Circuitos rcl

Laboratorio de Fenómenos Clásicos – Diploma de Especialización en Física

Centro Universitario de la Región Este/UdelaR - 2015

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Circuitos con Corriente Variables

Marcel Romero-Lucas Rocha-Marcelo Zorrilla

Resumen

En el presente trabajo se realizó un análisis del comportamiento de un circuito

RLC, donde se abordaron dos configuraciones de estos elementos; circuito RLC

lineal, en el cual se estudia el estado estacionario al someterlo a una

alimentación con una señal sinusoidal, estableciéndose para este caso la

relación entre la frecuencia de resonancia y la amplitud de la señal que lo fuerza.

Se analiza también un circuito RLC modificado con el agregado de un elemento

no lineal en serie, compuesto por un capacitor con dos diodos anti-paralelos, y

se investiga la relación entre la frecuencia angular de resonancia y la amplitud

del forzador; así como la histéresis.

1. Introducción

El análisis de los sistemas reales es de alta complejidad, ya que en su gran

mayoría son sistemas no lineales. En dinámica, los sistemas no lineales pueden

llegar a presentar un comportamiento caótico, pero dependiendo del sistema y

de su excitación, se pueden observar ciclos estables con características bien

definidas. Un ejemplo básico de oscilador no lineal es el sistema masa-resorte,

que para pequeñas oscilaciones presenta un régimen aproximadamente lineal.

En el presente trabajo se estudiará un circuito RLC serie. Dicha denominación

corresponde a una configuración de elementos resistivos (R), inductivos (L) y

capacitivos (C), que tradicionalmente ha sido estudiada como analogía de los

osciladores mecánicos.

En esta instancia se analiza el comportamiento de este tipo de circuitos

sometidos a una excitación sinusoidal (sistema forzado), por lo cual nos

detendremos en dos configuraciones particulares a partir de las cuales se

estudiará la respuesta lineal (Figura 1) y no lineal (Figura 2). Uno de los efectos

importantes que se presenta en sistemas de oscilación no lineal es la

dependencia de la amplitud de la frecuencia de resonancia frente a la amplitud

de excitación, por lo que nos detendremos específicamente observar dicha

dependencia.



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Figura 1: Esquema de un circuito RCL

Figura 2: Esquema de un circuito RCL no lineal utilizado

2. Fundamento Teórico

2.1 Circuito RLC lineal

Un circuito RLC en serie está constituido por un capacitor (C), un inductor (L) y

un resistor (R) conectados como se muestra en Figura 1.

Si se analiza aplicando la ley de Mallas de Kirchhoff se tendrá:

𝑉𝑅 + 𝑉𝐶 + 𝑉𝐶 = 0 (1)

Lo que lleva a la siguiente ecuación diferencial lineal homogénea de segundo

grado:

𝐿�̈� + 𝑅�̇� +1

𝐶𝑞 = 0 (2)

2.1.1 Análisis de la resonancia lineal.

Si el circuito es alimentado por un generador que emite una señal de voltaje

sinusoidal, la ecuación que describe el comportamiento del sistema toma la

siguiente forma:

�̈� +𝑅

𝐿�̇� +

1

𝐿𝐶𝑞 =

𝑉𝑜

𝐿sin(𝜔𝑡) (3)



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A medida que varía la frecuencia angular de la fuente, la amplitud de corriente

cambia como se ilustra en la Figura 3, el valor máximo de la intensidad se da a

una frecuencia para la cual la impedancia es mínima. Este crecimiento máximo

de la amplitud de corriente a cierta frecuencia se llama resonancia del sistema.

𝑖𝑚á𝑥 =𝜀𝑚á𝑥

√𝑅2 − (𝜔𝐿 −1

𝜔𝐶)2

(4)

La frecuencia angular a la que se presenta dicho máximo se denomina

frecuencia angular de resonancia. La misma se da cuando las reactancias

inductiva y capacitiva son iguales; por lo tanto, cuando:

ωres =1

√LC (5)

Siendo la frecuencia de resonancia independiente de la amplitud de la intensidad

de corriente en el circuito, así como también es independiente de la amplitud del

voltaje entregado por el generador.

Figura 3: Dependencia de la amplitud de la intensidad de corriente en el circuito con la frecuencia angular con la que excita el generador. Curvas teórica



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2.2. Circuito RLC no lineal

2.2.1 Análisis sin forzamiento

Antes de analizar el circuito RCL no lineal, presentaremos una pequeña

descripción de un análogo mecánico a al mismo, para ello tomaremos el caso de

un sistema masa-resorte.

Un resorte no lineal tiene como expresión para su fuerza restauradora:

F = a𝑥 + b𝑥3 (6)

con a y b constantes positivas. La ecuación de movimiento queda entonces:

�̈� + 2𝛾�̇� + 𝛼𝑥 − 𝛽𝑥3 = 0 (7)

𝑐𝑜𝑛: 𝛾 =𝑐

2𝑚; 𝛼 =

𝑎

𝑚 𝑦 𝛽 =

𝑏

𝑚

donde c es el coeficiente de amortiguamiento del medio y m la masa.

Si reescribimos la ecuación (7) con K = - tenemos una ecuación de Duffing sin

término forzante.

�̈� + 2𝛾�̇� + 𝛼𝑥 + 𝐾𝑥3 = 0 (8)

Para lograr el análogo electrónico al circuito RLC estudiado anteriormente se le

incorporan componentes no lineales (formado por C1 en paralelo con dos

diodos), su comportamiento cambia sustancialmente. En la figura 3 se

representa dicho circuito.

Figura 4: Circuito RCL no lineal sin forzamiento

Si la diferencia de potencial entre los nodos que delimitan la malla de los diodos

se encuentra en la región de funcionamiento de los diodos, entonces la

capacitancia equivalente es la del capacitor 2 (Ceq = C2). Si dicha diferencia de

potencial se encuentra fuera de la región en la que conducen los diodos entonces

se puede pensar el circuito como si tuviera los dos capacitores por lo que la

capacitancia equivalente viene de

1

𝐶𝑒=

1

𝐶1+

1

𝐶2 (9)



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quedando así el voltaje de los elementos capacitivos del circuito en función de la

carga como se ve en la siguiente figura.

Figura 5: voltaje en función de la carga

Se puede apreciar claramente que la diferencia de potencial VC entre los

extremos de la rama donde se encuentran los capacitores no es proporcional a

la carga q almacenada en los mismos, comportándose de la siguiente forma:

𝑉𝑒 = 𝑞 { 𝐶𝑒

−1 𝑠𝑖 |𝑞| < 𝑞𝑏

𝑎𝐶2

−1 𝑒𝑛 𝑜𝑡𝑟𝑜 𝑐𝑎𝑠𝑜 (10)

Donde qb el valor umbral de la carga para que conduzcan los diodos. De esta

forma se tiene una aproximación al tipo de curva de la fuerza restauradora de la

ecuación 6.

Escribiendo el voltaje de los elementos capacitivos como:

V𝐶 = 𝑎𝑞 + b𝑞3 (11)

de este modo, si aplicamos Kirchhoff, la ecuación del circuito queda:

�̈� + 2𝛾�̇� + 𝛼𝑞 − β𝑞3 = 0 (12)

𝑐𝑜𝑛: 2𝛾 =𝑅

𝐿; 𝛼 =

𝑎

𝐿 𝑦 𝛽 =

𝑏

𝐿

logrando así la analogía que se buscaba con el caso mecánico.

2.2.2 Análisis con forzamiento

Al someter el circuito RCL no lineal a un voltaje forzante, la expresión que

describe este nuevo comportamiento tiene la siguiente forma matemática la cual

resulta de aplicar nuevamente Kirchhoff al mismo:



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�̈� + 2𝛾�̇� + 𝛼𝑞 − 𝛽𝑞3 =𝑉𝑜

𝐿sin(𝜔𝑡) (13)

El voltaje en el capacitor equivalente variará en función de la cantidad de carga

de los capacitores (C1 y C2), y presenta un comportamiento lineal a trozos

respecto a la carga. La razón de esta forma lineal a trozos se debe a la presencia

de los diodos colocados en paralelo a C1 y anti-paralelos entre ellos. Cuando la

caída de potencial a través de C1 es inferior al voltaje de conducción de los

diodos (aproximadamente 0,70 V para diodos de silicio) estos no conducen y el

capacitor C1 se carga normalmente siguiendo la función sinusoidal del forzador

y así la capacitancia equivalente del circuito (Ce) es la de los dos capacitores en

serie.

Cuando la diferencia de potencial en los bornes del capacitor C1 alcanza la

diferencia de potencial necesaria para que los diodos conduzcan, ya que se

asume que los diodos son idénticos por lo tanto comienzan a conducir

simultáneamente, éstos se comportarán como un interruptor cerrado y se

anulará el capacitor conectado entre ellos, cambiando la capacitancia

equivalente del circuito; este cambio produce a su vez una variación en la

frecuencia de resonancia del circuito como se muestra en la Figura 6. Si se

analiza el circuito como un circuito lineal a trazos, se tendrá acotado el rango de

frecuencias accesibles por el sistema según lo indicado:

fmax =1

2𝜋√LC𝑒

(14)

fmin =1

2𝜋√LC2

(15)

Figura 6: a) Dependencia de la amplitud del voltaje máximo entre los capacitores en función de la frecuencia del forzador. b) Dependencia de la frecuencia de resonancia para un circuito lineal a trazos como el utilizado.



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Este comportamiento es típico de los sistemas no lineales, donde la manera en

que evolucionan las amplitudes depende de si estamos aumentando o

disminuyendo la frecuencia de excitación del sistema, generando lo que se

denomina histéresis.

Una de las características descriptas para el caso lineal corresponde a la

independencia de la frecuencia de resonancia de la amplitud. El circuito no

lineal, por su parte, presenta un comportamiento sustancialmente distinto en este

sentido, ya que para diferentes amplitudes de la fuente se registran distintos

valores de la frecuencia de resonancia [1].

3. Montaje experimental

3.1 Circuito RCL lineal

Para el circuito lineal se armó el siguiente circuito:

Figura 7: Dispositivo experimental para el circuito RCL lineal

Donde se realizaron los siguientes pasos:

Armar el circuito mostrado, conectando el voltímetro al resistor.

Ir variando la frecuencia entregada por la fuente, manteniendo su voltaje máximo

constante.

Ir anotando los voltajes registrados por el multímetro (PRECAUCIÓN: Se miden

los voltajes eficaces, siendo la reducción del voltaje máximo en un factor raíz

cuadrada de dos por ser una función sinusoidal).

Se establecieron los siguientes parámetros por medida directa:

𝐶 = (1,04 ± 0,01) 𝜇𝐹

𝑅 = (10,3 ± 0,1) 𝛺



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𝜀 = (2,00 ± 0,01) 𝑉

Como no se contaba con un instrumento para determinar inductancia, esta se

determinó por un modelo de solenoide muy largo (ver anexo); obteniéndose un

valor para la misma de:

𝐿𝑇𝑒𝑜 = (3,07 ± 0,01) 𝑚𝐻

3.2 Circuito RCL no lineal

Se establecieron los siguientes parámetros por medida directa:

𝐿 = (34 ± 1)𝑚𝐻

𝐶1 = (0,332 ± 0,001) 𝜇𝐹

𝐶2 = (0,329 ± 0,001) 𝜇𝐹

𝑅 = (6,0 ± 0,1) 𝛺

𝑅𝐿 = (48,0 ± 0,1) 𝛺

2 diodos 1N4007

La recolección de los datos de amplitud se realizó con un osciloscopio digital,

mientas que frecuencia de la forzante se obtuvo por medición directa.

Figura 8: Circuito RCL no lineal utilizado.



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Figura 9: Lectura en el osciloscopio

4. Resultados experimentales

4.1 Resonancia en el circuito RCL lineal

Cuando se analizó la resonancia en el circuito lineal forzado los resultados

obtenidos fueron:

fres = 2070 𝐻𝑧

𝐿𝑒𝑥𝑝 = (5,71 ± 0,01) 𝑚𝐻

Al construir el grafico amplitud medida en función de la frecuencia emitida por la

fuente forzante se obtuvo:



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Figura 10: Amplitud en función de la frecuencia, experimental (azul y verde) y simulación (naranja)

4.2 Resonancia en el circuito RCL no lineal

En el análisis del circuito RCL no lineal, se obtuvieron los siguientes valores para

las frecuencias de resonancia:

Frecuencia (Hz) Máxima Mínima

Esperada 2125 1505

Obtenida 2115 1437

Al construir el grafico voltaje medido entre los puntos A y B en función de la

frecuencia emitida por la fuente forzante para diferentes voltajes de la misma se

obtuvo:

0,00E+00

5,00E-02

1,00E-01

1,50E-01

2,00E-01

2,50E-01

0,000 0,500 1,000 1,500 2,000 2,500 3,000 3,500

I máx

(A)

w/wres

Imáx = f(w/wres)

RLC lineal

simulacion

rcl S



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Figura 11: Curvas experimentales de la amplitud de voltaje en el elemento no lineal, en función de la

frecuencia de oscilación.

Figura 12: Curva experimental de la relación entre la amplitud del forzador y la frecuencia de resonancia

del circuito.

0

1

2

3

4

5

6

7

0 500 1000 1500 2000 2500 3000 3500

Vo

(V

)

f (Hz)

Voltaje en función de frecuencia

V1

V2

V3

V4

V5

0

2

4

6

8

10

12

0 500 1000 1500 2000 2500

Vo

frecuencia de resonancia

Amplitud en función de las frecuencias de resonancia



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Figura 4: Cambio de la frecuencia de resonancia al realizar el barrido hacia delante y hacia

atrás de las frecuencias para un mismo valor de voltaje de la señal forzante.

Discusión Y Conclusiones

En el circuito RCL lineal no hay dependencia de la frecuencia de resonancia

con la amplitud de la señal forzante, donde los valores obtenidos se

aproximan al obtenido experimentalmente.

Cuando en el circuito RLC no lineal la frecuencia de resonancia se convierte

en una función de la amplitud de la señal forzadora. Esto se observa en el

gráfico de la Figura 11; donde se muestran comportamientos distintos para la

frecuencia de resonancia con el cambio de amplitud en la señal forzadora.

Para amplitudes mayores la frecuencia de resonancia tiende a valores

cercanos a la frecuencia mínima que corresponde a la del circuito RLC

clásico.

Los resultados obtenidos demuestran que efectivamente dicha dependencia

existe. No obstante, aparte de existir una relación entre estas magnitudes, la

teoría predice que frente a un aumento de la amplitud correspondiente, la

frecuencia de resonancia debe disminuir, hecho que, en lo estrictamente

cualitativo, queda claramente comprobado en las gráficas presentadas con

anterioridad.

0

0,05

0,1

0,15

0,2

0,25

0,3

0 500 1000 1500 2000 2500 3000 3500

V (

V)

f (Hz)

Histérsis

Voltaje vuelta

Voltaje ida



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Referencias

[1] Enns, R., Mc Guire, G. A Laboratory Manual for Nonlinear Physics (Birkhäuser, USA, 1997)

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