INSTITUTO POLITCNICO NACIONALESCUELA SUPERIOR DE INGENIERA
MECNICA Y ELCTRICAUNIDAD PROFESIONAL TICOMNINGENIERA AERONUTICA
DISEO DE ELEMENTOS DE MAQUINA.
ANALISIS DEL ESLABON DE CUATRO BARRAS.
PROFESOR: HILARIO GRUPO: 6AM3 TURNO: MATUTINO ALUMNO: ROMUALDO
RAMOS NETSAUALKOYOTL
NDICE.
INTRODUCCIN.El siguiente paso en el anlisis cinemtico de
mecanismos, despus de esbozar el diagrama esquemtico (cadena
cinemtica), es determinar el nmero de grados de libertad de los
mecanismos. Por grado de libertad se entiende el nmero de entradas
independientes requeridas para determinar la posicin de todos los
eslabones del mecanismo respecto a tierra1. Podran inventarse
cientos de miles de tipos diferentes de eslabonamientos, (vase la
tabla 2.1).Supongamos que se requiere la posicin exacta del eslabn
rgido K en el sistema coordenado XY, como se muestra en la figura
2.1. Cuntas variables independientes especificaran por completo la
posicin de este eslabn? La posicin del punto A puede alcanzarse,
digamos, desde el origen, movindonos primero a lo largo del eje X
una distancia y luego una distancia en la direccin del eje Y. as,
esas dos coordenadas, que representan dos traslaciones, localizan
el punto A. Sin embargo, se requiere ms informacin para definir
completamente la posicin del eslabn K. si se conoce el ngulo que
forma la lnea que une A con B con respecto al eje X, la posicin del
eslabn K esta especificada en el XY. Se tienen entonces tres
variables independientes: y (dos traslaciones y una rotacin, o bien
tres coordenadas independientes) asociadas con la posicin de un
eslabn en el plano. En otras palabras, un eslabn rgido no
restringido en el plano tiene 3 grados de libertad. Si se tiene un
ensamble de n eslabones, ellos tendrn un total de 3n grados de
libertad antes de que se unan para formar un sistema eslabonado.
Las conexiones entre eslabones tienen como consecuencia la perdida
de grados de libertad del sistema total de eslabones. Por ejemplo,
una junta de pasador (revoluta) o articulacin, Cuntos grados de
libertad elimina una junta de pasador de los eslabones previamente
no restringidos al juntarse stos? Si el punto A sobre el eslabn en
la Figura 2.1 es una junta de pasador entre el eslabn K y tierra,
entonces, dos variables independientes, y , quedan fijas, dejando a
como el solo grado de libertad restante en el eslabn K.
Fig. 2.1 Un eslabn solo localizado en un plano XYEn un conjunto
de eslabones como el mostrado en la figura 2.1, cada conexin por
pasador eliminar dos grados de libertad de movimiento relativo
entre eslabones sucesivos. Esta observacin sugiere una ecuacin que
determinara los grados de libertad de una cadena de Tabla 2.1 Pares
Cinemticos y grados de libertad.n eslabones conectados por juntas
de pasador, con la tierra (el eslabon fijo) considerado como uno de
los eslabones: (2.1)La ecuacin (2.1) se conoce como ecuacin de
Gruebler. El nmero de eslabones mviles es (n-1). La junta de
pasador permite un grado de libertad relativo entre dos eslabones,
de ah la notacion . Esta es una de las ecuaciones de movilidad mas
popular usada en la practica.La mayoria de las tareas de los
mecanismos requieren que una sola entrada sea transmitida a una
sola salida. Por esto, los mecanismos de un solo grado de libertad,
es decir, aquellos que tienen un movimiento restringido, son los
tipos mas frecuentes usados.En general, el numero de juntas de
pasador en una conexin comun es: (2.2)Donde m es el numero de
eslabones unidos por una sola junta revoluta.existen otros tipos de
juntas adems de los pasadores y los deslizadores que puedan usarse
para conectar los miembros de mecanismos en movimiento plano? S es
as, cancelaran todos ellos dos grados de libertad? En la tabla 2.1
se muestran otros cinco tipos de juntas planas. En tanto que las
juntas de pasadores y deslizantes (pares inferiores) permiten slo
un grado de libertad de movimiento relativo, las juntas de pares
superiores (juntas definidas como juntas que tienen solo contacto
puntual o lineal) pueden permitir un numero superior (dos o tres)
de grados de libertad de movimiento relativo. Cada una tiene un par
inferior equivalente, que consiste en tantos pares inferiores como
el numero de grados de libertad de movimiento relativo permitido
por la junta de par superior1.El contacto de rodamiento sin
deslizamiento permite slo un grado de libertad de movimiento
relativo, debido a la ausencia de deslizamiento, lo que deja solo
la rotacion relativa (vease la tabla 2.1). La junta de rodamiento
puro puede entonces incluirse como una junta tipo . El par inferior
equivalente para equivalencia en velocidad instantanea es
simplemente una junta de pasador en el centro instantaneo de
rotacion, que es el punto de contacto entre los dos eslabones con
contacto de rodamiento sin deslizamiento. Esta junta, esencialmente
de par superior, permite solo un grado de libertad debido a la
restriccion adicional contra deslizamiento.El contacto de
rodamiento con deslizamiento restringe solo un grado de libertad
(movimiento relativo en la direccion en la tabla 2.1). consideremos
primero la combinacion de par inferior por equivalencia de
velocidad instantanea, que es una combinacion de deslizador y junta
de pasador. Esta permite dos grados de libertad (de movimiento
relativo. Los grados de libertad de la junta de rodamiento y
deslizamiento pueden verificarse por medio de una ecuacion de
Greubler ampliada para incluir juntas de rodamiento y
deslizamiento1: (1.3)Donde es el nmero de juntas de contacto de
rodamiento con deslizamiento (aquellas que permiten dos grados de
movimiento relativo a travs de la junta)La ecuacin 1.3 es la que se
usar en este curso, antes de dejar de ocuparnos del tema de los
grados de libertad, debemos sealar que existen eslabonamientos cuyo
nmero de grados de libertad calculado puede ser cero (lo que indica
que se trata de una estructura) o negativo (lo que indica que se
trata de una estructura indeterminada). Sin embargo, pueden moverse
debido a las proporciones especiales de los eslabones1. A
continuacin se muestra un ejemplo de cmo calcular los grados de
libertad:Se tienen siete eslabones, siete pares inferiores, un
contacto de rodamiento-deslizamiento y una conexin por resorte. De
la ecuacin (1.3),
CIR Centros instantneos de rotacinLos eslabones con movimiento
coplanario se pueden dividir en tres grupos: (a) aquellos con
movimiento angular sobre un eje fijo; (b) aquellos con movimiento
angular, pero que no estn sobre un eje fijo; (c) Aquellos con
movimiento lineal, pero sin movimiento angular. Todos estos
movimientos pueden ser estudiados mediante el uso de centros
instantneos.Este concepto se basa en el hecho de que un par de
puntos coincidentes en dos eslabones en movimiento en un instante
dado tendrn velocidades idnticas en relacin a un eslabn fijo y, en
consecuencia, tendrn una velocidad igual a cero entre s. Por
razones cinemticas no tomaremos en cuenta el espesor de los cuerpos
perpendiculares al plano de movimiento y trataremos con las
proyecciones de los cuerpos en este plano.
El centro instantneo se puede definir de cualquiera de las
siguientes maneras:A) Cuando dos cuerpos tienen movimiento relativo
coplanario, el centro instantneo es un punto en un cuerpo sobre el
cual otro gira en el instante considerado.B) Cuando dos cuerpos
tiene movimiento relativo coplanario, el cetro instantneo es el
punto en el que los cuerpos estn relativamente inmviles en el
instante considerado.
A partir de esto se puede ver que un centro instantneo es:(a) un
punto en ambos cuerpos,(b) un punto en el que los dos cuerpos no
tienen velocidad relativa y(c) un punto en el que se puede
considerar que un cuerpo gira con relacin al otro cuerpo en un
instante dado.En general, el centro instantneo entre dos cuerpos no
es un punto estacionario, sino que su ubicacin cambia en relacin
con ambos cuerpos, conforme se desarrolla el movimiento, y describe
una trayectoria o lugar geomtrico sobre cada uno de ellos. Estas
trayectorias de los centros instantneos son llamadas trayectorias
polares o centrodas.
Localizacin de centros instantneos.
Los centros instantneos son sumamente tiles para encontrar las
velocidades de los eslabones en los mecanismos. Su uso algunas
veces nos permiten sustituir a algn mecanismo por otro que produce
el mismo movimiento y mecnicamente es ms aprovechable. Los mtodos
para localizar los centros instantneos son, por lo tanto, de gran
importancia.
Casos especiales:a) Cuando dos eslabones en un mecanismo estn
conectados por un perno, como los eslabones 1 y 2 en la figura.
1.1, es evidente que el punto de pivoteo es el centro instantneo
para todos las posibles posiciones de los dos cuerpos y es, por
esta razn un centro permanente, as como tambin un centro
instantneo.
Figura 1.1 Eslabones conectados por un pernoPuesto que se ha
adoptado la convencin de numerar los eslabones de un mecanismo, es
conveniente designar un centro instantneo utilizando los nmeros de
los dos eslabones asociados a l. As pues, O12 identifica el centro
instantneo entre los eslabones 1 y 2. Este mismo centro se puede
identificar como O21, ya que el orden de los nmeros carece de
importancia.
b) Cuando un cuerpo tiene movimiento rectilneo con respecto a
otro cuerpo, como la fig. 1.2 donde el bloque 2 resbala entre las
guas planas 1, el centro instantneo se encuentra en el infinito
este es el caso, puesto que, si tomamos cualquiera de los dos
puntos tales como A y B, sobre 2 y trazamos KL y MN perpendiculares
a las direcciones del movimiento, estas lneas son paralelas y se
encuentran en el infinito.
Figura 1.2 Bloque en deslizamiento
c) Cuando dos cuerpos resbalan uno sobre el otro, conservando el
contacto todo el tiempo como 2 y 3 o Fig. 1.3, el centro instantneo
deber de coincidir sobre la perpendicular de la tangente comn.
Estos se sigue del hecho de que el movimiento relativo Q2 en 2 al
punto Q3 , en 3, se encuentra a lo largo de la tangente comn xy; de
otra forma, las dos superficies se separaran o se encajaran una
dentro de otra. El movimiento relativo a lo largo de la tangente
comn, puede producirse solamente girndolo sobre un centro en algn
lugar a lo largo de la perpendicular KL; de aqu el centro
instantneo este en esa lnea
Figura 1.3 Cuerpos con resbalamiento
d) Cuando un cuerpo rueda sobre la superficie de otro, el centro
instantneo es el punto de contacto, en vista de que en este punto
los cuerpos no tienen movimiento relativo.
Figura 1.4 Cuerpos con rodamiento
En la figura 1.4 se representa primero una rueda que tiene rayos
radiales pero no tienen llanta, cuando la rueda gira sobre la
tierra 1, las posiciones sucesivas del punto de pivoteo, o el
centro instantneo, se encuentra en la punta del rayo que hace
contacto con la tierra. Ponerle la llanta, como se muestra, es
igual a insertarle un nmero infinito de rayos.
Teorema de Kennedy
Los centros instantneos de un mecanismo se pueden localizar por
el sistema del teorema de Kennedy. Este teorema establece que los
centros instantneos para cualesquiera tres cuerpos con movimientos
coplanarios coincidan a lo largo de una misma lnea recta. Se puede
demostrar este teorema como contradiccin, como sigue: Concedamos
que 1,2,3 (Fig. 1.5) sean cualesquiera tres cuerpos que tienen
movimiento coplanario con respecto uno de los otros. Concedamos que
O21, O31 O23, sean tres centros instantneos.
Figura 1.5 Teorema de Kennedy
O23 es un punto en 2 o en 3, porque es un eje de apoyo
instantneo sobre el cual un cuerpo gira con referencia al otro.
Primero consideramos O23 como un punto en 2. Entonces se mueve con
relacin a uno sobre el centro instantneo O21, y la direccin de su
movimiento es perpendicular a la lnea O31 y O 23. Pero el punto O23
no puede tener dos movimientos relativos a uno al mismo tiempo. Por
esta razn, las perpendiculares de las lneas O21 O23 y O31 O23 deben
de coincidir.Esto solamente puede ocurrir cuando O21 O23 O31 forman
una lnea recta.
El teorema de Kennedy es muy til en la localizacin de centros
instantneos en los mecanismos, en los casos en que dos centros
instantneos de tres eslabones son conocidos y el tercero tiene que
buscarse. Los ejemplos dados posteriormente en este captulo
ilustran aplicaciones para este propsito.
Nmero de centros instantneos
En cualquier mecanismo que tenga movimiento coplanario, existe
un centro instantneo para cada par de eslabones. El nmero de
centros instantneos es, por lo anterior, igual al nmero de pares de
eslabones. Cuando se tienen n eslabones, el nmero de centros
instantneos es igual al nmero de combinaciones de n objetos tomados
a un tiempo, a saber
Tabulacin de centros instantneosCuando un mecanismo tiene seis
eslabones, son quince el nmero de centros instantneos a localizar.
Entonces es aconsejable tener un mtodo sistemtico para tabular el
progreso y para que ayude en la determinacin. Esto se puede
complementar por medio de un diagrama circular o por el uso de
tablas. Sedan los dos mtodos y se ilustran con un ejemplo.
a) Diagrama circular. Un diagrama de la forma mostrada en la
figura 1.6b, nos es til para encontrar centros instantneos, puesto
que nos da una visualizacin del orden en que los centros se pueden
localizar por el mtodo del teorema de Kennedy y tambin, en
cualquier estado del procedimiento, muestra que centros faltan por
encontrarse. El diagrama circular ser til para encontrar los
centros en el mecanismo de seis eslabones de la figura 1.6a. El
siguiente procedimiento se emplea para localizarlos.
Figura 1.6 Diagrama circular
Trazamos un crculo como el de la Fig. 1.6b y marcamos los puntos
1,2,3,4,5 y 6 alrededor de la circunferencia, representando los
seis eslabones del mecanismo. Conforme se van localizando lo
centros, trazamos lneas uniendo los puntos de los nmeros
correspondientes en este diagrama.
De este modo, la lnea tendr lnea uniendo todos lo pares de
puntos; cuando todos los centros instantneos hayan sido
determinados. Los nmeros en las lneas, indican la secuencia en que
fueron trazados, para facilitar su cotejo. En un estado del
procedimiento (despus de que se han encontrado 10 centros) el
diagrama aparecera como lo muestra la Fig. 1.6b. Inspeccionando los
diagramas c) notamos que uniendo 4-6 cerramos dos tringulos 4-6-5 y
4-6-1 ya que ste es el caso, localizamos el centro instantneo O46
en la interseccin de O41 O61 y O45 O56. Si en lugar hubiramos
trazado 6-2, solamente un triangulo es decir, el 6-2-1, se habra
formado; por esto, el centro O62 no se podra encontrar en este
estado; no obstante, su puede encontrar despus de que se ha tazado
O25 (lnea 1-4). Por lo consiguiente, la lnea 6-2 se numera 15. El
procedimiento es el mismo para los puntos restantes.Si cada lnea se
puntea primero, mientras se est localizando el centro y despus,
cuando se ha encontrado, se repasa hacindola una lnea slida, se
evitan lo errores. La Fig. 1.6a muestra la localizacin de todos lo
centros instantneos y la Fig. 1.6c el diagrama circular
terminado.
b) Mtodo tabular. El mtodo alternativo para localizar centros
instantneos de uso comn es el mtodo tabular. En este procedimiento
se establece una tabulacin general y se ampla con tabulaciones
suplementarias, tal como est ilustrado en la Fig. 1.6d.
En las columnas principales de la tabulacin general se enumeran
los nmeros de los eslabones en el mecanismo. En la primera columna
se apunta el nmero de la parte superior dela columna, combinando
con aquellos nmeros a la derecha del mismo. En la segunda columna
se apunta el nmero de la parte superior de la columna, combinando
con aquellos nmeros a la derecha del mismo. Continuando este
procedimiento hasta el final delas tablas, nos da la lista completa
de todos los centros que han de encontrarse. Conforme los centros
se van localizando en el dibujo, se tachan en la tabla, como queda
ilustrado. Comnmente, aproximadamente la mitad de los centros se
encuentran por inspeccin se tachan inmediatamente. De este modo, en
el ejemplo de la Fig. 1.6, ocho de lo centros, el O12 O23 O34 O45
O56 O14 O16 y O35, se encontraron por inspeccin. El resto tendran
que se localizados empleando el teorema de Kennedy y con la ayuda
de las tablas suplementarias. Supngase ahora que deseamos encontrar
el centro O31.
Establecemos la tabla suplementaria en la cual los eslabones 1 y
3 se consideran con un tercer eslabn, digamos el 4. Entonces los
centros O34O14 y O13 deben de coincidir en una lnea recta, segn el
teorema de Kennedy. El tercer eslabn tambin bajo el encabezado 13.
Refirindonos a la tabulacin general, encontramos que los centros
O34 O14 O21 y O23 han sido tachados y por lo tanto han sido
localizados y estn disponibles. Trazando lnea a travs de ellos
localizamos O31.
De la misma manera, por el uso de tablas, se pueden localizar
todos los centros. Las tablas suplementarias en la Fig. 1.6d
muestran el procedimiento.Frecuentemente se encuentra que el tercer
eslabn elegido requiere centros que todava no han sido localizados.
En tales casos se debe probar otro tercer eslabn. Si en los
primeros intentos se encuentra que ningn tercer eslabn satisface,
se suspende temporalmente la bsqueda para ese centro en particular,
hasta que se encuentran ms centros.
DESARROLLO.Calculo de los grados de libertad.
De la ecuacin anterior identificamos los eslabones, as como el
nmero de juntas complejas y semijuntas.
Aplicando la ecuacin anterior obtenemos:
Fig. X. Cadena cinemtica.Calculo de los Centros Instantneos de
Rotacin.Aplicamos la siguiente frmula para determinar cuntos
centros de rotacin existen.
Aplicando tabulacin obtenemos los CIR. 123456
1223344556
13243546
142536
1526
16
El color verde indica los centros de rotacin que son observables
a simple vista como se indica en la figura X.
Fig. X CIR visibles a simple vista Para determinar las dems
posiciones de los CIR trazamos el diagrama circular.
123456Trazamos las triadas correspondientes a cada CIR que hace
falta.Los recuadros diferentes al color verde son los
faltantes.123456
1223344556
13243546
142536
1526
16
Triada para 13 Triada para 24Triada para 46 13
3412
1423
24
2312
4314
46
1665
1454
Para no amontonar el trazo de las lneas en el diagrama circular,
hacemos uso de otro diagrama.
123456123456
1223344556
13243546
142536
1526
16
Triada para 63 Triada para 26Triada para 25 36
6516
5313
26
1223
1663
25
6223
6535
Triada para 15 15
5416
4165
A continuacin se trazan los dems CIR.
O15O63O46O24O13
O26
CONCLUSIONES.BIBLIOGRAFIA.1 Diseo de mecanismos Anlisis y
sntesis - ARTHUR G. ERDMAN y GEORGE N. SANDOR, Grados de libertad,
Pginas: 21-27.Calero, Prez Roque; Carta, Gonzlez Jos Antonio.
(1999). Fundamentos de mecanismos y mquinas para ingenieros.
Madrid. McGraw Hill/ Interamericana de Espaa, S.A.Guillet . (1993).
Cinemtica de las mquinas. Mxico. Compaa Editorial Continental, S.A.
de C.V.Shigley, Joseph Hedward, Uicker, Jhon Joseph Jr. ((1998).
Teora de mquinas y mecanismos. Mxico. McGraw Hill.
Ramirez Castillo, Arturo. Cinematica de mecanismos. CIR, pp
58-64