-
1
UVIJANJE (torzija)
Prof. dr. sc. Goran Turkalj Zavod za tehniku mehaniku
TEHNIKI FAKULTET Sveuilite u Rijeci
-
2
1. Opa razmatranja
Moment uvijanja, torzijski moment:
tM T t NmM
engl. eT torqu
-
3
M tl
z
1
A
R
B
B1 zBA
M tz=
Mz
A
R
B
x
y
z
M t=
Kut uvijanja (kut torzije):
( )z z (rad) Jedinini kut uvijanja:
d
dz
rad
m
-
4
Prema obliku poprenog presjeka, razlikujemo:
torziju nosaa punoga poprenog presjeka
torziju nosaa iji popreni presjek nije pun
tankostjeni:
a) otvoreni
b) zatvoreni c) otvoreno-zatvoreni
-
5
Prema tipu torzije, razlikujemo:
istu torziju (Saint-Venantova torzija, jednolika torzija): const. torziju s ogranienim vitoperenjem (nejednoliku torziju): const.
const. const.
-
6
Zakretanje poprenog presjeka odvija se oko centra torzije ili centra smika.
Spojnica centara torzije svih poprenih presjeka ini os torzije.
Centar smika poklapa se s teitem dvoosno simetrinih poprenih presjeka
Centar smika lei na osi simetrije jednoosno simetrinih poprenih presjeka
-
7
2. Uvijanje nosaa krunog poprenog presjeka
lz
RIII
x
y
z
M ttM
-
8
y
z
x A
AMt d Mtu
O
I
Uvjet ravnotee dijela I:
z t 0 d 0A
M M A (a)
-
9
zR
A B
d z
C
-
10
z
A BB1
d z
C
C1
R
d R
1 R RBB d tan dz z 1BB dR
RRd
d dd
z Rz R (b)
1 CC d tan dz z 1CC d
d
d dd
zz
(c)
-
11
Iz izraza (b) i (c):
R( ) R (d)
Iz Hookeova zakona:
R R ,G G
R( ) R (1)
Linearna raspodjela tangencijalnog naprezanja!
-
12
0, ( ) 0 R max, ( )R
R
maxMt
y
x max = zy max
max zx max=
-
13
Izraz (a) + Hookeov zakon:
t d dA A
M A G A
Iz izraza (c):
2td d
d dd dA A
M G A G Az z
t pM G I (2)
Polarni moment inercije poprenog presjeka:
2p dA
I A (3)
-
14
Iz izraza (2):
t
p
dconst.
d
MG I z
(4a)
pG I krutost na uvijanje ili torzijska krutost
Za neokrugle presjeke:
t
t
MG I
(4b)
tI J torzijski moment inercije ili Saint-Venantova torzijska konstanta (za okrugle presjeke p tI I )
-
15
O
dR
A
2p
2 3p
0 0
4 4
p0
d , d 2 d
2 d 2 d
2 |
4 2
AR R
R
I A A
I
RI
4 4
p
2 32
R DI (5)
-
16
Rr
43
p
4 24 4
p0
, 2 , 2
2 d 2 |4
| |
4 2
R R
rr
R
r
r d d r D RR D
I
I R r
4 44 4p 1 12 32R DI (6)
-
17
Iz izraza (c) i Hookeova zakona:
d
dG G G
z (e)
Izraz (4a) izraz (e):
tp
MG GGI
t
p
MI
(7)
-
18
Maksimalno tangencijalno (smino, posmino) naprezanje:
tmaxp
M RI
(8a)
ili
tmaxp
MW
(8b)
Polarni moment otpora poprenog presjeka:
ppI
WR
(9)
-
19
Za puni kruni presjeka:
4 3
pp
1
2 2
I R RWR R
(10a)
3
p
16
DW (10b)
Za prstenasti kruni presjeka:
4 3p 4 4p 1 1 12 2I R RW R R (11a) 3 4p 116DW (11b)
-
20
Za neokrugle presjeke:
tmaxt
MW
(12)
tW torzijski otporni moment (za okrugle presjeke p tW W )
-
21
Potencijalna energija deformiranja:
tM l
M
z
y
x
R
d
t
t
p
MI
4
p
2
RI
d 2 dV l
-
22
21 1
d d2 2V V
V VG
U (13)
2 2 2 4
2 3t t t2 2 2p p p0 0
1 2 d 2 d
2 2 2 2
R RM M l M l RlG I GI GI
U
2t
p2
M lGI
U (14a)
22 2
p pt2 2
p 2 2
GI GIM lG I l l
U (14b)
-
23
Za neokrugle poprene presjeke:
2 2t t
t2 2
M l GIGI l
U (15)
Nosa ima n razliito optereenih odsjeaka:
2 2n nti i i i ti
i 1 i 1i ti i
1 1
2 2 2 2
M l G IG I l
U (16)
Rad vanjskog optereenja:
t1
2M W (17)
z
-
24
3. Dimenzioniranje
Kriterij vrstoe (K..):
tmax dopp
MW
3
tp
dop
2
MRW
t t3 3dop dop
2 16;
M MR D (18)
Prstenasti kruni presjek:
t t3 34 4dop dop2 16
; ; 1 1
M M r dR DR D (19)
-
25
Kriterij krutosti (K.K.):
t dopp
MG I
4
tp
dop
2
MRIG
t t4 4dop dop
2 32;
M MR DG G (20)
Prstenasti kruni presjek:
t t4 44 4dop dop2 32
; ; 1 1
M M r dR DR DG G (21)
-
26
Kut uvijanja:
t
p
M llG I
(22a)
Po odsjecima:
i n i n
ti iuk i
i 1 i 1 i pi
M lG I
(22b)
Pri kontinuiranoj promjeni:
t
p0 0
d dl l M z
GI (22c)
-
27
Snaga:
t (W)P M (23)
Okretni (torzijski) moment:
t (Nm)M
Kutna brzina:
1
(rad / s s )30
n (24)
Broj okretaja:
1(okr / min min )n
-
28
Izraz (24) izraz (23):
t t W kW30 30000P M n M n
t30000
(Nm)
PMn
(f)
-
29
Izraz (f) izraz (18), kriterij vrstoe:
3 3dop
2 300001000 mm
PRn
3dop
18250 mmPR
n (25)
Iz izraza (19) za prstenasti kruni presjek:
3 4dop18250 mm ;1P r dR
R Dn (26)
-
30
Izraz (f) izraz (20), kriterij krutosti:
4 4dop
2 300001000 mm
PRnG
4dop
8830 mmPR
nG (27)
Iz izraza (21) za prstenasti kruni presjek:
4 4dop8830 mm ;1P r dR
R DnG (28)
-
31
Komponente tenzora naprezanja kod iste torzije:
2 2zx zy zx zy, ,G G y G x (29)
A
Mt
y
x
zx
zy
y
x
R
Mtu
O
-
32
Tenzor naprezanja kod iste torzije:
xz
yz
zx zy
0 0
[ ] 0 0
0
ili
0[ ]
0
(30)
z
x
y
Mt
Mt
-
33
Glavna naprezanja = vlastite vrijednosti tenzora naprezanja:
i
i
00
0
2 2i 1 20 (31)
z
x
y
Mt
Mt
1= 45o
2=
-
34
Trajektorije glavnih naprezanja:
z45
o
Mt
Mt
-
35
4. Neokrugli popreni presjeci
4.1. Pravokutni presjek
x
B
O C
AA
A
B
