Sciences Industrielles pour l’Ingénieur MPSI - PCSI Vecteur vitesse ; accélération ; composition, torseur cinématique 1 CINÉMATIQUE du point. CINÉMATIQUE du solide indéformable. Cours précédent : CINE_01 : Sommaire : I. BUT DE LA CINEMATIQUE. II.NOTION DE REFERENCE . II.1. Solide / repère de référence. II.2. Système de référence ou référentiel. III. TRAJECTOIRES . POSITION, PARAMETRAGE III.1. TRAJECTOIRE III.2. POSITION, PARAMETRAGE d’un solide Hélice moderne contra-rotative SNECMA IV. LIAISON ENTRE DEUX SOLIDES. LES LIAISONS SIMPLES. Surfaces élémentaires de liaison. Mouvements permis. Paramétrage. V. CHAINE DE SOLIDES. MECANISME. SCHEMATISATION V.1. Types de chaînes de solides : V.2. Loi entrée/sortie géométrique. Bouclage géométrique. Bouclage angulaire. Cours CINE_02 : Sommaire : I. PRESENTATION. PERFORMANCES CINEMATIQUES. II.VECTEUR POSITION. VECTEUR VITESSE. VECTEUR ACCELERATION. DEFINITIONS. III. POSITION ANGULAIRE. VITESSE ET ACCÉLÉRATION ANGULAIRE. IV. CALCUL D’UN VECTEUR VITESSE ET D’UN VECTEUR ACCELERATION. IV-1) Rappel : Dérivation dans une base B 0 d’un vecteur connu par ses coordonnées dans la base B 0 IV-2) Dérivation dans une base B 0 fixe d’un vecteur connu par ses coordonnées dans une base B 1 mobile. V- COMPOSITION DU VECTEUR ROTATION. VI- HYPOTHESE D’UN SOLIDE INDEFORMABLE VII- CHAMP DES VECTEURS VITESSE DES POINTS D’UN SOLIDE. VII-1) Propriété de changement de point du vecteur vitesse. X-2) Equiprojectivité . VII-3) Torseur cinématique (Outil mathématique de description et de calcul, pour le champ des vecteurs vitesses d'un solide) X-4) Propriété de l’outil torseur . VIII- CHAMP DES VECTEURS ACCELERATION DES POINTS D’UN SOLIDE. IX- COMPOSITION DES VECTEURS VITESSES ET ACCÉLÉRATIONS. IX-1) Composition des vecteurs vitesses IX-2) Composition des vecteurs accélérations I. PRESENTATION. PERFORMANCES CINEMATIQUES. Exemple en imagerie médicale : performances de précision de positionnement, vitesses, accélérations et lois de mouvements maitrisés dans des mouvements composés. Lire Concours Centrale - Supélec 2009, SII – MP : Angiographie « bi-plan » : fig.1 : Système biplan Innova. General Electric Healthcare Axes de prise de vue : L : latéral, F : frontal. fig.2 : Mouvements de l’armature latérale R : axes de rotation, et T : direction de la translation L F R 3 R 2 T 1 x y z TF DF TL DL DL HF RP CA TL
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CINÉMATIQUE du point. CINÉMATIQUE du solide indéfor mable. Cours précédent : CINE_01 : Sommaire : I. BUT DE LA CINEMATIQUE. II.NOTION DE REFERENCE . II.1. Solide / repère de référence. II.2. Système de référence ou référentiel. III. TRAJECTOIRES . POSITION, PARAMETRAGE
III.1. TRAJECTOIRE III.2. POSITION, PARAMETRAGE d’un solide
Hélice moderne contra-rotative SNECMA
IV. LIAISON ENTRE DEUX SOLIDES. LES LIAISONS SIMPLES. Surfaces élémentaires de liaison. Mouvements permis. Paramétrage.
V. CHAINE DE SOLIDES. MECANISME. SCHEMATISATION V.1. Types de chaînes de solides : V.2. Loi entrée/sortie géométrique. Bouclage géométr ique. Bouclage angulaire.
Cours CINE_02 : Sommaire :
I. PRESENTATION. PERFORMANCES CINEMATIQUES. II.VECTEUR POSITION. VECTEUR VITESSE. VECTEUR ACCELERATION. DEFINITIONS. III. POSITION ANGULAIRE. VITESSE ET ACCÉLÉRATION AN GULAIRE. IV. CALCUL D’UN VECTEUR VITESSE ET D’UN VECTEUR AC CELERATION.
IV-1) Rappel : Dérivation dans une base B 0 d’un vecteur connu par ses coordonnées dans la bas e B 0 IV-2) Dérivation dans une base B 0 fixe d’un vecteur connu par ses coordonnées dans u ne base B 1
mobile. V- COMPOSITION DU VECTEUR ROTATION. VI- HYPOTHESE D’UN SOLIDE INDEFORMABLE VII- CHAMP DES VECTEURS VITESSE DES POINTS D’UN SOL IDE.
VII-1) Propriété de changement de point du vecteur vitesse. X-2) Equiprojectivité . VII-3) Torseur cinématique (Outil mathématique de description et de calcul, pour le champ des vecteurs
vitesses d'un solide) X-4) Propriété de l’outil torseur . VIII- CHAMP DES VECTEURS ACCELERATION DES POINTS D’ UN SOLIDE. IX- COMPOSITION DES VECTEURS VITESSES ET ACCÉLÉRATI ONS.
IX-1) Composition des vecteurs vitesses IX-2) Comp osition des vecteurs accélérations
I. PRESENTATION. PERFORMANCES CINEMATIQUES. Exemple en imagerie médicale : performances de préc ision de positionnement, vitesses, accélérations et lois de mouvements maitrisés dans des mouvements composés.
à l’instant t, par rapport à un repère R (origine O),
la dérivée du vecteur position OM par rapport au
temps dans le repère R .
(((( ))))R
dtOMd
R/SMV
====∈∈∈∈ en m/s
Exemple :
(((( ))))0
33 03
RdtOOd
/OV
====∈∈∈∈
Le vecteur vitesse est toujours tangent à la trajectoire du point O3,
à l’instant t.
Rappel : Solide i = repère i
S3= R 3 et S0 = R 0
II.2. ACCÉLÉRATION.
On appelle accélération d’un point M, à l’instant t, par rapport à un repère R (origine O), la dérivée du vecteur vitesse
( )R/SMV ∈ par rapport au temps dans le repère R.
(((( )))) (((( ))))R
dtR/SMVd
R/SM
∈∈∈∈====∈∈∈∈ΓΓΓΓ en m/s2
III- VECTEUR VITESSE DE ROTATION. VECTEUR ACCELERAT ION ANGULAIRE.
Le vecteur (((( ))))12 R/RΩΩΩΩ est un vecteur libre qui mesure la vitesse angulaire de changement d’orientation de la base de R2 par rapport à la base de R1, autour de l’axe de rotation.
Exemple : (((( )))) (((( ))))1212 y,yz,zrrrr ========αααα
VI- HYPOTHÈSE D’UN SOLIDE INDÉFORMABLE. On appelle solide indéformable (S1) un ensemble de points dont les distances mutuelles sont invariantes dans le temps. ∀ A ∈ S1, ∀ B ∈ S1 : AB = constante
On attache au solide S1 un repère
R 1 )z ,y ,x ,(O 1111
rrr (appelé repère propre).
Le solide S1 est mobile par rapport à R 0.
L’étude du mouvement de S1/R 0 revient à
celle du mouvement de R 1/R 0.
Pour connaître la position d’un solide, il suffit de connaître les coordonnées de trois de
ses points. En l’absence de toutes contraintes extérieures, le mouvement de R 1/R 0
dépend de six paramètres indépendants (6 degrés de liberté). Remarque : si on met à part les composants dont la déformabilité est fonctionnelle (ressorts, rondelles, joints, etc....) les pièces d’un mécanisme peuvent en première approximation, être modélisées par des solides indéformables afin d’étudier leurs mouvements relatifs ; en revanche, les phénomènes mettant en jeu la déformabilité des solides (vibrations par exemple) ne peuvent être appréhendés avec un tel modèle. VII- CHAMP DES VECTEURS VITESSE DES POINTS D’UN SOLIDE.
VII-1) Propriété de changement de point du vecteur vitesse.
Soit un solide S1 en mouvement par rapport à un repère R 0 .
Considérons deux points A et B de ce solide, on sait, d’après le cours précédent que :
AB)R/S(dt
ABd
dt
ABd01
RR 10
∧Ω+
=
or 0dt
ABd
1R
=
car solide indéformable ; et
0101
00
R/SAR/SB
RR
VVdt
)OAOB(d
dt
ABd∈∈ −=
−=
rr
donc AB)R/S(VV 01R/SAR/SB 0101∧Ω=− ∈∈
rr
Finalement : )R/S(ABVV 01R/SBR/SA 0101Ω∧+= ∈∈
rr
Les vecteurs vitesses des points d’un solide vérifient donc bien la relation de changement de point d’un torseur. Ce qui valide l'écriture d'un torseur cinématique
du solide S1 en mouvement par rapport à R 0 .
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Champ des vecteurs vitesses pour un simple mouvemen t de rotation : Dessiner sur la figure ci-dessous, les vecteurs vitesses des points A, B, C. Représenter le champ des vitesses le long des rayons OA, OB, OC.
Champ des vecteurs vitesses pour un simple mouvemen t de translation :
01/CV ∈∈∈∈ = 01/IV ∈∈∈∈ = 01/KV ∈∈∈∈ = 01/JV ∈∈∈∈ =… car mouvement de translation donc 001r
====ΩΩΩΩ / Composition des vitesses au point C de l’hélice : (à construire sur la vue de dessus)
Voir explications générales en page 9 suivante.
0/11/20/2 ∈∈∈∈∈∈∈∈∈∈∈∈ ++++==== CCC VVV
Sol 0
Carlingue 1
Hélice 2
Hélice 2 (liaison pivot/carlingue 1)
Carlingue 1
C
B
12/AV ∈∈∈∈
12/BV ∈∈∈∈
12/CV ∈∈∈∈
A
Carlingue 1
Sol 0
01/CV ∈∈∈∈
01/IV ∈∈∈∈ 01/JV ∈∈∈∈
01/KV ∈∈∈∈
0/1∈∈∈∈OV
C
C 0/1∈∈∈∈CV
0/2∈∈∈∈CV
1/2∈∈∈∈CV
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CAB = ∀A et ∀B ∈S donc en dérivant par rapport au temps :
0dt
ABd.AB.2
dt
ABd
00RR
2r
=
=
00
00
R/SAR/SB
RR
VVdt
)OAOB(d
dt
ABd∈∈ −=
−=
rr
en remplaçant ci-dessus , on obtient : 00 R/SAR/SB V.ABV.AB ∈∈ =
rr ou
AB.VB∈S/Ro. cosθB = AB. VA∈S/Ro.cosθA (θB et θA sont les angles de direction des vitesses par rapport à la droiteAB)
Le champ des vecteurs vitesses d’un solide indéformable est équiprojectif.
A une date t donnée, les projections orthogonales des vecteurs
( ) ( )Ro/SBVetRo/SAV ∈∈rr
sur la droite (AB) sont égales.
Remarque : Les projections orthogonales de vecteurs sur un axe sont des nombres algébriques ; il faut donc faire attention à construire ces projections du même coté par rapport respectivement aux points A et B (voir figure précédente). VII-3) Torseur cinématique (Outil mathématique de description et de calcul, pour le champ des vecteurs vitesses d'un solide)
Le torseur cinématique au point A, ( ou torseur distributeur des vitesses) d’un solide S en
mouvement par rapport à un repère R, noté AR/Sϑ , est l’ensemble définit par :
un vecteur
z
y
x
R/S
ω
ωω
=Ω appelé
vecteur vitesse de rotation du solide S en
mouvement par rapport à un repère R
un champ de vecteurs Az
Ay
Ax
V
V
V
)R/SA(V ====∈∈∈∈ appelé vecteur vitesse de déplacement
du point A du solide S en mouvement par rapport à un repère R tel que pour tout
autre point B du solide S, on ait )R/S(BA)R/SA(V)R/SB(V Ω∧+∈=∈
Formule de changement de point ou de réduction en un autre point (Formule dite de Varignon ou formule « BABAR »)
Le torseur cinématique ϑS R A/ , réduit au
point A, du solide S dans son mouvement
par rapport à RRRR s’écrit donc de la façon
suivante :
)z,y,x(,AAzz
Ayy
Axx
AR/S
V
V
V
rrr
ωωωωωωωωωωωω
====ϑϑϑϑ
En doc annexe, tableau des liaisons avec leur torseur cinématique.
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