediatos: para una actividad dada, son aquellas
actividades que deben iniciarse despus de que termine la actividad
dada.
Una actividad dada es sucesor inmediato de cada uno de sus
predecesores inmediatosPor ejemplo, los primeros elementos de la
tercera columna de la tabla anterior indican que:
1. La excavacin (A) no requiere esperar a que termine ninguna
otra actividad ().
2. La excavacin (A) debe terminarse antes de comenzar a colocar
los cimientos (B).
3. Los cimientos (B) deben quedar terminados antes de empezar a
levantar los muros (C).
Cuando una actividad dada tiene ms de un predecesor inmediato,
todos ellos deben estar terminados antes de iniciar la actividad
dada.
Por ejemplo, para empezar a levantar los muros (C), antes deben
terminarse la excavacin (A) y la cimentacin (B).
Para el llenado de la cuarta columna de la tabla, usted consult
a cada uno de los supervisores de brigada para estimar el tiempo
que debe tomar cada actividad si se realiza normalmente.
Usted se da cuenta que la suma de estos tiempos da un gran total
de:
2 + 4 + 10 + 6 + 4 + 5 + 7 + 9 + 7 + 8 + 4 + 5 + 2 + 6 = 79
semanas
tiempo que rebasa por mucho las 47 semanas disponibles para la
entrega del proyecto.
Usted detecta; sin embargo, que hay actividades que pueden
realizarse en paralelo, lo que reducir sustancialmente el tiempo de
79 semanas.
Por ejemplo, para realizar los aplanados exteriores (G) no se
requiere que est terminada la instalacin de plomera interior
(F).
Como usuario normal de PERT/CPM usted sabe que esta herramienta
le proporcionar una ayuda invaluable en responder las siguientes
preguntas:
1) Cmo puede trazarse una grfica del proyecto para visualizar el
flujo de actividades?
2) Cul es el tiempo total requerido para terminar el proyecto si
no ocurren retrasos?
3) Cundo deben iniciar y terminar (lo ms tarde) las actividades
individuales para cumplir con este tiempo de terminacin del
proyecto?
4) Cundo deben iniciar y terminar (lo ms pronto) las actividades
individuales si no ocurren retrasos?
5) Cules son las actividades cuello de botella en las que deben
evitarse retrasos para prevenir que se atrase la terminacin del
proyecto?
6) Para las otras actividades, cunto retraso puede tolerarse sin
retrasar la terminacin del proyecto?
7) Dadas las incertidumbres en la estimacin precisa de las
duraciones de las actividades, cul es la probabilidad de que el
proyecto termine a tiempo?
8) Si se gasta dinero adicional para acelerar el proyecto, cul
es la manera menos costosa de intentar cumplir con la meta de
terminacin de 40 semanas?
9) Cmo deben supervisarse los costos sobre la marcha para tratar
de mantener el proyecto dentro del presupuesto?
Usos de redes para visualizar los proyectos
Pregunta 1 Cmo puede trazarse una grfica del proyecto para
visualizar el flujo de actividades?
Las redes tienen un papel clave en el manejo de proyectos:
1. Permiten mostrar las relaciones entre las actividades y
colocar todo en una perspectiva
2. Se usan para ayudar en el anlisis de proyectos
3. Ayudan a responder las preguntas planteadas en prrafos
anteriores
Redes de proyectos
Red de proyecto: es una red usada para representar un
proyecto.
Una red de proyecto consiste en cierto nmero de nodos (mostrados
como crculos o rectngulos) y arcos (mostrados como flechas) que van
de un nodo a otro.
Como se describe en la ltima tabla, se requieren tres tipos de
datos para describir un proyecto:
1. Informacin de la actividad: desglose del proyecto en sus
actividades individuales
2. Relaciones de precedencia: identificar los predecesores
inmediatos de cada actividad
3. Datos de tiempo: estimacin la duracin de cada actividad
La red de proyecto debe contener toda esta informacin.
Se dispone de dos tipos alternativos de redes de proyecto para
hacer esto:
Red de proyecto tipo AOA: Activity On Arc, actividades en los
arcos, donde cada actividad est representada por un arco.
Un nodo se usa para separar una actividad (arco que sale) de
cada uno de sus predecesores inmediatos (arcos que llegan).
La secuencia de arcos muestra las relaciones de precedencia
entre las actividades.
Red de proyecto tipo AON: Activity On Node, actividades en los
nodos, donde cada actividad est representada por un nodo.
Los arcos se usan para mostrar las relaciones de precedencia
entra las actividades.
El nodo para cada actividad est unido con los predecesores
inmediatos por medio de un arco que llega desde cada uno de estos
predecesores a los nodos.
Las versiones originales de PERT/CPM usaban redes de proyecto
tipo AOA; sin embargo, se utilizarn las tipo AON por ser ms
sencillas y manejables.
La siguiente figura muestra la red e proyecto para en contrato
de Reliable.
Refirindose a la tercera columna de la tabla anterior, se
observa que existe un arco que llega a cada actividad desde cada
uno de sus predecesores inmediatos.
Como la actividad A no tiene predecesores, hay un nodo de inicio
que conecta a esta actividad.
Igualmente, como las actividades M y N no tienen sucesores
inmediatos, los arcos que salen de estas actividades llegan a un
nodo de termino.La red de proyecto muestra todas las relaciones de
precedencia entre todas las actividades, ms el inicio y terminacin
del proyecto.
Segn la columna derecha de la tabla, el nmero al lado del nodo
para cada actividad registra la duracin estimada en semanas esa
actividad.
Programacin de un proyecto con PERT/CPM
Preguntas
2. Cul es el tiempo total requerido para terminar el proyecto si
no ocurren retrasos?
3. Cundo deben iniciar y terminar (lo ms tarde) las actividades
individuales para cumplir con este tiempo de terminacin del
proyecto?
4. Cundo deben iniciar y terminar (lo ms pronto) las actividades
individuales si no ocurren retrasos?
5. Cules son las actividades cuello de botella en las que se
deben evitar os para prevenir que se atrase la terminacin del
proyecto?
6. Para las otras actividades, cunto retraso puede tolerarse sin
retrasar la terminacin del proyecto?
La red de la figura anterior permite contestar todas estas
preguntas al proporcionar dos piezas clave de informacin:
Orden: en que deben realizarse las actividades.
Duracin: tiempo estimado de cada actividad.
La ruta crtica
Se observ antes que al sumar las duraciones de todas las
actividades se obtiene un gran total de 79 semanas, que no es la
respuesta a cunto tiempo debe tomar el proyecto?, porque algunas
actividades pueden realizarse (ms o menos) al mismo tiempo.
Lo relevante es la longitud de cada trayectoria a travs de la
red.
Trayectoria: una trayectoria a travs de una red de proyecto es
una de las rutas que siguen los arcos desde el nodo INICIO hasta el
nodo TERMINO.
Longitud: la longitud de una trayectoria es la suma de las
duraciones de las actividades en la trayectoria.
Las seis trayectorias que cruzan la red de la figura anterior,
se muestran en la siguiente tabla junto con los clculos de sus
longitudes:
TrayectoriaLongitud
INICIOABCDGHMTERMINO2 + 4 + 10 + 6 + 7 + 9 + 2 = 40 semanas
INICIOABCEHMTERMINO2 + 4 + 10 + 4 + 9 + 2 = 31 semanas
INICIOABCEFJKNTERMINO2 + 4 + 10 + 4 + 5 + 8 + 4 + 6 = 43
semanas
INICIOABCEFJLNTERMINO2 + 4 + 10 + 4 + 5 + 8 + 5 + 6 = 44
semanas
INICIOABCIJKNTERMINO2 + 4 + 10 + 7 + 8 + 4 + 6 = 41 semanas
INICIOABCIJLNTERMINO2 + 4 + 10 + 7 + 8 + 5 + 6 = 42 semanas
Las longitudes de las trayectorias van de 31 a 44 semanas para
la trayectoria ms larga.
Dadas estas longitudes, cul debe ser la duracin del proyecto
(estimada); es decir, el tiempo total requerido para terminar el
proyecto?
Como las actividades en cualquier trayectoria deben realizarse
una despus de la otra sin traslapes, la duracin del proyecto no
puede ser menor que la longitud de la trayectoria.
Pero la duracin del proyecto s puede ser mayor debido a que
alguna actividad en dicha trayectoria con predecesores inmediatos
mltiples quiz deba esperar a que termine un predecesor inmediato
que no est en la trayectoria.
Por ejemplo, la segunda trayectoria de la tabla anterior incluye
la actividad H.
sta tiene dos predecesores, uno (la actividad G) que no est en
la trayectoria y el otro (la actividad E) que s est.
Una vez terminada la actividad C, slo se requieren 4 semanas ms
para terminar la actividad E, pero se necesitan 6 semanas para que
termine la actividad D y despus 7 semanas para terminar la
actividad G; es decir, una vez terminada la actividad E en 4
semanas, debe esperar 6 + 7 4 = 9 semanas ms para poder empezar la
actividad H.
Por lo tanto, la duracin del proyecto debe ser considerablemente
mayor que la longitud de la segunda trayectoria de la tabla.
No obstante, la duracin del proyecto no ser mayor que la
trayectoria que tenga la ruta ms larga a travs de la red.
Las actividades en esta ruta ms larga pueden realizarse en
secuencia sin interrupciones, porque de lo contrario no sera la
ruta ms larga.
Por lo tanto, el tiempo requerido para llegar al nodo de TERMINO
es igual a la longitud de la ruta ms larga y, adems, las rutas ms
cortas no podrn llegar al TERMINO despus de esto.
Duracin del proyecto: es igual a la longitud de la ruta ms larga
a travs de la red de proyecto.
Ruta crtica: es el nombre dado a dicha ruta o trayectoria ms
larga; en caso de empate entre varias trayectorias para la longitud
ms larga, todas son rutas crticas.
Para el caso de Reliable, se tiene (ver ltima tabla):
Ruta crtica = INICIOABCEFJLNTERMINODuracin estimada del proyecto
= 44 semanas
Si no ocurren retrasos, el tiempo total requerido para terminar
el proyecto debe ser de alrededor de 44 semanas.
Las actividades en la ruta crtica son las actividades cuello de
botella en las que debe evitarse cualquier demora en su terminacin
para prevenir que la terminacin del proyecto se retrase.
Si se decide reducir la duracin del proyecto (recordando el bono
por terminar en 40 semanas), stas son las actividades crticas donde
deben hacerse cambios para reducir las duraciones.
En redes de proyecto pequeas, como la de este ejemplo, encontrar
todas las rutas y determinar la ruta ms larga, es una manera
conveniente para identificar la ruta crtica; sin embargo, este
procedimiento no es tan eficiente en proyectos grandes para los que
PERT/CPM usa un procedimiento mejor, proporcionando informacin
necesaria para programar todas las actividades y despus evaluar las
consecuencias si alguna de ellas se retrasa.
Programacin de actividades individuales
El procedimiento de programacin PERT/CPM empieza con la pregunta
4 cundo deben iniciar y terminar (lo ms pronto) las actividades
individuales si no ocurren retrasos?
No tener retrasos significa:
1. La duracin real de cada actividad resulta ser la misma que su
duracin estimada.
2. Cada actividad comienza en cuanto todos sus predecesores
inmediatos terminan.
Si no ocurren retrasos, los tiempos de inicio y trmino de cada
actividad se llaman:
Tiempo de inicio ms cercano: (IC) para una actividad dada.
Tiempo de trmino ms cercano: (TC) para una actividad dada.
Donde:
TC = IC + duracin (estimada) de la actividad
Para el proyecto de Reliable:
Actividad A: como la actividad A inicia el proyecto, el tiempo
de inicio del proyecto es igual a 0; la duracin en semanas de la
actividad A est dada en la ltima figura, exactamente sobre el nodo
correspondiente.
IC = tiempo de inicio del proyecto IC = 0TC = IC + duracin (2
semanas);TC = 0 + 2;
TC = 2Actividad B: la actividad B puede iniciar en cuanto
termine la actividad A, entonces:
IC = TC de la actividad A;
IC = 2TC = IC + duracin (4 semanas);TC = 2 + 4;
TC = 6Este clculo del IC de la actividad B ilustra la:
Primera regla para el clculo de IC: si una actividad tiene slo
un predecesor inmediato, entonces:
IC para esa actividad = TC para el predecesor inmediato
Esta regla (ms el clculo de cada TC) da de inmediato IC y TC
para la actividad C, despus para las actividades D, E e I, y
finalmente para las actividades G y F, como se muestra en la
figura:
Por ejemplo, la actividad G indica que esta actividad (colocar
aplanados exteriores) debe iniciar 22 semanas despus del inicio del
proyecto y terminar en la semana 29.
Ahora, considere la actividad H que tiene dos predecesores
inmediatos, las actividades G y E.
El inicio de la actividad H debe esperar hasta que ambas
actividades, G y E, terminen; esto da el siguiente clculo:
Predecesores inmediatos de la actividad H:
La actividad G tiene TC = 29La actividad E tiene TC = 20
Mayor = 29Por lo tanto, el IC para la actividad H = TC mayor
calculado para las actividades G y E que corresponde a G con 29
semanas.
Este clculo ilustra la regla general para obtener el tiempo de
inicio ms cercano para cualquier actividad:
Segunda regla para el clculo de IC: el tiempo de inicio ms
cercano (IC) de una actividad es igual al mayor de los tiempos de
terminacin (TC), ms cercanos, de sus predecesores inmediatos;
entonces:
IC para una actividad = TC mayor de los predecesores
inmediatos
Cuando la actividad tiene un slo predecesor, esta regla se
convierte en la primera regla vista con anterioridad; sin embargo,
tambin permite que haya cualquier nmero de predecesores
inmediatos.
Al aplicarla al resto de las actividades de la figura anterior
(y calcular cada TC a partir de los IC) se llega al conjunto
completo de valores IC y TC mostrados a continuacin:
En la figura anterior que se incluyen los valores de IC y TC
para los nodos de INICIO y TRMINO; debido a que, por convencin,
estos nodos son actividades ficticias que no requieren tiempo.
Para el nodo INICIO, IC = 0 = TC de manera automtica; para el
nodo TERMINO se usa la segunda regla del tiempo de inicio ms
cercano para calcular IC en forma usual:
Predecesores inmediatos del nodo TERMINO:
La actividad M tiene TC = 40
La actividad N tiene TC = 44
Se toma el TC mayor= 44Por lo tanto:
IC para el nodo TERMINO = TC mayor calculado = 44TC para el nodo
TERMINO = 44 + duracin (0) = 44Este ltimo clculo indica que el
proyecto debe terminar en 44 semanas si todo sale como se program
segn los tiempos de inicio y terminacin de cada actividad en la
ltima figura.
Ahora puede usted usar este programa para informar a los
responsables de cada una de las brigadas cundo deben planear el
inicio y la terminacin de su trabajo en cada actividad.
Proceso de pasada hacia delante por la red: empezar con las
actividades iniciales y trabajar hacia delante en el tiempo hasta
las finales, para calcular IC y TC.
La siguiente parte del procedimiento consiste en determinar
cunto tiempo ms tarde que el indicado en la ltima figura puede
iniciar o terminar una actividad sin retrasar la terminacin del
proyecto.
Tiempo de inicio ms lejano (IL): para una actividad dada es el
tiempo ms lejano posible para comenzar sin retrasar la terminacin
del proyecto (de modo que todava se llegue al nodo TERMINO en su
tiempo de terminacin ms cercano), suponiendo que no hay retrasos
subsecuentes.
Tiempo de trmino ms lejano (TL): para una actividad dada es el
tiempo ms lejano posible para terminar sin retrasar la terminacin
del proyecto (de modo que todava se llegue al nodo TERMINO en su
tiempo de terminacin ms cercano), suponiendo que no hay retrasos
subsecuentes.
Donde:IL = TL duracin (estimada) de la actividad
Para encontrar TL, se tiene la siguiente regla:
Tercera regla para el clculo de TL: El tiempo de terminacin ms
lejano de una actividad es igual al menor de los tiempos de inicio
ms lejanos de sus sucesores inmediatos:
TL para una actividad = IL menor de los sucesores inmediatos
Dado que los sucesores inmediatos de una actividad no pueden
comenzar hasta que la actividad termina, esta regla dice que la
actividad debe terminar a tiempo para permitir que todos sucesores
inmediatos comiencen en sus tiempos de inicio ms lejanos.
Actividad de TERMINO: este nodo debe alcanzarse en un tiempo de
44 semanas para que el proyecto termine en tiempo; entonces,
primero se asignan valores a este nodo:
TL = su mismo TC = 44IL = 44 duracin (0) = 44 0 = 44Actividad M:
esta actividad tiene como nico sucesor inmediato al nodo TERMINO,
al aplicarle la regla de la terminacin ms lejana se tiene:
TL = IL para el nodo TERMINIO = 44IL = 44 duracin de M (2
semanas) = 44 2 = 42Actividad H: su nico sucesor inmediato es la
actividad M, ahora puede aplicarse la regla del tiempo de
terminacin ms lejano a esta actividad:
TL = IL para la actividad M = 42IL = 42 duracin de H (9 semanas)
= 42 9 = 33
A este proceso se le conoce como:
Proceso de pasada hacia atrs por la red: comienza por las ltimas
actividades y trabaja hacia atrs en el tiempo hacia las actividades
iniciales para calcular todos los valores de TL e IL.
La siguiente figura muestra los resultados de la pasada hacia
atrs hasta completarla:
Como observacin, considrese la actividad J, que tiene dos
sucesores inmediatos:
Actividad L tiene IL
= 33Actividad K tiene IL = 34Se elige el IL menor = 33Por lo
tanto, TL para la actividad J = IL menor calculado = 33.
El programa que se deduce de la figura anterior se conoce como
programa de la ltima oportunidad, porque incluso si una actividad
comienza y termina tan tarde como se indica en la figura, todava es
posible evitar que se retrase el proyecto a ms de 44 semanas,
siempre y cuando no haya demoras subsecuentes.
Para tener un margen contra demoras no esperadas, es preferible
apegarse, siempre que sea posible, al programa del tiempo ms
cercano (penltima figura), para proporcionar cierta holgura en
algunas partes del programa.
Identificacin de holguras en el programa
Para identificar la holgura, es conveniente combinar los tiempos
ms lejanos de la ltima figura y los tiempos ms cercanos de la
penltima figura en una sola figura.
Tomando la actividad M como ejemplo, esto se hace despegando la
informacin de cada actividad como sigue:
Duracin
(estimada)Tiempo de inicio
ms cercanoTiempo de inicio
ms lejano
2I ( 38 , 42 )
T ( 40 , 44 )
Tiempo de trmino
ms cercanoTiempo de trmino
ms lejano
Obsrvese que las letras I o T frente a cada parntesis recuerdan
que stos son tiempos de inicio o de trmino.
La siguiente figura muestra esta informacin para todo el
proyecto.
Esta figura facilita ver cunta holgura tiene cada actividad.
Holgura: para una actividad es la diferencia entre su tiempo de
terminacin ms lejano y su tiempo de terminacin ms cercano.
Holgura = TL TC
Puesto que TL TC = IL IC, se puede usar cualquier diferencia
para calcular la holgura:
Holgura = IL IC
Por ejemplo, la holgura de la actividad M se calcula:
Holgura actividad M = 44 40 = 4;o tambin Holgura = 42 38 = 4Esto
indica que actividad M se puede retrasar 4 semanas a partir de su
tiempo ms cercano programado, sin retrasar la terminacin del
proyecto en la semana 44.
La siguiente tabla muestra la holgura de cada actividad.
ActividadHolgura
(TL TC)Est en la
ruta crtica?
A2-2 = 0SI
B6-6 = 0SI
C16-16 = 0SI
D26-22 = 4NO
E20-20 = 0SI
F25-25 = 0SI
G33-29 = 4NO
H42-38 = 4NO
I25-23 = 2NO
J33-33 = 0SI
K38-37 = 1NO
L38-38 = 0SI
M44-40 = 4NO
N44-44 = 0SI
Debe notarse que algunas actividades tienen holgura cero; esto
indica que cualquier demora en estas actividades retrasar todo el
programa.
Esta es la manera en que PERT/CPM identifica las rutas
crticas.
Holgura cero: cada actividad con holgura igual a cero, est en la
ruta crtica de la red de proyecto, de tal manera que cualquier
retraso a lo largo de esta ruta retrasar la terminacin del
proyecto.
As, la ruta crtica del ejemplo es:
INICIOABCEFJLNTERMINO
tal y como se haba determinado en la segunda tabla.
Las actividades de la ruta crtica son las que se resaltan en
rojo en la ltima figura y son las que se deben supervisar con mucho
cuidado para evitar que el proyecto se retrase.
Elaboracin de ruta crtica mediante Excel
En las dos siguientes figuras se muestran la hoja de resultados
de Excel y la forma adecuada de introducir las frmulas y los datos
en las celdas.
Las ecuaciones de la columna E se basan directamente en el
tiempo de inicio cercano.
La columna F utiliza la frmula:
Tiempo de trmino cercano = Tiempo de inicio cercano +
Duracin
La duracin se muestra en la columna D.La columna G utiliza la
frmula:
Tiempo de inicio lejano = Tiempo de trmino lejano Duracin
La columna H aplica la regla del tiempo de trmino lejano.
La columna I utiliza la frmula de la holgura:
Holgura = Tiempo de trmino lejano Tiempo de trmino cercano
La columna J dice SI si la holgura es igual a cero y NO de otra
manera.
EFGHIJ
40=E4+D4=H4-D4=MIN(G5)=H4-F4=SI(I4=0,SI,NO)
5=MAX(F4)=E5+D5=H5-D5=MIN(G6)=H5-F5=SI(I5=0,SI,NO)
6=MAX(F5)=E6+D6=H6-D6=MIN(G7,G8,G12)=H6-F6=SI(I6=0,SI,NO)
7=MAX(F6)=E7+D7=H7-D7=MIN(G10)=H7-F7=SI(I7=0,SI,NO)
8=MAX(F6)=E8+D8=H8-D8=MIN(G9,G11)=H8-F8=SI(I8=0,SI,NO)
9=MAX(F8)=E9+D9=H9-D9=MIN(G13)=H9-F9=SI(I9=0,SI,NO)
10=MAX(F7)=E10+D10=H10-D10=MIN(G11)=H10-F10=SI(I10=0,SI,NO)
11=MAX(F8,F10)=E11+D11=H11-D11=MIN(G16)=H11-F11=SI(I11=0,SI,NO)
12=MAX(F6)=E12+D12=H12-D12=MIN(G13)=H12-F12=SI(I12=0,SI,NO)
13=MAX(F9,F12)=E13+D13=H13-D13=MIN(G14,G15)=H13-F13=SI(I13=0,SI,NO)
14=MAX(F13)=E14+D14=H14-D14=MIN(G17)=H14-F14=SI(I14=0,SI,NO)
15=MAX(F13)=E15+D15=H15-D15=MIN(G17)=H15-F15=SI(I15=0,SI,NO)
16=MAX(F11)=E16+D16=H16-D16=F19=H16-F16=SI(I16=0,SI,NO)
17=MAX(F14,F15)=E17+D17=H17-D17=F19=H17-F17=SI(I17=0,SI,NO)
18
19=MAX(F4:F17)
Manejo de la incertidumbre en las duraciones de las
actividades
Pregunta
7. Dadas las incertidumbres en la estimacin precisa de las
duraciones de las actividades, cul es la probabilidad de que el
proyecto termine a tiempo (47 semanas)?
Recurdese que Reliable incurrir en una multa cuantiosa
($300,000) si no termina a tiempo; por lo tanto, usted debe conocer
la probabilidad de cumplir con la fecha.
Debe quedar claro que esta suposicin se basa en que la duracin
real de cada actividad ser la misma que la duracin estimada, por lo
menos para las actividades de la ruta crtica.
Si la compaa no tiene experiencia previa en este tipo de
proyectos, existir una incertidumbre importante acerca de cunto
tiempo en realidad ser necesario para cada actividad.
En la prctica, la duracin de cada actividad es una variable
aleatoria que tiene algn tipo de distribucin de probabilidad.
Enfoque de tres estimaciones de PERT
La versin original de PERT tom en cuenta esta incertidumbre con
el clculo de tres tipos de estimaciones para la duracin de una
actividad a fin de obtener informacin acerca de su distribucin de
probabilidad.
Las tres estimaciones que se obtienen para cada actividad
son:
Estimacin ms probable (m) = estimacin del valor ms probable de
la duracin
Estimacin optimista (o) = estimacin de la duracin en las
condiciones ms favorables
Estimacin pesimista (p) = estimacin de la duracin en las
condiciones ms desfavorables
La localizacin de estas tres estimaciones respecto a la
distribucin de probabilidad es:
Segn la grfica, se supone que las estimaciones optimista (o) y
pesimista (p) estn en los extremos de lo que es posible, mientras
que la estimacin ms probable (m) proporciona un punto alto de la
distribucin de probabilidad.
PERT supone que la forma de la distribucin de probabilidad es la
de una distribucin beta (como la mostrada) con el fin de calcular
la media () y la varianza (2) de la distribucin.
Para la mayora de las distribuciones de probabilidad como la
beta, toda distribucin est dentro del intervalo (o , p) o rango
entre ( 3) y ( + 3), lo cual abarca 6 desviaciones estndares de la
distribucin.
Por ejemplo, en una distribucin normal, 99.73% de la distribucin
est dentro de este intervalo (3 desviaciones estndares de su
media).
As, la amplitud entre los tiempos ms pequeos y ms grandes en la
figura anterior es de alrededor de 6; por lo tanto, una frmula
aproximada para 2 es:
De manera similar, una frmula aproximada para es la media
aritmtica entre (o + p)/2 y m:
;
De modo intuitivo, esta frmula coloca mucho ms peso (4) en la
estimacin ms probable y pesos ms pequeos en las otras
distribuciones (1).
Despus de que usted se comunicara con los supervisores de cada
brigada responsable de cada actividad para pedirles estas tres
estimaciones de la duracin de la actividad, la respuesta se muestra
en las primeras columnas de la siguiente tabla:
ActividadEstimacin
optimista
(o)Estimacin ms
aproximada
(m)Estimacin
pesimista
(p)Media
Varianza
A12321/9
B23 841
C6918104
D45 1061
E14 544/9
F441051
G56 1171
H581794
I37 971
J39981
K44440
L15 751
M12321/9
N55 964/9
En este ejemplo sucede que todas las medias son iguales a las
duraciones estimadas, dadas en la primera tabla del problema.
Por lo tanto, si todas las duraciones de las actividades fueran
iguales a sus medias, la duracin del proyecto todava sera de 44
semanas; es decir, 3 semanas antes de la fecha de entrega.
Sin embargo, usted sabe que las duraciones fluctan alrededor de
sus medias y por lo tanto es inevitable que la duracin de algunas
actividades sea mayor que la media, tal vez tan grande como la
estimacin pesimista, que podra retrasar mucho el proyecto.
Para verificar el peor de los casos, usted centra su atencin en
la estimacin pesimista de duracin dada en la 4 columna de la tabla
y elabora el siguiente anlisis:
TrayectoriaLongitud
INICIOABCDGHMTERMINO3 + 8 + 18 + 10 + 11 + 17 + 3 = 70
semanas
INICIOABCEHMTERMINO3 + 8 + 18 + 5 + 17 + 3 = 54 semanas
INICIOABCEFJKNTERMINO3 + 8 + 18 + 5 + 10 + 9 + 4 + 9 = 66
semanas
INICIOABCEFJLNTERMINO3 + 8 + 18 + 5 + 10 + 9 + 7 + 9 = 69
semanas
INICIOABCIJKNTERMINO3 + 8 + 18 + 9 + 9 + 4 + 9 = 60 semanas
INICIOABCIJLNTERMINO3 + 8 + 18 + 9 + 9 + 7 + 9 = 63 semanas
En la tabla anterior, las 6 trayectorias a travs de la red y la
longitud de cada una de ellas corresponden a las estimaciones
pesimistas.
La 4 trayectoria que era la ruta crtica, ahora ha aumentado su
longitud de 44 a 69 semanas; sin embargo, la longitud de la primera
trayectoria, que antes era de 40 semanas aument a 70.
Como esta es la ruta ms larga, es la ruta crtica con las
estimaciones pesimistas, que daran una duracin del proyecto de 70
semanas.
Dado este terrible, pero poco probable escenario del peor caso,
usted se da cuenta que existe muy poca certidumbre de que se
cumplir la fecha de entrega de 47 semanas, pero, para conocer la
probabilidad de que se cumpla, usted recurre a PERT/CPM para
calcular dicha probabilidad.
Aproximaciones simplificadas
Para calcular la probabilidad de que la duracin del proyecto no
ser mayor que 47 semanas, es necesario obtener la siguiente
informacin respecto a la distribucin de probabilidad de la duracin
del proyecto:
1. Cul es la media (denotada por p) de esta distribucin?
2. Cul es la varianza (denotada por 2p) de esta distribucin?
3. Cul es la forma de la distribucin?
Ruta crtica media: es la ruta a travs del proyecto que sera la
ruta crtica si la duracin de cada actividad fuera igual a su
media.
Como en este ejemplo las duraciones medias coinciden con las
duraciones analizadas al principio del ejemplo, la ruta crtica
media de la red de Reliable es la que ya se haba obtenido:
INICIOABCEFJLNTERMINO
Se cuenta con un mtodo sencillo para calcular p y 2p.
p = suma de medias de las duraciones para las actividades en la
ruta crtica media.
2p = suma as varianzas de las duraciones para las actividades en
la ruta crtica media.
Como las medias y las varianzas de las duraciones para las
actividades del proyecto Reliable estn dadas en la penltima tabla,
slo es necesario registrar esos valores para las actividades en la
ruta crtica media como se muestra:
Actividades en la ruta crtica mediaMedia
Varianza
A21/9
B41
C104
E44/9
F51
J81
L51
N64/9
Duracin del proyectop = 442p = 9
Supngase que la forma de la distribucin de probabilidades de la
duracin del proyecto sea una distribucin normal, como se muestra en
la siguiente figura:
El teorema del lmite central justifica como razonable esta
suposicin, siempre y cuando el nmero de actividades en la ruta
crtica media no sea demasiado pequeo (digamos 5) y, adems, la
aproximacin mejora conforme aumenta el nmero de actividades.
Aproximacin de la probabilidad de cumplir con la fecha de
entrega
Ahora puede calcularse (aproximadamente) la probabilidad
terminar el proyecto Reliable dentro de las 47 semanas.
Sean:T = duracin del proyecto (en semanas), que tiene
(aproximadamente) una distribucin normal con media p = 44 y 2p =
9.
d = fecha de entrega del proyecto = 47 semanas.
Como la desviacin estndar de T es p = 3, el nmero de
desviaciones estndares en el que d excede a p es:
Por lo tanto, a partir de la tabla para una distribucin normal
estndar (distribucin normal con media 0 y varianza 1), la
probabilidad de cumplir con la fecha de entrega es:
P(T d) = P(normal estndar Ka )
P(T d) = 1 P(normal estndar > Ka )
P(T d) = 1 0.1587
P(T d) 0.84
Advertencia: El director del proyecto debe tomar esta P(T d)
0.84 slo como una gua de la oportunidad de cumplir con la fecha de
entrega, sin tomar nuevas medidas costosas para tratar de reducir
la duracin de algunas actividades, ya que es una aproximacin de la
probabilidad verdadera
A continuacin se muestra la hoja de clculo en Excel que permite
obtener P(T d) rpidamente y de manera precisa.
FG
5=(C5+4*D5+E5)/6=POTENCIA(((E5-C5)/6),2)
6=(C6+4*D6+E6)/6=POTENCIA(((E6-C6)/6),2)
7=(C7+4*D7+E7)/6=POTENCIA(((E7-C7)/6),2)
8=(C8+4*D8+E8)/6=POTENCIA(((E8-C8)/6),2)
9=(C9+4*D9+E9)/6=POTENCIA(((E9-C9)/6),2)K
10=(C10+4*D10+E10)/6=POTENCIA(((E10-C10)/6),2)7=SUMAR.SI(H15:H18,*,F5:F18)
11=(C11+4*D11+E11)/6=POTENCIA(((E11-C11)/6),2)8=SUMAR.SI(H15:H18,*,G5:G18)
12=(C12+4*D12+E12)/6=POTENCIA(((E12-C12)/6),2)9
13=(C13+4*D13+E13)/6=POTENCIA(((E13-C13)/6),2)10=DISTR.NORM(K12,K7,RAIZ(K8),1)
14=(C14+4*D14+E14)/6=POTENCIA(((E14-C14)/6),2)
15=(C15+4*D15+E15)/6=POTENCIA(((E15-C15)/6),2)
16=(C16+4*D16+E16)/6=POTENCIA(((E16-C16)/6),2)
17=(C17+4*D17+E17)/6=POTENCIA(((E17-C17)/6),2)
18=(C18+4*D18+E18)/6=POTENCIA(((E18-C18)/6),2)
Para que la hoja anterior funcione, debe especificarse la ruta
crtica media (colocando un * en la columna G para cada actividad en
esa ruta) y la duracin del proyecto en la celda K12.
La hoja calcula la media y la varianza de la longitud de la ruta
crtica media junto con la probabilidad de que el proyecto termine
en la fecha indicada.
Si no est seguro de cul es la ruta crtica media, se puede
verificar la longitud media de cualquier trayectoria colocando un *
en cada actividad de esa ruta en la columna G; la trayectoria con
la longitud media ms larga es la ruta critica media.
Usted se da cuenta que P(T d) = 0.84, u 84%, es tal vez una
aproximacin optimista y est preocupado porque quiz tenga slo una
oportunidad del 70% a 80% de cumplir con la terminacin del proyecto
a tiempo con el plan actual.
Consideracin del intercambio entre tiempo y costo
En lugar de correr un riesgo significativo de que la compaa
incurra en una multa de $300,000, usted decide investigar cunto
dinero adicional costara reducir la duracin esperada del proyecto a
40 semanas (la fecha de entrega para que la compaa gane un bono de
$150,000 por terminacin temprana) .
Pregunta
8. Si se gasta dinero adicional para acelerar el proyecto, cul
es la manera menos costosa de intentar cumplir con la meta de
terminacin de 40 semanas?
Usted recuerda que CPM cuenta con un procedimiento excelente
para usar programacin lineal en la investigacin de estos
intercambios entre tiempo y coto.
Intercambios entre tiempo y costo para actividades
individuales
Los costos que se incluyen en la relacin tiempo costo, se
refieren a los elementos directos (costos directos) solamente; los
costos indirectos no pueden incluirse, pero su efecto se estudia en
la parte final de cualquier anlisis de intercambio entre tiempo y
costo.
El primer concepto clave es el quiebre:
El quiebre de una actividad se refiere a tomar medias costosas
para reducir la duracin de una actividad a menos de su valor
normal.
Estas medidas incluyen el uso de tiempo extra, contratacin
temporal de mano de obra auxiliar, uso de materiales especiales que
ahorran tiempo, equipo especial, etc.
El quiebre de un proyecto se refiere a acelerar cierto nmero de
actividades para reducir la duracin del proyecto a menos de su
valor normal.
El mtodo CPM de intercambio entre tiempo y costo se ocupa de
determinar cunto acelerar cada actividad para reducir la duracin
prevista del proyecto a un valor deseado.
Los datos necesarios para determinar cunto acelerar una
actividad, estn dados por la grfica de tiempo costo para la
actividad:
Obsrvense los dos puntos ms importantes en esta grfica llamados
normal y quiebre:
El punto normal muestra el tiempo (duracin) y el costo de la
actividad cuando se realiza normalmente.
El punto de quiebre muestra el tiempo y el costo cuando la
actividad se acelera por completo; es decir, cuando se forza, sin
lmite de costo, a reducir su duracin a todo lo posible.
Una actividad con quiebre parcial dar una combinacin de tiempo y
costo que est en algn punto del segmento de recta entre esos dos
puntos.
Por ejemplo, se dice que la mitad de un quiebre completo dar un
punto en este segmento a la mitad entre los puntos normal y de
quiebre.
CPM supone que estos tiempos y costos pueden predecirse
confiablemente sin incertidumbre importante.
Usted pide a su personal que obtenga los datos para cada una de
las actividades del proyecto.
Por ejemplo, el supervisor de la brigada responsable de colocar
los aplanados interiores indica que si agrega dos empleados
temporales y usa tiempo extra, podra reducir la duracin de la
actividad de 8 a 6 semanas, que es lo mnimo posible.
El personal estima entonces el costo de un quiebre completo para
esta actividad as:
Actividad J (colocar aplanados interiores)
Punto normal:tiempo = 8 semanascosto = $430,000
Punto de quiebre:tiempo = 6 semanascosto = $490,000
Reduccin mxima en tiempo:(8 6) = 2 semanas
Costo de quiebre por semana ahorrada == $30,000La siguiente
tabla muestra los datos de intercambio entre tiempo y costo
obtenidos para todas las actividades:
ActividadTiempo (semanas)Costo ($)Mxima reduccin en tiempo
(semanas)Costo de quiebre por semana ahorrada ($)
NormalQuiebreNormalQuiebre
A21180,000280,0001100,000
B42320,000420,000250,000
C107620,000860,000380,000
D64260,000340,000240,000
E43410,000570,0001160,000
F53180,000260,000240,000
G74900,0001020,000340,000
H96200,000380,000360,000
I75210,000270,000230,000
J86430,000490,000230,000
K43160,000200,000140,000
L53250,000350,000250,000
M21100,000200,0001100,000
N63330,000510,000360,000
Totales44284550,0006150,000
Qu actividades deben reducirse?
La tabla anterior muestra la suma total del costo normal y del
costo de quiebre:
Suma de costos normales
=$4.55 millones
Suma de costos de quiebre=$6.15 millones
Recurdese que la compaa recibir $5.4 millones por realizar el
proyecto, sin incluir el bono de $150,000 y la multa de
$300,000.
Este pago debe cubrir los costos generales adems de los costos
de las actividades y proporcionar una ganancia razonable para la
empresa.
Los accionistas de Reliable pensaron que el presupuesto de $5.4
millones proporciona una ganancia razonable, siempre y cuando el
costo total de las actividades se pudiera mantener cercano a los
$4.55 millones.
Usted debe entender que ahora es su responsabilidad mantener el
proyecto lo ms cercano que se pueda al presupuesto y al tiempo
estimados.
Recurdese la siguiente figura de la derecha, si todas las
actividades se realizan de manera normal, la duracin prevista del
proyecto es de 44 semanas (si pueden evitarse los retrasos).
Si todas las actividades tuvieran un quiebre completo, la
duracin se reducira a 28 semanas (ver siguiente figura de la
derecha), pero el costo se hara prohibitivo pues llegara a los
$6.15 millones mostrados en la tabla anterior.
Esto deja claro que la aceleracin de todas las actividades no es
una opcin a considerar.
Ntese en la figura de la derecha anterior que con las duraciones
de quiebre de la ltima tabla, la actividad K tambin se convierte en
crtica.
De cualquier manera, usted deseara investigar la posibilidad de
un quiebre parcial o completo, pero slo en algunas de las
actividades, para reducir la duracin del proyecto a 40 semanas.
Ahora, la pregunta es: Cul es la manera menos costosa de
acelerar algunas actividades para reducir la duracin del proyecto a
40 semanas?, respuesta: mediante el uso de una tcnica llamada:
Anlisis de costo marginal: que utilizando la ltima columna de la
ltima tabla junto con la figura izquierda anterior, determina la
forma menos costosa de reducir la duracin del proyecto 1 semana a
la vez.
La forma de realizar este anlisis es mediante una tabla, como la
mostrada a continuacin, que enumera las rutas a travs de la red de
proyecto y la longitud de cada una de ellas
Actividad de quiebreCosto de quiebreLongitud de la ruta
ABCDGHMABCEHMABCEFJKNABCEFJLNABCIJKNABCIJN
403143444142
Como la 4 trayectoria tiene la ruta ms larga (44 semanas), la
nica forma de reducir la duracin del proyecto, en una semana, es
reduciendo la duracin de las actividades de esa ruta en una
semana.
Comparando los costos de quiebre por semana ahorrada dados en la
ltima columna de la penltima tabla para estas actividades (A B C E
F J L N), el costo menor corresponde a la actividad J que es de
$30,000.
Luego, el primer cambio es acelerar la actividad J reduciendo su
duracin en una semana.
Este cambio provoca una reduccin de una semana en todas las
trayectorias que contienen la actividad J (3, 4, 5 y 6 de la tabla
anterior), como se muestra en la siguiente tabla.
Como la 4 ruta todava es la ms larga (43 semanas), se repite el
proceso para encontrar la actividad dentro de ella que cuesta menos
acortar.
Nuevamente, la actividad J es la ms barata y como en la sexta
columna de la penltima tabla se especifica que puede reducirse 2
semanas, se vuelve a acelerar J.
Esta segunda reduccin de una semana en J lleva al tercer rengln
de la siguiente tabla.
Actividad de quiebreCosto de quiebreLongitud de la ruta
ABCDGHMABCEHMABCEFJKNABCEFJLNABCIJKNABCIJN
403143444142
J$30,000403142434041
J$30,000403141423940
F$40,000403140413940
F$40,000403139403940
La 4 columna sigue siendo la ms larga (42 semanas), pero la
actividad J ya no puede acelerarse ms.
La siguiente actividad ms barata en esta ruta es la F ($40,000
por semana) segn la antepenltima tabla.
Por lo tanto, se acelera la actividad F (presente en las rutas 3
y 4) para obtener el 4 rengln de la tabla anterior y como la misma
trayectoria seguir siendo la ms larga (41 semanas) y se permite una
reduccin de 2 semanas, se vuelve a acelerar F una semana ms para
obtener el ltimo rengln de dicha tabla.
La trayectoria ms larga (empate entre la 1, 4 y 6 rutas) tiene
ahora la longitud deseada de 40 semanas, por lo que no se requiere
ms quiebre.
El costo total del quiebre de las actividades J y F para reducir
la duracin del proyecto a 40 semanas se calcula sumando los costos
en la 2 columna de la tabla anterior, con un total de $140,000.
La figura siguiente muestra la red de proyecto que resulta:
Puesto que $140,000 es un poco menor que el bono de $150,000,
pudiera ser que usted decidiera tomar esta solucin, ya que la
empresa ganara $10,000 adicionales; sin embargo, debido a la
incertidumbre que existe en cuanto a la duracin de las actividades,
usted debera considerar seriamente no reducir nada el proyecto.
La figura anterior indica que las reducciones en las actividades
F y J a sus tiempos de quiebre conduce a tener 3 rutas crticas
(ABCDGHM, ABCEFJLN y ABCIJN) a travs de la red, debido a que
empatan como las trayectorias ms largas con 40 semanas.
Como se ha visto, el resultado de reducir una actividad es un
nuevo programa, quiz con una nueva ruta crtica, cuyo costo asociado
es mayor que el inmediato anterior, puesto que a menor tiempo mayor
costo directo.
El nuevo programa se considera ahora para reduccin y se repite
el proceso hasta que todas las actividades crticas estn en sus
tiempos mnimos de duracin.
El resultado final de los clculos anteriores se pueden expresar
grficamente mediante una curva de tiempo costo para los diferentes
programas, la cual corresponde, como se ha mencionado, solamente a
los costos directos.
Es lgico suponer que cuando aumenta la duracin del proyecto, los
costos indirectos deben aumentar tambin.
La suma de ambos costos (directos e indirectos) da el costo
total del proyecto y el programa ptimo corresponde al costo total
mnimo, como se muestra a continuacin:
Con redes grandes, el anlisis del costo marginal puede
convertirse en algo difcil de aplicar, por lo que CPM aplica la
programacin lineal para resolverlas.
Uso de la programacin lineal para tomar decisiones de
quiebre
El problema para encontrar la manera menos costosa de reducir
actividades se puede establecer en forma de programacin lineal como
sigue:
Enunciado del problema: sea Z el costo total de reducir la
duracin de las actividades; entonces, minimizar Z, sujeta a la
restriccin de que la duracin del proyecto debe ser menor o igual
que el tiempo deseado por el director del proyecto.
Variables de decisin:
Xj = reduccin de la duracin de la actividad j debido al quiebre
de esta actividad, para j = A, B, C, ..., N.
Funcin objetivo: con la ltima columna de la antepenltima tabla,
la funcin objetivo es:
Z = 100,000XA + 50,000XB + 80,000XC + 40,000XD + 160,000XE +
40,000XF + ...
... + 40,000XG + 60,000XH + 30,000XI + 30,000XJ + 40,000XK +
50,000XL +
+ 100,000XM + 60,000XNRestricciones: Cada una de las 14
variables del derecho deben estar restringidas a valores no
negativos que no excedan el mximo dado en la sexta columna de la
penltima tabla.
Para imponer la restriccin de que la duracin del proyecto debe
ser menor o igual que el valor deseado de 40 semanas sea:
yTERMINACIN = duracin el proyecto; es decir, el tiempo en el que
se alcanza el nodo TERMINO en la red de proyecto (40 semanas).
yTERMINACIN 40
Variables adicionales: para ayudar a asignar un valor adecuado a
yTERMINACIN, dados los valores de XA, XB, XC, ..., XN, es
conveniente introducir:
yj = tiempo de inicio de la actividad j, para j = B, C, ..., N
dados los valores de XA, XB, ..., XN.
No es necesario para la actividad A por ser la actividad que
inicia y tener un valor automtico de cero.
El tiempo de inicio de cada actividad tiene relacin directa con
el tiempo de inicio y la duracin de cada predecesor inmediato como
se resume:
Para cada actividad (B, C, D, ..., N, TERMINO) y cada predecesor
inmediato:
Tiempo de inicio de esta actividad (tiempo de inicio + duracin)
para este predecesor inmediato.
Usando los tiempos normales, la duracin de cada actividad est
dada por la frmula:
Duracin de la actividad j = su tiempo normal XjPor ejemplo,
considrese la actividad F en la red de proyecto de la figura
anterior:
El predecesor inmediato de la actividad F es la actividad E con
duracin 4 XE
Relaciones entre estas actividades: yF yE + 4 XE
As, la actividad F no puede comenzar hasta que inicia la
actividad E y completa su duracin de 4 XE.
Ahora, considrese la actividad J, que tiene dos predecesores
inmediatos:
Los predecesores inmediatos de la actividad J son:
Actividad F con duracin = 5 XF ; actividad I con duracin = 7
XI
Relaciones entre estas actividades: yJ yF + 5 XF; yJ yI + 7
XI
Estas desigualdades juntas dicen que la actividad J no puede
comenzar hasta que ambos predecesores hayan terminado.
El modelo completo de programacin lineal para este problema
queda:
MINIMIZARZ = 100,000XA + 50,000XB + 80,000XC + 40,000XD +
160,000XE + 40,000XF + ...
... + 40,000XG + 60,000XH + 30,000XI + 30,000XJ + 40,000XK +
50,000XL +
+ 100,000XM + 60,000XNSujeto a:
1. Restricciones de duracin mxima: (con la sexta columna de la
penltima tabla)
XA 1, XB 2, XC 3, XD 2, XE 1, XF 2, XG 3, XH 3, ...
... XI 2, XJ 2, XK 1, XL 2, XM 1, XN 3
2. Restricciones de no negatividad:
XA 0, XB 0, XC 0, XD 0, XE 0, XF 0, XG 0, XH 0, ...
... XI 0, XJ 0, XK 0, XL 0, XM 0, XN 0
3. Restricciones de tiempo de inicio:
Excepto para la actividad A, existe una restriccin para cada
actividad con un solo predecesor inmediato (B, C, E, F, G, I, K, L,
M) y dos para cada actividad con dos predecesores inmediatos (H, J,
N, TERMINO).
Un predecesor inmediatoDos predecesores inmediatos
yB 0 + 2 XAyH yG + 7 XG
yC yB + 4 XByH yE + 4 XE
yD yC + 10 XCyJ yF + 5 XF
yE yD + 6 XDyJ yI + 7 XI
yF yE + 4 XEyN yK + 4 XK
yG yF + 5 XFyN yL + 5 XL
yI yC + 10 XCyTERMINO yM + 2 XM
yK yJ + 8 XJyTERMINO yN + 6 XN
yL yJ + 8 XJ
yM yH + 9 XH
4. Restriccin de la duracin del proyecto:yTERMINO 40La siguiente
figura muestra la cmo se puede formular este problema como un
modelo de programacin lineal en una hoja de clculo:
GHK
6=C6-D6=(F6-E6)/G6=I6+C6-J6
7=C7-D7=(F7-E7)/G7=I7+C7-J7
8=C8-D8=(F8-E8)/G8=I8+C8-J8
9=C9-D9=(F9-E9)/G9=I9+C9-J9
10=C10-D10=(F10-E10)/G10=I10+C10-J10
11=C11-D11=(F11-E11)/G11=I11+C11-J11
12=C12-D12=(F12-E12)/G12=I12+C12-J12
13=C13-D13=(F13-E13)/G13=I13+C13-J13
14=C14-D14=(F14-E14)/G14=I14+C14-J14
15=C15-D15=(F15-E15)/G15=I15+C15-J15
16=C16-D16=(F16-E16)/G16=I16+C16-J16
17=C17-D17=(F17-E17)/G17=I17+C17-J17
18=C18-D18=(F18-E18)/G18=I18+C18-J18
19=C19-D19=(F19-E19)/G19=I19+C19-J19
J
21=SUMA(E6:E19)+SUMAPRODUCTO(H6:H19,J6:J19)
Parmetros de Solver:
Celda objeto:
$J$21
Valor de la celda objeto:
minimizar
Combinando las celdas:
$I$6:$J$19,$J$20
Sujetas a las siguientes restricciones:
$I$10 >= $K$8$I$15 >= $K$14$I$7 >= $K$6
$I$11 >= $K$10$I$16 >= $K$15$I$8 >= $K$7
$I$12 >= $K$9$I$17 >= $K$15$I$9 >= $K$8
$I$13 >= $K$10$I$18 >= $K$13$J$20 = $K$12$I$19 >=
$K$16$J$20 >= $K$18
$I$14 >= $K$8$I$19 >= $K$17$J$20 >= $K$19
$I$15 >= $K$11$I$6:$J$19 >= 0$J$6:$J$19
$E6,G$5$E6,H$5$E7,G$5$E7,H$5$E8,G$5$E8,H$5$E9,G$5$E9,H$520IL=20-4=16TL=20
IL=25-7=18TL=25
IL=26-6=20TL=26
IL=25-5=20TL=25
IL=33-7=26TL=33
34>33IL=33-8=25TL=33
IL=42-9=33TL=42
IL=44-2=42TL=44
IL=38-4=34TL=38
IL=38-5=33TL=38
IL=44-6=38TL=44
IL=44-0=44TL=TC=44
IL=0TL=0
_1189032767.unknown
_1189032881.unknown
_1189026629.ppt
INICIO
A
B
C
E
I
D
F
G
J
H
K
L
M
N
TERMINO
0
2
4
10
6
4
7
7
5
9
8
4
5
2
6
0
I=(0,0)T=(2,2)
I=(2,2)T=(6,6)
I=(6,6)T=(16,16)
I=(16,16)T=(20,20)
I=(16,18)T=(23,25)
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I=(20,20)T=(25,25)
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I=(38,42)T=(40,44)
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I=(44,44)T=(44,44)
I=(0,0)T=(0,0)
_1189016628.ppt
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IC = 0TC = 0+2=2
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_1189018051.ppt
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IC=16TC=20
IC=16TC=23
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IC=22TC=29
25>23IC=25TC=25+8=33
29>20IC=29TC=29+9=38
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44>40IC=44TC=44
IC=0TC=0
_1189005782.ppt
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Cdigo de actividadA ExcavacinB CimentacinC ParedesD TechosE
Plomera exterior
F Plomera interiorG Aplanados exterioresH Pintura exteriorI
ElectricidadJ Aplanados interioresK PisosL Pintura interiorM
Accesorios exterioresN Accesorios interiores