Cinematica dei robot β’ Posizionare lβend effector nello spazio in una data posizione e con un dato orientamento rispetto ad un sistema di riferimento assoluto X Y Z
Cinematica dei robot
β’ Posizionare lβend effector nello spazio in una data posizione e con un dato orientamento rispetto ad un sistema di riferimento assoluto
X
Y
Z
ππΈ
ππΈ
ππΈ
Cinematica dei robot (II)
{E}
{A}
ππΈ(π1, β¦ , π΄ ππ)
ππ = ππ (x,y,z,πΌ, Ξ², πΎ)
Cinematica diretta
Cinematica inversa
Spazio cartesiano e spazio dei giunti
β’ La configurazione di un manipolatore a N gradi di libertΓ Γ¨ descritta allβinterno dei seguenti spazi di rappresentazione:
Spazio cartesiano: P β β6 πππ‘π‘πππ πβπ ππ πππππ πππ ππ§ππππ π ππππππ‘πππππ‘π ππππβ²πππ ππππππ‘ππ
Spazio dei giunti: P β βπ πππ‘π‘πππ π£ππππππππ ππ πππ’ππ‘π
Spazio dei giunti
Spazio cartesiano
Cinematica diretta
Cinematica inversa
Sistemi di riferimento
Un sistema di riferimento {B} puΓ² essere descritto dalla posizione della sua origine e dalla rotazione dei suoi assi rispetto ad {A}
{ π π΄,π΅ ππ΅0
π΄ }
Rotazioni e Traslazioni
ππ΄ = ππ΅ + ππ΅0π΄
ππ΄ = π π΅π΄ ππ΅
Rotazioni di base Le seguenti tre matrici di rotazione di base ruotano vettori di un angle ΞΈ sugli assi x, y, z, utilizzando la regola della mano destra
Esempio di rotazione sullβasse zeta del vettore [0 0 1]
Trasformazioni omogenee β’ Le trasformazioni omogenee permettono di descrivere
roto-traslazioni attraverso un operatore matriciale:
ππ΄ = π π΅π΄ ππ΅ + ππ΅0
π΄ ππ΄ = ππ΅π΄ ππ΅
β’ Nello spazio omogeneo si ha:
ππ΄ = ππ΅π΄ ππ΅ ππ΅ =
π΄π π΅
π΄ | ππ΅0π΄
__ __ __0 0 0 | 1
Trasformazioni omogenee (II)
ππππ ππ΅π΄ =
1 00 1
0 ππ₯0 ππ¦
0 00 0
1 ππ§0 1
π ππ‘π΅π΄ =
π11 π12π21 π22
π13 0π23 0
π31 π320 0
π33 00 1
π ππ‘ β ππππ ππ΅π΄ =
π11 π12π21 π22
π13 ππ₯π23 ππ¦
π31 π320 0
π33 ππ§0 1
TRASLAZIONI ROTAZIONI
ROTO-TRASLAZIONI
{A} {B}
{C}
ππΆπ΄
ππ΅π΄
ππΆπ΅
ππΆπ΄ = ππ΅ ππΆ
π΅π΄
Trasformazioni omogenee (III) ComponibilitΓ β¦
Esercizio 2D
π1
π₯1 π¦1 π₯2
π2 π3
H
π₯3
π¦3
π₯0 π¦0
π»1 π»2
π΄1
π΄2
π΄3
π¦2 π΄1 =
cos π1 βπ πππ1 0π πππ1 cos π1 π»0 0 1
π΄2 =cos π2 βπ πππ2 π»1π πππ2 cos π2 00 0 1
π΄3 =cos π3 βπ πππ3 π»2π πππ3 cos π3 00 0 1
π3 = π΄1π΄2π΄3
π3 =cos (π1 +π2 +π3) βπ ππ(π1 +π2 +π3) cos π1 +π2 π»2 + cos π1 π»1π ππ(π1 +π2 +π3) cos (π1 +π2 +π3) H + sin π1 +π2 π»2 + sin π1 π»1
0 0 1
Esercizio 2D - cinematica inversa
π1
πΌ
H
π₯3
π¦3
π₯0 π¦0
πβ =cosπΌ β sin πΌ π₯π ππ πΌ cos πΌ π¦0 0 1
Calcolo coordinate end effector i funzione delle coordinate dei giunti πβ Γ¨ la trasformazione che descrive lβend effector
Eguagliando πβ e π3 si ottiene:
πΌ = π1 + π2 + π3π₯ = cos π1 +π2 π»2 + cos π1 π»1
π¦ β π» = sin π1 +π2 π»2 + sin π1 π»1
Esercizio 2D cinematica inversa (II)
π₯2 + π¦ β π» 2 = π»22 +π»1
2 +2π»1π»2 cos π2
Sommando i quadrati:
Da questi si ricava:
cos π2 = (π₯2 + π¦ β π» 2 βπ»2
2 βπ»12 )/2π»1π»2
sin π2 = Β± 1 β (cos π2)2
Quindi: π2=atan2 (cos π2 , π πππ2)
Conoscendo π2 Γ¨ quindi possibile ricavare allβinterno del sistema anche π1 e π3
Esercizio 3D cinematica
π₯0
π¦0 π§0
π§1 π¦1
π₯1 π§2
π¦2
π₯2
π¦3
π₯3 π§3
π¦4
π₯4
π§4
π΄1 =
cosπ1 βπ πππ1π πππ1 cos π1
0 00 0
0 00 0
1 π»10 1
π»2
π»1
π»3 π»4
π΄3 =
cos π3 βπ πππ3π πππ3 cos π3
0 π»30 0
0 00 0
1 00 1
Calcolare matrici di trasformazione da un sistema di riferimento al successivo
Dato il seguente manipolatore:
Esercizio 3D cinematica (II)
π₯0
π¦0 π§0
π§1 π¦1
π₯1 π§2
π¦2
π₯2
π¦3
π₯3 π§3
π¦4
π₯4
π§4
π΄2 =
cosπ2 βπ πππ20 0
0 π»2β1 0
π πππ2 cos π20 0
0 00 1
π»2
π»1
π»3 π»4
π΄4 =
cosπ4 βπ πππ4π πππ4 cos π4
0 π»40 0
0 00 0
1 00 1
π4 = π΄1π΄2π΄3π΄4
La trasformazione π4 Γ¨ uguale a:
Cinematica del robot iCub
β’ http://wiki.icub.org/wiki/ICubFowardKinematics_left
Braccio sinistro
Posizione sistema di riferimento sullβend effector
Parametri Denavit-Hartemberg Sistema di riferimento base