Circulo de Mohr de tensiones
[Concepto] [11/07/2006 ]
El crculo de Mohr de tensiones es una aplicacin del crculo de
Mohr al clculo de las tensiones en planos con distintas
orientaciones alrededor de un punto de una pieza sometido a un
estado tensional biaxial.
Si se dibuja un elemento diferencial alrededor del punto
analizado, con dos planos orientados segn un sistema de ejes plano
x-y y el tercero inclinado un ngulo genrico j, estableciendo el
equilibrio de fuerzas en las direcciones de s y t en dicho elemento
se tiene:
(1)
Dividiendo las dos ecuaciones anteriores por la longitud AB y
teniendo en cuenta que OA=ABcos(j), OB=ABsen(j) se llega a:
(2)
expresin que tambin puede escribirse como:
(3)
Derivando la primera ecuacin (3) respecto a j e igualando a cero
se obtienen los valores de j (inclinaciones del plano AB) para los
que la tensin normal es mxima o mnima:
(4)
Ecuacin que tiene dos soluciones de j. Sustituyendo cada una de
las soluciones en la segunda de las ecuaciones (3) se comprueba que
la tensin cortante es nula para dichos planos y sustituyendo en la
primera de las ecuaciones (3) se obtienen las tensiones normales
mxima y mnima (tensiones principales):
(5)
La expresin de las tensiones en cualquier plano con inclinacin j
respecto a los planos principales, en funcin de las tensiones
principales, se deduce tomando las direcciones x,y orientadas segn
los planos principales y sustituyendo en (3):
(6)
El crculo de Mohr de tensiones es un crculo dibujado en el plano
s-t en el que cada punto de su circunferencia representa las
tensiones normales y cortantes en un plano AB con una inclinacin
cualquiera. As los puntos X e Y de la figura corresponden a los
planos perpendiculares a los ejes x e y. Como se observa se sitan
en puntos opuestos del crculo, a 180. Los puntos de corte de la
circunferencia con el eje t =0 corresponden a los planos
principales y de la figura se deduce que el valor de s en dichos
puntos es el valor de las tensiones principales (s1,s2) obtenido
mediante las ecuaciones (5). Estos planos estn igualmente separados
un ngulo de 180 en el crculo, indicando que el ngulo entre los
planos principales es de 90 en la realidad. En general, dos planos
entre los cuales hay un ngulo j en la realidad estn separados un
ngulo 2j en el crculo de Mohr. En la figura se observa tambin que
el ngulo j entre los planos principales y los planos x,y, obtenido
mediante la expresin (4) queda representado por 2j en el crculo de
Mohr.
El crculo de Mohr se utiliza como recurso grfico para el anlisis
de las tensiones en estados tensionales biaxiales.
Para dibujar correctamente el crculo de Mohr deben tenerse en
cuenta los siguientes detalles:
El sentido de giro del ngulo j en el crculo se corresponde con
el sentido de giro del plano AB en la realidad.
El signo de las tensiones tangenciales (t) se toma como positivo
si giran en sentido de las agujas del reloj alrededor del elemento
diferencial y negativo en caso contrario.
El ngulo entre dos radios del crculo equivale al doble del ngulo
entre los planos reales correspondientes.Crculo de Mohr
La Circunferencia de Mohr (Incorrectamente llamado Crculo de
Mohr, ya que no se trabaja con un rea sino con el permetro) es una
tcnica usada en ingeniera y geofsica para representar grficamente
un tensor simtrico (de 2x2 o de 3x3) y calcular con ella momentos
de inercia, deformaciones y tensiones, adaptando los mismos a las
caractersticas de una circunferencia (radio, centro, etc). Tambin
es posible el clculo del esfuerzo cortante mximo absoluto y la
deformacin mxima absoluta.
Este mtodo fue desarrollado hacia 1882 por el ingeniero civil
alemn Christian Otto Mohr (1835-1918).
Contenido [ocultar]
1 Circunferencia de Mohr para esfuerzos
1.1 Caso bidimensional
1.2 Caso tridimensional
2 Circunferencia de Mohr para momentos de inercia
3 Enlaces externos
[editar]Circunferencia de Mohr para esfuerzos
[editar]Caso bidimensional
Circunferencia de Mohr para esfuerzos.
En dos dimensiones,la Circunferencia de Mohr permite determinar
la tensin mxima y mnima, a partir de dos mediciones de la tensin
normal y tangencial sobre dos ngulos que forman 90:
NOTA: El eje vertical se encuentra invertido, por lo que
esfuerzos positivos van hacia abajo y esfuerzos negativos se ubican
en la parte superior.
Usando ejes rectangulares, donde el eje horizontal representa la
tensin normal y el eje vertical representa la tensin cortante o
tangencial para cada uno de los planos anteriores. Los valores de
la circunferencia quedan representados de la siguiente manera:
Centro del crculo de Mohr:
Radio de la circunferencia de Mohr:
Las tensiones mxima y mnima vienen dados en trminos de esas
magnitudes simplemente por:
Estos valores se pueden obtener tambin calculando los valores
propios del tensor tensin que en este caso viene dado por:
[editar]Caso tridimensional
El caso del estado tensional de un punto P de un slido
tridimensional es ms complicado ya que matemticamente se representa
por una matriz de 3x3 para la que existen 3 valores propios, no
necesariamente diferentes.
En el caso general, las tensiones normal () y tangencial (),
medidas sobre cualquier plano que pase por el punto P,
representadas en el diagrama (,) caen siempre dentro de una regin
delimitada por 3 circulos. Esto es ms complejo que el caso
bidimensional, donde el estado tensional caa siempre sobre una nica
circunferencia. Cada uno de las 3 circunferencias que delimitan la
regin de posibles pares (,) se conoce con el nombre de
circunferencia de Mohr.
>
[editar]Circunferencia de Mohr para momentos de inercia
Para slidos planos o casi-planos, puede aplicarse la misma
tcnica de la circunferencia de Mohr que se us para tensiones en dos
dimensiones. En muchas ocasiones es necesario calcular el momento
de inercia alrededor de un eje que se encuentra inclinado, la
circunferencia de Mohr puede ser utilizado para obtener este valor.
Tambin es posible obtener los momentos de inercia principales. En
este caso las frmulas de clculo del momento de inercia medio y el
radio de la circunferencia de Mohr para momentos de inercia son
anlogas a las del clculo de esfuerzos:
Centro de la circunferencia:
Radio de la circunferencia:
Crculo de Mohr
LaCircunferencia de Mohr(Incorrectamente llamadoCrculo de Mohr,
ya que no se trabaja con un rea sino con el permetro) es una tcnica
usada eningenieraygeofsicapararepresentar grficamenteun tensor
simtrico (de 2x2 o de 3x3) y calcular con ellamomentos de
inercia,deformacionesytensiones, adaptando los mismos a las
caractersticas de unacircunferencia(radio, centro, etc). Tambin es
posible el clculo delesfuerzo cortantemximo absoluto y la
deformacin mxima absoluta.
Este mtodo fue desarrollado hacia1882por elingeniero
civilalemnChristian Otto Mohr(1835-1918).
Contenido
[ocultar] 1Circunferencia de Mohr para esfuerzos 1.1Caso
bidimensional 1.2Caso tridimensional 2Circunferencia de Mohr para
momentos de inercia 3Enlaces externos
[editar]Circunferencia de Mohr para esfuerzos
[editar]Caso bidimensional
Circunferencia de Mohr para esfuerzos.
En dos dimensiones,la Circunferencia de Mohr permite determinar
la tensin mxima y mnima, a partir de dos mediciones de la tensin
normal y tangencial sobre dos ngulos que forman 90:
NOTA: El eje vertical se encuentra invertido, por lo que
esfuerzos positivos van hacia abajo y esfuerzos negativos se ubican
en la parte superior.
Usando ejes rectangulares, donde el eje horizontal representa
latensin normaly el eje vertical representa latensin cortanteo
tangencialpara cada uno de los planos anteriores. Los valores de la
circunferencia quedan representados de la siguiente manera:
Centro del crculo de Mohr:
Radio de la circunferencia de Mohr:
Las tensiones mxima y mnima vienen dados en trminos de esas
magnitudes simplemente por:
Estos valores se pueden obtener tambin calculando losvalores
propiosdeltensor tensinque en este caso viene dado por:
[editar]Caso tridimensional
El caso del estado tensional de un punto P de un slido
tridimensional es ms complicado ya que matemticamente se representa
por una matriz de 3x3 para la que existen 3 valores propios, no
necesariamente diferentes.
En el caso general, las tensiones normal () y tangencial (),
medidas sobre cualquier plano que pase por el punto P,
representadas en el diagrama (,) caen siempre dentro de una regin
delimitada por 3 circulos. Esto es ms complejo que el caso
bidimensional, donde el estado tensional caa siempre sobre una nica
circunferencia. Cada uno de las 3 circunferencias que delimitan la
regin de posibles pares (,) se conoce con el nombre de
circunferencia de Mohr.
>
[editar]Circunferencia de Mohr para momentos de inercia
Para slidos planos o casi-planos, puede aplicarse la misma
tcnica de la circunferencia de Mohr que se us para tensiones en dos
dimensiones. En muchas ocasiones es necesario calcular elmomento de
inerciaalrededor de un eje que se encuentra inclinado, la
circunferencia de Mohr puede ser utilizado para obtener este valor.
Tambin es posible obtener los momentos de inercia principales. En
este caso las frmulas de clculo del momento de inercia medio y el
radio de la circunferencia de Mohr para momentos de inercia son
anlogas a las del clculo de esfuerzos:
Centro de la circunferencia:
Radio de la circunferencia:
INTRODUCCIONEl desarrollo de este trabajo est basado en temas de
inters para el estudio de la resistencia de materiales, tomando
como base los esfuerzos y las deformaciones para su anlisis, estos
son bsicos para el entendimiento de los temas a tratar.
En esta investigacin trataremos los siguientes temas: La
transformacin de esfuerzos y deformaciones en el estado plano,
esfuerzos que ocurren en recipientes de presin de pared delgada, el
uso del crculo de Mohr para la solucin de problemas que implican
transformacin de esfuerzo plano, esfuerzos principales, esfuerzos
cortantes mximos, entre otros aspectos.
En las transformaciones de deformacin plana veremos las
deformaciones en planos, ya sea xy, yz, xz. Existen deformaciones
tridimensionales, pero el estudio de las mismas requiere
conocimientos ms profundos de la materia, que al nivel estudiado no
ha sido analizado. En este tema vemos como existen deformaciones
que no ocurren en los planos ya conocidos, y en tal caso es
necesario llevarlos(a travs de frmulas) a un plano conocido, para
su fcil manejo.
Como tema de finalizacin, Las Rosetas de Deformacin, que
pretendemos, con un breve desarrollo, explicar su anlisis, y que
tan beneficioso puede ser para la prctica en la vida diaria.
TRANSFORMACIN DEL ESFUERZO PLANODesde el punto de vista del
material, las caractersticas propias determinan si es ms resistente
a las cargas normales o a las cargas cortantes, de aqu nace la
importancia de transformar un estado de tensiones general en otro
particular que puede ser ms desfavorable para un material.
Se considera un trozo plano y un cambio de ejes coordenados
rotando el sistema original en un ngulo .
El estado de esfuerzos cambia a otro equivalente x' y' x'y' que
deben calcularse en base a los esfuerzos originales. Tomando un
trozo de elemento plano se tiene que :
Para poder hacer suma de fuerzas y equilibrar este elemento, es
necesario multiplicar cada esfuerzo por el rea en la que se aplican
para obtener las fuerzas involucradas. Considerando que los
esfuerzos incgnitos se aplican en una rea `da'. Se tiene que este
trozo de cua tiene un rea basal `da cos ' y un rea lateral `da sen
'
Suma de fuerzas en la direccin x' :
x' da = x da cos cos + y da sen sen + xy da cos sen + xy sen
cos
x' = x sen2 + y cos2 + 2 xy cos sen
x' = ( x + y )/2 + ( x - y )/2 (cos 2) + xy (sen 2)
Suma de fuerzas en la direccin y' :
x'y' da = y da cos sen - xy da sen sen + xy cos cos - x da sen
cos
x'y' = y cos sen - xy sen2 + xy cos2- x sen cos
x'y' = xy (cos 2) - ( x - y )/2 (sen 2)
Con estas expresiones es posible calcular cualquier estado de
esfuerzo equivalente a partir de un estado inicial. La siguiente
aplicacin permite calcular estos valores automticamente. Compruebe
los resultados que se obtienen.
ESFUERZOS PRINCIPALESSiempre es importante obtener los valores
mximos de los esfuerzos tanto los normales como los de corte para
compararlos con los valores admisibles del material que se est
evaluando.
El esfuerzo normal mximo se deduce derivando x' con respecto al
ngulo :
dx' /d = 0 = - ( x - y ) (sen 2) + 2 xy (cos 2)
tan 2 = 2 xy / ( x - y )
La solucin de esta ecuacin son dos ngulos que valen : y + 90
Al evaluar usando estos valores para el ngulo se obtienen los
esfuerzos normales mximo ( 1) y mnimo (2). Es importante destacar
que si se iguala x'y' = 0 se obtiene la misma expresin que la
derivada, esto implica que cuando el elemento se rota para
encontrar los esfuerzos principales (1 y 2) se produce que el
esfuerzo cortante vale cero.
En definitiva :
1 , 2 = ( x + y ) / 2 + / -El esfuerzo cortante mximo se obtiene
de forma similar, derivando la expresin correspondiente con
respecto al ngulo .
dtx'y' / d = 0 = -2 xy (sen 2) - ( x - y ) (cos 2)
tan 2 = - ( x - y ) / 2 xy
Esta expresin nos entrega el ngulo para el cual se producen los
esfuerzos cortantes mximos, queda en definitiva :
1 y 2 = + / -
ESFUERZOS CORTANTES MXIMOSEl esfuerzo cortante mximo difiere del
esfuerzo cortante mnimo solo en signo, como muestran las formulas
explicadas el tema Esfuerzo s Principales. Adems, puesto que las
dos races de la ecuacin tan 2 = - ( x - y ) / 2 xy
sitan el plano a 90, este resultado significa tambin que son
iguales los valores numricos de los esfuerzos cortantes en planos
mutuamente perpendiculares.
En esta deduccin, la diferencia de signo de los dos esfuerzos
cortantes surgen de la convencin para localizar los planos en que
actan estos esfuerzos. Desde el punto de vista fsico dichos signos
carecen de significado, por esta razn al mayor esfuerzo cortante,
independientemente de su signo, se llamaesfuerzo cortante mximo.El
sentido definido del esfuerzo cortante siempre se puede determinar
por la sustitucin directa de la raz particular de en la ecuacin
x'y' = xy (cos 2) - ( x - y )/2 (sen 2)
un esfuerzo cortante positivo indica que este acta en el sentido
supuesto y viceversa. La determinacin del esfuerzo cortante mximo
es de mayor importancia para materiales de baja resistencia al
corte.
A diferencia de los esfuerzos principales cuyos planos no
ocurren esfuerzos cortantes, los esfuerzos cortantes mximos actan
en planos que usualmente no estn libres de esfuerzos normales. La
situacin de de la ecuacin
tan 2 = - ( x - y ) / 2 xy
en la
x' = ( x + y )/2 + ( x - y )/2 (cos 2) + xy (sen 2)
muestra que los esfuerzos normales que actan en los planos de
los esfuerzos cortantes mximos son
* =( x + y )/2
por consiguiente, el esfuerzo normal acta simultneamente con el
esfuerzo cortante mximo a menos que se anule x + y.
Si x y y de la ecuacin 1 y 2 = + / - son esfuerzos principales,
xy es cero y la ecuacin se simplifica en
max =( x - y )/2
CIRCULO DE MOHR PARA ESFUERZO.Las ecuaciones desarrolladas en
los puntos anteriores pueden rescribirse para formar una ecuacin de
circunferencia :
Se tiene que :
x' = ( x + y )/2 + (( x - y )/2 (cos 2)) + xy (sen 2)
x'y' = xy (cos 2) - (( x - y )/2 ) (sen 2)
La primera ecuacin se acomoda de la siguiente forma :
x' - ( x + y )/2 = (( x - y )/2 (cos 2)) + xy (sen 2)
Elevando al cuadrado se tiene :
(x' - (x + y)/2)2 =(x - y)2/4 (cos 2)2 + (x - y) (cos 2) xy (sen
2) + xy2 (sen 2)2
Elevando al cuadrado la segunda ecuacin se tiene :
x'y'2 = xy2 (cos 2)2 - xy (cos 2) (x - y) (sen 2) + (x - y)2/4
(sen 2)2
Sumando ambas expresiones :
(x' - ( x + y )/2)2 + x'y'2 = xy2 + (( x - y )2/2)2
Los esfuerzos originales son datos, y por lo tanto constantes
del problema, se tiene entonces :
xy2 + (( x - y )2/2)2 = b2
( x + y )/2 = a
Rescribiendo queda :
(x' - a)2 + x'y'2 = b2
Si los ejes son :
x = x'
y = x'y'
Tenemos :
( x - a )2 + y2 = b2
Que representa a una circunferencia con centro en x = a ; y = 0
con un radio
r = b. Esta circunferencia se denomina Crculo de Mohr (Otto Mohr
1895) que en definitiva tiene las siguientes caractersticas :
Centro en : x = ( x + y )/2 ; y = 0
Radio de : r2 = xy2 + (( x - y )2/2)2
La figura siguiente muestra el crculo de Mohr creado a partir de
un problema :
ESFUERZOS EN RECIPIENTES DE PRESION DE PARED DELGADALos
recipientes de pared delgada constituyen una aplicacin importante
del anlisis de esfuerzo plano. Como sus paredes oponen poca
resistencia a la flexin, puede suponerse que las fuerzas internas
ejercidas sobre una parte de la pared son tangentes a la superficie
del recipiente. El anlisis de esfuerzos en recipientes de pared
delgada se limitar a los dos tipos que se encuentran con mayor
frecuencia:recipientes cilndricos y esfricos.
Considerando recipiente cilndrico de radio interiorry espesor de
paredt, que contiene un fluido a presin Se van a determinar los
esfuerzos ejercidos sobre un pequeo elemento de pared con lados
respectivamente paralelos y perpendiculares al eje del cilindro.
Debido a la simetra axial del recipiente y de su contenido, no se
ejercen esfuerzos cortantes sobre el elemento.
Los esfuerzos 1 y 2 mostrados en la figura son por tanto
esfuerzos principales. El esfuerzo 1 se conoce comoesfuerzo de
costillay se presenta en los aros de los barriles de madera. El
esfuerzo 2 es elesfuerzo longitudinal.Para determinar los esfuerzos
de costilla se retira una porcin del recipiente y su contenido
limitado por el planoxyy por dos planos paralelos al planoyzcon una
distancia X de separacin entre ellos. Se aclara que p es la
presinmanomtricadel fluido.
La resultante de las fuerzas internas es igual al producto de y
del rea transversal 2tx. Con la ecuacin de sumatoria de fuerza en z
se concluye que para el esfuerzo de costilla:
Con el propsito de determinar el esfuerzo longitudinal 2,
haremos un corte perpendicular al eje x y se considerar el cuerpo
libre que consta de la parte del recipiente y de su contenido a la
izquierda de la seccin. Tomando en cuenta las frmulas del rea y
longitud del cilindro y la sumatoria de fuerzas en z, finalmente se
concluira que: 2 = pr / 2t
El esfuerzo en la costilla es el doble del esfuerzo
longitudinal. Luego se dibuja el Crculo de Mohr y se llega a
que:
max(en el plano)= 2= pr / 4t
Este esfuerzo corresponde a los puntosDyEy se ejerce sobre un
elemento obtenido mediante la rotacin de 45 del elemento original
de dicha figura,dentro del planotangente a la superficie del
recipiente. EL esfuerzo cortante mximo en la pared del recipiente
es mayor.Es igual al radio del crculo de dimetro OAy correspondea
una rotacinde45alrededor de un eje longitudinal yfuera del plano
del esfuerzo.
Considerando ahora un recipiente esfrico, de radio interiorry
espesor de pared t,que contiene un fluido bajo presin manomtrica p.
Haciendo un corte por el centro del recipiente determinamos el
valor del esfuerzo.
As concluye que, para un recipiente
1 = 2 = pr / 2t
Ya que los esfuerzos principales 1 y 2son iguales, el circulo de
Mohr para la transformacin de esfuerzos, dentro del plano tangente
a la superficie del recipiente, se reduce a un punto. El esfuerzo
normal en el plano es constante y que el esfuerzo mximo en el plano
es cero. Podemos concluir
max= 1 = pr / 4t
TRANSFORMACION DE DEFORMACION PLANAEn este tema se ha de
analizar las transformaciones de ladeformacincuando los ejes
coordenados giran. Este anlisis se limitar a estados dedeformacin
plana,es decir, a situaciones en donde las deformaciones del
material tienen lugar dentro de planos paralelos y son las mismas
en cada uno de estos planos. Si se escoge el eje z (ver figura I)
perpendicular a los planos en los cuales la deformacin tiene lugar,
tenemosEz='Yzx='Yzy= 0, las nicas componentes de deformacin que
restan sonEx, Eyy'Yxy.Tal situacin ocurre en una placa sometida a
cargas uniformemente distribuidas a lo largo de sus bordes y que
este impedida para expandirse o contraerse lateralmente mediante
soportes fijos, rgidos y lisos(ver figura I). Tambin se encontraran
en una barra de longitud infinita sometida, en sus lados, a cargas
uniformemente distribuidas ya que, por razones de simetra, los
elementos situados en un plano transversal nopueden salirse de el.
Este modelo idealizado muestra que en el caso real de una barra
larga sometida a cargas transversales uniformemente
distribuidas(ver figura II), existe un estado de esfuerzo plano en
cualquier seccin transversal que no este localizada demasiado cerca
de uno de los extremos de la barra.
figura I figura II
figura IIISupngase que existe un estado de esfuerzo plano en el
punto Q(z= 'Yzx ='Yz= 0), definido por las Componentes de
deformacin Ez, Eyy'Yxyasociadas Con los ejesxyy. Esto significa que
un elemento cuadrado de centro Q, con lados de
longitud"srespectivamente paralelos a los ejesxyy,se transforma en
un paralelogramo con lados de longitud"s(1 +Ex)y"s(1 +Ey),formando
ngulos de "/2-'Yxyy f +'Yxyentre si(vea figura II)).Como resultado
de las deformaciones de los otros elementos localizados en el
planoxy,el elemento considerado tambin puede experimentar un
movimiento de cuerpo rgido, pero tal movimiento es insignificante
en lo referente a la determinacin de las deformaciones en el punto
Q y no se tendr en cuenta en este anlisis.
El propsito es determinar en trminos de Ex,Ey, 'Yxyy 0 las
Componentes de deformacin Ex,Ey.y'Yx'y'asociadas con el marco de
referenciax'y ' obtenido mediante la rotacin de los ejesxyy un
ngulo . Como se muestra en la figura IV, estas nuevas componentes
de la deformacin definen el paralelogramo en que se transforma un
cuadrado con lados respectivamente paralelos a los ejesx'y y'.
FIGURAS COMPLEMENTARIAS
figuras: IV, Va, Vb, VI.(resp)Primero se derivar una expresin
para la deformacin normal E ()a lo largo de una lneaABque forma un
ngulo arbitrario con eleje x.Para hacerlo considere el tringulo
rectngulo ABC conABcomo hipotenusa(vea figura Va)y el tringulo
oblicuoA'B'C',en el cual se transforma el tringuloABC (vea la
figura Vb), se tiene
(A'b')^2= (A'C') ^2 + (C'B') ^2 -(A'C')(C'B')cos("/2 + Yxy)("s)
^2 { 1+ E()}= ("x) ^2( 1+Ex) ^2 + ("y) ^2(1 Ey) ^2-2("x)(1+Ex)(
"y)(1+Ey) cos("/2 + Yxy) (a)pero de la figura Va,"x=( "s) cos()"y=(
"s) sen()(b)y, comoYxy es muy pequeoCos(/2 + Yxy)= -senYxy"
-Yxy(c)Sustituyendo de las ecuaciones (b) y (c) en la ecuacin
(a),
se escribe
E()= Ex cos^2 + Ey sen^2 + Yxy sen cos (d)La ecuacin (d) permite
hallar la deformacin normalE() en cualquier direccinAB,en funcin de
las componentes de deformacinEx,Ey, 'Yxy,y del ngulo que formaABcon
el ejex.Observe que, para(= 0), la ecuacin (d) produceE()=Ex,y que,
para (= 90, da E(90) =Ey.El propsito principal de esta seccin es
expresar las componentes de la deformacin asociadas con el marco de
referenciax'y'de la figura IV en trminos del ngulo y de las
componentesEx,EyyYxy,asociadas con los ejesxyyse nota que la
deformacin normalEx'a lo largo del ejex'esta dada por la ecuacin
(d). Se escribe esta ecuacin en la forma alternativa
Ex'=(Ex + Ey)/2 + (Ex - Ey)/2 cos2 +Yxy/2 sen2(e)Remplazando por
+ 90, se obtiene la deformacin normal a lo largo del ejey'.Como
cos(2 + 180) = cos2 y sen(2+ 180) = -sen2Ex'=(Ex + Ey)/2 - (Ex -
Ey)/2 cos2 -Yxy/2 sen2(f)Sumando miembro a miembro las ecuaciones
(e) y (f)
Ex'+ Ey'= Ex + Ey(g)Puesto que Ez =Ez'= 0, se verifica, en el
caso de la deformacin plana, que la suma de las deformaciones
normales asociadas con un elemento cbico de material es
independiente de la orientacin del elemento.
Remplazando ahora por + 45 en la ecuacin (e), se obtieneuna
expresin para la deformacin normal a lo largo de la bisectrizOB'del
ngulo formado por los ejesx'yy'.Como cos(2+ 90) = -sen 2 y sen(2+
90) = cos2,se tiene
E( )B' =Ex'=(Ex + Ey)/2 - (Ex - Ey)/2 sen2 +Yxy/2
cos2(h)Escribiendo la educacin (d) con respecto a los ejes x' y
y',se expresa ;a deformacin cortante Yx'y' en funcin de las
deformaciones normales medidas a lo largo de los ejes x' y y', y de
la bisectriz OB':
Yx'y'= 2E( )B' -( Ex' +Ey')(i)Sustituyendo de las ecuaciones (
g) y (h) en la (i)
Yx'y'= -(Ex - Ey)sen2 + Yxy cos2(j)Escribiendo las ecuaciones
(e), (f) y (j) son las que definen la transformacin de deformacin
plana bajo una rotacin de ejes en el plano de deformacin.
Dividiendo la ecuacin (j) por 2, se escribe esta ecuacin en la
forma alternativa
Yx'y'/2= - (Ex - Ey)/2 sen2 + Yxy/2 cos2
MEDIDAS DE DEFORMACION. ROSETA DE DEFORMACIONHaciendo dos
marcasAyBa travs de una lnea dibujada en la direccin deseada, y
midiendo la longitud del segmentoABantes y despus de aplicar la
carga se puede determinar la deformacin normal en cualquier
direccin en la superficie de un elemento estructural o componente
de mquina.
SiLes la longitud no deformada deABy su alargamiento, la
deformacin normal a lo largo deABes:
Eab= / L
Ahora bien, existe un mtodo mas conveniente y exacto para la
medida de deformaciones, basado en los deformmetros elctricos. Para
medir la deformacin de un material dado en la direccinAB,el medidor
se pega a la superficie del material con las vueltas de alambre
paralelos aAB.Cuando el material se alarga, el alambre aumenta en
longitud y disminuye en dimetro, haciendo que la resistencia
elctrica del medidor aumente. Midiendo la corriente que pasa a
travs de un medidor bien calibrado, la deformacinEARpuede
determinarse precisa y continuamente a medida que la carga
aumenta.
Debe advertirse que las componentes Ex y Ey Yxyen un punto dado
pueden obtenerse de la medida de deformacin normal hecha alo largo
detres lneasdibujadas por ese punto. Designando respectivamente por
1, 2 y 3 el ngulo que cada una de las lneas forma con el ejex,
remplazando en la ecuacin anterior, se tienen las tres ecuaciones
:
E1= Excos^21 + Eysen^21 + Yxy sen1 cos 1
E2= Excos^22 + Eysen^22 + Yxy sen2 cos 2
E3= Excos^23 + Eysen^23 + Yxy sen3 cos 3
La colocacin de los deformmetros utilizados para medir las tres
deformaciones normales El, E2 y E3 se conoce como Roseta de
Deformacin.La roseta usada para medir deformaciones normales a lo
largo de los ejesxyyy su bisector se conoce como roseta de 45. Otra
roseta muy utilizada es la de 60.
Una fuerza horizontal de magnitud P= 150 lb. se aplica al
extremo D de la palanca ABD. Sabiendo que la porcin AB de la
palanca tiene un dimetro de 1.2 pulg., halle: a). los esfuerzos
normal y cortante en un elemento situado en el punto H, con lados
paralelos a los ejes x, y y, b). los planos principales y los
esfuerzos principales en el punto H.P= 150 lb. T= (150 lb)(18
pulg)= 2.7 kips. Pulg
Mx= (150 lb)(10 pulg)= 1.5 kips. Pulg.
x= 0 y= Mc/I= (1.5 kips.pulg)(0.6 pulg) / (0.6 pulg)4 =8.84
ksi
xy= Tc/J= (2.7 kips.pulg)(0.6 pulg) / (0.6 pulg)4 =
7.96 ksi.Tan 2p= 2xy / x - y= 2(7.96) / 0-8.84 = -1.80
2p= -61 y 180 - 61 = 119
p= -30.5 y 59.5
mx, mn = x + y / 2 + [ (x - y / 2)2 + 2 xy ]
-
0 + 8.84 / 2 +[ ( 0 - 8.84 / 2)2 + (7.96)2 ] = +4.42 + 9.10
-
mx. = +13.52 ksi ymn. = -4.68 ksi2.- Determine los esfuerzos
principales de la flecha de acero. La Flecha tiene un dimetro de 3
pulg. Las poleas pesan 250 lb. Cada una, y las tensiones en las
bandas son opuestas. Las chumaceras de las extremos permiten
rotacin suficiente de modo que los apoyos extremos pueden
considerarse como articulados. Desprecie el peso de la flecha.=
Mc/Is = Tc/J= Mc/I = (1425 x 12) (1.5)/ (/64) (3) = 6690 lb/pulgs =
Tc/J = (500 x 16) (1.5)/ (/32) (3) = 1510 lb/pulg = ( x + y ) / 2 +
/ -= -6690 + 0 +/ - " (-6690 + 0) + 1510 lb/pulg -3345 - 3760 =
-7015lb/pulg3.- Ahora determine el esfuerzo cortante mximo de la
flecha. == " (-3315 - 0) + 1510 =3670 lb/pulg
CONCLUSIONEn esta presentacin hemos analizado temas como son
Esfuerzos en Tuberas y Envases Esfricos de Pared Delgada; como
transformar la deformacin plana a otros ejes, el concepto de Roseta
de Deformacin, los ngulos principales y cortantes mximos, el crculo
de Mohr, etc.
Como conclusin en tuberas y envases esfricos tenemos que las
fuerzas internas ejercidas se pueden suponer tangentes a la
superficie del recipiente. Existen a su vez, esfuerzos de costillas
y esfuerzos longitudinales que son iguales.
En el desarrollo de la transformaciones planas a travs de
formulas trigonomtricas, se pudo rotar las deformaciones a un plano
ya conocido para su fcil estudio. Para rotarlo debemos saber el
ngulo q forma el eje que produce la deformacin con un eje
conocido.
Finalmente, las Roseta de deformacin es una tcnica para
determinar la deformacin en un elemento sometido a un esfuerzo
especfico.
Existe un mtodo mas conveniente y exacto para la medida de
deformaciones, basado en los deformmetros elctricos. Para medir la
deformacin de un material dado en la direccin AB, el medidor se
pega a la superficie del material con las vueltas de alambre
paralelos a AB. Cuando el material se alarga, el alambre aumenta en
longitud y disminuyeen dimetro.
BIBLIOGRAFIA Beer, Ferdinand y Russell Johnston.Mecnica de
Materiales.Mc Grw Hill, 1999.
Popov, Egor.Mecnica de Materiales.Editora Limusa, Mxico.
Robert W. Fitzgerald.Reasistencia de Materiales.Fondos
Educativos Internacionales, S.A., Mxico, 1970
ndicePaginaIntroduccin
.......................................................
2Transformacin del esfuerzo plano.....................3Esfuerzos
Principales..........................................5Esfuerzos
Cortantes Mximos............................6Circulo de Mohr para
Esfuerzo...........................7Esfuerzos en Recipientes de
Presin dePared
Delgada.......................................................8Transformacin
de Deformacin Plana..............13Figuras
Complementarias...................................15Medidas de
Deformacin. Rosetade
Deformacin....................................................18Problemas
Resueltos............................................21Conclusin
............................................................23Bibliografa...........................................................246