Fundamentos Físicos y Tecnológicos de la Informática Agustín Álvarez Marquina Departamento de Arquitectura y Tecnología de Sistemas Informáticos Universidad Politécnica de Madrid - Tensión y corriente alterna. Funciones sinusoidales. Valores medio y eficaz. - Relación tensión corriente en los elementos de un circuito. Representación vectorial. “Circuitos de Corriente Alterna”
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Fundamentos Físicos y Tecnológicos de la Informática
Agustín Álvarez Marquina
Departamento de Arquitectura y Tecnología de Sistemas Informáticos
Universidad Politécnica de Madrid
- Tensión y corriente alterna. Funciones sinusoidales. Valores medio y eficaz. - Relación tensión corriente en los elementos de un circuito. Representación vectorial.
“Circuitos de Corriente Alterna”
Tensión y corriente alterna
Introducción. En este capítulo se va a estudiar la respuesta de los
circuitos lineales en régimen permanente sinusoidal (RPS).
Las fuentes de excitación tienen forma sinusoidal. Se puede considerar que llevan funcionando un tiempo
suficiente como para que el circuito esté en régimen permanente.
– Debe transcurrir un tiempo de funcionamiento hasta que la respuesta del circuito es debida exclusivamente a la excitación de los generadores sinusoidales.
» Las bobinas y condensadores son elementos capaces de almacenar energía.
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Tensión y corriente alterna
Introducción. Las funciones sinusoidales constituyen la forma de
excitación más importante en los circuitos eléctricos. Ejemplos:
La energía eléctrica que llega a nuestras casas lo hace en la forma de una función sinusoidal.
En los sistemas de comunicaciones las señales portadoras son también sinusoides.
Pero además, en muchos otros casos las señales que aparecen pueden representarse como una combinación de funciones sinusoidales:
El movimiento de los planetas, la vibración de una cuerda, la propagación de la luz o del sonido, el movimiento de las mareas, etc.
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Tensión y corriente alterna
Funciones sinusoidales. Representación de las funciones sinusoidales.
Las funciones sinusoidales están acotadas al rango [-1, +1] y se repiten cada t=2π/ω segundos (o equivalentemente cada ωt= 2π radianes).
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)cos()()(sen)(
ttyttx
ωω
==
0 π/2ω
-1
-0.5
0
0.5
1
tπ/ω 3π/2ω 2π/ω−2π/ω −3π/2ω −π/ω −π/2ω
sen(ωt)
cos(ωt)
Figura. Representación de las funciones sinusoidales sen(ωt) y cos(ωt)
Tensión y corriente alterna
Funciones sinusoidales. Representación de las funciones sinusoidales.
Podemos comprobar que ambas funciones son realmente la misma pero desplazada en el tiempo:
– Es decir, el coseno está adelantado (ocurre antes), π/2 radianes (π/2ω segundos) respecto al seno.
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)2/cos()(sen πωω −= tt
)2/(sen)(c πωω += ttos
Tensión y corriente alterna
Funciones sinusoidales. Expresión general de una función sinusoidal.
donde
A0, B0: valor de pico o valor máximo de la función.
ω : pulsación o frecuencia angular en rad/s. t: variable independiente (tiempo en s).
φ, ϕ : fase inicial en radianes.
(ωt+φ), (ωt+ϕ): fases instantáneas en radianes. 6 Facultad de Informática, U.P.M.
)(sen)( 0 ϕω += tAtx
)(c)( 0 φω += tosBty
Tensión y corriente alterna
Funciones sinusoidales. Diferencia de fases entre dos funciones sinusoidales.
Decimos que la función x(t)=sen(ωt+φ1) está adelantada (ocurre antes) respecto de la función y(t)=sen(ωt+φ2) cuando la diferencia entre las fases de x(t) e y(t) está comprendida entre 0 y π.
– Si la diferencia de fases obtenida es un valor entre -π y 0, entonces es la función y(t) la que está adelantada respecto a x(t).
– En el caso de que la diferencia de fases que obtengamos sea superior a π (o inferior a -π), bastará con restar (o sumar) a esa diferencia de fases un número entero de veces 2π de modo que esa diferencia esté comprendida entre -π y π.
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Tensión y corriente alterna
Funciones sinusoidales. Simetría de las funciones sinusoidales.
Si nos desplazamos ωt=π radianes en cualquiera de las funciones sen(ωt) y cos(ωt), aparece esa misma función invertida.
Este hecho se refleja en las siguientes igualdades:
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)(sen)(sen tt ωπω −=±
)(c)(c tostos ωπω −=±
Tensión y corriente alterna
Funciones sinusoidales. Propiedades de periodicidad.
Las funciones sinusoidales tienen una propiedad muy importante: son funciones periódicas.
– Si se desplaza la función un cierto valor de la variable independiente, se vuelve a observar exactamente la misma función.
De forma general podemos decir que la función y=f(t) es periódica de periodo T si:
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enteronytnTtftf ∀∀+= )()(
Tensión y corriente alterna
Funciones sinusoidales. Periodo de una señal T.
Es el desplazamiento en el tiempo que debemos realizar para observar los mismos valores de la señal.
– Al menor valor positivo de T que cumple la condición anterior se le denomina periodo fundamental.
– En el caso de las funciones sinusoidales tendremos:
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( )
)(22
)(2)(c)(c 00
sTT
TttTtosAtosA
ωπωπ
ϕωπϕωϕωϕω
=⇒=
++=++++=+
Tensión y corriente alterna
Funciones sinusoidales. Frecuencia de una señal f.
Es el número de veces por segundo que se repite la función.
Es la inversa del periodo y se mide en ciclos por segundo (hercios o Hz).
» Es habitual referirse a la pulsación ω como frecuencia, si
bien, en sentido estricto, la pulsación se mide en radianes por segundo y la frecuencia en hercios.
» Relación: ω=2πf
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)(1 HzT
f =
πω2
1==
Tf
Tensión y corriente alterna
Funciones sinusoidales. Valor medio una señal y(t)=A0 sen(ωt+φ).
Valor eficaz de una señal y(t)=A0 sen(ωt+φ).
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0=y⇒∫=T
dttyT
y0
)(1
[ ]∫=T
ef dttyT
y0
22 )(1 ⇒20Ayef =
Tensión y corriente alterna
Funciones sinusoidales. Corriente y tensión sinusoidales.
Uno de los casos más frecuentes que nos podemos encontrar en un circuito lineal es aquél en el que los generadores tienen una expresión sinusoidal.
– En este caso, lo más habitual será caracterizarlos a través de su pulsación ω (rad/s), además de por el valor de la amplitud de la tensión o corriente que proporcionen y de la fase de la señal que estén generando.
Sabemos que la pulsación y la frecuencia están relacionadas de la siguiente forma:
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fπω 2=
Tensión y corriente alterna
Funciones sinusoidales. Corriente y tensión sinusoidales.
Por tanto, la expresión de una tensión o corriente de tipo sinusoidal será:
– Donde V e I son los valores máximos de la tensión y de la corriente, ω es la pulsación del generador y φ es la fase.
» En este ejemplo hemos utilizado la función seno, pero podríamos haber empleado la función coseno, ya que como acabamos de ver ambas son la misma función desplazada π/2 radianes (90º).
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)(sen)( ϕω += tVtv
)(sen)( ϕω += tIti
Tensión y corriente alterna
Funciones sinusoidales. Otras propiedades de las funciones sinusoidales.
Las funciones sinusoidales tienen además otras dos propiedades que van a facilitar el estudio de los circuitos lineales:
» Tanto la derivada como la integral de una función sinusoidal son otra función sinusoidal de la misma frecuencia.
» La suma de dos funciones sinusoidales de la misma frecuencia es otra función sinusoidal de igual frecuencia.
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Tensión y corriente alterna
Funciones sinusoidales. Integración de una función sinusoidal.
El efecto que se produce al integrar una función sinusoidal es el de dividirla por la pulsación ω y desfasarla un ángulo φ=-π/2 radianes.
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( ) )2/(sen1)cos(1)(sen πωω
ωω
ω −=−=∫ ttdtt
( ) )2/cos(1)(sen1)cos( πωω
ωω
ω −==∫ ttdtt
Tensión y corriente alterna
Funciones sinusoidales. Diferenciación de una función sinusoidal.
El efecto que se produce al derivar una función sinusoidal es multiplicarla por la pulsación ω y desfasarla un ángulo φ=π/2 radianes.
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( )2/sen)cos()(sen πωωωωω+== tt
dttd
( )2/c)(sen)cos( πωωωωω+=−= tost
dttd
Relación tensión corriente en circuitos de corriente alterna
Circuito puramente resistivo. Consideremos que la tensión de la fuente es:
Aplicando las leyes de Kirchhoff
Por la ley de Ohm, la tensión en la resistencia será:
Por tanto:
Siendo:
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R
+ V vR
+
-
i(t)
tVtv ωcos)( 0=
tVtvvR ωcos)( 0==
iRvR = ⇒ tItR
VRvi R ωω coscos 0
0 ===
tIti ωcos)( 0=
RV
I 00 = RvRIV == 00⇒
Relación tensión corriente en circuitos de corriente alterna