4/8/2015 1 CIRCUITOS EM CORRENTE 4/8/2015 1 CONTÍNUA – PARTE 2 1. 1. TOPOLOGIA TOPOLOGIA 2. 2. LEIS DE LEIS DE KIRCHHOFF KIRCHHOFF 3. 3. MCM MCM 4. 4. MTN MTN 2 4/8/2015 5. 5. MRR MRR 6. 6. MCM COM MALHA ZERO MCM COM MALHA ZERO 7. 7. MTN COM NÓ ZERO MTN COM NÓ ZERO 8. 8. QUADRIPOLOS QUADRIPOLOS TOPOLOGIA TOPOLOGIA 1 TOPOLOGIA TOPOLOGIA TOPOLOGIA TOPOLOGIA 3 4/8/2015 TOPOLOGIA TOPOLOGIA 1 • A topologia estuda os circuitos (não necessariamente elétricos) sob o ponto de vista de suas ligações, sem se preocupar no que consistem as ligações. • Três entidades estão envolvidas na topologia: Definição Três entidades estão envolvidas na topologia: • Ramo • Malha • Nó 4 4/8/2015 TOPOLOGIA TOPOLOGIA 1 Ramo (loop) • Definição 1: União entre dois nós. • Definição 2: Intersecção entre duas malhas. Malha (mesh) Definições na topologia Malha (mesh) • Definição 1: Caminho fechado formado por dois ramos ou mais. • Definição 2: Caminho fechado formado por dois nós ou mais. Nó (node) • Definição 1: Extremidades de um ramo. • Definição 2: Ligação entre dois ou mais ramos. 5 4/8/2015 TOPOLOGIA TOPOLOGIA 1 • Tal como o potencial gravitacional e elástico, o potencial elétrico necessita de uma referência. • Define-se terra (ground) o nó de referência do circuito, aquele cuja tensão é dada como 0V. • Todas as demais tensões nodais no circuito são tomadas com Terra referência ao terra. • A escolha do nó zero é arbitrária. • A análise fica mais fácil se o nó zero tem a menor tensão nodal do circuito. Todas as demais tensões nodais são positivas. • A análise de malhas não requer definição de terra. 6 4/8/2015
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Circuitos em Corrente Contínua - parte 2 - UFSJ em... · 4/8/2015 1 circuitos em corrente 4/8/2015 1 contÍnua – parte 2 1.1. topologia topologia 2.2. leis de leis de kirchhoffkirchhoff
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Transcript
4/8/2015
1
CIRCUITOS EM CORRENTE
4/8/2015 1
CONTÍNUA – PARTE 2
1.1. TOPOLOGIATOPOLOGIA2.2. LEIS DE LEIS DE KIRCHHOFFKIRCHHOFF3.3. MCMMCM4.4. MTNMTN
24/8/2015
5.5. MRRMRR6.6. MCM COM MALHA ZEROMCM COM MALHA ZERO7.7. MTN COM NÓ ZEROMTN COM NÓ ZERO8.8. QUADRIPOLOSQUADRIPOLOS
TOPOLOGIATOPOLOGIA1
TOPOLOGIATOPOLOGIATOPOLOGIATOPOLOGIA
34/8/2015
TOPOLOGIATOPOLOGIA1
• A topologia estuda os circuitos (não necessariamenteelétricos) sob o ponto de vista de suas ligações, semse preocupar no que consistem as ligações.
• Três entidades estão envolvidas na topologia:
Definição
Três entidades estão envolvidas na topologia:
• Ramo
• Malha
• Nó
44/8/2015
TOPOLOGIATOPOLOGIA1
Ramo (loop)
• Definição 1: União entre dois nós.
• Definição 2: Intersecção entre duas malhas.
Malha (mesh)
Definições na topologia
Malha (mesh)
• Definição 1: Caminho fechado formado por dois ramos ou mais.
• Definição 2: Caminho fechado formado por dois nós ou mais.
Nó (node)
• Definição 1: Extremidades de um ramo.
• Definição 2: Ligação entre dois ou mais ramos.54/8/2015
TOPOLOGIATOPOLOGIA1
• Tal como o potencial gravitacional e elástico, o potencialelétrico necessita de uma referência.
• Define-se terra (ground) o nó de referência do circuito, aquelecuja tensão é dada como 0V.
• Todas as demais tensões nodais no circuito são tomadas com
Terra
referência ao terra.
• A escolha do nó zero é arbitrária.
• A análise fica mais fácil se o nó zero tem a menor tensão nodaldo circuito. Todas as demais tensões nodais são positivas.
• A análise de malhas não requer definição de terra.
64/8/2015
4/8/2015
2
TOPOLOGIATOPOLOGIA1
• Tensão nodal: Tensão em um nó comreferência ao terra.
Tipos de tensão
• Tensão de ramo: Diferença de tensãoentre os dois nós que delimitam o ramo.
74/8/2015
TOPOLOGIATOPOLOGIA1
• Corrente de malha: Correnteque circula em uma malha.
Tipos de corrente
• Corrente de ramo: Correntetotal que atravessa um ramo.
84/8/2015
TOPOLOGIATOPOLOGIA1
• Análise das malhas
• Análise dos nós
Tipos de análise de circuitos
• Análise dos nós
• Análise dos ramos
94/8/2015
TOPOLOGIATOPOLOGIA1Exemplo de malhas
Malha 1
104/8/2015Malha 0 (externa)
Malha 2
Malha 3 Malha 4
TOPOLOGIATOPOLOGIA1Exemplo de nós
Nó 1 Nó 2 Nó 3
Nó 5
114/8/2015
Nó 4 Nó 5 Nó 6
Nó 7 Nó 8 Nó 9 Nó 0
TOPOLOGIATOPOLOGIA1Exemplo de ramos
Ramo 1 Ramo 2
Ram
o 9
Ram
o 12
124/8/2015
Ramo 3 Ramo 4
Ramo 5 Ramo 6 Ramo 13
Ram
o 8
Ram
o 10
Ram
o 11
R
4/8/2015
3
TOPOLOGIATOPOLOGIA1
• Por meio da LTK, é possívelagrupar ramos em série.
• Isto simplifica a análise do circuito.
• Desta forma, serão considerados,
Simplificação dos ramos
apenas, ramos interligandodivisores de corrente.
• Todo nó deve ligar três ou maisramos.
134/8/2015
TOPOLOGIATOPOLOGIA1Nós simplificados
Nó 1
Nó 3
144/8/2015
Nó 2 Nó 3 Nó 4
Nó 5 Nó 6 Nó 0
TOPOLOGIATOPOLOGIA1
• Mudando a escolha da referência detensão para um nó com três ramos,é possível simplificar o circuito.
• A referência de tensão não precisa
Nós simplificados
ser, necessariamente, o ponto deaterramento físico do sistema.
• Essa simplificação não altera aanálise de malhas.
154/8/2015
TOPOLOGIATOPOLOGIA1Nós simplificados
Nó 1
Nó 3
164/8/2015
Nó 2 Nó 3 Nó 4
Nó 5 Nó 0
TOPOLOGIATOPOLOGIA1Ramos simplificados
Ramo 1 Ramo 2
Ram
o 9
174/8/2015
Ramo 3 Ramo 4
Ramo 5 Ramo 6Ram
o 7
Ram
o 8
R
TOPOLOGIATOPOLOGIA1
• Método das correntes de malha
• Método das tensões nodais
Métodos matriciais
• Os métodos matriciais consistem de uma
184/8/2015
• Os métodos matriciais consistem de umaferramenta sistemática para o cálculodas tensões e correntes em um circuito.
• Por serem métodos sistemáticos, elespodem ser implementados na forma desoftware.
4/8/2015
4
TOPOLOGIATOPOLOGIA1Correntes de malha
• É adotado o sentido horário (arbitrário).
• É possível adotar a malha externa comomalha redundante com sentido anti horário
194/8/2015
malha redundante, com sentido anti-horário.
• Qualquer caminho fechado do circuito podeser tomado como uma malha.
TOPOLOGIATOPOLOGIA1Correntes de malha
IM1
204/8/2015IM0
IM2
IM3 IM4
TOPOLOGIATOPOLOGIA1Tensões nodais
VN1
V
214/8/2015
VN2VN3 VN4
VN5 VN6 VN0
TOPOLOGIATOPOLOGIA1
• O nó escolhido como referencial é redundante enão deve ser considerado nas análises dos nós.
• A malha que circunda o circuito é redundante e nãodeve ser considerada nas análises das malhas.
Redundâncias
224/8/2015
• Se o ramo em análise estiver ligado àmalha redundante (externa), sua correntede ramo é a própria corrente de malha.
• Se o ramo em análise estiver ligado ao nóredundante (terra), sua tensão de ramo éa própria tensão nodal do outro nó.
TOPOLOGIATOPOLOGIA1
• Considerando a malha 0, todos os ramos são percorridospor duas e apenas duas correntes de malha.
• As duas correntes de malha possuem sentidos contrários,isto é, a corrente de ramo é uma menos a outra.
Redundâncias
234/8/2015
• Considerando o nó 0, todos os ramos são delimitados porduas e apenas duas tensões nodais.
• As duas tensões nodais são consideradas com sinaiscontrários, isto é, a tensão de ramo é uma menos a outra.
TOPOLOGIATOPOLOGIA1
• Curto-circuito virtual: Dois nós cuja tensão éa mesma. Pode-se fazer um curto-circuitoreal entre tais nós sem influenciar nofuncionamento do circuito.
• Circuito aberto virtual: Um ramo cuja corrente
Virtualidade
• Circuito aberto virtual: Um ramo cuja correnteé nula. Pode-se remover tal ramo seminfluenciar no funcionamento do circuito.
• Terra virtual: Um nó diferente do terra cujatensão é igual ao terra.
244/8/2015
4/8/2015
5
TOPOLOGIATOPOLOGIA1
• Nem sempre é possível, no início da análise, determinara polaridade de:
• Tensões nodais.
• Correntes de malha.
• Tensões de ramo.
Escolhas
254/8/2015
• Correntes de ramo.
• É preciso fazer suposições quanto aos valores de ramos.
• Resistências e condutâncias são sempre positivas.
• Obtendo-se tensão de ramo positiva, obtém-se correntede ramo positiva, ou vice-versa.
• Obtendo-se tensão de ramo negativa, obtém-se correntede ramo negativa, ou vice-versa.
TOPOLOGIATOPOLOGIA1
• A habilidade leva à obtenção detensões de ramo sempre
Escolhas
264/8/2015
tensões de ramo semprepositivas, o que facilita a análise.
LEIS DE KIRCHHOFFLEIS DE KIRCHHOFF2
LEIS DELEIS DE KIRCHHOFFKIRCHHOFFLEIS DE LEIS DE KIRCHHOFFKIRCHHOFF
274/8/2015
LEIS DE KIRCHHOFFLEIS DE KIRCHHOFF2
Leis de Kirchhoff:
• Lei das tensões LTK
• Lei das correntes LCK
As duas leis
• Estas leis possuem estes nomes emhomenagem ao físico alemão GustavRobert Kirchhoff (1824 – 1887).
284/8/2015
LEIS DE KIRCHHOFFLEIS DE KIRCHHOFF2
• LTK em malha fechada: A soma de todasas tensões de ramo que compõe umamalha fechada é nula.
• LTK em malha aberta: A soma de todas
Lei das tensões
• LTK em malha aberta: A soma de todasas tensões de ramo que compõe umamalha aberta é igual à tensão em suasextremidades, ainda que haja derivações.
294/8/2015
LEIS DE KIRCHHOFFLEIS DE KIRCHHOFF2
04321 VVVV
n
xx
malhaV0
0
Lei das tensões
VVVV 321
x 0
304/8/2015
4/8/2015
6
LEIS DE KIRCHHOFFLEIS DE KIRCHHOFF2
• LCK em um nó: Se o fluxo de elétronsfor incompressível, a soma de todas ascorrentes de ramo dos ramos ligados aum nó é nula
Lei das correntes
um nó é nula.
• LCK em uma caixa preta: A soma dascorrentes de todas as conexõesexternas de um circuito qualquer é nula.
314/8/2015
LEIS DE KIRCHHOFFLEIS DE KIRCHHOFF2
04321 IIII
n
xx
nó I0
0
Lei das correntes
x 0
4321
4321 0
NNNN VVVV
IIII
324/8/2015
MCMMCM3
MCMMCMMCMMCM
334/8/2015
MCMMCM3Entidades
• Fontes de tensão.
• Resistências.
344/8/2015
• Condutâncias e fontes de correntedevem ser convertidas.
MCMMCM3
R1 R2 R3
Circuito genérico com duas malhas
Malha 1 Malha 2+– VS1
+– VS2
+– VS3
354/8/2015
Malha 1 Malha 2
MCMMCM3As tensões e correntes de ramo
IR1 IR2 IR3
V1
–
+
–
+
–
+VR1 VR2 VR3
Malha 1 Malha 2
364/8/2015
0V
+–
+–
+–
Malha 1 Malha 2
4/8/2015
7
MCMMCM3As duas correntes de malha
IM1 IM2
374/8/2015
+–
+–
+–
MCMMCM3As duas malhas separadas
R1 R2
IM1
R2 R3
IM2
Malha 1 Malha 2
–
+
–
+
–
+
–
+
384/8/2015
VS1 VS2 VS2 VS3
+–
+–
+–
+–
12121
2121
1
:
0
0:
MRRSS
RRSS
IIIIILCK
VVVVV
VVLTK
23232
3232
2
:
0
0:
MRRSS
RRSS
IIIIILCK
VVVVV
VVLTK
MCMMCM3
VVVVV
VVVVV
RRSS
RRSS
0 :2 Malha
0:1 Malha
3232
2121
VVVVV RRSS 02121
Sistema de equações
394/8/2015
VVVVV
VVVVV
RRSS
RRSS
0
0
3232
2121
VIRIRVV
VIRIRVV
RRSS
RRSS
0
0
332232
221121
MCMMCM3
23
122
11
MR
MMR
MR
II
III
II
Tensões e Correntes de Ramo Correntes de Malha
Ramos e malhas
V1
404/8/2015
IM1 IM2IR1 IR2 IR3
0V
–
+
–
+
–
+VR1 VR2 VR3
+–
+–
+–
+–
+–
+–
MCMMCM3
VIIRIRVV MMMSS 01221121
Sistema de equações
VIRIRVV
VIRIRVV
RRSS
RRSS
0
0
332232
221121
23
122
11
MR
MMR
MR
II
III
II
VIRIIRVV MMMSS 02312232
VIRIRIRVV
VIRIRIRVV
MMMSS
MMMSS
0
0
23122232
12221121
VIRRIRVV
VIRIRRVV
MMSS
MMSS
0
0
2321232
2212121
414/8/2015
MCMMCM3Sistema de equações
2321232
2212121
MMSS
MMSS
IRRIRVV
IRIRRVV
424/8/2015
2
1
322
221
32
21
M
M
SS
SS
I
I
RRR
RRR
VV
VV
2
1
221
211
2
1
M
M
S
S
I
I
RR
RR
V
V
4/8/2015
8
MCMMCM3Circuito genérico de duas malhas
2
1
221
211
2
1
M
M
S
S
I
I
RR
RR
V
V
VS(1) : Somatório das fontes de tensão na malha 1.
VS(2): Somatório das fontes de tensão na malha 2.
434/8/2015
( )
R(1): Somatório das resistências na malha 1.
R(2): Somatório das resistências na malha 2.
-R(12): Somatório das resistências na intersecçãoentre as malhas 1 e 2.
IM1: Corrente de malha 1.
IM2: Corrente de malha 2.
MCMMCM3Sistema de equações
111 MS IRV 1 malha
2 malhas
IRRV
444/8/2015
3
2
1
33231
32221
31211
3
2
1
M
M
M
S
S
S
I
I
I
RRR
RRR
RRR
V
V
V
3 malhas
2
1
221
211
2
1
M
M
S
S
I
I
RR
RR
V
V
MCMMCM3Sistema de equações
Mn
S
S
I
I
RRR
RRR
V
V 1
2221
1211
2
1
n malhas
454/8/2015
Mn
M
nnn
n
nS
S
I
I
RRR
RRR
V
V
2
21
22212
Matriz das fontes de tensão
Matriz das resistências Matriz das correntes de malha
MCMMCM3Matriz das resistências
n
n
RRR
RRR
RRR
22221
12111
464/8/2015
nnnn RRR 21
• Matriz de intersecções.
• A intersecção de um conjuntoconsigo próprio é o próprio conjunto.
MCMMCM3
M
M
n
n
S
S
I
I
I
RRR
RRR
RRR
V
V
V
2
1
2221
1211
2
1
Sistema de equações
MnnnnnS IRRRV 21
• MCM: 1ª lei de Ohm na forma matricial
• Matriz das fontes de tensão 1n
• Matriz das resistências nn
• Matriz das correntes de malha 1n
IRV
474/8/2015
MCMMCM3
n
n
RRR
RRR
2221
1211
Matriz das resistências
484/8/2015
nnn RRR 21
Resistências próprias das malhasResistências mútuas
4/8/2015
9
MCMMCM3
• Uso de fontes de tensão
• Fontes de corrente devem serconvertidas para fontes de tensão.
Conversão de fontes
494/8/2015
SS IRV R
VS
GIS
MCMMCM3
R2
+ VR2 –
R1
+ VR1 –
Exemplo
222
111
213
22
11
333
222
111
:1LΩ
MR
MR
MMR
MR
MR
RR
RR
RR
IIRV
IRV
IRV
III
II
II
IRV
IRV
IRV
504/8/2015
R3
–V
R3
+VS1+–
VS2–+IM1
IM2
2
1
323
331
2
1
232132
231311
213222
213111
322
311
2133
:2 Malha
:1 Malha:LTK
M
M
S
S
MMS
MMS
MMMS
MMMS
RRS
RRS
MMR
I
I
RRR
RRR
V
V
IRRIRV
IRIRRV
IIRIRV
IIRIRV
VVV
VVV
IIRV
MTNMTN4
MTNMTNMTNMTN
514/8/2015
MTNMTN4Entidades
• Fontes de corrente.
• Condutâncias.
524/8/2015
• Resistências e fontes de tensão devemser convertidas.
MTNMTN4
IS1
Circuito genérico com dois nós
Nó 1 Nó 2
G1IS1 G3IS1
G2
534/8/2015
MTNMTN4
– +V
As tensões e correntes de ramo
Nó 1 Nó 2
IG1
–
+
VG1
IG3
IG2+
–
VG2
VG3
544/8/2015
4/8/2015
10
MTNMTN4
VN1 VN2
As duas tensões nodais
554/8/2015
MTNMTN4
VN1 VN2
Os DOIS nós separados
G1
G2 G2
G3
564/8/2015
12121
2121
1
:
0
0:
NGGSS
GGSS
VVVVVLTK
AIIII
AILCK
23232
3232
2
:
0
0:
NGGSS
GGSS
VVVVVLTK
AIIII
AILCK
3
MTNMTN4
AIIII
AIIII
GGSS
GGSS
0 :2 Nó
0:1 Nó
3232
2121
AIIII GGSS 02121
Sistema de equações
574/8/2015
AIIII
AIIII
GGSS
GGSS
0
0
3232
2121
AVGVGII
AVGVGII
GGSS
GGSS
0
0
332232
221121
MTNMTN4
23
122
11
NG
NNG
NG
VV
VVV
VV
V V
Tensões e Correntes de Ramo Tensões Nodais
Ramos e nós
584/8/2015
IG3
–
+
VG3
IG1
VG1
IG2
– ++
–
VG2
VN1 VN2
MTNMTN4Sistema de equações
23
122
11
NG
NNG
NG
VV
VVV
VV
AVGVGII
AVGVGII
GGSS
GGSS
0
0
332232
221121
AVVGVGII NNNSS 01221121
AVGVGVGII
AVGVGVGII
NNNSS
NNNSS
0
0
23122232
12221121
AVGGVGII
AVGVGGII
NNSS
NNSS
0
0
2321232
2212121
594/8/2015
AVGVVGII NNNSS 02312232
MTNMTN4
2321232
2212121
NNSS
NNSS
VGGVGII
VGVGGII
VGGGII
Sistema de equações
2
1
322
221
32
21
N
N
SS
SS
V
V
GGG
GGG
II
II
2
1
221
211
2
1
N
N
S
S
V
V
GG
GG
I
I
604/8/2015
4/8/2015
11
MTNMTN4
2
1
221
211
2
1
N
N
S
S
V
V
GG
GG
I
I
Sistema de equações
IS(1) : Somatório das fontes de corrente no nó 1.
IS(2): Somatório das fontes de corrente no nó 2.
614/8/2015
( )
G(1): Somatório das condutâncias no nó 1.
G(2): Somatório das condutâncias no nó 2.
-G(12): Somatório das condutâncias na uniãoentre os nós 1 e 2.
VN1: Tensão nodal 1.
VN2: Tensão nodal 2.
MTNMTN4
VGGI
111 NS VGI 1 nó
2 nós
Sistema de equações
624/8/2015
2
1
221
211
2
1
N
N
S
S
V
V
GG
GG
I
I
3
2
1
33231
32221
31211
3
2
1
N
N
N
S
S
S
V
V
V
GGG
GGG
GGG
I
I
I
3 nós
MTNMTN4
NnS
V
V
GGG
GGG
I
I 112111
n nós
Sistema de equações
634/8/2015
Nn
N
nnn
n
nS
S
V
V
GGG
GGG
I
I
2
21
22212
Matriz das fontes de corrente
Matriz das condutâncias Matriz das tensões nodais
MTNMTN4
n
n
GGG
GGG
GGG
22221
12111
Sistema de equações
644/8/2015
nnn GGG 21
• Matriz de uniões.
• A união de um conjunto consigopróprio é o próprio conjunto.
MTNMTN4
N
N
n
n
S
S
V
V
V
GGG
GGG
GGG
I
I
I
2
1
2221
1211
2
1
Sistema de equações
NnnnnnS VGGGI 21
• MTN: 1ª lei de Ohm na forma matricial
• Matriz das fontes de corrente 1n
• Matriz das condutâncias nn
• Matriz das tensões nodais 1n
VGI
654/8/2015
MTNMTN4
n
n
GGG
GGG
GGG
2221
1211
Matriz das condutâncias
664/8/2015
nnn GGG 21
Condutâncias próprias dos nósCondutâncias mútuas
4/8/2015
12
MTNMTN4
• Uso de fontes de corrente.
• Fontes de tensão devem serconvertidas para fontes de corrente.
Conversão de fontes
674/8/2015
SS VGI R
VS
GIS
MTNMTN4
222
111
213
22
11
333
222
111
:1LΩ
NG
NG
NNG
NG
NG
GG
GG
GG
VVGI
VGI
VGI
VVV
VV
VV
VGI
VGI
VGI
G1
+ VG1 –
VN1
+ +
VN2
Exemplo
684/8/2015
2
1
323
331
2
1
232132
231311
2132222
213111
322
311
2133
:2 Nó
:1 Nó:LCK
N
N
S
S
NNS
NNS
NNNS
NNNS
GGS
GGS
NNG
V
V
GGG
GGG
I
I
VGGVGI
VGVGGI
VVGVGI
VVGVGI
III
III
VVGI
–V
G1
+G
1IS1
–V
G2
+G
2IS2
MRRMRR5
MRRMRRMRRMRR
694/8/2015
MRRMRR5Motivação
• Correntes de malha e tensões nodais são uma abstraçãomatemática que não possui significado num circuito real.
• Somente as correntes de ramo e as tensões de ramo sãoúteis para os cálculos em circuitos elétricos.
• Leis de Ohm e de Kirchhoff somente podem ser
704/8/2015
paplicados sobre correntes de ramo e tensões de ramo.
• Cálculos de potência somente podem ser aplicadossobre correntes de ramo e tensões de ramo.
• Correntes de malha e tensões nodais somente são úteisse usados para o cálculo das correntes de ramo e dastensões de ramo.
MRRMRR5Análises
• Por meio do MCM, são obtidos os valores decorrente para todos os ramos do circuito.
• Usando a 1L, é possível obter os valores detensão para estes ramos.
• A corrente sobre o receptor é dada pela diferença
714/8/2015
• Por meio do MTN, são obtidos os valores detensão para todos os ramos do circuito.
• Usando a 1L, é possível obter os valores decorrente para estes ramos.
• A tensão sobre o receptor é dada pela diferençaentre as duas tensões nodais sobre por ele.
entre as duas correntes de malha sobre ele.
MRRMRR5
• Não é preciso aplicar ambos métodos matriciais, MCMe MTN para o mesmo circuito. Um deles já é suficiente.
• Se todas as tensões nodais e correntes de malha jáestão definidas, então os valores dos receptorespodem ser determinados pela primeira lei de Ohm.
Redundância
724/8/2015
• Com o MCM, MTN e o MRR, tem-se um métodoredundante, pois dois deles são suficientes paradeterminar todos os valores do circuito.
• O método redundante pode ser usado na confirmaçãodos resultados
4/8/2015
13
MRRMRR5
R
Ramo genéricopara MCM Ramo genérico
para MTNRamo genérico
Ramos
+– VS
GIS
734/8/2015
MRRMRR5
IM3
Ramo 3
Ramo 6 Ramo 5V
Exemplo de circuito genérico
IM1 IM2Ram
o 1
Ram
o 4
Ram
o 2
VN1 VN3
VN2
744/8/2015
MRRMRR51. LTK Malha 1: Ramos 1,4,6
2. LTK Malha 2: Ramos 2,5,4
3. LTK Malha 3: Ramos 3,6,5
4. LCK Nó 1: Ramos 1,6,3
5. LCK Nó 2: Ramos 4,5,6
6. LCK Nó 3: Ramos 2,3,5
7. 1L Ramo 1: Malha 1 Malha 0
8. 1L Ramo 2: Malha 2 Malha 0
IM3
Ramo 3
Ramo 6 Ramo 5
VN1 VN3
VN2
Fórmulas
9. 1L Ramo 3: Malha 3 Malha 0
10. 1L Ramo 4: Malha 1 Malha 2
11. 1L Ramo 5: Malha 2 Malha 3
12. 1L Ramo 6: Malha 3 Malha 1
13. 1L Ramo 1: Nó 1 Nó 0
14. 1L Ramo 4: Nó 2 Nó 0
15. 1L Ramo 2: Nó 3 Nó 0
16. 1L Ramo 6: Nó 1 Nó 2
17. 1L Ramo 5: Nó 2 Nó 3
18. 1L Ramo 3: Nó 3 Nó 1
IM1 IM2Ra
mo
1
Ra
mo
4
Ra
mo
2
N1 N3
754/8/2015
MRRMRR5
• Dois circuitos são duais quando aequação matricial pelo MCM de umdeles é numericamente igual à equaçãomatricial pelo MTN do outro.
Dualidade
764/8/2015
Nó
Resistor
Tensão nodal
Tensão de ramo
Fonte de tensão
Malha
Condutor
Corrente de Malha
Corrente de Ramo
Fonte de corrente
MRRMRR5
111121 ABBA
2
1
2212
1211
2
1
C
C
BB
BB
A
A
Método de Crammer
774/8/2015
2212
1211
212
111
2
2212
1211
222
121
1
BB
BB
ABC
BB
BB
BAC
CBDADC
BA
MRRMRR5
ABBA
2
1
2212
1211
2
1
C
C
BB
BB
A
A
Método de Crammer
784/8/2015
12122211
1212112
12122211
2122211
BBBB
BAABC
BBBB
ABBAC
4/8/2015
14
MRRMRR5
22212
11211
23212
13111
23222
13121
ABB
ABB
BAB
BAB
BBA
BBA
3
2
1
332313
232212
131211
3
2
1
C
C
C
BBB
BBB
BBB
A
A
A
Método de Crammer
794/8/2015
332313
232212
131211
32313
22212
3
332313
232212
131211
33313
23212
2
332313
232212
131211
33233
23222
1
BBB
BBB
BBB
ABB
ABB
C
BBB
BBB
BBB
BAB
BAB
C
BBB
BBB
BBB
BBA
BBA
C
GECIDBHFAHDCGFBIEA
IHG
FED
CBA
MRRMRR5Exemplo de circuito genérico
RVS4 RVS5
R6
I3
VS6
804/8/2015
R1
VS1
R4VS4
R2
VS2
R5VS5
R3
VS3
I1 I2
V1 V3V2
MRRMRR5
1. LTK Malha 1: Ramos 1,2 e 4
2. LTK Malha 2: Ramos 2,3 e 5
3. LTK Malha 3: Ramos 4,5 e 6
7. 1L Ramo 1: Malha 1 Malha 0
8. 1L Ramo 3: Malha 2 Malha 0
9. 1L Ramo 6: Malha 6 Malha 0
10.1L Ramo 2: Malha 1 Malha 2
11 1L R 4 M lh 1 M lh 3
As 18 equações:Exemplo de circuito genérico
814/8/2015
4. LCK Nó 1: Ramos 1,4 e 6
5. LCK Nó 2: Ramos 2,4 e 5
6. LCK Nó 3: Ramos 3,5 e 6
11.1L Ramo 4: Malha 1 Malha 3
12.1L Ramo 5: Malha 2 Malha 3
13.1L Ramo 1: Nó 1 Nó 0
14.1L Ramo 2: Nó 2 Nó 0
15.1L Ramo 3: Nó 3 Nó 0
16.1L Ramo 4: Nó 1 Nó 2
17.1L Ramo 5: Nó 2 Nó 3
18.1L Ramo 6: Nó 1 Nó 3
MRRMRR5
235
124
352
241
QuedaElevação
RSS
RSS
RRS
RRS
VVV
VVV
VVV
VVV
VVV
VVV
Exemplo de circuito genérico
824/8/2015
546654 RRSRSS VVVVVV
654
542
241
653
542
641
SaindoEntrando
SSG
GSG
GGG
GGS
SGS
SSS
III
III
III
III
III
III
MRRMRR5
3
2
1
65454
55322
42421
654
532
421
I
I
I
RRRRR
RRRRR
RRRRR
VVV
VVV
VVV
SSS
SSS
SSS
MCM
Exemplo de circuito genérico
834/8/2015
3
2
1
65356
55424
64641
653
542
641
V
V
V
GGGGG
GGGGG
GGGGG
III
III
III
SSS
SSS
SSS
MTN
MRRMRR5
12202222
01101111
IIVVVIVR
IIVVVIVR
SRR
SRR
MRR com V0 e I0 (vide próximo capítuo)
Exemplo de circuito genérico
844/8/2015
30136666
23235555
13124444
20303333
IIVVVIVR
IIVVVIVR
IIVVVIVR
IIVVVIVR
SRR
SRR
SRR
SRR
4/8/2015
15
MRRMRR5
111111
00 00
IIVVIVR
IVVIVR
AIVV
SRR
MRR
Exemplo de circuito genérico
854/8/2015
3136666
23235555
13124444
233333
1222222
IVVVIVR
IIVVVIVR
IIVVVIVR
IVVIVR
IIVVIVR
SRR
SRR
SRR
SRR
SRR
MRRMRR5Potência fornecida pela fonte
• No cálculo da potência fornecida pela fonte de tensãoou de corrente, é preciso verificar se a corrente positivaentra pelo pólo negativo da fonte.
• Sempre que isso acontece, a fonte está agindo comogerador e sua potência fornecida é positiva.
864/8/2015
• Quando isso não acontece, então outra(s) fonte(s) estãoimpondo uma corrente invertida numa fonte de tensãoou uma tensão invertida numa fonte de corrente.
• Quando ocorre esta inversão, a potência fornecida énegativa.
• Os erros se devem à pequenez dos valores utilizados nadivisão perante a precisão adotada e ao acúmulo de errodevido aos cálculos baseados em valores aproximados.
• No caso de R4, como os valores são muito baixos, o erropercentual se torna muito alto mesmo tenho erroabsoluto semelhante aos demais cálculos.