CINEMÀTICA DE LES VIBRACIONS ✔ MOVIMENT HARMÒNIC SIMPLE

1

CINEMÀTICA DE LES VIBRACIONS

✔ MOVIMENT HARMÒNIC SIMPLE

✔ SUPERPOSICIÓ DE M.H.S.

✔ MOVIMENT PERIÒDIC

✔ MAGNITUDS

2

MOVIMENT HARMÒNIC SIMPLE

3MOVIMENT HARMÒNIC SIMPLEdefinició

Moviment unidimensional al voltant d'una posició fixa

MAGNITUD NOM DIMENSIONS UNITATS S.I.x elongació L mX amplitud L mω freqüència angular rad/st temps T sϕ constant de fase 1 rad

T-1

4MOVIMENT HARMÒNIC SIMPLEPeríode i Freqüència

Període

T= 2

Freqüència

Com el període de la funció cosinus és 2π

cos[tT −]=cos [ t−2]⇒T=2

[f ]=T−1 (S.I.) Hzf=1T

5MOVIMENT HARMÒNIC SIMPLEposició, velocitat i acceleració

)()cos()()(

)sin()()(

)cos()(

22 txtXtxta

tXtxtv

tXtx

ωϕωω

ϕωω

ϕω

−=−−==

−−==

−=

6EXEMPLE 1

Un moviment harmònic té una amplitud de 0,20 cm i un període de 0,15 s

Trobeu la màxima velocitat i acceleració. (Sol: 8.38 cm/s; 3.51 m/s2)

7EXEMPLE 2

• Un acceleròmetre indica que una estructura està vibrant harmònicamenta 82 cicles/s. amb una acceleració màxima de 50g. Trobeu l’amplitud dela vibració. (Sol: 1.85 mm)

8EXEMPLE 3

• Es mesuren la màxima amplitud i acceleració dels fonaments d'unabomba centríguga i es troba que valen xmax = 0.25 mm i amax = 0.4g.Determineu la velocitat de funcionament de la bomba. (Sol: 1196 rpm)

9EXEMPLE 4

• Un moviment harmònic té una freqüència de 10 cicles/s. i la sevavelocitat màxima és de 4,57 m/s. Trobeu l’amplitud, el període, il’acceleració màxima. (Sol: 7.27 cm; 0.1 s; 29.3g)

10MOVIMENT HARMÒNIC SIMPLErepresentació vectorial

Projecció sobre un eix d’un vector que gira a velocitat angular constant

Amplitud = mòdul vectorFreqüència angular = velocitat de girConstan de fase = angle a t=0 GRÀFICS

file:///C:/Users/admin/Documents/Doc_AF/presentacions/LLI?ONS/WEB/oscila1.htm

11

SUPERPOSICIÓ DE MOVIMENTS HARMÒNICS SIMPLES

12

AMPLIACIÓ DE FÍSICACINEMÀTICA DE LES VIBRACIONS

MOVIMENT HARMÒNIC SIMPLESuperposició de mhs: freqüències iguals

ωωω == 21La diferència de fases entre els moviments que superposem és constant,

)tcos((t))tcos((t)

222

111

ϕωϕω

+=+=

XxXx

)tcos()tcos()tcos((t) 221121 ϕωϕωϕω +=+++=+= XXXxxx

Representació vectorial

X? ϕ?

13MOVIMENT HARMÒNIC SIMPLEfreqüències iguals: amplitud i constant de faseMètode gràfic a partir de la representació vectorial

ααπ cos)cos( −=−

( )[ ]122122

21

2 cos2 ϕϕπ −−−+= XXXXX

)cos()sin(arctgarctgarctg

1221

122ϕϕ

ϕϕβ−+

−=+

==XX

XRQOR

PQOQPQ

Teorema del coseno pels triangles plans

a b

c AB

C

Cabbac cos2222 −+=

14ANIMACIÓ GRÀFICA SUPERPOSICIÓ M.H.S.

SUPERPOSICIÓ M.H.S.

file:///C:/Users/admin/Documents/Doc_AF/presentacions/LLI?ONS/Superposici?%202%20MHS..exe

15MOVIMENT HARMÒNIC SIMPLEfreqüències iguals: exemple gràfic

x1t =1cos2t

x 2t =2cos2t4 x t =x1t x2t =2,80cos 2t0,53

0 1,57 3,14 4,71 6,28 7,85-3

-2

-1

0

1

2

3x1(t) [m] x2(t) [m] x(t) [m] xp (t)

t [s]

x(t)

[m]

Fer els càlculs, com a exercici

16EINA PER A CÀLCUL DE SUPERPOSICIONS DE M.H.S.

EXEMPLE 5

Trobeu l'expressió del moviment resultant de la superposició dels moviments :

x1t =2 cos3t

x2t =cos3t/6

file:///C:/Users/admin/Documents/Doc_AF/problemes/Fitxers%20FULL%20CALCUL/Superposicio%20de%20dos%20MHS.sxc

17MOVIMENT HARMÒNIC SIMPLESuperposició de mhs: freqüències diferents

ω 1 ≠ ω 2La diferència de fases entre el

s

moviments que superposemNO és constant,

n1, n2, sensers positius més petits que satisfan la relació

PRIMER CAS:PERÍODES CONMENSURABLES

MOVIMENT PERIÒDIC DE PERÍODE T

18MOVIMENT HARMÒNIC SIMPLESuperposició de mhs: freqüències diferents

21 ωω ≠ La diferència de fases entre elsmoviments que superposem NO és constant,

EN QUALSEVOL ALTRE CAS

EL MOVIMENT RESULTANT DE LA SUPERPOSICIÓ NO ÉS PERIÒDIC

19

1=2 rad /s2=4 rad /s

n122

=n224

0 1,57 3,14 4,71 6,28 7,85-2

-1,5-1

-0,50

0,51

1,52

x1(t) [m] x2(t) [m] x(t) [m] xp (t)

t [s]

x(t)

[m]

Trobeu el moviment resultant de la superposició de dos moviments harmònics de freqüències:

Són conmensurables els períodes?

EXEMPLE 6

20

1=2 rad /s2=3,8 rad /s

0 1,57 3,14 4,71 6,28 7,85-2

-1,5-1

-0,50

0,51

1,52

x1(t) [m] x2(t) [m] x(t) [m] xp (t)

t [s]

x(t)

[m]

Trobeu el moviment resultant de la superposició de dos moviments harmònics de freqüències:

Són conmensurables els períodes? n1

22

=n223,8

?? ∃n1, n2∈ℕ

EXEMPLE 7

21MOVIMENT HARMÒNIC SIMPLEFreqüències properes: BATECS

21

21

ωωωω

≈≠

tcos(t)tcos(t)

22

11

ωω

XxXx

==

t)cost(cos(t)(t)(t) 2121 ωω +=+= Xxxx

2cos

2cos2coscos BABABA +⋅−=+

Moviment de freqüència angular el promig de les

dels moviments superposats

Amplitud que oscil·la harmònicament amb freqüència angular la semidiferència de les freqüències dels moviments superposats

BATECS

22

x1t =1cos37tx 2t =1cos 40t

x t =x1x 2=2cos1,5 t⋅cos38,5 t

0 1,57 3,14 4,71 6,28 7,85-2

-1,5-1

-0,50

0,51

1,52

x1(t) [m] x2(t) [m] x(t) [m] xp (t)

t [s]

x(t)

[m]

EXEMPLE 8La superposició d'aquestos moviments, és un moviment periòdic?

n1237

=n2240 ??

Fer els càlculs, com a exercici

23

x1t =1cos37tx 2t =1cos 40t

x t =x1x 2=2cos1,5 t⋅cos38,5 t

0 1,57 3,14 4,71 6,28 7,85-2

-1,5-1

-0,50

0,51

1,52

x1(t) [m] x2(t) [m] x(t) [m] xp (t)

t [s]

x(t)

[m]

EXEMPLE 8 (cont.)

INRODUCCIÓ ALS SISTEMES VIBRANTS

– Elements dels sistemes vibrants–

– efecte de la gravetat– equació del moviment– freqüència natural del sistema– condicions inicials– representació vectorial

1SISTEMA MASSA-MOLLA

Rigidesa del sistema

Els cossos sòlids pateixen una variació en la forma i el volum quan se'ls sotmet a l'acció de forces.

Les forces responsables de retornar el cos a la forma original les anomenem forces recuperadores, doncs s'oposen a les que causen la deformació.

Si malgrat eliminar les forces que deformen el cos es manté la deformació, l'anomenarem deformació plàstica.

Si quan deixen d'actuar les forces que el deformaven el cos recupera la seva forma i volum originals direm que ha patit una deformació elàstica.

MOLLA

2ISISTEMA MASSA-MOLLA Elements dels sistemes vibratoris

LLEI DE HOOKEQuan les deformacions elàstiques són petites, segueixen la llei de Hooke:Les deformacions són proporcionals als esforços que les produeixen.

MOLLA

F Fr

x0

F

x

F=k⋅x

F r=−F

k = constant de rigidesa

El signe (-) indica que la força és recuperadora

[k ]=[F ][x ]

=MT−2

En el S.I. es mesura en N/m

3SISTEMA MASSA-MOLLA Elements dels sistemes vibratoris

Enmagatzema l'energia potencial, elàstica, del sistema E p=12k x2

És un element tal que quan es modifica la seva longitud natural, apareix en els seus extrems una força recuperadora que segueix la llei de Hooke.

MOLLA

L'element molla és un element ideal.

NO TÉ MASSA

4SISTEMA MASSA-MOLLA Elements dels sistemes vibratoris

Element que dissipa l'energia del sistema

AMORTIDOR

Estudiarem tres tipus d'amortiment:

• Amortiment viscós o fluïd• Amortiment de Coulomb o sec• Amortiment estructural

5ELS SISTEMES VIBRANTS efecte de la gravetat

L'element molla té una longitud en equilibri estàtic, quan no es veu sotmesa a cap acció que anomenem longitud natural, l

0

Quan hi penjem la massa, m, s'estira fins assolir una nova longitud d'equilibri

F=0

mg−k st=0 ⇒ st=mgk

Per posar el sistema en moviment l'apartem de la posició d'equilibri i el deixem anar

mg−k stkx=m x¨

mx¨ kx=mg−k stm xkx=0

La gravetat determina la posició d'equilibri del sistema, però no intervé en la dinàmica del

moviment que seguirà el sistema quan l'apartem lleugerament d'aquesta posició

6

kxxm −=

SISTEMA MASSA-MOLLAEQUACIÓ DEL MOVIMENT

DCL X=0

KX

2 Llei de Newton

7

0=+ kxxm Assajem una funció del tipus:

SISTEMA MASSA-MOLLAEQUACIÓ DEL MOVIMENT: solució

SUBSTITUINT

posició

acceleració

( )ϕω −= tXtx cos)(

( )ϕωω −−= tXtx sin)(

( )ϕωω −−= tXtx cos)( 2

8

0=+ kxxm

( ) ( ) 0coscos2 =−+−− ϕωϕωω tkXtmX

( ) ( ) 0cos2 =−⋅+− ϕωω tkmSIMPLIFICANT X , TREIENT FACTOR COMÚ


OBTENIM

9

02 =+− kmω

( ) 0cos =−ϕωt


0=+ kxxm


( ) ( ) 0cos2 =−⋅+− ϕωω tkm

10

Només val zero en uns instants de temps!

X


02 =+− kmω

0=+ kxxm


( ) ( ) 0cos2 =−⋅+− ϕωω tkm( ) 0cos =−ϕωt


0=+ kxxm

02 =+− kmω

mk=2ω FREQÜÈNCIA ANGULAR PRÒPIA

FREQÜÈNCIA ANGULAR NATURAL

DEFINICIÓ

FREQÜÈNCIA PRÒPIAFREQÜÈNCIA NATURAL


( ) ( ) 0cos2 =−⋅+− ϕωω tkm

11

12SISTEMA MASSA-MOLLAEQUACIÓ DEL MOVIMENT: solució

( )

−⋅=−= ϕϕω t

mkXtXtx n coscos)(

( ) ( )( ) ( )ϕωω

ϕω−−=

−=tXtx

tXtx

nn

n

sincos

⇒

====

ϕX

xtxxtx

0

0

)0()0(

CONDICIONS INICIALS

ϕωϕ

sin)0(cos)0(

0

0

nXxtxXxtx

======

=

+=

0

0

202

0

arctanxx

xxX

n

n

ωϕ

ω

13SISTEMA MASSA-MOLLAEQUACIÓ DEL MOVIMENT: solució

( )ϕω −= tXtx ncos)( ( )( ) BABABA

BABABAsincoscossinsinsinsincoscoscos

±=±=±

()()()tXtXttXtxnnnnωϕωϕϕωϕωsinsincoscossinsincoscos)(+=+=

ϕϕ

sincos

2

1

XAXA

≡≡ tAtAtx nn ωω sincos)( 21 +=

1A

2A

22

21 AAX +=

ϕ

tnω

14SISTEMA MASSA-MOLLACondicions inicials

tAtAtxtAtAtx

nnn

nn

ωωωωωω

cossin)(sincos)(

21

21

+−=+=

⇒

====

2

1

0

0

)0()0(

AA

xtxxtx

CONDICIONS INICIALS

nAxtxAxtx

ω20

10

)0()0(

======

n

xA

xA

ω0

2

01

=

=

tAtAtx nn ωω sincos)( 21 +=

15SISTEMA MASSA-MOLLAInterpretació vectorial

txtxtx nn

n ωω

ω sincos)( 00

+=

( )ϕω −= tXtx ncos)(

0x

n

xω

0

202

0

+=

n

xxXω

ϕ

tnω

16SISTEMA MASSA-MOLLAgràfic del moviment

nnT ω

π2=

)(tx

t

nωϕ

0X

0X−

17SISTEMA MASSA-MOLLAresum

0=+ kxxm

mk

n =ω

02 =+ xx nω

18SISTEMA MASSA-MOLLAresum

mk

n =ω

La freqüència natural és el paràmetre que determina el comportament vibratori del sistema

Quan un sistema en equilibri estàtic s'aparta lleugerament de la seva posició d'equilibri i es deixa lliure, retorna a la seva posició d'equilibri descrivint un moviment harmònic simple al voltant d'aquesta posició

La freqüència natural queda determinada pels paràmetres dels sistema, k i m

Independentment de com s'inicia el moviment, la freqüència de les oscil·lacions lliures d'un sistema determinat és SEMPRE la mateixa

19SISTEMA MASSA-MOLLAenergia del moviment

x t =X cosn t−x t =−nX sinn t−E=Ec Ek =

12m x21

2k x 2

E=12mn

2X 2 sin2n t−12k X 2 cos2n t−

n2=kmE=1

2mkmX 2 sin2n t−1

2k X 2 cos2n t−

E=12k X 2 L'ENERGIA MECÀNICA ÉS

CONSTANT

x(m)

E(J)

+X-X 0

Ec =1 m x2

EK=12k x2

2 Em=Ek Ec

1SISTEMA FORÇAT HARMÒNICAMENTRESPOSTA ESTACIONÀRIA: ressonància

Xst

=1 ⇒ X=F0

k

k c

m0

x(t)

F=F0=constant

Per valors de z petits, el sistema es deforma més que si apliquessim una força constant igual a la màxima força aplcada

RESSONÀNCIA

Màxim que es produix en l'amplitud de la resposta dels sistemes vibratoris quan la freqüència de la força harmónica aplicada és propera a la freqüència natural del sistema