Cinematica moti nonunidimensionali

CINEMATICA

Moti nel piano

Grandezze scalari e grandezze vettoriali

Grandezze vettoriali o vettori

misura (detta anche intensità o modulo)direzioneverso

Grandezze scalari misura (valore numerico + unità di misura)

Esempi: lunghezza, tempo, massa, temperatura

Esempio: posizione di un punto materiale in un certo istante rispetto ad un punto fisso O

O

A

x

y

z

A

AA’

Rappresentazione dei vettori

I vettori sono rappresentati da segmenti orientati aventi direzione e verso della grandezza vettoriale rappresentata e lunghezza proporzionale al modulo rispetto ad una scala di misura fissata ad arbitrio

• una lettera sormontata da una freccia

• gli estremi del segmento sormontati da una freccia

• una lettera in grassetto

I vettori si possono indicare in diversi modi:

I vettori di modulo unitario si dicono versori

u4a

r

u u

Operazioni elementari con i vettori - i metodi grafici -Somma

a

b

ba

a b

a

b

ba

Il vettore somma ha come primo estremo la coda di a e

come secondo estremo la punta di b

Il vettore somma è rappresentato dal segmento

orientato AC del parallelogramma

Metodo punta-coda Metodo del parallelogramma

IN GENERALE il modulo del vettore somma NON è uguale alla somma dei moduli dei vettori addendi, si può solo dire che è sempre minore o uguale alla somma dei moduli dei vettori addendi e maggiore o uguale alla loro differenza

È importante osservare che

A

B

D

C

Prodotto di un vettore a con uno scalare m

a

a2

il vettore “ma” ha la stessa direzione di a, lo stesso verso di a o quello opposto a seconda che m sia positivo o negativo e modulo uguale al prodotto tra il numero m in valore assoluto e il modulo di a

a

b-

ba

a

b

ba

Il vettore differenza ha come primo estremo la coda di a e

come secondo estremo la punta di -b

Il vettore differenza è rappresentato dal segmento

orientato DB del parallelogramma

Metodo punta-coda Metodo del parallelogramma

Differenza

a

b

Esempio:

A

B

D

C

Rappresentazione cartesiana di un vettore

ji

yxyx aaaaa

• ax e ay sono le componenti cartesiane del vettore :a

• i e j sono i versori degli assi x e y

sinα aa

cosα aa

y

x

• α è l’angolo che il vettore forma con l’asse x

Note le componenti di un vettore è sempre possibile

Ricavarne il modulo:

Determinare l’angolo α:

2y

2x aaa

x

y

a

a arctga

y

A

0 x

a

xa

ya

i

j

Il vettore spostamento B

A

01r

2r

12 rrsΔ

Si definisce vettore spostamento la differenza tra la posizione finale e la posizione iniziale

lo spazio percorso è una grandezza scalare corrispondente alla lunghezza del percorso compiuto tra la posizione iniziale e finale, a differenti percorsi può corrispondere lo stesso spostamento

In generale lo spostamento non coincide con lo spazio percorso

B

A

Lo spostamento coincide con lo spazio percorso solo se il moto è rettilineo

sΔ

Il vettore velocità

t

svm

Il vettore velocità media ha stessa direzione e stesso

verso di Δs e modulo pari a quello di Δs diviso per Δt

Sia Δs lo spostamento di un corpo nell’intervallo di tempo Δt

t

sv

t

lim

0

Il vettore velocità istantanea varia istante per istante e ha la stessa direzione della tangente alla traiettoria nella posizione occupata dal corpo nell’istante considerato (velocità tangenziale)

B

A

0

1r

2r

Nello studio di un moto curvilineo bisogna tenere conto del fatto che in ogni istante la direzione puo essere diversa, è necessario quindi introdurre la velocità come vettore

B

A

0

1r 2r

B

A

0

1r

2r

B

A

0

1r

2r

BA

0

1r 2r

sΔ

sΔ

sΔ

sΔ

Il vettore accelerazione

Sia Δv la variazione di velocità di un corpo nell’intervallo di tempo Δt

t

vam

t

va

t

lim

0

Il vettore accelerazione media ha stessa direzione e stesso verso di Δv e modulo pari a quello di Δv diviso per Δt

Il vettore accelerazione istantanea varia istante per istante.

Se il moto è curvilineo uniforme l’accelerazione istantanea è una accelerazione centripeta, diretta perpendicolarmente alla traiettoria

Il moto di un proiettileQualunque corpo lanciato lungo una certa direzione segue un moto curvilineo in due dimensioni detto moto di un proiettile

Lancio diretto orizzontalmente

Mentre il corpo si muove orizzontalmente, è soggetto per effetto della gravità ad un moto verticale

Il moto orizzontale e quello verticale sono indipendenti e non si influenzano a vicenda

Il moto orizzontale è rettilineo uniforme Il moto verticale è rettilineo uniformemente accelerato

Sperimentalmente si può evidenziare che:

x

y

Il moto di un proiettile

L’ equazione che descrive la traiettoria del moto è l’equazione di una parabola simmetrica rispetto alla verticale passante per il punto di lancio

2202

1x

v

gy

202

1

v

gk , posto si ha 2kxy

gtv y

vv 0x

2

0

2

1gt y

t vx

Se v0 è la velocità di lancio, all’istante iniziale t0=0 si ha:

mentre in un generico istante t successivo a t0 si ha:

00

00

y

x

v

vv

e

Da cui si ottiene

Lancio diretto secondo un angolo θ qualsiasi


0

5

10

15

20

25

30

35

40

0 20 40 60 80 100 120 140 160 180 200

sin

cos

00

00

vv

vv

y

x

gtvv

vv

yy

xx

0

0

20

0

2

1gttvy

tvx

y

x

20

2

00 2

1

xxy v

xg

v

xvy

se v0 è la velocità di lancio, all’istante iniziale t0=0 si ha:

mentre in un successivo istante t si ha:

L’equazione della traiettoria e’ una parabola con l’asse di simmetria spostato rispetto alla verticale passante per il punto di lancio


Si definisce gittata (R) la massima distanza raggiunta in direzione orizzontale

vxtvxR max

Come si può ottenere la massima gittata possibile?

dove tv è il tempo di volo del proiettile

g

vvRtvxR vx

sin2cos 0

0max gvR

2sin20

La gittata massima si ha in corrispondenza di sin 2θ = 1, cioè θ = 45º

g

vR

20

max

Il moto circolare uniforme

o R

P

P(t)

Il vettore spostamento angolare è definito dalla differenza:

Siano r0 il vettore posizione iniziale di P

θ0 l’angolo che r0 forma con l’asse x

r il vettore posizione finale di P

θ l’angolo che r forma con l’asse x

0

Il vettore velocità angolare media è definito dal rapporto:

t

r0

r θ

θ0

essendo il moto uniforme la velocità angolare istantanea è, in ogni istante, uguale alla velocità angolare media:

i

Il moto circolare uniforme è il moto di un punto materiale P che descrive una circonferenza con velocità di modulo costante


o RP0

P Tra il modulo dello spostamento angolare Δθ e il cammino Δl percorso dal punto materiale sulla circonferenza di raggio R, ovvero la lunghezza dell’arco di circonferenza corrispondente, esiste la relazione:

Rl

Da questa relazione è possibile ricavare la relazione tra il modulo della velocità angolare ω e il modulo della velocità tangenziale vt, infatti:

tl

tRRl

tv

Rtv

Δθ

Questa relazione vale solo tra i moduli dei vettori ma non tra i vettori stessi e in generale esprime la relazione tra velocita angolare istantanea e velocita tangenziale istantanea in un moto curvilineo qualsiasi

IMPORTANTE


o R

P0

P

Δθ

L’accelerazione media è definita dal rapportot

a

tv

Δvt è diretta esattamente verso il centro della circonferenza e si parla di accelerazione centripeta ac

In ogni intervallo di tempo Δt il modulo della velocità tangenziale è costante, ma direzione e verso cambiano

inoltre

Quando Δt → 0

R

t

R

s t

t

t v

v

v2

2

RRt

ac

tt vv

è sempre presente una variazione di velocità Δvt e di conseguenza una accelerazione

quindi


Periodo(T): il tempo per completare un intero ciclo del moto dopo il quale il moto riassume le stesse proprietà

o R

P

P(t)

r0

r θ

θ0

Frequenza(ν): il numero di cicli compiuti nell’unita di tempo, è legata al periodo dalla relazione:

T

1

Il moto circolare uniforme è un moto periodico in quanto si ripete ciclicamente, con le stesse caratteristiche, lungo la stessa traiettoria, dopo intervalli di tempo uguali

il periodo corrisponde al tempo che impiega il punto per compiere un intero giro

Nel moto circolare uniforme:

la frequenza corrisponde al numero di giri che il punto compie in un secondo ed è legata alla velocità angolare ω dalla relazione:

2

2 R

T

Rtv

Il moto armonico

Il moto armonico è il moto di un punto materiale che oscilla attorno ad una posizione di equilibrio ed è un altro esempio di moto periodico

x

la distanza dalla posizione di equilibrio, può essere una quantità positiva o negativa

Spostamento o elongazione:

Ampiezza (A): Il valore assoluto dello spostamento massimo dalla posizione di equilibrio

Nel moto armonico:

il periodo corrisponde al tempo che impiega il punto per compiere un’oscillazione completa

la frequenza corrisponde al numero di oscillazioni che il punto compie in un secondo

oR

P

AB

y

Il moto armonico

È il moto della proiezione su uno degli assi di un punto P che si muove di moto circolare uniforme

xo R

Pr

ωt

AB

y

Q

tRx cos

x è l’elongazione al tempo t

ω è detta pulsazione del moto armonico

ωt è la fase al tempo t

dove

Se si considera la proiezione orizzontale, si ha:

• t = 0 → x = R

• t = T/4 → x = 0

• t = T/2 → x = -R

• t = 3T/4 → x = 0

• t = T → x = R

t

x (t)

0 T/4 T/2 3T/4 T

R

-R

Il moto armonico

tRt sinsin vv t

di moto circolare uniforme, la velocità del punto che si muove di moto armonico sarà la proiezione del vettore vt sull’asse x:

Se Rtv è la velocità tangenziale del punto che si muove

xo R

P

ωt

AB

y

Q

tv

txv

r

• t = 0 → v = 0

• t = T/4 → v = -ωR

• t = T/2 → v = 0

• t = 3T/4 → v = +ωR

• t = T → v = 0

0

ωR

-ωR

v (t)

T/4 T/2 3T/4 T

t

T/4 T/2 3T/4 T

Il moto armonicoSe

tRtaa c coscos 2

2Rac

xa 2

muove di moto circolare uniforme, l’accelerazione del punto che si muove di moto armonico sarà la proiezione del vettore sull’asse x:

è l’accelerazione centripeta del punto che si

oR

P

ωt

AB

y

Qxa

aca

tRx cosOppure, essendo :

• t = 0 → a = -ω2R

• t = T/4 → a = 0

• t = T/2 → a = ω2R

• t = 3T/4 → a = 0

• t = T → a = -ω2R

0

ω2R

-ω2R

a (t)

0 T/4 T/2 3T/4 Tt

Limiti della cinematica classica

Il moto e’ relativo all’osservatore, variando l’osservatore cambiano le caratteristiche del moto:


t

s

t

s

t

ssss 00 ''

0' vvv

0' sss

's

0s


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