Cinematicaugs/didattica/ingegneria/... · 2016-03-07 · La descrizione del moto presuppone la definizione di un “sistema di coordinate ”: - scelta di un punto arbitrario dello

CinematicaStudio puramente descrittivo del moto dei corpi, indipendentementedalle cause (=> forze) che determinano le variazioni dello stato di moto(=> accelerazioni = variazione di velocità)

Cinematica “scalare”:- studia il moto unidimensionale- necessita di quantità “scalari”, esprimibili cioè da un’ unica funzionedel tempo

U.Gasparini, Fisica I 1

Cinematica “vettoriale”:- studia il moto in due o più dimensioni- necessita di “quantità vettoriali”

- Punto materiale( astrazione) : oggetto privo di dimensioni(concretamente: oggetto le cui dimensioni sono trascurabili rispetto a quelle delle regioni di spazio in cui si muove o, meglio,rispetto alle dimensioni tipiche entro cui variano apprezzabilmentele quantità che ne determinano il moto )

Punto materiale, sistema di riferimento


La descrizione del moto presuppone la definizione di un “sistema di coordinate”:

- scelta di un punto arbitrario dello spazio detto “origine”- scelta di un sistema di “assi coordinati”lungo i quali misurarele distanze e/o rispetto ai quali misurare le posizioni angolari

“traiettoria”

0 x(to) x(t1) x(t3) x(t2) x(t4)….. x

Origine

Moto unidimensionale


x(t) (“diagramma orario”)

tt0 t1 t2 t3 t4

x0=x(t0)x1

x3

x2

x4

Grafico della legge del moto:

• “Coordinata curvilinea” s(t) :

– spazio percorso al tempo t lungo la “ traiettoria”

luogo geometrico dei punti dellospazio occupati dal punto materialedurante il moto

P

P(t)s(t)

Coordinata curvilinea e velocità scalare media

U.Gasparini, Fisica I4

Pos(t)

Velocità scalare mediatra due istanti t1 e t2=t1+∆t

s(t)

t

“legge del moto”

t1 t2

s(t1)

s(t2)

∆t∆s

t

s

t

tsttsvm ∆

∆=∆

−∆+= )()( 11

s(t)

α (t)v(t) = tan(α(t))

dt

tds

t

tsttstv

t

)()()(lim)(

0=

∆−∆+=

→∆(dimensione : [v] = m/s) :

Velocità scalare istantaneaE’ la derivata rispetto al tempo della coordinata curvilinea s(t):

U.Gasparini, Fisica I

t

Nota la funzione v(t), la legge del moto s(t) si ottiene perintegrazione:

ds = v(t) dt

∫+=t

t

dttvtsts0

')'()()( 0

∫∫ =−==∆t

t

s

s

dttvtstsdss00

')'()()( 0

t

∆ t

∑=

∆+=2

00 )()()(

ii ttvtsts

to t1 t2

v(t)

v(t)

∑ ∆+=5

)()()( ttvtsts

Integrazione della velocità

U.Gasparini, Fisica I t

v(t)

to t

∫+=t

t

dttvtsts0

')'()()( 0

tto t1 t2 t3 t4 t5

∑=

∆+=0

0 )()()(i

i ttvtsts

Accelerazione scalare media :

t

v

t

tvttvam ∆

∆=∆

−∆+= )()( 11

Accelerazione scalare istantanea :

2

2

0

)()()()()(lim)(

dt

tsd

dt

tds

dt

d

dt

tdv

t

tvttvta

t≡

==∆

−∆+=→∆

Accelerazione

(dimensione : [a] = m/s2)


Nota la funzione a(t), la velocità v(t) si ottiene perintegrazione:

dv = a(t) dt ∫∫ =−==∆t

t

v

v

dttatvtvdvv00

')'()()( 0

∫+=t

t

dttatvtv0

')'()()( 0

t0

accelerazione costante: a(t) = a

t

a(t)

a

velocità: )(')'()()( 000

0

ttavdttatvtvt

t

−+=+= ∫

Moto rettilineo uniformemente accelerato


t

v(t)

v0 β tanβ = a

t0

0t

posizione:

s0

αtanα(t0) = v0

t

s(t)

[ ] =−++=+= ∫∫ ')'(')'()()(00

0000 dtttavsdttvtstst

t

t

t

20000 )(

2

1)( ttattvs −+−+=

moto uniformemente accelerato[ nel caso

moto accelerato,con accelerazioneNON uniforme(nel caso mostratoa cresce linearmentecon il tempo)

a=costantea≠costante

Esempi: moto uniformemente e moto NON uniformemente accelerato

ktta =)(

0

0 ')'()( dttavtvt

t

+= ∫=


[ nel caso mostrato,a e’ negativa:il moto e’decelerato(il corpo frenain manierauniforme) ]

20

0

0 2

1'' ktvdtktv

t

+=+= ∫

300

0

200

0

0

6

1

']2/'[

')'()(

kttvx

dtktvx

dttvxtx

t

t

t

++=

++

=+=

∫

∫=

Accelerazione e velocita’ in funzione della posizione

Vi sono situazioni fisiche nelle quali e’ nota l’accelerazione in funzione della

posizione a(x).

xdv

vdx

xdv

dt

tdx

dx

xdv

dt

txdvxa ===

)(

)()()())(()(

Applicando il teorema di derivazione delle funzioni composte allafunzione v( x(t) ):


dvvdxdx

xdvvdxxa ==⇒

)()(

∫∫−==

2

1

2

12

)(21

22

v

v

x

x

vvdvvdxxa

moti la cui legge oraria è una funzione periodica f (t) del tempo:

f t T f t( ) ( )+ =⇒ esiste una costante T tale che : ∀t

“periodo”f t( )

T

f t( )

Moti periodici

tt 0 t T0 +f t( )0

Teorema di Fourier:una qualsiasi funzione periodica è esprimibile come una serie di termini sinusoidali:

[ ]f t a a m t b m tm mm

( ) s i n ( ) c o s ( )= + +=

∞

∑01

ω ω“sviluppo in seriedi Fourier”di f(t)

dove: ω π= 2

T“frequenzafondamentale”

aT

f t m t d tm

T

= ∫2

0

( ) s i n ( )ω bT

f t m t d tm

T

= ∫2

0

( ) c o s ( )ω

aT

f t d tT

0

0

1= ∫ ( ) “valor medio”

“coefficienti di Fourier”:

Moto con legge oraria: x t A t( ) s i n ( )= +ω ϕ

“ampiezza”“pulsazione” “fase iniziale”

Fase iniziale:x t A( ) s i n= =0 ϕ ⇒ ϕ = a r c s i n ( ( ) / )x A0

posizione iniziale

Periodo T:

T = 2πω

x t T A t T x t A t( ) s i n [ ( ) ] ( ) s i n [ ]+ = + + ≡ = +ω ϕ ω ϕ ∀t

⇒ ω πT = 2 ⇒ “Frequenza”: ν ωπ

≡ =1

2T

Moto armonico


x

A

( )

s i n

0 =ϕ

posizione inizialeT=1 s

[⇒⇒⇒⇒ ωωωω=2ππππ s-1]T=2 s[⇒⇒⇒⇒ ωωωω=π π π π s-1]

A=2 m 0=ϕ

Posizione:A

-A

TT/2t x

0.-A A

spostamentonullo: x=0

velocitàmassima

x t A t( ) s i n= ω

ω ω ω ω A

v td x t

d tA t( )

( )c o s≡ = ω ω

Velocità: spostamentomassimo: x=A

velocitànulla: v=0

Velocità e accelerazione in un moto armonico


accelerazione nulla

−−−− ω ω ω ω A

Accelerazione:

ωωωω2222A

−−−− ωωωω2222A

a td v t

d tA t( )

( )s i n≡ = − ω ω2

d x t

d tA t x t

2

22 2( )

s in ( )= − = −ω ω ω

d x t

d tx t

2

22 0

( )( )+ =ω

Equazione differenziale del moto armonico:

accelerazione massima (in modulo):

a = -ω2A

Nella legge oraria: x t A t( ) s in ( )= +ω ϕle costanti di integrazione Ae ϕϕϕϕ sono determinate dalle“condizioni iniziali” (posizione e velocità iniziali del moto).

Esempi:

i) posizione iniziale: x t X

v t

( )

( ) .

= ≡ ≠= =

0 0

0 00

velocità iniziale nulla: 0. X 0

v 0 0=

x t A X( ) s i n= = =0 0ϕv t A( ) c o s= = =0 0ω ϕ{⇒ ⇒

A X== → =

0

0 2c o s . /ϕ ϕ π

la soluzione particolareche corrisponde alle condizioni iniziali specificate è:

Condizioni iniziali e costanti di integrazione


la soluzione particolareche corrisponde alle condizioni iniziali specificate è:

tXtXtx ωπω cos)2/sin()( 00 =+=⇒

⇒ l’ampiezza dell’oscillazione coincide con lo spostamento iniziale dall’origine

t

x t X t( ) c o s= 0 ωX 0

− X 0

varia A

varia ϕϕϕϕ

x t( )

ii) posizione iniziale nulla evelocità iniziale vo > 0:

x t

v t v

( ) .

( ) .

= == ≡ >

0 0

0 00

0. x

v0

ϕω

==

0

0

.

/A v x tv

t( ) s i n= 0

ωω⇒ ⇒

x t A

v t A v

( ) s i n .

( ) c o s

= = == = ≡

0 0

0 0

ϕω ϕ

s i n . c o sϕ ϕω

= → ==

0 1

0A v⇒ ⇒

v 0

ω−

v 0

ω

Condizioni iniziali: esempi


t

x tv

t( ) s i n= 0

ωω

x t( )

v 0 / ω

− v 0 / ω

⇒ l’oscillazione avviene con ampiezza A = v0 / ωωωω

Moto armonico: proiezione sugli assi ortogonali di un moto circolare uniforme di un punto P in moto su una circonferenza di raggio R

Proiezione su assi ortogonali di un moto circolare uniforme

ϑ(t)

Py

R

ϑ (t) = ω t + ϑ0Moto uniforme:

=≡dt

td )(ϑω costantecon “velocita’ angolare”:

La velocità angolare costante del moto circolare

costituisce la pulsazione ω del moto armonico.

==dt

td )(ϑω

x

x(t) = R cos[ ϑ (t)] == R cos[ ω t + ϑ0] moto armonico

[ ovviamente: anche y(t) = R sin [ ω t + ϑ0] e’ un moto armonico,sfasato di π/2 rispetto a x(t) ]

In generale, una qualsiasi legge oraria x(t) e’ soluzione di un’equazione differenziale in cui compare la accelerazioned x t

dt

2

2

( )

Le condizioni iniziali sulla posizione e la velocità determinano le costanti di integrazione.

Esempio: moto di un grave uniformemente accelerato dalla gravità : d y t

d tg

2

2

( ) = −v t

d y t

d tg d t g t A( )

( )= = − = − +∫⇒

y t v t d t g t A d t( ) ( ) ( )= = − +∫∫⇒

Soluzione generale dell’equazione differenziale del moto


y t v t d t g t A d t( ) ( ) ( )= = − +∫∫⇒

soluzione generale:y t g t A t B( ) = − + +1

22

⇒con A,B costanti di integrazione

Condizioni iniziali: y t y

v t v

( )

( )

= ≡= ≡

0

00

0

A v

B y

≡≡

0

0⇒

soluzione particolare:⇒

y t g t v t y( ) = − + +1

22

0 0

t

y t( )

y 0

varia B

varia A

Esempio: moto di un “grave” (=corpo soggetto

all’ accelerazione di gravita’)

200 2

1)( gttvyty −+=

gvt /=

smv

my

/5

3

0

0

==

Condizioni iniziali:

2/8.9 smga −=−≡α

sm

v

/5

tan 0

==α

gtvtv −= 0)(

g

vggvytyy MM 2

1/)(

2

0200

−+=≡

Altezza

U.Gasparini,Fisica I

18

s

gvtM

51.0

/0

==

mgvy

g

28.42/

2200 =+=

Altezza

massima:

Imponendo per il “tempo di caduta” tc :

02

1)( 2

00 ≡−+= CCC gttvyty

022 002 =−− ytvgt CC =

+±= ggyvvtC /2 0

200

s

gygvgvtC

44.1

/2)/(/ 02

00

=++=

Nota: se y0=0→ tc=2v0/g = 2tM

Velocita’ di caduta: [ ] gyvgygvgvgvtv C 02

002

000 2/2)/(/)( +−=++−=

Esempio: moto uniformemente accelerato

Condizioni iniziali:

smv

my

/8

3

0

0

==

myM 30.6=


19

stC 95.1=

myM 30.6=

stM 83.0=

Si verifica in presenza di una decelerazionedi tipo “viscoso”,ossia proporzionale alla velocità :

a td v t

d tk v t( )

( )( )= = −

⇒d v t

vk d t

( )= − d v

vk d t

v

v t

0 0∫ ∫= −⇒

τ/00)( tkt evevtv −− ==⇒l n

v

vk t

0

= −⇒

v t( )

Moto smorzato esponenzialmente

U.Gasparini, Fisica I τϑ 0

0000

tanv

kvekvdt

dvt

kt

t

−≡−=−=≡=

−

=

τv t k v e( / )= = −1 0

1 τ ≡ 1 / k “costante di tempo”dello smorzamento

⇒

τ è l’intersezione con l’asse dei tempi della retta tangente alla curva v(t) al tempo t = 0 :

Per t ≈5 τ : v t v e v( ) .= = ≈ ≈−5 0 0 0 6 005

0τ

t

v e0 /

v 0

5τ

ϑ

v t( )

x t x v t d t x v e d t xv

ke

tk t

tk t t

( ) ( )= + = + = −∫ ∫ − −0

0

0 0

0

00

0

x t( )

x

x v k

( )

/

∞ =+

Spazio percorsoin un moto smorzato esponenzialmente:

( )x t xv

ke k t( ) = + − −

00 1


x0

x v k/+0 0

t

0. x0x v k0 0+ /

v 0

x

Posizione limite, asintoticamente raggiunta a t = ∞

Moto smorzato esponenzialmente:

τ/00)( tkt evevtv −− ==

v0=4 m/sk = 0.2 s-1

ττττ ≡ 1/k = 5 sVelocita’:

Posizione:


( )x t xv

ke k t( ) = + − −

00 1

x∝= v0/k = 20 m

x0=0

Posizione:

d v t

d ta k v t

( )( )= −

termine costante (es: g)d v t

a k v td t

( )

( )−=⇒

1

k

d w t

wd t

( )= −⇒

Posto: w t a k v t( ) ( )≡ − → ≡ −dw kdv

a a

l nw

wk t

0

= − w t w e k t( ) = −

0⇒⇒

Moto acceleratoin presenza di un attrito viscoso:

termine di attrito viscoso(proporzionale alla velocità)

v ta

kv

a

ke k t( ) ( )= + − −

0⇒

v ta

k

a

kv e k t( ) ( )= − − −

0⇒a k v t a k v e k t− = − −( ) ( )0⇒

v t( )

v 0

v a k∞ ≡ /

t“velocità limite” : v v t a k

t∞ → ∞

≡ =l im ( ) / (indipendente da v0 )

Esempio: caduta di un grave in presenza di attrito viscoso

)()(

tkvgdt

tdv −=

ktek

gv

k

gtv −−+= )()( 0

v =0 ,

Velocita’ limite: v ∝∝∝∝= g/k= 65m/s=234 km/h


( )ktek

gtv −−= 1)(

[ in particolare, per v0=0 :

la velocita’ limite, comunque,non dipende dalla velicita’ iniziale vo ]

v0=0 ,k =0.15 s-1

[esempio: per una gocciolina di pioggia di raggio R= 0,5 mm : ( ) 12 3,0/2

9 −≅= sRk acquaaria ρη

dove η e’ la viscosita’ dell’aria e ρ la densita’ della gocciolina ]

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